1

2n de Batxillerat jvsirerol

INSTRUMENTS ÒPTICS

Telescopi astronòmic Hubble, el nom és en honor al gran astrònom americà Edwin Hubble.

2

INSTRUMENTS ÒPTICS L’ULL HUMÀ L’ull humà té una forma quasi esfèrica d’uns 2,5 cm de diàmetre. Destaca principalment per tenir una lent, el cristal·lí, que pot modificar la seva distància focal i enfocar sobre la retina, que és la part de l’ull fotosensible i on es recullen les imatges. Sobre la retina hi ha una taca groga que es diu fòvea, que és on hi ha el major número de cèl·lules fotosensibles i, en particular, les que tenen major capacitat de captació del color, els cons. L’ull humà normal pot enfocar objectes que poden estar des de l’infinit fins a una distància pròxima d’uns 25 cm. D’això se’n diu acomodació. L’acomodació es produeix gràcies a la seva lent, el cristal·lí, que és matèria orgànica i no un vidre fixe, pot modificar la seva distància focal. Quan el cristal·lí està relaxat enfoca a la retina objectes allunyats, que diem infinit. Quan volem enfocar objectes propers els muscles ciliars bomben el cristal·lí per a reduir la distància focal i enfocar les imatges sobre la retina. El camp de visió de l’ull és d’uns 180º. El punt on el nervi òptic surt a l’ull es diu punt sec ja que no hi ha cèl·lules fotosensibles. Pots comprovar l’existència del punt sec del teu ull seguint el següent procediment: tanca un dels dos ulls i, amb l’altre, a una distància d’uns 25 cm, mira fixament la “x”, sense fer trampes. Veuràs que desapareix el “2”. Si t’atraques encara més veuràs que el “2” apareix i desapareix “1”. Els ulls poden tenir molts tipus de problemes ja que són un òrgan, per tant no estan lliures d’infeccions, pèrdues de pressió del líquid que hi ha l’interior de l’ull, pèrdua de transparència del cristal·lí, despreniment de la retina, ... . Noltros ens limitarem als problemes ocasionats pel cristal·lí com si es tractes d’un material inorgànic. L’instrument més semblant a un ull seria una càmera fotogràfica. Defectes dels ulls Gran part de la població té ulls que no acomoden dintre del domini considerat normal de 25 cm a l’infinit o té algun altre problema. La majoria dels defectes visuals estan relacionats amb els dos punts que hem esmentat, enfocar objectes llunyans, punt llunyà

3

o infinit, i enfocar objectes situats a distàncies curtes, els 25 cm, aquesta distància es denomina punt pròxim o proper. Aquests dos defectes visuals reben el nom d’Hipermetropia i Miopia. Aquests dos defectes es poden corregir amb ulleres, lents de contacte i amb intervenció del cirurgià. Ull Hipermetrop És un ull que amb el cristal·lí relaxat i mirant a l’infinit, la imatge es forma darrera de la retina. No pot acomodar l’ull per objectes allunyats, a l’infinit, la imatge és borrosa. Per altra banda, el seu punt pròxim està més lluny dels 25 cm i quan un objecte està situat en els 25 cm, el cristal·lí no pot acomodar i la imatge es forma darrera de la retina i la imatge també es veu borrosa. La seva correcció requereix lents convergents. Tot això ho pots veure en la imatge de la dreta. Fixa’t que la lent fa que la imatge del punt llunyà o distant es formi en la retina mentre que el cristal·lí està relaxat. També, ajuda enfocar objectes situats als 25 cm, però el cristal·lí s’ha d’acomodar. Ull Miop També conegut com “curt de vista”. El cristal·lí té una potència massa elevada i la imatge d’objectes allunyats es forma abans d’arribar a la retina, és a dir, el cristal·lí té una distància focal molt curta. Aquest defecte també pot ser ocasionat per la forma de l’ull que sigui més allargada del normal. Les característiques d’aquest defecte són: El punt llunyà no és l’infinit és molt més a prop. Per exemple, un/a alumne/a miop situat, en classe, fins i tot a la primera fila, no veurà correctament la pissarra sense ulleres, el seu punt llunyà, amb el cristal·lí relaxat, no està tan enfora. Per altra banda, els miops tenen un punt pròxim més proper de l’estàndard, poden llegir sense

4

ulleres textos situats a distàncies inferiors als 25 cm. Aquesta proximitat del text o objecte, li permet un augment de l’objecte observat pel miop, ja que augmenta l’angle d’observació. Pel punt llunyà la correcció es realitza amb lents divergents que obren els raigs de llum allunyant cap l’infinit aquest punt. La lent divergent també li compensarà l’excés d’acomodació de l’ull i li allunyarà el punt proper cap els 25cm. Astigmatisme Es degut a la curvatura desigual de la còrnia, és a dir la còrnia és asimètrica. Aquest fet ocasiona que hi hagi punts o zones de l’ull que són hipermetrops i, altres, miops. Es manifesta perquè es veuen línies borroses en determinades orientacions. També, per exemple, a la nit en cotxe, es poden veure senyals de tràfic que són rodones i que ens semblin que estan xafades, o fins i tot forma de 8, en alguna direcció. L’astigmatisme es pot corregir amb lents cilíndriques que donin convergència o divergència, en determinades direccions, per a compensar els defectes de l’ull. Presbícia És un defecte típic de la vellesa i consisteix amb la incapacitat de l’ull per a l’acomodació i el punt proper es va allunyant. És a dir, el cristal·lí es va tornant rígid i esdevé incapaç d’acomodar. Però ha de quedar clar que no és hipermetropia. Si un és hipermetrop i té presbícia veurà malament els objectes llunyans a causa de la hipermetropia i veurà malament els proper a causa de la presbícia i la hipermetropia. Si una persona és miop, la presbícia li pot compensar un poc la miopia pel que fa al punt proper, ja que el cristal·lí per acomodació i el punt proper s’allunya una mica. Per altra banda el punt llunyà no es veurà afectat i seguirà tenint el mateixos problemes que tenia abans. Per tant, una persona gran miop provablement tindrà pocs problemes per llegir i, fins i tot, pot no necessitar ulleres. Però continuarà necessitant ulleres per mirar lluny. A1. Una companya que es seu a primera fila és incapaç de veure amb nitidesa els números que posa un company a la pissarra. En canvi, quan s’atraca fins uns 15 cm del quadern del seu company de taula, que escriu amb una lletra molt petita, pot copiar tot sense problemes. Quin trobes que és el problema de la teva companya? Quin tipus de lent podria solucionar el seu problema?. A2. Un senyor, que no ha tingut mai problemes de visió, quan arriba als 42, comença a tenir problemes a l’hora de llegir però no té problemes quan mira objectes llunyans i, per exemple, pot conduir sense ulleres. Què és provable que li passi al quarantó?. A3. Quina lent cal posar davant d’un ull que té el seu punt pròxim a 10 cm, per a fer que el seu punt pròxim sigui l’habitual 25 cm? Calcula les diòptries i indicar el tipus de lent. Indicació: pensa que l’objecte ha d’estar a 25 cm i que la lent ha de crear una imatge situada a 10 cm de l’ull.

5

A4. Quines ulleres cal prescriure a un miop que no pot veure més enllà dels 80 cm? Indica les diòptries. A5. Un ull hipermetrop té un punt pròxim situat a 1 m de distància. Quina lent cal posar-li per aconseguir que el punt pròxim estigui a la distància considerada estàndard? A6. El meu oncle m’ha dit que porta unes ulleres per la presbícia, he emprat les ulleres per cremar un paper enfocant el Sol en un punt que estava a 20 cm de la lent. Després he posat les ulleres a 12 cm d’una mosca que estava sobre la taula.

a. Explica breument què és la presbícia i amb quines lents es corregeix. b. Calcula on es formarà la imatge de la mosca respecte a les ulleres i

caracteritza-la. c. Fes un esquema de la marxa dels raigs en la formació de la imatge de la

mosca. Dibuixa un raig que no sigui dels principals. Sol: s’=-30 cm.

6

LA LENT D’AUGMENT O LUPA Per entendre el funcionament de la lupa i els seus augments cal tenir present que un ull normal, amb el cristal·lí relaxat, enfoca a objectes llunyans, aquests objectes llunyans direm que estan a l’infinit ja que els raigs de llum que surten de cada punt del cos objecte arriben al nostre ull pràcticament paral·lels. Quan els raigs de llum arriben paral·lels a un cristal·lí normal la imatge es forma en la retina. El cristal·lí no fa cap esforç d’acomodació, no s’ha de bombar per a formar la imatge en la retina. Per altra banda, un observador pot fer que un objecte es vegi més gros i observar els seus detalls si atraca l’objecte a l’ull (Això és el que fan els miops). Quan atraquem l’objecte a l’ull, la imatge en la retina es fa més gran però aquest procés té un límit, que és quan arriba al punt pròxim. Per a distàncies més curtes que el punt pròxim, l’ull ja no pot acomodar la imatge a la retina i ho veu borrós. És en aquest moment que és important l’ús de la lupa. La LUPA, o microscopi simple, és una lent convergent, o positiva, que proporciona una imatge dels objectes propers més gran i nítida de la que es pot observat a ull nu. La imatge que forma, a més d’augmentada és dreta. També, per a funcionar bé, ha de propiciar que els raigs de llum que arriben a l’ull han de ser pràcticament paral·lels. Tots aquest requisits, juntament amb el que ja has vist de les lents, t’ha de fer veure que l’objecte, y0, s’ha de situar entre el focus i la lent, és a dir, s0 < f , en mòdul. En la imatge de la dreta figura (a), es mostra com es veu la imatge, y’, amb l’ajuda de la lupa, l’angle de visió és, 𝜃!. En la figura (b), es mostra l’angle de visió d’un objecte petit situat en el punt pròxim a ull nu Ara l’angle és més gran i val, 𝜃 . L’augment, M, d’una lupa es defineix en termes d’augment angular, com el quocient entre el dos angles.

𝑀 =𝜃!

𝜃

7

Ja hem comentat, que si volem fer una observació còmoda de l’objecte observat, cal que els raigs de llum arribin a l’ull paral·lels i, així la imatge es formarà a la retina sense la necessitat que hi hagi acomodació per part del cristal·lí. Com has pogut veure en l’apartat de les lents, això s’aconsegueix quan l’objecte es troba el més prop possible del focus, infinitament a prop, sense arribar a l’ideal cas d’estar sobre el focus ja que així no es formaria imatge. En aquest cas la visió és més còmoda per no la que té més augments. El màxim augment es produeix quan la imatge que dona la lupa està situada en el punt pròxim, s’= -25 cm= -N. Podem escriure l’equació anterior en funció de la distància focal. Per a fer-ho utilitzarem l’equació gaussiana de les lents primes:

1𝑠! −

1𝑠 =

1𝑓!

La posició on hem de posar l’objecte per aconseguir que la imatge es formi en el punt pròxim ve donada per:

1𝑠 =

1𝑠! −

1𝑓! = −

1𝑁 −

1𝑓!                ↔                  𝑠 = −

𝑁 · 𝑓!

𝑁 + 𝑓!

recordem que f  =  -­‐f  ’ . Per altra banda, els angles 𝜃    𝑖    𝜃! seran petits si suposem que l’objecte a mirar també és petit. En aquestes condicions podrem substituir els angles per les seves tangents:

𝜃 = −ℎ𝑁  

i

𝜃! = −ℎ𝑠 =

ℎ 𝑁 + 𝑓!

𝑁 · 𝑓!  

substituint en l’equació de l’augment angular, trobem:

𝑀 =𝜃!

𝜃 =ℎ 𝑁 + 𝑓! · 𝑁𝑁 · 𝑓! · ℎ = 1+

𝑁𝑓!

aquest és l’augment si la imatge es forma en el punt proper, N=25 cm i l’ull enfocat en aquest punt. És considera l’augment màxim de la lupa. En el cas particular que l’objecte que mirem es trobi pràcticament en el focus de la lupa: 𝒔 = −𝒇!.

𝜃! =ℎ−𝑓!

llavors, l’augment ve donat per:

𝑀 =𝜃!

𝜃 =ℎ−𝑓!

ℎ−𝑁

=𝑁𝑓!

en aquest cas, com l’objecte està pràcticament en el focus, la imatge es forma pràcticament a l’infinit i els raigs de llum arriben casi paral·lels a l’ull.

8

Com pots veure, l’augment és una unitat més gran quan la imatge es forma en el punt proper i l’ull necessita acomodació, que quan el cristal·lí està relaxat i la imatge s’ha format a l’infinit. Aquesta última equació, la podem reescriure utilitzant la potència de la lent: 𝑃 = !

!! , per

això cal posar tots els valors en metres: N=25 cm = 0,25m = 1/4 m. Així, podem escriure:

𝑀 =𝑃4

L’augment de la lent expressat així i amb les condicions indicades, objecte en el focus i la imatge a l’infinit, rep el nom d’augment comercial. Exemple: una lent convergent de 8 cm de distància focal, la utilitza com a lupa una persona normal, N=25 cm. Calcular l’augment màxim i l’augment quan l’ull està relaxat. Solució: L’augment màxim es produeix quan la imatge es forma en el punt pròxim i l’ull enfoca aquest punt. L’augment ve donat per:

𝑀 =𝜃!

𝜃 = 1+𝑁𝑓! = 1+

258 ≅ 4  𝑎𝑢𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠.

Per a tenir aquest augment cal posar l’objecte a una distància que ve donada per:

1𝑠 =

1𝑠! −

1𝑓! = −

1𝑁 −

1𝑓!                ↔                  𝑠 = −

𝑁 · 𝑓!

𝑁 + 𝑓! = −25 · 825+ 8 = −6  𝑐𝑚

és a dir, per a tenir el màxim augment cal posar l’objecte a 6 cm de la lent, la imatge es formaria en el punt pròxim, 25 cm, i tindria una imatge 4 vegades més gran. Quan l’ull està relaxat:

𝑀 =𝜃!

𝜃 =𝑁𝑓! =

258 ≅ 3  𝑎𝑢𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠.

Aquest últim resultat ens indica que, per la persona del problema amb un punt pròxim de 25 cm, pot posar l’objecte a observar a 8 cm de distància de l’ull, en lloc de 25 cm, i veuria una imatge 3 vegades més gran. A7. Una persona té un punt pròxim a 25 cm, usa una lupa de 40 D. Quin és l’augment angular que obté si el cristal·lí està relaxat? A8. Compres una lupa que et diuen que té 5 augments comercials:

a. Quantes diòptries té? b. Quina és la seva distància focal? c. Quin és el màxim augment que pot donar la lupa?

9

MICROSCOPI COMPOST Un microscopi bàsic està format per dues lents, un objectiu i un ocular. L’objectiu és la lent que està a prop de l’objecte i l’ocular és la lent per la qual mirem. A diferència del microscopi simple, la lupa, aquest dóna major augment angular, de l’ordre de 30 augments. Es pensa que la seva invenció va ser en Holanda a finals del segle XVI, al voltant de 1590, i que l’autor va ser Zacharias Janssen de Middleburg. Galileu se’l posa en segon lloc com inventor ja que la seva descoberta, o que li va arribar la informació des d’Holanda, va ser en 1610.

L’objectiu és una lent convergent de focal curta que dóna una imatge real i invertida entre el focus de la segona lent i la pròpia lent. Perquè això sigui possible cal que l’objecte es posi més enfora de la distància focal objecte de l’objectiu. A la vegada, si es vol una observació còmoda, amb el cristal·lí relaxat, cal que la imatge es formi pràcticament sobre el focus de l’ocular o molt prop d’ell. L’ocular finalment dóna una imatge virtual, I2 en la figura. L’ocular té una focal més llarga que l’objectiu i també és una lent convergent. La distància entre el focus imatge de objectiu i el focus objecte l’ocular es diu longitud del tub o distància d’acoblament. L’augment del microscopi és igual al producte dels augments de les dues lents.

𝑀 = 𝑀!"#$%&'( ·𝑀!"#$%& A9. Tenim dues lents, una de distància focal 0,3 cm i una altra de 4 cm. Muntem un microscopi amb elles. La distància entre l’objectiu i l’ocular és de 13 cm.

a. Indica quina serà l’ocular i quina l’objectiu. Fes un dibuix del muntatge. b. L’objecte està situat a 0,31 cm davant de l’objectiu. Troba la posició de la

imatge donada per la primera lent. c. Calcula la distància de la imatge de la primera lent, que és l’objectiu de la

segona lent, a l’ocular. d. Troba la imatge que dona l’ocular i les seves característiques. e. Troba l’augment de cada lent i l’augment total del microscopi.

10

TELESCOPIS El telescopi provablement s’ha inventat i reinventat diverses vegades però sembla que també va ser inventat en Holanda per Zacharias Janssen. Telescopi Astronòmic. El primers van ser reflectors. La seva funció és ampliar la imatge d’un objecte distant però no a distància infinita. La imatge final és invertida però això no té molta importància si la observació és astronòmica. Aquest telescopi està format per dues lents, l’ocular que és la lent on posem l’ull, i objectiu que és la lent per on entra la llum de l’objecte a l’instrument. Usualment l’objectiu és fixe i l’ocular es movible i permet enfocar.

Si l’objecte està molt enfora, la imatge per la primera lent es forma en un punt molt proper al focus d’aquesta lent. En la imatge de dalt es mostra el telescopi de Kepler. La imatge formada per la primera lent queda entre el focus objecte i la lent de la segona lent. En aquest cas es requereix acomodació per part de l’ull. Si volem fer una observació relaxada sense necessitat d’acomodació per part de l’ull, el telescopi es construeix de manera que el focus imatge de la primera lent coincideixi amb el focus objecte de la segona, tal i com mostra la imatge de baix. Quan un instrument funciona així es diu que és afocal. Fixa’t que quan els raigs de llum arriben paral·lels entre si a l’objectiu, però no paral·lels a l’eix òptic, els raigs no convergeixen en el punt del focus però sí sobre un pla que passa pel focus, denominat pla focal.

11

L’augment d’aquest telescopis ve donat pel quocient entre l’angle de sortida de l’ocular 𝜃!, i l’angle d’entrada 𝜃. Aquest angle d’entrada és essencialment el mateix que veuríem a ull nu. Si els angles són petits també es complirà: 𝜃! ≅ !!

!!!"#! i 𝜃 ≅ !!

!!"#$%!

𝑀 =𝜃!

𝜃 = −𝑓!"#$%&'(!

𝑓!!"#$%!

com pots veure l’augment és més gran com més diferència hi hagi entre la focal de l’objectiu i la de l’ocular. Per a mirar astres molt llunyans, dels quals rebem una llum molt dèbil, es requereix que per l’objectiu entri el màxim de llum possible, però resulta molt difícils fabricar lents d’alta qualitat de grans dimensions. Per solucionar aquest problema es van inventar els telescopis reflectors. El telescopi reflector van ser inventat per James Gregory en 1661 i construït per Newton en 1668. Les característiques d’aquests telescopis són:

• Objectiu: Mirall parabòlic gran distància focal.

• Ocular: Lent convergent de focal curta. A10. Un telescopi està format per dues lents convergents de +2 i +4 dp que funcionen de manera afocal. Calcula l’augment del telescopi. Com serà la imatge d’objectes situats a l’infinit? Fes un dibuix del muntatge, especificant quina lent serà l’objectiu i quina l’ocular. Necessita acomodació l’ull? Dibuixa la trajectòria de tres raigs de llum. Telescopi de terrestre o de Galileu És un telescopi refractor format per una lent convergent de gran distància focal que és l’objectiu i una lent divergent de focal curta que actua com a ocular. La gran avantatge és que el telescopi dóna una imatge dreta, però això es diu terrestre. El muntatge es fa de manera que la posició del focus imatge del objectiu coincideixi amb focus imatge de la divergent. L’augment d’aquest telescopi també ve donat per:

𝑀 = −𝑓!"#$%&'(!

𝑓!"#$%&!

12

però en aquest cas la distància focal de l’ocular, f’, és negativa per ser aquesta lent divergent. Per exemple en el telescopi de la dreta, l’augment val 3. A11. Dibuixa el camí de tres raigs de llum que incideixen en l’objectiu paral·lels a l’eix òptic en el telescopi de la imatge adjunta. Torna dibuixa el camí de tres raigs de llum paral·lels però que arribin a l’objectiu amb una lleugera inclinació. A12. En el laboratori tenim lents de potències: +5, +10, +20 i -5, -10, -20.

d. Indica quines lents utilitzaries per a construir un telescopi astronòmic, el de més augment possible. Calcula l’augment. Fes un esquema i explica quina és l’ocular i quina l’objectiu.

e. Construeix un telescopi de Galileu o Terrestre d’augment angular +2. Fes un dibuix i explica quina és l’ocular i quina l’objectiu.

A13. Per mirar la Lluna utilitzem un telescopi afocal que té 100 cm des de l’ocular fins l’objectiu. Si l’augment angular és de -9, quina és la distància focal de cadascuna de lents primes que formen el telescopi? També es pot aconseguir un telescopi terrestre afegint una altra lent als telescopis astronòmics, tal com mostra la figura, o ajuntar dos telescopis astronòmics. L’inconvenient d’aquest tipus de telescopis és que han de ser llargs. Els allarga vistes de les pel·lícules de pirates són d’aquest tipus. Per a solucionar aquest problema i reduir la seva longitud mantenint la distància entre objectiu i ocular s’inventaren els binoculars, com el que tens en la figura de la dreta.

13

ALTRES INSTRUMENTS ÒPTICS Càmera fotogràfica Bàsicament consisteix en una lent convergent mòbil i de focal curta, acoblada a una cambra fosca. El fet que, en general, l’objecte està a una distància “ s >> 2f ” , permet donar una imatge invertida i real sobre el negatiu molt més petita que l’objecte. Com, les distàncies dels objectes, en general, són moltíssim més grans que la distància focal, la imatge pràcticament es formarà en el focus imatge de la lent o molt a prop d’ell, i allà és on s’ha de posar el paper o la pel·lícula sensible a la llum, el negatiu, per recollir la imatge. La mobilitat de la lent permet enfocar sobre el negatiu objectes a diverses distàncies A14. Una càmera fotogràfica com la mostrada abans, porta una lent de distància focal 20 cm.

a. Si fem una fotografia d’una casa que es troba a 80 m, a quina distància cal posar la placa fotogràfica per a treure una imatge nítida?

b. Si la màxima distància que hi pot haver entre l’objectiu i la placa és de 21 cm, quina és la distància més propera a què pot fotografiar un objecte?

A15. Compara la càmera fotogràfica amb l’ull. Què fa en l’ull cadascun dels elements de la càmera? Projector L’objectiu és tenir una imatge real i més gran sobre una pantalla que es troba lluny comparat amb la distància focal de la lent. L’objecte a projectar és una transparència. Per aconseguir una imatge real cal que la lent, denominada objectiu, sigui convergent i l’objecte, la transparència o diapositiva, es posi a una distancia més gran que la distància focal de la lent, però si volem que la imatge sigui molt més gran que l’objecte, cal que aquest estigui molt a prop del focus objecte. Els projectors incorporen, a més, una font de llum i una lent convergent, el condensador, que concentra la llum sobre la transparència o diapositiva.

14

A16. Vol projectar sobre una pantalla de 2,2 m d’amplada una diapositiva de 22 mm d’amplada i 16 mm d’alçada. Si vol posar el projector de diapositives a 4 m de la pantalla, calcula o indica:

a. Si la imatge ha d’omplir tota la pantalla, quina augment ha de produir la lent? b. Quina alçada ha de tenir la pantalla? c. Quina distància hi ha d’haver entre la diapositiva i l’objectiu per a donar una

imatge nítida? Quina ha de ser la distància focal de l’objectiu? d. Com cal col·locar la diapositiva a la distància calculada en l’apartat anterior?

Edwin Powell Hubble, va néixer a Misuri, USA, en 1889 i morí a California en 1953. Ve ser un del més importants astrònoms americà del segle XX. Inicialment estudià dret en la universitat d’Oxford però abandonà la carrera poc temps després. Dirigí els seus esforços cap la astronomia en la Universitat de Chicago, on aconseguí el doctorat en 1917. Després de la primera guerra mundial, va passar a treballar en l’observatori de “Monte Wilson” que en aquell moment tenia el telescopi més potent del món. Aportacions científiques: Va ser precursor de les observacions d’estrelles d’altres galàxies, que en aquell moment les anomenaven nebuloses, en particular de la nostre veïna d’Andròmeda. Enregistrà el desplaçament cap el vermell dels espectres de la radiació de les estrelles. En 1929 publicà el seu anàlisi de la velocitat radial, respecte de la Terra, de “nebuloses” on la majoria s’allunyaven. Observà una relació directe entre la velocitat d’allunyament de les estrelles i galàxies i la seva distància a la Terra, denominada llei de Hubble. Hubble va concloure que, deixant apart els grups de galàxies locals, en general l’univers s’estava expandint.

15

Problemes proposats per la UIB

16

Solucions als problemes de la UIB