Integral Defini Da
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Partición de un intervalo [ a , b ]
Def.- Dado un intervalo real [ a, b], se llama partición de [a, b] a cualquier colección finita P={x0, x1, ...... , xn}, de puntos de [ ],a b , tal que:
x0 = a
xn = b
x0 x1 · · · · xn
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Notas
Una partición P={x0, x1, ...... , xn} divide el intervalo original [a,b] en n subintervalos de la forma [ ],x i 1 xi .
Es decir, particiona a [a, b] en los subintervalos
[ x0, x1] , [ x1, x2] , . . . , [ x n 1, xn]
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Norma de una Partición
Se representa con xi a la longitud xi x i 1 del subintervalo [ ],x i 1 xi
A la mayor de las longitudes xi, i { 1, 2, . . . n }, se llama norma de la partición P, se escribe como P . Así,
P = máx { x1 , x2 , . . . xn }
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Refinamiento
Si P y P' son particiones de [a, b], se dice que P' es un refinamiento de P (o es más fina que P) si cada punto partición en P también es punto partición en P'. ( Escribiremos P´ P para indicar que P´ es un refinamiento de P) .
Se verifica : P´ P
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Definición de sumas superior e inferiorSea f una función acotada en [a, b] , P una partición de [a, b], y sea
mi = inf {f ( x ): x i 1 x xi } Mi= sup { f( x ): x i 1 x xi }
La suma inferior de f en relación a P, se define como
( )L ,P f i 1
n
mi xi
La suma superior de f en relación a P, se define como
( )U ,P f i 1
n
Mi xi
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Interpretación geométricaSea f una función continua tal que 0 ( )f x , y sea P una partición [ ],a b .
Suma Inferior La suma inferior de f en relación a P se puede interpretar como la suma del área de los rectángulos inscritos a la región bajo la curva y ( )f x entre x a y x b
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Suma Superior
La suma Superior de f en relación a P se puede interpretar como la suma del área de los rectángulos circunscritos a la región bajo la curva y ( )f x entre x a y x b
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Nota:
Notar que una definición de área A de la región bajo la curva y ( )f x entre x a y x b debe verificar
( )L ,f P A ( )U ,f P
Idea gráfica
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Ejemplo
Consideremos la función ( )f x x3 x 10 sobre el intervalo [-1, 4].> plot(f(x), x=-1..4);
Dividamos el intervalo [-1, 4] en algún número de subintervalos, y entonces tracemos rectangulos sobre cada subintervalo cuyas alturas corresponde al mayor y al menor valor que asume f(x) en el correspondiente subintervalo
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Primero consideremos la partición P de [-1, 4] que divide a este en 5 subintervalos de igual longitud> rightbox(f(x), x=-1..4, 5);#Sumas superiores
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Ahora particionemos [-1, 4] en 10 subintervalos de igual magnitud> rightbox(f, x=-1..4, 10);#Sumas Superiores
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Notas:
Si m y M son, respectivamente, el infimo y el supremo de f en [a, b], y sea P una partición cualquiera de entonces [a, b], entonces
( )m b a ( )L ,P f ( )U ,P f ( )M b a
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Si P y P´ son dos particiones de [a, b] tal que P´ P entonces
( )L ,P f ( )L ,P´ f ( )U ,P´ f ( )U ,P f
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Ejemplo
Sea ( )f x x2 , x [ 0 , 2 ] , y consideremos la partición
P={ 0, 0.7, 1.2, 1.6, 1.8, 2} de [0 , 2]. Se desea encontrar la suma superior y la suma inferior de f en relación a P.
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Solución . P : [0, 0.7 ], [0.7, 1.2 ], [ 1.2, 1.6], [ 0.6, 1.8], [1.8, 2 ] Como f es creciente entonces:
mi : 0 , 0.49, 1.44 , 2.56, 3.24 Mi : 0.49, 1.44 , 2.56, 3.24, 4
xi: 0.7, 0.5, 0.4, 0.2 , 0.2
L( P, f)=0*0.7+0.49*0.5+1.44*0.4+2.56*0.2+3.24*0.2=1.981
U( P, f)=0.49*0.7+.44*0.5+2.56*0.4+3.24*0.2+4*0.2=3.535
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Sumas de RiemannSea f una función acotada sobre [ ],a b , y sea P una partición arbitraria de [ ],a b . Llamaremos Suma de Riemann de f, respecto de la partición P, a toda suma
( )S ,P f i 1
n( )f ci i x
donde ci es un punto cualquiera en el subintervalo [xi 1, xi]
generado por la partición P
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Notas
Si f es continua sobre [ ],a b , y si P una partición cualquiera de [ ],a b , entonces se verifica: 1.- ( )L ,P f y ( )U ,P f son sumas de Riemann para f respecto de P.
2.- ( )L ,P f ( )S ,P f ( )U ,P f 23
Si f es una función acotada sobre [ ],a b , entonces:
1.- El conjunto de todas las sumas inferiores L(P,f ) es acotado superiormente (luego tiene supremo).2.- El conjunto de todas las sumas superiores U(P,f) es acotado inferiormente (luego tiene infimo).
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Definición (Función integrable).
Sea f una función acotada en un intervalo , se dice que f es integrable sobre [a,b] si
sup { L( P, f) / P P[a,b]} = inf {U( P, f) / P P[a,b]},
donde P[a,b] denota el conjunto de todas las
particiones de [ ],a b
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Notas:
- Al valor común se denomina Integral Definida
de f de a a b, y se denota con da
b( )f x x.
- Los números a y b del simbolo da
b( )f x x se
denominan límite inferior y superior de integración.
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- La integral definida da
b( )f x x es un número real
que depende únicamente de f , a y b.
- La variable x que aparece en la integral es una variable "neutra"; puede ser reemplazada por cualquier otra variable. Así,
da
b( )f x x = d
a
b( )f t t = d
a
b( )f u u
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Ejemplo.-
La función definida sobre [a, b] por f(x) = K , con K constante, es integrable sobre [a, b] y se verifica
da
b( )f x x = K( b - a)
Desarrollo. ( clase)
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Nota . Se prueba que la función f, definida por ( )f x x es integrable sobre [a, b] y se verifica:
d
a
b
( )f x x = b2 a2
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Condición de Riemann
Teorema:
Sea f una función acotada en un intervalo [ ],a b .f es integrable en [ ],a b si, y solo si, dado > 0 existe una partición P de [ ],a b tal que
( )U ,P f ( )L ,P f
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Si f es continua en [a,b] excepto, posiblemente, para un conjunto finito de puntos en los cuales tiene una discontinuidad de salto finito , entonces f es integrable sobre [a,b].
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Sea f es continua en [a,b], g definida y acotada en [a,b], y solo difiere de f en un número finito de puntos, entonces g es integrable sobre [a,b] y se verifica:
da
b( )g x x d
a
b( )f x x
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DefiniciónSi f es una función integrable sobre [a , b], se conviene en definir:
da
a( )f x x = 0
db
a( )f x x = - d
a
b( )f x x
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1.- Si f y g son integrables en [a, b] y es una constante real cualquiera, entonces f + g , f y f g son integrable en [a, b], y si ademas ( )g x 0 en [a, b] entonces f / g tambien es integrable en [a, b]. Se verifica:
(i) da
b ( )f x x = d
a
b( )f x x
(ii) da
b( )f x ( )g x x = d
a
b( )f x x + d
a
b( )g x x
Dem.
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2.- Si f y g son dos funciones integrables sobre [a,b], tal que ( )f x ( )g x para todo x [a,b] entonces:
da
b( )f x x d
a
b( )g x x
En particular, si g es integrable sobre [a,b] y 0 ( )g x para todo x [a,b], entonces
0 da
b( )g x x
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3.- Si f es integrable sobre [a,b], entonces | f | también es integrable sobre [a,b] y se verifica:
da
b( )f x x d
a
b( )f x x
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4.- Sea f una función definida y acotada en [a,b] y sea c un punto de [a,b]. Se verifica :f es integrable sobre [a,b] si, y solo si, lo es sobre [a,c] y sobre [c,b]. En tal caso
da
b( )f x x = d
a
c( )f x x + d
c
b( )f x x
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5.- Si f es una función integrable sobre un cierto intervalo que contiene a los puntos a, b, c, entonces se verifica:
da
b( )f x x = d
a
c( )f x x + d
c
b( )f x x
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