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Capítulo 6Integración Numérica

Ing. Cynthia Samudio

Introducción a la integración numérica, Fórmulas Newton-Cotes, Regla del Trapecio y Trapecio

Modificada

• Continuando con la presentación de la primera parte del

capítulo. Explicaremos los métodos Simpson 1/3 de

Aplicación Multiple y Simpson 3/8.

• Así como en la regla de trapecio, la regla de Simpson se mejora al

dividir el intervalo de integral en varios segmentos de un mismo

tamaño

nab

h

])()(2)(4)([31 1

5,3,1

2

6,4,210

n

i

n

jnj xfxfxfxfhI

• Esta regla sólo se puede aplicar para una cantidad de segmentos que sean pares.

6.3.2 Regla de Simpson 1/3 de Aplicación Múltiple

6.3 Integración por la Regla de Simpson

Índice

Ejemplo: Simpson 1/3 Modificado o de Aplicación Multiple

x f(x)

0 1

0.25 1.064494459

0.50 1.284025417

0.75 1.755054657

1 2.718281828

Enunciado Aproximar la siguiente integral, aplicando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 4 intervalos.                                    

x0

x1

x2

x3

x4

25.04

01 nab

h

Índice

Se calculan los valores de x, observe que se esta sumando a partir de x0 el valor de h

eI

I

xfxfxfxfxfh

I

xfj jxfi ixfxf

hI

463710761.1

..)718.2)755.1(2..))284.1(..)064.1((41(3

)25.0(

))4()2((2))3()1((4)0((3

))4(2

2)(2)

3

.3,1(4)0((

3

• De forma similar a la obtención de la regla de trapecio y Simpson

1/3, es posible ajustar un polinomio de tercer grado a cuatro puntos

e integrarlo.

)()(3)(3)(8

3

)()(

3210

3

xfxfxfxfh

I

obtenerpara

dxxfdxxfIb

a

b

a

Donde h= (b-a)/3Fórmula de Regla

Simpson 3/8

6.3.3 Regla de Simpson 3/8

6.3 Integración por la Regla de Simpson

Índice

Ejemplo Simpson 3/8 aplicada a la funciónEnunciado Evalúe la siguiente integral, usando la regla de Simpson de 3/8 :                                  Solución.En este caso, tenemos los siguientes datos:                                                        

Los cuales sustituimos en la fórmula, para obtener: 

6.3.3 Regla de Simpson 3/8

6.3 Integración por la Regla de Simpson

Índice

En caso, que se tenga número de segmento impares, se recomienda una

combinación de la regla de Simpson 3/8 + Regla 1/3. Como se observa en la

gráfica, los tres primeros segmentos se utiliza Simpson 3/8 y el resto de

segmentos pares Simpson 1/3 de Aplicación Múltiple. Si sólo son 5

segmentos, se emplea Simpson 1/3 en los últimos dos segmentos.

F(x)

x

Simpson 3/8 Simpson 1/3

Se calcula una h global que

es igual a la fórmula. Donde

n= es la cantidad total de

segmentos

nab

h

6.3.4 Regla de Simpson combinado

6.3 Integración por la Regla de Simpson

Índice

• Enunciado Integre con la Regla de Simpson integre la siguiente función en cinco segmentos, para a=0 y b=0.8.

5400490036752200252.0)( xxxxxxf

• Solución Calcule el valor de h, para obtener los valores de los puntos

para x y su respectivamente evaluación de la función

16.05

08.0 nab

h

x f(x)

0 0.2

0.16 1.296919

0.32 1.743393

0.48 3.186015

0.64 3.181929

0.80 0.232

Ejemplo de Simpson Combinado

6.3.4 Regla de Simpson combinado

6.3 Integración por la Regla de Simpson

Índice

• Utilice los tres primeros con Simpson 3/8 y los dos últimos con

Simpson 1/3.

)]5()4(2)3([3

1)3()2(3)1(30(

8

3xfxfxfhxfxfxfxfhI

eI

I

271226953.1

521699893.075041706.0

6.3.4 Regla de Simpson combinado

6.3 Integración por la Regla de Simpson

Índice

Comentarios finales del capítulo.

• Para aplicaciones que no requieran un tipo de precisión muy

elevada la regla del trapecio de aplicación múltiple es funcional.

• Si se requiere de alta exactitud es preferible las reglas de

Simpson. El uso de ellas dependerá mucho de la cantidad de

segmentos. Si los segmentos son pares, la regla de Simpson

1/3 de aplicación múltiple y la regla de Simpson Combinada

para segmentos impares.

• En caso de tener 2 segmentos: Simpson 1/3 y de 3 segmentos:

Simpson 3/8. Si lo que tiene es una tabla de datos tabulados,

recuerde que debe la cantidad de segmentos es igual a la

cantidad de puntos menos 1.

Índice

Gracias por su Participación