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Calculo experimental de la gravedadMario Alejandro Gutiérrez, Julián Esteban Gines

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1. OBJETIVOS

1.1. General

Obtener un valor cercano a la verdadera magnitud dela gravedad en la Facultad Tecnológica de la UniversidadDistrital Francisco José de Caldas ubicada en Bogotá D.C,Colombia.

1.2. Específicos

• Establecer a través de mediciones del tiempo en elque una partícula desciende en caída libre desde diferentesalturas, un valor cercano a la gravedad en esa área.

• Determinar el margen de error (error absoluto) en latoma directa o indirecta de datos por medio de cálculosaritméticos de medición y propagación de errores.

• Analizar y asumir que la magnitud medida desde lafacultad es la gravedad aproximada de la ciudad de BogotáD.C.

2. MARCO TEÓRICO

Para la realización de este experimento fue necesarioel uso de herramientas como implementos, conceptos demedición, conceptos geométricos y teóricos los cuales sedescriben uno por uno a continuación:

• [1]Altura: es la medida de la distancia vertical en la quese encuentra una partícula respecto a la tierra o cualquierpunto de referencia bajo ella, su medida se da en metros[m].

• [2]Tiempo: se puede definir como la magnitud físicacon la que se mide la duración de acontecimientos sujetosal cambio, según el sistema internacional su medida es elsegundo [s].

Utilizando las mediciones directas se llegó a otras medi-ciones llamadas indirectas las cuales se dan de esta forma,las mediciones fueron:

• [3]Gravedad: es la aceleración que presenta un cuerpofísico en las cercanías de un cuerpo astronómico o másgrande, su magnitud es metros por segundo cuadrado [ms2 ].A pesar de que el método original conocido para la me-dición aproximada de la gravedad se realiza a través deun péndulo, actualmente se ha podido establecer su valoral analizar la pendiente de una gráfica de posición contratiempo.

La gravedad se puede hallar mediante la ecuación:

m =< ∆Z >

< ∆T >(1)

Dónde:m: Pendiente de la recta< ∆Z >:Variación promedio de la altura.< ∆T >:Variación promedio del tiempo.

3. ELEMENTOS CONCEPTUALES

En el experimento se tomaron diferentes mediciones deun solo objeto, buscando con esto encontrar un rango deprecisión entre ellas, las características principales de losinstrumentos de medición son:

3.1. Precisión[4]Es la capacidad de un instrumento de dar el mismo

resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismascondiciones.

3.2. Exactitud[5]Es la capacidad de un instrumento de medir un valor

cercano al valor de la magnitud real.

3.3. Apreciación[6]Es la medida más pequeña que es perceptible en un

instrumento de medición.

3.4. Sensibilidad[7]Es la relación de desplazamiento entre el indicador de la

medida y la medida real.

4. IMPLEMENTOS

4.1. Cinta métrica o decámetroEs un elemento utilizado para la medición de longitudes,

tiene la propiedad de poderse enrollar en sí misma paraahorrar espacio, generalmente se hacen de plástico, su mar-gen de error, si se mide desde los centímetros, varía entre 110−2m a 1 10−3m aproximadamente.

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4.2. CronómetroEs un tipo de reloj al cual se ha comprobado su precisión

por centros de control, teniendo la capacidad de medirfracciones de segundo.

5. PROCEDIMIENTO

Empezamos por medir una altura cualquiera con ayudade la cinta métrica, posteriormente ubicamos la partícula,en realidad es una esfera de metal, en el punto mas altode la altura medida y la soltamos, justo en ese instanteactivamos el cronometro para medir el tiempo que le tomaa la partícula llegar al suelo, cuando esta llega al suelo de-tenemos el cronometro y registramos el tiempo. Realizamoseste proceso con 30 alturas diferentes, las alturas designadasy los tiempos obtenidos se consignaron en una tabla.

6. RESULTADOS

6.1. Calculo de la gravedad con los valores de 2z y t2

Como podemos ver en el cuadro 1 tenemos los datosobtenidos en la practica descrita anteriormente, ahora pro-cedemos a elegir los datos de las columnas 2z y t2y paracada columna, dividimos la información en dos grupos, losprimeros, que ahora los llamaremos 2za y t2a, constan de los15 primeros datos mientras que los segundos, 2zb y t2b , secomponen de los 15 restantes, a continuación realizamos latablas con los datos organizados.

Como vemos en los cuadros 2 y 3 hay una nuevacolumna, ∆2z y ∆t2, respectivamente, estos datos salierondel valor absoluto de la diferencia entre los datos de 2za y2zben el cuadro 2 y de t2a y t2b en el cuadro 3, posteriormentehallamos la media aritmetica para cada conjunto de datos,en caso ∆2z, su media <∆2z> es 3.37 m y para ∆t2, sumedia <∆t2> es 2.61[10−1s].

Como habiamos dicho al inicio del informe podemoscalcular la gravedad apartir del analisis de la pendiente dela grafica posicion versus tiempo, resulta ser que hallandola pendiente obtenemos la gravedad, para esto utilizamos laecuacion 1 y vemos lo siguiente:

m =< ∆2z >

< ∆t2 >

m = 3.362.61

m = 12.92 ms2

como m = g decimos que la gravedad experimental esde 12.92 m

s2

Al final del informe se encuentra la grafica 1 de posicionversus tiempo elaborada con los datos de 2z y t2, dondepodemos ver la representacion grafica (la pendiente) de lagravedad.

z [m] 2z [m]√

2z [m] t[10−1s] t2[10−1s]

3.90 7.80 2.79 8.50 7.233.78 7.56 2.75 8.00 6.403.54 7.08 2.66 7.80 6.083.40 6.80 2.61 7.00 4.903.08 6.16 2.48 6.60 4.363.02 6.04 2.46 6.50 4.232.95 5.90 2.43 6.40 4.102.59 5.18 2.28 6.10 3.722.55 5.10 2.26 6.00 3.602.45 4.90 2.21 5.90 3.482.27 4.54 2.13 5.10 2.602.10 4.20 2.05 4.90 2.402.05 4.10 2.02 4.80 2.301.87 3.74 1.93 4.50 2.031.86 3.72 1.93 4.50 2.031.76 3.52 1.88 4.40 1.941.70 3.40 1.84 4.40 1.941.66 3.32 1.82 4.40 1.941.62 3.24 1.80 4.40 1.941.53 3.06 1.75 4.20 1.771.40 2.80 1.67 4.10 1.681.30 2.60 1.61 4.10 1.681.05 2.10 1.45 3.70 1.37

7.80 [10−1m] 1.56 1.25 3.20 1.027.60 [10−1m] 1.52 1.23 3.10 9.6 [10−2s]7.00 [10−1m] 1.40 1.18 3.10 9.6 [10−2s]6.50 [10−1m] 1.30 1.14 3.10 9.6 [10−2s]6.00 [10−1m] 1.20 1.10 3.10 9.6 [10−2s]3.80 [10−1m] 7.60 [10−1m] 8.70 [10−1m] 2.40 5.8 [10−2s]3.50 [10−1m] 7.00 [10−1m] 8.40 [10−1m] 2.40 5.8 [10−2s]

<z> <2z> <√

2z> <t> <t2><1.92> <3.84> <1.88> <4.90> <2.66>

Cuadro 1Mediciones de la altura y el tiempo del movimiento en caída libre de la

partícula.

2za[m] 2zb[m] ∆2z[m]

7.80 7.00 [10−1m] 7.107.56 7.60 [10−1m] 6.807.08 1.20 5.886.80 1.30 5.506.16 1.40 4.766.04 1.52 4.525.90 1.56 4.345.18 2.10 3.085.10 2.60 2.504.90 2.80 2.104.54 3.06 1.484.20 3.24 9.60 [10−1m]4.10 3.32 7.80 [10−1m]3.74 3.40 3.40 [10−1m]3.72 3.52 2.00 [10−1m]

<∆2z><3.36>

Cuadro 2Grupo de datos 2za-2zb

3

t2a[10−1s] t2b [10−1s] ∆t2[10−1s]

7.23 5.80 [10−2s] 6.656.40 5.80[10−2s] 5.826.08 9.60[10−2s] 5.124.90 9.60 [10−2s] 3.944.36 9.60 [10−2s] 3.404.23 9.60 [10−2s] 3.274.10 1.02 3.083.72 1.37 2.353.60 1.68 1.923.48 1.68 1.802.60 1.77 8.30 [10−2s]2.40 1.94 4.60 [10−2s]2.30 1.94 3.60 [10−2s]2.03 1.94 9.00 [10−3s]2.03 1.94 9.00 [10−3s]

<∆t2><2.61>

Cuadro 3Grupo de datos t2a-t2b

√2za [m]

√2zb [m] ∆

√2z [m]

2.79 8.40[10−1m] 1.952.75 8.70 [10−1m] 1.882.66 110 1.562.60 1.14 1.462.48 1.18 1.302.46 1.23 1.232.43 1.25 1.182.28 1.45 8.30 [10−1m]2.26 1.61 6.50 [10−1m]2.21 1.67 5.40 [10−1m]2.13 1.75 3.80 [10−1m]2.05 1.80 2.50 [10−1m]2.02 1.82 2.00 [10−1m]1.93 1.84 9.00 [10−2m]1.93 1.88 5.00 [10−2m]

<∆√

2z>9.00 [10−1m]Cuadro 4

Grupo de datos√

2za-√

2zb

6.2. Calculo de la gravedad con los valores de√

2z y t

Nuevamente, si observamos el cuadro 1 vemos las co-lumnas

√2z y t, cada una de ellas con sus 30 datos,

realizamos el mismo proceso que hicimos con los datos de2z y t2, formamos los dos grupos de datos para

√2z y t

y realizamos las tablas correspondientes, ademas hallamoslos datos para∆

√2z y ∆t de la manera que lo hicimos

en la seccion anterior, y por ultimo encontramos la mediaaritmetica de cada uno.

Vemos en el cuadro 4 que el valor para <∆√

2z> es de9.00 [10−1m], mientras que en el cuadro 5 el valor para<∆t> es de 2.60 [10−1s], a continuacion repetimos el pro-cedimiento para hallar la gravedad experimental medianteel calculo de la pendiente, pero antes hay que hacer lasiguiente aclaracion:

Tenemos la siguiente ecuacion:

z(t) =1

2gt2

por lo tanto lo anterior es lo mismo que decir:√2z =

√gt

despejando√g nos queda que

√2zt =

√g

ta[10−1s] tb[10−1s] ∆t[10−1s]

8.50 2.40 6.108.00 2.40 5.607.80 3.10 4.707.00 3.10 3.906.60 3.10 3.506.50 3.10 3.406.40 3.20 3.206.10 3.70 2.406.00 4.10 1.905.90 4.10 1.805.10 4.20 9.00 [10−2s]4.90 4.40 5.00 [10−2s]4.80 4.40 4.00 [10−2s]4.50 4.40 1.00 [10−2s]4.50 4.40 1.00 [10−2s]

<∆t>2.60

Cuadro 5Grupo de datos ta- tb

sabemos√g = m, entonces g = m2

utilizando la ecuacion 1 tenemos que:

m =< ∆

√2z >

< ∆t >

m = 9.00.2.60

m = 3.46. ms2

como m2 = g entonces3.462 = 11.97ms2

por lo tanto la gravedad experimental para este caso esde 11.97 m

s2 .

7. CONCLUSIONES

Los resultados de la gravedad experimental en losdos estudios nos arrojan resultados muy alejadosdel valor teorico gravitacional, el el primer casoobtuvimos una gravedad experimental de 12.92 m

s2 ,mientras que en el segundo caso el resultado fue:11.97 m

s2 , en teoria estos dos valores deberian ser elmismo ya que se manejan las mismas variables encantidades que son proporcionales, ademas vemosque el valor de la gravedad experimental se excedeen 3.11 m

s2 para el primer caso y 2.16 ms2 para el

segund caso, esto con respecto al valor teorico dela gravedad. Concluimos que las posibles causas deerror que nos llevaron a estos resultados fueron lademora en activar el cronometro justo en el instanteque se soltaba la particula e el punto mas alto dela altura medida y por otro lado una incorrectamanipulacion de la cinta metrica a la hora de medirlas diferentes alturas.

REFERENCIAS

[1] Wikipedia.org, Altura [online], 2014 Disponible en:http://es.wikipedia.org/wiki/Altura

[2] Wikipedia.org, Tiempo [online], 2014 Disponible en:http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo

[3] Artifani.com, ¿Qué es la gravedad? [online],2014 Disponible en:http://www.artinaid.com/2013/04/que-es-la-gravedad/

[4] Wikipedia.org, Precisión [online], 2014 Disponible en:http://es.wikipedia.org/wiki/Precisi %C3 %B3n

[5] Wikipedia.org, Exactitud [online], 2014 Disponible en:http://es.wikipedia.org/wiki/Exactitud

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[6] Wikipedia.org, Apreciación [online], 2014 Disponible en:http://es.wikipedia.org/wiki/Apreciaci %C3 %B3n

[7] Wikipedia.org, Sensibilidad [online], 2014 Disponible en:http://es.wikipedia.org/wiki/Sensibilidad