Inicios en Matemáticas

NCCEP - UT Austin

Más Álgebra

con algo de Geometría

(1) En el Navigator, open Frac.act(2) Los estudiantes contribuyen con fracciones

que están:(1) Entre las fracciones dadas.(2) Más cerca de alguna de estas

fracciones.(3) Equivalente a una fracción dada

(recta de arriba)(3) Repetir 1 y 2 con decimales(4) Discutir la relación entre fracciones y

decimales(1) ¿Qué significa decimal equivalente?(2) ¿Todas las fracciones tienen

decimales equivalentes?(3) ¿Todos los decimales tienen

fracciones equivalentes?(4) Compare el uso práctico de notación

entre fracciones y decimales (¿cuándo es más conveniente utilizar uno y otro?)

(5) ¿Qué son los números irracionales? Π / 9 es un número entre 1/2 y 1/4. (a) Encuentre fracciones que estén

cercanas a este valor; (b) Encuentre decimales cercanos a este valor; (c) Estas son aproximaciones: En algún momento, ¿podríamos representar exáctamente qué tan “lejos” están estas aproximaciones en notación decimal? ¿En cualquier otra notación?

ACTIVIDAD:

Comparando Fracciones

(1) Utilice el ZOOM abriendo (o cerrando) para identificar o examinar contribuciones

(2) Si quiere enviar la nueva configuración a las calculadoras, DETENGA la actividad de nuevo. Si NO quiere que los estudiantes pierdan su trabajo, cambie la configuración para que los estudiantes inicien con “Ecuaciones de la Calculadora” ANTES DE COMENZAR.

(3) Los estudiantes pueden salirse del Centro de Actividades para utilizar la calculadora y después entrar de nuevo

CONFIGURACIÓN:

(1) En el Navigator, abrir FracX.act(2) Los estudiantes pueden enviar rectas que

estén:(1) Entre las rectaas dadas (con la misma

intersección)(2) Más cercanas a una de las rectas(3) Rectas con pendientes equivalentes a

una recta (recta de arriba)(3) Repetir 1-2 con decimales(4) Discutir utilizando ideas sobre funciones

(1) Regiones en las que una recta [f(x)] está “arriba” de la otra [f(x)>g(x)], ¿Está siempre arriba? ¿En qué región son iguales las dos rectas? [f(x) = g(x)]

(5) Acercamiento a través del zoom. Agregue la Cuadrícula. (1) Pregunte si las rectas con pendientes - por

ejemplol, de 1/2, en algún momento pasarán por un lugar en el que cruzan la cuadrícula horizontal y vertical? ¿Pueden predecir algunos de estos lugares? Se puede acercar a estos lugares al ajustar la configuración de los ejes.

(2) Regrese a la escala original y pregunte si la recta con pendiente π/9 toca alguna de las intersecciones de la cuadrícula en algún lugar.

(3) Pida a los estudiantes que contribuyan con pendientes cuyos valores estén entre los valores de las pendientes de las rectas dadas, pero que no toquen las intersecciones de la cuadrícula (¡nunca!). Anteriormente podría preguntar acerca de otros números racionales

importantes (raíz cuadrada de 2, e, etc.)

ACTIVDAD:

Fracciones y Pendientes

(1) Utilice el ZOOM abriendo (o cerrando) para identificar o examinar las contribuciones

(2) Si desea enviar la nueva configuración a las calculadoras, PARE la actividad y luego INICIE la actividad de nuevo. Si NO desea que los estudiantes pierdan su trabajo, cambie la configuración para que los estudiantes inicien con “Ecuaciones de la Calculadora” ANTES DE COMENZAR.

(3) Los estudiantes pueden salir del Centro de Actividades para utilizar la calculadora y después entrar de nuevo

CONFIGURACIÓN:

Puntos en la Cuadrícula

(1) Abra el archivo GridwLines.act(2) Pida a los estudiantes que introduzcan los

valores de x y y (en L1 y L2) correspondientes a los puntos de una función lineal [e.g. Y=3/4x] y que se encuentren en la intersección de la cuadrícula (ver recta blanca a continuación)

(3) Ahora, introduzca una función que pase por todos los puntos.

(4) Reto mayor:(1) Funciones lineales con ordenada

al origen ≠0 (Y1=3/4x +2)(2) Utilice pendientes negativas (Y1=-

3/4x)(5) Cambie la cuadrícula para que la distancia

sea de 0.5 (preferencias)

ACTIVIDAD:

(1) Tabulador Lista-Gráfica(2) Utilice el ZOOM para incluir todos los valores

CONFIGURACIÓN:

Paralelas y Perpendiculares

(1) Abra el archivo Para.act(2) Paralelas

(1) Envíe todas las líneas que sean paralelas a una recta dada

(2) Observe las respuestas de los estudiantes y discuta los patrones emergentes y áreas de oportunidad

(3) ¿Pueden expresar el valor de la pendiente utilizando decimales?

(3) Perpendicular - Abrir Perp.act(1) Envíe rectas que sean perpendiculares

a una recta dada(2) Discuta los patrones que se observan(3) Los alumnos ¿pueden expresar la

pendiente de la perpendicular utilizando decimales? ¿Otros enteros?

(4) ¿Cuál es la pendiente de la recta perpendicular a todas las rectas que han enviado?

ACTIVIDAD:

(1) Tabulador Gráfica-Ecuaciones(2) Utilice el ZOOM para mostrar todas las

ecuaciones

CONFIGURACIÓN:

Paralelogramos y Rectángulos

(1) Abra PGram.act(2) Paralelogramo

(1) Pida a los estudiantes que utilicen rectas paralelas (no horizontales) para que construyan y contribuyan con un paralelogramo. [Nota: realce 4 rectas de los estudiantes a la vez]

(2) Ahora construya un paralelogramo en el tercer cuadrante

(3) Rectángulo(1) Pida a los estudiantes que

utilicen rectas paralelas (no horizontales) para construir un rectángulo.

(2) Ahora construya un rectángulo en el segundo cuadrante

(3) ¿Pueden dibujar un cuadrado?

ACTIVIDAD:

(1) Esconda todas las funciones y posteriormente resalte (muestre) de Y1 a Y4 para algún estudiante.

(2) Utilice el Zoom abierto o cerrado para encontrar ejemplos extremos

CONFIGURACIÓN:

Resolviendo (es Igual a)

(1) Abra el archivo Solving.act(2) Empiece con lo siguiente:

2x - 1 = x + 2set Y1 = 2x - 1 (el lado izquierdo)Y2 = x + 2 (el lado derecho)

(3) Ahora pida a los estudiantes que continúen hacia la resolución de:(2x -1 ) + 1 = (x + 2) + 12x = x + 3Introduzca cada “lado” para Y3 y Y4:Y3 = 2xY4 = x + 3

(4) Continúe hasta que quede la “solución”Y5 = xY6 = 3

(5) Resalte una recta vertical en x = 3, ¿qué podemos observar?

(6) Resalte en grupos de 4

(7) Reto:*Pida a los estudiantes que contribuyan con otras ecuaciones para que tengan la misma solución que el sistema de ecuaciones original (x = 3)• Pregunte cómo obtuvieron estas otras ecuaciones.• Pida que contribuyan con Y1-Y6, como se mostró anteriormente.¿Qué similitudes hay? ¿Estos patrones también serían válidos para otros ejemplos?

ACTIVIDAD:

(1) Utilice x= para dibujar rectas verticales

(2) Utilice la configuración “Esconder” y después resalte este grupo de rectas.

CONFIGURACIÓN:

Sin Resolver

(1) Abrir archivo UnSolv.act(2) Opción 1: Pida a los estudiantes que trabajen

sólo con la calculadora (salirse del Navigator) y que introduzcanY1 = x - 1Y2 = -2x + 8Ahora presione 2nd + Quit para llegar a la

pantalla inicial. Presione 2nd + PRGM, para ir a 4:Vertical y presione ENTER. Ahora escriba 3 y ENTER.

Pida a los estudiantes que hagan algo creativo a “los dos lados” y que introduzcanY3 = x * (x - 1)Y4 = x * (-2x + 8)Regrese a la pantalla inicial y vuelva a dibujar

la línea vertical, ¿qué se observa?Ahora pida que se registren en la red y que

envíen (SEND) Y1 a Y4. Discutir.Opción 2: Haga lo mismo que en la opción anterior pero

en lugar de dibujar una línea vertical, examine las rectas (Y1 a Y4) de los estudiantes.

(3) ¿Por qué cuando “hacemos lo mismo a ambos lados” sigue funcionando? ¿Las funciones son las MISMAS que las funciones originales? ¿qué SÍ permanece constante?

ACTIVIDAD:

(1) X = input(2) Utilice el ZOOM para encontrar las intersecciones en x = 3

CONFIGURACIÓN:

Resolviendo Sólo Un Lado

(1) Abrir archivo Solv3-2.act (2) Pida a los estudiantes que

encuentre los valores x y y (resolver) para los que la siguiente comparación es verdadera: x - 1 = -2x + 8 (hay muchas formas en las que se puede llegar a este punto)

(3) Pida a los estudiantes que hagan una “estrella” con rectas que intersecten en (3,2)

(4) Ahora pida que introduzcan x - 1 ó -2x + 8 en Y1. Seleccione cualesquiera otras rectas que pasen por 3,2 y que se introduzcan en Y2. Pida que resuelvan el sistema (ver Inicio: Resolviendo) [Y1 a Y6]

(5) PERO al cambiar SÓLO UNA de las rectas NO hicimos lo mismo en ambo lados (¿?) Entonces, ¿tenemos siempre que hacer lo mismo a los dos lados?¿Por qué funciona? ¿Por qué es adecuado no hacer lo mismo a ambos lados de la ecuación?

ACTIVIDAD:

(1) Dibuje una línea vertical utilizando X= input.(2) Utilice ZOOM para incluir todos los puntos

CONFIGURACIÓN:

Encontrando las Raíces

(1) Abrir archivo Roots.act(2) En Y1 a Y5, pida a los estudiantes

que introduzcan funciones lineales que pasen por el punto (-4,0) y de Y6 a Y10 funciones lineales que pasen por (4,0). (Verifique al graficar).

(3) Ahora pida a los estudiantes que envíen sus funciones. Discuta los patrones que se observan y pida que se llenen las regiones que quedaron abiertas. Pida que escriban por lo menos 5 funciones lineales nuevas para cada lado.

ACTIVIDAD:

(1) Ordene las ecuaciones por Nombre (Y1, Y2, etc.). Resalte de Y1 a Y5 y esconda las demás. Repita para Y6 a Y10.

CONFIGURACIÓN:

Raíces de Cuadráticas

(1) Abrir (o continuar con) Roots.act(2) Utilice las rectas generadas en la Actividad:

Encontrando Raíces, y pida a los estudiantes que encuentren la combinación de rectas que multiplicadas cumplan con lo siguiente:

[a] Una parábola cóncava (hacia arriba) que pase por el eje sólo en el punto de la izquierda

[b] Una parábola convexa (hacia abajo) que pase por el eje sólo en el punto de la izquierda

[c] Una parábola cóncava (hacia arriba) que pase por el eje sólo en el punto de la derecha

[d] Una parábola convexa (hacia abajo) que pase por el eje sólo en el punto de la derecha

[e] Una parábola cóncava (hacia arriba) que pase por el eje en ambos puntos, el de la izquierda y el de la derecha

[f] Una parábola convexa (hacia abajo) que pase por el eje en ambos puntos, el de la izuqierda y el de la derecha.

Pida a los estudiantes que introduzcan las rectas originales en Y1 y Y2; después, que introduzcan el producto de las rectas (utilizando paréntesis) en Y3. Ahora, pida que simplifiquen Y3 en una ecuación cuadrática y que la introduzcan en Y4.

Y1 = x + 4Y2 = -x + 3Y3 = (x + 4) (-x + 3)Y4 = -x^2 - x + 12

Envíe estas ecuaciones al espacio común.

Si ya estudiaron la forma canónica de cuadráticas, pida a los estudiantes que la utilicen en Y4. ¿Qué observan?

ACTIVIDAD:

(1) Cambie la escala del eje vertical para poder observar mejor las parábolas.

(2) Utilice el ZOOM

CONFIGURACIÓN:

Geometría (Cabri Jr) and Actividades del Navigator

Utilizando el Centro de Actividades y la opción de

Capturar Pantallas

Invarianza del Área para Triángulos, Paralelismos y Más…

(Una Interpretación en Geometría Dinámica de1/2 b * h)

actividad

(1) Mover sólo UN vértice para encontrar las coordenadas x,y para las cuales el área se queda constante. (2) Enviar los puntos (en la segunda calculadora) dentro del Centro de Actividades. Introducir los puntos (en la segunda calculadora) dentro del Centro de Actividades (3) ¿Qué observan? (4) ¿Cómo se puede verificar? (e.g., Utilice la opción de ecuación en Nav para ver si las rectas son paralelas[misma pendiente])

(1) Mueva sólo UN punto distinto al punto animado hasta llegar a donde el área permanece constante. (2) Utilice la opción de Capturar Pantallas de la CLASE en Nav para motivar la discusión. (3) ¿Cómo podemos verificar? (e.g., Utilice Cabri Jr. Localmente para medir ángulos interiores alternos, etc. O BIEN, Incluya la imagen como fondo en el Centro de Actividades y verifique las pendientes).

(1) Mueva UNO ó más puntos de los que no están animados hasta llegar a donde el área permanece constante, después DETENGA la anicación cuando el valor de Área/Perímetro*10 sea el máximo. (2) ¿Qué se observa? (3) ¿Cómo podemos verificar?

ACTIVIDAD 1:

ACTIVIDAD 2:

ACTIVIDAD 3:

TRIANIM0

TRIANIM1

TRIANIM2

Más sobre Invarianza de Área y Perímetro

Actividades de la Suma de Partes

ACTIVIDAD 0:

(1) Abrir PARTS1 y anotar el Área y Perímetro (2) Dibujar un SEGMENTO desde algún lugar del triángulo a otra parte del triángulo (que no sea sobre el perímetro) (3) Medir las PARTES de esta figura cuya SUMA sea el mismo valor del ÁREA o PERÍMETRO (4) Mover los puntos

ACTIVIDAD 1:

Actividades de Suma de las Partes

(1) Abrir archivo nuevo (2) Dibujar un segmento, un triángulo y un cuadrilátero. (3) Borrar todo (Clear all) (4) Dibuje un segmento y después dibuje un triángulo en el que uno de sus lados es este segmento. (5) Dibuje un cuadrilátero en el que uno de los lados corresponde a uno de los lados del triángulo (6) Opcional: Mida el área y la longitud

Puede ser que necesite repetir esta actividad para obtener la SUMA de Partes

Cómo Calcular (i.e. Sumas)