Integral de Linea(1)

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Integral de Lnea. Clculo Superior.ITCR.

Prof. Alcides Astorga M.

INTEGRAL DE LNEA

Curvas paramtricas en el plano

Si (x, y) es un punto de una curva C y (x, y) est definido por:

x = f(t), y = g(t) con a

d

t

d

b

(1)

entonces se dice que C est definida en forma paramtrica y las ecuaciones en (1) reciben el

nombre de ecuaciones paramtricas de C y t recibe el nombre de parmetro.

Similarmente

Curvas paramtricas en el espacio

Si (x, y, z ) es un punto de una curva C y (x, y, z) est definido por:

x = f(t), y = g(t), z = h(t) con a

d

t

d

b

(2)

entonces se dice que C est definida en forma paramtrica y las ecuaciones en (2) reciben el

nombre de ecuaciones paramtricas de C y t recibe el nombre de parmetro.

Adems, diremos que C est orientada positivamente si su direccin corresponde a los valores

crecientes de t, y C se recorre slo una vez cuando t vara de a a b.

Ejemplo:

Dibuje la curva cuyas ecuaciones paramtricas son: x(t) = 2cos(t), y(t) = sen(t), z(t) = t, t

IR

Solucin:

La curva, como se puede verificar est dentro del cilindro

1

4

2

2

y

x

.

Integral de Lnea. Clculo Superior. ITCR.


2

Ejercicio:

Dibujar la curva descrita por las ecuaciones x = 2sent, y = 2cost, donde -1

d

t

d

2.

Definicin:

Sea C una curva definida por x = f (t), y = g(t) en el plano o x = f (t), y = g(t), z = h(t) en el

espacio donde

t

0

d

t

d

t . Los extremos A y B de la curva corresponden a

1

t = t , t = t

0

1

respectivamente. Si C est orientada positivamente, A recibe el nombre de punto inicial y B el de

punto final de la curva.

Si A = B, decimos que C es una curva cerrada.

Una curva que no se corta a s misma (con la salvedad de los puntos extremos) recibe el nombre

de curva simple.

Curvas Simples

Curvas No simples



3

Definicin:

Sea C una curva definida por:

x = f (t), y = g(t), t

] a, b [

(en el plano)

x = f (t), y = g(t), z = h(t), t

] a, b [ (en el espacio)

Se dice que C es una curva regular (o suave) si es continua en ] a, b [ y adems f t), gt), ht)

existen en ] a, b [

Definicin:

Una curva se dice que es regular a trozos o suave por partes en un intervalo I, si este intervalo

puede descomponerse en un nmero finito de subintervalos I , I , I , ... , I en cada uno de los

1

2

3

n

cuales la curva es regular.

Adems, note que el punto final de I coincide con el punto inicial de I

i

i +1

Funciones vectoriales

Consideremos un objeto que se desplaza en el espacio (o plano) siguiendo una trayectoria, la cual

geomtricamente corresponde a una curva C. Denotemos por (x, y, z) o por (x, y), segn

corresponda, la posicin del objeto en un tiempo t con respecto a un sistema de coordenadas.

Entonces, podemos describir la posicin del objeto mediante un vector r, cuyo origen es (0, 0, 0)

y extremo final el punto (x, y, z) , por lo que podemos escribir:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

r(t) recibe el nombre de vector de posicin del punto (x, y, z).



4

En general:

Definicin:

Sea J

IR, entonces r : J

o

IR recibe el nombre de funcin vectorial.

n

Ejemplos de funciones vectoriales:

1.

r(t) = (1 + t, 5t, 1 2t)

2.

r(t) = sen(t)i + cos(t)j

3.

r(t) = ti + t j + t k

2

3

Longitud de arco.

1.

Sea C una curva en el plano que viene descrita por:

x(t) = f (t), y = g(t) con a

d

t

d

b

entonces la longitud de arco de C en el intervalo [ a, b ] viene dada por s, donde:

s =

b

a

dt

t

g

t

f

2

2

)]

(

'

[

)]

(

'

[

o por

s =

dt

dt

dy

dt

dx

b

a

2

2

2.

Sea C una curva en el espacio que viene descrita por:

x(t) = f (t), y = g(t), z =h(t) con a

d

t

d

b

entonces la longitud de arco de C en el intervalo [ a, b ] viene dada por s, donde:

s =

b

a

dt

t

h

t

g

t

f

2

2

2

)]

(

'

[

)]

(

'

[

)]

(

'

[

o por s =

dt

dt

dz

dt

dy

dt

dx

b

a

2

2

2

Si la ecuacin de la curva C en el plano la expresamos como r(t) = x(t)i + y(t)j, entonces:

r(t) = f(t)i + g(t)j

rt) =f t)i + gt)j

__

rt)

__

=

>

@ >

@

2

2

)

(

'

)

(

'

t

g

t

f

.

Similarmente si consideramos la curva en el espacio:

r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

rt) =f t)i + gt)j + ht)k

__

rt)

__

=

>

@ >

@ >

@

2

2

2

)

(

'

)

(

'

)

(

'

t

h

t

g

t

f

.



5

Entonces la longitud de arco de una curva C en un intervalo, independientemente de si est

definida en el plano o en el espacio se puede expresar de la forma:

s =

dt

t

b

a

)

(

'

r

Teorema:

Sea s(t) =

dt

t

t

a

)

(

'

r

, entonces sW

__

rt)

__

, o en forma equivalente:

dt

ds

=

__

rt)

__

.

Teorema:

Sea C una curva descrita por r(t) = f(t)i + g(t)j (en el plano) o r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k (en el

espacio). Entonces el vector r(t) es un vector tangente a la curva. Adems el vector tangente

unitario de la curva en el punto en t = t , viene dado por:

0

T(t ) =

0

)

(

'

)

(

'

0

0

t

t

r

r

Usando el hecho de que rt) =

dt

dr

y que

)

(

' t

dt

ds

r

, entonces obtenemos que:

T(t) =

)

(

'

)

(

' t

t

r

r

=

dt

ds

dt

dr

=

ds

dr

, o sea

T(t) =

ds

dr

Definicin: (Campos escalares)

Sea f :IR

n

o

IR, entonces f recibe el nombre de campo escalar.

( I )

( II )

( III )



6

Ejemplos de campos escalares:

1.

f (x, y) = x + y

2

2

2.

f (x, y, z) =

5

)

2

(

4

)

1

(

2

2

2

z

y

x

3.

w =

y

x

z

y

x

4. 2x + 7y 2 z = 5

Definicin: (Campos Vectoriales)

Sea F: IR

n

o

IR , entonces F recibe el nombre de campo vectorial.

m

Ejemplos de campos vectoriales:

1.

F(x, y) = (1 x , 3 + y)

2

2.

F(x, y, z) = (x y , x z , 4)

2

2

3.

F(x, y, z) = 2xi + zj 5xyk

Integral de lnea para campos escalares

Sea C una curva plana dada por x = x(t), y = y(t) con a

d

t

d

b. Supongamos que C es una curva

suave, orientada positivamente, entonces el punto inicial de C es A = (x(a), y(a)) y su punto final

es B = (x(b), y(b)) .

Consideremos la particin P del intervalo [a, b] que contiene al parmetro t, de la siguiente forma

a = t < t < t < .... < t = b

0

1

2

n

Esta particin de [a, b] produce una divisin de la curva C en n sub-arcos P

i-1

P donde el punto

i

donde P = ( x(t ), y(t ) ).

i

i

i



7

Sean

'

s la longitud del arco de extremos P

i

i-1

y P y

i

__

P

__

la norma de la particin P, esto es,

__

P

__

es el valor mayor de las restas t t

i

i-

1

y por ltimo elegimos un punto particular Qi=

)

,

(

*

*

i

i

y

x

contenido en el arco P

i-1

P .

i

Formemos la suma de Riemann

i

n

i

i

i

s

y

x

f

'

)

,

(

1

*

*

Si f

t

HVWD VXPD GD HQ IRUPD DSUR[LPDGD HO iUHD GH OD FRUWLQD YHUWLFDO TXH DSDUHFH HQ OD

figura anterior.

Si f es continua en una cierta regin D que contiene

C en el plano xy, entonces la suma de

Riemann tiene un lmite cuando

__

P

__o

0, este lmite se llama integral de lnea de f a lo largo

de C, con respecto a la longitud de arco de extremos A y B y escribimos:

C

ds

y

x

f

)

,

(

=

o

'

n

i

i

i

i

P

s

y

x

f

lm

1

*

*

0

)

,

(

Teorema:

Sea z = f(x, y) un campo escalar, donde (x, y) toman valores en la curva C la cual est definida

por: x = x(t), y = y(t) con a

d

t

d

b, entonces:

C

ds

y

x

f

)

,

(

=

>

@

>

@

b

a

dt

t

y

t

x

t

y

t

x

f

2

2

)

(

'

)

(

'

))

(

),

(

(

Justificacin:

Recordemos que si la curva C est definida por: x = x(t), y = y(t) con a

d

t

d

b, entonces:

>

@

>

@

2

2

)

(

'

)

(

'

t

y

t

x

dt

ds

, o sea que

>

@ >

@

dt

t

y

t

x

ds

2

2

)

(

'

)

(

'

, haciendo las sustituciones

correspondientes se tiene el resultado buscado.

Similarmente si la curva C est dada por: x = x(t), y = y(t), z = z(t) con a

d

t

d

b, entonces la

integral de lnea de f a largo de C con respecto a la longitud de arco, se define en forma anloga,

y es vlido el siguiente resultado:

C

ds

z

y

x

f

)

,

,

(

=

o

'

n

i

i

i

i

i

P

s

z

y

x

f

lm

1

*

*

*

0

)

,

,

(

Adems:

C

ds

z

y

x

f

)

,

,

(

=

>

@

>

@

>

@

b

b

dt

t

z

t

y

t

x

t

z

t

y

t

x

f

2

2

2

)

(

'

)

(

'

)

(

'

))

(

),

(

),

(

(



8

Teorema:

Sea C una curva suave o regular a trozos, esto es , C es la unin de un nmero finito de curvas

suaves C , C , ..., C , entonces:

1

2

n

C

ds

y

x

f

)

,

(

=

1

)

,

(

C

ds

y

x

f

+

2

)

,

(

C

ds

y

x

f

+

... +

n

C

ds

y

x

f

)

,

(

Ejemplo:

Calcule

C

ds

y

x

2

, donde C es una curva cuyas ecuaciones paramtricas vienen dadas por

t

x

cos

4

,

t

y

sen4

, 0

d

t

dS

.

Solucin:

C

ds

y

x

2

=

S

0

2

2

2

)

sen

4

(

)

cos

4

(

)

sen

4

(

)

cos

4

(

dt

t

t

t

t

=

dt

t

t

t

t

)

sen

(cos

16

)

sen(

)

(cos

64

2

2

0

2

S

= 256

S

0

2

)

sen

(

)

(cos

dt

t

t

= 256

S

0

3

3

cos

t

= 0

Ejercicio:

Calcule

C

xds donde C est formado por las curvas C y C , donde:

1

2

C : x = t, y = t , 0

1

2

d

t

d

1

C : Segmento de recta cuyo punto inicial es (1, 1) y su punto final es (1, 2).

2

Integral de Lnea en Campos Vectoriales

Definicin:

Sea F campo un vectorial definido sobre una curva suave C y T el vector tangente unitario a C en

un punto arbitrario P, entonces el trabajo W realizado por F a lo largo de C viene dado por:

W =

C

dsT

F

Algunas veces a F tambin se le llama campo de fuerzas.



9

Formas alternativas de expresar una integral de lnea en campos vectoriales:

Teorema:

Sea F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j o F(x, y, z) = M(x, y,z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k un campo

vectorial definido sobre una curva suave, entonces:

C

dsT

F

=

C

dr

F

Justificacin:

Por lo expuesto en la pgina 5, T(t) =

ds

dr

, por lo que haciendo los cambios en la integral

izquierda anterior, se tiene el resultado deseado en la integral derecha.

Una segunda forma, comnmente usada, de la integral de lnea se deriva de la notacin de los

campos vectoriales.

Teorema:

Si F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j o F(x, y, z) = M(x, y,z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k y C viene dada

por r(t) = x(t)i + y(t)j entonces:

C

dr

F

=

C

Ndy

Mdx

o

C

dr

F

=

C

Pdz

Ndy

Mdx

(segn corresponda)

Justificacin:

r(t) = x(t)i + y(t)

rt) = xt)i + yt)j =

j

i

r

dt

dy

dt

dx

dt

d

De donde:

C

dr

F

=

C

dt

dt

dr

F

=

b

a

dt

t

y

t

x

N

M

)

)

(

'

)

(

'

)(

(

j

i

j

i

=

b

a

dt

dt

dy

N

dt

dx

M

=

C

Ndy

Mdx

)

(

=

C

Ndy

Mdx



10

Esta forma diferencial de expresar la integral de lnea puede extenderse a tres variables, para

obtener:

C

dr

F

=

C

Pdz

Ndy

Mdx

Para las curvas que se representan mediante y = g(x), a

d

x

d

b podemos hacer x = t y obtener la

forma paramtrica:

x = t, y = g(t), a

d

t

d

b.

Puesto que dx = dt para esta forma, tenemos la opcin de calcular la integral de lnea en la

variable x o en la t.

Ejemplo:

Evale la integral de lnea

C

dy

xy

dx

xy

2

2

a lo largo de la trayectoria C = C

1

C , donde las

2

curvas se indican en la figura siguiente:

Evale la integral anterior a lo largo de la trayectoria C .

3

Solucin:

i) Integral de lnea sobre C : y = 2, dy = 0, 0

1

d

x

d

3

1

c

2

2

dy

xy

dx

xy

=

3

0

2

2

)

0

(

)

2

(

)

2

(

x

dx

x

=

3

0

4

dx

x

=

> @

3

0

2

2

x

= 18

ii) Integral de lnea sobre C : x = 3, dx = 0, 2

2

d

y

d

5

2

c

2

2

dy

xy

dx

xy

=

2

c

2

2

3

)

0

(

3

dy

y

y

=

5

2

2

3

dy

y

=

> @

5

2

3

y

= 117

Por lo que

c

2

2

dy

xy

dx

xy

= 18 + 117 = 135



11

Evaluemos la integral usando la trayectoria C :

3

Para este caso debemos calcular la ecuacin de la recta correspondiente, que pasa por los puntos

(0, 2) y (3, 5).

Sea y = mx + b la ecuacin buscada, entonces:

m =

1

0

3

2

5

.

De donde y = x + b, sustituyendo uno de los puntos dados en esta ecuacin,

obtenemos que la ecuacin buscada es y = x + 2

As: y = x + 2, dy = dx, 0

d

x

d

3

3

c

2

2

dy

xy

dx

xy

=

3

0

2

2

)

2

(

)

2

(

dx

x

x

dx

x

x

= 2

3

0

2

)

2

(

dx

x

x

=

2

297

Definicin: (Regin abierta)

Sea D una regin en el plano. Se dice que D es una regin abierta, si para cualquier punto P en D

existe algn crculo con centro en P y que est totalmente contenido en D.

Definicin: (Regin Conexa)

Sea D una regin el plano. Se dice que D es una regin conexa, si para cualesquiera dos puntos

en D existe una curva regular C, que une dichos puntos, y est totalmente contenida en D.

Definicin: (Regin Simplemente Conexa)

Sea D una regin el plano. Se dice que D es una regin simplemente conexa, si para cualesquiera

dos puntos en D toda toda lnea recta L, que une dichos puntos, est totalmente contenida en

D.



12

Note que el anillo:

No es una regin simplemente conexa.

Definicin: (Divergencia de un campo vectorial)

Sea F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k .La divergencia de F, denotada divF, se

define como la funcin escalar que viene dada por:

divF =

z

y

x

w

w

w

w

w

w

P

N

M

Definicin: (Rotacional de un campo vectorial)

Sea F(x, y, z) = M(x, y,z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k . El rotacional de F, denotado rotF, se define

como el campo vectorial que viene dado por:

rotF =

k

j

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

w

y

x

x

z

z

y

M

N

P

M

N

P

i

El rotacional de un campo vectorial se acostumbra representar de la siguiente forma:

rot F =

P

N

M

z

y

x

w

w

w

w

w

w

k

j

i

Definicin:

Un campo de vectores F se dice que es conservativo si existe una funcin f, tal que F =

f.

Si tal f existe, entonces f recibe el nombre de funcin potencial de F.



13

Teorema:

Sea F (x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j tal que M y N tienen derivadas parciales continuas en una

regin abierta, entonces F es un campo conservativo si y slo si

y

M

x

w

w

w

w

N

.

Ejercicio:

Sea F(x, y) = (2xy)i + (x

2

y)j. Verifique que F es conservativo y determine una funcin

potencial de F.

Teorema:

Sea F(x, y, z) = M(x, y,z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k tal que M, N y P tienen derivadas continuas

en una regin del espacio abierta, entonces F es conservativo si y slo si rot F = 0

Ejercicio:

Sea F(x, y, z) = (x y z )i + (x z)j + (x y)k. Pruebe que F no es conservativo.

3

2

2

2

Teorema fundamental de las integrales de lnea.

Sea C una curva suave a trozos situada en una regin abierta R y dada por:

r(t) = x(t)i + y(t)j, a

d

t

d

b.

Si F(x, y) = Mi + Nj es conservativo en R, y M, N son continuas en R, entonces:

C

dr

F

=

C

d

f

r

= f(x(b), y(b)) f(x(a), y(a))

siendo f una funcin potencial de F, esto es F(x, y) =

f(x, y).

En forma totalmente anloga se puede extender el teorema anterior a IR .

3

El teorema fundamental de las integrales de lnea establece que si el campo vectorial F es

conservativo, entonces su integral de lnea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la

diferencia en los valores de la funcin potencial en dichos puntos.

Independencia del camino

Por el teorema fundamental de las integrales de lnea est claro que si F es continuo y

conservativo en una regin abierta R, entonces el valor de

C

dr

F

es el mismo para toda curva

suave a trozos C entre un punto fijo en R y otro punto, tambin fijo, en R. Describiremos este



14

resultado diciendo que la integral de lnea

C

dr

F

es independiente del camino en la regin R.

En regiones abiertas conexas podemos demostrar que la independencia del camino de

C

dr

F

es

equivalente a la condicin de que F sea conservativo.

Teorema

Si F es continuo en una regin conexa abierta, entonces la integral de lnea

C

dr

F

es

independiente del camino si y slo si F, es conservativo.

Recordemos que F = Mi + Nj es conservativo si y slo si

y

M

x

N

w

w

w

w

.

Recordemos que F = Mi + Nj + Pk es conservativo si y slo si rot F = 0.

Ejemplo:

Sea F(x, y) = (2x + y )i + (3xy + 4)j un campo vectorial

3

2

a. Calcule

C

dr

F

a lo largo de la recta que va del punto (0,1) al punto (2,3).

b. Verifique que F es conservativo.

c. Calcule

C

dr

F

usando el Teorema Fundamental de las integrales de lnea.

Solucin:

a. Calculemos la ecuacin de la recta que pasa por (0,1) y (2,3)

1

1

1

2

1

2

)

(

y

x

x

x

x

y

y

y

=

1

)

0

(

0

2

1

3

x

= x + 1,

De donde se obtiene que y = x + 1, 0

d

x

d

2, dy = dx

Por lo que:

C

dr

F

=

C

dy

xy

dx

y

x

)

4

3

(

)

2

(

2

3

=

2

0

2

3

)

4

)

1

(

3

(

)

)

1

(

2

(

dx

x

x

dx

x

x

=

2

0

2

3

2

3

)

4

3

6

3

(

)

1

3

3

2

(

dx

x

x

x

dx

x

x

x

x

=

2

0

2

3

)

5

8

9

4

(

dx

x

x

x

=

2

0

2

3

4

5

4

3

x

x

x

x

= 16 + 24 + 16 + 10 = 66

b. Sean M(x, y) = 2x + y , N(x, y) = 3xy + 4, entonces se obtiene que

3

4



15

2

3

y

y

w

w

M

;

2

3

y

x

w

w

N

. Como

x

y

w

w

w

w

N

M

se tiene que F es conservativo.

c. Como F es conservativo, existe una funcin escalar f tal que F =

f, o sea que:

F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j =

j

i

y

f

x

f

w

w

w

w

Lo que significa que:

M

w

w

x

f

N

w

w

y

f

3

2

y

x

x

f

w

w

)

(

)

,

(

3

2

y

g

xy

x

y

x

f

4

3

)

(

3

2

2

w

w

xy

y

g

xy

y

f

g(y) = 4

g(y) = 4

?

y

xy

x

y

x

f

4

)

,

(

3

2

Por lo que:

)

3

,

2

(

)

1

,

0

(

dr

f

dr

C

F

=

)

3

,

2

(

)

1

,

0

(

3

2

4

y

xy

x

= (4 + 54 + 12) (0 + 0 + 4) = 66

Teorema de Green

Sea R una regin simplemente conexa con frontera C, orientada en sentido contrario al

movimiento de las agujas del reloj. Si M, N,

y

w

w

M

,

y

N

w

w

son continuas en una regin abierta que

contiene a R, entonces:

C

dy

dx

N

M

=

w

w

w

w

R

dA

y

x

M

N

Teorema (integral de lnea para el rea)

Si R es una regin plana limitada por una curva cerrada simple suave a trozos C, entonces el rea

de R viene dada por:

A =

C

ydx

xdy

2

1



16

Ejemplo:

Aplicar el Teorema de Green para evaluar

C

dy

x

xydx

3

5

donde C es la curva cerrada que

est formada por la parbola de ecuacin y = x

2

y la recta de ecuacin y = 2x entre los

puntos (0,0) y (2,4):

Solucin:

Sean M(x, y) = 5xy

N(x, y) = x , entonces

3

x

y

5

w

w

M

,

2

3

x

x

w

w

N

, de donde:

C

dy

x

xydx

3

5

=

R

dA

x

x

5

3

2

=

2

0

2

2

2

)

5

3

x

x

dx

dy

x

x

=

dx

xy

y

x

x

x

2

0

2

2

2

5

3

=

dx

x

x

x

x

2

0

3

4

2

3

5

3

10

6

=

2

0

2

3

4

10

11

3

dx

x

x

x

=

2

0

3

4

5

3

10

4

11

5

3

x

x

x

=

15

28

Ejemplo:

Utilice el Teorema de Green para calcular el rea de la elipse de ecuacin

1

25

4

2

2

y

x

.

Solucin:

Parametricemos la elipse por medio de:

x = 2cos (t), y = 5sen (t), 0

d

t

d

2

S

Por lo que: dx = -2sen(t), dy = 5cos(t)



17

As: A =

C

ydx

xdy

2

1

=

S

2

0

))

(

2

))(

(

5

(

)

cos(

5

))(

cos(

2

(

2

1

dt

t

sen

t

sen

dt

t

t

=

dt

t

sen

t

)

(cos

)

5

)(

2

(

2

1

2

2

2

0

S

=

S

S

10

5

2

0

dt

Forma alternativa del teorema de Green

Si F(x, y) = M(x, y,z)i + N(x, y, z)j

es un campo vectorial en el plano, entonces podemos

escribirlo de la forma F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j + 0k de forma que el rotacional de F, viene

dado por:

rot F =

u

F =

P

N

M

z

y

x

w

w

w

w

w

w

k

j

i

=

k

j

i

w

w

w

w

w

w

w

w

y

M

x

N

z

M

z

N

Si calculamos el producto punto de rot F y k, entonces se obtiene que:

(rot F)

k =

k

k

j

i

w

w

w

w

w

w

w

w

y

M

x

N

z

M

z

N

=

y

M

x

N

w

w

w

w

De donde:

C

dr

F

=

w

w

w

w

R

dA

y

M

x

N

=

R

dA

k

F

rot

)

(

La extensin de esta forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio, da lugar al

Teorema de Stokes (el cual estudiaremos ms adelante)



18

INTEGRALES DE SUPERFICIE

La relacin entre las integrales de superficie y el rea de una superficie es muy parecida a la

relacin entre las integrales de lnea y la longitud de arco.

Sea S la superficie cuya ecuacin viene dada por z = f (x, y). Tomemos un rectngulo R que est

contenido en el dominio de f, tal y como se indica en la figura:

Si realizamos una particin P en R obtenemos n subrectngulos R , esto a su vez origina una

i

particin de S en n superficies S . Tomemos un punto (x , y ) en R y sea (x , y , z ) el

i

i

i

i

i

i

i

correspondiente punto en S .

i

Sea w = g(x, y, z) una funcin cuyo dominio contiene a la superficie S, entonces se define la

integral de superficie de g sobre S como:

S

dS

z

y

x

g

)

,

,

(

=

o

'

n

i

i

i

i

i

P

S

z

y

x

g

lm

1

0

)

,

,

(

donde

'

S denota el rea de Si

i

Teorema:

Sea S una superficie dada por z = f (x, y) donde (x, y) est definido en una regin R del plano xy.

Si f tiene derivadas parciales de primer orden continuas y

))

,

(

,

,

(

)

,

,

(

y

x

f

y

x

g

z

y

x

g

es continua

en R, entonces:



19

S

dS

z

y

x

g

)

,

,

(

=

xy

R

y

x

dA

f

f

y

x

f

y

x

g

1

))

,

(

,

,

(

2

2

Nota: Si la superficie S viene dada por una ecuacin del tipo x = f (y, z) o y = f (x, z) la integral

derecha se proyecta sobre cada uno de los correspondientes planos y la funcin g se plantea en

trminos de las otras dos variables.

Ejemplo

Calcule

S

dS

z

xy

)

3

(

, donde S es la seccin del plano de ecuacin 2x y + z = 3 que se

encuentra en el primer octante arriba del tringulo de vrtices (0, 0), (1,0) y (1,1).

Solucin:

Con respecto al teorema anterior, se tiene que g(x, y, z) = xy + z 3, adems, la superficie S viene

descrita por la ecuacin 2x y + z = 3, de donde

z = f (x, y) = 3 2x + y

Adems g(x, y, z) = g(x, y, f (x, y)) = xy + 3 2x + y 3 = xy 2x + y

La interpretacin grfica es la siguiente:

Observe que el tringulo en el plano xy lo podemos ver como una regin limitada por:

0

d

x

d

1, 0

d

y

d

x

Estoes, por cuanto la recta que pasa por (0, 0, 0) y (1, 1, 0) se puede ver como la recta que pasa

por los puntos (0, 0) y (1,1).

As:

S

dS

z

xy

)

3

(

=

dA

f

f

y

x

f

y

x

g

xy

R

y

x

2

2

1

))

,

(

,

,

(



20

=

xy

R

dA

y

x

xy

1

4

1

)

3

2

3

(

=

1

0

0

)

2

(

6

x

dydx

y

x

xy

=

6

1

0

0

2

2

2

2

2

x

y

xy

y

x

=

dx

x

x

x

1

0

2

2

3

2

2

2

6

=

1

0

3

3

4

6

3

2

8

6

x

x

x

=

6

1

3

2

8

1

6

=

24

4

16

3

6

=

8

6

3

Definicin: (rea de una superficie)

Si f y sus derivadas parciales primeras son continuas en una regin cerrada R del plano xy,

entonces el rea de la superficie z = f(x, y) sobre R viene dada por:

>

@

>

@

R

S

y

x

dA

y

x

f

y

x

f

ds

2

2

)

,

(

)

,

(

1

Ejemplo:

Hallar el rea de la porcin

y

x

z

2

que est sobre el crculo

1

2

2

y

x

en el primer

octante.



21

Solucin:

Sea

y

x

y

x

f

2

)

,

(

. Como

1

)

,

(

y

x

f

x

,

1

)

,

(

y

x

f

y

entonces se tiene que:

A =

R

ds

=

R

dA

2

2

)

1

(

)

1

(

1

=

R

dA3

=

R

dA

3

=

S

4

3

Ejemplo:

Si R es la regin rectangular del plano xy que est acotado por las rectas x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

Encuentre el rea de la parte de la superficie S semicilndrica

2

4

x

z

que se proyecta sobre

la regin R.

Solucin:

Sea

2

4

)

,

(

x

y

x

f

, entonces

2

4

x

x

f

x

,

0

y

f

y adems:

A(S) =

>

@

>

@

R

2

2

)

,

(

)

,

(

1

dA

y

x

f

y

x

f

y

x

=

dA

x

x

R

2

2

1

4

=

dA

x

R

2

4

2

=

1

0

1

0

2

4

2

dydx

x

=

1

0

2

4

4

x

dx

=

@

1

0

)

2

/

arcsen(x

= 2

S

/3.

Integrales de superficie sobre campos vectoriales:



22

Dentro del desarrollo de este tema, supondremos que la superficie tiene dos lados, de modo que

tenga sentido hablar de un flujo que pasa a travs de una superficie, pasando de un lado al otro.

Adems, supondremos que la superficie es orientable o suave lo que significa que tiene un vector

unitario normal que vara en forma continua.

Si la superficie S viene descrita por una ecuacin de la forma z = f (x, y), entonces un vector

normal unitario a S y que apunta hacia fuera, puede ser obtenido de la siguiente forma:

n =

1

2

2

y

x

y

x

f

f

f

f

k

j

i

El vector -n es el que apunta hacia adentro

Definicin:

Si F es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie S orientada con un vector

normal unitario n (que apunta hacia fuera), entonces la integral de superficie de F sobre S,

viene dada por:

S

S

dS

d

n

F

S

F

Flujo de un campo vectorial a travs de una superficie

Se puede demostrar que:

Si S es una superficie suave, con dos lados, y que est definida en una cierta regin R y si n es un

vector normal unitario que apunta hacia fuera de S, entonces la cantidad de flujo a travs de S,

por unidad de tiempo, y en la direccin del vector unitario n, viene dado por:

S

dS

n

F

Teorema:

Sea S una superficie suave, con dos lados, la cual viene descrita por z = f (x, y), tal que R es una

regin contenida en el dominio de f y sea n un vector normal unitario hacia fuera de S. Si f tiene

primeras derivadas parciales continuas y F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k es un

campo vectorial continuo, entonces el flujo de F a travs de S, est dado por:



23

S

dS

n

F

=

dA

f

f

y

R

x

P)

N

M

(

Ejemplo:

Calcule

S

dS

F

donde F(x, y, z) = yi + xj + zk . Sabiendo que S es la frontera del slido D, el

cual es la regin del espacio encerrada por el paraboloide

z = 4 x y

2

2

y el plano de

ecuacin z = 3.

Solucin:

F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k

M = y, N = x, P = z

2

2

4

y

x

z

2

2

4

)

,

(

y

x

z

y

x

f

f = -2x, f = -2y

x

y

En este caso S est formada por dos superficies: S y S

1

2

S es la superficie parablica superior y S es la superficie circular inferior de S.

1

2

Por lo que:

S

dS

F

=

1

S

dS

1

F

+

2

S

dS

2

F

Como S es una superficie cerrada (slida) utilizaremos el convenio de que est orientada

positivamente( los vectores normales apuntan hacia fuera).



24

i.

1

S

dS

1

F

=

dA

f

f

D

y

x

)

(

P

N

M

, donde D es la proyeccin de la superficie S en el

1

plano xy (un crculo de radio 1) .

1

S

dS

1

F

=

dA

f

f

D

y

x

)

(

P

N

M

=

dA

z

xy

xy

D

)

2

2

(

=

D

dA

y

x

xy

)

4

4

(

2

2

, pasando a coordenadas polares la regin D

=

D

D

D

S

2

0

1

0

2

2

)

4

cos

4

(

d

dr

r

r

sen

r

=

D

D

D

S

2

0

1

0

3

3

4

cos

4

d

dr

r

r

sen

r

=

D

D

D

S

d

r

r

sen

r

2

0

1

0

4

2

4

4

2

cos

=

D

D

D

S

d

sen

2

0

4

7

cos

=

S

D

D

2

0

4

7

sen

=

2

7

)

2

(

4

7

S

S

ii. La superficie S est orientada hacia abajo, por lo que podemos tomar como su vector normal

2

unitario a n = - k = (0, 0 , -1), obteniendo:

2

S

dS

1

F

=

2

1

S

dS

n

F

=

2

S

dA

n

F

=

D

dA

z

x

y

)

1

,0

,0

(

)

,

,

(

=

D

dA

z

, pero en S , se tiene que z = 3

2

=

D

dA3

= -3

D

dA

, como D es un crculo de radio 1, su rea es

S



25

= -3

S

Respuesta:

S

dS

F

=

2

3

2

7

S

S

S

Teorema de la Divergencia de Gauss

Sea F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z )j + P(x, y, z)k un campo vectorial tal que M, N y P tienen

derivadas parciales continuas de primer orden sobre el slido S y su frontera denotada

F(S)

(caras del slido).Denotemos por n un vector normal unitario exterior (apunta hacia fuera) a F(S),

entonces:

)

(S

F

ds

n

F

=

S

d

div

V

F

=

Vd

z

P

y

N

x

M

S

w

w

w

w

w

w

En otras palabras, el flujo de F a travs de la frontera de una regin cerrada de tres dimensiones

es la integral triple de su divergencia sobre esa regin.

El resultado al que nos acabamos de referir presupone que la normal n apunta hacia arriba. Por lo

tanto, cuando lo apliquemos a una superficie en el que la normal n apunta hacia adentro, se debe

invertir el signo del vector n.

Tambin es importante tener presente que se parte de la hiptesis que se integra sobre un slido.

Ejemplo

Calcule el flujo del campo vectorial F = (2x z)i + x yj xz k a travs de la superficie del slido

2

2

rectangular S determinado por: 0

d

x

d

1, 0

d

y

d

1, 0

d

z

d

1.(ver figura)



26

Solucin:

Observe que en este caso la superficie es un slido (superficie cerrada) el cual consta de 6 caras

(superficies) de forma tal que si se quiere calcular la integral pedida se deben plantear seis

integrales con sus respectivos vectores normales unitarios. Con el fin de explicar de aclarar ideas

resolveremos este ejemplo en dos formas:

1. Clculo de la integral en forma directa

Primero se evala

S

dS

n

F

donde S representa cada una de las caras del cubo anterior.

Cara DEFG: n = i, x = 1, entonces:

DEFG

dS

n

F

=

1

0

1

0

2

}

)

2

{(

dydz

z

z

i

k

j

i

=

1

0

1

0

)

2

(

dydz

z

=3/2

Cara ABCO: n = -i, x = 0, entonces:

ABCO

dS

n

F

=

1

0

1

0

)

(

)

(

dydz

z

-i

i

=

1

0

1

0

dydz

z

=

Cara ABEF: n = j, y = 1, entonces:

ABEF

n

A

dS

=

dxdz

xz

x

z

x

j

k

j

i

}

)

2

{(

2

1

0

1

0

2

=

1

0

1

0

2

dxdz

x

= 1/3

Cara OGDC: n = -j, y = 0, entonces:

BCDE

n

F

dS

=

1

0

1

0

2

0

)

(

}

)

2

{(

dxdz

xz

z

x

-j

k

i



27

Cara BCDE: n = k, z = 1, entonces:

BCDE

ds

n

F

=

1

0

1

0

2

}

)

1

2

{(

dxdy

x

y

x

x

k

k

j

i

=

1

0

1

0

xdxdy = -1/2

Cara AFGO: n = -k, z = 0, entonces:

AFGO

dS

n

F

=

1

0

1

0

2

)

(

}

2

{

dxdy

y

x

x

-k

j

i

= 0

Sumando todos los resultados anteriores:

)

(S

F

dS

n

F

= 3/2 + + 1/3 + 0 + 0 = 11/6

Aplicando el Teorema de la Divergencia, se tiene que:

dV

z

P

y

N

x

M

S

w

w

w

w

w

w

=

1

0

1

0

1

0

2

)

2

2

(

dxdydz

xz

x

= 11/6

Teorema de Stokes

El teorema de Stokes puede considerarse como la versin del Teorema de Green en el espacio.

Mientras el Teorema de Green relaciona una integral de lnea sobre una curva C con una integral

doble cuya regin R de integracin corresponde a la regin limitada por la curva C, el teorema de

Sokes relaciona una integral de superficie definida sobre una superficie S con una integral de

lnea definida en una curva del espacio.

Teorema:

Sea S una superficie orientada, suave a trozos, que est acotada por una curva frontera C suave a

trozos, cerrada y simple cuya orientacin es positiva. Sea F un campo vectorial con derivadas

parciales continuas en una regin abierta de IR que contiene a S, entonces:

3

S

F

rot

F

d

dr

S

C

=

S

dS

n

F

rot

En forma equivalente, que cuando se trabaj las integrales de lnea en el plano, podemos escribir:



28

C

C

dr

ds

F

T

F

la nica diferencia es que en este caso la curca C se encuentra en el espacio.

Ejemplo:

Sea F(x, y, z) = -4yi + 2zj + 3xk.

Sea S la porcin de la superficie z = 10 x y , ubicada por encima del plano z = 1.

2

2

Calcule:

a.

ds

C

T

F

b.

S

S

d

n

rot

donde C es la curva que se indica en la figura.

Solucin:

Notemos que la curva C se forma al intersecar el plano z = 1 con la superficie de ecuacin

z = 10 x

2

y , y por lo tanto tiene como ecuacin:

2

x + y = 9, z = 1

2

2

a. Calculemos

ds

C

T

F

Para calcular esta integral usaremos el resultado

ds

C

T

F

=

dr

C

F

En este caso, la parametrizacin de la curva C viene dada por

x(t) = 3 cos(t), y(t) = 3 sen(t), z(t) = 1

de donde r(t) = ( 3cos(t), 3sen(t), 1), r(t) = (-3sen(t), 3cos(t), 0), y adems:



29

F(r(t)) = F(3cos(t), 3sen(t), 1) = (-12sen(t), 2, 9cos(t))

As:

ds

C

T

F

=

dr

C

F

=

dt

t

t

C

)

(

))

(

(

r

r

F

=

S

2

0

)

1

),

cos(

3

),

(

3

(

))

cos(

9

,2

),

(

12

(

dt

t

t

sen

t

t

sen

=

S

2

0

2

))

cos(

6

)

(

36

(

dt

t

t

sen

=

S

S

2

0

2

0

)

cos(

6

2

)

2

cos(

1

36

dt

t

dt

t

=

@

S

2

0

)

(

6

)

(

9

18

t

sen

t

sen

= 36

S

b. Calculemos

dS

S

n

F

rot

Para calcular esta integral usaremos el resultado, de que si S es una superficie de ecuacin z = f

(x, y) entonces n = f (x, y)i f (x, y)j + k , por lo que:

x

y

dS

S

n

F

rot

=

xy

R

y

x

dA

f

f

)

(

)

(

k

j

i

F

rot

En este ejemplo z = f (x, y) = 10 x y , por lo que f (x, y) = -2x, f (x, y) = -2y, obteniendo que

2

2

x

y

n = (2x, 2y, 1)

rot F =

x

z

y

z

y

x

3

2

4

w

w

w

w

w

w

k

j

i

= -2i 3j + 4k

De donde:

dS

S

n

F

rot

=

xy

R

y

x

dA

f

f

rot

)

(

)

(

k

j

i

F

=

dA

y

x

xy

R

)

1

,

2

,

2

)(

4

,3

,2

(



30

=

xy

R

dA

y

x

)

4

6

4

(

=

D

D

D

S

2

0

3

0

))

(

6

)

cos(

4

(

d

dr

r

rsen

r

= 36

S

Nota: Los lmites de integracin anteriores se obtienen al considerar que la regin de integracin

es el crculo de radio 3.

Ejemplo:

Calcule

C

ds

T

F

sabiendo que F(x, y, z) =

k

j

i

2

y

xy

xz

y C es la frontera de la superficie

que consiste de la porcin de la porcin z = 4 x del primer octante, determinada por los planos

2

coordenados y el plano y = 3.



31

Solucin:

Para efectos de comprensin, resolveremos este ejercicio, en primera instancia, parametrizando la

curva C y posteriormente utilizando el Teorema de Stokes.

1. Primera forma: Parametrizando la curva C

Notemos que C est formada por cuatro curvas simples, C = C

1

C

2

C

3

C , o sea que,

4

debemos calcular cuatro integrales de lnea.

Adems, recordemos que:

dS

C

T

F

=

C

dr

F

=

C

dz

dy

dx

P

N

M

,

donde F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k

Por lo que para calcular la integral pedida podemos utilizar cualquiera de las dos ltimas

integrales, utilicemos

C

dz

dy

dx

P

N

M

, o sea que:

ds

C

T

F

=

C

dz

y

dy

xy

dx

xz

2

i. Parametrizacin de C : z = 4 x , 0

1

2

d

x

d

2 y = 0, dz = 2xdx, dy = 0

C

dz

y

dy

xy

dx

xz

2

=

1

)

2

(

)

0

(

)

0

)(

0

(

)

4

(

2

2

C

xdx

x

dx

x

x

=

1

)

4

(

2

C

dx

x

x

=

2

0

3

)

4

(

dx

x

x

=

2

0

4

2

4

2

x

x

= 8 4 = 4

ii. Parametrizacin de C : x = 2, z = 0, 0

2

d

y

d

3

, por lo que dx = 0, dz = 0

C

dz

y

dy

xy

dx

xz

2

=

2

)

0

(

2

)

0

)(

0

(2

2

C

y

dy

y

=

3

0

2

ydy =

@

3

0

2

y

= 9



32

iii. Parametrizacin de C : Note que la direccin de la curva no es en sentido positivo, por lo

3

TXH HO VLJQR GH OD LQWHJUDO GH OtQHD GHEH VHU LQYHUWLGR

z = 4 x , 0

2

d

x

d

2, y = 3, por lo que dz = -2xdx, dy = 0

C

dz

y

dy

xy

dx

xz

2

=

)

2

(

)

3

(

)

0

)(

3

(

)

4

(

3

2

2

x

xd

x

dx

x

x

C

=

0

2

2

18

)

4

(

dx

dx

x

x

=

0

2

3

14

dx

x

x

=

0

2

2

4

7

4

x

x

= 4 + 28 = 32

iv. Parametrizacin de C : Note que tambin C tiene la orientacin invertida

4

4

x = 0, z = 2, 0

d

y

d

3, por lo que dx = 0, dz = 0

C

dz

y

dy

xy

dx

xz

2

=

4

)

0

(

)

0

(

)

0

)(

4

)(

0

(

2

C

y

dy

y

= 0

Respuesta:

C

dz

y

dy

xy

dx

xz

2

= 4 + 9 + 32 + 0 = 35

2. Segunda forma: Teorema de Stokes

rot F =

2

k

j

i

y

xy

xz

z

y

x

w

w

w

w

w

w

= 2yi + xj + yk

z = 4 x

2

z 4 + x , haciendo g(x, y, z) = z 4 + x se tiene que

2

2

g = 2x, g = 0, g = 1, tomando n = (2x, 0, 1)

x

y

z

De donde tenemos que:

C

ds

T

F

=

R

dA

n

F

rot

R

dA

x

y

x

y

)

1

,0

,

2

)(

,

,

2

(

=

R

dA

y

xy

)

4

(



33

=

2

0

3

0

)

4

(

dydx

y

xy

= 45

Integral de Linea(1)

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