INTEGRAL DE RIEMANN - ocw.ehu.eus · simples Funciones trigonométricas: 2 x ... Cálculo de...
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INTEGRAL DE RIEMANN
• 1- Primitivas e integral indefinida
• 2- Integral de Riemann
• 3- Interpretación geométrica de las integrales de Riemann
• 4- Propiedades de las integrales de Riemann
• 5- Cambio de variable en las integrales de Riemann
• 6- Integrales impropias
• 7- Aplicaciones geométricas de la integral de Riemann
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PRIMITIVAS E INTEGRAL INDEFINIDA
Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un
dominio DŒÑDefinicióng es una primitiva de f si f(x)=g´(x) "x∈D
Si g es una primitiva de f también lo es cualquier función h
definida como h(x)=g(x)+C "x∈D con C una constante arbitraria.
Definición Se denomina integral indefinida de la función f, al conjunto de todas las primitivas de f, denotándose
Ûf(x)dx=g(x)+C donde la función g es una primitiva de f y C una constante arbitraria.
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PARA OBTENER UNA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
Buscar una primitiva en la tabla de integrales inmediatas Aplicar métodos elementales de integración
Descomposición algebraicaIntegral por partesCambio de variable
Funciones racionales:descomposición en fracciones simples Funciones trigonométricas:
2
xtg t=
2
2
2
2
2
1
2
1
1cos
1
dtdx
t
tsenx
t
tx
t
=+
=+
−=
+
Cambio general:
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INTEGRAL DE RIEMANN
Sea f una función real de variable real definida y acotada en un intervalo cerrado [a,b]
Dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos consecutivos [xk-1,xk], es decir, a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b y elegimos un
punto pk en cada uno de ellos pk∈[xk-1,,xk] para k=1,2,...,n.
Construimos la suma
en donde ∆xk=xk-xk-1 es la longitud de cada subintervalo y denotamos m = máx ∆xk / k=1,2,...,n.
n
k k
k=1
f(p )∆x∑
a=x0 x1 x2 x3 x4 xn-1 xn=b
p1 p2 p3 p4 pn
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a=x0 x1 x2 x3 x4 xn-1 xn=bp1 p2 p3 p4 pn
y=f(x)
Definición Se denomina integral de Riemann de f en [a,b] al límite
en caso de que exista y sea independiente de la subdivisión elegida
Cuando existe la integral de Riemann de una función en un intervalo, se dice que esa función es integrable - Riemann en ese intervalo
nb
k ka n
k=1m 0
f(x)dx= lim f(p )∆x→∞→
∑∫
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Proposición Una función real f de variable real acotada sobre [a,b], es integrable en el sentido Riemann en [a,b] si y sólo si el conjunto de puntos de discontinuidad de f en [a,b] es un conjunto de medida nula.
Toda función continua o continua a trozos en [a,b] es integrable Riemann en [a,b].
Un conjunto se dice de medida nula, si la suma de las longitudes de los intervalos que contengan a todos los puntos del conjunto, se puede hacer tan
pequeña como queramos. Todo conjunto finito o numerable es un conjunto
de medida nula.
Proposición Regla de BarrowSi f es continua en [a,b] y g es una primitiva de f,
entonces: b
af(x)dx=g(b)-g(a)∫
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Proposición Representamos por I al conjunto de las funciones integrables Riemann en [a,b]
1ª)
2ª)
3ª) Si f(x)§g(x) "x e [a,b]
4ª) Si f es integrable en [a,b] y [c,d] Õ [a,b], entonces f es integrable en [c,d]
[ ]b b b
a a af(x)+g(x) dx= f(x)dx g(x)dx+∫ ∫ ∫
b b
a af(x)dx= f(x)dxα α∫ ∫
b b
a af(x)dx g(x)dx≤∫ ∫
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE RIEMANN
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5ª) Si c e [a,b]
6ª) Si f(x)=g(x) "x e [a,b] salvo en un número finito de puntos, entonces
7ª) Si q1 § f(x) §q2 "x e [a,b]
8º)
9º)
b b
a af(x)dx= g(x)dx∫ ∫
b c b
a a cf(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx∫ ∫ ∫
b
1 2a
q (b-a) f(x)dx q (b-a)≤ ≤∫b b
a af(x)dx f(x) dx≤∫ ∫
[ ] [ ]2
b b b2 2
a a af(x)g(x)dx f(x) dx . g(x) dx ≤
∫ ∫ ∫
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10ª) Valor medio integral:
Valor medio cuadrático integral:
Se verifica que m§mc
b
a
1f(x)dx
b aµ =
− ∫
[ ]b
2
c
a
1f(x) dx
b aµ =
− ∫
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11º) Si f es una función par en [-c,c], entonces
f es par en [-c,c] si f(-x)=f(x) " xŒ[-c,c].Su gráfica es simétrica respecto del eje Y.
12º) Si f es una función impar en [-c,c], entonces
f es impar en [-c,c] si f(-x)=f(x) " xŒ[-c,c].Su gráfica es simétrica respecto del origen de
coordenadas.
c c
-c 0f(x)dx=2 f(x)dx∫ ∫
c
-cf(x)dx=0∫
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CAMBIO DE VARIABLE
Sea g:AöB una aplicación biyectiva, siendo A y B dos
conjuntos abiertos de Ñ, tales que x=g(u).
Entonces, si a=g(c ),b=g(d)
g es de clase C1 en [c,d]=g-1([a,b])ÕA
g’(u) ∫0 en [c,d]
resulta que b d
a cf(x)dx= f(g(u))g'(u)du∫ ∫
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INTEGRALES IMPROPIAS
Definición 6.1
Una integral se llama integral impropia si
se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes
1ª) El intervalo de integración [a,b] no está acotado. Es decir, uno o los dos límites de integración se hacen infinito.
2ª) La función f no está acotada en [a,b]. Los puntos en los que f deja de estar acotada se denominan
singularidades de f en [a,b].
b
af(x)dx∫
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Hay integrales impropias de tres tipos:
Integral impropia de primera especie cuando cumple la
primera condición
Integral impropia de segunda especie cuando cumple la segunda condición
Integral impropia de tercera especie cuando cumple las dos condiciones a la vez.
1
-1
1 dx
x∫
2
-1x dx
∞
∫
-1
1 dx
x
∞
∫
21/x
-e dx
∞
∞∫
2
0tgx dx
π
∫
0
lnx dx
x(x-1)
∞
∫
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INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIEDefinición Si f es una función acotada e integrable en [a,z] "z>a definimos:
cuando ese límite existe y es finito se dice que la integral esconvergente y divergente en caso contrario
Si f es una función acotada e integrable en [z,b] "z<b definimos:
cuando ese límite existe y es finito se dice que la integral esconvergente y divergente en caso contrario
Si los dos límites de integración son infinitos definimos:
y diremos que es convergente cuando lo son las dos integrales impropias del segundo miembro y divergente en caso contrario
a af(x)dx lim f(x)dx
z
z
∞
→∞=∫ ∫
- zf(x)dx lim f(x)dx
b b
z∞ →−∞=∫ ∫
- - pf(x)dx f(x)dx f(x)dx
p∞ ∞
∞ ∞= +∫ ∫ ∫ con p e Ñ
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INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECIE
Definición
Si f es una función no acotada sólo en el punto a de [a,b] definimos:
Cuando ese límite existe y es finito se dice que la integral esconvergente y divergente en caso contrario
Si f es una función no acotada sólo en el punto b de [a,b] definimos:
Cuando ese límite existe y es finito se dice que la integral esconvergente y divergente en caso contrario
+
b b
a a+uu 0f(x)dx= lim f(x)dx
→∫ ∫
+
b b-u
a au 0f(x)dx= lim f(x)dx
→∫ ∫
→∫ ∫+
2 2
0 uu 0
1 1dx= lim dx
x x
→∫ ∫+
0 -u
-1 -1u 0
1 1dx= lim dx
x x
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Si f es una función no acotada sólo en el punto c del interior de [a,b]definimos
y diremos que es convergente cuando lo sean las dos integrales impropias del segundo miembro y divergente en caso contrario
+ +
b c-u b
a a c+vu 0 v 0f(x)dx= lim f(x)dx+ lim f(x)dx
→ →∫ ∫ ∫
Si esta última integral impropia definida es divergente se llama Valor principal de Cauchy de esa integral al límite definido por:
( )+
c-u b
a c+uu 0lim f(x)dx+ f(x)dx→
∫ ∫
+ +
1 0 1 -u 1
-1 1 0 -1 vu 0 v 0
1 1 1 1 1dx= dx+ dx= lim dx+ lim dx
x x x− → →∫ ∫ ∫ ∫ ∫x x
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL RIEMANN
Cálculo de áreas en el plano
Si f es una función integrable Riemann en [a,b], entonces el área Ylimitada por la curva de ecuación cartesiana y=f(x), el eje de abscisas X y las rectas verticales de ecuaciones respectivas x=a y x=b, viene determinada por: b
aΨ= f(x)dx∫
x=a x=b
y=f(x)
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Cálculo de áreas en el plano
Si f y g son dos funciones integrables Riemann en [a,b], entonces el área Y encerrada por las curvas y=f(x), y=g(x) y las rectas verticales de
ecuaciones respectivas x=a y x=b, viene determinada por:
b
aΨ= f(x)-g(x)dx∫
x=bx=a x=b
y=f(x)
y=g(x)
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Cálculo de longitudes en el plano
Si f es una función de clase C1 en [a,b], entonces la longitud G de la
curva de ecuación cartesiana y=f(x), entre los puntos de coordenadas (a,f(a)) y (b,f(b)) viene determinada por:
b2
a= 1 [ '( )] dxf xΓ +∫
x=a x=b
y=f(x)
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Cálculo de áreas de superficies de revolución
Si f es una función de clase C1 en [a,b], entonces el área W de la
superficie de revolución engendrada al girar la curva de ecuación cartesiana y=f(x) alrededor del eje de abscisas X entre los puntos de abscisas x=a y x=b, viene determinada por:
[ ]b 2
a=2 f(x) 1+ f'(x) dxπΩ ∫
x=a x=b
y=f(x)
X
Y
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Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución
Si f es una función integrable Riemann en [a,b], entonces el volumen Ddel cuerpo de revolución engendrado al girar la curva de ecuación cartesiana y=f(x), alrededor del eje de abscisas X entre los puntos de abscisas x=a y x=b, viene determinado por:
b2
a∆=π [f(x)] dx∫
x=a x=b
y=f(x)
X
Y