Int Control Digital
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Universidad de Oviedo
12005
Introduccin al Control Digital
Tema 10
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Sistemas Automticos
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22005
ndice
Ventajas e inconvenientes del control digital Sistemas muestreados Modelo matemtico de los sistemas discretos Discretizacin de reguladores continuos Implementacin
Algoritmo de control Retardo computacional El problema de la cuantificacin Filtro antialiasing Seleccin del perodo de muestreo Equipos industriales
Bibliografa
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32005
Esquema de control digital
Regulador Proceso
Captador
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+D/A
A/D
D/A: Convertidor Digital - Analgico
A/D: Convertidor Analgico - Digital
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42005
Estructura del bloque A/D
transductor
transductor
MULTIPLEXOR
Convertidor
A/D
COMPUTADOR
acondicionamiento
capturay
mantenimientofin conversin
inicio conversin
control
control
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52005
Estructura del bloque D/ADEMULTIPLEXOR
accionador
Convertidor
D/A
COMPUTADOR
capturay
mantenimiento
fin conversin
inicio conversin
control
control
buffer
accionadorcontrol
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62005
Ventajas del control digital
No hay lmite de complejidad del algoritmo Facilidad de cambio de estrategia Precisin ms elevada en operaciones que con
dispositivos analgicos (resolucin, derivas, saturaciones).
Posibilidad de efectuar funciones complementarias (almacenamiento, anlisis, comunicaciones)
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Nuevos problemas
Muestreo Aliasing Reconstruccin Cuantificacin Retardo
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En esta operacin se obtiene una secuencia de valores a partir de una seal analgica.
Muestreo
T
x(t) {xk}
xk = x(kT)
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92005
Muestreo. Ejemplo
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo (s eg.)
A
m
p
l
i
t
u
d
S eal analgica
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo (s eg.)
A
m
p
l
i
t
u
d
S eal mues treada
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102005
Muestreo. Teorema de Shannon
Una seal que no contenga componentes en frecuencias superiores a 0 puede ser reconstruida si se muestrea con una frecuencia mayor de 20.
m > 2 0
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.5
0
0.5
1
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.5
0
0.5
1
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112005
Muestreo. Aliasing
Cuando la frecuencia de Nyquist (m/2) es inferior a la frecuencia de la seal muestreada (0), se produce el fenmeno conocido como aliasing, segn el cual una seal de alta frecuencia es interpretada como una de baja frecuencia.
0 50 100 150 200 250-1
-0.5
0
0.5
1
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El ms sencillo y habitual en control es el de orden 0.
Proceso por el que a partir de una secuencia se construye una seal continua.
Reconstruccin
x(t){xk}Bloqueador
[ ]
=
+=0
))1((1)(1)()(k
TktkTtktxtx
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132005
Reconstruccin
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo (s eg.)A
m
p
l
i
t
u
d
S eal recons truida
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo (s eg.)
A
m
p
l
i
t
u
d
S eal mues treada
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142005
Sistemas discretos
Son algoritmos que permiten transformar una secuencia en otra:
Nos interesan los lineales, causales, dinmicos e invariantes, que se pueden expresar como ecuaciones en diferencias:
yk = a1 yk-1+ ... + an yk-n+ b0 uk+ ... + bm uk-m
Sistema discreto
{uk} {yk}
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Secuencia de ponderacin
Convolucin:}{ }{ }{
=
=
==
iiki
iikik ugguy
Para un sistema discreto lineal e invariante, es la secuencia de salida cuando la de entrada es {k} {k} = {1, 0, 0, ...}
Sistema discreto
{k} {gk}
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Un sistema discreto es estable, si ante cualquier secuencia de entrada acotada, la secuencia de salida tambin est acotada.
Condiciones necesarias: {gk} acotada
Condicin necesaria y suficiente:
Estabilidad
0lim =
kkg
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Transformadas de una secuencia
Dada una secuencia real {xk} / xk = 0 para todo k < 0,se define su transformada de Laplace como la funcin:
Se obtienen funciones peridicas y no racionales Dada una secuencia real {xk} se define su transformada
z como la funcin:
{ } CzzxxZzXk
kkk ==
=
,)(
CsexsXk
skk =
=
,)(0
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Transformada z inversa
Teorema de los residuos Divisin larga Descomposicin en fracciones simples Mtodos computacionales Tablas
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Propiedades de la transformada z
Linealidad: [ ] [ ] [ ]kkkk yxZyZxZ +=+ Desplazamiento: [ ] [ ]knnk xZzxZ = Convolucin:
[ ] [ ] [ ]kkkn
nknk
yZxZwZ
yxw
=
=
=
Tma. valor inicial (indice +): )(lim0 zXxz
=
Tma. valor final (indice +, y estable):)]()1[(limlim 1
1zXzxx
zkk
==
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202005
Funcin de transferencia discreta
G(z){uk} {yk}
U(z) Y(z)
n
n
m
m
zaza
zbzbbzUzY
zG
+++
+++==
...1...
)()()( 1
1
110
)(...)()()(...)()( 11011 zUzbzUzbzUbzYzazYzazY mmnn +++=+++
mkmkknknkk ubububyayay +++=+++ ...... 11011Dado un sistema discreto lineal, por su ecuacin en diferencias:
Aplicando transformadas, linealidad y operador desplazamiento:
Se define la funcin de transferencia discreta:
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212005
Discretizacin de reguladores
Discretizacin de reguladores continuos Aproximacin de respuesta temporal. Integracin numrica
Operador derivada (adelantada y atrasada) Operador integral (adelantada y retrasada) Operador integral (integracin trapezoidal). Tustin.
Regiones de estabilidad Distorsin de frecuencia (warping)
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Discretizacin de reguladores continuos
Una vez diseado un regulador continuo para un proceso, se trata de obtener un regulador discreto que aproxime su funcionamiento.
T
e(t) {ek}C(z) B(s)
{uk} u(t)
La transformacin exacta, z = eTs, no da lugar a expresiones racionales
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232005
Aproximacin de la respuesta temporal
Igualando la respuesta ante escaln:
=
ssCZ
zzC 1)(
11)( 1
( )
=
ssCZzzC 1)( 1)( 1
Igualando la respuesta ante rampa. Da resultados ms exactos sobre todo en las fases.
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242005
Operador derivada
(k-1)T (k+1)TkT
e[(k+1)T]e[kT]
e[(k-1)T]
TTkekTe
dttde
kTt
])1[(][)( =
=T
kTeTkedt
tdekTt
][])1[()( +=
=
Tzz
Tz
s11 1
=
1
111
=
Tzz
Tz
s
[ ]1
11)()(
=
Tzz
ssCzC [ ]Tz
ssCzC 11)()( =
Diferencia adelante Diferencia atrs
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252005
Integral retrasada
Aproxima el operador integral (1/s) por el sistema discreto obtenido sumando rectngulos, con la entrada retrasada
110
1 =
+== kkk
iik TeuTeu
)()()1( 11 zETzzUz =
sz
Tz
TzzEzU 1
11)()(
1
1
=
=
[ ]1
11)()(
=
Tzz
ssCzC
T
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262005
Integral adelantada
Aproxima el operador integral (1/s) por el sistema discreto obtenido sumando rectngulos, con la entrada adelantada
kk
k
iik TeuTeu +==
=
10
1
)()()1( 1 zTEzUz =
sz
Tzz
TzEzU 1
11)()(
1
=
=
[ ]Tz
ssCzC 11)()( =
T
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272005
Integral trapezoidal. Tustin
Aproxima el operador integral (1/s) por el sistema discreto obtenido sumando trapecios
)(2 11
++= kkkk eeT
uu
)()1()()1(2 11 zEzTzUz +=
sz
zTz
zTzEzU 1
)1()1(
2)1()1(
2)()(
1
1
+=
+=
T
[ ])1()1(2
1
1)()(
+
=
z
z
TssCzC
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282005
Regiones de estabilidad
[ ]1
11)()(
=
Tzz
ssCzC [ ]Tz
ssCzC 11)()( =
Euler
[ ])1()1(2
1
1)()(
+
=
z
z
TssCzC
Tustin
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292005
Distorsin de frecuencia
En las aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencia.
Importante al discretizar un paso banda.
=
2 tan2 T
T
frequency warping
Tiene valores pequeos para valores bajos de .Se puede corregir el efecto para una frecuencia determinada (frequency prewarping).
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302005
Algoritmo de control
Peridicamente (cada perodo de muestreo) se debe ejecutar el siguiente algoritmo de control:
Captura y conversin Analgico-Digital de la seal del proceso (y de la referencia si procede).
Clculo del error (comparacin entre la referencia y la seal del proceso).
Clculo de la accin de control. Conversin Digital-Analgica de la accin de control.
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312005
Algoritmo de control. Clculo de la seal de control
A partir del modelo discreto del controlador obtenido bien por discretizacin, bien por diseo en el plano z, se obtiene directamente la ecuacin en diferencias que se implementa en el computador:
Existen tcnicas de implementacin que minimizan tanto las necesidades de almacenamiento como los errores en los clculos
ik
n
ii
m
iikik yauby
==
=10
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322005
Para conseguir la ejecucin peridica del algoritmo de control se pueden plantear dos estrategias: Muestreo
Ms simple. Absorbe todos los recursos. No puede realizar otras operaciones
durante las esperas Interrupcin
Programacin ms compleja. Permite realizar otras operaciones entre 2 perodos de muestreo.
Algoritmo de control. Estrategias
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332005
Algoritmo de control. Retardo computacional
tT
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342005
Algoritmo de control. Retardo computacional
Para disminuir el retardo entre la captura y la escritura de la seal, conviene minimizar el nmero de operaciones entre ambas operaciones.
Una opcin es realizar el preclculo de parte de los valores, alfinal de un perodo para tenerlos listos para el siguiente.
El algoritmo de control modificado sera: Captura (AD) Clculo del error Clculo mnimo (en operaciones) de la accin de control Escritura (DA) Preclculo (con valores disponibles) para prximo perodo
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352005
Cuantificacin en los coeficientes
Este error se hace ms grande a medida que: aumenta el orden de la funcin de transferencia, los polos o ceros se aproximan a la circunferencia de
radio unidad.
Soluciones: Programacin en serie Programacin en paralelo Programacin en escalera
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362005
Cuantificacin
Al intentar representar un nmero real con un nmero finito de bits, se produce un error de cuantificacin.
Puede ocurrir: En la conversin (A/D y D/A) En los clculos En los parmetros de la ecuacin en diferencias
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372005
Cuantificacin AD. Modelo
Redondeo q = LSB
Truncado q = LSB
Este error se puede modelar como un ruido con distribucin uniforme, de valor mximo:
LSB
LSB121
=
y desviacin tpica:
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Cuantificacin AD. [Smith-97]
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Cuantificacin AD. Ejemplo
Rango: 0 1 V Tarjeta 8 bits (0 28-1) Error sensor: 1 mV (rms)
1 V 255 LSB1 mV 0.255 LSB
LSBLSBDA 29.0121
/ =
LSBsensor 255.0=LSB22 255.029.0 +=
La conversin introduce un incremento del error del 50%
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Cuantificacin en los clculos
En sistemas que realicen los clculos en doble precisin, se dispone de 64 bits, con lo que los errores normalmente sern varios rdenes de magnitud menores que los cometidos en los conversores.
Si se trabaja en coma fija, con 16 bits o menos, hay que ser muy cuidadoso pues el resultado de las operaciones puede ser muy sensible a la forma en que se implementen.
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412005
Filtrado de alias
Puede producirse aliasing con los ruidos de alta frecuencia que entran a travs del captador.Al ser convertidos en ruidos de baja frecuencia por el muestreo,el sistema amplificar sus efectos en lugar de atenuarlos, deteriorando el control.
La solucin es introducir un filtro analgico, entre captador y muestreador que elimine el ruido.
CaptadorA/D Filtro
antialias
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Diseo del filtro
Si se conoce el rango de frecuencias del ruido se puede disear y colocar el filtro de modo que la atenuacin sea suficientemente.
Para no perjudicar el MF, el filtro deber estar al menos una dcada por encima de la frecuencia de cruce de ganancia. Si no es posible, habr que tener en cuenta la dinmica del filtro en el diseo del compensador.
cg f =10cg
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Eleccin del perodo de muestreo
La eleccin del perodo de muestreo puede ser crtica a la hora de controlar un sistema
Un perodo de muestreo grande har que el controlador reaccione con lentitud tanto a consigna como a perturbaciones, lo que inestabiliza el sistema. Aumenta la sobreoscilacin y disminuye el amortiguamiento.
Un perodo de muestreo pequeo provocar una prdida de tiempo al obligar a calcular la misma accin de control infinidad de veces.
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442005
10-1 100 101 102 103-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40Bode (Amplitudes )
Eleccin del perodo de muestreo
Si se coloca filtro antialiasing, se calcular la frecuencia de muestreo como 10 a 20 veces superior a la del filtro, para conseguir una atenuacin suficiente antes de muestrear.
cg f =10cg m=20fs
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Eleccin del perodo de muestreo
Cuando no hace falta el filtro antialiasing:
A partir de la frecuencia natural del sistema realimentado, (o de la frecuencia de cruce de ganancia, como aproximacin), se elegir la frecuencia de muestreo como 20-40 veces superior.
cg m =25cg
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
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Reguladores industriales (PIDs digitales)
Autmatas Programables Mdulos PID. Funciones PID programadas en ROM + Mdulo analgico Algoritmos programados por el usuario + Mdulo analgico
Ordenadores Industriales Tarjeta AD/DA + Software de Adquisicin y Control
Implementacin. Equipos utilizados.
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502005
Bibliografa
1. [ARACIL-81] R. Aracil et al., Sistemas discretos de control. Representacin externa. Seccin de publicaciones, ETSI Industriales, Universidad Politcnica de Madrid, 1981.
2. [ASTROM-88] K.J. Astrm et al., Sistemas controlados por computador, Paraninfo, 1988.
3. [ASTROM-97] K.J. Astrm et al., Computer-Controlled Systems, Prentice Hall, 1997.
4. [GOMEZ-98] J. Gmez Campomanes, Sistemas digitales de control, Universidad de Oviedo, 1998.
5. [HOUPIS-85] C. H. Houpis et al., Digital Control Systems, McGraw Hill, 1985.6. [ISERMANN-89] R. Isermann, Digital Control Systems, Springer Verlag,
Berlin, 1989.7. [KUO-03] B.C. Kuo, Sistemas de control digital, CECSA, 20038. [LOPEZ-93] H. Lpez, "Control por computador", Universidad de Oviedo, 1993.9. [OGATA-96] K. Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto, Prentice
Hall, 1996