Ingenieria de Control

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n enlerla e In rl

w. Bolton

2a. Edicin

A.Alfaomega

Traduccin al espaol: [ng. Francisco Jos Rodrguez Ramrez Ingeniero Mecnico Electricista, Facultad de Ingeniera, U;\lAM Coordinador del Departamento de Dinmica de Sistemas Fsicos Miembro de la Asociacin Mexicana de Control Automtico,

Al cuidado de la edicin: Francisco Ja}'ier Rodrguez Cruz Ma. del Carmen Solano del Moral

Produccin: Guillermo Gonzlez Dorantes

Diagral11acin electrnica: Edimac

Versin en espaol de la obra titulada en ingls: C01ltrol Engil1eerng, 2a. ed. por William Bolton, publicada originalrnente por Addison Wesley Longman Limited

2001 ALFAOMEGA GRUPO EDITOR, S.A. de C.V. Pitgoras 1139. Col. Del Valle. 03100, Mxico, D. F.

Miembro ele la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro No, 2317

In ternet: http://www.alfaol11ega.col11.l11X EmaiI: ventasl @alfaol11ega.col11.l11X

Derechos reservados. Esta obra es propiedad intelectual de su autor y los derechos de publicacin en lengua espaola han sido legalmente transferidos al editor. Prohibida su reproduccin parcial o total por cualquier medio sin permiso por escrito del propietario de los derechos del copyright.

ISBN 970-15-0636-7

ISB;\l 0-582-32773-3, versin original de Addison Wesley Longman Limted

Impreso en Mxico - Printed in Mexico

ISBN 970-15-0636-

~ 9 789701 506363

Contenido

Prefacio XI

Sistemas de control .1 Introduccin Sistemas 1 Modelos 3 Sistemas en lazo abierto y cerrado 4 Elementos bsicos de un sistema en lazo abierto 6 Elementos bsicos de un sistema en lazo cerrado 8 Ejemplos de sistemas de control en lazo cerrado 11 Estrategias de control 15 Control digital 17 Modelos matemticos para sistemas 18 Modelos matemticos para sistemas en lazo abierto 20

l Modelos matemticos para sistemas en lazo cerrado 21 \ e ,t)J 0-" Modelos matemticos para sistemas en lazo c,. oh l celTado con elementos mltiples 23 :&1/ r \ Error en estado estable 24 ~~ Efectos de las perturbaciones 27

Sensibilidad a cambios en los componentes 30 Estabilidad de los sistemas de control 31 Lazo cerrado contra lazo abierto 33 Problemas 33

2 Modelos de sistemas J Introduccin 36 Bloques funcionales de sistemas mecnicos 36 Formacin de un modelo para un sistema mecnico 40 Bloques funcionales de sistemas elctricos 43 Formacin de un modelo para un sistema elctrico 45 Analogas elctricas y mecnicas 51 Bloques funcionales de sistemas fludicos 54 Formacin de un modelo para un sistema fludico 59 Bloques funcionales de sistemas trmicos 63

, .

7 El error en estado estable

8 Polos, ceros y estabilidad

9 Anlisis del lugar geomtrico de las races

10 Controladores

Bloques con lazos de realimentacin Bloques en serie y con un lazo de realimentacin Bloques en paralelo Simplificacin de diagramas de bloques Entradas mltiples Ejemplos de sistemas Problemas

Introduccin Error en estado estable Clasificacin de sistemas Error en estado estable para una entrada escaln Error en estado estable para una entrada rampa Error en estado estable para una entrada parablica Errores en estado estable para diferentes entradas Enor en estado estable debido a perturbaciones Problemas

Introduccin Defininiendo la estabilidad Polos y ceros Patrn de polos y ceros Estabilidad y polos El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Estabilidad relativa Problemas

Introduccin

Contenido vii

147 148 149 152 155 158 164

167 167 169 170 172 174 176 178 180

182 182 183 186 187 190 196 198

200 Lugares geomtricos de las races de sistemas de primer orden 200 Lugares geomtricos de las races de sistemas de segundo orden 202 Lugares geomtricos de las races de sistemas en lazo cerrado 204 Representacin polar de nmeros complejos 206 Construccin de lugares geomtricos de las races 207 Interpretacin de los diagramas del lugar geomtrico de

las races 215 Problemas 223

Introduccin Control proporcional Control integral Control proporcional integral Control derivativo Control proporcional derivativo ControlPID

225 225 227 229 232 233 234

/

viii Contenido

11 Respuesta en frecuencia

" j

12 Equipo bsico de un sistema de control

13 Control de procesos discretos

14 Control digital directo

15 La transformada z

Ajuste de las ganancias del controlador Realimentacin de velocidad Compensacin Implantacin de las leyes de control Problemas

Introduccin Respuesta en frecuencia

236 239 242 244 249

252 252

Funcin de transferencia 252 Respuesta en frecuencia de un sistem~ de primer orden 256 Respuesta en frecuencia para un sistema de segundo orden 257 Respuesta en frecuencia a partir del patrn de polos y ceros 258 Respuesta en frecuencia para elementos en serie 260 Trazas de Bode 261 Especificaciones de desempeo 272 Uso de datos experimentales de la respuesta en frecuencia 273 Diseo mediante compensacin 275 Diagramas de Nyquist 276 Criterio de estabilidad de Nyquist 281 Margen de ganancia y margen de fase 282 Problemas 285

Introduccin Elementos de medicin

288 288

Elementos elctricos de correccin 297 Elementos de correccin electroneumticos o hidrulicos 300 Ejemplos de sistemas de control 303 Problemas 307

Introduccin Procesos discretos Secuenciado mediante cilindros neumticos Microprocesadores como controladores Controladores lgicos programables Programacin de PLC Problemas

Introduccin Computadoras en control Ejemplos de control digital directo Problemas

Introduccin Sistemas de datos muestreados

309 309 313 318 318 321 327

329 329 332 334

335 335

Apndice: MATlAS

Procesamiento de seales en tiempo discreto Retn de orden cero La transfonnada z Uso de la transfonnada z Transformada z inversa Funcin de transferencia pulso Sistemas de datos muestreados Conversin de las leyes de control analgicas Implementacin de un algoritmo Periodo de muestreo Estabilidad Pruebas para la estabilidad Respuesta en frecuencia Problemas

Introduccin Inicio y terminacin de sesin

. Ingreso de comandos Ayuda Matrices Operaciones aritmticas Funciones matemticas Operaciones con matrices Archivo de funcin Graficacin Ejemplos de control Diagramas de bloques SIMULINK

Respuestas a los problemas

ndice

Contenido ix

338 341 342 345 349 352 354 358 359 360 361 365 368 370

374 374 374 375 375 376 377 377 377 378 379 381 382

384

395

---. ---_._ .. ~--------------_ .... ~'-

Panorama

Cambios respecto a la primera edicin

Estructura del libro

Prefacio

El libro aspira a proporcionar la base conceptual de los principios de la ingeniera de control, suponiendo una destreza bsica en lgebra y clculo. Se ha visto que, en particular, es adecuado para estudiantes de escuelas tecnolgicas y de ingeniera como una introduccin al anlisis de sistemas de control.

El texto tiene por objetivo desarrollar los principios bsicos de la ingeniera de control y la capacidad del lector para solucionar pro-blemas y hacer frente a trabajos de ingeniera de control. Se ha procurado una aproximacin a las matemticas de la ingeniera de control de manera "comprensiva" para el lector que pudiera no con-siderar las matemticas como su tema favorito. Sin embargo, no se ha sacrificado el rigorismo matemtico. Cada captulo incluye ejcm-plos resueltos y problemas, proporcionando la solucin de todos.

Se han incluido captulos sobre equipo para sistemas de control, control de procesos discretos y control digital; el captulo de la trans-formada z se reescribi. El objetivo de estos cambios es proporcio-nar un contenido ms prctico y fortalecer la parte del texto dedicada a procesos discretos y control digital. Ahora se incluye un detallado apndice sobre el uso de MA TLAB.

Existen varias rutas que se pueden seguir a travs del libro. El si-guiente mapa indica la estructura global del texto.

xii Prefacio

Modelos

Captulo 2 Modelos de sistemas

Captulo 1 Introduccin y revisin de principios bsicos

I

Captulo 3 Respuesta del sistema

ecuaciones diferenciales

Equipo Procesos discretos

Diseo de sistemas de control asistido por computadora

Captulo 4 Empleo de

transformadas de Laplace

Captulo 5 Modelos de

sistemas dinmicos

Captulo 6 Modelos mediante

diagramas de bloques

Captulo 12 Equipo bsico de un sistema de control

Comportamiento de sistemas

Captulo 7 El error en estado estable

Captulo 8 Polos, ceros y

estabilidad

!

Captulo 13 Control de procesos

discretos, PLCs I Apndice MATLAB

A los otros captulos

Control digital

Captulo 14 ... Introduccin al control

digital directo

Captulo 9 H Anlisis del lugar

geomtrico de las races

Captulo 101 Controladores II-----i~

Captulo 15 Sistemas de datos

muestreados y transformada z

Captulo 11 Respuesta en

frecuencia

r----... ~-----~~ ....... --------__ _

I

t I 1

Objetivos

Prefacio xiii

El libro tiene el propsito de ayudar al lector a:

Comprender los conceptos bsicos de los sistemas de control en lazo abierto y en lazo cerrado (captulo 1).

2 Desarrollar modelos para sistemas mecnicos, elctricos, flu-dicos y trmicos (captulo 2).

3 Usar modelos para aproximarse al anlisis de sistemas de prime-ro y segundo orden (captulo 2).

4 Determinar las respuestas de sistemas a diferentes entradas me-diante la obtencin y solucin de ecuaciones diferenciales de primero y segundo orden (captulo 3).

5 Determinar la respuesta de sistemas a entradas escaln, impulso y rampa usando la transformada de Laplace (captulos 4 y 5).

6 Construir modelos de sistemas con diagramas de bloques (cap-tulo 6).

7 Determinar los errores en estado estable para sistemas (captulo 7).

8 Usar mtodos de polos y ceros para analizar el comportamiento de sistemas y la estabilidad (captulos 8 y 9).

9 Comprender las funciones que se pueden usar para controlado-res (captulo 10).

10 Determinar la respuesta en frecuencia de sistemas, incluyendo los diagramas de Bode y de Nyquist (captulo 11).

11 Identificar los elementos del equipo que por lo comn se usan en sistemas de control para medicin y correccin (captulo 12).

12 Describir el control de procesos discretos mediante listas de ins-trucciones, diagrama de tiempos del proceso, diagramas de es-calera, diagramas de flujo y diagrama de funciones secuenciales (captulo 13).

13 Desarrollar sistemas de control secuencial mediante cilindros neumticos (captulo 13).

14 Describir los elementos de controladores lgicos programables y desarrollar programas para ellos (captulo 13).

15 Describir el control digital directo en trminos de diagramas de bloques y explicar las funciones de control en cascada, control inferencial, control prealimentado y control adaptable (captulo 1'4).

16 Describir el procesamiento de seales en tiempo discreto me-diante ecuaciones en diferencias, usar la transformada z para de-terminar la respuesta de sistemas de datos muestreados o digita-les a diferentes entradas, elaborar algoritmos digitales para leyes de control analgicas y determinar la estabilidad (captulo 15).

W. Bolton

r l r l. )L I

I

I

r I

'

1 Sistemas de control

Introduccin

Sistemas

Entrada, Estacin de Salida, --)o- generacin

combustible de energa electricidad

al

b)

Entrada,

potencia elctrica

Motor elctrico

Salida,

~iento mecnico

Figura 1.1 Sistemas: a) una estacin de generacin de energa, b) un motor elctrico

Qu es un "sistema", y en particular un "sistema de control"? Se puede pensar en un sistema como una caja negra que tiene una entra-da y una salida. Se considera una caja negra debido a que en realidad no es importante qu tiene dentro, sino la relacin entre la salida y la entrada. Este sistema es de control si la salida se controla de modo que pueda adoptar un valor o eambio en particular de alguna manera definida. As, para controlar la temperatura en un recinto a un valor especfico, se disea un sistema de control de calefaccin central, mientras que una mquina herramienta se puede controlar para se-guir una trayeetoria dada. En este libro se estudian los sistemas de control, y este primer captulo se puede considerar como un panora-ma superficial de las formas bsicas que pueden tener los sistemas de control, esto es, como una antesala para los modelos ms realistas que se presentan con ms detalle en los otros captulos.

El trmino sistema se emplea para describir un conjunto de compo-nentes que interactan, alrededor de los cuales se dibuja una frontera imaginaria de modo que slo es de inters la interaccin entre la en-trada o entradas y su salida o salidas, sin necesidad de estudiar en de-talle las interacciones entre los componentes que 10 forman. As el aspecto importante en un sistema es la relacin entre las entradas y las salidas. Un sistema puede ser una estacin de generacin de ener-ga completa o quiz slo un motor elctrico. No importa qu tan complejo sea un conjunto dc componentes y sus interacciones den-tro del sistema; se puede considerar que todos estn dentro de una caja negra y slo tener en cuenta las entradas y salidas a dicha caja. La figura 1.1 muestra cmo es posible representar un sistema me-diante una caja con las entradas y las salidas al sistema indicadas por lneas con flechas, en las que la direccin de la flecha hace referencia ya sea a una entrada o a una salida. La figura 1.1a ilustra el sistcma de la estacin de generacin de energa con su entrada de combusti-ble y su salida de electricidad, la figura 1.1 b ilustra un motor elctri-co con su entrada de potencia elctrica y su salida movimiento mec-nico.

l


Figura 1.2 Sistemas similares: a) sistema Re, b) sistema de calefaccin

La ventaja de estudiar los sistemas de esta manera es que aunque existe una amplia variedad de sistemas posibles, la relacin entre la salida y la entrada de muchos sistemas tiende a ser similar. As, por ejemplo, la respuesta de un sistema elctrico formado por un capaci-tor en serie con un resistory la aplicacin sbita de un voltaje tiene el mismo tipo de relacin que la respuesta de un contenedor de lquido al cual se le aplica sbitamente una entrada de calor (figura 1.2). De este modo, al estudiar un modelo de sistema con este tipo de relacin entre la entrada y la salida es posible determinar cmo respondern muchas formas diferentes de sistemas con la misma relacin sali-da-entrada.

En algunas situaciones es conveniente particionar el sistema en subsistemas enlazados en serie. As, por ejemplo, se puede tener un sistema de medicin de temperatura que consiste en un termmetro resistivo conectado a un puente de Wheatstone y la salida presentada

Ve

O

Entrada, ---)lo-voltaje

Tiempo

Salida, Sistema Re

a)

Entrada, ~\ calor .w 1-- Entrada, Sistema Salida,

de Salida, calor calefaccin temperatura

temperatura

Temperatura

O Tiempo

b)

I I J r

v ,j ,j

t r

" ti

a)

E ntrada, Termmetro

resistivo tem peratura

b)

Figura 1.3 a} Sistema de medicin de temperatura y b} sus subsistemas

Entrada,

temperatu ra requerida

Sistema de calefaccin

central

Salida,

temperatura

Figura 1.4 Sistema de calefaccin central

Modelos

Entrada, ,.

temperatura

Cambio en

la resistencia

Sistema de medicin de temperatura

Puente de Wheatstone

Salida,

lectura sobre una escala

Cambio en la

deflexin del apuntador

Salida, Medidor ,

lectura sobre una escala

en un medidor. El sistema con;pleto se puede representar (figura 1.3a), como una entrada de temperatura y una salida de una lectura en una escala, o se puede representar (figura 1.3b) como formado por un subsistema de termmetro resistivo, conectado a un subsiste-ma puente y conectado a un subsistema de medicin.

Un sistema de control es aqul en el que la salida del sistema se controla para tener un valor especfico o cambiarlo, segn lo deter-mina la entrada al sistema. De este modo, un sistema de control de temperatura, por ejemplo, un sistema de calefaccin central en una casa (figura 1.4), puede tener en su entrada un termostato o panel de control en el que se fija la temperatura requerida y su salida es la temperatura real producida. Esta temperatura se ajusta mediante el sistema de control, de modo que se obtenga el valor fijado por la en-trada al sistema.

Un modelo de un barco es una versin a escala de un barco de tama-tio real; asimismo, el modelo de un aeroplano es una versin a escala de un aeroplano de tamatio real. Los modelos conservan el mismo tipo de relaciones entre las longitudes de las diferentes partes que los objetos o sistemas de tamatio real. Un mapa es un modelo de un pas, las distancias y ubicaciones de las ciudades en el mapa tienen justo las mismas proporciones que el pas real. Un modelo es slo un me-dio para transferir alguna relacin de su versin real a otra versin. Para llevar a cabo la transferencia slo se consideran las relaciones de inters. As, el mapa se usa nada ms para transferir relaciones que involucran distancias y, por lo tanto, ubicaciones; no se transfie-ren los olores o ruidos del pas.

Al dibujar una caj a con lneas y flechas para las entradas y salidas se dibuja un modelo para el sistema. Las relaciones que se transfie-ren del sistema real al dibujo son las relaciones entrada-salida. De ningn modo se sugiere que el dibujo formado por una caja con l-neas con flechas se vea como el sistema en la realidad.

Se puede emplear para realizar modelos de casas, autos, gras, et-ctera, el juego de bloques funcionales de construccin de un nitio. Es posible construir algunos modelos a partir de un juego (kit) bsi-co. De igual manera se puede emplear un kit bsico para construir modelos de sistemas. Los bloques funcionales son subsistemas o elementos de sistemas con caractersticas entrada-salida particula-

4


Sistemas de control en lazo abierto y cerrado

Entrada, ...

seal de temperatura

requerida

Calefactor elctrico

Salida, ,.

temperatura

Figura 1.5 Ejemplo de un sistema de control en lazo abierto

res. As, por ejemplo, es posible representar muchos sistemas elec-trnicos que tienen un amplificador como subsistema, el cual es un dispositivo que toma a la entrada una seal y produce a la salida una versin ms grande de la misma seaL Asimismo, con los sistemas de control existe un buen nmero de bloques funcionales bsicos usados para formar sistemas, cada bloque cumple con una funcin particular. Este captulo es slo un panorama de las relaciones bsi-cas entrada-salida de los sistemas de control y el papel de cada uno de los bloques funcionales.

Existen dos formas bsicas de sistemas de control, una es la denomi-nada en lazo abierto y la otra en lazo cerrado. Con un sistema en lazo abierto la entrada se elige con base en la experiencia que se tie-ne con dichos sistemas para producir el valor de salida requerido. Esta salida, sin embargo, no se ve modificada por el cambio en las condiciones de operacin externas. As, por ejemplo, un calefactor elctrico (figura 1.5) puede tener un selector que permite elegir una disipacin en el elemento calefactor de 1 kW o 2 kW. De este modo, la entrada al sistema est determinada por la posicin del selector ya sea en 1 kW o 2 kW. La temperatura producida en la habitacin acon-dicionada por el calefactor est determinada nicamente por el he-cho de que se haya elegido la disipacin de 1 kW en el selector y no 2 kW. Si se presentan cambios en las condiciones de operacin, qui-z alguien que abre una ventana, la temperatura cambiar debido a que no hay modo de que el calor de salida se ajuste para compensar dicha condicin. ste es un ej emplo de un sistema de control en lazo abierto en el que no existe informacin que se alimente de regreso (realimentacin) al elemento calefactor para ajustarlo y mantener una temperatura constante. Los sistemas de control que operan me-diante mecanismos de temporizacin preestablecidos son sistemas en lazo abierto.

Con un sistema de control en lazo cerrado se tiene una seal de realimentacin hacia la entrada desde la salida, la cual se utiliza para modificar la entrada de modo que la salida se mantenga constante a pesar de los cambios en las condiciones de operacin (vase la figura 1.6). El sistema de calefaccin con el calefactor elctrico se puede transformar en un sistema en lazo cerrado si alguien con un term-metro monitorea la temperatura en la habitacin y enciende o apaga los elementos calefactores de 1 kWo 2 kW para mantener la tempe-ratura de la habitacin constante. En esta situacin existe la reali-mentacin de una seal a la entrada referente a la temperatura, con lo que la entrada al sistema se ajusta segn si su salida es la temperatura requerida. As, la entrada al calefactor depende de la desviacin de la temperatura real con la temperatura requerida.

Para ilustrar las diferencias adicionales entre los sistemas en lazo abierto y en lazo cerrado, considere un motor. Con un sistema en lazo abierto, la velocidad angular en el eje del motor se podra deter-minar slo por la posicin inicial de la perilla de seleccin de veloci-dad, que afecta al voltaje aplicado al motor. Aqu no se compensan

T I I

Figura 1.6 Ejemplo de un sistema de control en lazo cerrado

Sistemas de control en lazo abierto y cerrado 5

Comparacin entre las temperaturas real Entrada que depende de la

y requerida diferencia entre las temperaturas real y requenda

~ Salida, Calefactor Seal de

realimentacin relacionada con la temperatura real

elctrico

Medicin de temperatura

temperatura

los cambios en el voltaje de alimentacin, ni en las caractersticas del motor debidas a variaciones en la temperatura o los cambios de velocidad en el eje debidos a variaein de carga mecnica, ya que no existe lazo de realimentacin. Por otro lado, en un sistema en lazo cerrado la posicin inicial de la perilla de control tiene una velocidad especfica del eje y sta se mantiene mediante realimentacin, a pe-sar de los cambios en el voltaje de alimentacin, las caraetersticas de motor o de la carga. En un sistema de control en lazo abierto la sa-lida del sistema no tiene efecto sobre la seal de entrada. En un siste-ma de control en lazo cerrado la salida s tiene un efecto sobre la se-al de entrada, y la modifica para mantener una seal de salida en el valor requerido.

Los sistemas en lazo abierto tienen la ventaja de ser bastante sen-cillos y en consecuencia de bajo costo, y con buena confiabilidad. Sin embargo, con frecuencia son inexactos, porque no hay correc-cin de errores. Los sistemas en lazo cerrado tienen la ventaja de ser capaces de igualar los valores reales a los requeridos. No obstante, si existen retrasos en el sistema pueden surgir problemas. Dichos re-trasos propician que la accin correctiva requerida llegue demasiado tarde, y como consecuencia, se obtienen oscilaciones en la entrada e inestabilidad (como se ver ms adelante). Los sistemas en lazo ce-rrado son ms complicados que aquellos en lazo abierto y ms costo-sos con una gran posibilidad de descompostura debidas a la gran cantidad de componentes. Ms adelante en el captulo, se estudian las ventajas de los sistemas en lazo cerrado respecto a la minimiza-cin de los efectos de cambios en las relaciones entrada-salida de los elementos del sistema como resultado de los cambios en el medio y los efectos de las perturbaciones sobre el sistema.

Ejemplo 1 Identifique las entradas y salidas globales y sugiera el tipo de siste-ma de control que se puede utilizar con a) un tostador de pan auto-

l


Elementos bsicos de un sistema en lazo abierto

mtico, b) una lavadora de ropa automtica, c) un sistema de calefac-cin central domstico.

Respuesta a) Con el tostador la entrada es el pan y las instrucciones del grado

de tostado requerido, la salida es el nivel de tostado del pan. El grado de tostado requerido se determina mediante el ajuste de la escala del tostador y no se altera por la condicin del pan. Enton-ces, el tostador reaccionar de la misma manera ante una picza de pan fresco (sin tostar) o si la pieza de pan que se introduce ya est tostada, sin embargo, la salida ser diferente: una pieza de pan fresco bien tostado o una como carbn. El tostador no reac-ciona al cambio cn la condicin del pan. El sistema es en lazo abierto.

b) La entrada es ropa sucia y la posicin de la perilla de control, as como la posicin de los interruptores para el tipo de material y forma de lavado requerido, la salida es ropa limpia. La lavadora de ropa automtica es un sistema en lazo abierto puesto quc lle-var acabo el mismo ciclo de procedimientos de lavado a pesar de que se introduzca ropa sucia o limpia.

c) La entrada es la temperatura requerida y la salida es la tempera-tura real. El sistema de calefaccin central domstico es un siste-ma en lazo cerrado puesto que se utiliza un termostato para ase-gurar que la entrada se ajuste a los cambios en las condiciones de operacin y as mantenga una temperatura constante.

Se puede considerar que un sistema en lazo abierto consiste en algu-nos subsistemas bsicos arreglados como se muestra en la figura 1.7. Estos elementos pueden ser distintos, equipos separados, pero todas las funciones que cumple cada subsistema se deben preservar. La entrada global al sistema es una seal, que, basada en experiencias anteriores, es probable que conduzca a la salida requerida. Los sub-sistemas son: 1 Elemento de control. Este elemento determina qu accin se va

a tomar dada una entrada al sistema de control. 2 Elemento de correccin. Este elemento responde a la entrada

que viene del elemento de control e inicia la accin para produ-cir el cambio en la variable controlada al valor requerido.

3 Proceso. El proceso o planta es el sistema en el que se va a con-trolar la variable.

Controlador r~--------------~A--------------~

Entrada,

seal que se espera produzca la

salida requerida

Elemento de control

Elemento de correccin

Figura 1.7 Subsistemas en un sistema de control en lazo abierto

Proceso Salida,

variable controlada

Elemento de control Elemento de

correccin

Calentamiento de la habitacin

Figura 1.8 Sistema de control en lazo abierto de la temperatura de la habitacin

Elementos bsicos de un sistema en lazo aoierlo 7

Los primeros dos subsistemas a menudo se unen para formar un ele-mento denominado controlador.

Un ejemplo de un sistema en lazo abierto es un calefactor elctri-co utilizado para calentar una habitacin (figura 1.8). Con dicho sis-tema se tiene:

Variable controlada Elemento de control

Elemento de correccin

Proceso

temperatura de la habitacin una persona que toma las deci-siones basadas en la experien-cia de las temperaturas produ-cidas mediante la conmutacin del elemento calefactor el interruptor y el elemento ca-lefactor la habitacin

Muchos sistemas de control cn lazo abierto utilizan un elemento de control que enva una seal para iniciar la accin despus de al-gn periodo o una secuencia de seales para iniciar una secuencia de acciones en tiempos diferentes. En tales sistemas el controlador es en esencia un dispositivo de conmutacin operado por un reloj. Un ejemplo de un sistema de control de este tipo es el ciclo bsico de operacin de la lavadora de ropa domstica (figura 1.9). La secuen-cia podra ser:

1 Establecer los controles para el tipo de ropa que se va a lavar. 2 Encender e iniciar el reloj. 3 Llenar con agua fra, la vlvula que permite la entrada de agua

est abierta un tiempo especfico. 4 Calentar agua, el calentador se enciende un tiempo especfico. S Lavar, el tambor de la lavadora de ropa gira un tiempo especfi-

co.

6 Vaciar agua, la vlvula se abre un tiempo especfico. 7 Llenar con agua fra, la vlvula que permite la entrada de agua

se abre un tiempo especfico. S Enjuagado, el tambor de la lavadora de ropa un tiempo es-

pecfico. 9 Vaciar agua, la vlvula se abre un tiempo especfico.

10 Exprimido, la vlvula se abre un tiempo especfico. 11 Paro, despus de que ha transcurrido cierto tiempo.

Adems del sistema de control en lazo abierto descrito, es probable que la lavadora de ropa tenga algunos otros sistemas de control de seguridad, por ejemplo, sistemas de nivel de agua y temperatura que pueden apagar el sistema si el nivel de agua o temperatura sube de-masiado.

Ejemplo 2 Identifique los subsistemas en un sistema en lazo abierto de un mo-tor de velocidad controlada.

--.. -.. --.... ------_____ -o::A!'.iII~ .~ __ _

r


Entrada,

fijar perillas de control e interruptores

Elemento de control

Figura 1.9 Lavadora de ropa domstica

Elementos bsicos de un sistema en lazo cerrado

Elementos de correccin

Interruptor

Respuesta

Variable controlada Elemento de control

Elemento de correccin Proceso

f---~ Temperatura del agua

Motor del tambor

velocidad del motor

Girado del tambor

Nivel de agua

Nivel de agua

una persona que toma las deci-siones basadas en la experien-cia de las velocidades produci-das al encender el motor el interruptor el motor

Se puede considerar que un sistema en lazo cerrado eonsiste en algu-nos subsistemas bsicos ordenados como muestra la figura 1.10. Estos elementos pueden no ser partes distintas o equipos separados, pero todas las funciones de los subsistemas estarn presentes. La en-trada global al sistema de control es el valor requerido de la variable, y la salida es el valor real de la variable. 1 Elemento de comparacin. Este elemento compara el valor re-

querido o de referencia de la variable por controlar con el valor medido de lo que se obtiene a la salida, y produce una seal de error la cual indica la diferencia del valor obtenido a la salida y el valor requerido

Seal de error = seal del valor de referencia - seal del valor medido

2 Elemento de control. Este elemento decide qu accin tomar cuando se recibe una seal de error. A menudo se utiliza el tr-mino controlador para un elemento que incorpora el elemento de control y la unidad de correccin.

I I I

~-------- -------------------...... ~ ____ --~__J

Elemento de comparacin

trada, En va

refe lorde rencia

+ - Seal

de error

Controlador ~ __________ A~ __________ -,

Elemento de Elemento de control correccin

Elemento de

Realimentacin medicin

Elementos bsicos de un sistema en lazo cerrado 9

f-+- Elemento de proceso Salid a, varia ble

ada control

Figura 1.10 Subsistemas en un sistema de control en lazo cerrado 3 Elemento de correccin. Este elemento se utiliza para producir

un cambio en el proceso al eliminar el error, y con frecuencia se denomina actuador.

4 Elemento proceso. El proceso, o planta, es el sistema donde se va a controlar la variable.

S Elemento de medicin. Este elemento produce una seal relacio-nada con la condicin de la variable controlada, y proporciona la seal de realimentacin al elemento de comparacin para deter-minar si hayo no error.

Una caracterstica necesaria de un sistema de control en lazo ce-rrado es el lazo de realimentacin. Este es el medio a travs del cual una seal relacionada con la variable real obtenida se realimenta para compararse con la seal de referencia. Se dice que se tiene rea-limentacin negativa cuando la seal realimentada se sustrae del va-lor de referencia, esto es,

Seal de error valor de referencia seal de realimentacin

La realimentacin negativa es necesaria para que logre el control. La realimentacin positiva se presenta cuando la seal realimentada se adiciona al valor de referencia, esto es,

Seal de error valor de referencia + seal de realimentacin

En la figura 1.10 la seal de realimentacin se combina con el valor de referencia en el elemento de comparacin. El elemento de compa-racin se indica mediante un circulo con una cruz, ste es el smbolo genrico para indicar un elemento de suma. Cuando en el elemento de comparacin hay realimentacin negativa, el valor de referencia se marca como una seal positiva y la seal de realimentacin como negativa de modo que la salida del elemento de comparacin es la di-ferencia entre las seales. Si hubiera realimentacin positiva en el elemento de suma, entonces ambas seales deben marcarse como positivas.

Para ilustrar esta presentacin de los elementos de un sistema de control, considere el sistema de control estudiado al principio con la figura 1.6, donde se control la temperatura de una habitacin me-diante una persona que encenda y apagaba el elemento calefactor de acuerdo a si la temperatura de la habitacin dada por un termmetro tena o no el valor requerido (figura 1.11). Los elementos de este sis-tema de control son:


Figura 1.11 Sistema de control en lazo cerrado para la temperatura de una habitacin

Variable controlada Valor de referencia


Seal de enor

Elemento de control Elemento de coneccin

Proceso Dispositivo de medicin Realimentacin


temperatura de la habitacin temperatura requerida en la habitacin persona que compara el va-lor medido y la temperatura requerida diferencia entre la tempera-tura requerida y la medida la persona mano que opera el encendi-do del elemento calefactor habitacin termmetro negativa

\jlemento de control Elemento de correccin, Informacin acerca mano que opera el del valor de interruptor temperatura ---..

requerido

Ejemplo 3

Calentamiento de la habitacin

Informacin acerca de la temperatura real

Termmetro, sistema de medicin

El tostador domstico es un sistema en lazo abierto (ejemplo 1), su-giera los medios que penniten hacerlo un sistema de control en lazo cenado.

Respuesta Para que el tostador sea un sistema en lazo cenado debe haber una seal de realimentacin que indique el grado del tono dorado del pan. Las posibilidades son: una persona que mira el pan o quizs una fotocelda que responda al grado de dorado, La salida de cualesquiera de estos "sistemas de medicin" sera una seal obtenida de la seal de referencia utilizada para especificar el grado del tono dorado re-querido. Se puede utilizar esta seal para activar un relevador que encienda o apague el elemento de tostado o un potencimetro que vare el voltaje aplicado al elemento de tostado. La figura 1.12 mues-tra una forma de dicho sistema de control.

~_ .. _ ... _------ J

Seal de error relacionada con la diferencia entre el tono dorado requerido y el real

E nlrada.

do de dorado

gra tono

req uerido

Figu ra 1.12

Control por relevador o

potencimetro -

E"em p lo 3

Ejemplos de sistemas de control en lazo cerrado

Figura 1.13 Control automtico del nivel de agua en un tanque

,

Ejemplos de sistemas de control en lazo cerrado 11

Correccin mediante f---:J--variacin de corriente

Sistema de medicin de tono dorado

Proceso. el calentador

Salida. ,

p al t

an tostado ono dorado requerido

La figura 1.13 muestra un ejemplo de un sistema de control sencillo utilizado para mantener constante el nivel de agua en un tanque. El valor de referencia es la posicin inicial en el brazo (del flotador), de modo que cierra el suministro de agua en el nivel requerido. Cuando el agua sale del tanque, el flotador baja con el nivel de agua. Esto propicia que el brazo del flotador se mueva y permita que el agua en-tre al tanque. Este flujo contina hasta que el flotador sube a una al-tura tal, que haya movido el brazo del flotador y cerrado el suminis-tro de agua. ste es un sistema de control en lazo cerrado y sus elementos son:


Elemento de comparacin Seal de error

Elemento de control Elemento de correccin

Proceso Dispositivo de medicin

Realimentacin

Brazo del flotador

Flotador

-------.

nivel de agua en el tanque - posicin inicial en el brazo

del flotador brazo del flotador diferencia entre la posicin real del brazo y su posicin inicial brazo pivoteado aleta de apertura o cierre del suministro de agua agua en el tanque el flotador y el brazo que lo sostiene negativa

Entrada de agua

-------___ f4.~ .. _~ .... --_


Potencimetro para fijar el valor de referencia

Figura 1.14 Control automtico de la velocidad de un eje

..

Amplifica la diferencia entre los valores de referencia y

de realimentacin

/ Amplificador

diferencial .\ Eje V giratorio

Medicin de velocidad

La figura 1.14 muestra un sistema de control automtico sencillo para la velocidad angular de un eje. Se utiliza un potencimetro para fijar el valor de referencia, es decir, qu voltaje se aplica al amplifi-cador diferencial como valor de referencia para la velocidad angular requerida. El amplificador diferencial se usa tanto para comparar como para amplificar la diferencia entre los valores de referencia y realimentacin, esto es, amplifica la seal de error. Despus, la seal de elTor amplificada se aplica al motor que, a su vez, ajusta la veloci-dad del eje giratorio. La velocidad angular del eje se mide con un ta-cogenerador, conectado al eje por medio de un par de engranes cni-cos. La seal que viene del taco generador se realimenta al amplificador diferencial. De este modo, el sistema est formado por:



Elemento de control Elemento de correccin Proceso Dispositivo de medicin Realimentacin

velocidad angular del eje voltaje especificado para la velocidad requerida amplificador diferencial diferencia entre el voltaje del valor de referencia y el voltaje de realimentacin amplificador motor

ej e giratorio tacogenerador negativa

En la vida diaria existen muchos sistemas de control sencillos. El acto de intentar levantar una tasa de caf de la mesa requiere un sis-tema de control con realimentacin. La mano que levanta la tasa se debe mover al lugar cOITecto, sorteando los obstculos en el camino,

1

/\" ( -'? /y--' ~ ~ ~) Los ojos obseryan la posicin de la mano

Movimientos de brazo y mul'leca utilizados para corregir la ubicacin de la mano

Figura 1.15 Movimiento para levantar una tasa de caf

Figura 1.16 Levantar una tasa de caf

Ubicacin d e la tasa +~ Asir la tasa

+

-

Ejemplos de sistemas de control en lazo cerrado 13

y debe quedar en la posicin adecuada para que los dedos puedan asir la oreja de la tasa justo en la forma apropiada y levantarla. Para controlar la mano se llevan a cabo dos tareas de realimentacin: vi-sin y tacto (figura 1.15). As, para el sistema de control utilizado al mover la mano al lugar a donde se localiza la tasa, se tiene:

Variable controlada

Valor de referencia Elemento de comparacin Seal de eITor

Elemento de control Unidad de cOITeccin Proceso Dispositivo de medicin Realimentacin

ubicacin de la mano en re-lacin a la tasa ubicacin de la tasa la persona diferencia entre las ubica-ciones real y requerida de la mano

la persona el brazo y la mueca dinmica de la mano observacin visual negativa

En muchos sistemas de control se tiene slo una variable que contro-lar, por ejemplo, el nivel de agua en un tanque, la velocidad angular de un eje o la ubicacin de la mano. Sin embargo, existen algunos sistemas de control en los que debe controlarse ms de una variable. Un ejemplo es el acto de levantar una tasa de caf, puesto que no slo se debe controlar la ubicacin de la mano sino tambin la presin ejercida por los dedos al momento de asir la oreja de la tasa. Aqu, se tienen dos lazos de realimentacin, uno concerniente con la ubica-cin, el cual utiliza la visin como medio de medicin, y el otro rela-tivo a la presin, que emplea el tacto como medio de medicin (figu-ra 1.16). Esto se puede considerar como una forma bsica de un

Correccin

Posicin -...-- Brazo y +-

mueca de la man o Unidad de Dinmica

control, de la mano la persona

Asir ~ Dedos +-

Observacin visual

Tacto


ci n +~ amino Diree dele -

Velocid ad

ida + requer -

ne'o de un automvil Figura 1.17 Ma J

Correccin

Manos sobre Direcci ~ ~ .. el volante autom n del

ovil Unidad Dinmica

de control, del vehlculo la persona

Pie sobre el Veloc ~ acelerador ~ 'aul

idad del

omvil

Observacin visual

Observacin visual

brazo robtica con una pinza de sujecin diseado para levantar ob-jetos en una lnea de produccin.

Otro ejemplo de un sistema de control con dos variables por con-trolar es manejar un automvil, stas son, la direccin y la velocidad del automvil (figura 1.17),

Variable controlada

Valor de referencia


Elemento de control Elemento de correccin Proceso Dispositivo de medicin Realimentacin

Variable controlada

Valor de referencia


Elemento de control Elemento de correccin

Proceso

direccin del automvil en el camino direccin requerida a lo lar-go del camino la persona diferencia entre la direccin requerida y la direccin real la persona manos sobre el volante dinmica del vehculo observacin visual negativa

velocidad del automvil en el camino velocidad requerida en el ca-mino la persona diferencia entre la velocidad requerida y la velocidad real la persona pies sobre los pedales del acelerador o freno dinmica del vehculo

.J --------___ IL. __ -._---'

T

Mirilla de

~ 11/\\\

vidrio

\

Vlvula

Figura 1.18 Ejemplo 4

Estrategias de control

Salida

o Error

+

Figura 1.19 Modo de control de dos posiciones

-----_ ..... _--

Dispositivo de medicin Realimentacin

Ejemplo 4

Estrategias de control 15

observacin visual negativa

Un trabajador mantiene el nivel de lquido en un contenedor a un ni-vel constante. Para esto se observa el nivel a travs de una mirilla de vidrio en una de las paredes del tanque, y ajusta la cantidad de lqui-do que sale del tanque con la apertura o cierre de una vlvula (figura 1.18). Para dicho sistema de control, cules son: a) la variable con-trolada, b) el valor de referencia, c) el elemento de comparacin, d) la seal de error, e) el elemento de control,f) el elemento de correc-cin, g) el proceso y h) el dispositivo de medicin? Respuesta



Elemento de control Elemento de correccin Proceso Dispositivo de medicin

nivel de lquido en el tanque nivel requerido, tal vez mar-cado en el vidrio la persona diferencia entre los niveles requerido y real la persona vlvula agua en el contenedor observacin visual de la mi-rilla de vidrio

El elemento de control tiene corno entrada la seal de error y corno salida una seal que se convierte en la entrada a la unidad de correc-cin de modo que se pueda iniciar la accin para eliminar el error. Existen varias formas para que el elemento de control reaccione ante una seal de error.

Con sistemas de control en lazo abierto los tipos de control ms probables son el de dos posiciones (encendido-apagado o mejor co-nocido corno on-off) o secuencias o acciones conmutadas por tiem-po. Un ejemplo del control on-off es una persona que enciende un calefactor elctrico para obtener la temperatura requerida en una ha-bitacin. Un ejemplo de una secuencia conmutada por tiempo es la operacin de la lavadora de ropa domstica (vea detalles al principio de este captulo).

Con sistemas de control en lazo cerrado los tipos de control son a menudo el control de dos posiciones, el control proporcional o el control proporcional combinado con algn otro refinamiento. Con el modo de control de dos posiciones, la seal de error de entrada al elemento de control es una salida de encendido o de apagado, que se utiliza para encender o apagar al elemento de correccin (figura 1.19). As, en el caso del sistema de calefaccin central domstico

.... ~-~ ..... _---------_ .. ,

t:-- ---~-_.


Salida

o + Error

Figura 1.20 Control proporcional

Figura 1.21 Sistema de control de nivel proporcional

controlado por un termostato, ste produce una salida que enciende o apaga el calefactor segn e! error. Si la temperatura de la habita-cin baja de cierto valor, entonces el termostato enciende el calefac-tor; si por el contrario, la temperatura rebasa el valor fijado, el cale-factor se apaga.

Con el control proporciona/la salida del elemento de control es una seal, la cual es proporcional al error: cuanto mayor sea el crror mayor ser la salida (figura 1.20). Esto significa que el elemento de correccin recibir una seal que depende de la magnitud de la co-rreccin que se necesite. En la figura 1.21 se muestra un ejemplo de tal sistema de control para mantener constante el nivcl de un lquido. Los cambios en el nivel producen un movimiento del flotador y, por lo tanto del brazo mvil que lo sostiene. A su vez, esto cambia la apertura de la vlvula y afecta la tasa a la que el lquido sale del tan-que. Cuanto mayor sea el error en el nivel del lquido mayor ser el cambio en la apertura de la vlvula.

Debido a que el control proporcional por s solo puede presentar algunos problemas, con frecuencia se combina con otras formas de control. Existe el control derivativo, donde la salida es proporcional a la razn de cambio de la seal de error, y el control integral, donde la salida en el tiempo t es proporcional a la integral de la seal de error entre t= O y t. Un ejemplo sencillo del control proporcional de-rivativo es un vehculo automtico donde el controlador toma accio-nes basadas no slo en el conocimiento de la posicin del vehculo, sino tambin de su velocidad, es decir, la razn de cambio de la dis-tancia. Con slo el control proporcional, el controlador da nada ms una respuesta en proporcin a la magnitud de! error de la posicin re-querida. No toma en cuenta la rapidez del cambio del error. El con-trol derivativo s lo hace. As, si el vehculo se empieza a mover ale-jndose rpido de la trayectoria requerida, con el control derivativo habr una accin correctiva mucho mayor que si el vehculo se aleja-ra lentamente de la trayectoria requerida. De este modo, la combina-cin del control proporcional derivativo toma en cuenta ms rpido las desviaciones de la trayectoria requerida y las corrige. Las formas de estrategias de control descritas se estudiarn con mayor detalle en el captulo 8. .

Ejemplo 5 Qu tipo de estrategia de control se usa en los siguientes sistemas de control? a) Un refrigerador. b) Guiado de un automvil en un camino. Respuesta a) En el refrigerador un termostato controla la temperatura y es

probable que sea un sistema de control simple de dos posiciones, on-off.

b) Tal vez sea un control proporcional en el que la salida del con-trolador, es decir, movimiento del volante por parte del conduc-tor, puede ser proporcional al error.

Computadora Entrada

ADC Control digital

Reloj

DAC Elemento de correccin

Control digital 17

Proceso

Figura 1.22 Sistema de control digital en lazo abierto para sistemas en tiempo continuo

Control digital El control digital mediante microprocesadores se usa cada da ms en sistemas de control. La figura 1.22 muestra la forma bsica que puede tomar un sistema de control digital en lazo abierto, cuando la entrada es una seal continua en el tiempo, es decir, una seal que puede variar de manera continua con el tiempo y no es digital. La se-al de entrada pasa primero a travs de un convertidor analgico a digital (ADC I ). ste la convierte en una seal digital, un nmero co-dificado. El elemento de control digital incorpora un reloj que enva pulsos a intervalos regulares. Cada vez que el ADC recibe un pulso, enva el nmero codificado al elemento de control digitaL El ele-mento de control digital implanta una estrategia de control mediante un programa almacenado. Como es fcil modificar dicho programa la estrategia de control tambin es sencillo cambiarla y esta flexibili-dad es una gran ventaja sobre los sistemas de control analgico don-de la estrategia de control est determinada por equipos fisicos. La seal de salida del elemento de control tambin tiene en forma digi-tal, un nmero codificado. ste se convierte a una seal analgica mediante un convertidor digital a analgico (DAC) de modo que puede accionar al elemento de correccin para producir el cambio requerido en la variable de proceso.

La secuencia de pasos que tienen lugar en los cuatro bloques que constituyen el elemento de control son:

1 Esperar un pulso de reloj. 2 Hacer una conversin de anal gieo a digital de la seal de entrada

en ese tiempo. 3 Calcular la seal de control de acuerdo con la estrategia de control

en el programa. 4 Llevar a cabo la conversin de digital a analgico de la seal de

control. 5 Actualizar el estado de la unidad de correccin. 6 Esperar un pulso de reloj y entonces repetir todo el ciclo. Puesto que la entrada se muestrea slo en ciertos tiempos, un sistema de este tipo con frecuencia recibe el nombre de un sistema de datos

1 N. de T.: En este libro se utilizarn ADC y DAC, por sus siglas en ingls, para referirse a los convertidores analgico a digital y digital a analgico, ya que son las de uso ms comn.

------____ iirooo-... ; .. ~ ___ ~--.-__


Seal de error analgica

~ -

Entra ADC

Seal digital

f-'""

Figura 1.23 Sistema de control digital en lazo cerrado para sistemas en tiempo continuo

Modelos matemticos para sistemas

Computadora Seal analgica

Control Elemento de Salida digital ~ DAC --1J>- correccin ~ Proceso

t Reloj

Medidor

muestreados. El muestreo es un aspecto fundamental en los sistemas controlados digitalmente.

La figura 1.23 muestra la forma que puede tomar un sistema de control digital en lazo cerrado para sistemas en tiempo continuo. La seal de error analgica del elemento de comparacin se convierte en una seal de elTor digital mediante un convertidor analgico a di-gital (ADC), modificada por el elemento de control digital de acuer-do con la estrategia de control programada y despus se convierte a una seal analgica para el elemento de correccin mediante un con-vertidor digital a analgico (DAC). La secuencia de pasos que tienen lugar en el elemento de control son como los descritos para el siste-ma en lazo abierto.

Se puede utilizar una sola computadora para controlar varias va-riables. Por ejemplo, la lavadora de ropa domstica descrita en la fi-gura 1.9 puede utilizar un microprocesador como elemento de con-trol. Los sistemas de control digital tienen muchas aplicaciones, como en mquinas herramienta, control de aviones y robots. Un es-tudio ms detallado de los sistemas de control digital se presenta en el captulo 14.

Con la finalidad de entender el comportamiento de los sistemas es necesario obtener modelos matemticos que los representan. El mo-delo de un barco es una rplica a escala de un barco de tamao natu-ral. En el modelo los tamaos relativos de las diferentes partes guar-dan las mismas proporciones que en el barco de tamao natural, es decir, hay un escalamiento constante hacia abajo de los tamaos. Una fotografia se puede considerar un modelo de la escena que se fo-tografi. Un modelo matemtico de un sistema es una "rplica" de las relaciones entre entrada y salida o entre entradas y salidas. Las relaciones reales entre la entrada y la salida de un sistema se sustitu-yen por expresiones matemticas.

Considere un motor como sistema. La entrada al motor es un vol-taje Vy la salida es una velocidad angularJ del eje. Para muchos sis-temas existen relaciones lineales razonables entre la entrada y la sa-lida. Esto significa que la salida es proporcional a la entrada y si la

<

Modelos matemticos para sistemas 19

entrada se duplica, entonces la salida tambin se duplica, es decir, si la entrada se multiplica por una constante multiplicativa entonces la salida se multiplica por la misma constante. Esto tambin quiere de-cir que si la entrada 1 produce una salida 1 y la entrada 2 produce una salida 2, entonces una entrada igual a la suma de las entradas 1 y 2 producir una salida igual a la suma de las salidas 1 y 2. De este modo, si existe una relacin lineal entre la salida y la entrada para el motor, entonces el modelo matemtico es:

w=GV

donde G es la constante de proporcionalidad. Esta relacin implica que si el voltaje cambia, entonces deber haber un cambio inmediato correspondiente en la velocidad angular del eje. ste no ser el caso, puesto que el motor toma un tiempo para que el eje cambie a la nue-va velocidad. As la relacin existe, slo entre el voltaje y la veloci-dad cuando el sistema ha tenido suficiente tiempo para asentarse ante cualquier cambio en la entrada, es decir, esto se refiere a lo que se denomina condicin de estado estable. Entonces, para aclarar, la ecuacin se puede escribir como:

Valor en estado estable de w = G (valor en estado estable de V)

Por lo tanto

G = valor en estado estable de w valor en estado estable de V

La constante G se denominafuncin de transferencia o ganancia del sistema. En general, se puede definir la funcin de transferencia como el cociente de la salida en estado estable entre la entrada en es-tado estable para un sistema o subsistema.

F ., d ti . G salida en estado estable unClOn e trans erenCla = ----------entrada en estado estable

[1]

Por ejemplo, al insertar una moneda en una mquina de barras de chocolate se obtiene la salida de una barra de chocolate. La funcin de transferencia, para el estado estable, es 1 barra/moneda. S se su-pone que el sistema es lineal, para una entrada de dos monedas se ob-tendran dos barras de chocolate. Un sistema de medicin de tempe-ratura puede tener una entrada de 10 OC Y producir una salida en estado estable de 5.0 mV. Este sistema tiene una funcin de transfe-rencia de 0.5 mV/OC. Si se supone que el sistema es lineal se puede predecir que si la entrada fuera de 20 OC entonces la salida en estado estable sera 10.0 mV. El modelo matemtico del sistema es

Salida en estado estable en m V = 0.5 x entrada en estado estable en oc

Lo anterior es el anlisis de un sistema que tiene una relacin li-neal entre la entrada y la salida. Sin embargo, los sistemas reales


Modelos matemticos para sistemas en lazo abierto

Figura 1.24 Funcin de transferencia con un sistema de lazo abierto

pueden exhibir un comportamiento no lineal. En muchos casos tales sistemas son lineales si las seales de entrada se mantienen dentro de ciertos lmites. Para la mquina de barras de chocolate el sistema es lineal siempre que no se inserta un mayor nmero de monedas que las barras de chocolate que tiene la mquina. Un amplificador puede ser lineal slo para seales de entrada hasta cierta magnitud.

Ms adelante en este libro se considerarn las definiciones de funcin de transfereneia en las que se pueden tomar en cuenta no slo los valores en estado estable de la entrada y la salida, sino tam-bin los cambios transitorios que tienen lugar en el tiempo. As, en el resto de este captulo las discusiones se basan en el comportamiento de los sistemas en trminos de los valores en estado estable, y habr que considerarlos slo como una representacin muy simplista de los sistemas de control.

Ejemplo 6 Un motor tiene una funcin de transferencia de 500 rev/min por volt. Cul ser la velocidad de salida en estado estable para tal motor cuando la entrada es 12 V? Respuesta

Si se utiliza la eeuacin [1]

Funcin de transferencia G

entonces,

salida en estado estable entrada en estado estable

Salida en estado estable = G( entrada en estado estable) = 500 x 12 6000 rev/min

Existen muchas situaciones donde se requiere la funcin de transfe-rencia para varios elementos en serie. Considere tres elementos en serie como se muestra en la figura 1.24. Los tres elementos pueden ser un sistema en lazo abierto puesto que no hay lazo de realimenta-cin, o slo tres elementos en serie de un sistema ms grande.

Para el elemento 1 la funcin de transferencia GI es la salida () 1 di-vidida entre la entrada () i' As,

G=!!J. I ().

I

Elemento 1 F.T.G,

8, Elemento 2 F.T.G,

8, Elemento 3 F.T.G,

-

--------------------.................... ,wIL ____ ----- __ 1

1 ! t


Modelos matemticos para sistemas en lazo cerrado

Modelos matemticos para sistemas en lazo cerrado 21

Para el elemento 2la funen de transferencia G2 es la salida O2 divi-dida entre la entrada 1, Es decir,

01 Para el elemento 3 la funen de transferencia G3 es la salida 0 divi-dida entre la entrada 2' Esto es,

G3 = O2 La funcin de transferenea global del sistema es la salida 0 dividi-da entre la entrada Oj' Pero esto se puede eseribir como

01 O2 00 =-x-x-

O O 01 O2 Por lo tanto, para el sistema en lazo abierto

Funen de transferencia =GI x G2 X G} [2] La funcin de transferencia global en lazo abierto es el producto de las funciones de transferenea de los elementos individuales. Esto se aplica a cualquier nmero de elementos conectados en serie.

Ejemplo 7 El sistema de medicin empleado en un sistema de control consta de dos elementos, un sensor y un acondicionador de seal en serie (fi-gura 1.25). Si el sensor tiene una funcin de transferencia de 0.1 mA/Pa y el acondicionador de seal una funcin de transferencia de 20, cul es la funcin de transfcrenea del sistema de medicin?

Respuesta El sensor y el aeondieonador de seal estn en serie, de modo que la funcin de transferencia combinada es el producto de las funciones de transferenea de los elementos individuales.

Funcin de transferencia = 0.1 x 20 2 mA/Pa

La figura 1.26 muestra un sistema en lazo cerrado sencillo. Si O j es el valor de referencia, es decir, la entrada, y si o es el valor real, es de-cir, la salida del sistema, entonces la funen de transferencia del sis-tema completo es

F ., de' salida unelOn e tranSlerenCJa = ---entrada 0

J rl


Figura 1.26 Funcin de transferencia de un sistema en lazo cerrado

e, + e Sistema con (Jo funCin de

transferenca G -

Sistema de medicin con

F.T. H. Realimentacin f

Cada subsistema en el sistema global tiene su propia funcin de transferencia. De este modo, si el sistema que se controla tiene una funcin de transferencia G, entonces con su entrada de la seal de error e y salida O o'

G==~ e

Si la trayectoria de realimentacin tiene una funcin de transferencia H, con entrada (j o Y salidaf,

H=L (jo

La seal de error e es la diferencia entre (j i Y f, la seal de realimen-tacinfes una medida de la salida del sistema completo.

e=O - f Al sustituir e y f, despejndolas a partir de las dos ecuaciones ante-riores,

~ =0. -HO G 1 o O (.! +H) O o G I O (I+GH)=o.

o G I

Por lo tanto, la funcin de transferencia global del sistema de control en lazo cerrado es

F " de' (jo G . unClon e tranSl.erenCla := - := ---0i 1 +GH

[3]

La ecuacin anterior se aplica a realimentacin negativa. Con reali-mentacin positiva el denominador de la ecuacin anterior se con-vierte en (1- GH) .

En el sistema en lazo cerrado, G se conoce como lafuncin de transferencia de la trayectoria directa, puesto que es la funcin de transferencia que relaciona las seales que se mueven hacia adelante a travs del sistema de la entrada a la salida. GH se conoce como fun-cin de transferencia de lazo, ya que es el trmino que se presenta en la expresin como resultado del lazo de realimentacin.

I

_. __ .~._._-----~---_jL' __


Modelos matemticos para sistemas en lazo cerrado con elementos mltiples

Figura 1.28 Funcin de transferencia de un sistema en lazo cerrado con elementos mltiples

+ G,

Modelos matemticos para sistemas en lazo cerrado con elementos mltiples 23

Ejemplo 8 Un motor de velocidad controlada tiene un sistema motor-releva-dor-amplificador con una funcin de transferencia combinada de 600 rev/min por volt y un sistema de medicin en el lazo de reali-mentacin con una funcin de transferencia de 3 m V por rev/min, como ilustra la figura 1.27. Cul es la funcin de transferencia glo-bal?

+

Respuesta

Motor-relevador-amp. F.T. 600 rev/min por V

Sistema de medicin F.T. 3 mV por rev/min

El sistema tendr realimentacin negativa y as la funcin de transfe-rencia global est dada por la ecuacin [3] como

Funcin de transferencia G l+GH

600 ::::------

1 + 600 x 0.003 214 rev/min por volt

Considere el sistema en lazo cerrado que muestra la figura 1.28. La funcin de transferencia para el sistema completo se puede obtener determinando primero la funcin de transferencia para los tres ele-mentos en serie. Como stos tienen funciones de transferencia Gp G 2 Y G3 , entonces la funcin de transferencia combinada es

F.T.de los elementos en serie::;: G x G2 X G3 El sistema en lazo cerrado de la figura 1.28 se puede reemplazar por el sistema equivalente ms sencillo, como se muestra en la figura 1.29. Ahora, ste es slo un elemento con una funcin de transferen-cia de G x G2 X G3 Y un lazo de realimentacin con una funcin de transferenciaH. La funcin de transferencia global para este sistema es entonces

H

--------------- -----___ -.4 .. ___ --_. ___


Figura 1.29 Sistema equivalente para la figura 1.28


Error en estado estable

e, + G, xG2 xG,

H

F. T. del sistema [4]

Ejemplo 9 Un sistema de control de posicin utilizado con una mquina herra-mienta tiene un amplificador en serie con una vlvula corrediza y un lazo de realimentacin con un sistema de medicin de desplaza-miento (figura 1.30). Si las funciones de transferencia son las si-guientes, cul es la funcin de transferencia global para el sistema de control?

Amplificador F.T. 20 mAlV

Vlvula corrediza

F.T. 12 mm/mA

'-----4'-----{ Medicin f--------' F.T, 3,0 V/mm

Las funciones de transferencia son: amplificador 20 mAN, vl-vula corrediza 12 mm/mA, sistema de medicin 3.0 V/mm. Respuesta El amplificador y la vlvula corrediza estn en serie, por lo que la funcin de transferencia combinada para los dos elementos es el pro-ducto de sus funciones de transferencia separadas,

F.T. para los elementos en serie 20 x 12 = 240mm!V

Estos elementos tienen un lazo de realimentacin con una funcin de transferencia de 30 m V mm. La funcin de transferencia global para el sistema de control es

F ', d ~ . G unClOn e tranSlerenCla = ---l+GH

240 =------

1 + 240 x 0.030 =29mm/V

El error en estado estable E de un sistema es la diferencia entre la sa-lida del sistema y su entrada cuando las condiciones estn en estado estable.

J ---------.. _L ___ ... _,

/ , Ci

Error en estado estable 25

E=Oo-O Puesto que para un sistema con una funcin de transferencia global Gs

entonces

E G.O - O O(Gs -1) [5] Para un sistema en lazo abierto el error en estado estable se puede

escribir, segn la ecuacin [2], como [6] /

donde G, G2 Y G3 son las funciones de transferencia de los elemen-tos en el sistema. Para que el error sea cero, GG2G3 deben ser igual a l. Aunque esto se puede lograr en la preparacin o calibracin del sistema, es inevitable que se presenten errores en estado estable de-bido a que las funciones de transferencia cambian corno consecuen-cia de cambios en el medio ambiente.

Para un sistema en lazo cerrado el error en estado estable, dado por la ecuacin [5], se puede escribir empleando la ecuacin [3], como

E o,(_G_ -1) [7] ./ 1 l+GH

donde G es la funcin de transferencia de los elementos en la trayec-toria directa, es decir, G = GG2G3 para tres elementos en serie con funciones de transferencia G, G2 Y G3, Y H es la funcin de transfe-rencia del sistema de medicin. Para un error en estado estable nulo, se debe tener G = 1 + GH de modo que G/(l + GH) tenga el valor de l. Igual que en el sistema de control en lazo abierto, las funciones de transferencia tienden a cambiar con las condiciones ambientales. Sin embargo, si GH es mucho mayor que 1, la ecuacin [7] se apro-xima a

E O{~-I) y as los cambios en las funciones de transferencia de los elementos de la trayectoria directa casi no tienen efecto sobre el error. De esta manera, la sensibilidad del sistema en lazo cerrado para tales efectos es mucho ms pequea que para un sistema en lazo abierto. sta es una de las grandes ventajas que tienen los sistemas en lazo cerrado respecto a los sistemas en lazo abierto.

Ejemplo 10 La figura 1.31 muestra un controlador con una funcin de transfe-rencia de 12 y un motor con una funcin de transferencia de 0.10 rev/min por V. a) Cul ser el error en estado estable cuando el sistema es un sis-

tema de control en lazo abierto y cmo cambiar el error si, debi-do a cambios ambientales, la funcin de transferencia del motor cambia en 10%?

rl


Figura 1.31 Ejemplo 10: a) lazo abierto. b) lazo cerrado

9,

8, 4 .... __ 1_2 _--,H,-_re_v_/~_i~_~_o_r v-..J~ '. a)

12

b)

0.10 rev/min por V

1.0V por revlmin

1---.,....._9,

b) Cul ser el error en estado estable cuando el sistema es un sis-tema de control en lazo cerrado si el lazo de realimentacin tiene una funcin de transferencia de 1.0 V por rev/min y cmo cam-biar el error si, debido a cambios ambientales, la funcin de transferencia del motor cambia en 10%?

Respuesta a) Empleando la ecuacin [6], antes de que se presente cualquier

cambio

E = O(GP2 -1) E O(12 x 0.10 -1) = 0.20

Si hay un cambio de 10% en la funcin de transferencia del mo-tor, es decir, 0.11 rev/min por V, entonces

E = O{12 x 0.11-1) =0.32 O El error se ha incrementado en un factor de5.

b) Con la ecuacin [7]

E O( GP2 -1) 1 + GP2H

entonces, antes de que ocurra cualquier cambio

E= 12 x 0.10 -1) -0.45 O. 1+12xO.lOx1.0 I

Si hay un cambio de 10% en la funcin de transferencia del mo-tor, es decir, 0.11 rev/min por V, entonces

E 0.( 12xO.ll 1) 0430 '1+12xO.11xl.O =-. i

El cambio en el error es mucho ms pequeo que el cambio que se presenta en el sistema en lazo abierto. El sistema en lazo ce-rrado tiene una sensibilidad ms baja a los cambios ambientales que el sistema en lazo abierto.

.~~------------------....... + .. j~----~~ - -----'

Efectos de las perturbaciones

Figura 1.32 Sistema de control en lazo abierto con una perturbacin

--~ ...... _----

Efectos de las perturbaciones 27

Ejemplo 11 Un sistema de control en lazo cerrado tiene una funcin de transfe~ renca de la trayectoria directa de lO. Cunto debe ser la funcin de transferencia de la trayectoria de realimentacin para que el error en estado estable sea cero?

Respuesta Segn la ecuacin [7]

E=6(_G __ l ) 11+GH

para que E sea cero, entonces G

--=1 I+GH

por lo tanto, con G = 10, entonces

10=1 +10H

y, de este modo, H debe ser O.~.

Una consideracin importante con un sistema de control es el efecto de cualquier perturbacin. De esta manera, en un sistema de calefac~ cin central domstico con un sistema de control en lazo abierto in~ volucrado, el calefactor se enciende para obtener la temperatura re~ querida en la habitacin, qu ocurrir si alguien abre la ventana y permite que el aire fro entre en la habitacin? Tal perturbacin se puede incorporar en el diagrama de bloques del sistema de la forma que muestra la figura 1.32. En este caso, la perturbacin 6 d se suma a la salida del proceso. Para tal situacin se tiene

[8]

G, G2e, + e.

El trmino 6 d es el error en estado estable adicionado al sistema por la presencia de la perturbacin.

Si la perturbacin se adiciona al sistema entre los elementos 1 y 2 (como ilustra la figura 1.33), entonces

[9] El trmino G26 d es el error en estado estable adicionado al sistema por la presencia de la perturbacin.

Con un sistema en lazo cerrado, por ejemplo, en un sistema de ca~ lefaccin central domstico si el valor fijado en el termostato no se modifica y alguien abre la ventana y permite que el aire fro entre a la habitacin, el sistema de control sujeto a tal perturbacin se puede


Figura 1.33 Sistema de control en lazo abierto con una perturbacin

Figura 1.34 Sistema de control en lazo cerrado con una perturbacin

ed

I---+--- G2 (G,e, + ea)

representar mediante un diagrama de bloques de la forma que mues-tra la figura 1.34. La seal de error al elemento 1 es ce j f), dondef es la seal de realimentacin. La seal de salida del elemento 1 yen-trada al elemento 2 es, G (e; f). La salida del elemento 2 es GP2 (e - f) La perturbacin se agrega a ste en este punto y as la salida eo es

eo GP2 ce j - f) + ed

G,G,(e, - f)

e,

G,G,(e, -f)+ed I---r-+-- e o

6 Pero la realimentacinf es He o' Por tanto

I 1 (

eo = GPz(e He o ) +ed G 1) () I ~ 8?~ Reordenando se obtiene

I J'

e{1+~2H )+e{I+G~G2H) [10] El trmino ed [1/(l + GP2H)] es el error en estado estable que se in-corpora al sistema mediante la perturbacin, Si esta ecuacin se compara con la situacin en lazo abierto, es decir, la ecuacin [8], se ver que el efecto de la perturbacin se modifica por el factor 1/ (1 + Gp 2H) . Esta propiedad de modificar el efecto de una pertur-bacin se denomina rechazo a perturbaciones.

La figura 1.35 muestra un sistema en lazo cerrado y la perturba-cin se presenta entre los dos elementos de la trayectoria directa. Para el sistema la entrada al primer elemento es (e - f) y su salida es G (e f). sta se combina con la perturbacin e d para dar la en-trada al segundo elemento. AS, la salida de este elemento e o es

eO =G2 [Gce f)+e d ] Puesto que f He o , entonces

-~. -----~-- .... ~---_ .. ~ ...... _-____ .... _t:rii..... __ -~------_ ...... ------.;

(

Figura 1.35 Sistema de control en lazo cerrado con una perturbacin

b'

, , '.

\ LI!

\ ,/"

Efectos de las perturbaciones 29

B,

e,

Lo cual se puede simplificar a

o{ 1 +d2H J+O{ 1 +~~2H J [11] El trmino O d [Gz!(l + GpzH)] es el error en estado estable que se introduce al sistema mediante la perturbacin. Si esta ecuacin se compara con la de la situacin en lazo abierto, es decir, la ecuacin [9], se ver que el efecto de la perturbacin se modifica en la situa-cin en lazo cerrado por el factorGz!(l + GP2H ) Y en la situacin en lazo abierto slo por Gz. El factor 1/ (I + GP2H) es as una medida de qu tanto se modifican los efectos de la perturbacin con el lazo de realimentacin. Esta propiedad de modificar el efecto de la perturba-cin se denomiriarechaz6:.a"CpetUrbaciones.-'-----~----~

esteii:'odo, siempre 'que ~;epreserite-Uifa perturbacin en el sis-tema en lazo cerrado, su efecto se reduce por el factor 1/(1 + GH), donde G es la funcin de transferencia de la trayectoria directa (G GP2) Y H es la funcin de transferencia de la realimentacin. sta es una de las ventajas de los sistemas de control en lazo cerrado

soO::~Tos-s1Ste-rasdeco1iorcii'Iazoaoerto: stos son mucho mej b~ res para aminorar los efectos de las perturbaciones en el sistema.

Las pert~rbaciones se pueden presentar de varis formas; el tr-mino perturbaein se puede interpretar como una seal no deseada la cual afecta la salida del sistema. Las perturbaciones pueden venir de fuentes exgenas, por ejemplo, alguien abre una ventana y afecta as el sistema de calefaccin para la habitacin o quizs el viento que afecta la orientacin de la antena del radar o un bache en el camino que afecta el manejo de un vehculo en un camino. Las perturbacio-nes tambin pueden venir del interior del sistema, por ejemplo, ruido elctrico en un amplificador.

Ejemplo 12 Un amplificador electrnico tiene una funcin de transferencia de 100. Cunto mejorar el amplificador en el reehazo del ruido gene-rado internamente si ste cuenta con un lazo de realimentacin con una funcin de transferencia de lO?


Sensibilidad a cambios en los componentes

Respuesta El efecto de adicionar un lazo de realimentacin es el de reducir el efecto de la perturbacin en un factor de 1/ (1 + GH). De este modo, el efecto del ruido se reduce en un factor de 1/ (1 + 100 x 10) 1/1001.

Con un sistema en lazo abierto la funcin de transferencia global est dada por la ecuacin [2] como

Funcin de transferencia GI x Gz X G3 donde Gp G2 Y G3 son las funciones de transferencia de los elemen-tos en el sistema. Los cambios en las caractersticas de estos elemen-tos con el tiempo y las condiciones ambientales pueden resultar en un cambio en la funcin de transferencia. As, por ejemplo, si un ele-mento es un motor, el incremento de la friccin en los rodamientos resultara en un decremento en la funcin de transferencia del motor. Un cambio en la funcin de transferencia del elemento 1 de G sig-nifica un cambio en la funcin de transferencia global para el siste-ma en lazo abierto de

Cambio en la funcin de transferencia GI x Gz X G) [12] Con un sistema en lazo cerrado la funcin de transferencia global

est dada por la ecuacin [4] como

Funcin de transferencia = GP2G3 1+ GP2G3H

donde GI , Gz Y G) son las funciones de transferencia de los elemen-tos en la trayectoria directa y H, la funcin de transferencia de la tra- , yectoria de realimentacin. Si GpzG3H es mucho mayor que 1, en-tonces la expresin se aproxima a

Funcin de transferencia J.. H

Por ejemplo, cualquier cambio en la funcin de transferencia del ele-mento 1 en la trayectoria directa, tendr un efecto insignificante sobre la funcin de transferencia global. Esto tiene un marcado con-traste con la situacin de un sistema en lazo abierto y esta insensibi-lidad a cambios en las caractersticas de los elementos de la trayecto-ria directa es una de las ventajas de los sistemas en lazo cerrado sobre los sistemas en lazo abierto. Sin embargo, un cambio en la fun-cin de transferencia de la trayectoria de realimentacin producir un correspondiente cambio en la funcin de transferencia global del sistema. El sistema en lazo cerrado no es insensible a cambios en las caractersticas de los elementos en la trayectoria de realimentacin.

Ejemplo 13 Un amplificador operacional tiene una funcin en lazo abierto de 200000 Y una funcin de transferencia en la trayectoria de realimen-

-~ ... _---------"---_ ... .....--..I

Estabilidad de los sistemas de control

Figura 1.36 a) Estable, b) inestable

Estabilidad de los sistemas de control 31

tacin de 0.1. 'Cul ser el cambio porcentual en la funcin de trans-ferencia global si la funcin de transferencia del amplificador cam-bia en 10%?

Respuesta Para el sistema en lazo cerrado, segn la ecuacin [3J,

Funcin de transferencia == G l+GH

As, de manera inicial 200000 Funcin de transferencia = ------

1 +200000xO.l 9.9995

El cambio en la funcin de transferencia significa que la funcin de transferencia para el amplificador es de 180000. Por tanto, la nueva funcin de transferencia est dada por

Funcin de transferencia == __ 1_8_0_0_0_0 __ 1 + 180000xO.l

9.9994

El cambio en la funcin de transferencia global es 0.0001 y, por lo tanto, es un cambio porcentual de 0.01 %. As, al usar el amplificador sin realimentacin se tendra un cambio de 10% en la funcin de transferencia; con realimentacin este cambio es de 0.01 %.

En trminos mecnicos se dice que un sistema est en equilibrio es-table, si cuando se le da un empujn, ste regresa a su posicin origi-nal cuando se deja de empujar. Un ejemplo de esta situacin es una bola en reposo sobre un plato esfrico (figura 1.36). Cuando la bola se empuja, sta se mueve hacia un lado del plato, pero cuando se deja de empujar, regresa pronto a su posicin de reposo al centro del pla-to. Sin embargo, la posicin sera inestable si la bola estuviera en re-poso sobre la parte exterior del plato si ste se voltea, cualquier lige-ro empujn causa que la bola ruede y no regrese a su posicin original ~uando se deja de empujar.

Regresa cuando se deja de empujar

Se empuja y no regresa

En general, se dice que un sistema es estable si cuando est sujeto a una entrada o perturbacin acotada entonces la salida es acotada. Una entrada o salida acotada es la que tiene una magnitud finita. As, en el caso de la bola, la entrada es al inicio cero, seguido de un empu-jn que no contina en forma indefinida sino que cesa despus de un tiempo. La salida en la condicin estable es tal que el empujn causa el movimiento de la bola y que se desplace de su posicin de reposo, pero eventualmente el movimiento de la bola cesa y el desplaza-


miento no contina incrementndose o cambiando, En la condicin inestable, el desplazamiento de la salida se va incrementando, es de-cir, una entrada de magnitud finita puede producir una salida que crece sin lmite.

La condicin para estabilidad tambin se puede expresar como que un sistema es estable si al excitarlo con un impulso la salida re-gresa eventualmente a cero.

Los sistemas de control en lazo abierto son inherentemente esta-bles. Una entrada finita produce una salida finita y que en forma in-definida no cambia con el tiempo. Al incrementar la funcin de transferencia de un elemento en tales sistemas no tiene efecto en la estabilidad del propio sistema. As, para un sistema en lazo abierto denominado mquina de barras de chocolate, el insertar la moneda apropiada dar como resultado una barra de chocolate, no continua-r dando barras de chocolate de manera indefinida. Al cambiar el tipo de barra, el costo de cada barra no tiene efecto sobre la estabili-dad del sistema.

No obstante, los sistemas en lazo cerrado pueden mostrar inesta-bilidad, que se puede presentar como resultado de tiempos de retar-do que ocurren entre el cambio en la variable y la seal de realimen-tacin que resulta de la respuesta del sistema, Un ejemplo es el sistema de control para un brazo robtica, o la mano de un borracho: levantar una tasa de caf, La mano se mueve hacia la tasa de caf y se supone que vira hacia la derecha de la trayectoria requerida, Al darse cuenta de esta desviacin se enva una seal a la mano para iniciar el movimiento a la izquierda. Esta seal contina en la situacin ideal hasta que la mano alcanza la trayectoria requerida. Sin embargo, si hay tiempos de retardo en el sistema, la accin puede continuar por un periodo prolongado y la mano puede sobrepasar la trayectoria re-querida antes de que el sistema reaccione. Entonces la mano est muy alejada a la izquierda. Se enva entonces una seal para que la mano se mueva a la derecha. Una vez ms, debido a los tiempos de retardo la mano sobrepasa la trayectoria requerida y termina ahora a la derecha de la posicin requerida, El ciclo entero se puede repetir dirigindose la mano hacia adelante o hacia atrs, de un lado a otro, de la trayectoria requerida. De esta manera, una perturbacin inicial puede producir una situacin inestable. La inestabilidad depende de la funcin de transferencia de la trayectoria directa, puesto que un valor grande para sta resultara en un gran movimiento de la mano durante el tiempo de retardo.

Otro ejemplo de inestabilidad se puede presentar cuando una per-sona para baarse ajusta en forma manual la temperatura del agua mediante una llave mezcladora, la cual permite determinar las canti-dades relativas de agua caliente y fra. Suponga que al principio el agua est muy fra. Entonces se incrementa el elemento agua calien-te. Sin embargo, existe un tiempo de retardo antes de que el agua ca-liente alcance la salida de la regadera. De este modo, si la persona no espera y slo responde a la temperatura del agua, continuar incre-mentando el elemento agua caliente. El resultado ser que cuando el agua muy caliente alcance la salida de la regadera se calentar muy

~ I

Lazo cerrado contra lazo abierto

Problemas

Problemas 33

rpido. La persona entonces incrementa el elemento agua fra. Una vez ms, debido al tiempo de retardo que transcurre antes de que el agua se enfre a la salida de la regadera, la persona continuar incre-mentando el elemento agua fra. El resultado ser que cuando el agua fra alcance la salida de la regadera se enfriar muy rpido. As, el ciclo se repite con el resultado de que la temperatura del agua en la salida de la regadera oscilar ampliamente.

Lo anterior es slo una consideracin superficial de estabilidad, un estudio ms detallado aparece en el captulo 6.

Las ventajas de tener una trayectoria de realimentacin y, por lo tan-to, un sistema en lazo cerrado en lugar de un sistema en lazo abierto se pueden resumir de la manera siguiente: 1 Ms exacto en la igualacin de los valores real y requerido para

la variable. 2 Menos sensible a las perturbaciones. 3 Menos sensible a cambios en las caractersticas de los compo-

nentes. 4 La velocidad de respuesta se incrementa y, por lo tanto, el ancho

de banda es mayor, es decir, el intervalo de frecuencias en los que el sistema responder.

Pero hay algunas desventajas: 1 Hay una prdida en la ganancia en cuanto a que la funcin de

transferencia de un sistema en lazo abierto, se reduce de G a GI (1 + GH) por una trayectoria de realimentacin con una fun-cin de transferencia H.

2 Existe una gran posibilidad de inestabilidad 3 El sistema es ms eomplejo y, por lo tanto, no slo ms caro,

sino ms propenso a descomposturas.

1 Explicar la diferencia entre los sistemas de control en lazo abier-to y lazo cerrado.

2 Establecer cules de los siguientes sistemas de control son en lazo abierto o en lazo cerrado y dar las razones de sus asevera-ciones: a) Una tetera elctrica que se apaga cuando el agua hierve. b) Un refrigerador. e) Una hornilla elctrica sin termostato.

3 Los semforos en un cruce de calles puede ser un sistema de control en lazo abierto o en lazo cerrado. Explicar cmo diferi-ran los sistemas.

4 Dibujar un diagrama de cajas negras donde se muestren los sub-sistemas de los siguientes sistemas de control en lazo cerrado: a) Cmara de exposicin automtica. b) Un horno controlado por un termostato. e) Una luz automtica enciende cuando se oscurece y se apaga

cuando se aclara. .

----. -_~. _______ -"''-''' ...... 41-__ ----


Figura 1.37 Problema 10

5 Explicar la diferencia entre las estrategias de control de dos po-siciones y proporcional.

6 Qu tipo de estrategia de control es probable que se emplee en los siguientes sistemas de control: a) Un refrigerador domstico. b) Un tostador de pan. e) Levantar una tasa de caf.

7 El sistema de control automtico para la temperatura de un bao mara consiste en un voltaje de referencia que se alimenta a un amplificador diferencial, el cual tiene a su salida un relevador que conecta o desconecta la alimentacin de energa al calefac-tor inmerso en el1quido. Se tiene una realimentacin negativa a travs de un sistema de medicin que alimenta un voltaje al am-plificador diferencial. Esbozar un diagrama de bloques del siste-ma y explicar cmo se produce la seal de error.

8 Un sistema de medicin de temperatura tiene un termmetro que produce un cambio de resistencia de 0.007 Q /oC conectado a un puente de Wheatstone que produce un cambio de corriente de 20 mA/Q . Cul es la funcin de transferencia global del siste-ma?

9 Explicar qu significa que un sistema tenga una relacin lineal entre la entrada y la salida.

10 La figura 1.37 muestra un sistema para controlar la tasa de flujo de lquido en una tubera. a) Explicar cmo opera el sistema b) Cul ser la funcin de transferencia para el lazo de reali-mentacin si el medidor de flujo tiene una funcin de transferen-cia de 2 kPa por mis y el convertidor de presin a corriente de 1.0 mAporkPa? e) Cul es la funcin de transferencia para la trayectoria di-recta si el convertidor de corriente a presin tiene una funcin de transferencia de 6 kPa por mA y la vlvula de control de 0.1 mis porkPa? d) Cul ser la funcin de transferencia global del sistema de control?

Convertidor de presin a corriente

Valor de referencia


Convertidor de corriente a presin

------------~-~

Problemas 35

11 Cul ser el error en estado estable para un sistema de control de temperatura en lazo abierto que consta de un controlador con una funcin de transferencia de 1.0 en serie con un calefactor con una funcin de transferencia de 0.80 CN y cul ser el cambio porcentual en el error en estado estable si la funcin de transferencia del calefactor disminuye en 1%?

12 Cul ser el error en estado estable para un sistema de control de temperatura en lazo cerrado que consta de un controlador con una funcin de transferencia de 20 en serie con un calefactor con una funcin de transferencia de 0.80 CN y un lazo de realimen-tacin con una funcin de transferencia de 10 V/oC y cul ser el cambio porcentual en el error en estado estable si la funcin de transferencia del calefactor disminuye en 1 %?

13 Explicar por qu los sistemas realimentados en lazo cerrado son mucho mejores respecto al rechazo a perturbaciones que los sis-temas en lazo abierto.

14 Un sistema en lazo abierto tiene una funcin de transferencia de K. Cul ser el efecto sobre la salida del sistema si la funcin de transferencia se reduce a (tK)? Cul sera el efecto si el sistema tuviera un lazo de realimentacin con una funcin de transferen-cia de 1?

15 Cules son las ventajas y desventajas de un amplificador que cuenta con un lazo de realimentacin?

Introduccin

Bloques funcionales de sistemas mecnicos

2 Modelos de sistemas

Para analizar los sistemas de control se necesitan modelos matemti-cos de los elementos que se emplean en dichos sistemas. Estos mo-delos son ecuaciones que representan la relacin entre la entrada y la salida del sistema (vea el captulo 1). Las bases de cualquier modelo matemtico provienen de las leyes fsicas fundamentales que go-biernan el comportamiento de un elemento. En este captulo se con-siderar una variedad de sistemas, en los que se incluyen ejemplos de los tipos mecnico, trmico y fludicos.

A partir de una variedad de bloques funcionales, es posible for-mar sistemas del mismo modo que un nio construye casas, coches o gras con bloques funcionales de un mecano. Se considera que cada bloque posee una funcin y propiedades nicas. De este modo, un ejemplo sencillo es un sistema o circuito elctrico que se puede for-mar a partir de bloques funcionales que representan el comporta-miento de resistores, capacitores e inductores. Se supone que el blo-que del resistor tiene slo la propiedad de resistencia; el capacitor, la de capacitancia, y el inductor, la de inductancia. Al combinar de di-ferentes maneras estos bloques funcionales es posible f

Ingenieria de Control

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