Integracion Por Sustitucion Trigonometrica
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Métodos de integración Integración de funciones con trinomio cuadrado perfecto. Integración por sustitución trigonométrica Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui
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Métodos de integración
Integración de funciones con trinomiocuadrado perfecto.
Integración por sustitucióntrigonométrica
Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui
Propósitos: Aplica las reglas de integración
para resolver ejercicios defunciones con trinomio cuadradoperfecto.
Aplica la sustitucióntrigonométrica para calcularintegrales.
Integrales que contienen polinomios cuadráticos
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencianegativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificarmediante el proceso de completar el cuadrado. (Trinomio cuadradoperfecto).Por ejemplo
y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene
En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia
de cuadrados para que se pueda usar tablas
o 2222 -u aau
1)1(22 22 xxx
cxacuau
du
xx
dx)1tan()tan(
122 22
PROBLEMAS
Resolver los siguientes ejercicios
1. I =
2. I =
3. I =
INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
• Cuando un integrando contiene potenciasenteras de “x” y potencias enteras dealguna de las expresiones:
• es posible que se puedan evaluar pormedio de una sustitución trigonométrica.
22 xa 22 xa22 ax
CASO 1: Integrandos que contienen
22 xa
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos
Identidad pitagórica
22 xa
xa
)(aSenx
22 cos1 sen
CASO 2: Integrandos que contienen
22 xa
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos
Identidad pitagórica
22 xa
x
a
)(aTanx
22 sectan1
CASO 3: Integrandos que contienen
22 ax
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos
Identidad pitagórica
22 ax
x
a
)(aSecx
22 tan1sec
PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
1. Proponer la sustitución adecuada.
2. Reemplazar los términos en la integral apartir de la sustitución propuesta.
3. Resolver la integral equivalente obtenidaal reemplazar los términos a partir de lasustitución propuesta.
4. Expresar la solución de la integralequivalente en términos de la sustituciónoriginal.
EJEMPLO:
1. Resolver:
Seguiremos paso a paso con el proceso indicado.Como el radical tiene la forma con a = 4, tenemos una integral del CASO 2.
Procedimiento de solución:
1. El cambio indicado es:
Con ello, tenemos la siguienterepresentación gráfica:
216 xx
dx
22 xa
)(4Tanx
2. Reemplazando los términos en la integral propuesta tenemos:
216 xx
4
)(4Tanx
22 161616 Tanx
)1(16 2Tan
SecSec 416 2
dSecdx 24
SecTan
dSec
xx
dx
44
4
16
2
2
Simplificando:
Esta última representa la integral equivalente.
dSen
dCosSen
Cos
xx
dx 1
4
1
/
/1
4
1
16 2
SecTan
dSec
xx
dx
44
4
16
2
2
Tan
dSec
xx
dx
4
1
16 2
dCscxx
dx
4
1
16 2
3. Enseguida procedemos a resolver la integral equivalente. Como:
Entonces:
4. Expresando lo anterior en función de los términos originales, tenemos finalmente que:
cCotuCscuCscudu ln
cCotCscdCscxx
dxln
4
1
4
1
16 2
cxx
x
xx
dx 416ln
4
1
16 2
EJEMPLO:
2. Resolver:
3. Resolver:
4. Resolver:
2/32 )4(xx
dx
dxx
x2
2 94
24 2 xx
dx
PROBLEMAS:• Resolver:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
dxx
x
2
2
25
dxx
x29
2/32 )1( x
dx
dxx
x4
2 9
dxx2142x
dx
Expresión Sustitución Identidad
Sustituciones trigonométricas
dxxa 22
dxax 22
dxax 22
22,senax
22,tanax
2
3
20,sec oax
xx 22 cossen1
xx 22 sectan1
xx 22 tan1sec
SINTESIS DE LA CLASE
