INTEGRACIN NUMRICAProf.Jos Andrs VzquezMTODOS NUMRICOSFrmulas de Newton-CotesINTRODUCCION METODOS DE INTEGRACINMtodo de Integracin de RombergTrabajo de AplicacinSumarioLa integracin numrica es una herramienta esencial que se usaen la ciencia y en la ingeniera para obtener valores aproximados deintegrales definidas que no pueden calcularse analticamente.INTRODUCCIONDe acuerdo conla definicindel diccionario,integrarsignifica llevarjunto, comopartes, enun todo, unir, indicar la cantidad totalPero QU ES INTEGRAR?Matemticamente la integracin se representa por:INTRODUCCIONque se tiene para la integral de la funcin f(x) con respecto a lavariable independiente x, evaluada en los lmites x=a y x=bEc 1Como lo sugiere la definicin del diccionario, el significado dela Ec 1 es el valor total o sumatoria de f(x) sobre el rango x=aa x=b.De hecho, el smbolo es una letra S estilizada que intentarepresentar la conexin cercana entre la integracin y la sumatoria.INTRODUCCIONObserve que el proceso representado en la Ec 1 y en la Fig 1 esllamado integracin definidaFig 1a bINTRODUCCIONMETODOS de INTEGRACIN NUMRICAMtodosdeIntegracinNumricaFrmulas deIntegracin De Newton-CotesIntegracinDeRombergRegla TrapezoidalRegla de SimpsonMtodo de ExtrapolacinDe RichadsonRegla 1/3 deSimpsonRegla 3/8 de SimpsonFORMULAS DE NEWTON-COTESLas frmulas de integracin de Newton-Cotes son los esquemas de integracinnumrica ms comunes.Se basanenla estrategia de reemplazar una funcincomplicada odatostabulados con una funcin aproximada que sea fcil de integrar:donde fn(x) es igual a un polinomio de la forma:donde n es el orden del polinomio.} }~ =banbadx x f dx x f I ) ( ) (Ec 2Ec 3FORMULAS DE NEWTON-COTESPor ejemplo, en la Fig. 2 se usa el polinomio de primer orden (una lnea recta)como una aproximacin. Mientras que en la Fig. 3 se emplea una parbola parael mismo propsito.Fig 2 Fig 3FORMULAS DE NEWTON-COTESPor ejemplo, en la Fig. 4 se usan tres segmentos de lnea recta para aproximarlaintegral. Puedenutilizarsepolinomiosdeordensuperior paralosmismospropsitos.Fig 4Base legalLA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDALLa Regla Trapezoidal es la primerade las frmulasde integracincerrada deNewton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la Ec 2 es de primerorden.Ec 2((

+ ~ = ((

+ =} }2) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () (b f a fa b dx x f I dx a xa ba f b fa f IbabaPeroQU SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?Geomtricamente, laregla del trapecio esequivalente a aproximarel rea del trapecio bajola lnea recta queconecta a f(a) y f(b)como se muestra enFig. 7.Fig. 7Base legalLA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDALEntonces, el resultado de la integracin es lo que se denomina reglatrapezoidal, resumida en la siguiente ecuacin;Ec 5((

+ ~ = ((

+ =} }2) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () (b f a fa b dx x f I dx a xa ba f b fa f IbabaPeroQU SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?Geomtricamente, laregla del trapecio esequivalente a aproximarel rea del trapecio bajola lnea recta queconecta a f(a) y f(b)como se muestra enFig. 7.Fig. 7Base legalLA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDALRecuerde, que la frmula para calcular el rea de un trapezoide es la altura porel promedio de las bases, tal y como se muestra en la Fig. 8.En la Fig. 8 se muestra la frmula para calcular el rea de un trapezoide (alturapor el promedio de las bases).EnlaFig. 9paralareglatrapezoidal el conceptoesel mismoperoahoraeltrapezoide est sobre su ladoFig. 8 Fig. 9EJERCICIOSDE APLICACINUse la Regla del Trapecio para aproximar los valores de las siguientesintegrales:a) b)Base legalAPLICACIN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIOLa Regla del Trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en nsubintervalos, todos de la misma longitudSea la particin que se forma al hacer dicha subdivisin.Usando las propiedades de la integral, tenemos que:Aplicando la Regla del Trapecio a cada una de las integrales, obtenemos:Base legalAPLICACIN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIOSustituyendoel valordehyhaciendousodelanotacinsigma(sumatoria),tenemos finalmente:Esta es la regla del trapecio para n subintervalos.Obviamente, esperamosqueentremssubintervalosusemos, mejor sealaaproximacin a la integral.Ec. 6Ahora bien, ya que los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que:Base legalAPLICACIN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIOIlustracin de la Regla Trapezoidal de aplicacin mltiple: a) dos segmentos, b)tres segmentos, c) cuatro segmentos y d) cinco segmentosFig. 10 Fig. 11EJERCICIOSDE APLICACINUse la Regla del Trapecio para aproximar el valor de la siguiente integral:Si subdividimos en 5 intervalosPARA LA PRXIMA CLASEESTUDIAR LA REGLA DE SIMPSONRegla de SimpsonRegla 1/3 deSimpsonRegla 3/8 de SimpsonBase legalREGLA DE SIMPSONAdems de aplicar la Regla Trapezoidal con segmentacin ms fina, otra formade obtener una estimacin ms exacta de la integral es con el uso depolinomios de orden superior para conectar los puntos.Por ejemplo, si hay un punto extra a lamitaddel camino f(a) y f(b), lostrespuntos se pueden conectar en unaparbola, tal y como semuestra en laFig. 12.Si hay dos puntos igualmenteespaciados entre f(a) y f(b), loscuatro puntos se pueden conectarcon un polinomio de tercer orden,tal y como se muestra en la Fig. 13.Las frmulas que resultan al tomar las integrales bajoestos polinomios sonconocidas como Regla de Simpson.Fig. 12 Fig. 13Base legalREGLA DE SIMPSONLa Regla de Simpson1/3 resuelta cuandouna interpolacinpolinomial desegundo orden es sustituida en la ecuacin:Si a y b se designan como xo y x2 y f2(x) es representada por un polinomio deLagrange de segundo orden y la integral se transforma en:Despus de la integracin y manejo algebraico, resulta la siguiente frmula:Ec. 7dx x fx x x xx x x xx fx x x xx x x xx fx x x xx x x xIxx}((

+ + =20) () )( () )( () () )( () )( () () )( () )( (21 2 0 21 012 1 0 12 002 0 1 02 1| | | | ) ( ) ( 4 ) (32) () ( ) ( 4 ) (32 1 0 2 1 0x f x f x fa bx f x f x fhI + +~ + + ~Base legalREGLA DE SIMPSONEstaecuacinesconocidacomoRegladeSimpsonde1/3. Eslasegundafrmula de integracin cerrada de Newton-Cotes.6) ( ) ( 4 ) () (2 1x f x f x fa b Io+ + ~Ec. 8Laespecificacin 1/3surgedel hechodequehestdivididaentre3enlaecuacin anterior.Recuerde que x1es elpunto medio entre a y b.EJERCICIOSDE APLICACINUselaRegladeSimpsonde1/3paraaproximar el valor delassiguientesintegrales:a) b)Base legalREGLA DE SIMPSON 1/3DE APLICACIN MLTIPLELa Regla de Simpson se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en nsubintervalos, todos de la misma longitudAl sustituir la Regla de Simpson de 1/3 a cada una de las integrales, obtenemos:6) ( ) ( 4 ) (2 ...6) ( ) ( 4 ) (26) ( ) ( 4 ) (21 2 3 2 1 2 1 n n n ox f x f x fhx f x f x fhx f x f x fh I+ ++ ++ +++ +~ Sea la particin que se forma al hacer dicha subdivisin ysea el conjunto de los untos medios de los subintervalos.Usando las propiedades de la integral, tenemos que:{ }i ix x Pm ,1 =Base legalREGLA DE SIMPSON DE APLICACIN MLTIPLECombinando trminos y sustituyendo nos queda:Fig. 14: Representacingrfica de la Regla deSimpson 1/3 de aplicacinmltiple. Observe que elmtodosepuedeemplearslo si el nmero desegmentos es parnx f x f x f x fa b Iniinim o6) ( ) ( 2 ) ( 4 ) () (211 1 = =+ + + ~Ec. 9EJERCICIOSDE APLICACINUse la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de la siguiente integral ysibdividiendo en 5 intervalosa)Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de la siguiente integral ysibdividiendo en 4 intervalosb)Base legalREGLA DE SIMPSON de 3/8CLASE 3Base legalREGLA DE SIMPSON de 3/8Enunamanerasimilar aladerivacindelaReglaTrapezoidal yRegladeSimpson1/3, unpolinomiodeLagrangedetercer ordensepuedeajustar acuatro puntos e integrarse:Para obtener:Ec. 10Donde . Esta ecuacin se llama Regla e Simpson de 3/8 debido aque h se multiplica por 3/8.NOTE QUE x1 Y x2 SON LOS PUNTOS QUE DIVIDEN EN TRES PARTES IGUALESEL INTERVALO [a,b]Base legalREGLA DE SIMPSON de 3/8sta es la tercera frmula de integracin cerrada de Newton-Cotes. La Regla deSimpson 3/8 se puede expresar tambin de la forma:Ec. 11Fig. 15: Ilustracin de cmo se puede usar enconjunto las Reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 paramenejar aplicaciones mltiples con nmeros nonesde intervalos.EJERCICIOSDE APLICACINAproximar la siguiente integral usando la Regla de Simpson de 3/8:a)Base legalREGLA DE SIMPSON de 3/8 MLTIPLEAl igual queenloscasosanteriores, laRegladeSimpsonde3/8sepuedeextender si subdividimos el intervalo [a.b] en n intervalos de la misma longitudh.Seala particin determinada de esta forma. Cada subintervalolo dividimos en tres partes iguales, y sean ylos puntos determinados as:Aplicado la Regla de Simpson de 3/8 en cada uno de los intervalos, tenemos:| |((

+ + |.|

\|+ += }= =11 1) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) (8) (nin inii i obax f x f z f y f x fna bdx x fEJERCICIOSDE APLICACINAproximar la siguiente integral usando la Regla de Simpson de 3/8,subdividiendo en 3 intervalos:a)RESUMEN DE FRMULASREGLA DEL TRAPECIO SIMPLE2) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () (b f a fa b dx x f I dx a xa ba f b fa f Ibaba+ ~ = ((

+ =} }REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTAREGLA DE SIMPSON DE 1/3 SIMPLE REGLA DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTA6) ( ) ( 4 ) () (2 1x f x f x fa b Io+ + ~TALLERCALCULAR EL VALOR DE LA INTEGRAL:HACIENDO USO DE:1. REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE2. REGLA DEL TRAPACIO COMPUESTO EN n=33. REGLA DE SIMPSON DE 1/3 SIMPLE4. REGLA DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO CON n=35. REGLA DE SIMPSON DE 3/8 SIMPLE( )}+t03 8 dx Senx