Ingeniería Económica

Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga

Facultad de Ingeniería Química y Metalurgia

Ingeniería Económica Humberto Hernández Arribasplata

Ingº Humberto Hernández Arribasplata

Ayacucho - Perú

1999

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INTRODUCCION

El presente texto de Ingeniería Económica, es el resultado de la experiencia docente y profesional desarrollada a lo largo de 20 años de trabajo, condensado en los diferentes apuntes tratados en clases con los alumnos de la EF P de Ingeniería Química de la Facultad de Ingeniería Química y Metalurgia de la Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga; además, durante este tiempo conjuntamente se aprendió que es importante tener un conocimiento básico sobre economía aplicada. Aún en estos nuevos tiempos con mayor razón por estar frente a una economía globalizada mundial, que exige que los profesionales del área de ingeniería tengan la capacidad de producir productos de calidad y a precios competitivos.La Ingeniería Económica es un tema trascendente; su esencia es la toma de decisiones basada en comparaciones de los valores de las vías alternas de acción respecto a sus costos y los impactos sociales. Las decisiones varían desde las inversiones individuales al presupuesto de capitales corporativos, y se producen en todos los niveles de las organizaciones, tanto en el sector privado como el público de la economía de un país. Las herramientas utilizadas para la toma de decisiones son indicadores que permiten medir la rentabilidad de las diferentes alternativas económicas y/o los impactos sociales que producirán dichos proyectos; para el cálculo de estos indicadores y su aplicación en la toma de decisiones se debe tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo, el costo de oportunidad del capital, la tasa social de descuento, la inflación, el riesgo, la incertidumbre, entre otros.En el presente texto de Ingeniería Económica se trata cuatro temas fundamentales: Costos e Ingresos, Tasas de Interés y Relaciones Dinero- Tiempo, Depreciación y Criterios aplicados a las Decisiones de Inversión. En cada uno de ellos se presentan los conceptos básicos, las fórmulas para su cuantificación y la ilustración correspondiente a través de ejemplos específicos. Espero que el presente texto sea de utilidad para aquellas personas, que en su campo profesional tengan que tomar decisiones básicamente de carácter económico.

3


Ayacucho, abril de 1999

Humberto Hernández Arribasplata

INDICEPág.

CAPITULO I COSTOS E INGRESOS1.1. Costos 41.2. Resumen de clasificación de costos 51.3. Costos unitario 51.4. Determinación de costos variables por ítems

61.5. Determinación de costos fijos por ítems 91.6. Ingresos 101.7. Análisis y determinación del punto de equilibrio 101.8 Utilidades 121.9. Ejemplo 121.10. Problemas resueltos 131.11. Bibliografía 29

CAPITULO II TASAS DE INTERES Y RELACIONES DINERO-TIEMPO2.1. Generalidades 302.2. Valor del dinero a través del tiempo

302.3. Tasa de interés 312.4. Intereses 342.5. Notación y diagramas de flujo de efectivo 392.6. Factores de interés compuesto 402.7. Anualidades 422.8. Resumen de fórmulas 492.9. Uso de tablas 492.10. Pagos capitalizables continuamente con intereses continuos

502.11. Amortizaciones 532.12. Problemas resueltos 572.13. Bibliografía 64

CAPITULO III DEPRECIACION3.1. Definición 653.2. Propósitos de la depreciación 653.3 Tipos de depreciación 653.4. Métodos de depreciación 663.5. Problemas resueltos 713.6. Bibliografía 73

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CAPITULO VI CRITERIOS APLICADOS EN LAS DECISIONES DE INVERSIÓN4.1. Indicadores totales (VA, TIR, B/C y PRI) 744.2. Indicadores parciales(CEA y VPC) 844.3. Problemas resueltos 864.4. Bibliografía 89ANEXO 90

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1.1. COSTOS Son los valores de los recursos reales o financieros utilizados para la producción en un período dado.a. DIVISION DE COSTOS

Los costos se dividen en costos fijos y costos variables

COSTOS FIJOS (CF) Son aquellos que no varían con la cantidad

de producción, es decir, son independientes del volumen de

producción.

COSTOS VARIABLES(CV) Son aquellos que dependen del

volumen de producción.

Estos conceptos son válidos en el corto plazo, ya que en el

largo plazo todos los costos son variables. Los conceptos de

corto y largo plazo son conceptos operativos y no

cronológicos.

CAPITULO I Costos e Ingresos

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El corto plazo es aquel período de tiempo en el que la

empresa no puede alterar su capacidad, escala o tamaño de

fábrica; mientras que el largo plazo es aquel período en el que

la empresa puede ajustar apropiadamente a las nuevas

circunstancias en el mercado.

b. COSTO TOTAL (CT)

El costo total es la suma de los costos fijos más los costos

variables.

CT = CF + CV Ec. 1.1

como el costo variable es función de la cantidad, se tiene

entonces:

CV = vQ

Ec. 1.2

luego, reemplazando (2) en (1)

CT = CF + vQ Ec. 1.3

COSTOS (S/.)

UNIDADES PRODUCIDAS (Q) GRAFICO N1 1

1.2. RESUMEN DE CLASIFICACION DE COSTOS

Materiales directosCOSTOSDIRECTOS Mano de obra directa

COSTOS DEFABRICACION Mano de obra

indirectaCOSTOS

Materiales indirectosINDIRECTOS Gastos indirectos

COSTOS GASTOS DE Gastos de venta

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OPERACIONGastos generales y de administración

GASTOS FINANCIEROS

PérdidasOTROS GASTOS Incobrables

Imprevistos

1.3. COSTOS UNITARIOS:Los costos unitarios se logran dividiendo el costo total por la

cantidad producida.

Ec. 1.4

Costo unitario total

= Costo unitario fijo

v = Costo unitario variable

COSTO UNITARIO

(S/.)

CF Q

v

UNIDADES PRODUCIDAS (Q) GRAFICA N1 2

1.4. DETERMINACION DE COSTOS VARIABLES POR ITEMS

a. MATERIA PRIMA El costo total anual de materia prima, se determina a base del balance de materia y energía, el volumen de producción y el precio de venta.

COSTO DE MATERIA PRIMA DURANTE EL HORIZONTE DEL PROYECTO

AÑO MAT.PRIMATM./AÑO

FACTOR DEUTILIZAC.

VOLUMEN DEPRODUCCIÓN

TM

COSTOTOTAL

S/.8


01

02

03

04

05

06

07

08

3 000

3 600

4 200

4 800

5400

6 000

6 000

6 000

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.0

1.0

2 500

3 000

3 500

4 000

4 500

5 000

5 000

5 000

4 500

5 400

6 300

7 200

8 100

9 000

9 000

9 000

Factor de utilización = PRODUCCION ACTUAL / PRODUCCION DISEÑO

f.u. = QA/QD

f.u. = 2 500 TM/5 000TM

f.u. = 0.5

i. Rendimiento de materia prima a producto finalSi por cada TM de producto final se necesita 1.2 TM de materia prima, el rendimiento será del 83.3%.

ii. Costo de la materia prima nacional (en función al mercado)

El costo de la materia prima nacional se fija en función de la oferta y demanda. Costo M.P. = S/. 1 500.00/TM

iii. Costo de materia prima importada: el precio de la materia prima importada se cotiza con el precio FOB (precio en puerto de embarque).

PrecioDerechos

arancelariospuesto

Precio C I F

en+ Derechos de

Almacén

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Puerto Flete + Seguro + Derechos de Agente

de de Aduanas

Embarque + Transporte hasta planta

F O B

COSTO DE LA MATERIA PRIMA IMPORTADA

b. MANO DE OBRA DIRECTA Se refiere a los trabajadores que están ligados directamente a la producción. Mano de obra no calificada(obreros) Mano de obra calificada(técnicos) Mano de obra altamente calificada(profesionales)El costo de planilla se calcula en función del número de trabajadores por el sueldo o salario mensual que perciben, más las gratificaciones y compensación por tiempo de servicios que le corresponde por ley al trabajador(CTS). Los sueldos, bonificaciones y otros, en el sector público es fijado por el Gobierno Central, mediante decretos supremos, en cambio en el sector privado se fijan los sueldos y salarios mediante convenios colectivos que tienen fuerza de ley.

CUADRO RESUMEN

No. DETRABAJADORES

SUELDO/SALARIO.

MENSUAL S/.

SUELDO/SALARIO. ANUAL S/.

BONIFICACION

ANUAL

TOTAL S/.

02 Ingenieros

05 Técnicos

06 Obreros

1 200

800

600

14 400

9 600

7 200

3 600

2 400

1 800

36 000

60 000

54 000

13 Trabajadores

2 600 31 200 7 800 150 000

BONIFICACION: 01 Sueldo por fiestas patrias01 Sueldo por navidad01 Sueldo por CTS

En la actualidad la mayoría de empresas, cuando contratan su personal lo hacen en la modalidad de servicios no personales; lo cual los libera de pagos a los trabajadores de bonificaciones

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y otras responsabilidades.

c. COSTO DE ENERGIA El costo se calcula de acuerdo al balance de energía, es decir el volumen de combustible (petróleo, kerosene, etc.), energía eléctrica, por el precio unitario por galón o por kW-h.

Costo = Q combustible * PrecioCosto = Q(galones) * (S/./gl.)

d. COSTO DE TRANSPORTE Se calcula en función de la materia prima y/o producto que se tiene que transportar por peso y/o volumen.Por ejemplo en el caso de transporte de naranjas no solamente se cobra por el peso sino también por el volumen.

Costo de transporte = Peso (kg)*S/kg.

e. COSTO DE AGUA El costo se calcula en función del balance de materia, hay que diferenciar las calidades del agua: Agua de enfriamiento Agua para proceso Agua para generar vaporel costo es diferenciado, debido a los tratamientos que se someten cada tipo de agua.

Costo = m3 * S/./m3

f. COSTO DE PUBLICIDAD La publicidad es sumamente importante para algunos productos, como para otros no. La publicidad puede ser en medios escritos, radio, TV y páginas Web (Internet); siendo de mayor alcance los dos últimos, sin embargo es más costoso. El costo en el caso de la TV depende del horario, tiempo y el tipo de medio que se utilice y frecuencia con la que se hace la propaganda.

g. COMISION POR VENTAS La comisión por ventas depende del tipo de producto, además está relacionada con el grado de dificultad que tiene el producto para ser colocado en el mercado, las tasas de pago dependen de las políticas de la empresa.

h. GASTOS DE LABORATORIO Son los costos que ocasiona el producto en sus distintas etapas para hacer el control de calidad.

i. OTROS COSTOS Aquí se pueden englobar otros rubros que pertenecen a los costos variables y que de por sí tienen incidencia en la estructura de costos.

1.5. DETERMINACION DE COSTOS FIJOS POR ITEMS

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a. COSTOS GENERALES DE ADMINISTRACION Son costos que se incurren básicamente en la administración

de la empresa:

Gerente de la empresa

Sub-Gerente de la empresa

Contador

Asesor legal

Jefe de personal

Secretarias

Personal de servicio

Gastos en materiales de escritorio y servicios

b. COSTOS DE DEPRECIACION DE ACTIVOS FIJOS Básicamente se consideran estos costos como la forma de recuperación de la inversión en activos fijos, se calcula en función del tipo de depreciación que se considera a los activos fijos.

c. AMORTIZACION DE CARGOS DIFERIDOS Se considera los costos de inversión en intangibles, normalmente se divide el total entre el número de años que tendrá como vida el proyecto.

d. COSTOS DE MANTENIMIENTO Y REPARACION Son los costos que se incurren en el mantenimiento y reparaciones de los equipos y maquinarias, normalmente el mantenimiento debe ser programado por la empresa para asegurar la vida útil del equipo.

e. SEGUROS Los gastos que ocasiona la empresa en la compra de pólizas para asegurar a la empresa frente a riesgos, el pago es de acuerdo al nivel de inversión.

f. INTERESES Y AMORTIZACIONES El pago de intereses por el capital prestado más la devolución del principal.

g. OTROS Son los gastos que se pueden incurrir en algún rubro que específicamente no se ha considerado.

CONCLUSION Los costos de producción en todo momento se deben tender a minimizar, hay que tener mucho cuidado en no considerar gastos que no tengan la justificación del caso en el rubro de costos fijos.

1.6. I N G R E S O S

12


Al calcular los ingresos pueden considerarse dos casos: precio fijo y precio variable:

a. Ingreso con precio fijo Y = P * Q Ec. 1.5

El ingreso total varía en proporción directa a la cantidad, es decir el ingreso responde a una función lineal. En el caso del precio fijo la empresa no ejerce influencia alguna (es decir, tiene una escasa participación en el mercado).

b. Ingreso con precio variable

Considerando que el precio varía linealmente con respecto a la cantidad.

P = a – bQ Ec. 1.6

por lo tanto el ingreso será Y = (a - bQ)*Q Ec. 1.7

En este caso, la empresa ejerce cierta influencia sobre el precio, es decir al vender más, el precio se reduce; el ingreso total en este caso no responde a una relación lineal.

1.7. ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

El análisis del punto de equilibrio tiene cierta utilidad cuando se trata de examinar los costos, los ingresos y los beneficios con diferentes niveles de producción. El punto en que se cruzan las líneas del costo total y del ingreso total es denominado punto de equilibrio; una vez calculado el punto de equilibrio se puede analizar el volumen de producción que se requiere para evitar la operación con pérdida y ver si es razonablemente accesible. El punto de equilibrio se puede determinar en forma analítica y gráfica.

a. Determinación Analítica

a.1. Ingresos lineales = Costos lineales

P * Qe = CF + vQe

Ec. 1.8

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en este caso se tiene un solo punto de equilibrio Qe

a.2. Ingresos no lineales = Costos lineales

aQe – bQ2e = CF + vQe

bQ2e - aQe + vQe + CF = 0

bQ2e +(v -a)Qe +CF = 0

en este caso se tiene dos puntos de equilibrio Qe1 y Qe2

b. Determinación Gráfica Con los datos de ingresos totales y costos totales se traza la correspondiente gráfica, determinándose el o los puntos de equilibrio.

CANTIDAD(Q) CANTIDAD(Q) Costos e ingresos lineales Costo lineal e ingreso no lineal

GRAFICA No. 3 GRAFICA No. 4

1.8. UTILIDADES (U) Es la diferencia de los ingresos menos los costos totales

U = Y- CT Ec. 1.9

Cost

os

e

Ingre

sos

Cost

os

e

Ingre

sos

PEPE1

PE2

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E J E M P L O

Una compañía estima que conforme aumenta sus ventas va disminuyendo el precio de venta de su producto, y sus ingresos cambian de acuerdo a la siguiente relación: Ingresos = aQ - bQ2

en donde Q representa las unidades mensuales de demanda, siendo Q = a/b. La compañía tiene costos fijos de $ 1 000 por mes y los costos variables son de $ 4.00 por unidad. Si a = $ 6.00 y b = $ 0.001, determine el volumen de ventas para tener utilidades máximas y cuáles son las utilidades mensuales máximas

SOLUCION:

CF = $ 1 000 CT = 1 000 + 4Qv = $ 4/unid. Y = 6Q - 0.001Q2

Q = 6.00/0.001 Q = 6 000 unid.

a. Punto de Equilibrio Ingresos = Costos 6Q -0.001Q2 = 1 000 + 4Q

2Q - 0.001Q2 – 1 000 = 0

Q2 – 2 000Q + 1 000 000 = 0

+ 2 000 Qe = ------------ Qe1 = 1 000 2 Qe2 = 1 000

CT = 1 000 + 4(1 000) Y = 6(1 000) - 0.001(1 000)2

CT = $ 5 000 Y = $ 5 000

b. UTILIDADES = INGRESOS - COSTOS U = 6Q - 0.001Q2 - ( 1 000 + 4Q )

U = 2Q - 0.001Q2 – 1 000para calcular las utilidades máximas hay que derivar la función e igualar a cero.

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Q = 2/0.002 Q = 1 000

unid. Umáx = 2(1 000)-0.001(1 000)2-1 000 Umáx = 0

PROBLEMAS RESUELTOS

Costos, Ingresos y Punto de Equilibrio

1-1 El costo total de fabricar 260 unidades de un producto es de $ 3 200. Al fabricar 340 unidades, el costo es de $ 3 800.

a. Cuál es el costo medio de fabricación de las primeras 260 unidades?.

b. Cuál es el costo variable por unidad?c. Cuál es el costo fijo total?d. Cuál es el costo fijo medio unitario de las primeras 260

unidades.

SOLUCION

Costo Total CTa. Costo Medio(CM) = ----------------------------- = ----

Unidades Producidas Q

$ 3 200 CM = --------- = $12.31/unidad 260 u

Costo variable total CV b. Costo variable unit.(v) = ----------------------------- = ----


Para calcular el costo variable unitario se debe plantear dos ecuaciones, sabiendo que:

Costo total = Costo fijo + Costo variable CT = CF + CV CT = CF + vQ 3 200 = CF + v(260) (i) 3 800 = CF + v(340) (ii)

restando (i) de (ii) se tiene: $ 600

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v =-------- = $ 7.5/unidad 80 u

c. Costo fijo total(CF) = Costo total - Costo variable CF = CT - CV CF = 3 200 - 7.5*260 CF = $ 1 250

Costo fijo total CFTd. Costo fijo medio(CFM) = ------------------------------ = ----


$ 1 250 CFM = ---------- = $ 4.81/unidad

260u

1-2 Una compañía fabrica ganchos industriales para un trabajo de ensamblaje. Se ha determinado que el ingreso marginal es:

IMg = 100 - 0.02 Qen donde Q es el número de ganchos producidos. Los costos variables más los costos fijos se calculan mediante la fórmula.

CT = 2*10-4Q2+ 10 000Calcule la producción de ganchos por año para las siguientes condiciones.

a. Costo unitario mínimo de ventasb. Producción para una utilidad máximac. Volumen para punto de equilibrio

SOLUCION

a. El costo unitario mínimo de ventas se obtiene a partir del costo unitario medio, a la vez derivando dicha ecuación:

CT CF CM = ---- =---- + v Q Q

d(v + CF*Q-1 ) -------------------- = 0 dQ

dv CF ---- - --- = 0 (i) dQ Q2

CV 2Q2*10-4

v =---- = ----------- = 2Q*10-4

Q Q

17


dv --- = 2*10-4 (ii) Q

CF = 10 000 (iii)

reemplazando valores, (iii) y (ii) en (i) tenemos 10 000

2*10-4 - --------- = 0 Q2

Q = 7 071 unidades

b. Utilidad = Ingresos - Costos

dY Ingreso Marginal(IMg) = ---- = 100 - 0.02Q dQ

Integrando la ecuación anterior obtenemos el ingreso.

Y = 100Q - 0.01Q2

reemplazando los valores de los ingresos y los costos en la ecuación de utilidad tenemos:

U = 100Q - 0.01Q2 - 2Q2*10-4 + 10 000

U = 100Q - 0.0102Q2 + 10 000para encontrar las unidades que se deben producir para maximizar las utilidades, derivamos la ecuación anterior e igualamos a cero.

dU ---- = 100 - 0.0204Q = 0 , de donde dQ

Q = 4 902 unidades

c. Punto de equilibrio

El punto de equilibrio se alcanza cuando se iguala los ingresos con los costos

Ingresos = Costos

100Q - 0.01Q2 = 2Q2*10-4 + 10 000 100Q - 0.0102Q2 + 10 000 = 0

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de donde:

Q1 = 9 706 unidades Q2 = 98 unidades

Se han obtenido dos puntos de equilibrio por que los ingresos y los costos no son relaciones lineales.

1-3 Un determinado producto se vende actualmente a $12. Los costos fijos son de $4 por unidad, y se venden anualmente 10 000 unidades, con una utilidad bruta de $30 000. Un nuevo diseño aumentará los costos variables en un 20%, y los costos fijos en un 10%, pero las ventas deberán aumentar a 12 000 unidades por año.¿Cuál deberá ser el precio de ventas para mantener el mismo nivel de utilidades ($30 000)?.

SOLUCION

a. Utilidad Bruta = Ingresos - Costos Ingresos = Precio * Cantidad UB = P*Q - ( CF + vQ) Datos:

P = $12/u, CFU = $4/u, Q1 = 10 000u, UB = $30 000reemplazando datos en la ecuación de utilidad bruta, calculamos el costo variable unitario.

30 000 = 12*10 000 - 4*10 000 - v*10 000 de donde: v = $ 5/u

b. Nuevo Precio Cálculo de los nuevos costos fijo y variable

CUF' = 4 + 10% = 4*1.1 = $ 4.4/u v' = 5 + 20% = 5*1.2 = $ 6.0/u

Para encontrar el nuevo precio, se utiliza la ecuación de utilidad bruta, reemplazando valores tenemos:

30 000 = P*12 000 -4.4*10 000 - 6*12 000

P = $ 12.17/u

1-4 Las ventas de una lámpara de escritorio cuyo precio de mayor es de $4 por unidad, han resultado decepcionantes. La contribución de cada lámpara vendida es de $1.5. Se planea aumentar el

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presupuesto de publicidad en $0.22 por lámpara, y reducir el precio con objeto de aumentar las ventas. Se asignará para propaganda el doble de lo que se establecerá como reducción de precio. La ganancia bruta actual es de $ 50 000 sobre ventas de 100 000 lámparas por año. ¿Cuántas lámparas deberán venderse bajo las condiciones propuestas para duplicar la utilidad.

SOLUCION

Datos: P = $4/u, Contribución = P - v = 1.5

UB1 = $50 000/100 000 lámp.

a. Cálculo del costo variable unitario

v = P - 1.5 v = 4 - 1.5 = $2.5/u Cálculo del costo fijo total UB = P*Q - CF - vQ

50 000 = 4*100 000 - 2.5*100 000 -CF

de donde:

CF = $100 000

b. Nuevas condiciones, aumento del costo variable y disminución del precio de venta.

v' = 2.5 + 0.22 = $2.72/u P' = 4 - 0.11 = $3.80/u

UB2 = 2(UB1), condiciones del problema

100 000 = 3.89Q - 2.72Q –100 000 de donde:

Q = 171 000 unidades

1-5 Dadas las siguientes funciones de costo promedio e ingreso

CM = Q2 + Q + 1 + 5/Q

IM = Q2 - 4Q +4 +6/Q determine lo siguiente:

a. El costo fijo de la empresa con Q = 3b. El costo total con Q = 3c. La producción de equilibrio

SOLUCION

Costo total = Costo medio * Cantidad20


CT = CM*Q

CT = Q3 + Q2 + Q + 5

a. Costo fijo de la empresa CF = 5 para cualquier volumen

b. Costo total CT = (3)3 + (3)2 + 3 + 5

CT = 44

c. Producción de equilibrio

Ye = CTe Ingreso total = Ingreso medio * Cantidad

Y = IM*Q = Q3 -4Q2 + 4Q + 6

Qe3 -4Qe2 + 4Qe + 6 = Qe3 + Qe2 + Qe + 5

simplificando la relación anterior se obtiene:

5Qe2 - 3Qe - 1 = 0

3 + { (3)2 - 4(5)(-1) }1/2 Qe =---------------------------- 2(5)

de donde:

Qe1 = 0.84 Qe2 = -0.54 (es descartado por ser un valor negativo)

1-6 La corporación ABC tiene una capacidad de ventas de $1 000 000 por mes. Sus costos fijos son de $350 000/mes y sus costos variables para un amplio rango de volumen son $0.5/unidad monetaria de ventas.

a. ) Cuál es el volumen en el punto de equilibrio?b. ) Cuál será el efecto de disminuir los costos variables en 25%, sin

con ello se aumente los costos fijos en un 10%?.SOLUCION

a. Punto de equilibrio

Ye = CTe

P*Qe = CF + vQe

21


CF Qe = ------ (i) P -v

por condiciones del problema v = 0.5P (ii) reemplazando (ii) en (i) se tiene 350 000 Qe =---------- (iii) 0.5P

sabemos que Ye = P*Qe (iv)

reemplazando (iii) en (iv), tenemos

350 000 Ye =----------- = $700 000 0.5

b. Costos variable y fijos totales

CV = $500 000/mes CF = $ 350 000/mes disminución del costo variable en 25%

CV' = $500 000*0.75 = $ 375 000/mes aumento del costo fijo en 10%

CF'= $ 350 000*1.1 = $ 385 000/mes

CT = 385 000 + 375 000 = $ 760 000/mes UB'= $ 1 000 000/mes - $ 760 000/mes = $240 000/mes UB = $ 1 000 000/mes - $ 850 000/mes = $150 000/mes

UB' > UB El cambio de los costos de producción de la empresa es favorable.

1-7 Una compañía que hace deslizadores de fibra de vidrio tiene capacidad para producir 100 unidades al mes. Sus costos fijos se elevan a $15 000 al mes y sus costos variables son de $320 por unidad.a. Cuál debe ser su volumen de producción si se pueden vender

sus deslizadores en $500 y estar así en el punto de equilibrio.b. Debido a variaciones estacionarias en las ventas, la compañía

quisiera que su punto de equilibrio no sobrepase el 60% de su capacidad, en cuanto se tendrán que reducir los costos fijos para lograr lo anterior.

c. En cuanto se tendrá que reducir los costos variables por unidad sin cambiar los costos fijos, a fin de lograr las mismos resultados.

22


SOLUCION

a. Volumen de equilibrio: CF Qe = ------- P - v

$15 000 Qe = -------------------- $500/u - $320/u

Qe = 83.0 u/mes

b. Punto de equilibrio del 60% CF 0.6Qe = ------------ 500 - 320

CF = 0.6*100(500 - 320) CF = $ 10 800

Reducción del costo fijo CF = $15 000 - $10 800 Reducción = $4 200

c. Reducción de los costos variables para no cambiar la condición (b).

$15 000 0.6Qe =------------- 10 800 - v v = $250 Reducción del costo variable v = $320 - $250 Reducción = $70

1-8 La estructura de costos de una empresa de esmaltes, trabajando al 100% de su capacidad instalada es la siguiente:Materia prima S/.

109 500 000Envases

3 285 000Servicios(agua, comb., energ.) 4

200/TMSueldos (1)

4 520 000Salarios (1)

23


33 890 000Depreciaciones

11 500 000Comisiones por venta 3%

precio de ventaFletes

800/Tm

Intereses financieros 8 500 000

Seguros 5 300 000

(1) Remuneraciones básicas sin leyes socialesSe considera 55% salarios y 40% sueldos como cargas

sociales.La capacidad instalada es de 5 000TM/año, con una inversión total de S/. 160 500 000. El producto se vende a S/.60/kg.a. Cuál será la rentabilidad después de impuestos con respecto a

la inversión total, si el impuesto a las ventas asciende al 30% de la utilidad bruta, trabajando al 90% de su capacidad.

b. Hallar el punto de equilibrio de la empresa.

SOLUCION

a. Determinación gráfica del punto de equilibrio, para ello hay que seleccionar los costos fijos y variables.

Costos variables totales:Materia prima

S/ 109 500 000

Envases

3 285 000

Servicios 4 200/TM*5 000TM/año 21 000 000

Salarios(1) 33 890 000 + 55% 55 629 500

Comisión por venta 60/kg*5*106kg*0.03 9 000 000

Fletes 800/TM*5 000TM 4 000 000

SUB-TOTAL S/. 202 414 500Costos Fijos Totales:Sueldos (1) 4 520 000 + 40%

6 328 000Depreciaciones

11 500 24


000Intereses financieros

8 500 000

Seguros

5 300 000 SUB-TOTAL S/. 31 628 000

COSTO TOTAL = CF + CV = S/. 234 042 500

INGRESOS TOTALES = 60/kg*5 000TM*1 000kg/TM = 300 000 000

30 Y

CT

CV

20

10

CF

0 1000 2000 3000 4000 5000

CAPACIDAD INSTALADA (TM/AÑO)

b.. Determinación del punto de equilibrio analíticamente En el punto de equilibrio tenemos: Ingresos = Costos

CF Qe = -------

CO

ST

OS

E I

NG

RE

SO

S (

S/.*

107 )

Pérdidas

Ganancias

25


P - v CF = S/. 31 628 000

P = S/ 60 000/TM v = S/ 202 414 500/5 000TM = S/. 40 483

reemplazando datos tenemos: 31 628 000 Qe = -------------------- 60 000 – 40 483

Qe = 1 620.5 TM (analítico) Qe = 1 618.0 TM (gráfico)

c. Cálculo de la utilidad bruta: UB = Y - CT

UB = 300 000 000 – 234 042 500 UB = S/. 65 957 500

esta utilidad corresponde al 100% de la capacidad de la planta; actualmente se está trabajando solamente al 90%, por lo tanto los ingresos y los costos variables corresponderán al 90% de producción.

CV = 202 414 500*0.9 = S/. 182 173 050

Y = 300 000 000*0.9 = S/. 270 000 000

UB = S/. 270 000 000 - S/. 182 173 050

UB = S/. 56 198 950

Cálculo de la utilidad neta:

UN = S/.56 198 950*0.7 = S/. 39 339 265

d. Cálculo de la rentabilidad:

UTILIDAD NETA R = --------------------------- INVERSION

S/. 39 339 265 R = ------------------- = 0.2451 S/. 160 500 000 R = 24.51%

1-9 Los formatos que se presentan a continuación, corresponden a los costos de producción por mes para un volumen bruto de 942 483m3

de agua de ex -EMAPA.

FORMATO N º 01A. COSTOS DE PRODUCCION POR METRO CUBICO DE AGUA POTABLE

AYACUCHO - HUANTA

RUBROS COSTO MENSUAL COSTO ANUAL

01 MATERIALES DIRECTOS

* Materia prima(agua cruda)

13 290.73 159 488.92

26


* Insumos:- sulfato de alum.- Cloro- reactivos p.análs

9 245.26 2 999.60 1 045.87

110 943.19 35 995.20 12 550.53

02 MANO DE OBRA DIRECTA

* Sueldos y salarios* Seguro social* Provisiones* Pensiones* Gratificaciones* Servicios

17 283.28

8 181.06 1 338.35 1 136.41 1 848.70 4 778.77

207 399.57 98 172.75 16 060,20 13 636.92

22 184.47 57 345.23

03 MANO DE OBRA INDIRECTA

* Jefes de Producción* Supervisores* Choferes* Mantenimiento* Limpieza* Guardianía

8 535.61

1 362.38 3 005.60 1 291.67 166.67 2 709.29

102 420.24

16 348.67 36 060.00 15 500.00 2 000.00 32 511.57

04 MATERIALES INDIRECTOS

* Repuestos* Combustibles y lubricantes* Utiles de aseo* Otros(Indemnizaciones)

14 330.18

1 164.20 1 935.88 2 208.33 9 021.77

171 962.16

13 970.40 23 230.56 26 499.96 108 261.24

05 GASTOS INDIRECTOS

* Energía* Comunicaciones(telefax,Rad)* Primas de seguros* Alquileres* Depreciaciones* Amortización de cargos dif.

13 842.63

2 099.60

11 743.03

166 111.68

25 195.24

140 916.44

TOTAL S/. 67 281.88 807 382.57

FORMATO Nº 02B. GASTOS DE OPERACION AYACUCHO - HUANTA

RUBROS COSTO MENSUAL COSTO ANUAL

01 GASTOS DE VENTAS GASTOS LABORALES

* Sueldo Gerte.de Comer.* Sueldo Cobradores* Seguro Social

16 416.32

1 733.33 2 459.22 4 487.24

196 996.06

20 800.00 29 510.65 53 846.96

27


* Gratificaciones* Provisiones

5 584.12 2 152.41

67 009.51 25 828.94

COMISIONES* De ventas y cobranza

PUBLICIDAD* Radio y/o TV* Periódicos y/o revistas

793.23 759.90 33.33

9 518.88 9 118.88 400.00

IMPUESTOS A LAS VENTAS

TRASPORTES 596.12 7 153.40

ALMACENAMIENTO

02 GASTOS GENERALES Y ADMINISTRACIONGASTOS LABORALES

* Dietas Directorio* Sueldos Directivos* Sueldos: Oficinistas

y Auxiliares* Seguro Social* Gratificaciones* Pensiones

40 593.81

5 081.67 6 565.32 13 726.63 5 285.90 7 893.62 2 040.67

487 125.80

60 980.04 78 783.84 164 719.59 63 430.83 94 723.44 24 488.06

GASTOS DE REPRESENTAC.

SEGUROS 407.56 4 890.72

ALQUILERES 119.08 1 429.00

MATERIALES Y UTILES DE OFIC. 1 069.91 12 839.00DEPRECIACIONES 2 312.91 27 755.00

IMPUESTOS* Al valor de prop.predial* Terrenos sin construir

162 676.13 1 952 113.60

TOTAL S/ 224 985.07 2 699 821.46

FORMATO Nº 03

RUBROS AYACUCHO HUANTA

GASTOS FINANCIEROS

MENSUAL ANUAL

131.75 1 581.00

OTROS GASTOS:

28


* Pérdidas

* Incobrables

* Imprevistos

31 350.81 376 209.77

TOTAL S/. 31 482.56 377 790.77

CALCULO DE COSTO DE PRODUCCION Y PRECIO UNITARIO

a. Costo Unitario de Producción

COSTO TOTAL DE COSTOS DE GASTOS DE GASTOS OTROS = + + + PRODUCCION PRODUCCION OPERACION FINANCIEROS GASTOS

COSTO TOTAL = 807 382.57 + 2 699 821.46 + 1 581.00 + 376 209.77

CTA = S/. 3 884 994.68/AÑO

CTM = S/. 323 749.56/MES

b. Costo Unitario Medio: (volumen bruto)

S/. 323 749.56 CUM = --------------------- = S/. 0.343/m3

942 483m3

c. Precio Unitario Medio: (volumen facturado)

S/. 372 574.95PPM =------------------- = S/. 0.75/m3

496 256m3

1-10 La compañía Champion está considerando un nuevo producto. Su

departamento de

mercadotecnia ha calculado la relación del volumen de ventas y del

precio como sigue:

PRECIO 2 4 6 8 10

29


DEMANDA ANUAL 2 000 1 500 1 000 500 0

El departamento de costos de la empresa ha desarrollado la función

unitaria de costo, basándose en un producto semejante, y es la

siguiente:

donde: CU = Costo unitario

$ 1 000/Q = Costo fijo unitario

$ 0.80 = Costo variable unitario

a. Calcúlese el número esperado de unidades para obtener

ganancias óptimas.

b. Calcúlese las ganancias óptimas durante el primer año.

SOLUCION:

a. En este caso la cantidad demandada depende del precio, por

lo tanto en primera instancia se debe determinar la función

correspondiente, para ello graficamos demanda precio.

La función es: Q = -250P + 2 500

El costo total se determina multiplicando el costo unitario por

la cantidad

CT = $ 1 000 + 0.80Q.

La función ganancia o utilidad es U = Ingresos – Costos

totales,

remplazando valores tenemos:

30


U = P*Q – CT

U = P* (-250P + 2 500) – [1 000 + 0.80(-250P + 2 500)]

U = 2 700P – 250P2 – 2 100

El número esperado de unidades para obtener ganancias o

utilidades óptimas vendrá dada por la primera derivada

igualada a cero.

reemplazando el precio en la función de demanda tenemos

Q = -250(5.4) + 2 500

Q = 1 150 unidades

b. Las ganancias óptimas durante el primer año vendrá dada

por:

Uo = 2 700Po + 250P2o – 2 100

Uo = 2 700(5.40) – 250(5.4)2 – 2 100

Uo = $ 4 920

31


BIBLIOGRAFIA

1. De Garmo,Paul y Canadá Jhon, "Ingeniería Económica", Edit.

CECSA, México, 1978.2. Riggs L. James, "Ingeniería Económica", Edit.RSI, México, 19823. Thuesen Fabrycky y Otros, "Economía del Proyecto en Ingeniería",

Edit. PHI, España, 1974.4. Webb C., Samuel, " Economía de la Empresa", Edit. Limusa, México,

1985.

32

2.1. GENERALIDADES

Un estudio económico para transformarlo en realidad, se hace necesario contar con un monto suficiente de capital, para cubrir todos los costos que demandará el proyecto hasta ponerlo en marcha e integrarlo al proceso productivo; es decir los costos ocasionados en la inversión fija más el capital de trabajo.

En pocos casos los inversionistas nativos (privados o el estado) tienen la capacidad de afrontar con recursos propios el monto total de capital demandado por el proyecto. Sin embargo en la mayoría de las inversiones, es práctica recurrir a las fuentes de financiamiento para conseguir capitales, los cuales harán posible el funcionamiento de la nueva empresa. Por lo tanto el capital total que se utiliza para financiar la empresa se puede clasificar en dos categorías: capital propio y capital ajeno (prestado).

Los dueños del capital propio lo arriesgan con la esperanza de recibir utilidades; de igual manera los proveedores de capital (fuentes internas y/o externas) esperan recibir alguna recompensa por suministrar y permitir que se utilice, por consiguiente cada uno de los dos tipos de capitales tienen derecho a un rendimiento. En consecuencia, la práctica común ha permitido diferenciar que lo que se paga por el uso del capital propio se conoce como UTILIDAD, y, lo que se paga por el capital ajeno se designa como INTERESES.

2.2. VALOR DEL DINERO A TRAVES DEL TIEMPO

El dinero ubicado en el tiempo tiene distinto valor. En el mercado de capitales, "una unidad monetaria inmediata" puede cambiarse por "1 + i unidades dentro de un año". El número i es positivo, no por necesidad lógica, sino por que las personas y empresas prefieren

CAPITULO IITasas de Interés y Relaciones Dinero - Tiempo

"una unidad monetaria inmediata" a "una unidad monetaria dentro de un año", y es necesario ofrecerles alguna recompensa o remuneración para que acepten el cambio; i es la tasa de interés anual que rige en el momento.

El preferir tener "una unidad monetaria ahora" es por que existe un "costo de oportunidad" involucrado en dejar pasar las utilidades que podrían obtenerse usando esa "una unidad monetaria actual" invertida en la firma durante un año.

Esquemáticamente se puede representar de la siguiente manera.

0 1 2 t

donde:t = 0 se define como ahorat = 1 será el período de un añoi = tasa de interés anual

2.3. TASA DE INTERES:

Cuando hablamos de costo de capital nos estamos refiriendo a la tasa de interés que cobran los acreedores de capital. LA TASA DE INTERES se expresa como la razón entre el valor pagado (intereses) por el uso de determinados fondos prestados y el total utilizado de los mismos. Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

i = tasa de interés expresado en %

Ejemplo Nº 01: Se hace un préstamo de S/. 150 para comprar un libro de Ingeniería Económica, los cuales se devolverán después de un año, los intereses cobrados ascienden a S/. 30, ¿cuál es la tasa de interés?.

1 000 1 000(1+i)

i = 20%

En el mundo de las finanzas se habla de dos tasas de interés: una nominal y otra efectiva; sin embargo es importante considerar una tercera que se denomina tasa de interés real. A continuación se va a definir cada una de ellas.

2.3.1. TASA DE INTERES NOMINAL (j)

Son las tasas que se dan como referencia para definir las características de una operación financiera y se refiere a un período anual.

2.3.2.TASA DE INTERES EFECTIVA (i)

Son las tasas resultantes al final de un año en una operación financiera, como consecuencia del proceso de capitalización a lo largo de un año.

2.3.3.TASA DE INTERES REAL (r)

Es la tasa de interés que mide la discrepancia entre la tasa efectiva y el deterioro del signo monetario (tasa inflacionaria nacional). Esta tasa sirve para medir la pérdida del valor adquisitivo del dinero depositado un año atrás.

2.3.4.FORMULAS MATEMATICAS:

a. Tasa nominal j = m [ (1 + i)1/m.n -1 ]

b. Tasa efectiva i = ( 1 + j/m )m.n - 1

i - Ø c. Tasa real r = --------------- 1 + Ø /100

donde: n = número de años o períodosm = períodos de capitalización

Ø = tasa inflacionaria

Ejemplo Nº 02: Se ha hecho un préstamo de S/. 200 000 para ser cancelado después

de un año, a una tasa de interés de 60%, que se capitaliza de

acuerdo a los siguientes casos: 0 360

0 180 360 0 90 180

270 360

días

Ejemplo Nº 03: Una persona deposita en ahorros S/. 200 000 en un banco comercial el 01 de enero de 1993, a una tasa de interés del 60% capitalizable trimestralmente, ¿cuál es el poder adquisitivo de 200 000 más los intereses ganados, al retirarlo el 30 de diciembre de 1993?.

Período

m j i

Anual 1 60% 60%

Semest.

2 60% 69%

Trimes.

4 60% 75%

CA

SO

1C

ASO

2C

ASO

3

S/. 338 000

S/. 320 000

S/. 350 000

SOLUCION:j = 60%Capital ahorrado = S/. 200 000a. Cálculo de la tasa efectiva

i = ( 1 + 0.6/4)4*1 - 1

i = 74.9%

b. Cálculo de la suma futurasuma futura = 200 000( 1 + 0.749 ) = S/. 349 800

c. Valor adquisitivo de la suma futura

c.1. Cálculo de la tasa real

se está tomando una tasa inflacionaria de 46% 74.9 - 46 r = --------------- 1 + 46/100 r = 19.79%

valor adquisitivo = 200 000(1 + 0.1979) = S/. 239 580

COMENTARIOS:

El poder adquisitivo de nuestra moneda estará sujeta a las siguientes consideraciones:

i. Si la tasa de interés efectiva es mayor que la tasa inflacionaria, se tendrá un poder adquisitivo positivo de nuestra moneda. ii. Si la tasa de interés efectiva es igual a la tasa inflacionaria, el poder adquisitivo de nuestra moneda se mantiene sin ninguna variación.iii. Si la tasa de interés efectiva es menor que la tasa inflacionaria, el poder adquisitivo de nuestra moneda es negativa, es decir a perdido su valor.

2.4. INTERESES

Se define el interés como la cantidad de dinero que se paga por la utilización de un capital ajeno, según su costo de oportunidad. Es decir, reflejan el costo de capital. El monto de dinero que se paga por el capital prestado, incluye el pago por el uso, pérdida adquisitiva, riesgo y gastos administrativos.

El interés siempre se refiere a un período de tiempo determinado, y se mide en unidades monetarias por año.

2.4.1. INTERES SIMPLE

Su cálculo se basa en el capital o préstamo inicial. El interés pagado por el préstamo es proporcional al tiempo que dura éste. Matemáticamente se

expresa de la forma siguiente:Is = P*i*n

donde: Is = interés simpleP = valor presentei = tasa de interés simplen = número de unidades de tiempo o

períodos

Ejemplo Nº 04: Se hace un préstamo de S/. 400 000 a una tasa de interés simple de 60% anual, el cual será devuelto después de 04 años, ¿cuál es la cantidad de interés que ha generado durante este tiempo?.

SOLUCION: Is = 400 000*0.6*4 Is =S/. 960 000

4.2.2 INTERES COMPUESTO

Su cálculo se basa en el capital inicial más intereses acumulados, es decir el importe de los intereses correspondientes a los sucesivos vencimientos anuales no se libera, sino que queda incorporado al fondo del capital,

corriendo la misma suerte que éste. La relación matemática que nos permite calcular el interés compuesto es la siguiente:

S = P ( 1 + i )n

Ic = S - PIc = P [ ( 1 + i )n - 1]donde: S = suma futura

Ic = Interés compuesto

Tomando el ejemplo número 04 calculamos el interés compuesto, bajo las mismas consideraciones, solamente especificando que el interés es compuesto.Ic = 400 000 [ ( 1 + 0.6)4 - 1 ]Ic = S/. 2 221 440

COMENTARIOSSe puede notar claramente la gran diferencia entre hacer un préstamo a

interés simple con obtenerlo éste a un interés compuesto, los intereses son mayores en el segundo caso con respecto al primero, cuya diferencia es de:Ic - Is = 2 221 440 – 960 000 = S/. 1 261 440 Esto se debe básicamente a la capitalización. En las transacciones financieras mayormente se usa el interés compuesto.

Ejemplo Nº 05: Se tiene un capital del que 2/4 partes se depositan al 5% y el resto al 10% anual. Después de dos años se retiran $500 y se deposita el resto del dinero al 8% anual. Si al quinto año el monto asciende a $680, determine el capital inicial.

SOLUCION:

2/4 P ------- 5%P

2/4 P ------- 10%2 años después retiran -------- $ 500Resto se colocan -------- 8%5to. año suma final -------- $ 680

Suma futura después de dos añosS = P ( 1 + i*n)S = 2/4 P (1+0.05*2) + 2/4 P (1+0.10*2)S = 4.6/4 PSuma futura en el quinto año, considerando el retiro de $ 500, después de dos años.

S1 = ( S - 500)*( 1 + 0.08*3)reemplazando el valor de S y S1 tenemos:

680 = ( 4.6/4 P - 500)*( 1.24)

P = $ 912.3

Ejemplo Nº 06: Dos capitales se depositan en dos cuentas de ahorros a diferentes tasas. La suma de los dos capitales es de $ 800. La tasa correspondiente al primero es 5% menos que la tasa correspondiente al segundo. El primer capital produce en 3 meses intereses por $ 60 y el segundo, en el mismo plazo, reporta por intereses $ 90. Determine los capitales y las tasas:

SOLUCION:

P1 + P2 = 800 60 = P1 ( i2 - 0.05)*3

i1 = i2 - 0.05 90 = P2*i2*3 60

t1 = t2 = t = 3 P1 = -------------- (i2-0.05)*3

I1 = P1*i1*t 90 P2 = --------- 3i2

60 90 ------------- + --------- = 800 3(i2-0.05) 3i2

90i2 - 800i22 - 1.5 = 0

cambiando de signo y aplicando la fórmula para la solución de

ecuaciones cuadráticas tenemos:

+ 90 ± 57.4i2 = ----------------

1,600

i2 = 0.0921

i2' = 0.0203 se descarta

i1 = 0.0921 - 0.05 = 0.0421

i1' = 0.0203 - 0.05 = - 0.0297 se descarta 60P1 = ----------------------

(0.0921 - 0.05)*3

P1 = 461.5P2 = 800 - 461.5 = 338.5

Ejemplo Nº 07: El Sr. Murillo deposita S/. 20 000 en tres cuentas al 25% capitalizable mensualmente para que sus tres hijos reciban sumas iguales al cumplir 18 años. Si sus hijos tienen 8, 10 y 13 años.a. ) ¿Qué cantidad depositó en cada cuenta?b. ) ¿Cuánto recibirá cada hijo al cumplir 18 años?

SOLUCION:

P = P1 + P2 + P3 n1 = 18 - 8 = 10 n2 = 18 - 10 = 8

20 000 = P1 + P2 + P3 n3 = 18 - 13 = 5

j = 0.25

m = 12

S1 = S2 = S3

S1 = P1 [1 + 0.25/12]12*10 = P1 [1 + 0.25/12]120

S2 = P2 [1 + 0.25/12]12*8 = P2 [1 + 0.25/12]96

S3 = P3 [1 + 0.25/12]12*5 = P3 [1 + 0.25/12]60

P1 [1 + 0.25/12]120 = P2 [1 + 0.25/12]96

P1 [1 + 0.25/12]120

P2 = ------------------------- [1 + 0.25/12]96

P2 = P1 [1 + 0.25/12]24

P1 [1 + 0.25/12]120 = P3 [1 + 0.25/12]60

P3 = P1 [1 + 0.25/12]60

200 000 = P1 + P1 [1 + 0.25/12]24 + P1 [1 +0.25/12]60

200 000 = P1 [ 1 + 1.64 + 3.45 ]

a. En cada cuenta ha depositado

P1 = 3 284.1P2 = 5 385.9P3 = 11 330

b. S1 = 3 284.1 [1 + 0.25/12]120

S1 = 38 994 S2 = 38 994 S3 = 38 994

2.5. NOTACION Y DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO

2.5.1.NOTACION En este apunte se va usar la siguiente simbología, para los diferentes cálculos que se realicen, utilizando el interés compuesto.

i = tasa de interésn = número de períodos de capitalizaciónP = Suma presente de dinero S = suma futura de dineroR = flujo de efectivo al final de cada período en una serie

uniforme, también se lo conoce como anualidades.2.5.2.DIAGRAMAS Se utilizan para visualizar lo que pasa cuando

hay flujos de dinero en varios puntos del tiempo. Representación:

a. La línea horizontal es una escala de tiempo que está dividida en períodos iguales y empieza en cero, que corresponde al tiempo presente (ahora).

b. Sobre la escala de tiempo se colocan flechas que representan flujos de efectivos. Las flechas hacia abajo representan desembolsos y las flechas hacia arriba representan ingresos.

c. La tasa de interés se coloca en la parte superior de la línea horizontal.

d. El diagrama de flujo de efectivo depende del punto de vista del usuario.

Ejemplo Nº 08: Se hace un préstamo de S/.1 000 000 ahora, cuya deuda deberá ser cancelada después de 5 años, a una tasa de interés del 60% capitalizable anualmente.

a. Determinar los símbolos respectivos que se deben usar.b. Como será el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del prestamista y prestatario.

0 1 2 3 4 5 6 7 n

Años

i %

S1

S2

P

SOLUCION:

a. Los símbolos que se usarán son: P, i, S, nb. Diagramas de flujo:

Prestatario Prestamista

2.6. FACTORES DE INTERES COMPUESTO

Es característica de todos los proyectos de inversión que los ingresos y desembolsos

de caja se reproduzcan en distintos períodos. Mil nuevos soles recibidos hoy, mil a recibir al final del primer año y otros mil a recibir al final del segundo año, no son valores homogéneos y por lo tanto comparables ( aún asumiendo que no hay deterioro del signo monetario). Como ya definimos, mientras más pronto se recibe el dinero, más rápidamente podrá ser invertido para ganar un interés.

2.6.1.FACTOR DE CAPITALIZACION DE UN SOLO PAGO (fsc) Se define como la capitalización de los intereses. El interés devengado se suma al capital de cada período anual de intereses; a continuación se va a representar en un diagrama.

Valor del capital al inicio de cada período

0 1 2 3 4 5

Años

P = 1 000 000

0 1 2 3 4 5

Años

P = 1 000 000 i = 60%

S

S

i = 60%

PP (1+i) P (1+i)2 P (1+i)n-1

P*i P (1+i)*i P (1+i)2*i

P (1+i)n-1*iIntereses al finalizar el período

0

La suma futura capitalizable durante n períodos será igual al valor al comienzo del período n más los intereses al final del período n. En forma numérica se expresaría así:S = P ( 1 + i )n-1 + P ( 1 + i )n-1*iS = P ( 1 + i )n

Ec. 2.1El factor ( 1 + i )n, se llama factor singular de capitalización (fsc) ó factor de pago singular cantidad compuesta (spcaf). Se utiliza para encontrar la suma futura S capitalizada a interés compuesto con un capital presente P.

La Ec. 1 algunos autores como Taylor lo expresan:S = Pi-n (fsc) ó S = Pi-n (spcaf)

Ejemplo Nº 09: Si se presta S/. 10 000 000 al 60% de interés capitalizable anualmente, y después de transcurrido 4 años se desea liquidar la deuda, ¿qué

cantidad se tendrá que entregar?SOLUCION:

P = S/. 10 000 000 S = P(1 + i)n

n = 4 años i = 60% S = 10 000 000(1+0.6)4

S = ? S = S/. 65 536 000 suma entregada

2.6.2. FACTOR DE ACTUALIZACION DE UN SOLO PAGO (fsa) Se define como el inverso del factor singular de capitalización. Se utiliza para hallar el valor presente de una suma futura, la razón es la siguiente:

S P = ---------- Ec. 2.2 (1 + i)n 1 El factor --------- , se llama factor singular de capitalización (fsa) ó (1 + i)n

factor de pago singular valor actual (sppwf). La Ec. 2 se expresa también de la siguiente forma:

P = Si-n (fsa) ó P = Si-n (sppwf)

Ejemplo Nº 10: Una entidad AB tiene un contrato que le da derecho a recibir S/ 30 000 000 de aquí a 12 años. Si el precio del capital es de 60% capitalizable anualmente, ¿Cuál es el valor actual de este contrato?.SOLUCION:

30 000 000 S = S/ 30 000 000 P = ---------------n = 12 años (1 + 0.6)12

i = 60% P = ? P = S/. 106 581.4

2.7. ANUALIDADESEn muchos estudios económicos de ingeniería se encuentran series de ingresos ó desembolsos iguales que se hacen al final de períodos anuales sucesivos de intereses. Entonces anualidades se definen como la serie de pagos iguales afectados a intervalos regulares de tiempo.

Existen dos tipos de anualidades: anualidades ciertas u ordinarias y anualidades contingentes.

2.7.1ANUALIDADES CIERTAS U ORDINARIAS Son aquellas en la cual los pagos empiezan y terminan en fecha fija y determinada. Dentro de estas anualidades existen tres tipos:

a. Anualidades Anticipadas Es aquella en la cual los pagos se hacen al comienzo de los intervalos de pago:

R R R R R R

b. Anualidades Vencidas Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de los intervalos de pago.

0 1 2 3 4 5

P

0 1 2 3 4 5

P

R R R R R

c. Anualidades Diferidas Se llama así cuando una anualidad anticipada o vencida no se inicia sino hasta una fecha posterior.

2.7.2ANUALIDAD CONTINGENTE Es aquella en la cual el plazo depende de algún suceso cuya realización no puede fijarse.

2.7.3FACTOR DE CAPITALIZACION DE UNA SERIE DE PAGOS IGUALES(fcs) Es el factor que nos permite calcular la suma futura de una serie de pagos uniformes:

La suma futura es igual a la suma de los montos separados futuros calculados para cada anualidad.

S = S1 + S2 + S3 +...+ Sn-1 + Sn

S = R(1+i)o + R(1+i)1 + R(1+i)2 +...+ R(1+i)n-2 + R(1+i)n-1 (1)

Multiplicando ambos términos por (1+i)

S(1+i) = R(1+i)1 + R(1+i)2 +R(1+i)3+...+R(1+i)n-1+R(1+i)n (2) restando (1) de (2)

S(1+i) - S = -R + R(1+i)n

R R R R R R R R(1+i)O = S1

R(1+i)1 = S2

R(1+i)2= S3

R(1+i)n-2=Sn-

1

R(1+i)n-1 = Sn

(1+i)n - 1S = R ---------------- Ec.2. 3

itambién se puede deducir aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica de n términos:

arn - aSuma P.G. = --------- primer término es a = 1

r - 1 razón = (1+i)

(1+i)n - 1

El factor--------------, se llama factor de capitalización de una serie uni-

i forme (fcs) ó factor de series uniformes cantidad compuesta o (uscaf). Utilizando la simbología de Taylor la Ec.3 se expresa:

S = Ri-n (fcs) ó S = Ri-n (uscaf)

Ejemplo Nº 11: A cuanto ascenderá el monto de una anualidad de S/ 30 000 durante 7 años, si se invierte a la tasa de 60% de interés anual.

SOLUCION:R = S/. 30 000 S = R0.6 - 7 (fcs)i = 60% (1+0.6)7-1 n = 7 años S = 30 000 ---------------S = ? 0.6 S = S/. 1 292 175

2.7.4FACTOR DE DEPOSITO DE FONDO DE AMORTIZACION (fdfa) Se define como el inverso del factor de capitalización de una serie uniforme. Se trata de un fondo que tiene la propiedad de producir la cantidad deseada al final de 'n' años, por medio de una serie uniforme de pagos:

i R = S ------------- Ec.2.4 (1+i)n - 1

i El factor-------------, se llama factor de depósito de fondo

de amortización. (1+i)n - 1

La Ec.4 se puede escribir también de la siguiente manera:

R = Si-n(fdfa) ó R = Si-n(sfdf)

Ejemplo Nº 12: Una empresa pública decide establecer una nueva planta. Influye en su decisión la oferta que le hizo una financiadora oficial de concederle un préstamo de S/. 2 000 000 al 60% compuesto semestralmente.

La deuda con sus intereses deberá pagarse a los 10 años. La empresa decide construir un fondo de amortización en un banco al 65% de interés compuesto anualmente. ¿Qué cantidad deberá depositarse al final de cada año para que al término del décimo año se haya liquidado el empréstito?.

SOLUCION:

P = S/. 2 000 000 a) S = P(1+i)n j = 60% S = 2 000 000(1+0.6/2)2*10

n = 10 años S = 380 099 275m = 2S = ? b) R = Si-n(sfdf)

R = 380 099 275(0.004375) R = 1 662 934

2.7.5FACTOR DEL VALOR ACTUAL DE UNA SERIE DE PAGOS IGUALES(fas) Se define como el factor que nos permite transformar una serie de pagos iguales (R) a un valor presente (P).

P = P1 + P2 + P3+...+ Pn

El corchete es una progresión geométrica [ 1/1+i ], aplicando la fórmula

para la suma de una progresión geométrica: 1 a - arm a = ------- Suma P.G. = ---------- (1+i) 1 - r 1

r = ------ reemplazando los valores de a, r, m; (1+i) y haciendo las simplificaciones del m = n

caso se obtiene la siguiente ecuación:

0 1 2 3 4 5 n

R R R R R R

Ec. 2.5

La deducción de la ecuación anterior se puede hacer también a partir de la Ec. 3.

(1)

Sabemos que

S = P (1+i)n (2)

reemplazando (2) en (1)

P(1+i)n

(1+i)n - 1

El factor [------------], se llama factor de actualización de una serie (fas)

i*(1+i)n o factor de series uniformes-valor actual(uspwf).

Ejemplo Nº 13: Se compró una máquina, cuyo contrato de compra-venta fue la siguiente: dar por adelantado S/. 8'000,000 y el resto serían cancelados por letras trimestrales, cuyo valor de cada una asciende a S/ 500,000 durante 6 años a la tasa de interés del 55%, capitalizable trimestralmente. ¿Hallar el precio de la máquina al contado?.

SOLUCION:

j = 55% hay que calcular la tasa efectiva

Pcontado = ? Pcon. = Pinic. + Ri-n (uspwf)

Pinicial = S/. 8 000 000 Pcon. = 8 000 000+500

000(6.9425)

R = S/. 500 000 trimestral Pcon. = 11 471 230

n = 6 años

2.7.6FACTOR DE RECUPERACION DEL CAPITAL (frc) Se define como el inverso del factor de actualización de una serie, y sirve para encontrar los pagos iguales (R) al final del período que suministrará una suma de valor (P).

Ec. 2.6

El factor , se llama factor de recuperación del

capital (frc) o (crf).

Ejemplo Nº 14: Una empresa adquirió un equipo por S/. 3 000,000. Pagó S/. 600 000 al contado y se compromete a pagar el resto con intereses al 60% capitalizable anualmente en 6 pagos anuales iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota anual?.

SOLUCION:

PT = S/. 3 000 000 R = (PT - Pa)i-n (crf)Pa = S/. 600 000

n = 6 años R = (3 000 000 – 600 000)*(0.6380)

i = 60%

R = ? R = 1 531 200

2.8. RESUMEN DE FORMULAS Hallar Dado Pagos discretos

Capitalización discreta Designación de factores

S P S = P (1 + i)n fsc ó spcaf

P S P = S/(1 + i)n fsa ó sppwf

S R fcs ó uscaf

R S fdfa ó uscaf

P R fas ó uspwf

R P frc ó crf

2.9. USO DE TABLAS:

Todos los factores que se han tratado, han sido tabulados para diferentes valores de 'i' y de 'n', con el propósito de facilitar el cálculo, sin embargo hoy en día no existe problemas en calcularlos, ya que se cuenta con calculadoras personales que directamente nos dan el resultado.

Existe una variedad de tablas sobre los diferentes factores que intervienen en el interés compuesto. En el libro de G.A. Taylor aparece de la siguiente manera:

FACTORES DE TASA DISCRETA DE RENDIMIENTO

n spcaf sppwf crf uspwf sfdf uscaf

i = 6%

1 1.0600 0.94340 1.0600 0.94340 1.00000 1.0000 2 1.1236 0.89000 0.54544 1.83340 0.48540 2.0600 3 1.2625 0.83962 0.37411 2.67300 0.31411 3.1836

100 339.30 0.00295 0.06180 16.6180 0.00018 4.3746

2.10.PAGOS CAPITALIZABLES CONTINUAMENTE CON INTERESES CONTINUOS

Lo tratado anteriormente está referido a funciones discretas, es decir se considera que los pagos están concentrados en puntos discretos dentro de la serie cronológica. Esta modalidad de capitalización del capital es la que se usa mayormente en el mundo financiero. Sin embargo podría presentarse algunos casos donde las transacciones monetarias se hagan en forma relativamente uniforme a lo largo del año, transformándose de una función discreta a una función continua.

Mayormente el concepto de pagos o intereses continuos son usados en la teoría de las decisiones al aplicar modelos matemáticos.

2.10.1 INTERES ANUAL COMPUESTO CONTINUAMENTE (ic)

La deducción se va a ser partiendo de la relación del interés discreto:

i = ( 1 + j/m)m*n – 1 (1)

para el interés continuo 'm' será igual al número infinito de períodos de capitalización por año. Haciendo algunos cambios de variables en la relación (1) como: m/j = k , m = jk (2) n = 1 (un año). Reemplazando estos valores en la Ec. 1 tenemos:

ic = ( 1 + 1/k )jk - 1

tomando límite [ (1 + 1/k)k]j = ej k--------

ic = ej – 1 Ec. 2.7

ic = tasa de interés continuo efectivo

2.10.2 PAGOS CAPITALIZABLES CONTINUAMENTE CON INTERESES CONTINUOS En estos casos se transforman en una función continua. Sabemos que S = P (1+i)n, pero (1+i)n en capitalización discreta, en capitalización continua corresponde ej, de tal manera la función anterior con las consideraciones respectivas se puede transformar en una función continua:

∆S = ∆ Pejn (1)

Esta relación expresa que la cantidad futura se repite en 't' años a partir del momento 'n' ∆.P está definida por el área del rectángulo cuya altura es R y largo ∆t. R es igual al pago fluyendo continuamente cada período y t es el tiempo.

0 1 2 3 ∆t n-2 n-1

∆P = R ∆t (2)

Reemplazando (2) en (1)

∆S =R∆ t * ejt

cuando ∆t se aproxima a cero se tendrá:

Integrando la ecuación anterior se tiene:

A partir de ésta relación se puede derivar las otras relaciones aplicables a pagos continuos con interese continuos.

Ejemplo Nº 15: Cuál es el valor actual de los siguientes flujos

Ec. 2.8

∆PR

continuos de fondos.

a) S/. 5 000 al año, durante 7 años, al 60% compuesto continuamente.

b) S/. 8 000 mensuales, durante 10 años, al 65% compuesto continuamente.

c) S/. 15 000 trimestrales, durante 5 años, al 60% compuesto continuamente.

SOLUCION:

a) R = S/. 5 000 ejn - 1

j = 60% P = R [----------] j*ejn

n = 7 años e0.6*7 - 1

m = 1 P = 5 000 [------------] 0.6*e0.6*7

P = ?P = S/. 8 208.4

b) R = S/. 8 000 ejn - 1j = 65% P = R [-----------]n = 7 años j/m*ejn

m = 12 P = 8 000 [18.4338]P = ? P = S/. 147 470.4

10.3 RESUMEN DE FORMULAS DE PAGOS CONTINUOS:

Hallar Dado Pagos continuos ycapitalización

continua

designación de los

factores de flujo

ejn - 1 Factor de

R S S = R [------------] J

capitalizacióncompuesta.

S R j R = S [------------] ejn – 1

Factor de amortización

R P ejn - 1 R = P [------------] j*ejn

Factor de renta temporalcontinua

P R j*ejn

R = P [------------] ejn - 1

Factor de valor actual

2.11.AMORTIZACION

Es la extinción de una deuda, por su cancelación o pago. Existen dos métodos para proveer progresivamente el pago de una deuda a largo plazo:

a. Método del fondo de amortización.b. Método de amortización.

2.11.1 METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION Un fondo de amortización es la cantidad que se va acumulando mediante pagos periódicos, que devengan interés, y que se destinan para pagar una deuda a su vencimiento.

2.11.2 METODO DE AMORTIZACIÓN Se puede definir como el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda, mediante una serie de pagos periódicos al acreedor. Cada pago incluye el interés sobre la deuda pendiente y un pago parcial sobre el capital de aquella. Si los pagos

de amortización son de igual importe forman una anualidad cuyo valor actual es igual al valor actual de la deuda, esto es, del capital de la misma.

2.11.3 DIFERENCIA ENTRE EL METODO DEL FONDO DE AMORTIZACION Y METODO DE AMORTIZACIÓN Si bien es cierto ambos métodos sirven para estructurar el pago de un préstamo a largo plazo o liquidar una obligación; en el primer método el importe de los pagos sirve únicamente para el pago del capital prestado, en el segundo método los pagos son suficientes para cancelar el capital y el interés que ganará este capital.

En el caso del método del fondo de amortización se hacen pagos periódicos que se invierten y se acumulan hasta el vencimiento de la deuda, fecha en que se paga de una vez el capital de la misma, en cambio en el método de amortización, los pagos no se acumulan en un fondo sino que se entregan periódicamente al acreedor reduciendo así, al mismo tiempo, el interés debido periódicamente sobre el capital pendiente.

Otra diferencia entre los métodos reside en el hecho que el método del fondo de amortización no hace ninguna provisión para el pago de los intereses sobre la deuda, pero en el método de amortización, los intereses sobre el capital forman parte de cada pago periódico.

Ejemplo Nº 16: Formar un fondo de amortización para cancelar un préstamo de S/. 4 000 000 en 6 años al 60% capitalizable anualmente.

SOLUCION:

S = S/. 4 000 000 R = Si-n (sfdf)

n = 6 años R = 4 000 000 (0.03803)

i = 60% R = S/. 152 120

R = ?

EXPLICACION DEL CALCULO:

La columna (1) se calcula por la fórmula

La columna (2) se obtiene multiplicando la columna 4 por el

porcentaje.

La columna (3) es el resultado de la columna (1) más la columna

(2).

La columna (4) es igual a los valores acumulativos de la columna

tres (3).

FONDO DE AMORTIZACION

1 2 3 4

Fecha de pago del fondo

Cuota anual

Interés sobre el fondo al 60%

Total añadi- do al fondo

Total en el fondo

Fin del 1er

año

Fin del 2do

año

Fin del 3er

año

Fin del 4to

año

Fin del 5to

año

Fin del 6to

año

152

120

152

120

152

120

152

120

152

120

152

120

---

91 272

237 307

470 964

844 814

1 442 974

152 120

243 392

384 427

623 084

996 934

1 595 094

152

120

395

512

784

939

1 408

023

2 404

956

4 000

000

∑ 912 720

3 087 331 4 000 000

Ejemplo Nº 17: Construir un cuadro de amortización para cancelar una deuda de S/. 8 000 000, cuyas condiciones son: 7 años con interés del 60%.

SOLUCION:

P = S/. 8 000 000 R = Pi-n(crf)

i = 60% R = 8 000 000 (0.62321)

n = 7 años R = 4 985 714

EXPLICACION DEL CALCULO La columna (1) se obtiene restando del capital pendiente de

pago menos amortización, columna (3).

La columna (2) se calcula multiplicando la columna (1) por los

intereses respectivos 60%.

La columna (3) de amortización es el resultado de la diferencia

de la columna (4) menos la columna (2).

La columna (4) se calcula por la fórmula.

La columna (5) es el acumulativo de la columna (3).

AMORTIZACION PROPIAMENTE DICHA

1 2 3 4 5

Añosfin

Capital pendient

eDe pago

Interesessobre el cap.pend

.

Amortiza- ción

delcapital

Anualidad

delcapital

Capital amortiza-

do

1234567

8 000 000 7 814 286 7 517 144 7 041 616 6 280 871 5 063 680 3 116 174

4 800 000 4 688 572 4 510 286 4 224 969 3 768 523 3 038 208 1 869 704

185 714 297 142 475 528 760 745 1 217 191 1 947 506 3 116 010

4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714 4 985 714

185 760 428 856 958 284 1 719 0292 936 2204 883 727 7 999 937

26 900 7 999 34 899

∑ 262 937 998

La tabla anterior se puede construir más fácilmente haciendo uso de la hoja de cálculo a través de pequeños programas elaborados específicamente para este caso; la información que se necesita alimentar es: deuda a amortizar, tipo de interés anual, tiempo en años y período de amortización.

Periodo Capital

Capital Pagado Interés

Amortizaciones

18 000

000.00 185 733.034 800

000.004 985

733.03

27 814

266.97 297 172.854 688

560.184 985

733.03

37 517

094.13 475 476.554 510

256.484 985

733.03

47 041

617.57 760 762.494 224

970.544 985

733.03

56 280

855.091 217

219.983 768

513.054 985

733.03

65 063

635.111 947

551.963 038

181.064 985

733.03

73 116

083.143 116

083.141 869

649.894 985

733.03

Totales8 000

000.0026 900 131.20

34 900 131.20

EJERCICIOS

2-1 Una compañía se registró con $ 50 000; al final de 10 años el capital había aumentado a $ 90 000. ¿Cuál fue la tasa media de crecimiento?.

SOLUCION:

P = $ 50 000 S = P (1+i)n

S = $ 90 000 90 000 = 50 000(1+i)10

n = 10 años 9/5 = (1+i)10

i = ? ln1.8 = 10 ln(1+i)

(1+i) = e0.05878

i = 6.05%2-2 Se hace un préstamo personal con tasa de interés de 3/4% por mes

sobre el saldo insoluto. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés?.

SOLUCION:

j = 3/4% i = [1+0.075/12]12*1 - 1

m = 12 i = [ 1.00625]12 - 1

i = 0.0776 ó 7.76%

2-3 ¿Cuántos años se requerirá para que el saldo dejado en una cuenta de ahorros aumente de $ 1 000 a $1 500 si el interés se recibe a una tasa nominal del 6% compuesto semestralmente durante el período?.

SOLUCION:

P = $ 1 000 S = P (1 +j/m)m*n - 1

S = $ 1 500 1 500 = 1 000(1+0.06/2)2*n - 1

j = 6% ln1.5 = 2n ln1.03

n = ? 0.4054 = 2n(0.02956)

n = 6.68 años2-4 Una acería estima que uno de sus hornos requerirá gastos de

mantenimiento de $ 2 000 al final de 2 años, de $ 4 000 al final de 4 años y de $ 8 000 al término de 8 años, ) Qué cantidad semestral uniforme tiene que invertir durante los siguientes 8 años, al final de cada período, para poder cubrir estos costos de mantenimiento, si todos los fondos devengan intereses a una tasa del 6% capitalizable semestralmente?.

SOLUCION:

j = 6% m = 2

P = 2 000(0.8885) + 4 000(0.7894) + 8 000(0.6232)

P = $ 9 921

j/m(1+j/m)m*n

R = P [--------------------] (1+j/m)m*n+ - 1

0.06/2(1+0.06/2)2*8

R = 9 921 [-------------------------] (1+0.06/2)2*8 - 1

R = $ 790 esta es la cantidad uniforme que tiene que invertir semestralmente

2-5 Un deudor puede liquidar una deuda pagando: a) S/. 9 000 en la fecha; o b) pagando S/. 11 000 dentro de 5 años. ¿Qué opción debe aceptar suponiendo un rendimiento del 60% capitalizable semestralmente?.

SOLUCION:P = S/. 9 000 P = 11 000/(1+0.6/2)2*5

S = S/. 11 000

n = 5 años P = S/. 789

j = 60% Decisión: La opción que se debe aceptar es la b), cuyo valor es de

0 1 2 3 4 5 6 7 8

S = 4000

S = 2000

S = 8000

S/. 798 m = 2

2-6 Una empresa acuerda cancelar una deuda mediante 8 pagos trimestrales de S/. 2 000 cada uno, si omite los 4 primeros pagos. ¿Qué pago debe hacer al vencimiento del siguiente para saldar la deuda?. La tasa de interés es del 60%.

SOLUCION:P = S/. 2 000 ST = R1-n(uscaf) + Ri-n(uspwf)n = 8 trimestres ST = 2 000(6.7424)+2 000(2.2832)

j = 60% ST = 13 484.8 + 4 566.4

m = 4 ST = S/. 18 051.2

j/m = 15%

2-7 Qué tasa convertible anualmente es equivalente al 60% convertible trimestralmente.

SOLUCION:

j = 60% i = ( 1 + j/m )m*n - 1

n = 1 i = ( 1 + 0.6/2)2*1 - 1

m = 4 i = 74.9%

i = ?

2-8 En una fabricación continua se ha pensado sustituir la regulación manual de los flujos por un mecanismo automático cuyo valor instalado es de s/. 2 000 000 . La vida de este mecanismo se calcula en 10 años y su valor residual se estima nulo para mayor seguridad. La mano de obra que ahorra el aparato vale S/. 400 000/año y a su vez, su costo de funcionamiento se considera prácticamente nulo. ¿Qué interés se obtiene con la sustitución?.

SOLUCION:

P = S/. 2 000 000 i(1+i)10

R = S/. 400 000/año 400 000 = 2 000 000*------------ (1+i)10-1

n = 10 años

i = ? i(1+i)10

R = S/. 400 000/año 0.2 = ------------n = 10 años (1+i)10-1

La solución de esta ecuación se hace por tanteo, tomando valores de i = 10%, i = 15% y i = 20% y se compara con 0.2, la respuesta es i = 15.1%.

2-9. ¿En cuál de los siguientes casos se da la más alta tasa de descuento.a. Una suma actual de S/. 399.9 con redituación de S/. 50

semestralmente, durante 5 años.b. Una suma actual de S/. 399.9 con redituación de S/. 100

anuales, durante 5 años.c. Una suma actual de S/. 421.2 con redituación de S/. 25

trimestrales, durante 5 años.

SOLUCION:Los intereses serán mayores cuanto más veces rote un capital. Para encontrar en

cual de los casos se tiene la mayor tasa hay que calcular la tasa efectiva.

P1 = S/. 399.9 j1 = 50/399.9 = 0.125P2 = S/. 421.2 j2 = 100/399.9 = 0.25I1 = S/. 50 semestrales j3 = 25/421.2 = 0.0593I2 = S/. 100 anuales i1 = (1 + 0.125/2)2*1 - 1I3 = S/. 25 trimestrales i1 = 0.266

i2 = (1 + 0.25)1 - 1 i2 = 0.25 i3 = (1 + 0.0593/4)4*1 - 1 i3 = 0.2599

La tasa más alta de descuento es en el caso a) con 26.6%. En este caso la tasa de descuento lo estamos asimilando como si se trataría de la tasa efectiva, sin embargo la tasa de descuento se define como el descuento de una unidad de capital en una unidad del tiempo, matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

d = 1 - 1/(1 + i)

Desde el punto de vista de proyectos la TASA DE DESCUENTO se define como la tasa promedia ponderada de interés que el inversionista tendría que pagar para disponer de recursos marginales que invertir.

2-10 Una empresa invierte ahora S/. 10 000 000 en un pequeño negocio, que le va a generar ingresos anuales a perpetuidad, se considera que es una serie uniforme a una tasa de interés del 60%, capitalizable anualmente. ¿Cuáles son los ingresos anuales?.

SOLUCION:

P = S/. 10 000 000

i = 0%

R = ?

cuando 'n' tiende al infinito (∞), la ecuación anterior se transforma en:

P = R/i R = P*i

R = 10 000 000*0.6

R = 6 000 000

2-11 na compañía grande hace dos ofertas al propietario de una compañía pequeña, para comprarle su negocio. La oferta A es de $ 150 000 en efectivo más 10 pagos anuales de $ 1 000 cada uno,

iniciándose estas después de un año. La oferta B es de $ 15 000 en efectivo, $ 50 000 al final de un año y $ 100 000 al final de 3 años. Si el dinero le reditúa 6% y no se toma en cuenta aspectos de impuestos sobre la renta. ¿Cuál es la mejor oferta desde el punto de vista de propietario?.

SOLUCION:

Oferta A PA = PO + P1

PO = $ 150 000

R = $ 1 000

P1 = $ 7 352.2PA = $ 150 000 + $ 7 352.2 = $ 157

352.2

Oferta B PB = PO + P1 + P3

PO = $ 15 000 P1 = 50 000/(1+0.006)= $ 47 169.8

S1 = $ 50 000 P3 = 100 000/(1+0.006)3 = $ 83 961.9

S3 = $ 100 000 PB = $ 15 000 + $ 47 169.8 + $ 83

961.9

PB = $ 146 131.7

Decisión: Al propietario de la pequeña compañía le conviene la

oferta A

2-12 eterminar el capital final que se obtendrá al calcular 30 000 soles al 3% semestral, durante 19 meses, (acumulación semestral).

SOLUCION:

En este caso el tiempo n no expresa o representa un número exacto

de períodos de capitalización, para resolver el problema se opera

representando en forma fraccionada de la siguiente manera n = m

+ p/q.

n = 19 meses = 3 semestres y 1 mes

m = 3 S = P(1+i)n

p/q = 1/6 S = P(1+i)3+1/6

i = 3% S = 30 000(1+0.03)19/6

S = S/. 32 943.06

2-13 Se ha instalado un aparato electrostático para eliminar el polvo de un gas de tostación, siendo su importe total de 500 000 soles. La vida que se garantiza al aparato es de 20 años, el valor residual es cero. Los costos de reparación, sustituciones y funcionamiento se calculan en un período de 20 000 soles por año. Capitalícese las inversiones totales al momento actual y al fin del servicio, supuesto un interés del 8%.

SOLUCION:

P = S/. 500 000 PT = P + P1

R = S/. 20 000/año

P1 = S/. 196 363

Valor actual del servicio PT = 500 000 + 196 363 = S/. 696 363

Valor futuro S = 696 363(1.08)20 = S/. 3 245 748

BIBLIOGRAFIA

1. DIULIO, Eugene, "Macroeconomía", Edit. McGraw-Hill, México, 1977

2. DE GARMO, Paul y Canadá, Jhon, "Ingeniería Económica", Edit.

CECSA, México, 1978.

3. RIGGS L., James, "Ingeniería Económica", Edit. Representaciones y

Servicios de Ingeniería, México, 1982.

4. THUESEN, H.G. y otros, "Economía del Proyecto en Ingeniería",

Edit. PHI, España, 1974.

5. VIAN ORTUÑO, Angel, "El Pronóstico Económico en Química

Industrial", Edit. Alhambra, España, 1975.

6. Apuntes del Curso de Formulación y Evaluación de Proyectos de

Inversión, Universidad Nacional de Ingeniería, Facultad de Ingeniería

Económica y Sociales, Lima, 1982.

3.1 Definición es la disminución del valor de los activos físicos con el

paso del tiempo, el uso, obsolescencia tecnológica y la

desvalorización del dinero por causas económicas tales como la

inflación y la devaluación de la moneda ante divisas extranjeras. Sin

embargo existen activos físicos que no se deprecian como: terrenos,

obras de arte y antigüedades. Entiéndase como valor de un activo

físico al valor de mercado

.

3.2 Propósitos de la depreciación la depreciación se debe tomar en

cuenta principalmente por dos razones;

a. Para recuperar el capital invertido en activos físicos.

b. Para poder cargar el costo de la depreciación al costo de la

producción de bienes o servicios que resulten del uso del

activo.

3.3 Tipos de depreciación las disminuciones del valor de los activos

físicos debido al paso del tiempo se puede clasificar:

a. Depreciación normal, dentro de ésta tenemos:

Depreciación física se debe a la pérdida de la habilidad

física de un activo para producir resultados. Las causas

comunes son el desgaste y el deterioro.

Depreciación funcional es la pérdida del valor debido a la

disminución en la demanda de la función para la cual

estaba diseñado el activo. Este tipo de depreciación se

produce por: cambio en los hábitos de consumo, saturación

de mercados, producción de máquinas más eficientes, etc.

b. Depreciación debido a cambios en el nivel de precios si suben

los niveles de precios durante la vida de un activo, el capital

recuperado a través de la depreciación no será suficiente para

la adquisición de un reemplazo idéntico.

c. Depreciación por agotamiento el término agotamiento se usa

para indicar la disminución en valor que haya ocurrido en

relación con el consumo de recursos naturales para la

CAPITULO III Depreciación

producción de bienes o servicios, por ejemplo

extracción de minerales, petróleo, madera, etc. Esta

disminución se compensa mediante una reducción

proporcionada en las ganancias que se derivan de

aquel recurso.

3.4. Métodos de depreciación: el uso de un determinado método de

depreciación en la elaboración de estudios económicos dependerá

de los criterios del evaluador y del tipo de proyecto; sin embargo

cualquiera de los métodos debe proporcionar lo necesario para la

recuperación del capital y para la adecuada asignación del costo de

la depreciación durante el transcurso de la vida estimada del activo.

De los muchos métodos de depreciación que se cuenta,

examinaremos solamente cuatro de ellos por ser de uso más

común, estos son: método de la línea recta, método de saldo

decreciente, método de suma de dígitos y método del fondo de

amortización.

a. Método de la línea recta: considera que la pérdida del valor es

directamente proporcional a la edad del activo, entonces:

donde: d = costo anual por depreciación

VI = valor inicial del activo

VR = valor residual o de desecho del activo

n = vida útil del activo

El valor residual (VR) en la mayoría de los estudios económicos

se debe considerar que en el futuro es cero, a menos que haya

certeza de que siempre se tendrá un valor de desecho ya

estable. La vida útil de los activos es proporcionada por los

fabricantes, además existe información en la literatura de los

activos más comunes.

La depreciación hasta la edad de n años es:

El valor en libros del activo al final de n años es:

Ejemplo: una empresa compró un equipo mecánico en $ 32

000. Estimado la vida probable en 5 años y un valor de desecho

de $ 3 200. ¿Hallar el cargo periódico por depreciación y el

valor en libros después de 3 años por el método lineal?

= $ 5 760

AÑOS CARGA PORDEPRECIACION

ACUMULACION DEL FONDO DE RESERVA PARA DEPRECIACIÓN

VALOR ENLIBROS

012345

-5 7605 7605 7605 7605 760

- 5 76011 52017 28023 04028 800

32 00026 24020 48014 720 8 960 3 200

28 800

= $ 14 720

b. Método del Saldo Decreciente o método del porcentaje

constante se supone que el costo anual por depreciación es un

porcentaje fijo del valor de rescate al empezar el año, y se

designa por k. Para este caso el valor de rescate no debe ser

cero, de lo contrario no se puede aplicar este método.

Depreciación durante el primer año:

d1 = VI*k

Tasa de depreciación:

Depreciación durante el enésimo año:dN = VL-1*k

La depreciación hasta la edad de N años es:

Valor en libros:

VL =

Utilizando el ejemplo anterior se elaborara el cuadro de cargo por depreciación por el método de saldos decrecientes.

= 0.36904 ó 36.904% d1 = 32 000*0.36904 = 11

809.28


ACUMULACION DEL FONDO DE RESERVA PARA DEPRECIACION

VALOR ENLIBROS

012345

-11 809.28 7 451.18 4 701.40 2 966.40 1 871.74

- 11 809.2819 206.4623 961.8626 928.2628 800.00

32 00020 190.7212 739.54 8 038.14 5 071.74 3 200.00

28 800

VL3 = = 8 038.04

c. Método de la suma de dígitos la depreciación para un año cualquiera es el producto que resulta de multiplicar el factor de depreciación de la suma de dígitos para ese año por el valor depreciable VI –VR.Depreciación para un año cualquiera:

Valor en libros:

AÑO Número del año Factor deEn el orden inverso depreciación (dígitos)

1 5 5/15

2 4 4/153 3 3/154 2 2/155 1 1/15Suma de dígitos 15

Utilizando el mismo ejemplo se elaborara el cuadro de cargo por depreciación por el método de suma de dígitos.

d1 = (32 000 – 3 200)* = 9 600



VALOR ENLIBROS

012345

-9 600

7 680 5 760 3 840 1 920

- 9 60017 28023 04026 88028 800

32 00022 40014 720 8 960 5 120 3 200

28 800

d. Método del fondo de amortización supone que se establece un fondo de amortización en el cual se acumula fondos para propósitos de reemplazo. La reserva de depreciación acumulada es igual al valor futuro de la serie de pagos uniformes por cargo de depreciación en una fecha dada. Para aplicar este método de depreciación se necesita conocer el costo de oportunidad del capital (COK).Depreciación

La depreciación hasta la edad de N años es:

Valor en libros:VL = VI - DN

Utilizando el mismo ejemplo se elaborara el cuadro de cargo por depreciación por el método del fondo de amortización, con COK = 10%.

FONDO DE AMORTIZACION



VALOR ENLIBROS

012345

-4 717.405 189.145 708.056 278.856 906.74

-4 717.40 9 906.5415 614.5521 893.4028 800.14

32 000.027 282.622 093.516 385.410 106.6 3 200.0

28 800

e. Gráfica de los cuatro métodos de depreciación

AÑOSCUOTA ANUAL

INTERESESSOBRE EL

FONDO 10%

TOTAL AÑADIDO AL

FONDO

TOTAL EN EL FONDO

1 4 717.4 - 4 717.40 4 717.402 4 717.4 471.74 5 189.14 9 906.543 4 717.4 990.65 5 708.05 15 614.554 4 717.4 1 561.45 6 278.85 21 893.405 4 717.4 2 189.34 6 906.74 28 800.14

a. Ventajas y Desventajas comparativas de los cuatro métodos de depreciación. Las tres primeros métodos son de fácil aplicación y para su

cálculo no se necesita el costo de oportunidad del capital. El cálculo de depreciación por el método del fondo de

amortización es engorroso y se necesita conocer el costo de oportunidad del capital.

En los métodos de depreciación del saldos decrecientes y suma de dígitos en el primer año se deprecia el activo en un 37% y 30 % respectivamente, esto quiere decir que se está recuperando aproximadamente 1/3 del valor del activo en ese año, esto se puede visualizar en la gráfica.

El método de depreciación del saldo decreciente no se puede aplicar si el valor de desecho se considera igual a cero.

EJERCICIOS

3-1 Hace 15 años se construyó un elevador de de granos, con un costo de $ 43 000. Se le suponía tener un valor de recuperación después de 30 años del 10% de su costo original. La depreciación se realiza mediante un fondo de amortización conservado en poder de un banco local, el cual ha pagado intereses durante el período, al 4%

compuesto anualmente. Los propietarios desean ahora agregar un segundo elevador de granos, que costará $ 60 000. ¿Cuánto capital adicional se requerirá si aplican las reservas de depreciación del primer elevador como contribución para la construcción del segundo?.SOLUCION:VI = $ 43 000 VR = $ 4 300 n = 30 N = 15Depreciación acumulada al año 15

DN = $ 13 817Capital adicional requerido = $ 60 000 - $ 13 817 = $ 46 183

3-2 Se tiene un activo de $ 24 000 que se espera tenga una vida útil de 10 años y un valor de rescate de $ 4 000 al cabo de este tiempo. Calcúlese el cargo por depreciación para el tercer año y el valor en libros al término de tres años usando los métodos de depreciación siguientes: (a) línea recta, (b) fondo de amortización con intereses al 8% y (c) saldo decreciente.

SOLUCION:VI = $ 24 000 VR = $ 4 000 n = 10 Años i = 8%a Línea recta

VL = VI – DN = 24 000 – 6 000VL = $ 18 000

b. Fondo de amortización

d3 = $ 1 380.6 +$ 229.7 = $ 1 610.3 (229.7 son los intereses ganados por el cargo de depreciación correspondientes al segundo año.

DN = $ 4 481.98 VL = VI – DN = 24 000 – 4 481.98 = $ 19 518.02

c. Saldo decreciente

VL,2 =

d3 = 16 771.85*0.164 = $ 2 750.58

Vl,3 =

BIBLIOGRAFIA

1. DE GARMO, Paul y Canadá, Johon, "Ingeniería Económica", Edit


2. GALLEGOS CERVANTES, Raúl, “Formulación y Evaluación de

Proyectos de Inversión, Edit. McGRAW-HILL, 1998.

3. RIGGS L., James, "Ingeniería Económica", Edit. Representaciones y

Servicios de Ingeniería, México, 1982.



5. VIAN ORTUÑO, Angel, "El Pronóstico Económico en Química

Industrial", Edit. Alhambra, España, 1975

La pregunta que surge inmediatamente es en que invertir, para como inversionistas o propietario del capital logre utilidades, además de la recuperación del capital invertido en un determinado período de tiempo; la respuesta es, depende de los criterios de decisión que se apliquen, los que nos ayudarán a detectar esas alternativas económicas entre muchas que se propongan.Por lo tanto los criterios aplicables a las decisiones de inversión es una regla o norma que ayuda a analizar la idoneidad y conveniencia de una alternativa económica expresada en función de la rentabilidad de la empresa o de otra medida de valor con la cual se compara la rentabilidad o algún otro aspecto potencial del proyecto.Para expresar la rentabilidad u otra característica de la alternativa económica, ya sea proyectos únicos o mutuamente excluyentes y hacer la comparación con la norma de la empresa, se debe contar con la información de los flujos de efectivo neto, éste depende del costo del proyecto, de las entradas y salidas de efectivo subsecuentes, de las fechas en que ocurren, del horizonte o vida económica del proyecto y del valor de desecho. El costo de los recursos, el riesgo, la incertidumbre de los flujos de efectivo y la inflación son otros factores importantes que se deben tener en cuenta.Los criterios de decisión que se aplican con más frecuencia se clasifican en dos categorías: indicadores totales e indicadores parciales.

Indicadores totales: son aquellos que consideran los ingresos como los costos generados durante el horizonte del proyecto, dentro de ellos tenemos: el Valor Actual(VA), Tasa Interna de Rendimiento(TIR), relación Beneficio-Costo(B/C) y Período de Recuperación de la Inversión(PRI); en las decisiones de inversión se aplican los dos primeros con mayor frecuencia por ser los más consistentes y los dos últimos son muy referenciales y su aplicación es muy restringida.a. Valor Actual (VA) Es igual a la diferencia entre el valor

actualizado de los ingresos y el valor actualizado de los costos, descontados ambos a la misma tasa, que corresponde al costo de oportunidad de capital de la empresa; los valores

CAPITULO IVCRITERIOS APLICADOS EN LAS DECISIONES DE

INVERSION

pueden ser reales o nominales, matemáticamente se expresa:

donde: VA = Valor ActualYn = Ingresos en el año nCn = Costos en el año nIo = Inversión en el año ceroFE = Flujo de efectivo (Yn- Cn)ik = Costo de oportunidad del capitalt = Horizonte del proyecto

El criterio o la regla de decisión es:Proyectos Unicos Proyectos AMES*

VA > 0 se acepta VAA > VAB se acepta A

VA = 0 se posterga VAA = VAB indistinto

VA < 0 se rechaza VAA < VAB se acepta B

*AMES = Alternativas mutuamente excluyentes.

Se debe tener cuidado, sin embargo de no mezclar valores reales con

nominales.

Ejemplo Nº 1: Un proyecto requiere la inversión inmediata de $ 27 000 y se estima que al final de cada año dará como resultado los ingresos y costos siguientes:

AÑOS 1 2 3 4 5INGRESOS $ 30 000 36 000 40 000 38 000 24 000COSTOS $ 24 000 27 000 30 000 32 000 19 000

El proyecto se terminará al final del quinto año y se estima que al vender los activos de esa fecha se obtendrán $ 10 000 netos. Normalmente, la compañía obtiene un rendimiento sobre sus inversiones de por lo menos 15% antes de impuestos. Determine el Valor Actual y la Tasa Interna de Rendimiento y haga la recomendación pertinente.SOLUCION: Para calcular el VA lo primero hay que elaborar el cuadro de

flujo de efectivo.AÑO INVERSION

$INGRESOS

$COSTOS

$

V.RESIDUAL$

FLUJODE

EFECTIVO

012345

27 000 -30 00036 00040 00038 00024 000

-24 00027 00030 00032 00019 000

-

10 000

(27 000) 6 000 9 00010 000 6 0001 5 000

VA = $ 2 486.02Como el VA es mayor que cero, y de acuerdo a la regla de decisión para proyectos únicos, se acepta el proyecto.Nota: los cálculos se han hecho a través de Microsoft Excel con la función financiera ƒx (VNA)

b. Tasa Interna de Rendimiento(TIR) Es la tasa de descuento capaz de igualar la serie de ingresos futuros con el desembolso original; dicho de otro modo es la tasa de actualización que hace cero al Valor Actual, cuya fórmula es la siguiente:

La regla de decisión es: Proyectos Unicos Proyectos AMES

TIR > ik se acepta TIRA > TIRB se acepta A

TIR = ik se posterga TIRA = TIRB indistinto

TIR < ik se rechaza TIRA < TIRB se acepta B

En el caso de las alternativas mutuamente excluyentes

(AMES), necesariamente se debe tener en cuenta el costo de

oportunidad del capital (ik), de lo contrario no tendría sentido

comparar tasas de rendimiento.

Para determinar la TIR , tomamos los datos del ejemplo Nº1 y utilizamos la función financiera ƒx (TIR)

TIR = 18.42%Como la TIR es mayor que el costo de oportunidad del capital(15%) se acepta el proyecto.Para hacer la gráfica del VA vs la tasa de descuento hay que determinar diferentes valores del VA.

En la gráfica se puede observar que cuanto mayor es la tasa de descuento el Valor Actual va disminuyendo, hasta alcanzar el valor de cero que corresponde a la TIR.

Ejemplo Nº 2: Compare los valores actuales y las tasas de rentabilidad de los planes siguientes y escoja la alternativa preferible. La mínima tasa de rentabilidad aceptable es del 6%.

RUBROS PLAN 1 PLAN 2 PLAN 3Costo inicialValor de recuperaciónVida económicaIngresos anualesDesembolsos anuales

$ 40 000$ 10 000

7 años $ 18 000

$ 11 000

$ 32 000$ 6 0007 años

$ 18 000$ 14 500

$ 70 000$ 20 000

7 años $ 24 500

$ 14 500

Cálculo del VA y TIR para cada Plan

Plan 1

AÑO INVERSION$

INGRESOS$

COSTOS$

V.RESIDUAL$

FLUJODE

EFECTIVO0

1-67

40 000 -18 00018 000

-11 00011 000

-

10 000

(40 000) 7 00017 000

TIR1 = 9.46%Plan 2

AÑO INVERSION$

INGRESOS$

COSTOS$

V.RESIDUAL$

FLUJODE

EFECTIVO0

1-67

32 000 -18 00018 000

-14 50014 500

-

6 000

(32 000) 3 500 9 000

TIR2 = - 1.04%Plan 3

AÑO INVERSION$

INGRESOS$

COSTOS$

V.RESIDUAL$

FLUJODE

EFECTIVO0

1-67

70 000 -24 00024 000

-14 50014 500

-

20,000

(70 000) 9 50029 500

TIR3 = 4.72%CUADRO RESUMEN

Plan 1 VA1 = $ 5 727.24 TIR1 = 9.46% Se acepta

Plan 2 VA2 = -$ 8 471.32

TIR2 = - 1.04%

Se rechaza

Plan 3 VA3 = -$ 3 666.23

TIR3 = 4.72% Se rechaza

De acuerdo a los resultados presentados en el cuadro resumen, y no existiendo la condición de presupuesto limitado, se considera que las alternativas son

independientes, por lo tanto de acuerdo a las reglas de decisión se selecciona el Plan 1 por que el VA1> 0 y la TIR1 > ik, además VA2 y VA3 son < que cero.

Ejemplo Nº 3: Compare los valores actuales y las tasas de rentabilidad de los planes considerados en el ejemplo Nº 2 y escoja la alternativa preferible si el presupuesto es limitado y asciende a $110 000. La mínima tasa de rentabilidad aceptable es del 6%.En este caso como el presupuesto es limitado, las alternativas son mutuamente excluyentes, por lo tanto se debe hacer las combinaciones correspondientes; la selección de la alternativa final será aquella que arroje el VA más alto.Plan 1-2AÑO INVERSION

$INGRESOS

$COSTOS

$

V.RESIDUAL$

FLUJODE

EFECTIVO0

1-67

72 000 -36 00036 000

-25 50025 500

-

16 000

(72 000)10 50026 500

TIR12 = 5.04%Plan 1-3

AÑO INVERSION$

INGRESOS$

COSTOS$

V.RESIDUAL$

FLUJODE

EFECTIVO0

1-67

110 000 -42 50042 500

-25 50025 500

-

30 000

(110 000)17 00047 000

TIR13 = 7.07%

Plan 2-3

AÑO INVERSION$

INGRESOS$

COSTOS$

V.RESIDUAL$

FLUJODE

EFECTIVO0

1-67

102 000 -42 50042 500

-29 00029 000

-

26 000

(102 000)13 50039 500

TIR23 = 3.72%Plan 1-2-3, no es factible realizarlo por que la suma de las inversiones de los tres planes asciende a $ 142 000 y el presupuesto con el que se cuenta es solamente de $ 110 000.

CUADRO RESUMENPlan 1-2 VA12 = -$ 2

744.08TIR12 = 5.04% Se

rechaza

Plan 1-3 VA13 = $ 4 852.20

TIR13 = 7.07% Se acepta

Plan 2-3 VA23 = -$ 9 346.37

TIR23 = 3.72% Se rechaza

Plan 1-2-3 No es factiblePor lo tanto se se selecciona el Plan 1-3 por que el VA13 > 0 y la

TIR13 > ik

c. Relación Beneficio – Costo (B/C): este indicador se define

como la relación entre los ingresos y los costos actualizados a

una tasa que corresponde al costo de oportunidad del capital,

la regla de decisión es:

Proyectos Unicos Proyectos AMES

B/C > 1 se acepta B/CA > B/CB se acepta A

B/C = 1 se posterga B/CA = B/CB indistinto

B/C < 1 se rechaza B/CA < B/CB se acepta B

Este indicador es poco consistente, por lo que muy poco se

utiliza en la toma de decisiones de selección de proyectos.

B/C =

d. Período de Recuperación de la Inversión (PRI): es el

período de tiempo durante el cual se recupera la inversión vía

utilidades netas, la regla de decisión es:

Proyectos Unicos Proyectos AMES

PRI < Horizonte del Pyto. Se selecciona el Pyto. que

tenga

se acepta el menor PRI y que sea<

Horiz.Pyto.

El PRI tiene muchas limitaciones, en primer lugar no mide la

rentabilidad del proyecto, debido a que en su cálculo se

desentiende de todos los beneficios producidos después de la

recuperación del capital, por lo que su aplicación debe ser

referencial.

=

Ejemplo Nº 4: Para poder elaborar un nuevo producto hay que instalar un equipo con un costo de $ 100 000. Se estima que éste tendrá una vida económica de 7 años y que al término de ese tiempo su valor de rescate sería de $ 20 000. Los costos de producción son los siguientes:Mano de obra directa $ 6 por unidadMateriales directos $

3 por unidadCostos indirectos $ 10 000 + $ 2 por unidadEl precio de venta del producto sería de $ 20 la unidad, pero hay mucha incertidumbre en cuanto al número de unidades que se pueden vender. La compañía está recibiendo un 10 % antes de impuestos sobre su capital. Determínese la relación beneficio costo y el período de recuperación de capital para un volumen de ventas de 5 000 unidades.

SOLUCION: Cálculo de la relación beneficio-costo(B/C)

Costos anuales (vida económica 7 años):Mano de obra directa = $ 6/unid*5 000 unid = $

30 000Materiales directos =

$ 3/unid*5 000 unid = $ 15 000Costos indirectos = $ 10 000 + $ 2/unid*5 000 unid = $ 20

000 Costo total anual $ 65

000

Ingresos anuales:Ingresos por ventas =

$20/unid*5 000unid = $ 100 000Valor de rescate (en el año 7) = $

20 000

La relación B/C > 1, de acuerdo a la regla de decisión para proyectos únicos se acepta el proyecto; esto quiere decir que el flujo actualizado de ingresos es mayor que el flujo actualizado de costos.

Cálculo del Período de Recuperación de la Inversión

100 000 < 110 945.29Para determinar el PRI hacemos la interpolación pertinente, auque el resultado arroja cierto error por que la función no es lineal. Si 110 945.29 ------------------ 4 años 100 000 -------------------- x

( 3 años, 7 meses, 6 días)

La solución más exacta del PRI, es através del método gráfico

SOLUCION GRAFICA

El período de recuperación de la inversión es menor que el horizonte del proyecto (PRI< HP), de acuerdo a la regla de decisión se acepta el proyecto.

e. Comentarios sobre los cuatro indicadores totales De los cuatro indicadores totales, los más etables y

usados en la evaluación de estudios económicos, tanto independiente como mutuamente excluyentes, es el Valor Actual(VA) y la Tasa Interna de Rendimiento(TIR), sin embargo el indicador Beneficio-Costo(B/C) y el Período de Recuperación de la Inversión(PRI) se usan en la selección de alternativas independientes y en forma muy restringuida cuando se trata de proyectos mutuamente excluyentes.

El Valor Actual(VA) depende del tiempo, es decir el valor varía de acuerdo al año o período en el cual se calcula, además del costo de oportunidad del capital (COK) y la tasa inflacionaria.

La Tasa Interna de Rendimiento (TIR) es independiente del tiempo, sin embargo puede presentar más de un resultado cuando en el flujo de efectivo existe más de un valor negativo.

La relación Beneficio-Costo (B/C), no está ideado para calificar proyectos, establece solamente un nivel mínimo de aceptabilidad, y no pretende identificar la fuente de fondos de inversión. Como ejemplo podemos considerar dos alternativas económicas que pueden tener la

misma relación (B/C ) y costar cien mil y un millón, esto demuestra que es insensible a los niveles del costo de inversión.

También depende del tiempo y del costo de oportunidad del capital.

El Período de Recuperación de la Inversión (PRI), ignora por completo muchos componentes de las entradas de efectivo. Todas las entradas que exceden al período de recuperación se pasan por alto, lo cual es muy engañoso al evaluar proyectos de inversión

4.2 Indicadores Parciales son aquellos que consideran solamente los ingresos o los costos generados durante el horizonte del proyecto, dentro de ellos tenemos:

c. Costo Equivalente Anual (CEA) Se define como la conversión de

cualquier flujo de efectivo en una serie de pagos iguales de igual valor,

calculando en primer lugar el valor actual de la serie original y luego

multiplicando dicho valor por el factor de interés. Este indicador

de evaluación se aplica en la selección de alternativas

mutuamente excluyentes y cuando los beneficios son

iguales.

La regla de decisión es aceptar aquel proyecto que tenga un

CEA menor comparativamente con los demás proyectos.

Ejemplo Nº 5: Instalar una tubería de 18 pulgadas para trasportar

agua, tiene un costo de $ 21 000 y acarrearía gastos de

mantenimiento de $ 6 700 por año. Otra tubería de 24 pulgadas

costaría $ 32 000 y sus costos anuales de mantenimiento sería $ 3

850. Se necesita este servicio durante siete años, luego de los

cuales estas tuberías podrán retirarse y venderse a un precio igual a

la mitad de sus costos originales. Compare los costos equivalentes

anuales de instalar una u otra tubería usando tasa de interés de 8%.

SOLUCION: PA = $ 21 000 PB = $ 32 000

VRA = $ 10 500 VRB = $ 16 000

R1A = $ 6 700 R1B = 3 850

n = 7 años n = 7 años

Como CEAA > CEAB, se selecciona la tubería de 24 pulgadas, por

tener el menor costo equivalente anual.

Cuando los activos sometidos a comparación tienen vidas útiles

diferentes, su costo equivalente anual puede calcularse mediante el

método de proyectos repetidos.

Ejemplo Nº 6: A continuación se presenta dos alternativas con vidas útiles diferentes:

ITEMS ALTERNATIVA A ALTERNATIVA BCosto inicialVida útilValor residualCostos anualesTasa requerida

$ 50 00020 años$ 10 000$ 9 000

8%

$ 120 00040 años$ 20 000$ 6 000

8%

SOLUCION:En este caso al término de la vida económica de la alternativa A, se reemplaza con otra nueva de las mismas características que la inicial. Este método se llama “mínimo común múltiplo” de las vidas útiles.

De acuerdo a los resultados, se selecciona la alternativa A: CEAA <

CEAB

d. Valor Presente de Costos (VPC) Se define como el factor que nos permite transformar una serie de pagos iguales (R) o pagos desiguales futuros a un valor presente de costos (VPC).

La regla de decisión es aceptar aquella alternativa económica

que tenga un VPC menor comparativamente con las demás

alternativas.

Ejemplo Nº 7: Para ilustrar el cálculo de éste indicador, tomamos los datos del ejemplo Nº 6.

De acuerdo a la regla de decisión se seleccióna la alternativa A por que VPCA < VPCB

EJERCICIOS

4-1 Calcular el Valor Actual y la TIR del siguiente flujo de fondos y explique los resultados hallados.

AÑOS 0 1 2 3 4 5FLUJO

DE FONDOS

(8 000) (1 600) (0.88) 4 000 5 000 6 000

Considere un costo de oportunidad del capital del 12%SOLUCION:a. Cálculo del VA

VA = 0.00b. Cálculo de la TIR

TIR = 12%De acuerdo a los resultados VA=0 y TIR = ik, el proyecto se

posterga.

4-2 Una compañía petrolera tiene que comprar un nuevo equipo de perforación. Uno de los equipos, el A, cuesta únicamente $ 60 000, pero necesita energía eléctrica para su operación, para lo cual habría que tener una línea eléctrica. Se estima que esta línea costaría $ 5 000 al año durante los 15 años de vida estimada del equipo de perforación. El costo de energía sería de $ 18 000 al año, el de mantenimiento de $ 2 000 y el de mano de obra de $ 25 000 anualmente.Una unidad de perforación, B, que utiliza diesel, tiene un costo de $ 85 000 y una vida estimada de 10 años. Los costos por combustible se estima en $ 12 000 al año, los de mantenimiento en $ 3 500 y los de mano de obra en $ 27 000. Los impuestos y el seguro para cualquier equipo se elevarían anualmente a un 2% de su costo inicial. El capital ha estado redituando en promedio un 10% anual. ¿Qué equipo recomendaría usted?. SOLUCION:Cálculo de los costos equivalentes anuales para vidas desiguales:Como el equipo A tiene una vida de 15 años y el CEA se va a calcular solamente para 10 años, entonces existe un valor residual(valor en libros después de 10 años)

VL10 = VI - DN = 60 000- = $ 20 000

Costo anual total(A) = 5 000 + 18 000 + 2 000 + 25 000 + 0.02*60 000 = $51 200

Costo anual total de(B) = 12 000 + 3 500 + 27 000 + 0.02*85 000 = $ 44 200

Comparando los resultados: CEAA > CEAB, por lo tanto se selecciona el equipo de perforación B.

4-3 Considere los proyectos A y B que son alternativos. Por ejemplo, A consiste en un túnel subfluvial y B se refiere a un puente en la misma ubicación. El flujo de costos y utilidades es como sigue:Proyecto A - $ 320 000 + $ 64 000 + $ 64 000 + $ 64 000... a

perpetuidadProyecto B - $ 2 000 000 + $ 240 000 + $ 240 000 + $ 240

000... a perpetuidad El costo de oportunidad del capital es el 8%Se pide:Decidir cuál de los dos proyectos deben ser ejecutados.

SOLUCION:Calculamos primero las TIR, teniendo en cuenta que se trata de rentas perpetuas (n=∞).Proyecto A:

TIRA = 20%

Proyecto B:

TIRB = 12%

Considerando la tasa interna de retorno pareciera que el proyecto A es superior al proyecto B. Pero veamos ahora que ocurre con el valor actual.Proyecto A:VAA = -PA + RA/ iVA A = -320 000 + 64 000/0.08 = $ 480 000Proyecto B:VAB = -2 000 000 + 240 000/0.08 = $ 1 000 000Desde este punto de vista se prefiere el proyecto B, y ésta es la decisión correcta pese que A tiene una TIR superior y una razón(beneficio-costo) también superior.

BIBLIOGRAFIA

1. BOLTEN E., Steven, “ Administración Financiera”, Edit. LIMUSA,

México, 1992

2. DE GARMO, Paul y Canadá, Johon, "Ingeniería Económica", Edit


3. GALLEGOS CERVANTES, Raúl, “Formulación y Evaluación de

Proyectos de Inversión, Edit. McGRAW-HILL, 1998.

4. RIGGS L., James, "Ingeniería Económica", Edit. Representaciones

y Servicios de Ingeniería, México, 1982.



ANEXO

1. CALCULO DE LA INFLACIÓNPara calcular la inflación es necesario conocer el Indice de Precio al Consumidor(IPC), dichos datos son proporcionados por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI).Ejemplo:Calcular la inflación anual para 1987IPC anual promedio de 1986 =

9 551.14IPC anual promedio de 1987 =

17 750.44

2. EVOLUCION DE LA INFLACION 1980 - 1999

AÑO INFLACION

AÑO INFLACION

1980198119821983198419851986198719881989

80.872.772.9

126.1111.6168.3

62.9114.5

1 722.3

2 776.3

1990199119921993199419951996199719981999

7,649.6

139.258.739.515.410.211.8

6.56.03.7

Ingeniería Económica

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