Integración de un binomio diferencial

∫ xm (a+b xn) pdx

Existen 3 casos para la resolución de esta integral:

1° caso: Cuando p es un número entero, se hace la sustitución: x=zr , donde r es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones ‘’m’’ y ‘’n’’.

2° caso: Cuando m+1n

es un número entero, se hace la sustitución: a+b xn=zs , donde s es el

denominador de la fracción p=r /s (los números r y s son pesi).

3° caso: Cuando m+1n

+ p es un número entero, se hace la sustitución: a+b xn=zs xn o también se

puede expresar como a x−n+b=zs, donde s es el denominador de la fracción p.

Ejemplo

∫ x−16 (x 12−ax16+a2 x−1

6 )2

(a3+x )2dx

Factorizando el trinomio al cubo en el denominador:

(a3+ x )=(a+ x13 )(a2−ax

13+x

23)

Tomando como término común x−16 en el numerador:

( x−16 ( x

46−ax

26+a2))

2

Reemplazando todo en la expresión original:

∫ x−16 (x−1

6 (x23−ax

13+a2))

2

(a+ x13 )2(a2−ax

13+ x

23 )2dx

∫ x−12 (a+x 13 )

−2

dx

Ahora se procede a resolver el binomio diferencial:

Tenemos que p=−2 , así que consideramos el primer caso. MCM (2,3)=6

x=t 6→dx=6 t5dt

Reemplazando:

∫ t−3 (a+ t2 )−26 t 5dt

6∫ t 2

(a+t 2 )2dt

d (a+ t2 )=2tdt

6∫ t t

(a+ t2 )2dt

Hacemos integración por partes:

u=t , du=dt

dv= 2 t

2 (a+ t2 )2dt , v= −1

2 (a+ t2 )

3[ −t(a+t 2 )

−∫ −dt(a+t 2 ) ]

−3 t(a+t 2 )

+ 3√atan−1( t√a )

Haciendo 6√ x=t :

−3 6√x(a+ 3√x )

+3

√atan−1( 6√x√a )

Ejemplo

∫6√sin π4 +( 3√sin θ )2 . (cosθ )

43

3√ sin 2θ2dθ

Operando numerador:

(√22 +(sin θ )23 )16 (cosθ )

13 (cosθ )dθ

d (sin θ )=cosθdθ

Operando denominador:

( 2sinθ cosθ2 )−13

(sinθ )13 (cosθ )

13

Volvemos a la expresión original:

∫(√22 −(sin θ )

23 )16 (cosθ )

13 (cos θ )dθ

(sin θ )13 (cosθ )

13

∫ (sinθ )−13 (√22 +(sin θ )

23)16d (sin θ )

Hacemos que sin θ=x

∫ ( x )−13 (√22 +( x )

23)16d ( x )

Procedemos con el binomio diferencial:

Notamos que p es una fracción, asi que comprobamos si m+1n

es entero.

−13

+1

23

=1 ϵ Ζ

Aplicamos el 2° caso de binomio diferencial:

√22

+x23=t 6→ 2

3x

−13 dx=6 t5dt

Reemplazando:

∫ x−13 (t 6 )

16 3.6 t

5dt

2x−13

9∫ t 6dt

9 t7

7

Haciendo t=(√22 + x23 )16

9(√22 +x23)76

7

Ejemplo

∫ x−5 (1−x6 )−13 dx

La expresión tiene la forma precisa de un binomio diferencial. Analizamos el caso:

Al p no ser entero, se analiza si m+1n

es entero.

−5+16

=−23

Si esa expresión no es entera se le suma la fracción p para comprobar el último caso, sino el integrando no se puede separar en funciones elementales.

−23

−13=−1ϵ Ζ

Para esto, aplicaremos el tercer caso de binomio diferencial:

1−x6= z3 x6o también x−6−1=z3

−6 x−7dx=3 z2dz

−2 x−7dx=z2dz

Reemplazando en la expresión original:

∫ x−5 ( z3 x6 )−13 z2dz

−2x−7

−12 ∫ x2 z−1 x−2 z2dz

−12 ∫ zdz

−z2

4

Haciendo z=3√ x−6−1

−3√x−6−1

2

4

−3√ 1−x6x6

2

4

−(1−x6 )23

4 x4

Ejemplo

∫ e3 x (1+2e3x )14 dx

Haciendo sustitución:

ex=w→exdx=dw

∫w2 (1+2w3 )14 e xdx

∫w2 (1+2w3 )14 dw

Analizamos el binomio diferencial, como p no es entero, verificamos si m+1n

es entero.

2+13

=1 ϵ Ζ

Hacemos la segunda sustitución:

1+2w3=z4→6w2dw=4 z3dz

∫w2 ( z4 )14 4 z

3dz

6w2

23∫ z

4dz

2 z5

15

Volviendo a la variable original:

24√1+2w3515

24√1+2e3x515