INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Prof.José Andrés

Vázquez

MÉTODOS NUMÉRICOS

Fórmulas de Newton-Cotes

INTRODUCCION METODOS DE INTEGRACIÓN

Método de Integración de Romberg

Trabajo de Aplicación

Sumario

La integración numérica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y en la ingeniería para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente.

INTRODUCCION

De acuerdo con la definición del diccionario, integrar significa “llevar junto, como partes, en un todo, unir, indicar la cantidad total…”

Pero… QUÉ ES INTEGRAR?

Matemáticamente la integración se representa por:

INTRODUCCION

que se tiene para la integral de la función f(x) con respecto a la variable independiente x, evaluada en los límites x=a y x=b

Ec 1

Como lo sugiere la definición del diccionario, el “significado” de la Ec 1 es el valor total o sumatoria de f(x) sobre el rango x=a a x=b.

De hecho, el símbolo es una letra S estilizada que intenta representar la conexión cercana entre la integración y la sumatoria.

INTRODUCCION

Observe que el proceso representado en la Ec 1 y en la Fig 1 es llamado integración definida

Fig 1

a b

INTRODUCCION

METODOS de INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Métodosde

IntegraciónNumérica

Fórmulas deIntegración

De Newton-Cotes

IntegraciónDe

Romberg

Regla Trapezoidal

Regla de Simpson

Método de ExtrapolaciónDe Richadson

Regla 1/3 deSimpson

Regla 3/8 de Simpson

FORMULAS DE NEWTON-COTES

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica más comunes.

Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar:

donde fn(x) es igual a un polinomio de la forma:

donde n es el orden del polinomio.

b

a n

b

adxxfdxxfI )()( Ec 2

Ec 3

FORMULAS DE NEWTON-COTES

Por ejemplo, en la Fig. 2 se usa el polinomio de primer orden (una línea recta) como una aproximación. Mientras que en la Fig. 3 se emplea una parábola para el mismo propósito.

Fig 2 Fig 3

FORMULAS DE NEWTON-COTES

Por ejemplo, en la Fig. 4 se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral. Pueden utilizarse polinomios de orden superior para los mismos propósitos.

Fig 4

Base legalLA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL

La Regla Trapezoidal es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la Ec 2 es de primer orden.

Ec 2

2

)()()( )()(

)()()(

bfafabdxxfIdxax

ab

afbfafI

b

a

b

a

Pero…

QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?

Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que conecta a f(a) y f(b) como se muestra en Fig. 7.

Fig. 7

Base legalLA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL

Entonces, el resultado de la integración es lo que se denomina regla trapezoidal, resumida en la siguiente ecuación;

Ec 5

2

)()()( )()(

)()()(

bfafabdxxfIdxax

ab

afbfafI

b

a

b

a

Pero…

QUÉ SIGNIFICA LA REGLA TRAPEZOIDAL?

Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que conecta a f(a) y f(b) como se muestra en Fig. 7.

Fig. 7

Base legalLA REGLA DEL TRAPECIO O TRAPEZOIDAL

Recuerde, que la fórmula para calcular el área de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases, tal y como se muestra en la Fig. 8.

En la Fig. 8 se muestra la fórmula para calcular el área de un trapezoide (altura por el promedio de las bases). En la Fig. 9 para la regla trapezoidal el concepto es el mismo pero ahora el trapezoide está sobre su lado

Fig. 8 Fig. 9

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Use la Regla del Trapecio para aproximar los valores de las siguientes integrales:

a) b)

Base legalAPLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIO

La Regla del Trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en n

subintervalos, todos de la misma longitud

Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión.

Usando las propiedades de la integral, tenemos que:

Aplicando la Regla del Trapecio a cada una de las integrales, obtenemos:

Base legalAPLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIO

Sustituyendo el valor de h y haciendo uso de la notación sigma (sumatoria), tenemos finalmente:

Esta es la regla del trapecio para n subintervalos.

Obviamente, esperamos que entre más subintervalos usemos, mejor sea la aproximación a la integral. 

Ec. 6

Ahora bien, ya que los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que:

Base legalAPLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA DEL TRAPECIO

Ilustración de la Regla Trapezoidal de aplicación múltiple: a) dos segmentos, b) tres segmentos, c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos

Fig. 10 Fig. 11

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Use la Regla del Trapecio para aproximar el valor de la siguiente integral:

Si subdividimos en 5 intervalos

PARA LA PRÓXIMA CLASE

ESTUDIAR LA REGLA DE SIMPSON

Regla de Simpson

Regla 1/3 deSimpson

Regla 3/8 de Simpson

Base legalREGLA DE SIMPSON

Además de aplicar la Regla Trapezoidal con segmentación más fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de la integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos.

Por ejemplo, si hay un punto extra a la mitad del camino f(a) y f(b), los tres puntos se pueden conectar en una parábola, tal y como se muestra en la Fig. 12.

Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden, tal y como se muestra en la Fig. 13.

Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo estos polinomios son conocidas como Regla de Simpson.

Fig. 12 Fig. 13

Base legalREGLA DE SIMPSON

La Regla de Simpson 1/3 resuelta cuando una interpolación polinomial de segundo orden es sustituida en la ecuación:

Si a y b se designan como xo y x2 y f2(x) es representada por un polinomio de Lagrange de segundo orden y la integral se transforma en:

Después de la integración y manejo algebraico, resulta la siguiente fórmula:

Ec. 7

dxxfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxI

x

x

2

0

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))((2

1202

101

2101

200

2010

21

)()(4)(32

)(

)()(4)(3 210210 xfxfxf

ab

xfxfxfh

I

Base legalREGLA DE SIMPSON

Esta ecuación es conocida como Regla de Simpson de 1/3. Es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes.

6

)()(4)()( 21 xfxfxfabI o

Ec. 8

La especificación “1/3” surge del hecho de que h está dividida entre 3 en la ecuación anterior.

Recuerde que x1 es el punto medio entre a y b.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de las siguientes integrales:

a) b)

Base legalREGLA DE SIMPSON 1/3DE APLICACIÓN MÚLTIPLE

La Regla de Simpson se puede ampliar si subdividimos el intervalo [a,b] en n

subintervalos, todos de la misma longitud

Al sustituir la Regla de Simpson de 1/3 a cada una de las integrales, obtenemos:

6

)()(4)(2...

6

)()(4)(2

6

)()(4)(2 1232121 nnno xfxfxf

hxfxfxf

hxfxfxf

hI

Sea la partición que se forma al hacer dicha subdivisión y

sea el conjunto de los untos medios de los subintervalos.

Usando las propiedades de la integral, tenemos que:

ii xxPm ,1

Base legalREGLA DE SIMPSON DE APLICACIÓN MÚLTIPLE

Combinando términos y sustituyendo nos queda:

Fig. 14: Representación gráfica de la Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple. Observe que el método se puede emplear sólo si el número de segmentos es par

n

xfxfxfxfabI

n

ii

n

imo

6

)()(2)(4)()(

2

1

11

Ec. 9

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de la siguiente integral y sibdividiendo en 5 intervalos

a)

Use la Regla de Simpson de 1/3 para aproximar el valor de la siguiente integral y sibdividiendo en 4 intervalos

b)

Base legalREGLA DE SIMPSON de 3/8

CLASE 3

Base legalREGLA DE SIMPSON de 3/8

En una manera similar a la derivación de la Regla Trapezoidal y Regla de Simpson 1/3, un polinomio de Lagrange de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse:

Para obtener:

Ec. 10

Donde . Esta ecuación se llama Regla e Simpson de 3/8 debido a

que h se multiplica por 3/8.

NOTE QUE x1 Y x2 SON LOS PUNTOS QUE DIVIDEN EN TRES PARTES IGUALES EL INTERVALO [a,b]

Base legalREGLA DE SIMPSON de 3/8

Ésta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La Regla de Simpson 3/8 se puede expresar también de la forma:

Ec. 11

Fig. 15: Ilustración de cómo se puede usar en conjunto las Reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para menejar aplicaciones múltiples con números nones de intervalos.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Aproximar la siguiente integral usando la Regla de Simpson de 3/8:

a)

Base legalREGLA DE SIMPSON de 3/8 MÚLTIPLE

Al igual que en los casos anteriores, la Regla de Simpson de 3/8 se puede extender si subdividimos el intervalo [a.b] en n intervalos de la misma longitud h.

Sea la partición determinada de esta forma. Cada subintervalo

lo dividimos en tres partes iguales, y sean y

los puntos determinados así: 

Aplicado la Regla de Simpson de 3/8 en cada uno de los intervalos, tenemos:

1

11

)()(2)()(3)(8

)(n

ini

n

iiio

b

a

xfxfzfyfxfn

abdxxf

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Aproximar la siguiente integral usando la Regla de Simpson de 3/8, subdividiendo en 3 intervalos:

a)

RESUMEN DE FÓRMULAS

REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE

2

)()()( )()(

)()()(

bfafabdxxfIdxax

ab

afbfafI

b

a

b

a

REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTA

REGLA DE SIMPSON DE 1/3 SIMPLE REGLA DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTA

6

)()(4)()( 21 xfxfxfabI o

TALLER

CALCULAR EL VALOR DE LA INTEGRAL:

HACIENDO USO DE:

1. REGLA DEL TRAPECIO SIMPLE

2. REGLA DEL TRAPACIO COMPUESTO EN n=3

3. REGLA DE SIMPSON DE 1/3 SIMPLE

4. REGLA DE SIMPSON DE 1/3 COMPUESTO CON n=3

5. REGLA DE SIMPSON DE 3/8 SIMPLE

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