Integral de Lnea y algunas de sus aplicaciones.

La integral de lnea tiene varias aplicaciones en el rea de ingeniera, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de lnea de un campo escalar.

En matemtica, una integral de lnea o curvilnea es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama tambin INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prcticos de su utilizacin pueden ser:

El clculo de la longitud de una curva en el espacio;

El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

tambin para el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.

Una funcin vectorial definida en

, diferenciable y acotada en ;

La parametrizacin de una trayectoria en . Se llamaintegral de lnea de F sobrea la integral:

Una forma ms utilizada para expresar la integral de lnea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva tambin se pude expresar as:

Entonces despus de resolver el producto punto obtenemos:

Trabajando integrales de lneaA la hora de trabajar integrales de lnea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con xito nuestro clculo:

Primero debemos parametrizar la curva sobre la cual estamos trabajando:

Luego trabajamos la funcin a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrizacin en dicha funcin. E integramos:

Luego sustituimos dS por:Teniendo as lo siguiente:

Ejemplos1)

Evaluc es la mitad superior del circulo unitario.

Parametrizamos:Evaluamos la integral:

INCLUDEPICTURE "http://www.wikimatematica.org/mimetex.cgi?%3D2%5Cpi%20%20%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" \* MERGEFORMATINET Aplicacin De La Integral De Lnea Al Clculo Del Trabajo

El trabajo en la fsica elemental se define como trabajo es igual a fuerza por distancia, es decir que el trabajo que se efecta sobre el cuerpo se da por: W = Fd, donde F es una fuerza constante que acta sobre el cuerpo y que es paralela al desplazamiento y d es la magnitud del desplazamiento.2)

Evaledonde c consiste del arco c1 de la parbola y=x que va de (0,0) -> (1,1) y c2 que es el segmento de recta de (1,1) -> (1,2)

Parametrizacin de las curvas

C1:, dondeC2:, dondeCon esto ya podemos evaluar nuestro integral de lnea:

Integral de SuperficieLa integral de superficie es una extensin del concepto de integral doble, de igual modo en que la integral de lnea es una extensin del concepto de integral de Riemann clsica. Como el nombre lo dice, es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una superficie.

Se define la integral de superficie de una funcin escalaren el espacio tridimensional R3 respecto a una superficie S representada por la funcin vectorial continua

.

Si la superficie S es la imagen de la regin T en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

En que,son las derivadas parciales de la funcin vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.

La razn de esta definicin proviene del hecho de que una integral doble "clsica" de una funcinpuede definirse subdividiendo la regin de integracinen pequeos rectngulos cuyos lados fueran de medidasyy efectuando la sumatoria de los productosen que el punto (x,y) se halla en el interior del rectngulo correspondiente.

Como puede observarse,es el rea de cada uno de esos rectngulos, por lo que habitualmente este producto se denota por.

Al extender este proceso a una superficie tridimensional, sta se divide en pequeos sectores de reaen los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evala la sumatoria de los productos.

El rea de estos sectores es aproximadamente igual al rea del paralelogramo formado por sus vectores tangentesde longitud infinitesimal, y, por la definicin de producto cruz, el vectores un vector perpendicular a ambos vectores cuya rea es la de dicho paralelogramo, por lo tanto,. Al valorlo llamamos elemento escalar de rea.

g (x, y, z)dS = lim g (xk, yk, zk) T k

|| ||0 k

Si S es la unin de varias superficies del tipo adecuado, entonces la integral de superficie se define como la suma de las integrales de superficie individuales. Si g (x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) y la integral de superficie es igual al rea de la superficie de S. Definicin: Sea F un campo vectorial definido en S, imagen de una superficie parametrizada . La integral de superficie de F sobre , denotada por: F*dS, se define por F*dS= F*(TuxTv)du dv.

Falta sacar algunos ejemplos de integral de superficie y ve que aplicaciones consigues viejo.

Guillermo Quintana VI-21202593