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Integración por fracciones simplesCarmen Alicia Manzano Hernández

Integración por fracciones simples

Resumen

Integración por fracciones simplesCarmen Alicia Manzano Hernández

Carmen Alicia Manzano Hernández24 de septiembre de 2007

Integración por fracciones simplesCarmen Alicia Manzano Hernández

La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional, ésta se puede obtener por la regla de la derivada del cociente; sin embargo en la integración de funciones racionales no siempre.

Un método para calcular la integral de una función racional puede expresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arcotangentes y logaritmos. Dicho método consiste en descomponer una función racional en suma de fracciones simples que pueden integrarse con técnicas ya conocidas.

Toda función racional se puede expresar como suma finita de fracciones de la forma:

y

Las funciones se pueden agrupar según sea la forma en que se descomponga el denominador del

cociente en producto de factores.

i. El denominador es un producto de factores lineales distintos; g(x) se puede descomponer

en n factores lineales distintos: .

ii. El denominador es un producto de factores lineales algunos de los cuales se repiten; la función g(x) se puede descomponer en n factores lineales algunos aparecen más de una

vez pudiendo agruparlos de la forma siguiente:

Con k y m ε enteros positivos y A, B, C, a, b, c

constantes con la condición

Donde todas las xi son diferentes y en caso de que

sean iguales su término se sustituye por:

Integración por fracciones simplesCarmen Alicia Manzano Hernández

iii. El denominador tiene factores cuadráticos irreducibles ninguno de los cuales se repite, se hace análoga al caso i descomponiendo antes el denominador en polinomios de primer grado a fin de tener tantas ecuaciones como constantes.

iv. El denominador tiene factores cuadráticos irreducibles algunos de ellos se repiten, se hace análoga al caso ii, si un factor cuadrático irreducible se repite m veces, se admite que se puede descomponer en una suma de m términos de la forma: