Ingeniería Económica 1- Aplicaciones con Voyage 200
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[ A p l i c a c i o n e s c o n
T e x a s I n s t r u m e n t s
V o y a g e 2 0 0 ]
2 0 1 0
M a t e r i a p a r a :
I n g e n i e r í a I n d u s t r i a l
I n g e n i e r í a M e c á n i c a
I n g e n i e r í a E l é c t r i c a
I n g e n i e r í a Q u í m i c a
B u s i n e s s S u i t e
& E c o n o m í a
I n v i e r n o 2 0 0 9
EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::
II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ [En este manual podrás encontrar aplicaciones para
diversos temas de Ingeniería Económica 1, todas las
aplicaciones necesarias sustitutos de una calculadora
financiera, así como programas especializados para ésta
materia]
Ingeniería Económica 1
LEER NOTA IMPORTANTE
EN PÁGINA SIGUIENTE
NOTA IMPORTANTE: Para usar las aplicaciones completas contenidas en éste
manual para la materia de Ingeniería Económica 1 debes haber instalado los
programas “Businesssuite92” y “Economía” con anterioridad en la
calculadora, así como las funciones adicionales contenidas en la carpeta
“EKO1” todo esto se encuentra en la versión en DVD del MANUAL DE
INSTALACIÓN DE SOFTWARE PARA CALCULADORAS TEXAS INSTRUMENTS
VOYAGE 200 ó dirígete a la página de internet www.texasfcqei.com donde
también puedes descargar los programas y está explicado el cómo
transferirlos a tu calculadora, además en este sitio se encuentra éste mismo
curso en línea con video tutoriales y ejercicios interactivos. Es muy sencillo
instalar el programa y te tomará poco tiempo. Asegúrate de solicitar un cable
TI-USB Silver Link para transferir exitosamente los programas, éste se
encuentra de igual forma en donde solicitaste tu calculadora.
La razón por la cual no instalé los programas en todas las calculadoras es
porque esta materia es exclusiva de la etapa disciplinaria de las carreras de
Ingeniería Industrial, Ingeniería Mecánica, Ingeniería Química e Ingeniería
Eléctrica, por respeto a los estudiantes de otras carreras que pudieran llegar
a ocupar las calculadoras no les sería grato encontrar calculadoras con
programas ajenos a sus carreras y dejarlas sin memoria disponible para otros
programas especializados en su área. Es por esto que también te pido que
cuando termines el préstamo de tu calculadora desinstales los programas ya
que la memoria de la calculadora es limitada.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200
Función Forma de
escritura en HOME
Descripción simple Ejemplo.
Valor absoluto
abs(expr)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.
Raíz de cualquier
orden
�������
(expr)^(n/m)
Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.
Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Secante sec(expr)
Cotangente cot(expr)
arc coseno cos-1(expr)
Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.
arc seno sen-1(expr)
arc tangente
tan-1(expr)
arc cosecante
csc-1(expr)
arc secante sec-1(expr)
arc cotangente
cot-1(expr)
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Índice General Página 4
Índice General
I. Introducción…………………………………………………………………………….5
II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7
III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9
IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11
V. Índice de Ingeniería Económica 1………….……………………………….21
VI. Contenido…………………………………………………………………………23-86
VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..87
VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..92
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introducción Página 5
Introducción
Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas
el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran
campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a
lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.
Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro
que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje
impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar
cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar
grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:
1. Química General
2. Algebra Lineal
3. Calculo Diferencial
4. Calculo Integral
5. Ecuaciones Diferenciales
6. Probabilidad y Estadística 1
7. Probabilidad y Estadística 2
8. Física 1
9. Física 2
10. Física 3
11. Fisicoquímica
12. Termodinámica
Y de las demás materias disciplinarias
(Programa Académico de Ingeniería Industrial):
13. Diseño de Experimentos
14. Computación 2
15. Resistencia de Materiales 1
16. Circuitos Eléctricos 1
17. Investigación de Operaciones 1
18. Investigación de Operaciones 2
19. Tecnología de los Materiales
20. Ingeniería Económica 1
21. Ingeniería Económica 2
22. Control Estadístico del Proceso
23. Medición del Trabajo
24. Metrología
25. Administración Financiera
Las materias en Negritas son las
que recomiendo fuertemente para
el uso de esta calculadora porque
facilita mucho el trabajo y también
existen programas específicos y
didácticos para cada una.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introducción Página 6
PRÉSTAMO
Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú
puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por
espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con
el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la
facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende
de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:
• Copia de tu credencial de la Universidad
• Copia de tu toma de materias actual
• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual
Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Detalle Técnico Página 7
Detalle Técnico
Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:
� 1 Calculadora
� 1 Carcasa
� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)
� 1 Bolsita protectora
Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu
computadora debes solicitar también:
� 1 Cable TI-USB Silver-Link
Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN
DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.
Pasos al Iniciar sesión:
1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la
calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.
IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.
2. Retira la carcasa de la calculadora:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Detalle Técnico Página 8
3. Colócala por atrás para protegerla mejor.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Detalle General de Teclas Página 9
Detalle General de Teclas
La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las
teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente
te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.
La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas
que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en
algunos casos entrar a menús avanzados.
Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte
superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.
Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de
Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.
La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las
aplicaciones y programas de la misma.
La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.
La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al
dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de
Cursor
Parte Numérica
Teclado Extendido Teclas especiales Shift,
DIAMANTE, 2nd
Teclas F1-F8
Tecla APPS
Tecla CLEAR Tecla ESC
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Detalle General de Teclas Página 10
datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en
cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.
La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en
algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.
La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11
Introduciendo datos y
expresiones
correctamente
Se ha dedicado un capítulo completo a la
explicación de cómo introducir datos y
expresiones correctamente debido a que se
han identificado numerosos errores de
escritura en muchos estudiantes a la hora de
teclear los datos, lo cual es de vital
importancia ya que de teclear
incorrectamente la información nos puede
arrojar resultados incorrectos o muy
diferentes a lo que queremos en realidad,
independientemente del programa en el que
estemos éstas reglas son para cualquier
aplicación en el que se esté trabajando, es
conveniente tomarse un tiempo para
entender y practicar estos sencillos ejercicios
para que escribas correctamente la
información en cada tarea que resuelvas.
Signo Menos
Es importante que a la hora de teclear una
expresión en la calculadora se teclee el signo
menos adecuado en cada caso. Se debe
seguir la siguiente regla:
“Cuando se escriba una expresión en la que
se inicie con signo negativo debe usarse la
tecla con signo negativo entre paréntesis
”. Esto mismo se usa con las
calculadoras científicas habituales. Veremos
un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,
tecla ON:
Muévete con el cursor a través de las
aplicaciones y posiciónate en HOME y da
ENTER:
Por ejemplo, si queremos escribir:
�7� 8
Damos ENTER :
Vemos que se despliega correctamente y se
reacomoda en la línea de entrada. Este error
del uso del signo menos es muy común y
debe usarse ya sea en el inicio de una
expresión o en la de un exponente que
queramos a una potencia negativa o después
de que se ha cerrado un paréntesis. Para
borrar la línea de entrada teclea CLEAR.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 12
Si se hubiera puesto el otro signo menos
hubiera salido un resultado completamente
diferente e incorrecto. Otro ejemplo:
��
Vemos que se lee correctamente, si
hubiéramos puesto el signo contrario:
Vemos que nos indica que hay un error de
sintaxis en la línea de entrada.
“En cualquier otra posición de una
expresión que no sea el inicio, el signo
negativo que debe usarse es el de la tecla
blanca .”
Por ejemplo:
��� 8� � 13
Para el primer término como esta al inicio se
usa el signo menos de la tecla negra y para el
último término se usa el signo menos de la
tecla blanca:
Como tip podemos decir que en la línea de
entrada el signo menos de la tecla negra está
un poco más pequeño y más arriba que el de
la tecla blanca.
Paréntesis
El uso correcto de los paréntesis es muy
importante ya que de igual manera va a
definir nuestras expresiones. Los paréntesis
dividen expresiones completas en la línea de
entrada de la calculadora, hay algunas
funciones como la función exponencial,
logaritmo natural o las trigonométricas que
cuando lo tecleas inmediatamente te abre un
paréntesis y lo hace con la finalidad de que
definas correctamente lo que va dentro de
esa función. Es importante recordar que
“Todo paréntesis que se abre debe
cerrarse”. Por ejemplo supongamos que
deseamos escribir:
sin 7� 8�� � ln �
Al teclear la función de seno se abre
automáticamente el paréntesis e
inmediatamente después debemos escribir
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 13
el argumento del seno para después cerrarlo
con el paréntesis de cierre:
Es importante también cerrar
ordenadamente cada paréntesis que se abra,
veamos otro ejemplo:
√cos � � sin 2�
Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de
signo de multiplicación y si te fijas se
abre el paréntesis inmediatamente después
del símbolo de la raíz y luego debemos
escribir la expresión de adentro y cerrar con
el paréntesis final para indicar que todo va
dentro de la raíz:
Fíjate en el orden de los paréntesis, el
primero es el que encierra a todos los demás,
damos ENTER:
Signo de División
Este es otro error algo común a la hora de
escribir las expresiones, y hay que seguir otra
regla muy simple cuando usamos el signo de
división:
“Cuando haya más de un término en el
numerador o denominador en una división,
estas expresiones deben encerrarse entre
paréntesis”
Por ejemplo si deseamos escribir:
3�9� 13
Como hay un solo término en la parte de
arriba no es necesario teclear el paréntesis,
pero como en la parte de abajo hay más de
uno, debemos teclear los paréntesis en la
parte de abajo, la forma de escritura se
podría resumir con este tip:
� �� � !é�#$ %&/� �� � !é�#$ %&
Vemos en la pantalla como se ve
correctamente la escritura de la expresión
que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no
ponemos los paréntesis? Observa:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 14
Vemos que al dar ENTER la calculadora
entiende otra cosa completamente distinta.
Es un muy buen tip que observes lo que
escribiste al dar ENTER en la parte izquierda
de la pantalla y veas si esa expresión es la
que quieres.
Otro ejemplo:
�� 8��7�� 3� � 15
Como en el numerador y denominador hay
más de un término deben escribirse ambos
paréntesis al inicio y al final de cada
expresión, damos ENTER:
Nótese que en el denominador como la
expresión inicia con un término con signo
negativo se empieza usando el menos de la
tecla negra, y el siguiente es con la tecla
menos blanca. Recordemos que los
paréntesis dividen expresiones completas,
por eso aunque este en medio de la línea de
entrada se usa el signo negativo negro.
También notamos que la calculadora
factoriza la parte de arriba y cambia signos
por comodidad, siendo esto una igualdad
exacta.
Exponentes
Otro error relativamente común son los
exponentes. Por ejemplo si queremos
escribir:
���)
Como veras a simple vista en la calculadora
no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta
la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del
orden que sea se debe usar el exponente con
la sencilla regla:
√��� * �� +⁄
Cuando se escribe un exponente en
fracciones en la calculadora, de igual
manera debe ponerse entre paréntesis
después del símbolo de exponente:
Al dar ENTER vemos la expresión correcta de
la equis con su exponente. De igual manera
se recalca la importancia de poner entre
paréntesis esta expresión ya que de no
hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,
observa:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 15
Vemos que al no ponerlo la calculadora
entiende que se trata de una equis cuadrada
entre tres y no es la expresión adecuada. Por
eso es MUY IMPORTANTE el escribir
correctamente la información en la
calculadora ya que de no hacerlo nos dará
resultados incorrectos.
Listas ó Matrices
Cuando escribas en listas o matrices
(generalmente las usaras en materias como
Algebra Lineal, Investigación de Operaciones
1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería
Económica 2) es importante que recuerdes
que las comas “,” también dividen
expresiones y por lo tanto si por ejemplo
escribes un dato con signo negativo es como
si iniciara una nueva expresión y debe
teclearse con el signo menos de la tecla
negra.
Por ejemplo al escribir la lista:
-5, �6,8, �2,10
Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”
+ paréntesis de apertura o cierre
:
Vemos que al dar ENTER la lista se crea con
los datos de signo correctos, de poner el otro
signo menos ocurriría un error de sintaxis.
Funciones solve, factor, expand
Si estás trabajando en materias como calculo
diferencial, cálculo integral, algebra lineal es
posible que te sean útiles éstas funciones. En
general se te explicarán en el curso de la
materia que tomes si es que te son de ayuda.
De todas maneras aquí se te explica un poco
de cómo usarlas. Todas estas funciones están
en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre
cada una se copia a la línea de entrada para
usarse:
Función Solve
La función solve resuelve igualdades o
inecuaciones en la línea de entrada de HOME
lo único que necesitas es introducir la
ecuación en la línea de entrada, la respectiva
igualdad o inecuación, luego la respectiva
coma e inmediatamente después la variable
que deseas que la calculadora encuentre, de
esta forma:
1%23���4�54$ó , 35�$572�&
Por ejemplo nos piden encontrar los valores
de X que satisfacen la expresión:
�� 6�� 5� 30 * 75
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 16
En la línea de entrada de HOME se debe
introducir de esta forma:
1%23���� 6�� 5� 30 * 75, �&
Ahora simplemente damos ENTER:
Y se llega al resultado.
Función Factor
La función factor como su nombre lo indica
factoriza expresiones (de ser posible) y
devuelve la multiplicación adecuada que
daría como resultado esa expresión. Su
forma de escritura es:
954!%�������1$% &
Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma
ni variable a buscar ya que no necesita de
una variable para encontrar, sino que va a
factorizar con las variables que tengas dentro
de la expresión. Por ejemplo te piden
factorizar la siguiente expresión:
�� 9�� � 7� � 63
Para introducirlo en la línea de entrada de
HOME sería así:
954!%���� 9�� � 7� � 6&
Damos ENTER y vemos:
Nos devuelve la factorización adecuada de
binomios que daría como resultado ese
polinomio.
Función Expand
La función expand es la función inversa de
factor, cuando introduzcas una expresión
elevada a una potencia o una multiplicación
de expresiones lo que va a hacer es
desarrollar esa multiplicación para que la
visualices por completo. Su forma de
escritura es similar a la de factor:
���5 �������1$ó &
Por ejemplo supongamos que necesitas
desarrollar la expresión:
�2�� 9&�
En la línea de entrada de HOME se debe de
introducir así:
���5 ���2�� 9&�&
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 17
Damos ENTER y vemos:
Operador With
El operador “with” es un comando
condicionante, en la calculadora se puede
combinar con varias funciones de la misma
para restringir la búsqueda de una respuesta
ó para sustituir un valor en una variable en
una expresión dada. Su símbolo es |. Tú
puedes combinarlo de la siguiente forma:
1. Pidiéndole que sustituya un valor en una
variable, esto es útil cuando quieres sustituir
un valor cualquiera en una expresión grande
y tendrías que hacer varias operaciones a
mano, por ejemplo:
5� 7��
3�� 12�� � 5�
Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya
equis y evaluarlo. Primero debes teclear la
expresión completa en la línea de entrada y
luego teclear este operador, el operador
“with” sale tecleando “2nd” + letra K del
teclado extendido. En la línea de entrada
quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
Como puedes ver opera la expresión,
también antes de dar ENTER puedes
presionar DIAMANTE y te devolverá un valor
numérico aproximado.
2. También lo puedes usar para restringir la
búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas
sólo la solución positiva de X para:
�� � 2� � 15 * 0
Para ésta igualdad como sabemos ocupamos
la función solve y al finalizar de escribir la
función restringimos la búsqueda a X>0:
1%23���� � 2� � 15 * 0, �&|� ; 0
En la línea de entrada quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de
punto de la parte numérica.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 18
Mensajes de Error Comunes
Los mensajes de error comunes suceden
cuando en la línea de entrada cometiste un
error de sintaxis o que falta una variable o
alguna expresión necesaria.
Uno de los más comunes es el mensaje de
“Missing )”:
Nos indica que falta un paréntesis ya sea de
cierre o apertura en la línea de entrada. Este
error hace referencia a la regla que dice
“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”
Otro error común es el de “Syntax”:
Este error nos indica que hemos escrito algo
mal en la línea de entrada, generalmente se
debe a los signos negativos, es decir que
hemos usado los inadecuados.
También tenemos éste otro error, el de “Too
few arguments”
El cual nos indica que hacen falta
argumentos para la función, esto se explicará
con el uso mismo de los programas y
software para que sepas como y donde
ponerlos.
Un último factor importante en el uso de la
calculadora es que después de que le des
una orden ya sea dando ENTER o con
cualquier otra tecla de resolución dejes que
la calculadora “piense” o resuelva lo que le
has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice
en la esquina inferior derecha, aparece el
recuadro de BUSY, lo cual indica que esta
ocupada y no debes teclear nada hasta que
te devuelva una respuesta.
Borrando Variables
Es importante que de cuando en cuando
después de haber usado tu calculadora
elimines las variables con valores asignados
que se hayan podido guardar en la memoria,
esto ocurre algunas veces cuando ocupas la
función solve ó cuando usas el Numeric
Solver, para eliminar las variables estando en
HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da
ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:
Al hacer esto borras automáticamente todos
los valores que podrían contener las
variables de la “A” a la “Z”. Es importante
que hagas esto cuando inicias un nuevo
problema.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 19
Multiplicación Implícita de Variables
Otro error bastante común a la hora de
teclear los datos es que nosotros al escribir a
mano damos por hecho la multiplicación
implícita de variables en una expresión, por
ejemplo al escribir:
�< 3�� � 2<=
Nosotros por intuición y por lo que nos han
enseñado sabemos sin problema que en la
primer y último termino hay una
multiplicación de variables X por Y y Y por Z.
En la Texas debemos especificar ésta división
de variables ya que si las tecleamos juntas la
Texas pensará que se trata de una variable
única llamada XY ó YZ:
La forma correcta es teclear el signo de
multiplicación entre ambas variables:
Podemos ver la diferencia, como tip puedes
observar el pequeño punto entre la X y la Y,
así como entre la Y y la Z indicando la
independencia de cada variable. Es
importante teclear esto correctamente, ya
que en el uso de alguna función podría no
reconocer la variable que quieres que
resuelva, por ejemplo:
Podemos ver que al resolver una igualación a
15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta
variable ya que para la Texas solo hay
variables X, XY y YZ, lo correcto sería:
Cuando todo falla
Se ha llegado a ver situaciones en donde la
pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto
ocurre generalmente cuando no esperaste
una respuesta de la misma cuando estaba en
estado BUSY, siempre debes esperar
después de darle un comando de resolución
o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a
que te devuelva un valor o mensaje, NO LA
FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el
estado de la misma, éste se encuentra
siempre activo en la esquina inferior derecha
de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez
y ordenadamente. De todas maneras si se te
llegara a trabar presiona al mismo tiempo
estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:
+ + . Esto reiniciará la
calculadora completamente y sin problemas.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 20
Ephy
Pensando en el gran número de usos en el
área de Química y sus modalidades
combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,
Química Orgánica, etc.) instalé en todas las
calculadoras una práctica tabla periódica de
los elementos que puedes consultar. Para
entrar a ella estando en HOME teclea en la
línea de entrada la combinación “EPHY()” y
da ENTER:
Da ENTER nuevamente para continuar:
Y verás:
Y puedes desplazarte por cada elemento, y
para ver su información da ENTER sobre el
símbolo del elemento que deseas ver y verás
su ficha completa:
La desventaja es que está en francés, pero
los símbolos químicos no cambian, son
iguales para todos, además de que es
bastante entendible, la información es
explícita, la información de cada elemento es
la siguiente:
• Nombre
• Masa Atómica
• Electronegatividad
• Densidad (gr/cm3)
• Punto de Ebullición (°C)
• Punto de Fusión (°C)
• Valencia
• Configuración Electrónica
• Radio Atómico
• Por quién fue descubierto y en que
año.
Para salir de la tabla simplemente da ESC:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 21
Índice de Ingeniería Económica 1
C a p í t u l o 1 Problemas de dinero a través del tiempo
1.1 Introducción …………………………………..…….…………………………………………..23
1.2 Resolviendo en HOME(interés simple).………………………………………………23
1.3 Interés Compuesto-Resolviendo en Finance …………………………….……...29
C a p í t u l o 2 Combinación de Factores
2.1 Resolviendo en Business Suite (flujos de caja diversos)…………………….33
2.2 Gradientes.…………………………………………………………………………………………46
i) Gradiente Aritmético………………………………………………………………………….46
ii) Gradiente Geométrico………………………………………………………………………..51
C a p í t u l o 3 Tasas de Interés Nominal & Efectiva
3.1 Resolviendo en Economía
i) Tasas de Interés Nominal & Efectiva…………………………………………………..56
C a p í t u l o 4 Análisis del Valor Presente
Resolviendo en Business Suite
4.1 Análisis del Valor Presente…………………………………………………………………62
4.2 Comparación de alternativas con vidas útiles iguales, por medio del
V.P……………………………………………………………………………………………………………………….62
4.3 Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes por medio del
V.P……………………………………………………………………………………………………………………….65
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 22
C a p í t u l o 5 Depreciaciones
Resolviendo en Business Suite
5.1 Línea recta……………………………………………………………………………………….68
5.2 Suma de los dígitos de los años ……………………………………………………….70
5.3 SD & SDD (Saldo Decreciente & Saldo Doblemente Decreciente, también
llamados de Porcentaje Fijo)………………………………………………………………………………72
5.4 MACRS ó SMARC……………………………………………………………………………..77
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en HOME (Interés Simple) Página 23
Introducción
Realizar el manual de ésta materia en
específico fue algo complicado, debido a la
diversidad de temas (y formas de verlos) y
sobre todo en la manera como algunos
profesores imparten esta clase, por esta
razón se tomó lo que en esencial es común
en todos y se plasmo en este manual. Es
posible que temas de ésta materia los veas
nuevamente en Ingeniería Económica 2 (si
eres ingeniero industrial) y debas ver este
manual nuevamente. También es un hecho
que con la Texas no necesitas comprar una
calculadora financiera (que algunos
profesores solicitan para esta materia), ya
que con los programas que le instalas y el
software que ya trae es más que suficiente
para todos los temas que verás en estas
materias, tiene mucha más funcionalidad y
eficacia que una financiera y con éste manual
te darás cuenta.
Resolveremos varios ejercicios de distintos
temas para que veas las opciones que tienes
para resolver el problema y con que
programas puedes hacerlo, en realidad
puedes hacerlo con varios, solo debes
conocer cada uno y usar el que mejor
prefieras.
Resolviendo en HOME (Interés Simple)
¿A que tasa de interés simple $2000 serán
$2110 en un año?
Estos primeros problemas de interés simple
son relativamente sencillos de resolver a
mano, en la Texas vamos a poder nombrar la
ecuación de interés simple para después irla
usando para los distintos problemas que
tengas. Sabemos que la ecuación de interés
simple es:
> * ?�1 $ · !&
Donde F es el monto futuro a pagar, C es el
monto actual, i es el interés y t es el tiempo.
Encendemos la calculadora tecla ON:
Nos desplazamos con el cursor y nos
posicionamos en HOME y entramos pulsando
ENTER:
Este es HOME y es el corazón de la
calculadora y es en donde se realizan la
mayoría de los cálculos complejos y difíciles.
Verás el cursor parpadeando listo para que
introduzcas la información; primero vamos a
teclear la ecuación tal cual:
Es importante recordar que debes poner un
signo de multiplicación entre la C y el signo
de apertura de paréntesis y también entre la
i y la t. Luego para nombrar la ecuación
presionamos
la tecla STO
:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en HOME (Interés Simple) Página 24
Y verás una pequeña flechita que simboliza
asignación, es decir, a la variable que
escribas inmediatamente después se la
asignará esa expresión para que después la
puedas usar a tu conveniencia, como esta
formula es de interés simple la llamaremos
“sim”:
Y damos ENTER:
Y vemos que lo asigna correctamente, de
ahora en adelanta cada vez que tecleemos
“sim” hará referencia a la ecuación que
tenemos. Borramos la línea de entrada con
tecla CLEAR.
Ahora llamamos al solucionador solve,
tecleamos F2:
Y damos ENTER en la primera opción y se
copia a la línea de entrada la función solve:
El solucionador solve es un solucionador
instantáneo de igualdades e inecuaciones
muy poderoso, ahorita con esta ecuación es
relativamente simple encontrar los
resultados, sin embargo después que veas el
interés compuesto y formulas mucho más
complejas verás los simple que es el utilizar
esta función para hallar el resultado. Ahora
simplemente tecleamos “sim” e
inmediatamente después una coma :
Al teclear la coma le estamos diciendo a la
Texas que hemos terminado de escribir la
expresión e inmediatamente después
debemos teclear la variable que queremos
encontrar, en éste caso al leer el problema
vemos que lo que nos piden es el interés, por
lo tanto tecleamos la variable i, y cerramos el
paréntesis:
Ahora para asignarle los valores tecleamos
“2nd” + letra K con lo cual sale una pequeña
barra vertical y es el operador “with” un
condicionante:
Y simplemente tecleamos los valores que
tenemos que es “f=2110 and c=2000 and
t=1”, debe haber un espacio entre cada
operador “and”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en HOME (Interés Simple) Página 25
Y damos DIAMANTE y luego ENTER:
Y vemos el resultado directamente que es
.055 o 5.5 % de interés, esta fue la forma
“difícil” de solucionarlo aquí mismo, existe el
Numeric Solver donde puedes introducir
ésta ecuación para luego indicarle los valores
que tienes y luego resolver lo que no tienes.
Para ir a éste programa damos en tecla APPS,
nos desplazamos con el cursor y nos
posicionamos sobre Numeric Solver como
referencia tiene un símbolo de “f(x)=0”,
damos ENTER:
Este es el Numeric Solver, un solucionador
numérico de ecuaciones, aquí puedes
introducir ecuaciones con las que estés
trabajando para luego solucionar cada
variable, vemos el cursor parpadeando en
“eqn:” y tecleamos al igual que en HOME la
ecuación del interés simple:
Damos ENTER y vemos:
Aquí lo único que debemos hacer es teclear
los datos que tenemos y dejar libre los que
no tenemos, la última opción de “bound” es
el límite inferior y superior del solucionador
numérico, se deja tal cual:
Nos posicionamos sobre la variable que
deseamos encontrar y tecleamos F2 para que
la solucione:
Y vemos el resultado, la diferencia en éste
programa es que como lo hace con un
solucionador numérico, encuentra el valor
muy aproximado que es casi .055, ésta es la
única desventaja de usar el Numeric Solver
que tu debes redondear o aproximar los
resultados.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en HOME (Interés Simple) Página 26
Veamos otro ejemplo:
¿En que tiempo $2,000 serán $2,125 al 5%
de interés simple?
Primero limpiamos cada dato del Numeric
Solver posicionándonos sobre cada variable y
tecleando CLEAR:
E introducimos la nueva información:
Claro está que debes leer y entender el
problema identificar las variables que tienes
y dejar libre la variable que no tienes,
también es importante mencionar que
cuando le des en F2 para solucionar debes
estar posicionado con el cursor sobre la
variable que quieres encontrar, de lo
contrario te saldrá error:
En éste caso debes estar posicionado sobre
la variable “t” y dar F2:
Y nuevamente debes aproximar el resultado
a 1.25 lo cual debes interpretar que tomaría
1.25 años ó 1 año y 3 meses.
Otro ejemplo:
Determine el interés simple de $4,280 al 6%
del 21 de Marzo al 25 de Julio.
Para este ejemplo tendrías que sumar la
diferencia de días y tener un calendario
cerca, hay una función muy útil en la Texas
que saca la diferencia de días entre 2 fechas
dadas. Para usarla primero debemos
regresar a HOME con DIAMANTE + letra Q
del teclado extendido:
Para sacar esta función debemos llamarla del
catalogo de funciones con “2nd” + numero 2
de la parte numérica, y verás esta pantalla:
Éste es un menú general de todas las
funciones existentes en el AMS de la
calculadora (Advanced Mathemathics
Software), para ir a las funciones de los
programas tecleamos F3 “Flash Apps” y
verás:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en HOME (Interés Simple) Página 27
Éste es un menú de igual forma en orden
alfabético de las funciones de los programas
específicos, en la columna izquierda puedes
ver el nombre de la función y en la columna
derecha el programa al que pertenecen, la
función que nos interesa es la función “dbd”
(day between date), para movernos rápido
en el menú solo tecleamos la letra D del
teclado extendido y llegamos al inicio de ésta
letra:
Y listo llegamos a la función que es la
primera, damos ENTER sobre ella y se copia a
la línea de entrada de HOME:
Y ahora debemos simplemente teclear las
fechas, las fechas tienen un orden especial
de introducirse, puede hacerse de 2
maneras:
MM.DDAA (Estados Unidos) DDMM.AA (Europa)
Lo mejor es que lo uses como lo hacemos
aquí en México y que lo uses son el día, mes
y año, en este ejemplo no hay año, por lo
tanto se omite la última parte:
No se te olvide cerrar el paréntesis y damos
ENTER:
Y nos da el resultado que son 126 días entre
esas 2 fechas, si quisieras saber diferencia
entre años solo debes agregar un punto y el
año, la diferencia entre años debe estar
entre 1950 y 2049, por ejemplo el número de
días que llevo vividos:
Damos ENTER:
Volviendo a nuestro problema son 126 días.
Regresamos al Numeric Solver con “2nd” +
tecla APPS:
Sigue nuestra ecuación guardada, damos
ENTER sobre ésta y se despliega las variables
a introducir e introducimos lo conocido:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en HOME (Interés Simple) Página 28
El valor de t para hacerlo en relación con
años debe estar dividido entre el valor de un
año completo que en finanzas se considera
como 360 días:
Ahora solo nos movemos hasta f y pulsamos
F2:
Este sería el monto final, el valor del interés
producido es la resta simple de f menos c.
Lo bueno de usar el Numeric Solver es que
puedes guardar ecuaciones para luego
volverlas a usar.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Interés Compuesto-Resolviendo en Finance Página 29
Interés Compuesto-Resolviendo en Finance
Para el interés compuesto de igual forma hay
varios programas que puedes usar, el mejor
y más fácil es el Finance que ya viene
incluido en la Texas, sin embargo hay
ocasiones donde no puede encontrar los
valores por razones de “dominio” ya que
tiene un límite de valores para calcular en un
rango y es en estos casos donde es mejor
usar el solucionador de HOME (ver pag.23) ó
manejar el problema como un flujo de caja.
Veamos un ejemplo, empezaremos
resolviendo ejemplos sencillos para luego
resolver más complejos:
Hallar el interés compuesto de $1,000 por 3
años al 5%
Pulsamos tecla APPS para ir al menú general
de aplicaciones de la calculadora, nos
desplazamos hasta el programa FINANCE,
como referencia tiene un signo de pesos $ y
damos ENTER:
Quizá conviene explicar lo que significa cada
expresión, aunque algunas son obvias:
N = Número de periodos de pago I = Tipo de interés anual (convertido en un tipo por periodo basado en los valores de PpY y CpY) PV = Valor actual número real
PMT = Cantidad de pago número real, esta variable en clase quizá la veas con la letra A FV = Valor futuro PpY = Pagos por año entero > 0 CpY = Periodos de composición por año entero > 0 END BEGIN Anualidad pagadera (es decir, especificación de si el pago se realiza al principio o al fin de cada periodo) Iremos mostrando el uso para cada ejercicio
de cada variable.
Te puedes desplazar entre cada variable
dando arriba y abajo con el cursor, lo único
que tienes que hacer es identificar y teclear
los valores del
problema, I=5,
PV=1000 N=3:
Ahora para ver el resultado de alguna
variable (que en éste caso es el Valor Futuro
FV) debes posicionarte con el cursor sobre la
variable que deseas encontrar y presionar F2
“Compute”:
Y vemos el resultado directo que
corresponde a $1157.625, tu debes hacer
caso omiso del signo negativo, para la Texas
siempre debe haber un cambio de signo
entre PV y FV. También es importante
mencionar que SIEMPRE en problemas
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Interés Compuesto-Resolviendo en Finance Página 30
donde no te den capitalizaciones en algún
periodo las variables PpY y CpY deben tener
siempre el valor de 1.
Veamos otro ejemplo:
¿Qué tiempo han sido invertidos $960 pesos
que al 5% de interés compuesto han
producido $48 pesos?
Lo más recomendable antes de empezar un
nuevo problema es resetear los valores que
se tenían del problema anterior para no
confundir los datos que ya había, es
importante mencionar que no se puede dejar
en blanco cada variable, se deben poner
todos los datos nuevamente en cero:
Y se introducen nuevamente los datos; I=5,
sólo debes hacer la relación que PV = -960
(recuerda que entre la variable PV y FV debe
haber un cambio de signo) y el valor futuro
FV es la suma de los 960 que se invirtieron
más los 48 que se produjeron, ésta suma la
puedes expresar en la misma línea de
entrada donde introduces la variable de FV:
Cuando bajes o subas con el cursor se hará la
suma automáticamente:
Ahora nos posicionamos sobre N que hace
referencia al tiempo y tecleamos F2 para
solucionar:
Con esto concluimos el problema diciendo
que el tiempo que han sido invertidos
corresponde a 1 año.
Veamos un ejemplo más complejo:
Hallar los valores futuros con interés
compuesto de $800 pesos al 9% en 3 años y
medio capitalizando los intereses:
a) Semestralmente
b) Bimestralmente
c) Mensualmente
Resolviendo este problema a mano tendrías
que calcular la tasa de interés
correspondiente a cada tipo de periodo y
estar cambiando N, para la Texas esto no es
necesario. Primero introducimos los valores
conocidos; I=9, N=3.5 PV=800:
Ahora para resolver cada inciso debemos ir
cambiando la variable CpY que hace
referencia a los periodos por año
(Compounding Periods per Year) que
significa la capitalización, en el inciso a) nos
dice que es semestralmente por lo tanto son
2 periodos por año, lo cambiamos a 2:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Interés Compuesto-Resolviendo en Finance Página 31
Ahora solo nos posicionamos sobre FV y
pulsamos en F2:
Y vemos el resultado inmediato que se eleva
a un monto de $1088.68.
Ahora para el inciso b) como el periodo es
bimestral la equivalencia en años son 6
periodos, cambiamos a 6 y nuevamente F2
sobre FV:
Y vemos el resultado inmediatamente. Lo
mismo para el inciso c), la capitalización es
mensual, por lo tanto los periodos son 12:
Y Vemos el resultado directo que son
$1,094.91.
Veamos otro ejemplo:
Suponga que se planea un depósito total de
$5,000 ahora en una cuenta que paga el 6%
anual, y que se planea hacer retiros iguales
anuales de $1,000 durante 5 años
empezando el próximo año. Al final del
sexto año se desea cerrar la cuenta
retirando el dinero que quede.
Lo primero que debemos hacer es borrar los
datos del problema anterior. Introducimos lo
conocido; PV= -5000 (lleva signo negativo
porque es una inversión), PMT = 1000
(Payment Amount) esta es la variable que tú
ves en clase como A, N=5, I=6:
Empezamos analizando los primeros 5 años
para saber el valor futuro en el último año de
la inversión menos los desembolsos cada
año, tecleamos F2 sobre FV:
Ahora copiamos el resultado dando
DIAMANTE + letra C el resultado de FV.
Ahora para saber el monto final del sexto
año debemos tomar éste resultado como un
nuevo valor presente y calcular el valor
futuro en espacio de 1 año y teclear 0 en los
valores anteriores de PV y PMT; para “pegar”
lo que copiamos nos posicionamos sobre la
variable PV y tecleamos DIAMANTE + letra V
del teclado extendido:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Interés Compuesto-Resolviendo en Finance Página 32
Nos movemos con el cursor hasta FV y
damos F2 para solucionar el valor futuro final
del año sexto:
Y éste es el resultado, el monto al final del
año sexto es $1,117.27.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Resolviendo en Business Suite
Resolviendo en Business Suite
Muy bien ahora se mostrará un programa
mucho más especializado para la materia de
Ingeniería Económica 1 & 2, los programas
anteriores Finance y Numeric Solver son
útiles cuando los problemas del dinero a
través del tiempo son muy simples y sin
mucha combinación de flujos. En este
programa por el contrario puedes introducir
flujos combinados y hasta con incógnitas que
te permitirá ver resultados rápidos y
certeros, además de que ofrece una gran
gama de posibilidades para temas más
avanzados que verás en In
Económica 2 como depreciaciones e
inventarios. Éste programa fue creado por
Edward Shore.
Ejemplo:
Se tienen considerados depositar en una
cuenta de ahorros cierta cantidad P hoy de
manera que se puedan disponer retiros de
$150 anuales durante 7 años consecutivos a
partir del segundo año, considérese una
tasa de interés del 12% anual.
Lo primero que hay que hacer y que siempre
es conveniente es hacer la “gráfica” de los
flujos de caja que ya te los debe haber
explicado tu profesor:
En Finance éste problema se tendría que
resolver en 2 pasos. Con Business Suite esto
no es necesario. Primero nos dirigimos a
HOME tecleando DIAMANTE + letra Q del
teclado extendido:
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Resolviendo en Business Suite
Resolviendo en Business Suite
Muy bien ahora se mostrará un programa
mucho más especializado para la materia de
Ingeniería Económica 1 & 2, los programas
anteriores Finance y Numeric Solver son
útiles cuando los problemas del dinero a
través del tiempo son muy simples y sin
nación de flujos. En este
programa por el contrario puedes introducir
flujos combinados y hasta con incógnitas que
te permitirá ver resultados rápidos y
certeros, además de que ofrece una gran
gama de posibilidades para temas más
avanzados que verás en Ingeniería
Económica 2 como depreciaciones e
inventarios. Éste programa fue creado por
Se tienen considerados depositar en una
cuenta de ahorros cierta cantidad P hoy de
manera que se puedan disponer retiros de
anuales durante 7 años consecutivos a
partir del segundo año, considérese una
tasa de interés del 12% anual.
Lo primero que hay que hacer y que siempre
es conveniente es hacer la “gráfica” de los
flujos de caja que ya te los debe haber
En Finance éste problema se tendría que
resolver en 2 pasos. Con Business Suite esto
no es necesario. Primero nos dirigimos a
HOME tecleando DIAMANTE + letra Q del
Ahora debemos llamar el programa, si lo
instalaste correctamente se encuentra en el
folder MAIN. Damos “2nd” + tecla de signo
menos blanco :
Y verás ésta pantalla que es como el “CPU”
de la calculadora, puedes observar los
diferentes folders que hay, en tu calculadora
si instalaste los programas correctamente
solo deberías tener los folders “ephy, main,
finance y economía”, despliega el folder
MAIN posicionándote sobre él y dando a la
derecha con el cursor:
Desplázate hacia abajo con el cursor y
encuentra el programa “bstest92” y da
ENTER:
Invierno 2009
Página 33
Ahora debemos llamar el programa, si lo
nte se encuentra en el
folder MAIN. Damos “2nd” + tecla de signo
Y verás ésta pantalla que es como el “CPU”
de la calculadora, puedes observar los
diferentes folders que hay, en tu calculadora
si instalaste los programas correctamente
solo deberías tener los folders “ephy, main,
finance y economía”, despliega el folder
MAIN posicionándote sobre él y dando a la
Desplázate hacia abajo con el cursor y
encuentra el programa “bstest92” y da
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 34
Se copia a la línea de entrada de la
calculadora, ahora simplemente cierra el
paréntesis con y da ENTER:
Después de un momento:
Vemos la pantalla de bienvenida y por quién
fue creada y en que fecha. Damos ENTER
para continuar:
Y verás un cambio en la parte superior de los
menús. Para el curso de Ingeniería
Económica 1 & 2 sólo usaremos los menús F5
“Sheets” y F3 “Depr” (Depreciaciones, que se
verán más adelante). Damos en F5:
Y damos ENTER
en la primera
opción “Cash
Flows” (Flujo de
Caja):
Y la primer pregunta que nos hace es “Initial
Cash Flow” que es el monto inicial en el año
cero, debes recordar SIEMPRE que los flujos
hacia abajo son con signo negativo y hacia
arriba son positivos, el monto inicial en el
año cero es el valor que queremos
encontrar, por lo tanto tecleamos “p”:
Y damos ENTER 2 veces para continuar:
Y verás un nuevo cambio en la parte superior
de la pantalla que son los submenús para
modificar o cambiar los flujos, para agregar
flujos tecleamos en F1 “Add” (Agregar):
Y de aquí en adelante es simple sentido
común, nos pregunta cual es el monto del
Flujo de caja en el año 1, vemos nuestra
gráfica y vemos que no hay ningún monto
por lo tanto tecleamos cero y damos ENTER:
Nos hace la pregunta de frecuencia que hace
referencia a cuantas veces se repite éste
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 35
monto, solo ocurre una vez, por lo tanto
tecleamos 1 y damos ENTER:
Y nos regresa el menú en la parte superior
para agregar más flujos, damos en F1 de
nuevo:
Ahora el flujo en el año 2 es 150, tecleamos
150 y damos ENTER:
El número de veces que ocurre éste monto
son 7 veces que son de los años 2 a 8, sólo
tecleamos éste valor y damos ENTER:
Ya que hemos terminado de agregar los
flujos para ver todos los flujos que
introducimos damos en F5 “View”:
Ésta es una buena herramienta para
visualizar errores que se pudieran haber
cometido a la hora de introducir datos, para
ver los flujos completos solo desplázate hacia
abajo con el cursor:
Damos ENTER para continuar:
Si te hubieras equivocado en algún flujo
puedes corregirlo con F4 “Correct” y tendrías
que indicarle que flujo quieres corregir para
después reasignarle el nuevo monto:
Pregunta por el nuevo valor, aquí en este
ejemplo yo lo reasigne con el mismo monto
para dejar los flujos intactos.
Y nos indica que ya lo ha cambiado con “Ok,
its changed!”.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Resolviendo en Business Suite
También puedes borrar por completo algún
flujo con F2 “Del”:
De igual forma pregunta que número de flujo
es el que deseas borrar, solo debes teclear el
número de flujo y dar ENTER.
Y por último la opción F3 “Del Range” te
permite borrar un rango de flujos, sólo debes
indicarle en que flujo inicia “Start at” y en
cual termina “End with”.
Continuando con el ejercicio ya que vemos
que nuestros flujos son los correctos,
tecleamos F6 “Calc”:
Y vemos las diferentes opciones que
tenemos para encontrar los cálculos,
present Value” es el valor presente neto;
es “Internal Rate Return” o TIR
de Retorno (ésta función la usarás en
Ingeniería Económica 2); “Net
valor futuro neto; “Equiv. Ann. Flow”
el equivalente de PMT ó A que son los flujos
equivalentes en todos los periodos;
Line” es la línea de tendencia o regresión
lineal de los flujos. Damos en la primera
opción ya que el valor a buscar es el valor
presente neto:
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Resolviendo en Business Suite
También puedes borrar por completo algún
De igual forma pregunta que número de flujo
es el que deseas borrar, solo debes teclear el
ENTER.
Y por último la opción F3 “Del Range” te
permite borrar un rango de flujos, sólo debes
indicarle en que flujo inicia “Start at” y en
Continuando con el ejercicio ya que vemos
que nuestros flujos son los correctos,
Y vemos las diferentes opciones que
tenemos para encontrar los cálculos, “Net
es el valor presente neto; IRR
es “Internal Rate Return” o TIR Tasa Interna
de Retorno (ésta función la usarás en
“Net Future Value”
“Equiv. Ann. Flow” que es
el equivalente de PMT ó A que son los flujos
equivalentes en todos los periodos; “Trend
es la línea de tendencia o regresión
lineal de los flujos. Damos en la primera
buscar es el valor
Antes de calcularlo nos pregunta el “rate” o
el porcentaje de interés, el problema nos
dice que es 12%, tecleamos 12 y damos
ENTER:
Y vemos el resultado p+611.22,
estrictamente hablando éste resultado
deberíamos igualarlo a cero y despejar P,
como tip te puedo decir que siempre el valor
que aparezca sumado a la variable que
deseas encontrar será el valor que estas
buscando, el resultado es
tecleamos F7 “Exit”:
Y regresamos al menú anterior en
superior. Veamos un ejemplo sin incógnitas
para luego pasar a uno con flujos variados y
con incógnitas:
Al intentar obtener un préstamo “puente”
por parte de un banco local, a un contratista
se le requirió proporcionar un estimado de
sus gastos anuales. Un componente de los
gastos se muestra en el siguiente diagrama
de flujo de efectivo. Convierta las
cantidades mostradas a una cantidad anual
uniforme equivalente, usando una tasa de
interés del 12% anual.
Invierno 2009
Página 36
Antes de calcularlo nos pregunta el “rate” o
el porcentaje de interés, el problema nos
dice que es 12%, tecleamos 12 y damos
Y vemos el resultado p+611.22,
estrictamente hablando éste resultado
ualarlo a cero y despejar P,
como tip te puedo decir que siempre el valor
que aparezca sumado a la variable que
deseas encontrar será el valor que estas
buscando, el resultado es -$611.22. Para salir
Y regresamos al menú anterior en la parte
superior. Veamos un ejemplo sin incógnitas
para luego pasar a uno con flujos variados y
Al intentar obtener un préstamo “puente”
por parte de un banco local, a un contratista
se le requirió proporcionar un estimado de
anuales. Un componente de los
gastos se muestra en el siguiente diagrama
de flujo de efectivo. Convierta las
cantidades mostradas a una cantidad anual
uniforme equivalente, usando una tasa de
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 37
De igual forma iniciamos dando en F5
“Sheets” y en primera opción Cash Flows:
Aquí lo importante es siempre tener
visualizada nuestra gráfica para luego
observar cada flujo correctamente, el monto
inicial en el año cero es 0:
Y agregamos el primer flujo en el año 1,
pulsamos F1 Add:
Recuerda que los flujos hacia abajo son
negativos, debes tener mucho cuidado en
introducir los valores correctamente, el signo
negativo debe ser con la tecla menos de la
tecla negra, continuamos dando ENTER. Este
flujo ocurre 3 veces:
Y así sucesivamente seguimos agregando los
flujos con F1:
Y terminamos con la última serie de flujos:
Para confirmar que hayamos metido todos
los flujos correctamente damos en F5 View:
Damos ENTER para continuar.
Ahora simplemente calculamos la cantidad
anual uniforme, tecleamos F6 y corresponde
a la opción 4:
De igual forma introducimos el porcentaje de
interés, el problema marca 12%, y damos
ENTER:
Y vemos el resultado inmediatamente que
corresponde a anualidades uniformes en los
9 años de $23,888.01, “Equal Pmt” a esto se
refiere “Pagos iguales”. A esto me refería
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Resolviendo en Business Suite
cuando hay flujos diversos, donde si
hubiéramos resuelto este problema en
Finance hubiéramos tenido que hacer 3
pasos cambiando cantidades, en éste es
directo el resultado. Cuando en los
problemas te dan todas las cantidades en
todos los años es relativamente sencillo
resolver éstos problemas con Cash Flow, el
problema viene cuando hay una
incógnitas dentro de los flujos y que
mostraremos como resolver más adelante.
Veamos ahora un problema con incógnita:
Determine la cantidad de dinero que una
persona debe depositar dentro de 2 años
para ser capaz de retirar $10,000
anualmente durante 7 años empezando
dentro de 15 años, si la tasa de interés es de
12% anual.
Lo primero que debemos hacer y como ya
sabemos es visualizar el problema en la línea
de tiempo, es muy importante que leas bien
el problema para entenderlo. Un tip que te
daré para éste tema es que en general “no
importa” dentro de cuantos años se vaya a
depositar el dinero, el tiempo que debes
empezar a considerar en la línea de tiempo
es cuando se deposita el dinero, tomando el
año inicial cero con el depósito de la
cantidad P. Es decir el sentido común al leer
el problema sería hacer una línea de tiempo
completa así:
Sin embargo como acabo de mencionar tú
debes tomar el inicio de la línea de tiempo a
partir de donde se hace el depósito, el
tiempo que haya transcurrido antes
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Resolviendo en Business Suite
cuando hay flujos diversos, donde si
hubiéramos resuelto este problema en
iéramos tenido que hacer 3
pasos cambiando cantidades, en éste es
directo el resultado. Cuando en los
problemas te dan todas las cantidades en
todos los años es relativamente sencillo
resolver éstos problemas con Cash Flow, el
problema viene cuando hay una serie de
incógnitas dentro de los flujos y que
mostraremos como resolver más adelante.
Veamos ahora un problema con incógnita:
Determine la cantidad de dinero que una
persona debe depositar dentro de 2 años
para ser capaz de retirar $10,000
ante 7 años empezando
dentro de 15 años, si la tasa de interés es de
Lo primero que debemos hacer y como ya
sabemos es visualizar el problema en la línea
de tiempo, es muy importante que leas bien
el problema para entenderlo. Un tip que te
para éste tema es que en general “no
importa” dentro de cuantos años se vaya a
depositar el dinero, el tiempo que debes
empezar a considerar en la línea de tiempo
es cuando se deposita el dinero, tomando el
año inicial cero con el depósito de la
P. Es decir el sentido común al leer
el problema sería hacer una línea de tiempo
Sin embargo como acabo de mencionar tú
debes tomar el inicio de la línea de tiempo a
partir de donde se hace el depósito, el
tiempo que haya transcurrido antes de la
fecha de depósito no tiene importancia,
mientras no haya dinero afectado en ese
lapso de tiempo puede no tomarse en
cuenta, de forma que quedaría así:
Si te fijas solo se recorrieron los años, y los
flujos positivos empezarían desde el año 13.
Ahora sí con esta grafica correcta podemos
introducir los datos a Cash Flow. El valor
inicial es el que buscamos por eso le
asignamos una variable cualquiera, digamos
“p”:
Ahora agregamos el primer flujo F1 Add, en
los primeros 12 años no hay flujos por l
tanto es 0 y ocurre 12 veces:
Agregamos nuevamente más flujos con F1
Add, los siguientes flujos son 10,000 y ocurre
7 veces:
Vemos con F5 View que los flujos estén
correctamente:
Invierno 2009
Página 38
fecha de depósito no tiene importancia,
mientras no haya dinero afectado en ese
lapso de tiempo puede no tomarse en
cuenta, de forma que quedaría así:
Si te fijas solo se recorrieron los años, y los
flujos positivos empezarían desde el año 13.
ra sí con esta grafica correcta podemos
introducir los datos a Cash Flow. El valor
inicial es el que buscamos por eso le
asignamos una variable cualquiera, digamos
Ahora agregamos el primer flujo F1 Add, en
los primeros 12 años no hay flujos por lo
tanto es 0 y ocurre 12 veces:
Agregamos nuevamente más flujos con F1
Add, los siguientes flujos son 10,000 y ocurre
Vemos con F5 View que los flujos estén
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Resolviendo en Business Suite
Y calculamos el valor presente Neto con F6
Calc NPV:
Con un porcentaje de interés del 12%:
Y vemos el resultado que es p+11714.03,
éste resultado simplemente lo igualamos a
cero y despejamos p, el cual vale
$ -11,714.03, lo cual es correcto ya que el
signo negativo simboliza inversión. Dam
F7 “Exit” para regresar al menú general
Veamos otro ejemplo con más incógnitas:
Calcule el valor de la siguiente
que el flujo de efectivo positivo sea
exactamente equivalente al flujo de
efectivo negativo, si la tasa de interés es de
14% anual.
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Resolviendo en Business Suite
Y calculamos el valor presente Neto con F6
un porcentaje de interés del 12%:
Y vemos el resultado que es p+11714.03,
éste resultado simplemente lo igualamos a
cero y despejamos p, el cual vale
11,714.03, lo cual es correcto ya que el
signo negativo simboliza inversión. Damos en
F7 “Exit” para regresar al menú general
Veamos otro ejemplo con más incógnitas:
Calcule el valor de la siguiente x de modo
que el flujo de efectivo positivo sea
exactamente equivalente al flujo de
efectivo negativo, si la tasa de interés es de
Como puedes ver a esto es a lo que me
refería cuando hay muchos flujos y en
Finance sería muy tardado hacer cada parte
de cálculo, como sabemos damos en F5 Cash
Flow e introducimos cada flujo, el primero es
800 positivo:
Y continuamos sucesivamente cada flujo,
agregando con F1 Add y recuerda que los
flujos negativos son con signo menos de
tecla negra:
Invierno 2009
Página 39
Como puedes ver a esto es a lo que me
refería cuando hay muchos flujos y en
Finance sería muy tardado hacer cada parte
de cálculo, como sabemos damos en F5 Cash
Flow e introducimos cada flujo, el primero es
sucesivamente cada flujo,
agregando con F1 Add y recuerda que los
flujos negativos son con signo menos de
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 40
Y vemos con F5 View que todos los flujos se
hayan introducido correctamente:
Y ahora solo hay que hacer un razonamiento
sencillo, si se quiere que el flujo de efectivo
positivo sea exactamente igual al negativo en
realidad están pidiendo que el PMT ó pagos
anuales sean igual a cero, por lo tanto
calculamos del menú F6 “Calc” la opción 4:
Introducimos el interés de 14 y damos
ENTER:
Y anotamos la ecuación resultante que es
$0.30 (x+1724.07). Damos F7 para salir al
menú anterior del programa. Lo que
debemos hacer ahora es simplemente ésta
ecuación igualarla a cero y encontrar equis.
Ésta operación es muy sencilla y se puede
hacer a mano, como tip te puedo decir que
siempre que se pida una igualación a cero
puedes simplemente tomar el valor de
$1724.07 que esta sumando a X y éste será
el resultado. Obviamente con signo negativo,
con esto concluimos que el monto en el año
5 es de -$1,724.07; y en el año 8 es 3 por
-1724.07 que es igual a -$5,172.21.
Veamos otro ejemplo un tanto diferente:
Calcule la cantidad de dinero en el año 8
que sería equivalente al siguiente flujo de
efectivo si la tasa de interés es de 16%
anual.
Año Movimiento Año Movimiento
0 900 5 1300 1 900 6 -1300
2 900 7 500
3 900 8 900
4 1300 9 900
Aquí tenemos todos los flujos por lo tanto no
hay que poner incógnitas en cash flow, la
diferencia es que nos piden la cantidad de
dinero en un año específico. Lo primero que
debemos hacer es encontrar ya sea el valor
presente neto o el valor futuro neto. Como
ya sabemos tecleamos F5 Sheets y primera
opción Cash Flow e introducimos cada flujo.
Debe quedarte así:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 41
Damos ENTER para continuar y ahora
hacemos el cálculo del valor presente neto
con F6 Calc:
Con interés de 16%:
Y copiamos el resultado del valor presente
neto.
También podemos calcular el valor futuro
neto:
Recuerda que éstos resultados son la
representación general de todo el flujo de
caja y no de un año en específico. Para
encontrar un año en específico debemos ir a
FInance. Damos F7 “Exit” y luego F6 y la
segunda opción “I’m done”:
“I’m done” es algo así como “he terminado”.
Nos dirigimos a Finance con tecla APPS para
ver todos los programas, nos posicionamos
sobre Finance y damos ENTER:
Ya en Finance debemos introducir los datos
que encontramos, debes recordar siempre el
objetivo de la pregunta del problema, el
problema nos indica que se desea saber el
monto equivalente en el año 8 de todo el
flujo de datos, por lo tanto las cantidades
que encontramos: valor presente, valor
futuro y PMT representan una equivalencia
de TODO EL FLUJO, para encontrar un valor
equivalente en el año 8 en específico
debemos con estos datos tomarlo como un
nuevo problema y simplemente encontrar el
valor futuro en el año 8, debemos introducir:
N=8, I=16, VP = 4412.75 y calcular el valor
futuro:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 42
Y tecleamos F2 sobre FV para saber el monto
equivalente en el año 8:
Y vemos el resultado, el monto equivalente
en el año 8 es de $14,466.83.
Veamos un último ejemplo antes de pasar a
otro tema:
Para el flujo de efectivo siguiente,
encuentre el valor de X que hace que el
valor anual equivalente en los años 1 a 9 sea
igual a $2,000, a una tasa de interés de 12%
anual.
Año Flujo $ Año Flujo $
0 200 5 600 1 300 6 700
2 400 7 800
3 X 8 900
4 500 9 1000
Regresamos a HOME con DIAMANTE + letra
Q del teclado extendido:
Y volvemos a correr Business Suite, si sigue
en el historial solo da arriba con el cursor
hasta sombrear el programa da ENTER para
que se copie a la
línea de entrada y
da ENTER
nuevamente para
que inicie:
Este tipo de problema es ligeramente
distinto de los que habíamos estado
resolviendo, en los anteriores no se pedía
que fueran igual a un monto en específico,
sino simplemente un monto único que
hiciera posible el flujo tal cual estaba, como
en éste se busca un monto PMT (flujos
iguales) en los 9 años se debe hacer un paso
extra. Todo empieza igual, calculamos los
flujos con Business Suite con la incógnita X
en el flujo 3 y encontramos las ecuaciones
que representan el valor presente, valor
futuro y PMT. Los flujos deben quedarte así:
Y calculamos normalmente el valor presente
Neto, el valor futuro neto y el pago PMT:
Debemos anotar estas ecuaciones porque las
usaremos después. Salimos del programa
con F7 Exit y luego con F6 y segunda opción
“I’m Done”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 43
Ahora antes de terminar de resolver el
problema es importante hacer una
aclaración: el programa Business Suite
debido a que ajusta todas las cantidades que
maneja a 2 decimales es posible que de
repente te topes con errores de
aproximación, muy ligeros en realidad pero
significativos cuando se manejan cantidades
grandes, es importante que consideres esto
sobre todo si tu profesor es muy exigente en
resultados exactos o aproximados. Estas
ecuaciones que encontramos son válidas
cuando NO se pide que los flujos sean iguales
a otras cantidades, por lo tanto debemos
hacer un paso extra.
Ahora bien para encontrar el valor de X que
haría que los montos fueran iguales en todos
los años del 1 al 9 es obvio que debemos
usar la ecuación de PMT o A. La primera
reacción que tenemos sería simplemente
esta ecuación igualarla a 2000 y hallar equis:
0.13 · �� 4054.03& * 2000
� * 11,330.58
Sin embargo ésta cantidad está equivocada
por algunos cientos, a esto me refería
cuando decía que las cantidades podrían
variar por las cantidades ajustadas con 2
decimales. Para ser más exactos debemos
usar una ecuación extra. Primero vamos al
Numeric Solver, presiona tecla APPS y entra
al programa:
Ya en el programa teclea F1 y primera opción
Open:
Luego da a la derecha con el cursor sobre el
apartado de folder y selecciona el folder EKO
y da ENTER:
Ahora desplázate abajo con el cursor y da a
la derecha con el cursor para que veas las
opciones que tienes:
Pensando en este tipo de problemas hice
una serie de ecuaciones que simbolizan las 6
combinaciones posibles de problemas de
éste tipo que verás en ésta materia y en
Ingeniería Económica 2 ajustado a las
ecuaciones que resultan con Business Suite,
los nombres de los archivos dicen primero la
variable objetivo y luego la variable que
tienes, por ejemplo el primer archivo es
“ADADOP” lo que significa que buscas A y
que tienes la ecuación P para resolver, debes
entender claro está que A es PMT, P es NPV,
y F es NFV, dependiendo de la ecuación que
tengas. En éste ejemplo tenemos las 3
ecuaciones pero solo buscamos A, es decir
podemos resolver con cualquiera de las 2
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 44
primeras expresiones. Damos ENTER por
ejemplo en la segunda opción “ADADOP”:
Y nos sale:
Damos una vez abajo con el cursor y
simplemente llenamos la información que
tenemos:
Recuerda que la expresión “k*x+y” es la
ecuación encontrada con Business Suite, por
lo tanto queda así:
La variable “a” son los 2000 que queremos
que sea igual en todos los años, la ecuación
“k*x+y” es la ecuación de NPV; siempre
después de la variable a encontrar estará la
ecuación que tienes ya sea P, F ó A. También
es importante mencionar que el interés i
debes tenerlo con decimales 0.12, dejamos
libre la variable X que es la que queremos
encontrar, nos posicionamos sobre dicha
variable y damos F2 para encontrar la
solución:
Y vemos el resultado que es X=10,944.95.
Éste resultado varió un poco con el resultado
de primera instancia de igualar simplemente
la ecuación a 2000 y hallar equis. Ya con éste
resultado podemos hallar el NPV
simplemente sustituyendo en X ésta
cantidad en la ecuación encontrada con
Business Suite:
CDE * 0.71 · 10,944.95 2885.58
CDE * 10,656.499
Y con ésta cantidad podemos comprobar en
Finance el pago PMT de cada año:
Y vemos que los pagos son exactos a 2000
cada año. En cambio si se hubiera usado el
valor de 11,330 para encontrar el valor NPV y
luego los pagos nos hubiera dado una ligera
diferencia:
Como puedes ver es importante que definas
la exactitud de tus resultados dependiendo
de la exigencia de tu profesor y de ti mismo.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Resolviendo en Business Suite Página 45
Te recomiendo que practiques los ejercicios
que se dejan al final de éste manual para que
adquieras habilidad en resolver ésta clase de
problemas.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Gradiente Aritmético
Gradientes
Los gradientes como ya te lo debe haber
explicado tu profesor son aumentos o
decrementos periódicos en los flujos ya sean
aritméticos o geométricos, en general la
mayoría de los problemas que tienen que ver
con éste tema te piden encontrar el NPV
(Valor Presente Neto) ó de igual forma
combinaciones para encontrar cierta
cantidad que haga que el valor presente
total sea igual a una cierta cantidad. Hay 2
programas que te pueden ayudar para éste
tema, uno de igual forma sigue siendo el
Business Suite y el otro es
Dependiendo de la complejidad del
problema se puede hacer más fácilmente
con uno ó con otro. Si hay muchas
combinaciones de flujo te recomiendo que
uses Business Suite, si el problema es de un
solo gradiente (sencillo) te recomiendo
Economía. Mostraré un par de ejemplos para
cada uno y veas la diferencia, sus ventajas y
desventajas de cada uno.
Gradiente Aritmético
Veamos primero un ejemplo sencillo:
Se hacen depósitos periódicos en una
cuenta de banco a partir del segundo año
empezando con $10 dólares y aumentando
en 10 dólares cada año. Si
depósitos por 7 años y si el banco paga un
interés anual del 8%, ¿Cuál será el valor
presente de dichos abonos?
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Los gradientes como ya te lo debe haber
explicado tu profesor son aumentos o
decrementos periódicos en los flujos ya sean
aritméticos o geométricos, en general la
mayoría de los problemas que tienen que ver
con éste tema te piden encontrar el NPV
esente Neto) ó de igual forma
combinaciones para encontrar cierta
cantidad que haga que el valor presente
total sea igual a una cierta cantidad. Hay 2
programas que te pueden ayudar para éste
tema, uno de igual forma sigue siendo el
ro es Economía.
Dependiendo de la complejidad del
problema se puede hacer más fácilmente
con uno ó con otro. Si hay muchas
combinaciones de flujo te recomiendo que
, si el problema es de un
solo gradiente (sencillo) te recomiendo
. Mostraré un par de ejemplos para
cada uno y veas la diferencia, sus ventajas y
Veamos primero un ejemplo sencillo:
Se hacen depósitos periódicos en una
cuenta de banco a partir del segundo año
$10 dólares y aumentando
se hacen éstos
depósitos por 7 años y si el banco paga un
interés anual del 8%, ¿Cuál será el valor
Después de hacer la gráfica vemos que se
trata de un gradiente sencillo
que debemos hacer es llamar el programa de
Economía que se encuentra en el folder del
mismo nombre, en HOME tecleamos “2nd” +
signo menos blanco de la parte numérica
:
Desplegamos el folder de Economía dando a
la derecha con el cursor sobr
seleccionamos el programa principal
“economía” y damos ENTER:
Se copia a la línea de entrada, ahora solo
cerramos el paréntesis y damos ENTER:
Vemos el inicio del programa, éste programa
fue creado por Froilán A. Morales Sanabria,
una leyenda en el uso de la Texas ya que ha
hecho un gran número de programas muy
útiles para diversas materias. Damos a la
derecha con el cursor y se despliega un gran
Invierno 2009
Página 46
Después de hacer la gráfica vemos que se
trata de un gradiente sencillo. Lo primero
que debemos hacer es llamar el programa de
Economía que se encuentra en el folder del
mismo nombre, en HOME tecleamos “2nd” +
signo menos blanco de la parte numérica
Desplegamos el folder de Economía dando a
la derecha con el cursor sobre éste y
seleccionamos el programa principal
“economía” y damos ENTER:
Se copia a la línea de entrada, ahora solo
cerramos el paréntesis y damos ENTER:
Vemos el inicio del programa, éste programa
fue creado por Froilán A. Morales Sanabria,
una leyenda en el uso de la Texas ya que ha
hecho un gran número de programas muy
útiles para diversas materias. Damos a la
derecha con el cursor y se despliega un gran
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Gradiente Aritmético Página 47
número de opciones posibles para el tema
de Ingeniería Económica 1:
Lo más útil de éste programa son los
gradientes, nos posicionamos sobre
Gradiente Aritmético y damos ENTER:
En las opciones de “Ver Imagen” y “Ver
ecuación” son a tu elección estas opciones
son solo didácticos para ver la grafica de
cómo es el gradiente aritmético y que
ecuación se usa, las dejaremos en “Sí” por
ésta ocasión y damos ENTER para continuar:
Nos muestra la gráfica del comportamiento,
Damos ENTER para continuar:
Y nos pregunta “Presente” o “Futuro”, esta
opción pregunta lo que queremos obtener
que en éste caso es presente, damos ENTER
en presente:
Y vemos la ecuación que se usa. Damos
ENTER para continuar:
Y aquí es simplemente introducir los datos
que tenemos de nuestro problema; I=8%,
G=10, N=8, La G es decir el gradiente siempre
será el aumento es decir de cuanto en
cuanto va aumentando los flujos. También
deber recordar que el interés debe estar en
decimales:
Siempre debes dejar libre la variable que se
quiere encontrar y simplemente dar ENTER:
Y vemos el valor presente del flujo en el año
cero que es $178.06. Es muy importante que
recuerdes que siempre cuando manejes
gradientes en éste programa o en una
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Gradiente Aritmético
solución a mano que “EL VA
DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO SIEMPRE
ESTARÁ UBICADO DOS PERIODOS ANTES DE
QUE EL GRADIENTE EMPIECE”
ocasiones suele ser confuso sobre todo en
flujos combinados. Damos ESC 2 veces para
salir del programa por completo.
Obviamente tú puedes hacer éste mismo
ejercicio en Business Suite introduciendo
cada flujo y luego simplemente encontrando
el valor presente neto, la desventaja de
hacerlo con Business Suite es que es
relativamente más lento ya que debes ir
introduciendo flujo por flujo.
NOTA MUY IMPORTANTE:
Es muy importante que al salir de
regreses al folder MAIN
programa Business Suite. Puedes ver en la
esquina inferior izquierda de la pantalla el
folder en el que estas trabajando, recuerda
que Business Suite esta en MAIN y Economía
en el folder de su mismo nombre:
Para cambiar al folder MAIN para correr el
programa Business Suite debes teclear tecla
MODE :
Y cambiar la segunda opción “Current
Folder” (folder actual) cambiarlo a MAIN:
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
“EL VALOR PRESENTE
DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO SIEMPRE
ESTARÁ UBICADO DOS PERIODOS ANTES DE
QUE EL GRADIENTE EMPIECE”. Esto en
ocasiones suele ser confuso sobre todo en
flujos combinados. Damos ESC 2 veces para
salir del programa por completo.
s hacer éste mismo
ejercicio en Business Suite introduciendo
cada flujo y luego simplemente encontrando
el valor presente neto, la desventaja de
hacerlo con Business Suite es que es
relativamente más lento ya que debes ir
Es muy importante que al salir de Economía
para correr el
programa Business Suite. Puedes ver en la
esquina inferior izquierda de la pantalla el
folder en el que estas trabajando, recuerda
ta en MAIN y Economía
en el folder de su mismo nombre:
Para cambiar al folder MAIN para correr el
programa Business Suite debes teclear tecla
Y cambiar la segunda opción “Current
Folder” (folder actual) cambiarlo a MAIN:
Da ENTER 2 veces para guardar los cambios:
Si lo hiciste bien aparecerá en la esquina
inferior izquierda el cambio correcto a MAIN.
Veamos ahora un ejemplo complejo:
Se tiene la siguiente serie de flujos y se
desea saber el valor presente neto de dicho
flujo, considere un interés de 6%.
Cuando hay flujos combinados con
gradientes como en éste caso lo mejor es
usar Business Suite y encontrar el valor
presente en el flujo de caja, aunque en
ocasiones pueda ser más tardado es lo mejor
para encontrar el resultado certero, si se
hace por otros métodos tomaría 3 pasos, en
Business Suite es directo. Mostraremos
ambos.
Corremos Business Suite como ya se ha
mencionado:
Invierno 2009
Página 48
para guardar los cambios:
Si lo hiciste bien aparecerá en la esquina
inferior izquierda el cambio correcto a MAIN.
Veamos ahora un ejemplo complejo:
Se tiene la siguiente serie de flujos y se
desea saber el valor presente neto de dicho
n interés de 6%.
Cuando hay flujos combinados con
gradientes como en éste caso lo mejor es
y encontrar el valor
flujo de caja, aunque en
ocasiones pueda ser más tardado es lo mejor
para encontrar el resultado certero, si se
hace por otros métodos tomaría 3 pasos, en
Business Suite es directo. Mostraremos
Corremos Business Suite como ya se ha
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Gradiente Aritmético
Damos en F5 Sheets y Cash Flow e
introducimos los flujos, recuerda que los
flujos hacia abajo van con signo negativo de
tecla negra, por último vemos el valor
presente neto al 6%:
Vemos el valor presente neto de $
Salimos de éste programa con F
“im done”. Para llegar a éste resultado por
Finance y Economía hay que hacer varios
pasos. Lo primero es traer a valor presente
los flujos de $10 que son iguales en todos los
años y los de 40 que también son iguales en
todos los años dejando de lado por un
momento el gradiente. Es decir dividir el
problema en 3 partes, el valor presente de
los flujos de 10 queda así:
Buscando en Finance el resultado con N = 10,
I = 6, PMT =10 y buscando el VP:
Éste es el primer valor a sumar y que debe
anotarse que es $-73.6009. Luego para los 40
queda así:
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Damos en F5 Sheets y Cash Flow e
introducimos los flujos, recuerda que los
flujos hacia abajo van con signo negativo de
tecla negra, por último vemos el valor
Vemos el valor presente neto de $-288.45.
Salimos de éste programa con F7 y luego F6
“im done”. Para llegar a éste resultado por
Finance y Economía hay que hacer varios
pasos. Lo primero es traer a valor presente
los flujos de $10 que son iguales en todos los
años y los de 40 que también son iguales en
e lado por un
momento el gradiente. Es decir dividir el
problema en 3 partes, el valor presente de
Buscando en Finance el resultado con N = 10,
I = 6, PMT =10 y buscando el VP:
Éste es el primer valor a sumar y que debe
73.6009. Luego para los 40
Se determina el 40 por la resta del primer
valor que aumenta en éste caso 50 menos 10
de los flujos iguales en los periodos
anteriores y se encuentra el valor presente
en Finance con N = 5, I=6,
encontrando el VP:
Pero recuerda que éste valor presente esta a
la mitad del flujo completo por lo tanto este
valor presente se convierte en el valor futuro
con N=5, I=6 y encontrando el VP total:
Éste es otro valor para sumar y es $
y que también se debe anotar. Por último
debemos ir a Economía para los gradientes
que gráficamente quedaría así:
Aquí se ve la regla de que el gradiente
aritmético debe empezar 2 periodos
después, ya no se toma el del primer periodo
Invierno 2009
Página 49
Se determina el 40 por la resta del primer
valor que aumenta en éste caso 50 menos 10
de los flujos iguales en los periodos
anteriores y se encuentra el valor presente
en Finance con N = 5, I=6, PMT=40,
Pero recuerda que éste valor presente esta a
la mitad del flujo completo por lo tanto este
valor presente se convierte en el valor futuro
con N=5, I=6 y encontrando el VP total:
Éste es otro valor para sumar y es $-125.909
y que también se debe anotar. Por último
debemos ir a Economía para los gradientes
que gráficamente quedaría así:
Aquí se ve la regla de que el gradiente
aritmético debe empezar 2 periodos
después, ya no se toma el del primer periodo
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Gradiente Aritmético Página 50
ya que ya quedo incluido en el primer valor
presente de 10 y luego en el valor presente
de 40. En Economía quedaría así el
gradiente:
Dejamos libre P que el valor presente que
deseamos y tecleamos ENTER:
Recuerda que el signo menos a teclear es el
signo menos de tecla negra. Éste de igual
manera que en la parte anterior es el valor
presente que se encuentra a la mitad del
flujo por lo tanto este será el valor futuro con
N=5 I=6 y buscando el valor presente,
podemos copiar éste valor tal cual está
sombreado y simplemente tecleando la
combinación DIAMANTE + letra C. Damos
ESC una vez y seleccionamos interés
compuesto:
Si te fijas los valores quedan guardados, solo
nos posicionamos en F y damos DIAMANTE +
letra V para pegar el valor y borramos el
contenido de la variable P:
Y damos ENTER para encontrar el valor
presente del flujo completo:
Y nos da $-88.9373. Sumando los 3
Resultados nos da:
-73.6009-125.909-88.93= $-288.4399. Que es
el mismo resultado obtenido con Business
Suite. Como puedes ver también puedes
hacer aquí mismo las funciones de Finance,
solo que en Economía esta un poco menos
completo que en Finance, pero en Economía
si hay gradientes que Finance no tiene.
También como puedes ver es un poco más
tardado hacerlo con estos 3 pasos, para
flujos combinados te recomiendo siempre el
Business Suite que es más rápido.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Gradiente Geométrico
Gradiente Geométrico
Éste gradiente es un poco más complejo ya
que los periodos van aumentando
porcentaje y de igual forma en la mayoría de
los problemas se te pide encontrar el valor
presente. Lo ideal es hacerlo en
Suite aunque sea un poco más “lento” sobre
todo por alguna posible confusión en los
periodos. Aunque de igual forma e
problemas con un solo flujo de gradiente
geométrico es más fácil en
cuando son complejos lo ideal es hacerlo en
Business Suite, mostraré un par de ejemplos:
Un señor desea empezar a ahorrar en el
banco empezando con un depósito inicial de
$1,500 pesos en el banco dentro de un año
y después ir haciendo depósitos periódicos
aumentando un 7% más cada depósito cada
año, si desea hacer los depósitos por 15
años y el banco paga un interés del 10%
anual, cual será el valor futuro de todo el
flujo al final del año 15.
Éste
problema como
se trata de un gradiente un solo
flujo de gradiente geométrico es más
sencillo hacerlo en Economía
Para entrar en el como ya sabemos damos
“2nd”+ signo menos blanco, entramos a las
carpetas de la calculadora, desplegamos el
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Éste gradiente es un poco más complejo ya
que los periodos van aumentando con un
porcentaje y de igual forma en la mayoría de
los problemas se te pide encontrar el valor
presente. Lo ideal es hacerlo en Business
aunque sea un poco más “lento” sobre
todo por alguna posible confusión en los
periodos. Aunque de igual forma en
problemas con un solo flujo de gradiente
geométrico es más fácil en Economía,
cuando son complejos lo ideal es hacerlo en
Business Suite, mostraré un par de ejemplos:
Un señor desea empezar a ahorrar en el
banco empezando con un depósito inicial de
dentro de un año
y después ir haciendo depósitos periódicos
aumentando un 7% más cada depósito cada
año, si desea hacer los depósitos por 15
años y el banco paga un interés del 10%
anual, cual será el valor futuro de todo el
se trata de un gradiente un solo
flujo de gradiente geométrico es más
Economía.
Para entrar en el como ya sabemos damos
“2nd”+ signo menos blanco, entramos a las
carpetas de la calculadora, desplegamos el
folder de economía y damos ENTER en el
programa principal economía:
Se copia a la línea de entrada, se cierra
paréntesis y damos ENTER: Seleccionamos la
opción de Gradiente Geométrico y damos
ENTER:
Aquí nos preguntará que parte del flujo
deseamos encontrar si el presente o el
futuro, seleccionamos Futuro y damos
ENTER:
Debes saber lo que significa cada variable:
F= Valor Futuro
C = Monto de gradiente en el periodo 1.
d = interés de aumento en depósitos
i = interés general
Invierno 2009
Página 51
folder de economía y damos ENTER en el
programa principal economía:
Se copia a la línea de entrada, se cierra
damos ENTER: Seleccionamos la
opción de Gradiente Geométrico y damos
Aquí nos preguntará que parte del flujo
deseamos encontrar si el presente o el
futuro, seleccionamos Futuro y damos
Debes saber lo que significa cada variable:
C = Monto de gradiente en el periodo 1.
d = interés de aumento en depósitos
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Gradiente Geométrico
n = periodos
También es MUY IMPORTANTE
que el gradiente sólo toma los cálculos
PARTIR DEL PRIMER PERIODO
problema tuviera un monto inicial en el año
0 se debe hacer un paso extra para encontrar
el Valor Presente o Valor Futuro total, éste
no es el caso, pero es importante que lo
sepas para no cometer errores. También es
importante recordar que los intereses deben
estar en decimales:
Dejamos libre la variable a encontrar, en éste
caso F y damos ENTER:
Vemos el resultado inmediato que nos dice
que el valor futuro de todo el ahorro del
señor aumenta hasta $70,910.8.
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
MUY IMPORTANTE mencionar
que el gradiente sólo toma los cálculos A
PARTIR DEL PRIMER PERIODO, es decir si el
iera un monto inicial en el año
0 se debe hacer un paso extra para encontrar
el Valor Presente o Valor Futuro total, éste
no es el caso, pero es importante que lo
sepas para no cometer errores. También es
importante recordar que los intereses deben
Dejamos libre la variable a encontrar, en éste
Vemos el resultado inmediato que nos dice
que el valor futuro de todo el ahorro del
señor aumenta hasta $70,910.8.
Veamos ahora un ejemplo más complejo con
gradiente geométrico y flujos combinados:
Se tiene la siguiente serie de flujos
combinados y se desea saber el Valor
Presente equivalente total a éstos flujos de
efectivo.
Para éste flujo combinado lo mejor es
hacerlo en Business Suite, también se
mostrará como hacerse en Economía, y
puedes escoger usar el que mejor prefieras.
Primero lo haremos en Business Suite.
Estando en Home recuerda que debes
cambiar al folder MAIN con tecla MODE para
poder correr el programa:
Recuerda que si hiciste el cam
la esquina inferior izquierda dirá MAIN.
Para entrar en el como ya sabemos damos
“2nd”+ signo menos blanco, entramos a las
carpetas de la calculadora, desplegamos el
Invierno 2009
Página 52
Veamos ahora un ejemplo más complejo con
gradiente geométrico y flujos combinados:
Se tiene la siguiente serie de flujos
combinados y se desea saber el Valor
Presente equivalente total a éstos flujos de
Para éste flujo combinado lo mejor es
hacerlo en Business Suite, también se
ará como hacerse en Economía, y
puedes escoger usar el que mejor prefieras.
Primero lo haremos en Business Suite.
Estando en Home recuerda que debes
cambiar al folder MAIN con tecla MODE para
poder correr el programa:
Recuerda que si hiciste el cambio correcto en
la esquina inferior izquierda dirá MAIN.
Para entrar en el como ya sabemos damos
“2nd”+ signo menos blanco, entramos a las
carpetas de la calculadora, desplegamos el
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Gradiente Geométrico Página 53
folder de MAIN y damos ENTER en el
programa principal “bstest92”:
Se copia a la línea de entrada, se cierra
paréntesis y damos ENTER:
Ya en el programa como ya sabemos damos
en F5 “Sheets” y en la primera opción “Cash
Flow”, el Cash Flow inicial es $35,000:
Y damos ENTER, estrictamente hablando
debería ser con signo negativo, pero como
todos los flujos van hacia abajo podemos
omitir el cambio de signo. Damos ENTER
para continuar:
Con F1 agregamos los primeros 5 flujos que
son todos iguales a 7000:
Damos ENTER para continuar y ahora se
debe ir haciendo cálculos poco a poco para ir
agregando cada flujo; damos F1 en Add y
luego se puede en la misma entrada de
expresión teclear la multiplicación de
aumento que sería 7000 por 1.12:
La calculadora hará la operación
automáticamente. Damos ENTER para
continuar y luego F1 para seguir agregando
flujos. Para ir aumentando el flujo sin estar
viendo la cantidad para después multiplicarla
por 1.12 lo que se puede hacer es aplicar
cada aumento consecutivo con 7000*1.12^2,
luego 7000*1.12^3 y así sucesivamente:
Así hasta el último flujo:
Damos en F5 View y verás los flujos ya
operados:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Gradiente Geométrico Página 54
Ahora simplemente damos en F6 Calc y
seleccionamos el valor presente Neto:
El “rate” corresponde 15% del problema y
damos ENTER:
Y llegamos al resultado rápidamente que es
$83,229.95. Ésta es la forma más confiable
de llegar a un resultado con flujos
combinados. Damos en F7 Exit y luego en F6
“I’m Done” para salir del programa por
completo:
Ahora haremos el mismo problema en
Economía, entramos a el como ya sabemos
dando “2nd” + signo menos blanco,
entramos a las carpetas de la calculadora,
desplegamos el folder de Economía y damos
ENTER en el programa principal:
Se copia a la línea de entrada y cerramos con
paréntesis de cierre y damos ENTER:
Antes de seleccionar la ecuación necesaria es
importante recordar que para hacerlo por
éste método se deben hacer 3 sumas para
encontrar el valor presente completo, el
primero de ellos son los 35,000 tal cual, el
segundo es el valor presente de la serie
uniforme en los primeros 5 años con 7000, y
el tercero es el valor presente del gradiente
geométrico de los últimos flujos. Primero
seleccionamos la serie uniforme:
Y seleccionamos el Presente:
E introducimos los valores conocidos y
dejamos libre P y damos ENTER:
Éste es otro valor (23,465.08) que debe
anotarse para sumarse a los 35,000.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Gradiente Geométrico Página 55
Por último damos ESC una vez para regresar
al menú general y seleccionamos Gradiente
Geométrico:
Y seleccionamos Presente e introducimos la
información. Recuerda que el monto C es en
el periodo 1 donde empieza a aumentar, es
decir 7000*1.12 con 8 periodos ya que
empieza a contar a partir del primer
aumento:
Damos ENTER para que encuentre el valor
presente:
Recuerda que éste valor presente se
encuentra en el año 5 del flujo completo por
lo tanto este valor se convierte en el valor
futuro, tecleamos DIAMANTE + letra C para
copiar éste valor, luego damos ESC 1 vez y
seleccionamos Interés compuesto:
Damos ENTER en éste opción e introducimos
los datos conocidos:
Se ponen 5 periodos ya que este es el punto
donde se calculo el valor presente,
posiciónate sobre F y da DIAMANTE + letra V
del teclado extendido para que se pegue el
valor calculado anteriormente:
Ahora sólo damos ENTER y vemos el otro
valor a sumar:
Éste es otro valor a sumar, en total nos daría:
35,000+23,465.08+24,764.86 = $83,229.94.
Lo cual nos da lo mismo que con Business
Suite. Damos ESC 2 veces para salir del
programa por completo, te recomiendo que
resuelvas los ejercicios que se dejan al final
de éste manual para que adquieras habilidad
al resolver ejercicios de éste estilo en algún
examen.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Tasas de Interés Nominal y Efectivas Página 56
Tasas de Interés Nominal y Efectivas
Éste tema en particular es algo confuso
debido a los conceptos de periodo de
capitalización, períodos de pago,
composición semestral, trimestral etc. Se
resolverán un par de ejercicios de cada tema
para intentar aclarar un poco más éste tema.
Los primeros se resolverán en Economía y los
últimos en combinación de Business Suite
con Economía.
Ejemplo.
¿Qué tasa de Interés efectiva anual equivale
a 16% anual compuesta trimestralmente?
Estos primeros problemas parecerán algo
simples. Estando en HOME tecleamos “2nd”+
signos menos de tecla blanca ,
desplegamos el folder de ECONOMÍA y
damos ENTER sobre el programa principal
“economía”:
Se copia a la línea de entrada de HOME,
ahora solo cerramos el paréntesis y damos
ENTER:
Damos a la derecha con el cursor y
seleccionamos “Tasas”:
Damos ENTER para continuar y vemos:
En general ésta es la formula principal para
éste capítulo que hace referencia a las tasas.
ii = Tasa de interés efectiva anual (en
decimales)
i = Tasa de interés nominal (en decimales)
m = Períodos (enteros)
Como nos piden la tasa de interés efectiva
anual debemos dejar libre ésta casilla bajar
con el cursor y teclear en la variable “i”.
Como mencionan la tasa de interés de 16%
con composición trimestral, debemos hacer
la equivalencia al número de trimestres que
hay en un año, sabemos que son 4, podemos
representar la división del porcentaje en la
casilla tecleando “0.16/4” y la calculadora
hará la operación automáticamente:
Bajamos con el cursor y sobre “m” tecleamos
el número de trimestres que tiene un año
que son 4:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Tasas de Interés Nominal y Efectivas Página 57
Damos ENTER 2 veces y vemos:
Ésta es la tasa anual efectiva equivalente.
Veamos otro ejemplo.
Una tasa de interés de 18% anual con
composición mensual. ¿A que tasas de
interés nominal y efectiva trimestrales
equivale?
Aquí mismo en ésta pantalla borramos el
ejercicio anterior dando CLEAR sobre cada
ventana y tecleamos la nueva información.
De nueva cuenta debemos primero ver como
está compuesta la tasa, nos indica que esta
compuesta mensualmente, (siempre es
bueno hacerse la pregunta de “¿Cuántos
meses/bimestres/trimestres/cuatrimestres/s
emestres caben en 1 año” dependiendo del
problema), por lo tanto “i” queda como
(0.18/12):
Y en “m” los períodos de igual forma nos
indica el problema que quieren una
equivalencia trimestral, de nueva cuenta la
pregunta de “¿Cuántos meses caben en 1
trimestre?”(Debido a la composición
mensual), tecleamos en m=3 y damos ENTER.
Y vemos el resultado inmediatamente que es
4.5678%. Solo debes recordar claro está de
interpretar tus resultados de las tasas
multiplicados por 100 para tenerlo en
porcentaje.
Iremos subiendo de complejidad.
Un paro de 40 días e Boeing dio como
resultado 50 entregas menos de aviones de
reacción comerciales al final del primer
trimestre del 2000. A un costo de $20
millones por avión, ¿cuál fue el valor
presente de la producción perdida a
principios de año si la tasa de interés es de
18% anual con composición trimestral?
De igual forma éste problema se puede
hacer de manera simple en Economía damos
ESC una vez para regresar al menú general y
damos a la derecha con el cursor y damos
ENTER en “Interés compuesto”:
Y vemos:
Hay que entender el problema claro está, en
primer lugar nos piden el valor presente, por
lo tanto dejamos libre la primer ventana, en
F tecleamos los 20 millones de cada avión
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Tasas de Interés Nominal y Efectivas Página 58
multiplicados por los 50 que se perdieron, va
en el valor futuro porque nos dice el
problema que al final del trimestre fue que
se dio la pérdida:
Puedes teclear el símbolo de exponente con
“2nd” + número 1 de la parte numérica
y a continuación el número de exponente
que quieres (en este caso 6 porque se trata
de millones) y se puede dejar expresada la
multiplicación sin problemas. Ahora bien, el
interés nos indica que está compuesto
mensualmente, por lo tanto queda 0.18/12:
Y por último el número de períodos debemos
ajustarlo a 3 porque éste es el número de
meses que caben en un trimestre, esto se
deduce ya que el problema plantea la
situación de trimestre con la expresión “al
final del primer trimestre”. Damos ENTER 2
veces y vemos:
Vemos que la pérdida es de 956.3 millones.
Pasemos a problemas combinados con flujos
de efectivo.
Ejemplo
Determine la serie trimestral equivalente
para los flujos de efectivo de la tabla que
aparece enseguida (de los trimestres 1 a 8)
a una tasa de interés de 18% anual, con
período de capitalización mensual.
Trimestre Flujo de Efectivo
1 1000 2-3 2000
5-8 3000
En éste problema como puedes ver todo se
encuentra en trimestres por lo tanto lo mejor
es tomar los flujos con tasa de interés
trimestral para hacer los cálculos. Aquí
mismo en Economía damos ESC una vez para
regresar al menú general y nos movemos a
“Tasas”:
De igual forma como la capitalización es
mensual la tasa en “i” queda como .18/12 y
los períodos m=3 (número de meses que
caben en 1 trimestre):
Damos ENTER y vemos:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Tasas de Interés Nominal y Efectivas Página 59
Ésta tasa debemos recordarla ó anotarla ó
simplemente copiarla con la combinación
DIAMANTE + letra C del teclado extendido
para después usarla en Business Suite.
Damos ESC 2 veces para salir del programa
por completo. Borramos la línea de entrada
con CLEAR.
Como debes recordar debemos cambiar el
folder de trabajo a MAIN con tecla MODE:
Llamamos al programa Business Suite dando
“2nD” + signo menos de tecla blanca,
desplegamos el folder de MAIN y damos
ENTER en el programa principal “bstest92”:
Se copia a la línea de entrada cerramos el
paréntesis y damos ENTER:
Damos en F5
“Sheets” y
primera opción
Cash Flow:
El Cash Flow inicial es 0, ya que en la tabla no
se indica ningún valor inicial:
Y agregamos los flujos correspondientes
como ya sabemos, al final los flujos deben
quedarte así:
Ahora simplemente calculamos con F6 “Calc”
la sexta opción “Equiv Ann. Flow”:
Y tecleamos en porcentaje la tasa calculada ó
“pegamos” con DIAMANTE + letra V el valor
de la tasa de interés multiplicando por 100 y
Damos ENTER:
Y vemos el flujo equivalente de cada
trimestre que es $2,055.75.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Tasas de Interés Nominal y Efectivas Página 60
Salimos del programa como ya sabemos con
F7 y luego con F6 y segunda opción “I’m
Done”.
Veamos ahora un ejemplo de capitalización
continua combinado con flujo de efectivo.
¿Cuánto dinero debe depositarse cada
trimestre, comenzando dentro de 3 meses,
si una compañía piensa contar con $75,000
al final de los 3 años? Suponga que la tasa
de interés es de 12% anual con período de
composición continua.
Para éste problema como ya te debió haber
explicado tu profesor tienes que usar la
fórmula:
$ * �F � 1
Siempre que se trate de composición
continua debe usarse ésta formula. Damos
en tecla APPS y damos ENTER en Numeric
Solver:
Damos en F1 y primera opción “Open”:
Pensando en éste tipo de ejercicios cree ésta
formula en el archivo de EKO que se
encuentra en todas las calculadoras. Damos
a la derecha con el cursor y seleccionamos el
folder de EKO:
Bajamos con el cursor, damos a la derecha
con el cursor y seleccionamos la ecuación
que esta con el nombre “compcont”:
Damos ENTER 2 veces y vemos:
Damos hacia abajo con el cursor y lo único
que debemos hacer es llenar la información,
las tasas se deben introducir en porcentaje.
i = Es la tasa de interés efectiva anual
r = Es la tasa de interés anual ó nominal.
El problema nos dice que la tasa de interés
es anual, pero como los depósitos son
trimestrales se debe ajustar a éste factor, por
lo tanto en la variable “r” queda como 12/4,
4 es el número de veces que trimestres que
caben en 1 año:
Ahora sólo damos con el cursor hacia arriba
para posicionarnos sobre “i” y tecleamos F2:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Tasas de Interés Nominal y Efectivas Página 61
Ésta es la tasa equivalente a trimestres, se
debe anotar ó recordar ó copiar con
DIAMANTE + letra C del teclado extendido.
Cómo éste ejemplo representa un solo flujo
sencillo sin mucha combinación de flujos lo
más fácil es hacerlo en Finance. Damos tecla
APPS y damos ENTER en Finance:
Y llenamos la información necesaria. N = 12
porque como en todo el problema se ajusto
la tasa a trimestres también los períodos o N
debe ajustarse a trimestres, son 3 años por
lo tanto si en 1 año caben 4 trimestres, en 3
años caben 12. I = 3.045 que es la tasa
calculada, si la copiaste en la memoria sólo
pégala con DIAMANTE + letra V del teclado
extendido.
Por último como desean que el valor futuro
en ése lapso sea de 75000 nos posicionamos
sobre FV y tecleamos éste valor, luego nos
posicionamos sobre PMT y damos F2:
Y vemos el resultado de inmediato que es
$5,271.02. Con esto se concluye que se debe
depositar $5,271.02 cada trimestre durante 3
años para obtener una cantidad de $75,000.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Comparación de alternativas con vidas útiles iguales por medio de VP
Análisis del Valor Presente
En este tema verás los la posibilidad de elegir
entre una o más opciones de compra de
maquinaria o equipo en una situación real en
la industria, y cual es la mejor opción de
compra de acuerdo al valor presente de cada
una. En general te darán opción A y B,
tiempo de vida igual o diferente entre cada
uno, un costo operativo anual respectivo, un
costo o inversión inicial y un valor de
salvamento para cada opción y deberás
elegir entre la opción adecuada que
represente un menor desembolso.
Generalmente hay de 2 tipos uno con vidas
útiles iguales y otro con vidas útiles
diferentes, veremos un ejemplo de cada uno
y como los puedes resolver en
Suite.
Comparación de Alternativas con vidas
útiles iguales, por medio del V.P.
Hacer una comparación del
para 2 máquinas de igual servicio. Es decir
idénticas en condiciones para un mismo
período de tiempo, cuyos costos se
describen a continuación con un interés del
10% anual.
Máquina A
Costo Inicial $2,500
Costo Operativo Anual (COA)
$900
Valor de Salvamento $200
Vida Útil 5
Todos estos costos se pueden representar en
una línea de tiempo en un flujo de efectivo
(Cash Flow), y hacerlo fácilmente en
Business Suite. Corremos el programa
Business Suite como ya sabemos, recuerda
de cambiar a la carpeta MAIN con tecla
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Comparación de alternativas con vidas útiles iguales por medio de VP
En este tema verás los la posibilidad de elegir
entre una o más opciones de compra de
maquinaria o equipo en una situación real en
la industria, y cual es la mejor opción de
compra de acuerdo al valor presente de cada
una. En general te darán opción A y B, con un
tiempo de vida igual o diferente entre cada
uno, un costo operativo anual respectivo, un
costo o inversión inicial y un valor de
salvamento para cada opción y deberás
elegir entre la opción adecuada que
represente un menor desembolso.
hay de 2 tipos uno con vidas
útiles iguales y otro con vidas útiles
diferentes, veremos un ejemplo de cada uno
y como los puedes resolver en Business
Comparación de Alternativas con vidas
, por medio del V.P.
Hacer una comparación del Valor Presente
para 2 máquinas de igual servicio. Es decir
idénticas en condiciones para un mismo
período de tiempo, cuyos costos se
describen a continuación con un interés del
A B
$2,500 $3,500
$900 $700
$200 $350
5 5
Todos estos costos se pueden representar en
una línea de tiempo en un flujo de efectivo
(Cash Flow), y hacerlo fácilmente en
Corremos el programa
Business Suite como ya sabemos, recuerda
de cambiar a la carpeta MAIN con tecla
MODE y en la opción de “Current Folder”
(Folde Actual) cambiarlo a MAIN. Corremos
el programa Business Suite como ya
sabemos, ó si ya lo tenías en el histo
simplemente da arriba con el cursor hasta
sombrear la expresión del nombre principal
del programa “bstest92” y da ENTER 2 veces:
Como había mencionado estos gastos se
pueden representar en una línea de flujo y
hacerlo en Cash Flow fácilmente
Debes entender claro está los signos que
deben llevar cada costo; la inversión inicial
lleva signo n
Invierno 2009
Página 62
MODE y en la opción de “Current Folder”
(Folde Actual) cambiarlo a MAIN. Corremos
el programa Business Suite como ya
sabemos, ó si ya lo tenías en el historial
simplemente da arriba con el cursor hasta
sombrear la expresión del nombre principal
del programa “bstest92” y da ENTER 2 veces:
Como había mencionado estos gastos se
pueden representar en una línea de flujo y
hacerlo en Cash Flow fácilmente:
Debes entender claro está los signos que
deben llevar cada costo; la inversión inicial
lleva signo n
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Comparación de alternativas con vidas útiles iguales por medio de VP Página 63
egativo y va hacia abajo y SIEMPRE estará en
el año cero, luego el costo operativo anual
también es un gasto por lo tanto va con
signo negativo y hacia abajo y ocurre el
número de veces que tenga la vida útil de
ésa opción, y por último el valor de
salvamento es la cantidad de dinero que se
puede recuperar de la máquina (ya sea
revendiéndola o darla como chatarra)
después de que se terminó de usar, por lo
tanto lleva signo positivo y va hacia arriba.
Iniciamos con F5 y primera opción Cash Flow:
Nos pregunta el “Initial Cash Flow” que es la
inversión inicial, empezaremos con la
máquina A, por lo tanto tecleamos -2500, el
signo negativo debe ser el menos de la tecla
negra y damos ENTER para continuar:
Ahora agregamos flujos como ya sabemos
con F1 Add y el costo operativo de -900 y la
frecuencia de 4 años:
Y para el último flujo se debe hacer una resta
sencilla de -900+200 de salvamento ó
simplemente teclear esta expresión en la
calculadora y automáticamente hará la
suma:
Frecuencia de uno porque ocurre la última
vez en el último año, damos ENTER. Ahora
para calcular el valor presente damos en F6
“Calc” y la primera opción Net Present Value
y damos ENTER:
Tecleamos el porcentaje de interés del
problema que es 10 y damos ENTER:
Vemos que el valor presente de ésta
máquina es de -$5,787.52. Damos en F7 Exit
y luego nuevamente F5 y Cash Flow para
hacer lo mismo con la máquina B, los flujos
deben quedarte así:
Se calcula el Valor presente neto y nos da:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Comparación de alternativas con vidas útiles iguales por medio de VP Página 64
El valor presente de la máquina B es de
-$$5,936.23 con lo cual concluimos que la
mejor opción es comprar la máquina A ya
que es más económico.
Ahora veremos un ejemplo con diferentes
vidas útiles.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes por medio de VP
Comparación de Alternativas con vidas
útiles diferentes por medio del
El supervisor de una planta está tratando de
decidir entre las siguientes máquinas:
Máquina A
Costo Inicial $11,000
CAO $3,500
VS $1,000
Vida útil 6
a) Determinar que máquina deberá
seleccionarse sobre la base de una
comparación por valor presente utilizando
una tasa de interés del 15% anual.
b) Si se especifica el horizonte de planeación
a 5 años y el valor de salvamento no se
especifica que cambie, ¿cuál alternativa
debe seleccionarse?
Éste problema es un poco diferente al
anterior, para el inciso a) lo único que hay
que hacer es visualizar cada máquina al
número de años de vida útil en donde
puedan ser evaluados igualmente, es decir
con un número de años donde puedan
empatar, el cual es el MCM (mínimo común
múltiplo), el cuál operando sabemos que es
18, 18 es múltiplo de 6 y de 9 por lo tanto
debemos calcular el valor presente para cada
máquina en éste tiempo, con la máquina A
serán 3 ciclos y con la máquina B serán 2
ciclos. Si tienes problemas encontrando el
mínimo común múltiplo (lo cual sería muy
vergonzoso) puedes encontrarlo en HOME
con la función “lcm(“ (least common
multiplier). Solo teclea ésta combinación en
la línea de entrada seguida por
separados por una coma y cerrando
paréntesis al final:
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes por medio de VP
Comparación de Alternativas con vidas
útiles diferentes por medio del V.P.
El supervisor de una planta está tratando de
decidir entre las siguientes máquinas:
B
$11,000 $18,000
$3,500 $3,100
$1,000 $2,000
9
a) Determinar que máquina deberá
seleccionarse sobre la base de una
comparación por valor presente utilizando
una tasa de interés del 15% anual.
b) Si se especifica el horizonte de planeación
a 5 años y el valor de salvamento no se
¿cuál alternativa
Éste problema es un poco diferente al
anterior, para el inciso a) lo único que hay
que hacer es visualizar cada máquina al
número de años de vida útil en donde
puedan ser evaluados igualmente, es decir
e años donde puedan
empatar, el cual es el MCM (mínimo común
múltiplo), el cuál operando sabemos que es
18, 18 es múltiplo de 6 y de 9 por lo tanto
debemos calcular el valor presente para cada
máquina en éste tiempo, con la máquina A
a máquina B serán 2
ciclos. Si tienes problemas encontrando el
mínimo común múltiplo (lo cual sería muy
vergonzoso) puedes encontrarlo en HOME
con la función “lcm(“ (least common
multiplier). Solo teclea ésta combinación en
la línea de entrada seguida por los 2 valores
separados por una coma y cerrando
Damos ENTER y vemos:
Es el mínimo común múltiplo que es 18.
Ahora es conveniente ver en la línea de flujo
los 3 ciclos para la máquina A para que no se
cometan errores, esto lo pu
mentalmente, pero si lo requieres realiza la
línea de tiempo:
Y corremos Business Suite normalmente y
hacemos el Cash Flow, sólo debes irlo
haciendo con cuidado y poner atención en
los años 6 y 12 que son donde hay más flujos
convergiendo (3 flujos para ser exactos),
recuerda que los flujos hacia abajo van con
signo negativo y es el signo menos de tecla
negra. El Cash Flow Inicial es
Luego F1 Add y agregamos los primeros 5
flujos del COA:
Invierno 2009
Página 65
Es el mínimo común múltiplo que es 18.
Ahora es conveniente ver en la línea de flujo
los 3 ciclos para la máquina A para que no se
cometan errores, esto lo puedes hacer
mentalmente, pero si lo requieres realiza la
Y corremos Business Suite normalmente y
hacemos el Cash Flow, sólo debes irlo
haciendo con cuidado y poner atención en
los años 6 y 12 que son donde hay más flujos
ujos para ser exactos),
recuerda que los flujos hacia abajo van con
signo negativo y es el signo menos de tecla
negra. El Cash Flow Inicial es -11000:
Luego F1 Add y agregamos los primeros 5
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes por medio de VP
Agregamos el flujo del año 6 y aquí
convergen 3 flujos: uno el del costo
operativo anual de ese año, el del valor de
salvamento de esa máquina (positivo) y el de
reinversión en una nueva máquina (negativo)
(-3500+1000-11000):
Recuerda que el primer signo menos es de
tecla negra y el segundo menos es de tecla
blanca, si tienes problemas tecleando éstas
expresiones consulta el apartado de
“INTRODUCIENDO DATOS Y EXPRESIONES
CORRECTAMENTE”. Y continuamos con el
segundo ciclo:
Y continuamos con la última parte:
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes por medio de VP
Agregamos el flujo del año 6 y aquí
vergen 3 flujos: uno el del costo
operativo anual de ese año, el del valor de
salvamento de esa máquina (positivo) y el de
reinversión en una nueva máquina (negativo)
Recuerda que el primer signo menos es de
menos es de tecla
blanca, si tienes problemas tecleando éstas
expresiones consulta el apartado de
“INTRODUCIENDO DATOS Y EXPRESIONES
CORRECTAMENTE”. Y continuamos con el
Y continuamos con la última parte:
En el último flujo como
reinversión de máquina se reduce a 2 flujos,
uno de costo operativo anual más el valor de
salvamento:
Ya que hemos terminado de teclear los flujos
ahora solo encontramos el Valor presente
neto con F6 y primera opción, al 15 % qu
especifica el problema:
Y vemos el resultado inmediatamente que es
-$38,559.42 y que debemos anotar para
luego comparar con el valor presente de la
máquina B. Para la máquina B el flujo en sus
2 ciclos quedaría:
Y se hace exactamente lo mismo para é
máquina, para salir damos F7 y luego
nuevamente F5 y primera opción Cash Flow,
recuerda que el flujo donde convergen 3
cantidades es en el año 9 (
18000), y el flujo del último año ya sólo es
-3100+2000; los flujos deben quedarte así:
Invierno 2009
Página 66
ya termino el ciclo de
reinversión de máquina se reduce a 2 flujos,
uno de costo operativo anual más el valor de
Ya que hemos terminado de teclear los flujos
ahora solo encontramos el Valor presente
neto con F6 y primera opción, al 15 % que
Y vemos el resultado inmediatamente que es
y que debemos anotar para
luego comparar con el valor presente de la
máquina B. Para la máquina B el flujo en sus
Y se hace exactamente lo mismo para ésta
máquina, para salir damos F7 y luego
nuevamente F5 y primera opción Cash Flow,
recuerda que el flujo donde convergen 3
cantidades es en el año 9 (-3100+2000-
18000), y el flujo del último año ya sólo es
3100+2000; los flujos deben quedarte así:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA
Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes por medio de VP
Por último calculando el VPN:
Vemos el resultado inmediato, que es
-$41,383.28, por lo tanto concluimos que la
máquina que nos conviene por precio es la
máquina A. Claro está este es un mero
análisis monetario habría que ver el
beneficio de cada máquina, productividad,
calidad, manufactura, servicio extra, garantía
etc.
Éste es el programa más sencillo para
resolver éste tipo de problemas si se hiciera
en Finance o en Economía sería muy tardado
debido al número de pasos se tendrí
hacer alrededor de 6 pasos para llegar a un
resultado de una máquina, recomiendo que
cuando resuelvas éstos ejercicios los hagas
en Business Suite.
Para el inciso b) con el horizonte de
planeación a 5 años simplemente se saca el
valor presente para las 2 máquinas a 5 años,
tomando el valor de salvamento en ése
último año:
INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ]
Comparación de alternativas con vidas útiles diferentes por medio de VP
Por último calculando el VPN:
Vemos el resultado inmediato, que es
, por lo tanto concluimos que la
máquina que nos conviene por precio es la
máquina A. Claro está este es un mero
análisis monetario habría que ver el
beneficio de cada máquina, productividad,
calidad, manufactura, servicio extra, garantía
Éste es el programa más sencillo para
resolver éste tipo de problemas si se hiciera
en Finance o en Economía sería muy tardado
debido al número de pasos se tendrían que
hacer alrededor de 6 pasos para llegar a un
resultado de una máquina, recomiendo que
cuando resuelvas éstos ejercicios los hagas
Para el inciso b) con el horizonte de
planeación a 5 años simplemente se saca el
las 2 máquinas a 5 años,
tomando el valor de salvamento en ése
Y se saca el valor presente nuevamente para
cada opción. Debe darte lo siguiente, para la
máquina A:
Y para la máquina B:
Como puedes ver, aún cuando se haga u
horizonte de planeación a 5 años, sigue
siendo la máquina A la opción más
económica.
Invierno 2009
Página 67
Y se saca el valor presente nuevamente para
cada opción. Debe darte lo siguiente, para la
Como puedes ver, aún cuando se haga un
horizonte de planeación a 5 años, sigue
siendo la máquina A la opción más
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método de Línea Recta Página 68
Depreciaciones
El tema de depreciaciones es algo variado,
algunos profesores imparten éste tema en la
materia de Ingeniería Económica 1 y algunos
lo dan hasta Ingeniería Económica 2, de
cualquier manera aquí se explicará los 4
métodos y como funcionan en la Texas, así
como sus peculiaridades para cada tema.
Todos estos temas se verán en Business
Suite. En la mayoría de los problemas de
depreciación te darán un costo inicial, un
valor de salvamento, un periodo (en años
generalmente) de vida útil y en ocasiones un
porcentaje de depreciación, y lo que debes
hacer es encontrar la cantidad depreciada
por cada año y el valor final (valor en libros)
de cada año y hace una tabla completa. Con
Business Suite puedes hacer todo esto
fácilmente.
Método de Línea Recta
Éste es el método más sencillo ya que todos
los años se deprecia la misma cantidad.
Ejemplo.
Si un activo tiene un costo de $50,000 con
un valor de salvamento de$10,000 y una
vida útil de 5 años, calcular la cantidad
depreciada por año y el valor final en libros
cada año.
Iniciamos Business Suite como ya sabemos y
seleccionamos el menú F3 “Depr”
(Depreciaciones) y seleccionamos la primera
opción “Straight Line” (Línea recta):
Y podemos ver que lo único que se necesita
es teclear la información necesaria. “Cost $”
es el costo del activo, “Salvage Value” es el
valor de salvamento, y por último “Life” es el
número de años o de vida útil del activo,
tecleamos ésta información:
Es importante mencionar que en ésta parte
de Business Suite no es necesario teclear el
cambio de signo que representa inversión (-)
y el valor de salvamento (+), aquí todos los
valores deben ser positivos. Damos ENTER
para continuar y vemos:
La Texas hace la pregunta de cómo se va a
guardar la tabla , es decir, automáticamente
hará la tabla final y la guardará como una
matriz con el nombre que tú le pongas,
puede ser cualquier combinación de letras
que no pase de 8 caracteres, ponemos
“tabla”:
Ahora bien antes de continuar en la parte
superior está la explicación de la tabla
misma, la primera columna es el año (Year),
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método de Línea Recta Página 69
la segunda columna es la cantidad
depreciada por año (Depr),la tercer columna
es la suma acumulada por año “ΣDepr” y la
última columna es el valor en libros al final
de cada año (Book). Damos ENTER y vemos
la tabla:
Con esto puedes comprobar los resultados
de tus tareas o exámenes. Damos ENTER
para regresar al menú general de Business
Suite.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método de Suma de Dígitos de los Años Página 70
Método de Suma de Dígitos de los Años
A diferencia del método anterior éste
deprecia cada año cantidades diferentes.
Ejemplo.
Una casa que cuesta $320,000 se espera que
tenga una vida útil de 30 años y un valor de
salvamento del 25%, calcular el valor de la
depreciación para los años 4, 9, 18 y 26 con
el método de suma de los dígitos de los
años.
Nuevamente damos en el menú F3 “Depr” de
depreciaciones seleccionamos la segunda
opción “Sum Yrs. Digits” (Suma de dígitos de
los años) y damos ENTER:
Y al igual que en el método anterior se debe
llenar la información necesaria. “Cost $” es el
costo del activo, “Salvage Value” es el valor
de salvamento (se puede teclear en la
ventana la multiplicación del activo por el
porcentaje salvado sin necesidad de hacer
antes la multiplicación), y por último “Life” es
el número de años o de vida útil del activo,
tecleamos ésta información:
La Texas hace la pregunta de cómo se va a
guardar la tabla , es decir, automáticamente
hará la tabla final y la guardará como una
matriz con el nombre que tú le pongas,
puede ser cualquier combinación de letras
que no pase de 8 caracteres, ponemos
“tabla”:
Ahora bien antes de continuar en la parte
superior está la explicación de la tabla
misma, la primera columna es el año (Year),
la segunda columna es la cantidad
depreciada por año (Depr), la tercer columna
es la suma acumulada por año “ΣDepr” y la
última columna es el valor en libros al final
de cada año (Book). Damos ENTER y después
de unos momentos vemos la tabla:
Puedes desplazarte y ver toda la tabla
moviéndote con el cursor de arriba abajo:
Y vemos las primeras 2 respuestas, en al año
4 la depreciación fue de $13,935.48 y el valor
en libros de $261,161.29; en el año 9 la
depreciación fue de $11,354.84 y el valor en
libros de $199,225.81. Seguimos bajando y
encontramos las demás respuestas:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método de Suma de Dígitos de los Años Página 71
En el año 18 la depreciación fue de
$6,709.68 y el valor en libros al final de ese
año fue de $120,258.06 y por último en el
año 26 la depreciación fue de $2580.65 y el
valor en libros al final de ese año fue de
$85,161.29. Como puedes ver esta es una
forma fácil y muy segura de comprobar tus
respuestas. Damos ENTER para regresar al
menú general de Business Suite.
Es IMPORTANTE hacer una aclaración,
debido a que Business Suite ajusta todas las
cantidades que maneja a 2 decimales (pero
toma todos los decimales para multiplicar) es
probable que notes una ligera diferencia
entre los resultados que hagas a mano y los
que muestran la Texas, esta diferencia
debería ser poco importante, sin embargo
hay profesores que lo toman muy en serio,
por ejemplo si tu manejas las cifras a 4
decimales puede haber una diferencia de
mas menos 1 dólar. Por ejemplo una
cantidad ajustada a 4 decimales contra una
cantidad tomando infinitos decimales:
Puedes ver que hay una ligera diferencia, la
Texas toma todos los decimales en Business
Suite y por lo tanto es más exacta.
También es importante mencionar que
debes tener buen espacio en tu calculadora
sobre todo con problemas a calcular con
muchos años ya que en ocasiones puede
llegar a haber errores de memoria
“Memory”, asegúrate de borrar programas o
información no necesaria de la calculadora.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 72
Método de Saldo Decreciente (SD) y Saldo
Doblemente Decreciente (SDD), también
llamado Método de Porcentaje Fijo.
Éste método considera la depreciación con
un porcentaje fijo de depreciación por año y
a veces hay un valor de salvamento y a veces
el valor de salvamento es cero.
Ejemplo.
Un activo tiene un costo inicial de $25,000 y
un Valor de Salvamento de $4,000 después
de 12 años. Calcula su depreciación y valor
en libros usando SDD para:
a) Año 1
b) Año 4
c) El valor implícito de salvamento después
de 12 años utilizando saldo doblemente
decreciente.
Éste método se encuentra de igual manera
en el menú F3 “Depr” y tercera opción “Decl
Balance”:
De igual forma se solicita la información
necesaria; “Cost $” es el costo del activo,
“Life” es el número de años o de vida útil del
activo, y “Declining Rate” es el porcentaje de
depreciación por año que se desea calcular
expresado en porcentaje.
NOTA IMPORTANTE. Específicamente para el
método de saldo doblemente decreciente
(SDD) el porcentaje SIEMPRE será de 200, es
decir en realidad no “importa” el valor de
salvamento que haya en el problema cuando
se trate de SDD. Llenamos la información:
Damos ENTER para continuar.
La Texas hace la pregunta de cómo se va a
guardar la tabla , es decir, automáticamente
hará la tabla final y la guardará como una
matriz con el nombre que tú le pongas,
puede ser cualquier combinación de letras
que no pase de 8 caracteres, ponemos
“tabla”:
Ahora bien antes de continuar en la parte
superior está la explicación de la tabla
misma, la primera columna es el año (Year),
la segunda columna es la cantidad
depreciada por año (Depr), la tercer columna
es la suma acumulada por año “ΣDepr” y la
última columna es el valor en libros al final
de cada año (Book). Damos ENTER y después
de unos momentos vemos la tabla:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 73
Puedes desplazarte con el cursor hacia abajo
y contestar fácilmente los primeros 2 incisos.
Para el inciso a) el valor de depreciado en el
año uno es de $4,166.67 y el valor en libros
de $20,833.33, para al inciso b) el valor
depreciado es de $2,411.27 y el valor en
libros de $12,056.33. Sólo debes entender
del problema que dado que el valor de
salvamento último es de $4,000, no importa
que el valor en libros al final del año 12 sea
menor de $4,000, éste valor será el límite
aunque el valor en libros sea menor.
Ahora bien el inciso c) hace simplemente la
pregunta de a que valor llega en libros en el
último año sin tomar en cuenta el valor de
salvamento, debemos desplazarnos hasta la
última fila:
El único “inconveniente” de éste programa
es que SIEMPRE ajustará toda la
depreciación a cero en el último año, para
calcular el último valor en libros
simplemente tomamos el valor en libros del
año 11 ($3,364.70) y lo multiplicamos por (1-
.1667).Que nos da $2,803.88, y este es el
valor implícito de salvamento.
Hay que hacer un par de consideraciones
más cuando se trata de un Saldo Decreciente
simple (SD) y se explicará con un par de
ejemplos.
Ejemplo:
Se adquiere un equipo troquelado con valor
de $28,750 y se calcula que su tasa de
depreciación es de 30%. Su esperanza de
vida es de 7 años.
a) Elabórese una tabla de depreciación de
los primeros 4 años
b) Encuéntrese el valor en libros al final del
quinto año.
c) Determínese el cargo de depreciación del
sexto año
d) Determínese el valor teórico de
deshecho.
Bien, lo más importante al resolver este tipo
de ejercicios es IDENTIFICAR que tipo de
problema de depreciación se trata, a
diferencia del ejemplo anterior aquí se da
una tasa inicial de depreciación y no nos dan
valor de salvamento. En Business Suite
(específicamente en la opción de “Decl.
Balance”) no es posible introducir la tasa que
nos da éste problema tal cual para encontrar
la tabla final, es necesario hacer una
conversión simple que se da por la siguiente
fórmula:
� *�
· 100
Donde “d” es la tasa que nos da el problema,
expresada en decimales.
“x” es la tasa equivalente a encontrar.
“n” es el número de períodos.
Seleccionamos entonces
la tercera opción del
menú F3 “Depr”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 74
E introducimos la información tal cual como
en el ejercicio anterior, y en la tasa
“Declining rate” podemos introducir el
despeje indicando la multiplicación y la Texas
automáticamente hará la operación, es
importante recordar que la tasa debe estar
en decimales (ó si lo quieres ver de otro
modo puedes dejarlo expresado en
porcentaje y omitir la multiplicación por
100):
Damos ENTER para continuar y ver la tabla:
Y viendo la tabla se puede contestar
fácilmente los primeros 3 incisos del
problema. Para el último inciso recuerda que
la Texas ajusta la depreciación a cero al
termino dl último año, éste es el único dato
que tienes que omitir, para encontrar el
valor en libros en el último año debes tomar
el valor en libros del año 6 ($3,382.41) y
multiplicarlo por (1-0.3), lo cual nos da
$2,367.69 que es el valor teórico de
deshecho.
Por último la última consideración final tiene
que ver con problemas donde si dan valor de
salvamento ó dan valor de salvamento igual
a cero.
Ejemplo.
Una compañía compra una camioneta para
el reparto de su mercancía en $75,000.
Calcula que su vida útil será de 5 años y que
al final de ella su valor de deshecho será de
$10,000.
a) Elabórese la tabla de depreciación
correspondiente por año.
b) Elabórese otra tabla de depreciación por
año suponiendo un valor de deshecho de
cero.
En el inciso a) para encontrar la tasa de
depreciación debe usarse una fórmula
parecida al de interés compuesto; pensando
en éste tipo de ejercicios elaboré una
ecuación con la que puedes introducir los
datos y encontrar la tasa equivalente que
debes usar en Business Suite para hallar la
tabla completa de un solo golpe, para ir a ella
sal de Business Suite con F6 y segunda
opción “Im Done” y dirígete al menú de
programas principales con tecla APPS y
posiciónate sobre Numeric Solver y da ENTER
para entrar:
Ya dentro del programa teclea F1 y opción 1
Open:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 75
Ya en ésta pantalla damos a la derecha con el
cursor para cambiarnos al folder “EKO” en
éste folder guardé la ecuación en todas las
calculadoras, da ENTER para seleccionarlo:
Ahora baja con el cursor sobre la opción de
“Variable” y da a la derecha con el cursor
para encontrar el nombre de la ecuación que
es “tequiv”, y da ENTER para seleccionarlo:
Y ENTER nuevamente para continuar.
Da una vez hacia abajo con el cursor para
que se desplieguen las variables a introducir:
S, Es el valor de Salvamento.
C, Es el costo del activo
N, Es el número de períodos.
D, Es la tasa equivalente para Business Suite.
Introducimos la información del problema y
nos posicionamos sobre la variable a
encontrar que es D pulsamos F2:
Ésta es la tasa que debe usarse para Business
Suite, para copiarlo así sombreado como
esta solo da la combinación DIAMANTE +
letra C del teclado extendido. Regresamos a
HOME con DIAMANTE + letra Q y volvemos a
correr Business Suite.
Seleccionamos como ya sabemos la opción
de “Decl. Balance” y sobre “Declining rate”
tecleamos DIAMANTE + letra V del teclado
extendido para pegar el valor:
Ahora simplemente damos ENTER,
nombramos la tabla como ya sabemos y
vemos los resultados:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 76
Para la segunda tabla considerando un valor
de salvamento cero, debemos volver a la
ecuación de Numeric Solver pero ahora
poner en la variable S el valor de 1, SIEMPRE
que tengas un valor de salvamento cero
debes poner 1 en el valor de salvamento y
encontramos la tasa equivalente para
Business Suite:
Y calculamos la tabla final en Business Suite:
Podemos ver lo importante que es tener un
valor de rescate, ya que se deprecia muy
rápidamente el activo en los primeros años
con éste método. También que cuando
trabajes en Numeric Solver borres de cuando
en cuando las variables que se usan
tecleando F6 y dando ENTER:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 77
Método SMARC (MACRS)
El método SMARC generalmente lo enseñan
hasta Ingeniería Económica 2, sin embargo lo
explicaremos aquí ya que se esta viendo el
tema de depreciaciones.
Éste método de depreciación es el Sistema
Modificado Acelerado de Recuperación de
Costos, ó por sus siglas en inglés MACRS
(Modified Acelerated Cost Recovery System)
como ya te deben haber explicado es un
método que va disminuyendo el capital con
un porcentaje dado, para usar éste método
necesitarías una tabla del porcentaje acorde
con el número de años depreciados del
activo, tabla que se puede encontrar en
libros o en internet, en Business Suite ya
viene éste método, pero solo hasta un
período de 10 años de vida, para activos de
mayor duración (con n=15 ó n=20) he creado
un par de hojas de cálculo en Cell Sheet que
es un programa que ya viene dentro de la
Texas donde puedes simplemente introducir
el costo del activo y realizará las
depreciaciones en todos los años.
Mostraremos como es costumbre un par de
ejemplos antes de pasar a número de
mayores de períodos. También es
importante mencionar que con el método
SMARC la mayoría de los períodos standard
son 3, 5, 7, 10, 15 y 20.
Un nuevo activo de propiedad personal de
$30,000 debe depreciarse utilizando SMARC
durante 7 años. Se espera que el valor de
salvamento sea de $2,000, a) Compare los
valores en libros para la depreciación
SMARC y la depreciación clásica LR durante
7 años. b) Represente gráficamente los
valores en libros usando una hoja de
cálculo.
Entramos como ya sabemos a Business Suite
y tecleamos F3 para el menú de
Depreciaciones y última opción MACRS:
Después de unos instantes vemos:
Aquí solo debemos introducir el costo del
activo (en valor absoluto) y seleccionar el
número de años deseado. Recuerda que tal
como en los ejercicios de saldo decreciente
el valor de salvamento no se toma en cuenta.
Bajamos con el cursor damos a la derecha
para ver las opciones de períodos y
seleccionamos el 7 dando ENTER sobre él:
Y damos ENTER para continuar y como en los
métodos anteriores nombramos la tabla
resultante con un nombre que recordemos
para después usarla para graficar:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 78
De nueva cuenta la tabla es exactamente
igual que las anteriores; la primera columna
es el año (Year), la segunda columna es la
cantidad depreciada por año (Depr), la
tercera columna es la suma acumulada por
año “ΣDepr” y la última columna es el valor
en libros al final de cada año (Book). Damos
ENTER para continuar y ver los resultados:
Es MUY IMPORTANTE mencionar que en el
método SMARC siempre se toma el valor de
salvamento como cero, aunque haya un
posible valor de salvamento realizable, por lo
tanto se respeta la tabla tal cual sin hacer
ningún ajuste.
Ahora para compararlo con línea recta lo
hacemos por éste método en Straight Line y
nombramos la tabla con un nombre distinto
para después también ver la gráfica:
Damos ENTER y vemos los resultados:
Ahora bien nos salimos de Business Suite con
F6 y segunda
opción “I’m
Done” para
salir:
Ahora debemos transformar las matrices que
guardamos a base de datos “Data”, para esto
estando aquí en HOME tecleamos “2nd”+
número 5 de la parte numérica y se despliega
el siguiente menú:
Ahora desplegamos el menú de “Matrix”,
posicionándonos sobre él y dando a la
derecha con el cursor y nos desplazamos
hasta la última opción “Mat�Data” y damos
ENTER:
Se copia a la línea de entrada y ahora
simplemente tecleamos el nombre de la
matriz seguido de una coma “,” y a
continuación el nuevo nombre con que
queremos que se llame la base de datos,
como “tab1” era el método SMARC,
pondremos “sm” (puedes ponerle el nombre
que quieras con una combinación no mayor
de 8 caracteres):
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 79
Y damos ENTER:
Si lo hiciste correctamente debe aparecer
delante de la operación la expresión “Done”.
Y hacemos lo mismo para “tab2” y le
pondremos “lr”, puedes simplemente quitar
la sombra de la línea de entrada dando a la
derecha con el cursor y borrar sólo lo
necesario:
Ahora debemos ir a visualizar las bases de
datos y seleccionar el rango que queremos
que sea X e Y para graficar, para esto damos
en tecla APPS y nos desplazamos hasta el
programa “Data/Matrix Editor”
Damos ENTER en él y seleccionamos la
opción “Open”
Abrir:
Y vemos:
Dejamos las primeras 2 opciones tal cual, la
primera opción es para cambiar el tipo de
datos del Data/Matrix Editor, la primera
opción es la adecuada ya que “Data” hace
referencia a base de datos, en la segunda
opción el folder MAIN es el adecuado ya que
aquí es donde se crearon las bases de datos
que se hicieron en HOME, y por último en
“Variable” damos a la derecha con el cursor y
vemos automáticamente que identifica los
archivos en ese folder con de tipo de base de
datos y están las 2 opciones que hemos
creado:
Seleccionamos primero la de SMARC:
Damos ENTER para continuar y vemos:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 80
Aquí están ya los valores transcritos de la
tabla SMARC que se calculó en Business
Suite, puedes desplazarte con el cursor sobre
las celdas y ver el valor aproximado de cada
calculo, recuerda que la forma como estaba
la tabla queda igual, la primera columna son
los años, la segunda el valor depreciado por
año, la tercera columna la suma acumulada
de depreciación por año y la última columna
el valor en libros. Ahora vamos a crear un
par de listas para las columnas c1 y c4,
damos en F1 y seleccionamos la segunda
opción “Save Copy As”:
Y cambiamos la opción a “List” en la opción
“Type”, lo dejamos en el folder MAIN y le
asignamos un nombre que puedas recordar
como “lx” (haciendo referencia a lista X, del
eje X):
Si te fijas nos pregunta que columna es la
que deseamos guardar como lista, la
columna 1 es la que hace referencia al eje X
la cual ya esta, damos ENTER para continuar.
Y ya ha quedado guardada en la memoria,
hacemos lo mismo para el eje y:
La columna C4 es la que hace referencia al
valor en libros. Generalmente en este tipo de
problemas se pide comparar los años con el
valor en libros resultante de cada año para
comparar los métodos y la cantidad que va
quedando del activo por año. Damos ENTER
para continuar y ahora en F1 y en la primera
opción “Open” para abrir la otra base de
datos de línea recta.
Y cambiamos la última opción de “variable” a
“lr” y damos ENTER para continuar:
Y vemos:
Ahora para configurar la gráfica damos en F2
“Plot Setup”.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 81
Ahora damos en F1 “Define”:
La primera opción que dice “Plot Type”, lo
dejaremos con la opción de “xyline”:
Nos desplazamos hacia abajo y en la opción
“Mark” es el tipo de marca es decir como
quieres que la calculadora marque cada
punto de dato, puedes ver que hay 5
opciones, 1: Box (que lo marque cada punto
con una caja), 2: Cross (con una cruz), 3: Plus
(con un signo mas +), 4: Square (con un
cuadro), 5: Dot (con un punto). Por sencillez
dejaremos la primera opción. En “x” e “y”
debemos indicarle las columnas de puntos xy
que deseamos que se grafiquen, los datos de
X son de la columna “c1” que hace referencia
a los años, simplemente tecleamos esta
combinación y nos pasamos al apartado de
Y:
Aquí tu puedes ir comparando ya sea la
depreciación por año de la columna “c2”, la
depreciación acumulada de “c3” ó el valor en
libros correspondiente a la columna “c4”,
generalmente en este tipo de problemas se
pide comparar el valor en libros de cada
método, así que asignamos c4:
Y damos ENTER 2 veces para continuar:
Y verás que ya queda marcado con una
palomita “Plot 1” indicando que ya hay algo
para graficar. Ahora bajamos con el cursor y
nos posicionamos sobre Plot2 y damos
nuevamente en F1 “Define”:
Cambiamos la configuración de “Plot Type” a
“xyline” y en el apartado de X tecleamos la
variable que creamos para la depreciación de
smarc que era “lx” y tecleamos de igual
manera en el apartado de Y la variable que
creamos como “ly”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 82
Damos ENTER 2 veces para continuar:
Y vemos que ya están marcados los 2 Plots
listos para graficar, si te das cuenta en “Plot
2” esta marcada la extensión de donde viene
el archivo que es de MAIN ya que en este
folder es en el que hemos estado trabajando,
la razón por la cual se tuvo que poner una
serie de datos como lista y otra como base
de datos es porque no se puede graficar de 2
bases de datos distintas, para esto todos los
valores deberían haber estado en la misma
base de datos. Damos ENTER para continuar.
Ahora para ver la gráfica damos en
DIAMANTE + letra W del teclado extendido:
Y damos en el menú F2 y damos en la opción
9 “ZoomData”:
Y vemos:
Y se puede observar claramente la diferencia
de métodos; la de línea recta representa
claro esta ésta línea, mientras que el método
SMARC lo deprecia más rápidamente de
forma curva. También es claro que el método
SMARC lo deprecia hasta cero y el método LR
clásico halla un valor de salvamento de
$2,000, tú puedes desplazarte para ver los
puntos dando en F3 “Trace” y te puedes
desplazar de izquierda a derecha sobre los
puntos y ver las coordenadas ó de arriba
abajo para cambiarte de método de
depreciación:
Para salir da en DIAMANTE + letra Q del
teclado extendido.
Claro está que el programa más adecuado
para resolver sobre todo las gráficas es Excel,
sin embargo se muestra que también se
puede hacer aquí.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 83
A grandes rasgos, cuando te piden el método
SMARC para años inferiores a n=10 puedes
usar Business Suite sin problemas y ver los
resultados.
NOTA IMPORTANTE. Hay una ligera
variación entre los porcentajes que marca el
libro de Ingeniería Económica de Leland
Blank & Anthony Tarquin y los porcentajes
que usa Business Suite, una forma sencilla
donde puedes ver los porcentajes usados
para cualquier número de períodos es usar
un costo igual a 100 y ver la tabla:
Veamos un ejemplo para períodos
superiores.
Ejemplo.
Un robot de ensamble automatizado, que
cuesta $45,000 instalado, tiene una vida
depreciable de 15 años y valor de
salvamento cero. Elabore una tabla de
depreciación SMARC y compárela con el
método clásico LR.
Para ejemplos de problemas con períodos
superiores como n=15 y n=20 desarrollé una
sencilla hoja de calculo en la calculadora
donde al igual que en Business Suite puedes
simplemente teclear el costo del activo y
automáticamente la hoja calcula la tabla
final.
Para trabajar en la hoja de cálculo que
debiste instalar previamente debes
desarchivar la hoja de cálculo para poderla
manipular. Estando en HOME teclea “2nd” +
signo menos de tecla blanca :
Da a la derecha con el cursor sobre el folder
“EKO” y posiciónate sobre el archivo
“SMARC15” (el número hace referencia a los
años):
Da en F4 para marcar el archivo:
Ahora da en F1 “Manage” y da ENTER en la
opción 9 “Unarchive Variable”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 84
Si lo hiciste correctamente debe desaparecer
el asterisco que esta del lado izquierdo del
nombre del archivo. Ahora da en tecla APPS
y da ENTER sobre el programa “Cell Sheet”
Da ENTER sobre la opción “Open”:
Cambia el folder a “EKO” dando a la derecha
con el cursor, luego posicionándote sobre el
folder y da ENTER:
Y automáticamente verás los archivos de Cell
Sheet existentes smarc15 y smarc20, deja la
opción de smarc 15 y da ENTER:
Éste es Cell Sheet, es un programa de hoja de
calculo parecido a excel en algunos sentidos,
claro está que no se compara con Excel para
nada, sin embargo la ventaja de esta
pequeña hoja de cálculo es que admite
operaciones, expresiones y ecuaciones
matemáticas de cualquier índole.
Como te puedes dar cuenta la hoja ya esta
hecha con los porcentajes tomados del libro
de Tarquin y se dejo un costo de $70,000,
para simplemente cambiar el costo
posiciónate sobre la celda C1 y da ENTER:
Quita la sombra de la línea de entrada dando
a la derecha con el cursor y borra con tecla
y cambia al costo del problema:
Da ENTER para hacer los cambios.
Ahora para recalcular toda la hoja da en F8
“ReCalc”, después de unos momentos verás
una barra que se llena que es el porcentaje y
después de unos momentos vemos:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 85
Puedes ver ya la hoja calculada por completo
igual que Business Suite, la columna A son los
años, la columna B es el porcentaje de
depreciación por año tomada del libro de
Tarquin, la columna C es la depreciación por
año ya calculada; la columna D es la
depreciación acumulada por año, y la
columna E es el valor en libros al final de
cada año. Tú puedes desplazarte a través de
toda la hoja con el cursor y ver las
cantidades:
En ocasiones cuando las cantidades son muy
grandes no se pueden ver en la celda, para
esto debemos de cambiar la configuración de
la hoja para poder ver los valores completos.
Para esto damos en F1 y damos ENTER en la
opción A “Format”:
Yo te recomiendo siempre que uses el
“Autocalc” en OFF, el “Cursor Mvmnt” en
DOWN y el “Show” por ahora lo ponemos en
“Value” (para ver los valores y no las
formulas
usadas):
Damos ENTER para guardar los cambios:
Y ahora ya puedes desplazarte a través de las
celdas y ver los valores exactos en la línea de
entrada. Recomiendo el AutoCalc en OFF ya
que cuando cambias la formula de alguna
celda la calculadora recalcula toda la hoja
perdiendo tiempo, siempre es mejor hacer
los cambios de formulas adecuadas y
después dar simplemente dar en ReCalc de
F8 para ver los resultados.
Al igual que con Data/Matrix también puedes
graficar aquí mismo los años contra el valor
en libros, la diferencia es que con éste
programa debemos indicar el rango de datos
de celda para X y el rango de datos en celdas
para Y, al igual que en Excel para indicar un
rango debes teclear la celda de inicio + “:”
(dos puntos) y celda final. En nuestro
ejemplo las celdas de X (años) van de A3 a
A18, y en Y de E3 a E18. Damos en F2 Plot y
damos ENTER en primera opción “Plot
Setup”:
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Método SMARC (MACRS) Página 86
Desmarcamos los Plots anteriores que
corresponden al problema anterior
posicionándonos sobre cada uno y tecleando
F4:
Nos posicionamos sobre Plot 3 y damos en
F1 Define:
Al igual que en Data/Matrix cambiamos el
Plot Type a “xyline” y el rango de X queda
como “A3:A18”:
En “Yrange” tecleamos “e3:e18”, los “dos
puntos” salen con “2nd”+ tecla de símbolo
theta θ del teclado extendido, y también es
bueno señalar que no hay diferencia entre
mayúsculas y minúsculas:
Damos ENTER 2 veces para continuar:
Ahora simplemente damos en F5
“ZoomData” y vemos:
Regresamos a HOME con “2nd” + letra Q del
teclado extendido.
Como puedes darte cuenta la calculadora TI-
V200 tiene mucha funcionalidad y no
necesitas comprar una calculadora financiera
para pasar ésta materia.
Con esto terminamos el curso para Ingeniería
Económica 1 apoyado con la TI-V200, te
recomiendo que practiques con los ejercicios
que se dejan al final de éste manual para que
adquieras habilidad en la resolución de éstos
y otros ejercicios, la recomendación va con
más énfasis a los ingenieros industriales ya
que les será de gran ayuda en Ingeniería
Económica 2. Espero que éste manual te
haya sido de ayuda y le des un buen uso.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 87
Ejercicios Propuestos
Interés Simple & Interés Compuesto
Resuelve los siguientes ejercicios de interés simple & compuesto en Numeric Solver ó Finance.
1. Una persona deposita $150,000 en un
fondo de inversiones bursátiles que garantiza
un rendimiento de 2.8% mensual de interés
simple. Si la persona retira su depósito 77
días después, ¿cuánto recibe?
2. Si alguien deposita $75,000 en una cuenta
bancaria que ofrece pagar 2.35% mensual
simple, ¿cuánto recibirá mensualmente de
intereses?
3. Se obtiene un crédito por $180,000 a 160
días con 30% de interés simple. ¿Qué
cantidad debe pagar al vencerse su deuda?
4. Una persona deposita en el banco la
cantidad de $172,000 el 7 de Julio de 1999, si
re tira su dinero el 21 de Mayo del año 2010,
¿Qué cantidad de dinero retiró? Considera
un interés simple del 5.2%
5. ¿Cuál es el valor actual de un pagaré por
$5,000 que se vence el 15 de Diciembre si se
considera un interés del 25% anual simple y
hoy es 11 de julio?
6. ¿Que cantidad debió ser depositada hace
3 años si el día de hoy se retira una cantidad
del banco por $185,500 y el banco paga un
interés simple de 7% anual?
7. ¿Cuál es la tasa de interés simple que paga
un banco si se depositó la cantidad de
$37,000 hace 2 años y el día de hoy se retira
la cantidad de $43,000?
8. ¿Cuáles serán los valores futuros de
$7,500 pesos durante 5 años y medio
capitalizando los intereses compuestos:
a) Semestralmente
b) Bimestralmente
c) Trimestralmente
d) Cuatrimestralmente
e) Mensualmente
9. Se contrata un préstamo bancario de
habilitación y avío por $150,000 pesos. El
plazo de pago es de 3 años. La tasa de interés
es de 20% anual convertible semestralmente
(interés compuesto). ¿Cuál es la cantidad
que deberá liquidarse si se decide cancelarlo
en forma anticipada a los 15 meses?
10. Determina el interés que gana en un año
un depósito de $1,000 en:
a) Una cuenta de ahorros que paga e 20% de
interés anual compuesto semestralmente/b)
trimestralmente/c) mensualmente/ d)
diariamente.
11. Determina el interés compuesto que
paga una cuenta de ahorros si la cantidad
retirada el día de hoy fue de $9,500 y se
depósito $7,000 hace 3 años y medio.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 88
Combinación de Factores
Resuelve los siguientes ejercicios con ayuda
de Business Suite y/o con Economía.
1. Calcula el valor anual (del año 1 hasta el
año 10) de la siguiente serie de desembolsos.
Suponga que i=12% anual.
Año Desembolso Año Desembolso
0 $5,000 6 $5,000
1 $3,500 7 $5,000
2 $3,500 8 $5,000
3 $3,500 9 $5,000
4 $5,000 10 $15,000
5 $5,000
2. Calcula el valor de X en el flujo de efectivo
que se muestra a continuación, de forma que
el valor total equivalente en el año 8 sea
$8,000, utilizando una tasa de interés de 15%
anual.
Año FEN Año FEN
0 $2,000 6 X
1 $2,000 7 X
2 $6,000 8 X
3 $2,000 9 $900
4 $2,000 10 $500
5 X 11 $500
3. Calcule el valor anual de los siguientes
flujos de efectivo para i=15% anual.
Año Cantidad Año Cantidad
0 $5,000 7 $700
1-4 $1,000 8 $600
5 $900 9 $500
6 $800 10 $400
4. Calcula el valor anual uniforme
equivalente, en los periodos 1 a 12, si la tasa
de interés es de 12% anual
Año Cantidad Año Cantidad
0 $2,000 7 $3,500
1 $2,000 8 $3,300
2 $2,000 9 $3,100
3 $2,000 10 $2,900
4 $2,000 11 $2,700
5 $2,500 12 $2,500
6 $2,000
5. El costo de los espaciadores usados
alrededor delas barras de combustible en los
reactores rápidos regenerables de metal
líquido ha disminuido debido a la
disponibilidad de materiales cerámicos
mejorados resistentes a la temperatura.
Determina el valor presente (en el año 0) de
los costos mostrados en el siguiente
diagrama, usando una tasa de interés de 15%
anual.
Año Costo Año Costo
0 -$500 5 -$400
1 -$480 6 -$380 2 -$460 7 -$360
3 -$440 8 -$340
4 -$420
6. Calcula el valor futuro, en el año 10, a
i=12% anual, para los siguientes flujos de
efectivo.
Año Flujo Año Flujo
0-1 $0 6 -$1,300
2 -$1,200 7 -$800
3 -$1,400 8 -$300
4 -$1,600 9 $200 5 $0 10 $700
7. ¿Cuál es a suma presente necesaria para
proporcionar un retiro anual de $1,000
durante 25 años, comenzando dentro de 5
años, a una tasa de interés de 10%?
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 89
Tasa de interés nominal &
efectiva.
Resuelve los siguientes ejercicios con ayuda
de Economía, Finance ó Business Suite.
1. Para una tasa de interés de 12% anual
compuesta trimestralmente, determina la
tasa de interés nominal por a) 6 meses y b) 2
años.
2. ¿Qué período de capitalización se asocia
con tasas nominal y efectiva de 16% y
16.986% anual respectivamente?
3. Una tasa de interés de 1% mensual, ¿a que
tasa de interés efectiva trimestrales
equivale?
4. Identifica los períodos de pago y de
composición de depósitos mensuales de
$100 en una cuenta de ahorro que paga un
interés de 6% anual con período de
composición trimestral.
5. Determina el factor P/F para 4 años a una
tasa de interés de 12% anual, con período de
capitalización trimestral.
6. Una compañía que se especializa en el
control de olores hizo depósitos de $10,000
al final del año 2, $25,000 al final del año 3 y
$30,000 al final del año 4. Determina el valor
futuro (en el año 5) de los depósitos, a una
tasa de interés de 16% anual y con un
período de capitalización semestral.
7. Un fabricante de fluxómetros de gas
espera una expansión mayor en su
departamento de envíos en 3 años. El estima
que el costo de la expansión será de $2.3
millones. Si la empresa utiliza una tasa de
interés de 20% anual con composición
trimestral, para las nuevas inversiones, ¿cuál
es el valor presente de la expansión?
8. ¿Qué tasa de interés nominal mensual es
equivalente a una tasa de interés efectiva de
3.6% trimestral, con composición continua?
9. ¿Cuál es el valor presente de $500 en el
mes 1, $510 en el mes 2 y de las sumas con
incrementos de $10 mensuales hasta el mes
26, si la tasa de interés es de 18% anual con
composición continua?
10. Para los siguientes flujos de efectivo,
calcula el valor presente en el año 0.
Año FEN Tasa
0 $5,000 10%
1-4 $6,000 12% 5 $9,000 20%
11. En el aso de la serie de flujo de efectivo
siguiente, determina el valor equivalente A
en los años 1 a 5:
Año FEN Tasa anual
0 $10,000 15%
1-3 $5,000 10%
4-5 $7,000 12%
12. Una empresa de fabricación de acero
invirtió $800,000 en una nueva unidad de
corte. A una tasa de interés de 12% anual
compuesta mensualmente, ¿cuál es el
ingreso mensual que se requiere para
recuperar la inversión en 3 años?
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 90
Análisis del Valor Presente
Resuelve lo siguiente con ayuda de Business
Suite.
1. Una empresa de consultoría de ingeniería
considera 2 modelos de automóviles para los
directores de la compañía. Un modelo
estadounidense tendrá un costo inicial de
$22,000, un costo de operación de $2,000 y
un valor de salvamento de $12,000 después
de 3 años. Un modelo japonés tendrá un
costo inicial de $26,000, un costo de
operación de $1,200 y un valor de reventa de
$15,000 después de 3 años. ¿Qué modelo
debería comprar la empresa de consultoría, a
una tasa de interés de 15% anual?
2. Una estación de toma de muestras de aire
ubicada en una zona remota puede
alimentarse con celdas solares, o por medio
de tender una línea eléctrica hasta el sitio
para utilizar la energía convencional. La
instalación de las celdas solares tendrá un
costo de $12,600 y una vida útil de 4 años sin
valor de salvamento. Los costos anuales de
inspección, limpieza, etcétera, se calculan en
$1,400. La instalación de una nueva línea
eléctrica costará $11,000 y se espera que los
costos de energía sean de $800 anuales. En
virtud de que el proyecto de toma de
muestras de aire finalizará en 4 años, se
considera que el valor de salvamento de la
línea es de cero. ¿Qué alternativa debería
elegirse si la tasa de interés es de 14% anual?
3. Un ingeniero industrial contempla 2 tipos
de sensores de presión para una línea de
vapor de baja presión. Los costos aparecen a
continuación. ¿Cuál debería elegirse sobre la
base de la comparación del valor presente a
una tasa de interés de 16% anual?
Tipo X Tipo Y
Costo Inicial -$7,650 -$12,900
Costo de mantenimiento por
año -$1,200 -$900
Valor de Salvamento 0 $2,000 Vida, años 2 4
4. Un ingeniero ambiental analiza tres
métodos para desechar residuos químicos no
peligrosos: aplicación en tierra, incineración
por cama de fluido y un contrato privado de
desechos. Los detalles de cada método
aparecen a continuación. Determina cuál de
ellos tiene el menor costo sobre la base de la
comparación del valor presente, a una tasa
de 15% anual.
Aplicación
tierra Incineración Contrato
C. Inicial -$110,000 -$800,000 0
COA -$95,000 -$60,000 -$190,000
V.S. $15,000 $250,000 0
Vida 3 6 2
5. Un ingeniero metalúrgico considera 2
materiales para la construcción de un
vehículo espacial. Los costos aparecen a
continuación. ¿Cuál debería elegirse sobre la
base de la comparación del VP con una tasa
de interés de 18% anual?
Material JX Material KZ
C.Inicial -$15,000 -$3,500
COA -$9,000 -$7,000
V.S. $2,000 $20,000
Vida, años 3 6
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 91
Depreciaciones
Resuelve los siguientes problemas con ayuda
de Business Suite.
1. Un equipo comercial que cuesta $12,000
tiene una vida de 8 años con un valor de
salvamento de $2,000. a) Calcula la cuantía
de depreciación en línea recta para cada año.
b) Determina el valor en libros después de 3
años. c) ¿Cuál es la tasa de depreciación?
2. Se supone que se adquiere un automóvil
en $150,000 y estimamos que su valor de
salvamente dentro de cinco años será de
$30,000, se quiere saber como se deprecia a
través de los años y cuál es su depreciación
anual y acumulada correspondiente, por
método de suma de dígitos.
3. Una nueva terminal de computadora para
fines especiales tiene B= $50,000 con un
período de recuperación de 4 años. Tabula y
representa gráficamente los valores para la
depreciación LR, la depreciación acumulada y
el valor en libros para cada año comparado
con la depreciación de Suma de los dígitos de
los años si a) no hay valor de salvamento y b)
S=$16,000.
4. Construir una estructura cuesta $600,000.
Tiene una vida de 25 años con un valor de
reventa estimado en 75% del costo de
construcción. Sin embargo, el edificio será
depreciado a cero durante un período de
recuperación de 30 años. Determina el cargo
de depreciación anual para los 4, 10 y 25,
usando a) depreciación en línea recta y b)
depreciación SDD, c) ¿Cuál es el valor de
salvamento implícito por SDD?
5. Allison y Carl son ingenieros civiles que
poseen un negocio de estudios de suelos y
agua, para el cual han comprado un equipo
de cómputo por $25,000. Ellos os esperan
que las computadoras tengan un salvamento
positivo o valor de comercialización después
de la vida anticipada de 5 años. Con
propósitos de depreciación en libros, quieren
que el valor en libro se calcule usando los
siguientes métodos: LR, SD y SDD. Quieren
usar una tasa de depreciación fija de 25%
anual para el modelo SD.
6. Claude es un ingeniero economista en
Reynolds. Un nuevo activo de propiedad
personal de $30,000 debe depreciarse
utilizando SMARC durante 7 años. Se espera
que el valor de salvamento sea $2,000. a)
Compara los valores en libros para la
depreciación SMARC y la depreciación clásica
LR durante 7 años. b) Representa
gráficamente los valores en libros.
7. Un activo comprado por $20,000, tiene
una vida útil de 10 años y un valor de reventa
excelente, de manera que se estima un S del
20% del costo inicial. El SMARC permite un
período de recuperación abreviado de 5
años. a) Tabula la depreciación por año,
acumulada y valor en libros. B) Compara
estos resultados con la depreciación SDD
durante n=10 años.
8. Un activo comprado por $450,000
instalado tiene una vida depreciable a 15
años con un valor de rescate del 15% de su
costo inicial. Tabula y grafica la comparativa
entre la depreciación SMARC y el método
clásico LR, comparando valor en libros.
[ INGENIERÍA ECONÓMICA 1 ] Invierno 2009
Bibliografía Página 92
Bibliografía
Sitio Web:
http://www.mitecnologico.com/Main/DepreciacionPorMetodoSumaDeLosDigitosDeLosA%F1os
Libros:
INGENIERÍA ECONÓMICA
Leland Blank-Anthony Tarquin
Quinta Edición, Ed. Mc-Graw Hill
INGENIERÍA ECONÓMICA
Leland Blank-Anthony Tarquin
Sexta Edición, Ed. Mc-Graw Hill
MATEMÁTICAS FINANCIERAS,
Alfredo Díaz Mata-Victor M. Aguilera Gómez
Tercera Edición, Editorial: Mc-Graw Hill