Iniciació a l’algebra

48
INICIACIÓ A L’ÀLGEBRA

Transcript of Iniciació a l’algebra

Page 1: Iniciació a l’algebra

INICIACIÓ A L’ÀLGEBRA

Page 2: Iniciació a l’algebra

Expressions algèbriques

• Una expressió algèbrica és una sèrie de lletres que representen nombres (valors que no coneixem).

• En el llenguatge matemàtic s’utilitzen moltes vegades les lletres com a substituts dels nombres.

• Cal tenir present:– Les lletres més utilitzades són: x i y ,

s’anomenen incògnites– El signe x el substituirem per un .

Page 3: Iniciació a l’algebra

Exemples d’expressions algèbriques

• La diferència de dos nombres:a –b

• El triple d’un nombre:3. x

• El quadrat d’un nombre:a2

• El cub de la suma de dos nombres :(a + b)3

Page 4: Iniciació a l’algebra

ExercicisEscriu les expressions algèbriques corresponents a les següents frases:- Un nombre més quinze:- Deu menys el doble d’un nombre:- El quadrat d’un nombre més el seu doble:- La suma d’un nombre i el triple d’un altre:- La meitat d’un nombre:- Les tres quartes parts d’un nombre:- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre:

Page 5: Iniciació a l’algebra

Solucions a l’exercici

- Un nombre més quinze: x + 15- Deu menys el doble d’un nombre: 10 – 2a- El quadrat d’un nombre més el seu doble: y2 + 2y- La suma d’un nombre i el triple d’un altre: a + 3b- La meitat d’un nombre: a/2- Les tres quartes parts d’un nombre: 3b/4- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre: 0,073 x

Page 6: Iniciació a l’algebra

Més exercicis

- El sou d’en Pere més 150€- El triple del sou d’en Pere menys 500€- El doble dels diners d’en Joan més 75€- El quàdruple d’una quantitat- El doble d’una quantitat més la

tercera part d’aquesta quantitat:- El resultat de dividir 200 entre el triple

d’una quantitat:

Page 7: Iniciació a l’algebra

Solucions

- El sou d’en Pere més 150€: x + 150- El triple del sou d’en Pere menys 500€: 3x - 500- El doble dels diners d’en Joan més 75€: 2y + 75- El quàdruple d’una quantitat: 4x- El doble d’una quantitat més la tercera part

d’aquesta quantitat: 2x + x/3- El resultat de dividir 200 entre el triple d’una

quantitat: 200 / 3y

Page 8: Iniciació a l’algebra

Igualtat

El triple d’un nombre més quatre unitats és igual a 10

Page 9: Iniciació a l’algebra

Exercicis amb igualtats

- El doble de la meva edat coincideix amb el triple de la teva:

- La quantitat x augmentada en 50 unitats és igual al doble de la quantitat de z

- La suma de dos nombres és 210- La diferència de dos nombres

desconeguts és 210:- Si restem 15 al doble d’un nombre

obtenim el mateix resultat que si dividim aquest nombre entre 3:

Page 10: Iniciació a l’algebra

Solucions- El doble de la meva edat coincideix amb

el triple de la teva: 2x = 3y- La quantitat x augmentada en 50 unitats

és igual al doble de la quantitat de z: x + 50 = 2z

- La suma de dos nombres és 210: x + y = 210

- La diferència de dos nombres desconeguts és 210: x – y = 210

- Si restem 15 al doble d’un nombre obtenim el mateix resultat que si dividim aquest nombre entre 3: 2x -15 = x/3

Page 11: Iniciació a l’algebra

Valor numèricEl valor numèric d’una expressió algèbrica és el nombre obtingut en substituir les lletres que hi apareixen per nombres determinats.

3x + 1 • Si x = 2 3 . 2 + 1 =7• Si x = 0 3 . 0 + 1 = 3• Si x = -1 3 . (-1) + 1 = -3 + 1 = -2• Si x = ½ 2

5

2

231

2

31

2

1.3

Page 12: Iniciació a l’algebra

TermesAnomenem terme d’una expressió algèbrica cada bloc de nombres i lletres separats pels signes de suma o resta

En aquesta expressió tenim 4 termes:

Cada terme pot tenir dues parts: coeficient i part literal

yxxxx 232 32

353

yxxxx 232 3,2

3,5,3

Page 13: Iniciació a l’algebra

Tenim la següent expressió algèbrica:a2 -2·a·b + 5

Tenim els següents termes: a2 , -2·a·b , 5a2 coeficient =1 ; part literal= a2

-2·a·b coeficient= -2; part literal=a·b5 coeficient= 5S’anomenen termes semblants els que tenen la mateixa part literal

-0,5·x3·y2·z5 i 2x3·y2·z5 Són expressions que tenen termes semblants, és a dir tenen la mateixa part literal

Page 14: Iniciació a l’algebra

Sumes i restes d’expressions algèbriques

La suma i la resta d’expressions algèbriques, només es poden sumar i restar els termes semblants.

Procediment:- Es sumen o resten els coeficients dels

termes semblants.- Es deixa la mateixa part literal

2a + 4a = a+a+a+a+a+a = 6a5x – 2x = 3x2a + 3b + 3a - b= 5a + 2b

Page 15: Iniciació a l’algebra

Exemple de suma i resta

Redueix la següent expressió algèbrica:4·x + 8·x·y + 5 + x – 2·x·y – 3 + 3·x=Busquem els termes semblants i sumem o restem segons el signe que tingui el terme:• 4x ; x ; 3x 4x + x + 3x =8x• 8xy ; -2xy 8xy -2xy = 6xy• 5 ; -3 5-3 =2 Per tant,4·x + 8·x·y + 5 + x – 2·x·y – 3 + 3·x = 8x + 6xy+ 2

Page 16: Iniciació a l’algebra
Page 17: Iniciació a l’algebra

Multiplicació d’expressions algèbriques

La multiplicació d’una expressió algèbrica sempre es pot efectuar encara que els termes no siguin semblants.

Procediment:• Multiplicarem els signes tenint en compte la regla dels signes• Multiplicarem els coeficients•Multiplicarem la part literal

– Recordatori: xm · xn = xm+n

Page 18: Iniciació a l’algebra

Exemples de multiplicacions

3a · 4a =4x2·2x=4x · 5y3 = -5x3 · 2x2= 2x · 3x4 · 10x3= -3xy · (-5y) = 10 y2 . 15 xy2 = 2 2

Page 19: Iniciació a l’algebra

Solució a l’exercici3a · 4a = 12a2

4x2·2x= 8x3

4x · 5y3 = 20 xy3

-5x3 · 2x2= -10x5

2x · 3x4 · 10x3= 60x8

-3xy · (-5y) = +15xy2

10 y2 . 15 xy2 = 150 xy4

2 2 4

Page 20: Iniciació a l’algebra

Propietat distributivaEncara que no hi hagi el signe de multiplicació, quan tenim un nombre davant d’un parèntesis, està multiplicant als termes de dins els parèntesis.Exemples:

4 (x + 5y) = 4x + 20y

a (b + c) = a·b + a·ca (b - c) = a·b - a·c2x (3x +x) = 6x2 + 2x2

Page 21: Iniciació a l’algebra

Practica la propietat distributiva

2 (x2 – 2x – 3)=

- 2x(x-4y) =

x (3x-5) =

4x (x-1) + 3x (2-x2)=

2x(x-5) - x2(1-2x2) =

2x (x – 5y) - xy(5x-4) =

3y(2y3-y2+4) + 4y2(y2 – 2y +1) =

Page 22: Iniciació a l’algebra

Solució a l’exercici2 (x2 – 2x – 3)= 2x2 – 4x – 6

- 2x(x-4y) = -2x2 + 8xyx (3x-5) = 3x2 - 5x

4x (x-1) + 3x (2-x2)= 4x2 + 4x + 6x – 3x3= 4x2 + 10x – 3x3

2x(x-5) - x2(1-2x2) = 2x2 - 10 x –x2 + 2x4 = x2 - 10 x + 2x4

2x (x – 5y) - xy(5x-4) = 2x2 -10 xy - 5x2y - 4xy =

2x2-14 xy - 5x2y

3y(2y3-y2+4) + 4y2(y2 – 2y +1) =

6y4 – 9y3 + 12y + 4y4 – 8y3 + 4y = 10y4 – y3 + 16y

Page 23: Iniciació a l’algebra

Factor comú

El factor comú és l’inversa de la propietat distributiva

5·a +5·b = 5 · (a + b)x + x2 = x · (1 + x)3x +3y + 3z = 3 ( x + y + z)6bx + 6by = 6b ( x + y)

Page 24: Iniciació a l’algebra

Exercicis de factor comúNivell 13x2 - 5x=4x2 + 4x=6x – 6x3=x2 - 2x4=2x2 - 10 x=5x2y + 4xy=4x2 - 4x - 6=2x2-10 xy=2x3y3 – x2y2 + 2xy=

Nivell25x2 - 10=4x2 + 9x=3x – 6x3=6x2-2x4=2x2-10 xy=12x2y + 15xy2=4x2 - 4x -6=6y4 – 9y3 + 12y=2x3y3 – x2y2 + 2xy=

Page 25: Iniciació a l’algebra

SolucióNivell 2

5x2 - 10= 5 (x2-2)

4x2 + 9x= x (4x + 9)

3x – 6x3= 3x (1 - 2x2)

6x2 - 2x4= 2x2 (3-x2)

2x2-10 xy= 2x (x – 5y)

12x2y + 15xy2= 3xy (x-y)

4x2 - 4x -6= 2 (x2 – 2x – 3)

6y4 – 9y3 + 12y= 3y(2y2-y2+4)

2x3y3–x2y2+x3y2=xy(2xy-1+x)

Nivell 1

3x2 - 5x= x (3x-5)

4x2 + 4x= 4x (x-1)

6x – 3x3= 3x (2-x2)

x2 - 2x4= x2(1-2x2)

2x2 - 10 x= 2x(x-5)

5x2y + 4xy= xy(5x-4)

4x2 - 4x - 6= 2(2x2-2x-3)

2x2-8xy= 2x(x-4y)

2x3y3 – x2y2 = x2 y2 (2xy-1)

Page 26: Iniciació a l’algebra

EquacionsAnomenen equació a la igualtat d’una expressió algebraica on apareixen lletres que representen nombres desconeguts.Incògnites: lletres que hi apareixenSolució: valor de la incògnita

x+6=10 Quin nombre sumat a 6 dóna 10? 43x=18 Quin nombre multiplicat per 3 dóna 18? 6x = 9 Quin nombre dividit per quatre dóna 9? 36 4

Page 27: Iniciació a l’algebra

Equacions equivalentsDues equacions són equivalents quan tenen la mateixa solució

2x + 30 =502x + 30 – 30 = 50 -30 2x = 202x + 30 = 50 i 2x=20 són equacions equivalents

Page 28: Iniciació a l’algebra

Resolució d’equacionsPer resoldre equacions: - Agrupa els termes semblants

7x +7 + x -21 = 35 +158x – 14 = 50

- Transformar l’equació on quedi els termes amb l’incògnita amb una banda de la igualtat i l’altra banda els termes sense incògnites 8x – 14 +14 = 50 +14 8x = 64

- Aïllar la incògnita8x = 64 x = 8 8 8

Page 29: Iniciació a l’algebra

Resolució d’equacionsPer resoldre equacions: - Agrupa els termes semblants

7x +7 + x -21 = 35 +158x – 14 = 50

- Transformar l’equació on quedi els termes amb l’incògnita amb una banda de la igualtat i l’altra banda els termes sense incògnites 8x – 14 = 50 8x = 50 + 148x = 64

- Aïllar la incògnita8x = 64x = 64 x = 64 x= 8 8

Page 30: Iniciació a l’algebra

Practiquem la resolució d’equacions

x = 10 – 4 +6 x + 5 =13x – 2 =82x = 12 x =8 23x + 4 =287x -2 =5 + 3x-x = 4 - 6

Page 31: Iniciació a l’algebra

Pas a pas – sumes i restes

El què està restant, passa sumant darrere de l'igual.

El què està sumant, passa a l'altre costat de l'igual restant.

                   

Page 32: Iniciació a l’algebra

Pas a pas – multiplicacions i divisions

El què està multiplicant, passa a l'altre lloc de l'igual dividint.

El què està dividint, passa a l'altre lloc de l'igual multiplicant.

Page 33: Iniciació a l’algebra
Page 34: Iniciació a l’algebra
Page 35: Iniciació a l’algebra

ExercicisSoluciona les equacionsx + 2x + 2x = 505x = 50 x = 50 = 10

54x + 18 = 44x = 4 – 12 4x = -1 x = - 1

4

Page 36: Iniciació a l’algebra

ExercicisSoluciona les següents equacions:2x + 4x = 24 5x − 3x = 8 7x + x = 56 9x + 3x – x = 22 3x − 2x + 8x = 27 4x + 6x = 100 11x − x − 2x = 8 x + x + x = 18 9x − 2x − 7 x = 51 6x − 2x + 8x = 60 9x − 4x = 45 20x − 13x = 56

Page 37: Iniciació a l’algebra
Page 38: Iniciació a l’algebra

Exercicis d’equacions5x + 2 = 42 resultat x = 89x - 4 = 18 + 7x resultat x= 11x + 3 + x - 4x = 51 resultat x= -245 + 5x = -10 x + 80 resultat x= 54x + 6 + x + 3x = 46 – 2x resultat x= 42a +15 + 3a = a -25 resultat a=-

10105 = 13x -64 resultat x= 1385 = 65 – 4x resultat x=-5 x = 4 resultat x=10025

Page 39: Iniciació a l’algebra

Anem més enllà5(x + 1) - 2 (x + 1) = 2 (x – 5) + 3 (x - 1)Apliquem la propietat distributiva:5x + 5 - 2x - 2 = 2x – 10 + 3x - 3Agrupem termes:3x + 3 = 5x -13Sumem o restem segons convingui:3x - 5x = - 13 - 3-2x = -162x=16x = 16 2x= 8

Page 40: Iniciació a l’algebra

Resolució de problemesCal seguir els següents passos:

- Triar la incògnita- Plantejar l’equació- Resolució de l'equació

- Comprovar la coherència del resultat

Page 41: Iniciació a l’algebra

Exemple 1En comprar un ordinador ens han fet un descompte de 180€. En total ens ha costat 710€. Quants euros valia l’ordinador sense el descompte?Incògnita: x import de l’ordinador sense descompteEquació x – 180 = 710x (preu ordinador) – 180€ (descompte)= 710€ (preu pagat)Resolució:x -180 =710x = +180 +710x = 890Preu original de l’ordinador: 890€Comprovació: En efecte, si el preu de l’ordinador i restem el descompte, obtenim el preu pagat: 890 – 180 = 710

Page 42: Iniciació a l’algebra

Exemple 2Calcula dos nombres enters consecutius en què la seva suma sigui 27.Incògnita: x un nombre

x + 1 el nombre consecutiuEquació x + (x +1) = 27Resolució:x + (x +1) = 27x + x + 1 =272x =27 -12x = 26 x=13El nombre serà el 13 i el seu consecutiu el 14Comprovació: Si sumem 13 + 14 en dóna 27

Page 43: Iniciació a l’algebra

Exemple 3Un terreny rectangular té una superfície de 600 m2, i un costat fa 30 m. Quant fa l’altre costat del terreny?

600 m2

30 m

Incògnita: x costat desconegutEquació 600= 30 · xÀrea= costat · costatResolució:600 = 30x-30x = -60030x = 600x = 600/30x = 20Costat desconegut = 20 mComprovació: En efecte, si multipliquem 30·20=600

Page 44: Iniciació a l’algebra

Àrees i perímetres

Rectangle:

A = b · aP = a + a + b + b = 2a

+ 2b

Quadrat:A = a · a = a2

P = a + a + a + a = 4a

Page 45: Iniciació a l’algebra

Àrees i perímetres

Romboide:A = a · hP = a + b + a + b = 2a

+2b

Rombe:A = D1 · D2

2

P = a + a + a + a = 4a

Page 46: Iniciació a l’algebra

Àrees i perímetresTriangle:A = b · h 2Ptriangle escalè = a + b + c

Ptriangle isòcels = a + a + b = 2a + b

Ptriangle equilater = a + a + a = 3a

Page 47: Iniciació a l’algebra

Àrees i perímetres

Trapezi:

A = (c + a ) · h2

P = a + b + c + d

Page 48: Iniciació a l’algebra

Problemes d’àrees i perímetres

Si sabem que el perímetre d’un quadrat és de 20m. Quant val el costat del quadrat? Solució: 5m

Calcula quant mesura el perímetre d’un triangle equilàter, si sabem que la seva altura és 6 i la seva àrea 24m2?Solució: 8m de costat i el perímetre 24m

L’amplada d’un rectangle és 5 unitats més que la seva alçada. Sabent que el perímetre és de 50m. Quant val la seva alçada?Solució: 10m