INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA TABASCO

INTEGRANTE:

HIPOLITO SOSA MARTINEZ

MAESTRA: M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO

MATERIA :INESTIGACION DE OPERACIONES

MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERAS

En la vida diaria es frecuente enfrentar situaciones en las que el cliente debe esperar para recibir un servicio o una mercancía

Introducción Ejemplos

Como pagar la cuenta en un supermercado la espera en la gasolinera para recibir el combustible etc.

Estos casos suceden debido a que un negocio no puede tener una capacidad ilimitada para atender al total de sus clientes

Cualquier empresa que desee que desee tener éxito deberá vigilar atentamente este aspecto .

Las empresas lideres en el ámbito de los servicios que son el sector que ha proliferado de manera notable en este comienzo del tercer milenio ,han prestado gran atención alas filas de esperas

La teoría de líneas de espera , ala que también se le conoce teoría de colas

Inicio al principio del siglo

xx

Con el ingeniero danés A.K.Erlang quien trabajaba en una compañía telefónica en que comenzó a estudiar la espera de los clientes

que solicitaban una llamada para ser atendidos .

MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERAS

Por esta misma razón los bancos y otras instituciones

han colocado tv u otros medios para que el cliente pueda

distraerse.

A si mismo los hoteles han

puesto juntos a sus elevadores espejos en los que el cliente

puede observar mientras espera que el elevador este disponible

para transportarlo.En fin, todo aquellos que

contribuya a que el cliente se sienta mejor

Es parte misma de un

buen servicio, y en el caso de la

espera la ansiedad que

pueda experimentar el cliente es sinónimo de un mal servicio.

TERMINOLOGIA

Términos para la mejor compresión del texto (Davis y

Mckeown, 1986Patrón de llegada

Frecuencia de llegada de los clientas el

negocio, de finido por el tiempo que

transcurre entre la llegada de un cliente y el sig. . Este patrón de llegada puede ser

determinístico o probabilístico, siendo mas frecuente en la

vida real.

Patrón de servicio

Es el tiempo de servicio , es decir,

el tiempo que ocupa un servidor para atender un

cliente este patrón puede ser

determinista o probabilísticos ,sie

ndo este el mas actual.

Disciplina de la línea de esperaOrden en que se

atiende a los clientes la mayoría de veces el orden

manejado es el 1r0 en llegar , 1ro en

ser atendido, ya que es el mas justo y sinónimo de un

buen servicio ala vez.

Capacidades del sistema

Es el numero de máximo de clientas

que pueden estar en el negocio, ya se en la

línea de espera o siendo atendidos .

Numero de clientes que hay en el negocio en un momento dado cualquier , ya se en

espera o siendo atendido

Estado del sistemas

Longitud de la línea de espera

Numero de clientes que hay en línea de

espera

Abandono

Es cuando en cliente que esta en ala línea de espera sale de ella y deja el establecimiento

Rechazo

Situación que se presenta

cuando un cliente que llega

al negocio no entra

Característica de las líneas de esperaLas líneas de espera suelen

caracterizarse bajo el sistema de notación de Kendall. V/W/X/Y/Z (13.1)Donde:V= Patrón de llegada de los clientes.W= Patron de servicio.X=Numero de servicio.Y=Capacidad del sistema.Z=Disciplina de la línea de espera.

TERMINOLOGIA

Características de una línea de espera respecto de los patrones de llegada y

servicioLiteral significado

D DeterministaM Distribución probabilística markoviana

Ek Distribución de Erlang

G generalDonde la determinista se aplica para aquellos casos en que se conoce

con toda precisión el tiempo de llegada de

los clientes o el tiempo de servicio

La distribución markoviana llamada así

por en honor al matemático ruso andrei

Markov

En cuanto al numero de servidores, que es el tercer parámetro

en la notación de Kendall, solo se

especifica por un numero que

corresponde al de servicio del sistema

El sig. parámetro es la capacidad del sistema, que en la

mayoría de las ocasiones es

infinitaEl ultimo parámetro

se refiere ala disciplina dela línea

de espera

La forma de estas distribuciones es la sig.(Kaufmann,1970):

DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

Donde:

P(n: A)= probabilidad de que haya sucesos de una muestra

cuyo promedio es An= numero de sucesos

A= Numero promedio de sucesos de la muestra

(13.2)

Si los sucesos son las llegada de los clientes a un negocio, cuando el

promedio de llegadas es de 10 por hora, entonces la probabilidad de que lleguen cuatro clientes por hora será conforme a la formula

13.2

Figura 13.2 grafica de la distribución e probabilidad de poisson para = 2

Esta distribución de probabilidad es discreta y una representación

grafica de la misma se muestra en la

figura 13.2

Supone 4 situaciones:a) Las llegada de los clientes son independiente entre sob) Las llegadas son independientes del estado del sistema

c) Las llegadas son sucesos sin memoria, es decir, no depende de eventos anteriores

d) Las llegada solo dependen del lapso de tiempo una y otra

Para casos A=2 estas distribución es muy utilizada para

representar llegadas aleatorias de clientes a un

sistema de línea de espera .

DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL NEGATIVA

Se utilizan cuando los tiempos de servicios son aleatorios para una línea de espera cuyas llegadas se

representan por una distribución de poisson La distribución exponencial negativo es al igual que la anterior para eventos sin

memoria. A diferencia de la distribución de poisson, la exponencial negativa es

continua, siendo su ecuación la sig.

f(t)=µ Exp ( -µt) (13.3)

f(t)=Valor de la

función exponencial

negativat

Tiempo de servicio

µ Tasa de servicio (inversión del

tiempo promedio de

servicio).

Esta relación entre llegada se

representa por una distribución de

probabilidad hace llamarles

distribuciones duales ( hillier y

Lieberman, 1991)

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL NEGATIVA

si esta ecuación se integra entre los limites de tiempo de cero a T, se observa la probabilidad de que el servicio sea dado en lapso de tiempo menor o igual a T , que viene dada por la sig. Expresión.

(13.4)

Por tanto, la probabilidad de que el servicio se brinde en un tiempo mayor que T será el complemento de esta ultima probabilidad. Es

decir:

(13.5)

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL NEGATIVA

EJEMPLO

Por ejemplo, para el caso de una tasa de servicio de ocho clientes por hora, la probabilidad de que el tiempo de servicio sea mayor de

6 min, es decir, 0.10h, será conforme a la ecuación 13.5

𝑝 (𝑡>0.10 )=𝐸𝑥𝑝 [− (8 ) (0.10 ) ]=0.4493

COSTO DE UN SISTEMA DE LINEAS DE ESPERA

El costo de cualquier sistema de líneas de espera se compone de dos partes

Costo del servicio

Costo de la espera

Que puede ser fácilmente obtenido por el

departamento contable del negocio

Que en la gran mayoría de las ocasiones es muy difícil

de ser cuantificado

El costo de cualquier sistema de líneas de espera se compone de dos partes

Costo del servicio

Costo de la espera

Que puede ser fácilmente obtenido por el

departamento contable del negocio

Que en la gran mayoría de las ocasiones es muy difícil

de ser cuantificado

La representación grafica de estos costos se muestra en la figura donde puede

apreciarse que el costo de espera disminuye al aumentar la tasa de servicio, mientras

que el costo del servicio aumenta de modo lineal (Gallagher y Watson, 1992).

MODELOS DE LINEAS DE ESPERA

En esta sección se representan algunos de los modelos mas usuales

de líneas de espera

Que son el D/D/1, D/D/S, M/M/S,M/G/1, Y EL M/D/1.

Modelo D/D/1En este

modelo tanto el patrón de

llegadas como el de servicio se conocen

exactamente y hay solo un

servidor.Este tipo de situación

se representa en raras ocasiones, como en el de revisiones medicas,

departamentos de inspecciones de la

calidad en las empresas y otros

(Ackoff y Sasienni, 1979)

Es muy parecido al

anterior con la variante de

que ahora hay varios

servidores ,cada uno de los cuales da el servicio a los

clientes .

Modelo D/D/S

Modelo M/M/S

Este modelo es igual al anterior

excepto en el tercer

parámetro, ya que ahora se

tendrá S.

Modelo D/D/1

FORMULA

(13.6)

= Numero promedio de clientes en espera

Xi = Numero individual de clientes en espera

Ti = Tiempo que hubo Xi clientes en espera

n = Numero máximo de clientes en espera

Modelo M/M/S

las formula descriptiva de las características del sistema son mas

complicadas que las del modelo anterior el factor de utilización del

sistema , vendrá dada por :

(13.17)

Por su parte la probabilidad de que el

sistema este vacío será;

(13.18)

La probabilidad de que el sistema este

ocupado, Ps0, ocurrirá cuando el numero de clientes en el sistema n, sea mayor o igual que

s, y se puede obtener con la sig.

formula

(13.19)

El numero promedio de

clientes en la línea de espera , será;

(13.20)

Por su parte el numero promedio de clientes en el sistema L vendrá dado por:

L= (13.21)

𝜌

la probabilidad de que un

cliente pase un tiempo que t en el sistema será:

(13.22)

ELEMPLO M/M/S Un banco cuenta con 3 cajas en servicio, atendidas cada una de ellas por un servidor. Cada caja

tiene su propia línea de espera, pero un ingeniero que es amigo del gerente del banco le ha sugerido que seria mejor si hubiese una sola línea de espera, en la que se formasen todas los

clientes que van al banco, para de allí ser atendidos luego por alguno de los 3 cajeros, quienes atenderán a la línea de espera. Si la tasa promedio de llegada de los clientes en días normales es de 36 por hora y la tasa media de servicio de cada servicio es de 15 clientes por hora, lo que hace un tiempo promedio del servicio de 4 min por clientes, ¿será razonable lo que el ingeniero

propone al gerente?

] (13.23)

Y la probabilidad de que el cliente pase un tiempo igual o mayor que t en el sistema será

Solución: como el banco funciona hoy puede considerarse como tres sistemas idénticos de la líneas de espera del tipo M/M/1 en paralelo, con = 36/3=12 clientes/h en cada fila. Entonces las características de cada uno de estos sistemas se calcula con las ecuaciones 13.7 a 13.14

para obtener:

L =

𝑤𝑞=𝐿𝑞

λ=3.2012

=0.267 h=16𝑚𝑖𝑛

𝑝=λ𝑠𝜇=

12(3)(15)

=0.80

Donde la sumatoria será;

Con lo cual Po será;

Entonces Ps0 es:

Por su parte, los restante parámetros son :

L=3.236+2.4 clientes en el sistema

Por su parte , L será :L=Lq +p=1.60+0.80=2.40 clientes

Mientras el tiempo

LINEÁS DE ESPERA DE COSTO MINIMO

Cuando en un sistema de líneas de espera se conoce

el costo de la espera, es posible minimizar el costo

total, que estará integrando por el costo de

la espera mas el del servicio a los clientes.

Buscando con esto optimizar las

operaciones de la empresa, o sea,

encontrar la tas optima de servicio para la cual se minimiza el costo del

sistema(Davis y Mckeown. 1986).

Estos casos suceden en realidad en los sistemas de carga de mercancía, como

puede ser el caso de barcos, aviones ,

contenedores, etc. ya que el costo que representa el

que este tipo de transformación se incluyen

clausulas de cobro tarifarios por la demora de

la carga La compañía de naranjas de rio verde produce naranjas de alta calidad mediante un proceso de maduración, Lavado y pintada de la fruta, para luego enviarla a diferentes

partes del país. El servicio de transporte de la fruta lo tiene contratado con flotes potosinos. Los servicios que hacen son aleatorias, por lo que se considera se

programan envíos de naranja bajo una función poissoniana de probabilidad con una media de tres camiones por día. La empresa solo tiene estación de carga, que la lleva a cabo estibadores que son empleados de la propia compañía, quienes ganan $ 150 por

turno de 8h y cada uno tarda en cargar un camión 6h. El tiempo de carga de los camiones se considera que sigue una distribución normal con madia de 6h y

desviación estándar de 1h. El contrato con la compañía transportista señala que la empresa debe pagar a esta por la demora en la carga $800 diario por cada camión.

¿Cuántos estibadores deben utilizar la empresa si trabaja un solo turno diariamente, a fin de minimizar su costo total de pago a los estibadores mas el pago por demora

Solución : el sistema de la línea de espera es la estación de carga, los camiones son las clientes, los estibadores son los servidores y se supone que cada estibador

carga un camión por las características del sistema, puede aplicarse el modelo M/G/1, ya que el tiempo de servicio se comporta conforme a la curva normal de

probabilidad.

El costo total se compondrá por el costo de carga, que es el pago de los estibadores mas el de demostrar, que se le paga a la compañía transportista,

es decir:

Costo total=costo de estibadores +costo por demoras

A su vez el costo de estibado será:

Costo de estibado =150N$/días

Siendo n el numero de estibadores asignado alas maniobras de carga

Costo por demoras = 800L$/Día

Donde l es el numero de camiones en el sistema dado por la ecuacion13.25

Con fines ilustrativos se efectuara este procedimiento de

calculo para el caso particular de n=3

Si N es 3, u es 1.33N, en este caso 4, ya que cada estibador carga en promedio

1.33 camiones por turno

Entonces el factor de utilizacion del sistema(p)

será:

La desviación estándar p es 1 h, es decir, de día, pues solo hay un turno diario, por tanto al aplicar la

ecuación 13.24, se obtendrá:

𝐿𝑞=λ2𝜎2+𝜌22 (1−𝜌 )

=320.1252+𝑂 .752

2(1−𝜌 )=1.406𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

𝐿=𝐿𝑞+𝜌=1.406+0.75=2.156