APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LINEA.

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones

importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo

escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre

una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también

INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;

El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función

(campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una

trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen

sobre el mismo.

 Una función vectorial definida en

, diferenciable y acotada en ;

 La parametrización de una trayectoria en . Se llama integral de línea de

F sobre    a la integral:

Una forma mas utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial

de curva también se pude expresar así:

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

 

Trabajando Integrales de Línea

A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con

éxito nuestro cálculo:

Primero debemos parametrizar la curva sobre la cual estamos trabajando:

Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrización en dicha

función. E integramos:

Luego sustituimos dS por: 

Teniendo así lo siguiente:

Ejemplo # 1

Evaluar la integral de línea del campo vectorial   sobre la trayectoria

de una hélice 

Solución: Se resuelve la integral de acuerdo a la definición

Ejemplo#2

Ejemplo#3

Un hombre de 160 libras lleva una cubeta de pintura de 25 libras a lo alto de un tanque a traves de una

escalera helicoidal. La escalera tiene 20 pies de radio. Al alcanzar la altura máxima de 90 pies del

tanque la escalera ha dado tres vueltas completas. Calcule el trabajo realizado para llevar la cubeta

hasta lo más alto del tanque.

'Solución'

Sabemos que al dar tres vueltas completas llegaremos a alcanzar 90 pies. De esto establecemos una

relación y encontramos que 6πz=90t, por lo tanto z=15/πt. También conocemos la fuerza que va en

dirección de z y son 185 lb. Con esto encontramos nuestras ecuaciones:

Con esto podemos evaluar nuestra integral de línea haciendo variar t desde 0 hasta 6π

Ejemplo#4

Evalúe   donde c consiste del arco c1 de la parábola y=x² que va de (0,0)->(1,1) y c2 que es el

segmento de recta de (1,1)->(1,2)

Parametrización de las curvas

C1: 

, donde 

C2: 

, donde 

Con esto ya podemos evaluar nuestro integral de linea:

Ejemplo#5

Calcule el trabajo hecho por el campo de fuerza   al mover la partícula a lo

largo de una cuarta parte de un círculo cuya ecuación vectorial es 

Sabemos que el cuarto de círculo que estamos utilizando va desde 0 hasta π/2. Si sustituimos en la

función del campo de fuerza la ecuación vectorial del círculo obtenemos

Necesitamos también la primera derivada de nuestra ecuación vectorial del círculo

Realizamos el producto punto entre vectores

Ahora solo nos queda evaluar nuestro integral

Ejemplo#6

Evalúe   c es la mitad superior del circulo unitario.

Parametrizamos:     

 Evaluamos la integral:

Aplicación De La Integral De Línea Al Cálculo Del Trabajo

El trabajo en la física elemental se define como “trabajo es igual a fuerza por distancia”, es decir que el

trabajo que se efectúa sobre el cuerpo se da por: W = Fd , donde F es una fuerza constante que actúa

sobre el cuerpo y que es paralela al desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento.

Ejemplo#7

Evalúe el trabajo realizado por el campo de fuerza   sobre una partícula

que se mueve por la hélice de ecuación   desde el punto   

hasta 

Luego de graficar la superficie nos damos cuenta que va desde el punto   a 

Necesitamos la primera derivada de nuestra ecuación de superficie.

Luego sustituimos en la función del campo de fuerza la ecuación vectorial de la superficie obtenemos:

Realizamos el producto punto entre los vectores:

Evaluamos la integral

Ejemplo#8

Tomando   Evaluar la integral de línea sobre la

superficie   para 

Necesitamos la primera derivada de nuestra ecuación de superficie.

Sustituimos en la función del campo de fuerza la ecuación vectorial de la superficie obtenemos:

Realizamos el producto punto entre los vectores:

Evaluamos la integral