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dtdy

.yF

dtdx

.xF

dtdz

Una tienda de pintura vende dos marcas de pintura plástica .Los cálculos de ventas indican que si la primera marca se vende a x dólares el galón y la segunda a y dólares el galón ,la demanda de la primera marca será galones por mes. Se estima que dentro de t meses el precio de la primera marca será de dólares el galón y el precio de la segunda marca será de dólares el galón. ¿A qué ritmo estará cambiando la demanda de la primera marca de pintura dentro de 9 meses?

yxyxQ 2010200),( 2

tx 02.05

ty 4.06

dt

dy

dy

dQ

dt

dx

dx

dQ

dt

dQ

)1

)(2

1)(4.0)(20()02.0)(20(

tx

dt

dQ

tx

dt

dQ 44.0

tt

dt

dQ 4)02.05(4.0

Aplicamos la fórmula :

yxyxQ 2010200),( 2

9

4))9(02.05(4.0

dt

dQ

3

4)18.5(4.0

dt

dQ

7386.0dt

dQ

Para t =9:

Dentro de 9 meses la demanda mensual de pintura de la primera marca estará decreciendo al ritmo de 0.7386 pinturas por mes.

Un comerciante de bicicletas ha encontrado que si las bicicletas de 10 velocidades se venden a x dólares cada una y el precio de la gasolina es de y centavos por galón ,se venderán cada mes aproximadamente

bicicletas . Se estima que dentro de t meses las bicicletas se venderán a 129 + 5t dólares cada una y el precio de la gasolina será de centavos por galón . ¿A qué ritmo estará cambiando la demanda mensual de bicicletas dentro de 3 meses?

2/3)51.0(4\24200),( yxyxf

t31080

Desarrollo:Precio actual de cada bicicleta =xPrecio actual de la gasolina por cada galón

=ySe venderán:

2/3)51.0(424200),( yxyxf

Dentro de “t” meses:

Precio de cada bicicleta dentro de t meses:

Precio de la gasolina por cada galón dentro de t meses:

Piden:

dt

dy

dy

df

dt

dx

dx

df

dt

df

tx 5129

ty 31080

)3

1)(2

1)(10)(1.0()51.0)(

2

3(4)5)(

1

2

124( 2/1

ty

xdt

df

)3

5)(51.0(6.0)

60(

ty

xdt

df

t

y

tdt

df

3

51.03

5129

60

                                                 

                                                 

                        

)3(3

5)110(1.03

)3(5129

60

dt

df

3

163

144

60

dt

df

1dt

df

Evaluando para t=3 meses :

En una cierta fábrica, la producción es de unidades ,donde K representa el capital invertido medido en unidades de 1000 dólares y L el tamaño de la fuerza de trabajo medido en horas-trabajador. El capital actualmente invertido es de 400,000 dólares y se usan actualmente 1,000 horas-trabajador. Use la diferencial total Q para estimar el cambio en la producción que resultará si el capital invertido se aumenta en 500 dólares y el trabajo se aumenta en 4 horas-trabajador.

3/12/1120 LKQ

3/12/1120 LKQ

400K 100L

4

5.01000

500

L

K

LdL

dQK

dK

dQQ

Aplicando Fórmula de Aproximación: Si ∆x representa un pequeño cambio en x y ∆y

un pequeño cambio en y, el cambio correspondiente en z es

LLKKLKQ 3/22/13/12/1 )3

1(120)

2

1(120

LLKKLKQ 3/22/13/12/1 4060

)4()1000()400(40)5.0()1000()400(60 3/22/13/12/1 Q

47Q

Reemplazamos:

Esto es, la producción aumentará en aproximadamente 47 unidades.

La producción de una cierta fábrica es de

unidades por día , donde x es el número de horas usadas de trabajo no experimentado. Actualmente se usan cada día 80 horas de trabajo experimentado y 200 horas de trabajo no experimentado. Utilice la diferencial total de Q para estimar el cambio que resultará en la producción si se usa ½ hora adicional de trabajo experimentado junto con 2 horas adicionales de trabajo no experimentado.

22 03.012.008.0),( yxyxyxQ

22 03.012.008.0),( yxyxyxQ

2

5.0

y

x

ydy

dQx

dx

dQQ

x =80y =200

Habrá un aumento de 61.6 unidades en la producción

))(06.012.0()12.016.0( yyxxyxQ

)2)](200(06.0)80(12.0[)5.0)](200(12.0)80(16.0[ Q

6.61Q

El beneficio diario de un tendero por la venta de dos marcas de zumo de naranjas es de :

centavos, donde x es el precio de cada lata de la primera marca e y es el precio de cada lata de la segunda. Actualmente la primera marca se vende a 50 centavos la lata y la segunda a 52 centavos la lata. Use la diferencial total de P para estimar el cambio en el beneficio diario que resultará si el tendero sube el precio de la primera marca en un centavo por lata y el precio de la segunda marca en dos centavos por lata.

)7680)(40()4570)(30(),( yxyyxxyxP

)7680)(40()4570)(30(),( yxyyxxyxP

x : precio de cada lata de la primera marcay : precio de cada lata de la segunda marca

x =50 y =52

2

1

y

x

ydy

dPx

dx

dPP

)6)(40()5)(30()4570( yxyxdx

dP

)7)(40()7680)(1()4)(30( yyxxdy

dP

yyyxx

xyxyxP

)]7)(40()7680)(1()4)(30[(

)]6)(40()5)(30()4570[(

24P

Reemplazando valores:

Habrá un beneficio diario de 24 centavos