ingenieria-civil09.blogspot.com) hidrologia - probabilidad(2)

73

Capítulo 5REVISIÓN DE CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA Y

PROBABILIDAD

74

La planeación y el diseño de proyectos relacionados con el agua necesitaninformación de diferentes eventos hidrológicos que no son gobernados porleyes físicas y químicas conocidas, sino por las leyes de azar. Por ejemplo, elcaudal de un río varía día a día y año tras año, y no puede predecirseexactamente cual será su valor en un período de tiempo cualquiera. En elcaso del diseño de un puente, el estudio hidrológico determinaría la crecienteasociada con una probabilidad crítica(se busca determinar el caso crítico), lacual se supone representa el riesgo para el puente. Esto solo puededeterminarse a través del análisis probabilístico y estadístico basado en losregistros hidrológicos del pasado.

Es dable afirmar que la hidrología, en algunos casos, trata con variablesaleatorias cuyo comportamiento no puede predecirse con certidumbre. Elcomportamiento de una variable aleatoria está descrito por una ley deprobabilidades, la cual asigna medidas de probabilidad a posibles valores orangos de ocurrencia de la variable aleatoria. Las variables aleatorias puedenser discretas o continuas.

Se dice que una variable aleatoria es discreta si ella sólo puede tomar valoresespecíficos. Por ejemplo, si N denota el número de días lluviosos en el mesde diciembre, entonces N es una variable aleatoria discreta. En este caso, laley de probabilidades asocia medidas de probabilidad a cada posibleocurrencia de la variable aleatoria.

Una variable aleatoria es continua si puede tomar todos los valores en unrango de ocurrencia. Por ejemplo, si Q es una variable aleatoria que denotael valor de los caudales promedios diarios del río Magdalena, entonces Q

75

puede asumir cualquier valor y es entonces una variable aleatoria continuaEn este caso la ley de probabilidades asigna medidas de probabilidad arangos de ocurrencia de la variable aleatoria.

En el análisis probabilístico y estadístico en hidrología, se asume que lainformación histórica disponible de una variable hidrológica representa unamuestra tomada de una población cuyas características se desconocen. En elanálisis probabilístico se analizan posibles leyes de probabilidad que puedendescribir el comportamiento de las variables de la población. En el análisis

estadístico, se hacen inferencias sobre la variable (la población), usando lamuestra. Por ejemplo, cuando se calcula una media con observacionesdisponibles, se está infiriendo que la media calculada es la media de lapoblación, lo cual no necesariamente es verdad, pues esto dependerá de lacalidad de la información, del número de observaciones y otros aspectos.

El hecho es que muchos fenómenos hidrológicos son erráticos, complejos yde naturaleza aleatoria, y solo pueden ser interpretados en un sentidoprobabilístico. Uno de los problemas más importantes en hidrología es lainterpretación de registros de eventos pasados para inferir la ley deprobabilidades de la variable hidrológica (población) de interés,procedimiento que en hidrología se conoce con el nombre de análisis defrecuencia.

Por ejemplo supóngase que se tienen registros del caudal del río Magdalenadurante un período de 50 años. Son factibles dos tipos de análisis:descriptivo y de inferencia. El primero se realiza sin ninguna referencia a supoblación, de la cual se tiene una muestra de 50 años. Consiste, básicamente,en calcular propiedades estadísticas, como media, varianza y otras. En elsegundo, la muestra se analiza para inferir las propiedades de su población,lo cual ayudará a derivar las características probabilísticas del caudal. Elprimero es una aplicación de los métodos estadísticos que requieren poca

76

decisión y poco riesgo. El segundo involucra riesgos y requiere una totalcomprensión de los métodos empleados y el peligro involucrado en lapredicción y estimación de las variables.

Los objetivos básicos de la estadística en la hidrología son entre otros:

1) Interpretación de las observaciones2) Análisis de la calidad de la información3) Inferencia sobre el comportamiento de la variable4) Extracción del máximo de información de los registros5) Presentación de la información en gráficas, tablas, ecuaciones, que

básicamente ayudan a la toma de decisiones en el planeamiento de losrecursos hídricos.

En resumen, el objetivo principal de la estadística en hidrología es obtenerinformación de los fenómenos hidrológicos pasados y hacer inferenciasacerca de su comportamiento en el futuro.

5.1 CONCEPTOS BÁSICOS

5.1.1 Concepto de probabilidad.

La probabilidad de ocurrencia de un evento dado es igual a la relación entreel número de sucesos favorables m y el número de sucesos totales, n:

nm

xXP =)=( (5.1)

La teoría de la probabilidad se basa en los siguientes axiomas:

77

1) La probabilidad de ocurrencia de un evento, Pi, siempre tiene unvalor entre 0 y 1, así:

1P0 i ≤≤ (5.2)

.La probabilidad de un evento cierto es 1:

1P1i

i =∑α

=(5.3)

2) Si X1 y X2 son eventos independientes y mutuamente excluyentes,entonces:

)(+)(=)∪( 2121 XPXPXXP (5.4)

Dos eventos son independientes si la probabilidad de ocurrencia de uno no seve afectada por la ocurrencia del otro,. y se dice que son mutuamenteexcluyentes cuando la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia del otro.

Los axiomas anteriores permiten la definición de conceptos importantes. Porejemplo, si dos eventos X1 y X2 no son mutuamente excluyentes, laprobablidad de que ocurra X1 u ocurra X2 está dada así:

)∩(−)(+)(=)∪( 212121 XXPXPXPXXP (5.5)

La )( 21 XXP ∪ es llamada unión de probabilidades y se lee la probabilidad

de X1 o X2.

78

La probabilidad de que dos eventos independientes ocurran de manerasimultánea es el producto de las probabilidades individuales así:

)(×)(=)∩( 2121 XPXPXXP (5.6)

La )( 21 XXP ∩ es llamada la probabilidad de intersección y se lee laprobabilidad de X1 y X2.

La probabilidad de que ocurra un evento X1 dado que ha ocurrido X2 sellama probabilidad condicional y se denota así:

))(

∩(=)(2

21

2

1

XPXX

PXXP (5.7)

Ejemplo 5.1

Supóngase que el río Cauca alcanza cada invierno un nivel de creciente conuna frecuencia relativa de 0.2. En el Cauca hay un puente cuya probabilidadde falla en los estribos es 0,3 y la experiencia muestra que cuando haycreciente, las probabilidades de esta falla suben a 0,5. Las probabilidadesson:

P(creciente) = P(C) = 0,2P(no creciente) = P(C) = 0,8P(falla) = P(F) = 0,3P(no falla) = P(F) = 0,7P (falla dada creciente) = P(F/C)= 0,5Se desea conocer la probabilidad de falla del puente.

Solución:El puente falla (queda inutilizado) cuando falla en los estribos o cuando haycreciente; esto se puede denotar así:

79

)∩(−)(+)(=)∪( FCPFPCPFCP

Aplicando la ecuación 5.7 de probabilidad condicional:

)(×)(=)∩( CFPCPFCP

Reemplazando valores, se obtiene:

105020FCP .=..×.=)∩(Al reemplazar este valor en la expresión de unión de probabilidades, seconcluye finalmente que P(C∪F)=0.4

5.1.2 Período de retorno:

Se define el período de retorno, Tr, de un evento de cierta magnitud como eltiempo promedio que transcurre entre la ocurrencia de ese evento y lapróxima ocurrencia de ese evento con la misma magnitud. Se define tambiéncomo el tiempo que transcurre para que un evento sea excedido o igualado,al menos una vez en promedio. Si P es la probabilidad de excedencia, sepuede demostrar matemáticamente que:

P1

= Tr(5.8)

Por ejemplo, si un caudal de 8098 m3/s es excedido en promedio una vezcada 10000 años, entonces su período de retorno, Tr, es de 10000 años.

5.1.3 Concepto de riesgo.

En el diseño de obras hidráulicas expuestas a grandes avenidas, es necesarioconsiderar el riesgo asociado con el valor seleccionado para el diseño. Por locomún, el ingeniero diseña una obra para resistir una avenida de ciertamagnitud. Se define el riesgo R de un diseño como la probabilidad de que laavenida para la cual se diseña la obra sea excedida. Se entiende que ésta es

80

una situación de riesgo, pues la obra se diseña para soportar cierta avenidamáxima , y crecientes mayores le podrían hacer daño o incluso destruirla. Elriego R puede entonces escribirse como:

)T

1 - (1 - 1 =R n

r(5.9)

La confiabilidad se define como el complemento del riesgo (Confiabilidad =1-R). Se quiere que la obra tenga un riesgo pequeño de dañarse o, lo que eslo mismo, una alta confiabilidad.

Ejemplo 5.2

¿Qué período de retorno debe escoger un ingeniero en el diseño de unbox-culvert, si se acepta solo el 10% de riesgo de avenida en una vida útil, n,de 25 años?

Solución:

Aplicando la ecuación 5.9 se tiene:

Reemplazando los valores de Tr y n se obtiene:

TR = 238 años

Ejemplo 5.3

Una presa por gravedad puede fallar por deslizamiento (A), por crecientes(B), o por ambas. Asumir que :

1) La probabilidad de falla por deslizamiento es dos veces la probabilidadde falla por creciente: P(A)=2 P(B)

)T

1 - (1 - 1 = 0.1 =R 25

r

81

2) La probabilidad de falla por deslizamiento, dado que ha habido creciente,es 0.8

3) La probabilidad de falla de la presa es de 1*10-3

Determinar la probabilidad de que ocurra un deslizamiento, P(A).

Solución:La presa queda inutilizada cuando se presenta una falla por deslizamiento ocuando hay una creciente, lo que puede expresarse como:

)∩(−)(+)(=.=)∪( BAPBPAP0010BAP (1)

Se tiene además que:

P(A) = 2 P(B) (2)

Reemplazando la (2) en la (1):

)∩(−)(=. BAPBP30010 (3)

Se sabe que:

))(

∩(=.=)(BP

BAP80B

AP (4)

Resolviendo simultáneamente la (3) y la (4), se obtiene:

P(A) = 9.1 * 10-4

82

Ejemplo 5.4

De 1000 circuitos de tubería de acueducto en una ciudad, se reportan 15contaminados con materias fecales; 5 tienen excesivas concentraciones deplomo (Pb) y entre éstos dos de ellos contaminados también por materiasfecales. Se pregunta:

a) Cuál es la probabilidad de que un sistema seleccionado al azarresulte con contaminación fecal?

b) Suponiendo que un sistema se encuentre contaminado con materiasfecales, cuál es la probabilidad de que también esté contaminado conplomo?

c) Cuál es la probabilidad de que un sistema seleccionado al azar estécontaminado?

d) Suponiendo que la probabilidad de contaminación hallada en elnumeral anterior no es satisfactoria, y que se desea que no exceda de0.01, ¿cuál es el valor permisible para la probabilidad decontaminación por materias fecales, asumiendo que el valor de la

probabilidad condicional hallada en el numeral b aún se puedeaplicar?

Solución:

Llamemos P(F) a la probabilidad de contaminación por materia fecal, P(Pb) ala probabilidad de contaminación por plomo y P(C) a la probabilidad decontaminación por plomo o por materia fecal. Se tiene entonces:

a) P(F) = 17/1000

b) La probabilidad condicional P(Pb/F) puede expresarse como:

P(F)F)P(Pb

FPbP∩=)/(

83

y P(Pb) = 5/1000. Reemplazando, se obtiene que:

P(PBI/F) = 2/17

c)Se pregunta en este numeral el valor de P(C); este valor establece laprobabilidad de que un circuito esté contaminado con plomo o con materiasfecales. Como hay 15 circuitos contaminados con materias fecales y 5contaminados con plomo, se tiene entonces que:

P(C) = 20/1000= 0.002

d) La probabilidad de contaminación C se puede expresar como:

)∩(−)(+)(−)∪(=)( bb PFPBPFPPFPCP (1)

y se conoce el valor de la probabilidad condicional:

)()∩(=/=)/( FP

FPbP172FPbP (2)

Resolviendo la (1) y la (2) simultáneamente se halla que:

P(F) = 0.00567

5.2 DISTRIBUCIONES DE FUNCIONES DE PROBABILIDADES ENHIDROLOGIA

Tal como se había mencionado anteriormente, el comportamiento de lasvariables aleatorias discretas o continuas se describe con la ley deprobabilidades asociada, que asigna medidas de probabilidad a ocurrencias oa rangos de ocurrencia de la variable. Estas leyes de probabilidad reciben elnombre de funciones de distribuciones de probabilidad. Como notación, serepresenta por una letra mayúscula la variable aleatoria, y por una letraminúscula, un valor específico, una relación o una muestra de la variable.

P(X = a) indica la probabilidad de que la variable aleatoria X tenga un valorde a; similarmente, P(a<X<b) indica la probabilidad que la variable aleatoria

84

X esté en el intervalo [a, b] .Si se conoce la probabilidad P(a<X<b) paratodos los posibles valores de a y b, se dice que se conoce la distribución deprobabilidades de la variable X.

Si se tiene una muestra cuyas observaciones se asumen extraídas de unamisma población (idénticamente distribuidas), ellas pueden presentarse comoun histograma de frecuencias. Todo el rango disponible de la variablealeatoria se divide en intervalos discretos; se cuenta el número deobservaciones que cae en cada intervalo, y el resultado se dibuja en undiagrama de barras como el mostrado en la Figura 3.1, que representa laprecipitación promedio anual en una estación.

FIGURA 5.1 Histograma de frecuencias.

Supóngase que se tiene una variable continua y el ancho ∆x del intervalo quese usa para el histograma se escoge tan pequeño como sea posible;supóngase igualmente que se tiene el suficiente número de observaciones encada intervalo, para que el histograma de frecuencia muestre variacionessuaves en todo el rango de valores.

Si el número de observaciones ni en el intervalo i que cubre el rango [xi-∆x,xi] se divide por el número total de observaciones, N, el resultado sedenomina función de frecuencia relativa fs (x):

85

nn = )x(f i

is (5.10)

la cual es un estimado de P( xi -∆x<X<xi), la probabilidad de que la variablealeatoria X caiga en el intervalo [xi -∆x, xi]. El subíndice s indica que lafunción es calculada de los datos muestrales.

La suma de los valores de las frecuencias relativas en un punto es la funciónde frecuencia acumulada, Fs(x),dada como:

)(xf = )x(F jS

i

1=jiS ∑ (5.11)

Este es un estimado de P(X ≤ xi), la probabilidad acumulada de xi, o funciónacumulada de probabilidades.

Las funciones de frecuencia relativa y frecuencia acumulada se definen parauna muestra. Las funciones correspondientes a la población se obtienen en ellímite cuando n→� y ∆x →0. En el límite, la función de frecuencia relativadividida por el intervalo ∆x, se convierte en la función de densidad deprobabilidades fX(x)

û[

(x)flim = (x)f S

Xn

0û[

∞→→

(5.12)

La función de frecuencia acumulada se convierte en la función acumulada dedistribución de probabilidades FX(x)

(x)F lim = (x)F SXn

0û[

∞→→

(5.13)

86

cuya derivada es la función de densidad de probabilidad:

dx(x)dF

= (x)f XX (5.14)

Para un valor dado de la variable aleatoria X, Fx(x) es la probabilidadacumulada P(X ≤ x), y puede expresarse como la integral de la función dedensidad para el rango X ≤ x.

(u)duf = (x)F = x) P(X X

x

X ∫∞−

≤ (5.15)

en donde u es una variable de integración. Si se tiene la función dedistribución acumulada para una variable X y se tiene un valor xA de esavariable, (ver Figura 5.2) se cumple que:

( ) ( )AAX xX P = x F ≤ (5.16)

Una forma bastante usada en hidrología para escribir el valor de una variablehidrológica asociada a cierto período de retorno es la de utilizar lo que seconoce como factor de frecuencia, K. En este caso, el valor de la variable sepuede escribir como:

σµ K+ = XA (5.17)

87

Donde µ representa la media y K es la desviación típica de la variablehidrológica. XT es el valor de la variable aleatoria asociada a un ‘período deretorno T. Como se sabe:

( )( )

X X P - 1

X X P)(XF

T

TTX

>=≤=

P(X�XT ) representa la probabilidad de excedencia, la cual está relacionadacon el período de retorno como:

T1

XXP T =)≥( (5.18)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

);�[�

FIGURA 5.2 Distribución acumulada

De donde:

T1

1XF TX −=)(

88

O:

T1

1KFX −=)σ+µ(

Y se obtiene finalmente:

�T1

1F1

1K 1

X −

−= −

FX-1 ( ) representa el inverso de la distribución acumulada de probabilidades.

Por ejemplo, para obtener FX-1 (1 - 1/T), se entra al gráfico 5.2 con el valor

de 1-1/T al eje de probabilidades, y se lee en el otro eje el valor del inversode la distribución acumulada de probabilidades. Lo que significa que el factorde frecuencia es función de la distribución de probabilidades y del período deretorno que se escoja.

La función de densidad de probabilidades tiene las siguientes característicascuando la variable aleatoria es continua:

1)

1 =(x)dx fX

-∫∞

∞

(5.19)

2)

(x)dxf = b) X P(a X

b

a∫≤≤ (5.20)

3)

0=(x)dxf X

b

b∫

(5.21)

Cuando la variable aleatoria es discreta las anteriores propiedades se puedendenotar así:

89

1)

∑ =)(i

i 1xf(5.22)

2)

)(=)≤≤( ∑≤

≥

bx

axi

i

i

xfbXaP (5.23)

3)

)(=)≤( ∑=

=

ji

1iij xfxXP (5.24)

Lo que implica que las probabilidades se definen solo como áreas bajo lafunción de densidad de probabilidades, FDP, entre límites finitos.

Ejemplo 5.5

Hallar la función de distribución acumulada para una variable aleatoria que sedefine como el número de veces que se lanza una moneda, hasta que aparececara.

Solución:

La probabilidad de que caiga cara en cualquier ensayo es ½ y esindependiente de la probabilidad de que caiga sello.

Si A es el evento de que caiga sello en el primer ensayo y B (es el evento) deque caiga sello en el segundo ensayo, la probabilidad que suceda A y B es:

90

P(AB) = P(A) + P(B) = (1/2)2

Si hay x-1 ensayos, la probabilidad de que caiga sello en el ensayo (x-1) es(1/2)x-1 y la probabilidad de cara en el x-avo ensayo es:

(1/2)x-1 ½ = (1/2)x

se tiene entonces que:

x P(X=x) Fx(x)

1 ½ ½2 ¼ ¾3 1/8 7/8

en donde x es el número de ensayos, P(X=x) es la probabilidad de ocurrenciade sello en todos los ensayos y FX(x) es la función de probabilidadesacumulada.

5.3 MOMENTOS DE LAS DISTRIBUCIONES

Las propiedades matemáticas de las distribuciones estadísticas pueden serdefinidas en términos de los momentos de la distribución.

Los momentos representan parámetros que tienen significado físico ogeométrico. Se reconocerá fácilmente la analogía entre los momentosestadísticos y los momentos de área estudiados en mecánica de sólidos.

El r-avo momento con relación al origen se define como:

(x)dxfx = Xr

-r ∫

∞

∞′µ (5.25)

91

o en el caso discreto:

)xi(fx = Xri

n

1=ir ∑µ ′ (5.26)

El subíndice se usa para momentos respecto al origen. El primer momentocon respecto al origen representa la media de la distribución.

Los momentos pueden definirse con respecto a otro punto distinto al origen.Por ejemplo, el r-avo momento con respecto a la media se puede escribircomo:

(x)dxf ) -(x = Xr

-r µµ ∫

∞

∞

(5.27)

ri

n

1iXr xxf )µ−)((=µ ∑

=(5.28)

La primera de estas ecuaciones para el caso de una variable aleatoriacontinua y la segunda si la variable es discreta.

Rara vez se necesita calcular más de tres momentos. Estos son usados paraestimar los parámetros y describir las características de la distribución.

5.4 CARACTERISTICAS ESTADISTICAS BASICAS

Uno de los usos de la estadística es extraer la información esencial de unamuestra de datos, para determinar las características y el comportamiento dela población. Hay algunas características básicas, como la media, la varianzay otras que se pueden calcular o estimar utilizando la muestra de datosdisponibles, para tratar de entender el comportamiento general de lapoblación.

92

En general, las características estadísticas básicas se calculan como el valoresperado E de alguna función de una variable aleatoria. El valor esperado deuna función g(X) de una variable aleatoria X se define como:

[ ] ∫∞

∞−

)()(=)( duufugXgE X (5.29)

En donde fX (u) representa la función de distribución de probabilidades(FDP) de la variable X

Las principales características son:

- La media E: representa el valor esperado de la variable misma. Parauna variable aleatoria X, la media E(X) es el primer momento conrespecto al origen; es una medida de la tendencia central de ladistribución:

(x)dxfx = = E(X) X

-∫∞

∞

µ (5.30)

El estimador de la media a partir de una muestra se puede escribircomo:

x N1

=ˆi

N

1=ix ∑� (5.31)

- La varianza K2: mide la “variabilidad” de los datos, la dispersión delos mismos alrededor de la media. Es el segundo momento respecto ala media:

93

(x)dxf )-(x = = ])-E[(X X2

-

22 µσµ ∫∞

∞

(5.32)

El estimador de la varianza a partir de una muestra está dado por:

)x( 1-N

1 = ˆ 2

xi

N

1=ix

2∧

µ−σ ∑ (5.33)

- La desviación estándar K: es una medida de la variabilidad con lasmismas dimensiones que X; K es la raíz cuadrada de la varianza y su

valor estimado se denota por ∧

σ . Mientras mayor sea la desviaciónestándar, mayor es la dispersión de los datos. ( ver Figura 5.3).

- El coeficiente de variación CV: está definido por la relación de ladesviación estándar y la media, y se puede escribir como:

µσ

=CV (5.34)

cuyo estimado es x

x

ˆˆ

µσ

; es una medida adimensional de la variabilidad.

alrededor de la media.

- Asimetría: la distribución de los valores de una distribución alrededorde la media se mide por la asimetría, la cual está dada por el tercermomento alrededor de la media:

(x)dxf )-(x = ])-E[(X X3

-

3 µµ ∫∞

∞

(5.35)

94

FIGURA 5.3 Distribución de probabilidades con diferente desviaciónestándar.

La asimetría se hace adimensional dividiendo la anterior ecuación porK3 y se obtiene así, el coeficiente de asimetría ?:

])-E[(x 1

= 3

3µ

σγ (5.36)

El estimador de ? está dado por:

x3

3xi

N

1=i

x 1 2)-1)(N-(N

)�-x( N = �

∑∧ (5.37)

Como se muestra en la Figura 5..4, para ?>0, asimetría positiva, los datosse concentran a la derecha y para ?<0, asimetría negativa, los datos seconcentran a la izquierda.

95

f X ( x )

γ < 0 γ > 0

µ x

FIGURA 5.4. Distribución de Probabilidades con DiferentesCoeficientes ??

Ejemplo 5.6

En una estación pluviométrica se tienen precipitaciones promedias mensualesmultianuales de un determinado mes, cuyas frecuencias absolutas semuestran en la tabla siguiente. Encontrar la precipitación promedia mensual.

Frecuencia

Intervalo en mm Absoluta

100-110 10110-112 16120-130 9130-140 10140-150 20150-160 15160-170 20

Solución:

En total se tiene 100 valores, para cada intervalo se halla el valor medio omarca de clase y se le asigna una frecuencia relativa, la cual es la frecuencia

96

absoluta sobre el número total de valores (100). El valor medio de cadaintervalo es xi y la frecuencia relativa es fx(xi).

Se elabora entonces la tabla siguiente.

Intervaloclase (mm)

Valormedio xi

(mm)

F. absoluta F. relativa

fx(xi)

xi fx(xi)

100-110 105 10 0.1 10.5

110-120 115 16 0.16 18.4

120-130 125 9 0.09 11.25

130-140 135 10 0.1 13.5

140-150 145 20 0.2 29

150-160 155 15 0.15 23.25

160-170 165 20 0.2 33

Σ=100 Σ=138.90

Aplicando la ecuación 5.29 la media se puede expresar como:

x = ..xifx(xi)=138.9 mm.

5.5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLESALEATORIAS DISCRETAS

El uso de estas distribuciones se restringe a aquellos eventos aleatorios en loscuales el resultado puede ser descrito solamente como un éxito o como unfracaso, esto es, solo hay dos eventos mutuamente excluyentes para unexperimento. Además, los experimentos sucesivos son independientes y la

97

probabilidad permanece constante de ensayo a ensayo. Un ejemplo enhidrología sería la probabilidad de que un día sea lluvioso o seco. Ladistribuciones de este tipo más usadas en hidrología son la distribuciónbinomial y la geométrica.

5.5.1 Distribución binomial.

Consideramos como p la probabilidad de que el caudal máximo en un año enun río exceda un valor de 1800 m3/s .La probabilidad de no excederlo, q, es1-p .Supóngase que se está considerando un período de 3 años. Laprobabilidad de excedencia en el año 3 y no en los años 1 y 2 es qqp, dadoque los eventos son independientes año a año. La probabilidad deexcedencia en cualquiera de los 3 años es pqq +qpq + qqp debido a que laexcedencia pudo ocurrir en el 1o., 2o o en el 3o. año. La probabilidad deexcedencia en 3 años está dada como 3q2p. La probabilidad de dosexcedencias en 5 años es ppqqq, pqpqq1....qqqpp. Se puede ver que cadauno de estos términos es q3p2; el número de términos es igual al número deformas de arreglar dos items dentro de 5 items. Esto es (5/2) = 5x4/2 = 10 yla probabilidad de tener dos excedencias en 5 años es (5/2)q3p2

Puede generalizarse de tal manera que la probabilidad de x excedencias es naños está dada por (n/x)pxqn-x , lo que también puede expresarse así:

xnx )p1(p)!xn(!x

!n)xX(P −−

−== (5.38)

expresión conocida como distribución binomial. Los parámetros de estadistribución son:

npq

)pq(

)p1(np

np2

−=γ

−=σ=µ

(5.39)

98

Ejemplo 5.7

Como se dijo anteriormente, una creciente de Tr años de período de retornose define como aquélla que tiene una probabilidad de excedencia de 1/Tr encualquier año. Asumiendo que las máximas crecientes anuales sonindependientes, la distribución binomial permite resolver varios problemasprácticos en hidrología, así:

a) Cuál es la probabilidad de que una creciente con un período de retornode 50 años ocurra exactamente en ese período?

Aplicando la ecuación 5.38 se tiene:

37.0)50/11()501

(50

3)1X(P 491 =−==

b) Cuál es la probabilidad de que en 50 años se presenten 3 crecientesque igualen o excedan la de Tr =50 años?

Con la misma ecuación anterior se tiene:

06.0)50/11()50/1(50

3)3X(P 473 =−==

c) Cuál es la probabilidad de que una o más crecientes excedan el caudalcon 50 años de período de retorno en ese mismo tiempo?

La clave para contestar esta pregunta está en las palabras “una o más”.Como los eventos son independientes y mutuamente excluyentes, se puedeescribir:

P[una o más crecientes en 50 años] = 1 - P[no crecientes en 50 años] o loque es lo mismo:

P[una o más crecientes en 50 años]= 64050115010

501 500 .)/()/( =−−

99

5.5.2 Distribución Geométrica.

Cuando se construye una obra con un caudal de diseño determinado, es deinterés para los diseñadores conocer cuántos años pasarán antes que estecaudal de diseño sea igualado o excedido. Si p es la probabilidad deexcedencia del caudal de diseño (1/Tr) , la probabilidad de falla en el n-avoaño,P, es:

p)p1(P 1n−−= (5.40)

Esta es la llamada distribución geométrica. La media y la varianza de ladistribución geométrica son:

22

P)P1(

P1

−=σ

=µ

(5.41)

Ejemplo 5.9

El máximo nivel de la creciente anual de un río se denota por H (metros):Asumiendo que la función de densidad de probabilidad se describe como semuestra en la gráfica, determinar:

a) La altura de inundación para un período de 20 años.b) Cuál es la probabilidad de que durante los próximos 20 años la altura

hallada en el numeral anterior sea excedida al menos una vez?.c) Cuál es la probabilidad de que durante los próximos 5 años este valor sea

excedido exactamente una vez?

100

H(m)

F(H)

5 6 7

Solución:

a) El área bajo la función de densidad es 1, que equivale a P(56H67) =1.Para un caudal con un Tr de 20 años se cumple que:

05.020/1)HH(P20rT ==≥

=

lo que significa que 0.05 es un área bajo la función de densidad y:

95.005.01)HH(P20rT =−=≤

=

y se plantea la siguiente relación:

2

)95.0)(H7(05.0 20rT =

−=

Despejando el valor de H, se obtiene finalmente:

9.6H20rT =

= m

101

b) Se puede escribir la siguiente ecuación:P(HTr=20 sea excedida al menos una vez) =1 - P(HTr=20 no sea excedida)

Aplicando la ecuación 5.38 (binomial ) se puede escribir entonces:

P(HTr=20 sea excedida al menos una vez) = 64209500500

201 200 .).().( =−

O sea que P(HTr=20 sea excedida al menos una vez) = 0.642

b) Aplicando también la ecuación 5.38, se tiene:

024.0)95.0()05.0(1

5)1H(P 4.01

20Tr====

Ejemplo 5.9

Tres diques de control de inundaciones se construyen en una planicie por lacual corren dos ríos, tal como se muestra en la figura. Los diques se diseñanasí:

El dique I tiene un caudal de diseño con un período de retorno de 20 años.

El dique II tiene un caudal de diseño con un período de retorno de 10 años

El dique III tiene un caudal de diseño con un período de retorno de 25 años.

Asumir que las crecientes en los ríos A y B son estadísticamenteindependientes y que las fallas de los diques I y III también lo son.

a) Cuál es la probabilidad de inundación en un año cualquiera producidasolamente por el río A.

b) Cuál es la probabilidad de inundación de la planicie en un año?c) Cuál es la probabilidad de que no haya inundación en los próximos 4

años?

102

Solución:

a)El río A puede producir inundación en la planicie si falla el dique I o si fallael dique II, lo que se puede expresar como:

145.005.01.01.005.0)III(P

)III(P)II(P)I(P)III(P

=×−+=∪∩−+=∪

b) La probabilidad de inundación se da por el río A o por el río B, lo quepuede expresarse como:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪

P(A)=0.145, hallado en el numeral anterior y P(B) =1/25=0.04, lo queimplica que:

179.004.0145.004.0145.0)BA(P =×−+=∪

c) La probabilidad de inundación, P, en cualquier año, es 0.179, como seexplicó en el numeral anterior, y la probabilidad ,q, de no inundación seráentonces:

q =1 -P =1 - 0.179 =0.821

y la probabilidad de no inundación en 4 años será entonces:

103

P(no inundación en 4 años) =(0.821)4 =0.454

Ejemplo 5.10

Un proyecto se diseña con un caudal que tiene un período de retorno de 10años. Cuál es la probabilidad de que este caudal se presente por primera vezal quinto año de acabado el proyecto?

Solución:

Este es un ejemplo donde puede aplicarse la distribución geométrica, así:

La probabilidad de excedencia, p, para este caso es :

p =1/Tr=1/10=0.1

Entonces:

P(probabilidad de inundación 5 año)=(0.1)(1-0.1) =0.06561

5.6. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLESALEATORIAS CONTINUAS

La mayoría de las variables hidrológicas son variables aleatorias continuas.Enseguida se describen brevemente las distribuciones de probabilidades másusadas en análisis de frecuencia de estas variables.

5.6.1 La distribución Normal

La distribución Normal es una distribución simétrica en forma de campana,conocida también como Campana de Gauss. Es fundamental en el dominiode la estadística y la probabilidad. Una razón es que el teorema del límite

104

central establece que para varias condiciones muy generales, la distribuciónde la suma de un gran número de variables aleatorias puede aproximarse a laNormal, sin importar a qué distribución pertenezcan ellas mismas. Muchosprocesos físicos pueden conceptualizarse como la suma de procesosindividuales. Por otra parte, muchos procesos de inferencia estadística sebasan en suposiciones de que la variable aleatoria se distribuye normalmente.Es por ello que la Normal encuentre tantas aplicaciones en hidrología: enpruebas de hipótesis, intervalos de confianza, etc.

Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con una distribución deprobabilidades Normal si su FDP está dada como:

x2

2x

2

)x(

x

X e2

1)x(f σ

µ−−

πσ= (5.42)

Los parámetros de la distribución son dos: la media,Ex, y la desviaciónestándar Kx. La asimetría de la distribución es cero. Esta distribución tieneuna forma de campana simétrica, como se muestra en la Figura 5.5, por lotanto la media, la moda y la mediana son iguales.

Si se hace la siguiente transformación:

xx /)x( σµ−=µ

se obtiene como FDP y como función acumulada de la variable E:

µπ

π

∫∞

∞

de2

1 = (u)F

e 2

1 = u)(f

2w-

-

u

2u

-u

2

2

(5.43)

105

FIGURA 5.5 Distribución normal.

La variable u es llamada variable estandarizada, tiene media cero ydesviación estándar uno. Debido a que la variable normal estandarizada tienetodos sus parámetros conocidos, existen tablas para encontrar la funciónacumulada de esa variable. La tabla 5.1 es una de ellas.

Aunque la simetría de la distribución la hace inaplicable para valoresextremos, la distribución Normal describe el comportamiento probabilísticode los valores medios bastante bien.

La distribución normal se usa para:

- Aproximar la distribución de probabilidades de errores aleatorios .

- Comparar distribuciones: las propiedades de una muestra de variables nonormales pueden compararse con las de variables normales.

- Muchos estadísticos pueden ser normalmente distribuidos, como, porejemplo, la media de la mayoría de las variables hidrológicas.

107

5.6.1.1 Estimación de parámetros

Solo se presentará en estas notas la estimación de parámetros por el métodode los momentos, que fue desarrollado en 1902 por Karl Pearson. Elconsideró que un buen estimativo de los parámetros de una distribución deprobabilidades es aquél para el cual los momentos de la función de densidadde probabilidades son iguales a los momentos correspondientes de lamuestra.

Los estimadores de los parámetros de la distribución normal por el métodode los momentos son:

∑=

=µN

1iix

N1ˆ (5.44)

2/1N

i )ˆx(N1ˆ µ−==σ ∑ (5.45)

5.6.1.2 Factor de frecuencia

Para la distribución normal, el factor de frecuencia está dado como:

σµ-x

=K (5.46)

que es la misma variable reducida, definida por la ecuación (5.41).

La magnitud de la variable XT para un período de retorno dado T puedeencontrarse, utilizando el factor de frecuencia, con el siguienteprocedimiento:

1. )T1

1(FKT1

1)K(F 1uu −=⇒−= −

108

2. Usando el valor calculado de

−

T

11 en la tabla 5.1, se lee el valor

de x en la primera columna, que corresponde a K o F-1 E (1- 1/T)

3. Se calcula el valor buscado como:

σ+µ= ˆˆX KT

Ejemplo 5.11

Se tiene una estación con 30 años de datos de caudales medios anuales conmedia de 117 m3/s y desviación estándar de 94 m3/s. ¿Si los datos se ajustana una distribución Normal, cuál es el caudal correspondiente a un período deretorno, Tr, de 100 años?.

Solución:

En este caso se puede escribir:Fu(K) = 1 - 1/Tr = 0.99

K = Fu-1 (0.99)

Con el valor de 0.99 en la tabla 5.1, se obtiene:K = 2.326El valor asociado a Tr=100 se calcula como:Q100 = KQ Qˆˆ σ+µ = 117 + 94 x 2.326 = 335.6 m3/s

5.6.1.3 Intervalos de confianza

Cuando se desea hallar cualquier estadístico, por ejemplo la media, generalmentese dispone de una muestra de tamaño limitado. Se quiere saber qué tan cercanopuede estar ese estimado al verdadero valor desconocido de la población. Enotras palabras, se quisiera conocer con una cierta certeza (probabilidad) la franjade valores entre los cuales se encontraría el verdadero valor de la población. Siesa franja es grande, habrá mucha incertidumbre en el valor estimado de la

109

media, y si es pequeña, habrá, por el contrario, mucha confianza en ese valorestimado. Con ese fin se utilizan los llamados intervalos de confianza.

Supóngase, por ejemplo, que se desea estimar la media de la población, E.Asúmase que E1 y 2 son dos estadísticos (funciones de la muestra aleatoria) talesque: E1 < E2 y P(E1< E < E2) =�. Entonces [E1 , E2] es llamado el intervalode confianza para la media µ., � es llamado el nivel de confianza (nivel deprobabilidad) y E1 y E2 son llamados los límites de confianza inferior y superior,respectivamente. Esta definición puede extenderse al intervalo de estimación deun parámetro cualquiera o a una función del parámetro.

Se debe tener en cuenta que los intervalos de confianza y los límites de confianzason realmente variables aleatorias, ya que son funciones del tamaño de lamuestra y de estimadores a su vez, función de muestras aleatorias. Como lostamaños de la muestra varían, los intervalos de confianza cambian de unamuestra a otra. Mientras más estrecho es el intervalo de confianza, mejor es elprocedimiento de estimación.

Para el valor estimado asociado a un período de retorno cualquiera, losintervalos de confianza se calculan usando el error estándar, ST, el cual es unamedida de la desviación estándar de la magnitud de un evento calculado a partirde una muestra respecto a la verdadera magnitud del evento. Se presentaránpara todas las distribuciones, los intervalos de confianza para los diferentescuantiles de la población.

Para la distribución Normal, los límites de confianza para el verdadero valor deun cuantil asociado con un periodo de retorno T son:

SuX T-1T α± (5.47)

en donde � es el nivel de probabilidad, u1-α es el cuantil de la distribuciónNormal estandarizada para una probabilidad acumulada de 1-α y ST es el errorestándar.

110

Cada distribución tiene expresiones para hallar el error estándar, por ejemplo, elde la distribución Normal es:

( )2/K + 1N

ˆ = S 2x

T21σ

(5.48)

Ejemplo 5.12

Los caudales medios anuales de un río con media 1.5 m3/s y desviaciónestandar de 0.6 m3/s se distribuyen normalmente. ¿Cuál es la probabilidad deque se produzca un caudal medio igual o menor a 1 m3/s, en cualquier año?.

Solución:

Se tiene entonces que:

)ˆ

ˆ1(P)1X(P

σµ−≤µ=≤

Reemplazando los valores:

)83.0(P)6.0

5.11(P −≤µ=−≤µ

En la tabla 5.1, se encuentra P(EU-0.83). Considerando la simetría de ladistribución normal (ver Figura 5.6 en donde A = B), se tiene:

P(EEUU -0.83) = 1 - P(EEUU 0.83) = 1 - 0.797 = 0.203

111

FIGURA 5.6 Simetría de la distribución normal.

Ejemplo 5.13

La escorrentía anual de una pequeña cuenca se distribuye normalmente conmedia de 356 mm y desviación estándar de 76.2 mm. Determinar laprobabilidad de que la escorrentía anual sea menor que 280 mm en todos lostres siguientes años.

Solución:

)997.0(P)2.76356280

(P)280P −≤µ=−≤µ=≤

y:

1587.08413.01)997.0(P =−=−≤µ

La probabilidad de que sea menor en tres años consecutivos es:

0,1587 x 0,1587 x 0,1587 = 0,00399

5.6.2 Distribución Log Normal

Consideremos un cálculo hipotético de la escorrentía en una cuenca. Laescorrentía es el producto de varios factores aleatorios, como lluvia, área

112

contribuyente, pérdidas, coeficiente de evaporación, etc. En general, cuandola variable aleatoria X es el producto de un gran número de otras variablesaleatorias, la distribución de los logaritmos de X puede aproximarse a laNormal, ya que los logaritmos de X son la suma de los logaritmos de losfactores contribuyentes. Si se tiene una variable aleatoria X y ln X = Y seajusta a una distribución Normal, se dice que la variable aleatoria X eslognormalmente distribuida.

La función de densidad de esta distribución, si se asume que Y=loga(X),donde a es la base del logaritmo, es:

( )

σ

µπσ

-y

21

- exp 2x

1 = (x)f

2y

y2

y

X (5.49)

Ey es el parámetro de escala y Ky es el parámetro de forma.

La forma de la distribución lognormal se muestra en la Figura 5.7.

FIGURA 5.7 Distribución lognormal.

113

Se ha demostrado que la distribución lognormal puede aplicarse en un amplionúmero de eventos hidrológicos, especialmente a aquellos casos en los cualesla variable tiene un límite inferior, la distribución empírica no es simétrica ylos factores que causan los eventos son independientes y multiplicativos.

Si la variable aleatoria X tiene un límite inferior xo diferente de cero, y lavariable Z = X -xo sigue una distribución lognormal con dos parámetros,entonces X se ajusta a una distribución lognormal con tres parámetros. Lafunción de densidad de esta distribución es:

( )( )[ ]

σ

µ

σπ

-x-X ln

21

- exp x-X2

1 = (x)f

y

yo2

yoX (5.50)

donde los parámetros Ey, Ky y xo son llamados los parámetros de escala,forma y localización respectivamente.

La distribución lognormal con tres parámetros puede aplicarse a eventos convalores positivos o negativos, siempre que x≥ x0; mientras que la lognormalcon dos parámetros solo puede aplicarse a eventos con valores positivos.


Para la distribución lognormal de dos parámetros, usando el método demomentos, los parámetros se pueden estimar como:

∑=

=µN

1iiaY )X(log

N1ˆ (5.51)

[ ]21N

1i

2YiaY ˆ)X(log

N1ˆ

µ−

=σ ∑

=

(5.52)

Para la distribución lognormal de tres parámetros, xo debe también estimarse.Una manera de estimar xo requiere que el coeficiente de asimetría sea

114

positivo. En este método, el segundo momento de Z = X - xo no depende dex0, esto es, K²z = K²x y Ez = Ex - x0, entonces el límite inferior xo se puedeexpresar como:

µ CvCv-1 = x

z

xx0 (5.53)

Donde:

z

zz

x

xx

Cv

Cv

µσ=

µσ=

(5.54)

Donde:( )

( )[ ] 0 ; 4 + ˆ + ˆ- 21

= w

ww-1

= Cv

x2x

1/2

x

1/3

2/3

z

>γγγ(5.55)

en donde ?x es el coeficiente de asimetría de x.

Los parámetros de la distribución lognormal de dos parámetros tambiénpueden estimarse con base en las relaciones entre los parámetros de lavariable transformada µY y σY y los parámetros de la variable original µX yσX, dadas como:

( ) 2YXaY 2

1log σ−µ=µ (5.56)

21

2X

2X

aY 1log

µσ+=σ (5.57)

115

En este caso, se estiman µX y σX con los datos originales, y con lasecuaciones anteriores se estiman µY y σY los parámetros de la distribuciónlognormal.

Ejemplo 5.14

Los caudales medios de un río en una estación hidrométrica han sidomodelados con las siguientes distribuciones:a) Normal con parámetros E = 256.7 m3/s y K= 191 m3/sb) Lognormal con parámetros Ey = 5.228 y Ky = 0.84

Calcular la probabilidad de que el caudal medio esté entre 300 y 400 m3/s

Solución:

a) Si se usa la Normal se tiene:

P(30066Q66400)= FX(400)-FX(300)

Si se usa la variable estandarizada E, se tiene entonces que:

P(300UUQUU400)= FEE

−−

x

xu

x

x

1

�300F

1

�-400

= Fu (u400) - Fu (u300)donde:

u300 = (300 - 256.7)/191 = 0.2267

con este valor, se va a la tabla 5.1 y se encuentra que Fx (0.2267) = 0.5871yu400 = (400 - 256.7)/191 = 0.75

de la tabla 5.1, se tiene: Fx (0.75) = 0.7734lo que implica que:

116

P(300UUQUU400)=0.7734 - 0.5871=0.1863

b) Si se usa la distribución lognormal:

P(300UUQUU400)=FY(ln(400))-FY(ln(300))

=( ) ( )

σ

µ−−

σ

µ−

Y

Yu

Y

Yu

300lnF

400lnF

y:ln(300) = 5.704ln(400) = 5.99

se tiene entonces que:FEE(EE5.99 ) = (5.99 - 5.228)/0.84 = 0.91de la tabla 5.1 se tiene que FEE(0.91) = 0.8186FEE(EE5.704 )= (5.704 - 5.228)/0.84 = 0.564de la tabla 5.1 se obtiene F(0.564) = 0.7123se encuentra finalmente:

P(300 UU Q UU 400) = 0.8186 - 0.7123 = 0.106

Este ejemplo se puede resolver también calculando EY y KY a partir de Ex yKx con las ecuaciones 5.56 y 5.57.


Se utiliza el mismo factor de frecuencia que en la distribución Normal,excepto que este se aplica a los logaritmos de la variable y la ecuación, paraun cuantil cualquiera XT queda:

( ) σµ yyT K+=Xln (5.58)

en donde K FTu= −

−1 11

117

Si se quiere trabajar con la variable no transformada al campo logarítmico setiene que:

( )( ) ( )

Cv

1-2

Cv+1ln-Cv+1lnKexp

= K

22 1/2

T

(5.59)

donde:

T

1-1F=K

ru

-1T (5.60)

FTu

− −

1 11 es el inverso de la función de distribución Normal estandarizada

acumulada y Cv es el coeficiente de variación


En el campo transformado, los límites están dados por los de la distribuciónNormal como:

( ) SXln T2-1T u α± (5.61)

en donde:

N=S Y

Tσδ (5.62)

y

δ2

K+1=2T

1/2

(5.63)

118

Ejemplo 5.15

Se tiene un río con caudales máximos anuales lognormalmente distribuidos,con xµ =15 m3/s y xσ =5 m3/s; se da también Yµ =2.6554 y Yσ =0.3246.

Encontrar el caudal para un período de retorno de 100 años. ¿Si se tiene unperíodo de retorno de 30 años de registro, cuáles son los límites de confianzapara un � de 10%?.

Solución:

El coeficiente de variación se calcula como:

0.33=155

=ˆˆ

=vCx

x

µσ

Para hallar KT, se procede así:

0.99=1001

-1=T

1-1=)(KF

ITu

De la tabla 5.1:33.2)99.0(FK 1

T == −µ

El valor de K se puede calcular usando la ecuación (5.59) como:

( )( ) ( )

0.333

1-2

330.+1ln-330.+1ln2.33exp

= K

22 1/2

K= 3.028El valor asociado a un período de retorno de 100 años será:

XT = 15 + 5 x 3.028 = 30.14 m3/s

119

Los límites de confianza se hallan así en el campo transformado:( ) SuXln T2-1T α±

Se calcula primero δ con la ecuación (5.63) y luego ST con la ecuación(5.60), el resultado es:

1.93=2

2.33+1=2 1/2

δ

0.11=30

0.3246*1.93=ST

De la tabla 5.1, se lee: E1-�=E0.95=1.64

Por lo tanto:ln (30.28) ± 1.64 * 0.11 = 3.41 ± 0.1875 = [3.2225, 3.5975] = [e3.2225, e3.5975] = [25.091, 36.5]

5.6.3 Distribución Gumbel

Una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuenciahidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sidoampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes ysequías. A partir de la distribución general de valores extremos, se puedenderivar tres tipos de distribuciones: la tipo I, comúnmente conocida comoGumbel, la tipo II y la tipo III, llamada también Weibull.

Ellas difieren entre sí por el valor del parámetro de forma. La expresióngeneral de la función de densidad de probabilidades para la distribuciónextrema tipo I o Gumbel es:

120

αβ

αβ

α-x

-exp--x

-exp1

=(x)f X (5.64)

En donde α y βson los parámetros de la distribución. La distribución Gumbeltiene la forma mostrada en la figura 5.8.


Por el método de momentos, los estimadores de los parámetros son:

σπ

α ˆ6

=ˆ (5.65)

αµβ ˆ57720.-=ˆ (5.66)

donde E y K son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra.


El factor de frecuencia para la distribución Gumbel es:

( )[ ]{ }1-Tln-Tlnln+0.5776

-=K rrπ(5.67)

donde TI es el período de retorno.


Los límites de confianza por el método de momentos para un nivel deprobabilidad � son:

SuX T2-1T α± (5.68)

121

FIGURA 5.8 Distribución Gumbel

N=ST

σδ (5.69)

[ ]K1.1+1.1396K+1= 2 1/2δ (5.70)

K es el factor de frecuencia de la distribución, dado por la ecuación 5.67.

5.6.4 Distribución Gamma

Esta distribución ha sido una de las más usadas en hidrología. Como lamayoría de las variables hidrológicas son sesgadas, la función Gamma seutiliza para ajustar la distribución de frecuencia de variables tales comocrecientes máximas anuales, caudales mínimos, volúmenes de flujo anuales yestacionales, valores de precipitaciones extremas y volúmenes de lluvia decorta duración. La función de distribución Gamma tiene dos o tresparámetros. La última función es llamada también Distribución Pearson tipoIII. La distribución Gamma está relacionada con otras distribuciones muyconocidas como las distribuciones Chi-cuadrado y la exponencial negativa,que son casos particulares de la distribución Gamma.

122

La distribución Gamma de dos parámetros tiene una función de densidad deprobabilidades de la forma:

ex

)(||1

=(x)fx

-

-1

Xα

αβΓα

β

(5.71)

Donde:

0 U x < para � > 0-� < x U� para � < 0

� y : son los parámetros de escala y forma, respectivamente, y "(:) es lafunción Gamma completa.

El parámetro : siempre es mayor que cero, mientras que � puede serpositivo o negativo. La función Gamma completa está dada por:

dzez=)( z--1

0

β∞

∫βΓ (5.72)

La distribución Gamma de tres parámetros tiene la siguiente función dedensidad de probabilidades:

α

αβΓα

βx-x

-expx-x)(||

1=(x)f oo

-1

X (5.73)

Donde:xo U x < � para � > 0-� < x U xo para � < 0

� y : son los parámetros de escala y forma, respectivamente, y xo es elparámetro de localización.

123

La Figura 5.9 muestra formas de la función de densidad de probabilidadesGamma para � > 0.


Para la distribución Gamma de dos parámetros, usando el método de losmomentos, se tienen las siguientes expresiones (para sus parámetros).

αβµ = (5.74)

βασ 22 = (5.75)

FIGURA 5.9 Distribución Gamma.( Varas, Bois, 1998)

Los estimadores de los parámetros, por el método de momentos, son lossiguientes:

βµ=α

β

ˆˆ

ˆ

C

1=ˆ

2v (5.76)

124

� ��µ σ, y C

v son la media, desviación estándar y coeficiente de variación

calculados con la muestra, respectivamente.

Para la distribución Gamma con tres parámetros o Pearson tipo III, losparámetros, por el método de momentos, pueden estimarse por:

2

ˆ2

=ˆ

γ

β (5.77)

2

ˆˆ=ˆ γσα (5.78)

βα−µ ˆˆˆ=X0 (5.79)�γ es el coeficiente de asimetría calculado usando la muestra.


Si se define:

T

1-1F=K

ruT (5.80)

el factor de frecuencia K tiene la siguiente forma:

γ

γ−−

γ−γ−≈

6

ˆK+

6

ˆ1)(K

6

ˆ)6KK(

31

+6

ˆ1)(K+KK

4

T

32

T

2

TT32

tT (5.81)

125

Para la distribución Pearson tipo III o Gamma de 3 parámetros, existentablas, como la 5.2, que dan el factor de frecuencia en función del coeficientede asimetría calculado con la muestra.


Si se tiene que:SuX T21T α−±

NST

σδ= (5.82)

<=<(?,Tr) y está tabulado para la Gamma de dos parámetros y para laPearson tipo III. La tabla 5.3 da valores de <, para hallar el intervalo deconfianza de la distribución Pearson tipo III.

5.6.5 Distribución log Pearson Tipo III

Si los logaritmos de la variable aleatoria X se ajustan a una distribuciónPearson Tipo III, se dice que la variable aleatoria X se ajusta a unadistribución Log Pearson Tipo III. Esta distribución es ampliamente usadaen el mundo para el análisis de frecuencia de caudales máximos. Su funciónde densidad está dada por:

e y-(x)ln

)( x 1

=(x)oy -(x)ln

-o

-1

α

β

αβΓαxf (5.83)

donde � es el parámetro de escala, : es el parámetro de forma y yo elparámetro de localización.

126

TABLA 5.2. VALORES DE K T PARA LA DISTRIBUCIÓNPEARSON III (ASIMETRÍA POSITIVA)

Coeficiente Probabilidad de Excedencia

de Asimetría 0.500 0.200 0.100 0.040 0.020 0.010 0.005

3.0 -0.396 0.420 1.180 2.278 3.152 4.051 4.970

2.9 -0.390 0.440 1.195 2.277 3.134 4.013 4.909

2.8 -0.384 0.460 1.210 2.275 3.114 3.973 4.847

2.7 -0.376 0.479 1.224 2.272 3.093 3.932 4.783

2.6 -0.368 0.499 1.238 2.267 3.071 3.889 4.718

2.5 -0.360 0.518 1.250 2.262 3.048 3.845 4.652

2.4 -0.351 0.537 1.262 2.256 3.023 3.800 4.584

2.3 -0.341 0.555 1.274 2.248 2.997 3.753 4.515

2.2 -0.330 0.574 1.284 2.240 2.970 3.705 4.444

2.1 -0.319 0.592 1.294 2.230 2.942 3.656 4.372

2.0 -0.307 0.609 1.302 2.219 2.912 3.605 4.298

1.9 -0.294 0.627 1.310 2.207 2.881 3.553 4.223

1.8 -0.282 0.643 1.318 2.193 2.848 3.499 4.147

1.7 -0.268 0.660 1.324 2.179 2.815 3.444 4.069

1.6 -0.254 0.675 1.329 2.163 2.780 3.388 3.990

1.5 -0.240 0.690 1.333 2.146 2.743 3.330 3.910

1.4 -0.225 0.705 1.337 2.128 2.706 3.271 3.828

1.3 -0.210 0.719 1.339 2.108 2.666 3.211 3.745

1.2 -0.195 0.732 1.340 2.087 2.626 3.149 3.661

1.1 -0.180 0.745 1.341 2.066 2.585 3.087 3.575

1.0 -0.164 0.758 1.340 2.043 2.542 3.022 3.489

0.9 -0.148 0.769 1.339 2.018 2.498 2.957 3.401

0.8 -0.132 0.780 1.336 1.993 2.453 2.891 3.312

0.7 -0.116 0.790 1.333 1.967 2.407 2.824 3.223

0.6 -0.099 0.800 1.328 1.939 2.359 2.755 3.132

0.5 -0.083 0.808 1.323 1.910 2.311 2.686 3.041

0.4 -0.066 0.816 1.317 1.880 2.261 2.615 2.949

0.3 -0.050 0.824 1.309 1.849 2.211 2.544 2.856

0.2 -0.033 0.830 1.301 1.818 2.159 2.472 2.763

0.1 -0.017 0.836 1.292 1.785 2.107 2.400 2.670

0.0 0.000 0.842 1.282 1.751 2.054 2.326 2.576

127

FIGURA 5.10 Distribución Log-Pearson Tipo III. (Salas, 1992).

5.6.5.1 Estimación de Parámetros

Los estimadores de los parámetros por el método de los momentos son:2

yˆ2ˆ

γ

=β

2

ˆˆ=ˆ y

y

γσα

βα−µ= ˆˆˆy y0

(5.84)

Donde yy σµ ˆ,ˆ y γ son la media, desviación estándar y coeficiente de

asimetría calculados usando los logaritmos de los datos, respectivamente.


Si se cumple que Y= ln X, se tiene que:

128

σµ ˆK+ˆ=Xln=Y yyTT (5.85)

En donde µY y σy son la media y desviación estándar de los logaritmos de X,y K se obtiene de la tabla 5.2.

TABLA 5.3 VALORES DE << PARA LA DISTRIBUCION PEARSONTIPO III

? Tr=2 Tr=5 Tr=10 Tr=20 Tr=50 Tr=1000.0 1.0801 1.1698 1.3748 1.6845 2.1988 2.63630.1 1.0808 1.2006 1.4367 1.7810 2.3425 2.81680.2 1.0830 1.2309 1.4989 1.8815 2.4986 3.01750.3 1.0866 1.2609 1.5610 1.9852 2.6656 3.23650.4 1.0913 1.2905 1.6227 2.0915 2.8423 3.47240.5 1.0987 1.3199 1.6838 2.1998 3.0277 3.72380.6 1.1073 1.3492 1.7441 2.3094 3.2209 3.98950.7 1.1179 1.3785 1.8032 2.4198 3.1208 4.26840.8 1.1304 1.4082 1.8609 2.5303 3.6266 4.55950.9 1.1449 1.4385 1.9170 2.6403 3.8374 4.86181.0 1.1614 1.4699 1.9714 2.7492 4.0522 5.17411.1 1.1799 1.5030 2.0240 2.8564 4.2699 5.49521.2 1.2003 1.5382 2.0747 2.9613 4.4996 5.82401.3 1.2223 1.5764 2.1237 3.0631 4.7100 6.15921.4 1.2157 1.6181 2.1711 3.1615 4.9301 6.49921.5 1.2701 1.6643 2.2173 3.2557 5.1486 6.84271.6 1.2952 1.7157 2.2627 3.3455 5.3644 7.18811.7 1.3204 1.7732 2.3081 3.4303 5.5761 7.53391.8 1.3452 1.8374 2.3541 3.5100 5.7827 7.87831.9 1.3690 1.9091 2.4018 3.5844 5.9829 8.21962.0 1.3913 1.9888 2.4525 3.6536 6.1755 8.5562


Se utiliza la tabla 5.3 para hallar valores del parámetro < y se cumple que:

129

N

ˆ=S

yT

σδ (5.86)

Los límite de confianza se pueden expresar como:

T2/1T SXln α−µ± (5.87)

5.7 ANÁLISIS DE FRECUENCIA

El análisis de frecuencia puede hacerse de dos maneras: usando los llamadosfactores de frecuencia o hallando la distribución empírica de los datosmuestrales, por el método de "Plotting position" o posición de graficación.Como regla general, el análisis de frecuencia no debe realizarse para períodoscortos, menores de 10 años de registros.

A continuación se describe brevemente los dos procedimientos propuestospara realizar el análisis de frecuencia.

5.7.1 Posición de graficación o"Plotting Position"

La posición de graficación o” plotting posittion" trabaja con la probabilidadde excedencia asignada a cada valor de la muestra. Para determinar ésta, sehan propuesto numerosos métodos empíricos. Si n es el número total devalores y m es el rango de un valor en una lista ordenada de mayor a menor(m = 1 para el valor máximo y m=n para el menor valor), la probabilidad deexcedencia se puede obtener por medio de las siguientes expresiones:

California:

nm

= P (5.88)

130

Weibull :

1nm

P+

= (5.89)

Hazen:

n 21 - m 2

= P (5.90)

La expresión acumulada de probabilidades más usada es la de Weibull. Conlas anteriores ecuaciones, se halla la que se conoce como distribuciónempírica de una muestra. Luego se puede hacer un análisis para ajustar a ladistribución empírica una de las distribuciones teóricas vistas anteriormente.La distribución acumulada de una variable puede ser representadagráficamente en un papel de probabilidad diseñado para la distribución. Eneste papel, las ordenadas representan el valor de x en una cierta escala y lasabscisas representan la probabilidad de P(X >x) o P(X< x), el período deretorno o la variable reducida. Las escalas de las ordenadas y las abcisas sondiseñadas de tal manera que cuando una muestra es de una población con esadistribución, la gráfica debe ajustarse a una línea recta. El propósito de estepapel es "linealizar" las relaciones de probabilidad para que los datos puedanser fácilmente dibujados y usados en extrapolación o propósitos decomparación. Se puede observar en las páginas siguientes los papeles deprobabilidad correspondientes a las distribuciones Gumbel y Log-Normal.

5.7.2 Factores de frecuencia

Ven te Chow propuso que toda muestra se puede ajustar a una expresióncomo la siguiente:

σµ ˆ K+ ˆ= X (5.91)

útil para el análisis de frecuencia hidrológico, donde K es el factor defrecuencia, �µ es la media estimada y �σ es la desviación estándar estimada. Cada distribución tiene su factor de frecuencia como se vio anteriormente.

133

5.8 BONDAD DE AJUSTE DE UNA DISTRIBUCION DEPROBABILIDADES

En los numerales anteriores, se ha descrito el uso de varias distribuciones deprobabilidad para estimar eventos con períodos de retorno mayores que losde los eventos históricos. Surge entonces el interrogante de cuál de estasdistribuciones se debe utilizar para una muestra particular. No hay unacuerdo entre los hidrólogos acerca de cuál de las distribuciones debe usarse. Las pruebas para comprobar la bondad del ajuste son necesarias, pero noson suficientes para aceptar una distribución. Tal vez las dos pruebas debondad de ajuste más utilizadas en hidrología son la Chi - Cuadrada y laSmirnov - Kolmogorov.Con estas pruebas se escogería con la muestra, ladistribución de probabilidades que representa el comportamientoprobabilístico de la población. Una prueba adicional puede hacersecalculando la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valoresobservados y los calculados.

Aunque los procedimientos estadísticos no pueden por sí solos determinar lamejor distribución de frecuencia, si pueden suministrar argumentos paraescoger la distribución más adecuada.

Por ejemplo, las distribuciones Pearson tipo III y Log-Pearson tipo IIIrequieren la estimación del coeficiente de asimetría de datos muestrales. Estopuede ser una razón suficiente para preferir cualquier otra distribución, yaque este parámetro tiene un comportamiento muy sesgado, por lo cual senecesitaría una gran cantidad de registros para tener un estimado más omenos confiable, y dichos registros no se consiguen fácilmente en nuestromedio. Por otra parte, las distribuciones de dos parámetros tienen un valorfijo o ignoran la asimetría de la población, lo cual tampoco es conveniente.

En resumen, no hay un procedimiento único para escoger la mejordistribución. Las pruebas estadísticas ayudan; el ajuste gráfico también puedecontribuir; en definitiva, prima el juicio de quien esté haciendo el análisis.

134

5.8.1 Prueba Smirnov - Kolmogorov

El estadístico Smirnov - Kolmogorov, D, considera la máxima desviación dela función de distribución de probabilidades empírica de la muestra, FE(x),de la función de distribución de probabilidades teórica, escogida , Fx (x), talque:

|(x)F-FE(x)|Max=D xn (5.92)

La prueba requiere que el valor Dn calculado con la expresión anterior seamenor que el valor tabulado Dn para el nivel de probabilidad requerido.

Esta prueba es fácil de realizar y comprende las siguientes etapas:- El estadístico Dn es la máxima diferencia entre la función de

distribución acumulada empírica de la muestra y la función dedistribución acumulada teórica escogida.Se fija el nivel deprobabilidad. Valores como 0.05 y 0.01 son los más usuales.

- El valor crítico Da de la prueba debe ser obtenido de tablas como latabla 5.4. Este estadístico es función de α y n.

- Si el valor calculado Dn es mayor que Da, la hipótesis de que ladistribución teórica escogida se ajusta adecuadamente alcomportamiento probabilístico de la población debe rechazarse, deotra manera, se acepta esta hipótesis.

5.8.2 Prueba Chi Cuadrado

La prueba Chi-cauadrado se usa también para determinar el grado de ajustede una distribución de probabilidades teórica a una distribución empírica.

Supongase que en una muestra se tengan una serie de posibles eventos E1,E2, ....Ek que ocurren con frecuencias observadas de O1, O2, .....Ok. Si setiene una distribución teórica de probabilidades se espera que esos eventosocurran con frecuencias e1, e2,....ek

135

TABLA 5.4 VALORES DE Dn

N ��=0.20 ��=0.10 ��=0.05 ��=0.015 0.45 0.51 0.56 0.6710 0.32 0.37 0.41 0.4915 0.27 0.30 0.34 0.4020 0.23 0.26 0.29 0.3625 0.21 0.24 0.27 0.3230 0.19 0.22 0.24 0.2935 0.18 0.20 0.23 0.2740 0.17 0.19 0.21 0.2545 0.16 0.18 0.20 0.2450 0.15 0.17 0.19 0.23

N�50

N

071.

N

221.

N

361.

N

631.

Se está interesado en conocer como difieren las frecuencias observadas delas frecuencias esperadas (halladas con una distribución teórica deprobabilidades). Una medida de la discrepancia entre frecuencias observadasy calculadas está dada por el estadístico P2 así:

∑=

−=χk

1i i

2ii2

e)eO(

(5.93)

donde:

∑∑ = ii eO

Si P2 =0, significa que las distribucion teórica y empírica ajustanexactamente, mientras que si P2�0, ellas difieren. La distribución de lavariable P2 se puede asimilar a una distribución Chi-cuadrado con (k-n-1)grados de libertad, donde k es el número de intervalos y n es el número deparámetros de la distribución teórica. La función P2 está tabulada en muchostextos de estadística.Supóngase que la hipótesis Ho es aceptar que unadistribución empírica se ajusta a una distribución Normal. Si el valor

136

calculado de P2 por la ecuación 5.89 es mayor que algún valor crítico de P2

,con niveles de significancia �de 0.05 o 0.01 ( el nivel de confianza se definecomo 1-�, siendo frecuentemente utilizados niveles de confianza del 95%),se puede decir que las frecuencias observadas difieren significativamente delas frecuencias esperadas y entonces la hipótesis Ho se rechaza (para esosniveles de significancia). Si ocurre lo contrario, entonces se acepta. Esteprocedimiento es llamado la prueba de hipótesis Chi- cuadrado.

Ejemplo 5.16

Se tienen los valores de temperatura mensual de una ciudad, mostrados en latabla 5.5 . Se supone que estas temperaturas se ajustan a una distribuciónNormal. Usando la prueba Smirnov-Kolmogorov, verificar la validez de estahipótesis.

Solución:

La media de la muestra es 76.4°F y la desviación estándar es 3.1 °F. Se fijandos hipótesis: una hipótesis Ho estipula que la variable X es normalmentedistribuida con los valores de la media y desviación estándar calculadosanteriormente y la otra hipótesis alternativa, Ha, es lo contrario de ésta.

Se puede fijar un intervalo de 1 °F y se hace la tabla 5.6 donde FE(T) es lafrecuencia acumulada de la muestra, fT (t) es la frecuencia, FE(t)N es ladistribución de probabilidades acumulada empírica y FT(t) es la distribuciónde probabilidades acumulada Normal (se halla utilizando el concepto devariable reducida u y usando la tabla 5.1)

El mayor valor Dn es 0.0758. El valor Da obtenido de la tabla 5.5 para un �

del 90% es igual a 0.1963, lo cual significa que la hipótesis Ho puedeaceptarse.

137

TABLA 5.5 Temperaturas en F��

Año Junio Julio Agosto

1944 77 77 77

1945 72 76 76

1946 76 78 74

1947 74 74 83

1948 78 80 76

1949 75 79 74

1950 75 73 70

1951 73 78 78

1952 82 81 77

1953 79 80 78

1954 78 83 80

1955 69 80 79

1956 74 77 77

1957 75 76 74

1958 72 76 74

1959 72 75 76

138

TABLA 5.6 Distribuciones de probabilidades empírica yNormal para la temperatura.

T fT(t) FE(t) FE(t)N FT(t) FE(t)N -FT(t)

68 0 0 0 0.0035 0.0045

69 1 1 0.0208 0.0084 0.0124

70 1 2 0.0417 0.0197 0.022

71 0 2 0.0417 0.0409 0.0008

72 3 5 0.1042 0.0778 0.0264

73 2 7 0.1458 0.1357 0.0101

74 7 14 0.2917 0.2206 0.0711

75 4 18 0.3750 0.3264 0.0486

76 7 25 0.5208 0.488 0.0328

77 6 31 0.6458 0.5753 0.0705

78 6 37 0.7708 0.6950 0.0758

79 3 40 0.83333 0.7995 0.0338

80 4 44 0.9167 0.8770 0.0397

81 1 45 0.9375 0.9306 0.0069

Ejemplo 5.17

Se tienen los caudales máximos instantáneos de la estación RP-3 en el RíoMurrí, en el departamento de Antioquia. Se desea encontrar el caudal de unperíodo de retorno de 50 años hallado con las distribuciones Gumbel,Lognormal de dos parámetros y Log Pearson tipo III.

139

Año Q m3/s

1978 3239.01979 3431.71980 4577.91981 3612.01982 4151.81983 1949.01984 2342.91985 1345.01986 1862.21987 1652.81988 4220.01989 4958.41990 2664.91991 1392.7

Solución

Distribución Gumbel

Aplicando la ecuación de Ven Te Chow se tiene que:σ+µ== ˆKˆQ 50Tr

y: 2.2957ˆ =µ m3/s

58.1234ˆ =σ m3/s

De la ecuación 5.67 se halla el factor de frecuencia K=2.5924

Se tiene entonces que:QTr=50=6158 m3/s

140

Aplicando la ecuación 5.68 y 5.69 para hallar el error estandar, ST se obtieneque:

ST=1111.458 m3/s

Para �=0.05 se obtiene de la tabla 5.1 que T0.95=1.645 y aplicando laecuación 5.70 para los intervalos de confianza se obtiene finalmente que:

(4329.37 UUQTr=50=6158UU7986.07)

Distribución Log-Normal

Con los logaritmos de los valores de caudales máximos instantáneos seobtiene que:

4504.0ˆ

903.7ˆ

y

y

=σ

=µ

Aplicando la ecuación 5.59 para hallar el factor de frecuencia K y utilizandola tabla 5.1 se halla:K=2.055De la ecuación 5.58:

ln QTr=50=8.8286y sacando el antilogaritmo :

QTr=50=6827 m3/s

Con las ecuaciones 5.62 y 5.63 se obtiene un error estandar ST=0.2123

Para un �=0.05 se obtiene de la tabla 5.1 T0.95=1.64. Finalmente :

(4814.4UUQTr=50=6827UU9679.84)

Distribución Pearson Tipo III

141

Se tiene que:

1702.0ˆ6.1234ˆ2.2957ˆ

=γ=σ=µ

De la tabla 5.2 se obtiene el valor del factor de frecuencia K:

K=2.144

y aplicando la ecuación de Ven TE Chow:

QTr=50=5604 m3/s

Con la ecuación 5.82 y con la tabla 5.3 se obtiene un error estandarST=809.05 y los intervalos de confianza para �=0.05 son entonces:

(4273UUQTr=50=5604UU6934.9)

ingenieria-civil09.blogspot.com) hidrologia - probabilidad(2)

Documents

Transcript of ingenieria-civil09.blogspot.com) hidrologia - probabilidad(2)