Cambio de variable en integrain

Matemtia II

2011-2

Capaidades a desarrollar

Calula integrales indenidas elementales, apliando las

propiedades y las frmulas bsias.

Identia integrales indenidas onoidas y redue y alula

integrales omplejas mediante el mtodo de sustituin.

Mtodo de sustituin o ambio de variable

La regla de la adena implia inmediatamente el siguiente resultado.

Teorema

Sean f ,F : I R, g : J R, g(J) I . Si F es la primitiva de f ,esto es

f (u)du = F (u) + C , C = te.,

y g derivable, entones

f

(g(x)

)g

(x)dx = F(g(x)

)+ C .

Como regla prtia, se esribe u = g(x), luego du = g (x)dx y sereemplaza en una integral indenida del ltimo tipo.

Ya usamos esta tnia antes, en las frmulas de integrain

direta:

1

g(x)g (x)dx =

u

du =, 6= 1,

2

g

(x)

g(x)dx =

du

u

=,

3

e

g(x)g

(x)dx =

e

u

du =.

Ejemplo

Queremos obtener la integral indenida de

x

3

3

1+ x2dx .

Ejemplo

Queremos obtener la integral indenida de

x

3

3

1+ x2dx .

Haiendo u = 31+ x2, entones u3 = 1+ x2, luego 3u2du = 2xdx

y

x

3

3

1+ x2dx =

x

2

3

1+ x2 1

2

2xdx

=

(u3 1)u 1

2

3u

2

du

=3

2

(u6 u3)du = 3

2

(u

7

7

u4

4

)+ C =

=3

2

((1+ x2)7/37

(1+ x2)4/3

4

)+ C .

Ejemplo

Determinar

x

2

3 xdx .

Ejemplo

Determinar

x

2

3 xdx .

Dos maneras:

1

Haer v = 3 x ;2

Haer u

2 = 3 x .

Ejemplo

Determinar

x xx +

x

dx .

Ejemplo

Determinar

x xx +

x

dx .

Sustituin: u =x , lo que nos deja la integral

2

u

2 uu + 1

du.

Observe que si tiene una integral

P(x)

Q(x)dx ,

on grado de P(x) mayor que el grado de Q(x), entones debemosdividir P(x) entre Q(x) y obtener

P(x) = Q(x)M(x) + R(x),

on grado de R(x) menor que el grado de Q(x). Esto simplia laintegral a

M(x)dx +

R(x)

Q(x)dx

Ejemplo

Determine

x

3

x + 1dx .

Ejemplo

Determine

ln

3

x

x

dx .