1

Transformada de Laplace y Z.Departamento de Ingenieria Electrica, Electronica y Computacion

Universidad Nacional De Colombia - Sede ManizalesMonitor:Yeison Hoyos Rengifo

Daniel Guillermo Valencia Lozano 812065Miguel Angel Benitez Castro 812005Emmanuel Hernandez Vargas 812036Juan Camilo Lopez Montes. 812034

Resumen En este informe se pretende mostrar elanalisis de sistemas a partir de su funcion transferen-cia, de la caul se puede obtener respuesta al impulso,escalon y la rampa; su diagrama de Bode, donde seobserva su magnitud (en decibels) y face; obtencionde raıces, amortiguamiento y estabilidad del sistemay todo esto a traves del entorno guide.

I. OBJETIVOS

Modelar sistemas a traves de funciones de transfe-rencia continuas.Identificar los polos y ceros de una funcion detransferencia y analizar como determinan las res-puesta del sistema.Utilizar herramientas computacionales para simularsistemas y estudiar su dinamica.Aplicar los conceptos de transformada de Laplaceen el modelado de sistemas continuos.Utilizar diferentes diagramas para visualizar la res-puesta del sistema tanto en el tiempo como en lafrecuencia.

II. INTRODUCCIONLa transformada de Laplace es una herramienta

matematica muy util en electronica ya que gracias a ellael comportamiento de sistemas electronicos complejospuede describirse usando ecuaciones algebraicas en lugarde ecuaciones diferenciales. El ambito de aplicacionde esta transformada no queda reducido a los sistemaselectronicos. El comportamiento de cualquier sistemalineal, sea del tipo que sea, queda completamentedescrito mediante las ecuaciones ordinarias obtenidas atraves de la transformada de Laplace.

Por lo regular no es practico analizar sistemas en eldominio del tiempo debido a la complejidad matematicay a la dificultad de entendimiento de los fenomenos en

el mismo. Esta razon hace que se utilicen transformadascomo la de Laplace para sistemas continuos. Lacaracterizacion de los sistemas se hace de manerasencilla a traves de una funcion de transferencia cuandosus condiciones iniciales son cero. Cuando no son cerose recurre a otros metodos como modelado por Espaciode Estados. A partir de la funciones de transferencia sepuede estudiar la dinamica del sistema ante diferentessenales de prueba como el delta, el escalon, la rampa,o una entrada sinusoidal y en general cualquier senal.

Es importante caracterizar la estabilidad de los siste-mas ante este tipo de senales. Cuando se habla de sistemase habla de polos y ceros que constituyen las raıces deldenominador y numerador de la funcion de transferenciarespectivamente. Segun la cantidad de polos y cerosse establecen caracterizaciones entre los sistemas. Esimportante saber interpretar la posicion de polos y cerosen el plano complejo. Para visualizar la respuesta delsistema existen diferentes tipos de diagramas como dia-gramas de Bode, lugar geometrico de raıces y respuestatemporal. Este tipo de analisis puede resultar laboriosopor lo cual se recurre a herramientas computacionalescomo Matlab.

III. ACTIVIDADESIII-A. Respuestas de sistemas LTI.

Disenar una interfaz en Matlab en la que se ingresenlos coeficientes de una funcion de transferencia y sepueda seleccionar la senal de prueba para visualizar larespuesta al Impulso, Escalon, Rampa y a una funcionsinusoidal.

Parametros de entrada:Coeficientes del numerador de transferencia.Coeficientes del denominador de transferencia.Seleccion de la senal de prueba. (Impulso, Escalon,Rampa o Sinusoidal.)

2

Figura 1. Diagrama de Bode.

Parametros de salida:Funcion de transferencia.Diagrama de Bode.Lugar geometrico de las raıces.Grafica de respuesta en el tiempo (usar ilaplace).Grafica de respuesta a la senal de prueba.

Para este punto solo se hace necesario un analisisexclusivo en el entorno guide:

Nuestra funcion de transferencia se hace necesariotener dos variables (vectores), numerador y denominador.En MatLab existe una funcion que nos permite escribiren forma vectorial los coeficientes del numerador ydenominador, donde el numero de columnas menos 1 nosindica la potencia del termino n-esimo del vector, aquellafuncion es tf , por lo tanto para el entorno guide tomamosla propiedad de string en un edit text y la convertimosde str a num, luego de tener nuestros valores ingresadosformamos nuestra funcion transferencia con al funcionnombrada anteriormente. Ejemplo.

se ingresa un vector:

num = [1]den = [2, 1, 0]

Obteniendo la siguiente funcion de transferencia:

H =1

2S2 + S

En MatLab graficar un diagrama de bode solo se hacenecesario utilizar la funcion bode, en el ejemplo anteriortenemos(ver figura1).

Figura 2. Lugar geometrico de las raıces.

Figura 3. Grafica de la senal en el tiempo.

Lugar geometrico de las raıces, funcion rlocus (verfigura2).

La grafica de la senal en el tiempo se hizo necesarioutilizar la funcion ilaplace, la cual realiza una anti-transformada de Laplace para nuestra funcion transferen-cia. La representacion grafica de la anti-transformada denuestra funcion de transferencia ejemplo es: (ver figura3)

Para la respuesta de la senal de prueba, solo se hacenecesario la funcion impulse o step y se multiplica odivide la funcion transferencia por la transformada deLaplace de la funcion de de entrada. (ver figura4).

III-B. Sistema: Circuito RLC.Se desea analizar el comportamiento del sistema mos-

trado en la Figura 7 ante una entrada de tipo rampa,impulso y escalon.

El objetivo es obtener la funcion de transferencia paralas salidas mostrando las tensiones en R1, R2, L y C(VR1 ,VR2 , VL y VC respectivamente) sabiendo quela funcion de transferencia de un sistema es la relacionentre la transformada de Laplace de la salida respecto ala transformada de Laplace de la entrada.

3

Figura 4. Grafica de respuesta a la senal de prueba.(impulso)

Figura 5. Grafica de respuesta a la senal de prueba.(escalon)

Figura 6. Grafica de respuesta a la senal de prueba.(rampa)

Figura 7. Circuito RLC.

H(s) =F{y(t)}F{x(t)}

y(t): senal de salida.x(t): senal de entrada.

Dentro de este laboratorio se realizo el analisis delsiguiente circuito RLC para el cual se obtuvieron lassiguientes funciones de transferencia. La primera funcionde transferencia a analizar es la siguiente.

VR1(s)Vin

Para este analisis es pertinente indicar que para eldominio de la frecuencia S tanto la reactancia inductivacomo la capacitiva se trabaja de la siguiente manera:

Xc = 1SC

XL = SLDichas condiciones es posible comprobarlas a partir de

las ecuaciones diferencial-integrales de las que derivanen el dominio del tiempo aplicando la transformada deLaplace.Por observacion del circuito se puede apreciar un divisorde tension mediante el cual es posible hallar la relacionentre VR1 y Vin.

VR1 = Vin

(Z1

1

SC+Z1

)Siendo Z1 la impedancia equivalente entre el paralelo

de R1 con la serie compuesta por la bobina y R2, esdecir:

Z1 = R1||(SL+R2)

Z1 =R1(SL+R2)SL+R2+R1

Despejando Z1 en el divisor de tension anteriormenteplanteado se tiene:

VR1 = Vin

(R1(SL+R2)

SL+R2+R1

1

SC+R1(SL+R2)

SL+R2+R1

)

VR1

Vin=

R1(SL+R2)

SL+R2+R1

1

SC+R1(SL+R2)

SL+R2+R1

VR1

Vin= R1(SL+R2)

SL+R2+R1

SC+R1(SL+R2)

VR1

Vin= SCR1(SL+R2)

SL+R2+R1+SCR1(SL+R2)

Organizando la ecuacion obtenemos la funcion detransferencia:

VR1(s)Vin

= S2(R1LC)+S(CR1R2)S2(R1LC)+S(CR1R2+L)+(R1+R2)

La siguiente funcion de transferencia a analizar es lasiguiente:

VR2(s)

Vin

4

De manera similar con el analisis pasado es posibleaplicar un divisor de tension en la rama L-R2 paraobtener el voltaje en la resistencia R2.

VR2 = VR1

(R2

SL+R2

)Despejando VR1 del obtenido anteriormente se tiene:

VR2 = Vin(

S2(R1LC)+S(CR1R2)S2(R1LC)+S(CR1R2+L)+(R1+R2)

) (R2

SL+R2

)VR2

Vin=

S2(R1R2LC)+S(CR1R2)

S3(R1L2C) + S2(L(CR1R2 + L)) + S(L(R1 +R2))+S2(R1R2LC) + S(R2(CR1R2 + L)) +R2(R1 +R2)

Ordenando los terminos se obtiene que la funcion detransferencia es la siguiente:

VR2(s)

Vin=

S2(R1R2LC) + S(CR1R2)

S3(R1L2C) + S2(2LCR1R2 + L2)+S(L(R1 + 2R2) + CR1R22) +R2(R1 +R2)

La tercera funcion de transferencia planteada en ellaboratorio corresponde a:

VL(s)Vin

Con la contraparte correspondiente al divisor detension propuesto para la funcion de transferencia deR2, para este problema el divisor planteado para lasolucion queda de la siguiente forma:

VL = VR1

(SL

SL+R2

)Siguiendo el mismo procedimiento usado para la so-

lucion de la FT anterior, se despeja VR1 en la ecuaciondel divisor.

VR2 = Vin(

S2(R1LC)+S(CR1R2)S2(R1LC)+S(CR1R2+L)+(R1+R2)

) (SL

SL+R2

)VR2

Vin= S3(R1L2C)+S2(CLR1R2)

S3(R1L2C) + S2(L(CR1R2 + L)) + S(L(R1 +R2))+S2(R1R2LC) + S(R2(CR1R2 + L)) +R2(R1 +R2)

De esta manera se determina que la funcion detransferencia para VL esta determinada por la siguienteigualdad:

VR2(s)

Vin=

S3(R1L2C) + S2(CLR1R2)

S3(R1L2C) + S2(2LCR1R2 + L2)+S(L(R1 + 2R2) + CR1R22) +R2(R1 +R2)

La ultima funcion de transferencia a analizar se mues-tra a continuacion:

VC(s)Vin

Para solucionar esta ecuacion se plantea el divisor devoltaje para Vc:

VC = Vin

(1

SC1

SC+Z1

)= Vin

(1

1+SCZ1

)VC

Vin= 1

1+SC(R1(SL+R2)

SL+R2+R1 )VC

Vin= SL+R2+R1

SL+R2+R1+SC(R1(SL+R2))Ordenando la ecuacion se obtiene que la funcion de

transferencia para Vc con respecto a Vin es la siguiente:

VCVin

=SL+ (R2 +R1)

S2R1LC + S (CR1R2 + L) + (R1 +R2)

De esta manera queda solucionadas todas las ecua-ciones de transferencia planteadas para el circuito RLCpropuesto en el laboratorio.

III-C. Reconocimientos de sistemas.Se desea obtener un analisis detallado de cada uno de

los sistemas con el objetivo de discriminar la naturalezade su comportamiento (sobreamortiguado, subamorti-guado o crıticamente amortiguado) ante las diferentesexcitaciones de entrada.

1.

ay′′(t) +a

by′(t) + cdy(t) = dx(t)

2.

ay′′ + ay′(t) + cy(t) = cx(t)

3.

4y′′(t) + dy′(t) + ady(t) = 6x(t)

Para mostrar como resuelve los ejercicios de estepunto se resolvera el primer punto paso por Paso. Si setiene una ecuacion diferencial que representa un sistema:

ay′′(t) +a

by′(t) + cdy(t) = dx(t)

Lo primero que se halla es la ecuacion de transferencia,por lo que se haya la transformada de laplace de toda lafuncion:

L

{ay′′(t) +

a

by′(t) + cdy(t) = dx(t)

}as2Y (s) +

a

bsY (s) + cdY (s) = dX(s)

Ahora esta sera la transformada de Laplace de la ecua-cion diferencial, asumiendo que las condiciones inicialesdel sistema son 0, para hallar la ecuacion de transferenciase hace Y(s)/X(s). De forma canonica seria:

Y (s)

X(s)= H(s) =

da

s2 + 1bs+

cda

5

Figura 8. Escalon.

Si asumimos que:

a = 1, b = 2, c = 3, d = 4

Entonces la ecuacion de transferencia sera:

H(s) =4

s2 + 0,5s+ 12

Se debe hallar la senal de salida si la entrada es unescalon unitario, por lo que se debe hallar Y(s) enfuncion del tiempo por lo que aplicamos la transformadainversa de laplace.

y(t) = L−1 {Y (s)} = L−1{

4

s2 + 0,5s+ 12X(s)

}y(t) = L−1 {Y (s)} = L−1

{4

s2 + 0,5s+ 12

1

s

}y(t) = 4(0,833333−(0,0416667−0,00301489i)e(−0,25−2,45507i)((1+0.i)e(6,91014i)t+(0,989583+0,143961i)))

La respuesta de del Sistema al excitarlo con un Escalonunitario sera graficamente ası(ver figura8):

Para hallar el diagrama de bode de la ecuacion detransferencia debemos reemplazar la variable de Laplacepor jw.

H(w) =4

−w2 + 0,5jw + 12

Ahora la funcion de transferencia esta en funcion dela frecuencia por lo que podemos analizar como secomporta el sistema al ingresar diferentes frecuencias.Para mirar la magnitud se le da valores a w y luego sele saca la magnitud, para sacar la fase se debe separarla parte imaginaria para poder hacer arctg(Im/R). Si sefactoriza el denominador se pueden hallar los polos

H(w) =4

(w − (−3,45507 + 0,25i))(w − (3,45507 + 0,25i))

Figura 9. Bode.

Figura 10. Raıces.

Como se observa tiene 2 polos por lo que sera unpasa bajas con frecuencia angular de corte en (verfigura9):

Wp1 =√3,455072 + 0,252 = 3,46

Wp2 =√3,455072 + 0,252 = 3,46

Como se observa los polos estan en 3.45 tal comomuestra la ecuacion de transferencia. Ahora ubicandolos polos en el plano complejo(ver figura10):

Para determina la frecuencia natural del sistema y elfactor de amortiguamiento debemos saber como es laforma general de la ecuacion de transferencia:

H(s) = k Wns2+sδWn+Wn2

H(s) = 4√12

√12

s2+0,5s+12

Donde Wn sera la frecuencia natural y el factor deamortiguamiento sera el delta observando la ecuacion

6

de transferencia se determina que:

Wn = 3,46δ = 0,144

Como el factor de amortiguamiento es menor a 1 elsistema es subamortiguado. Para determinar si el sistemaes estable se debe conocer el valor de la parte real delos polos Como ambos son iguales y negativos el sistemaestable

III-D. Cuestionario.1. En las matematicas y procesamiento de senales,

la Transformada Z convierte una senal real ocompleja definida en el dominio del tiempodiscreto en una representacion en el dominio dela frecuencia compleja.La transformada Z, al igual que otrastransformaciones integrales, puede ser definidacomo una transformada unilateral o bilateral.

Transformada Z bilateral

La TZ bilateral de una senal definida en eldominio del tiempo discreto x[n] es una funcionX(z) que se define

X(z) = Z{x [n]} =∞∑−∞

x[n]z−n

Donde n es un entero y z es, en general, un numerocomplejo de la forma

z = Aejω

Donde A es el modulo de z, y w es la frecuenciaangular en radianes por segundo (rad/s).

Transformada Z unilateral

De forma alternativa, en los casos en quex[n] esta definida unicamente para n mayor igualque 0, la transformada Z unilateral se define como

X+(z) = Z+{x[n]} =∞∑n=0

x[n]z−n

En el procesamiento de senales, se usa estadefinicion cuando la senal es causal. En este caso,la Transformada Z resulta una serie de Laurent,con ROC del tipo ; es decir que converge ”haciaafuera”.Un ejemplo interesante de la TZ unilateral es lafuncion de generacion de probabilidades, donde

x[n] es la probabilidad que toma una variablediscreta aleatoria en el instante n, y la funcionX(z) suele escribirse como X(s), ya que s = 1/z.Las propiedades de las transformadas Z son utilesen la teorıa de la probabilidad.

2. La TZ bilateral es simplemente la transformada deLaplace bilateral de la senal muestreada

x(t)∞∑

n=−∞δ(t− nT ) =

∞∑n=−∞

x[n]δ(t− nT )

Donde es la senal continua muestreada, x[n]=x(nT)la n-esima muestra, T el perıodo de muestreo, ycon la sustitucion.

z = esT

Del mismo modo, la TZ unliateral es simplementela transformada de Laplace unilateral de la senalideal muestreada. En ambas se asume que la senalmuestreada vale cero para todos los ındices nega-tivos en el tiempo.Referencia: http://es.wikipedia.org/wiki/TransformadaZ

IV. CONCLUSIONESLa Transformada de Laplace, es util en la solu-cion de circuitos electricos, ya que por ejemplosimplifica el problema de resolver una ecuaciondiferencial de segundo grado en los circuitos RLCpara hallar su respuesta (y(t)) respecto a una en-trada (x(t)), a resolver una ecuacion lineal. LaTransformada de Laplace tambien es util en elanalisis de Sistemas, ya que por ejemplo permitetransformar un sistema al plano complejo, al tenerlode esta forma se obtiene informacion del sistematal como: el factor de amortiguamiento, frecuencianatural del mismo, parametros que permiten definirla estabilidad y naturaleza del comportamiento del(sobreamortiguado, subamortiguado o crıticamenteamortiguado) del sistema.