Integrales de Linea Resueltas

rgeraldop

Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica R.Geraldo

Coordinacion de Matematica IV (MAT024)

Ejercicios Resueltos: Integrales de lnea

A continuacion encontrara el enunciado de una serie de ejercicios, y sus respectivas soluciones en hojas posteriores.Las formas de resolver (la mayora de) los problemas, casi nunca es unica, por eso es importante que primero intenteusted resolver los problemas por si mismo, y posteriormente mirar la solucion.La mayor parte de estos ejercicios han formado parte de evaluaciones anteriores, ya sea en algun Control o Certamen.

PROBLEMAS

(Pr. 1). Calcular

px ` yq ds, donde es la recta dada por la interseccion de los planos 2x ` y z 1 y

x` y ` z 2 entre los puntos p1, 3, 0q y p1, 0, 1q

(Pr. 2). Calcule

a

2y2 ` z2 ds siendo la interseccion entre las superficies S1 y S2, donde

S1 tpx, y, zq P R3 : x2 ` y2 ` z2 a2, a 0 u y S2 tpx, y, zq P R3 : x y u

(Pr. 3). Calcule la integral de lnea

xa

x2 y2 ds, siendo la curva de ecuacion`

x2 ` y22 4

`

x2 y2

,

x 0.

(Pr. 4). Calcular

pyez `xzq ds, donde es la curva interseccion entre la esfera x2` y2` z2 1 y el plano y 0.

(Pr. 5). Calcule

x dx` dy `y dz, donde es la curva interseccion entre el plano z 3`2y y el paraboloide

2z x2 ` y2 ` 6, y la curva esta orientada de manera tal que su proyeccion sobre el plano x y se recorreen sentido contrario a las agujas del reloj.

(Pr. 6). Calcular

y dx ` z dy ` x dz, donde es la curva interseccion entre la superficie z xy y el cilindro

x2 ` y2 1 orientada positiva cuando se mira desde el punto (0,0,1).

(Pr. 7). Sea la curva interseccion entre el plano x` z 1 y el elipsoide x2 ` 2y2 ` z2 1, orientada de maneraque su proyeccion sobre el plano x y se recorre en sentido antihorario.

Calcule directamente

1

2y2 dx` z dy ` x dz

(Pr. 8). Considere el campo vectorial Fpx, yq pcxy, x6y2q, c 0, actuando sobre una partcula que se muevedesde el origen de coordenadas, hasta la recta x 1 siguiendo la curva determinada por el grafico de lafuncion y axb, con a y b positivos. Determine el valor de c en terminos de a y de b para que el trabajorealizado por F sea nulo.

(Pr. 9). Sea el campo vectorial Fpx, y, zq px` z ,py ` zq , x yq. F es conservativo.(a) Encuentre una funcion potencial para F.

(b) Calcule

Fpx, y, zq dr siendo la curva interseccion de las superficies z xy y x2 ` y2 1, conx 0 e y 0, orientada de manera que su proyeccion sobre el plano x y se recorre en sentido positivo.

(Pr. 10). Sean"

P px, yq p2x fpxq 2x3q y2 ` 6x2yQpx, yq y fpxq ` 2x3

donde fpxq es una funcion diferenciable.

MAT024 (Ejercicios Resueltos: Integrales de Lnea) 1

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(i) Hallar la funcion fpxq mas general posible de manera que

P px, yqdx `Qpx, yq dy 0

sobre cualquier curva cerrada.

(ii) Para la funcion encontrada en el apartado (a), hallar

P px, yqdx `Qpx, yq dy

donde es cualquier curva que va desde A p0, 0q a B p2, 1q.

(Pr. 11). El campo

F px, yq

2` y2pxy 2q2 ,

2` x2pxy 2q2

es conservativo en cierta region D R2.

(i) Encuentre una funcion potencial para F en D.

(ii) Calcule

p2` y2q dx` p2 ` x2q dypxy 2q2

siendo es el trozo de la hiperbola xy 1 que une los puntos p1,1q con`

3, 13

.

(Pr. 12). Sea P px, yq una funcion con derivadas parciales continuas en R2 tal que BPBx 2px` yq y P p0, 1q 0.

(i) Determinar P px, yq sabiendo que

P px, yqdx` x2 dy

es independiente del camino en R2.

(ii) Calcular la integral de lnea anterior usando el Teorema de Green, siendo P px, yq la funcion determi-nada en el apartado (a) y el trozo de circunferencia de ecuacion x2 ` y2 1, que va desde el puntop1, 0q al punto p1, 0q por el primer y segundo cuadrante.

(Pr. 13). (a) Sea f una funcion dos veces diferenciable con continuidad en el dominio simplemente conexo D R2

que verifica la condicionB2fBx2 `

B2fBy2 0 en D.

Pruebe que si D es cualquier curva cerrada, entonces

BfBy dx

BfBx dy 0

(b) Calcular el valor de

y

px ` 1q2 ` y2 dxx` 1

px` 1q2 ` y2 dy

(b.i) siendo la circunferencia de radio1

2centrada en el origen, orientada positivamente.

(b.ii) siendo la circunferencia de radio 2 centrada en el origen, orientada positivamente.


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(Pr. 14). Sea la curva frontera de la region S del plano R2, orientada positivamente, donde

S

px, yq P R2 : x2 ` y2 2y ^ x2 ` y2 1 ^ x 0(

Calcule

xy dx ey2 cos y dy

(Pr. 15). Sea Fpx, yq

x

x2 ` y2 y ,y

x2 ` y2 ` x

.

Calcule

F dr, siendo la curva frontera del triangulo de vertices p2,2q, p2,2q y p0, 2q, recorridaen sentido positivo.

Ayuda: recuerde que si F1 y F2 son campos vectoriales, entonces

C

pF1 ` F2q dr

C

F1 dr `

C

F2 dr.

(Pr. 16). Calcular la integral de lnea

2x ex2`2y2 y

dx `

4y ex2`2y2 ` x2

dy

donde es el arco de la curva y 2 x2 que va desde el punto A p1, 1q al punto B p1, 1q.

(Pr. 17). Calcular la integral de lnea

ex2 y3

dx`

ey2 ` x3

dy

donde es la curva frontera, orientada positivamente, de la region limitada por las circunferencias

x2 ` py 1q2 1 y x2 ` py 2q2 4.

(Pr. 18). (a) Sea el segmento de recta que une el punto px1, y1q con px2, y2q. Pruebe que

ydx` xdy x1y2 x2y1

(b) En sentido antihorario, los vertices de un polgono son

px1, y1q, px2, y2q, px3, y3q, . . . , pxk, ykq. Pruebe que el area del polgono esta dada por

A 12rpx1y2 x2y1q ` px2y3 x3y2q ` ` pxk1yk xkyk1q ` pxky1 x1ykqs

(Pr. 19). Considere I

yx2 ` 4y2 y

dx` xx2 ` 4y2dy

(a) Calcule I directamente siendo la semielipse x2`4y2 1 que va desde el punto p1, 0q al punto p1, 0qpor el semiplano y 0.(b) Calcule I usando el Teorema de Green siendo el arco de circunferencia

x2 ` y2 4 que va desde el punto p2, 0q al punto p2, 0q por el semiplano y 0.

(Pr. 20). Calcule

ey2

dx`

2xyey2 ` x` ey3

dy

siendo la curva formada por el segmento de recta que une los puntos p0, 0q y p1, 1q, seguido del segmentoque une p1, 1q con p2, 0q.


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(Pr. 21). Sea una curva cerrada simple, suave, que no contiene al origen y que intersecta con cada recta que pasapor el origen en, a lo sumo , dos puntos.

Calcule todos los valores posibles de la integral de lnea

y3

px2 ` y2q2dx` xy

2

px2 ` y2q2dy

(Pr. 22). Sea ~r px, yq y r }~r}, definimos la funcion

F px, yq Bplnprqq

By ,Bplnprqq

Bx

.

Considere la curva regular, simple C contenida en el anillo 1 x2 ` y2 25. Determine todos los valoresposibles de la integral de linea

C

F d.

(Pr. 23). Sea C1 la semicircunferencia centrada en p1, 0q, de radio 1, situada en el primer cuadrante y recorridadesde el punto p2, 0q hasta el origen de coordenadas. Calcule

C1

`

ex cospyq ` px 1q2y3

dx`

ex senpyq ` px 1q3y2

dy

(Pr. 24). Usando el Teorema de Green, calcular la integral de lnea

cosy

2

` x2

dx `

4x3py 1q4 ` 2p xq sen

y

2

dy

donde es el arco de circunferencia x2 ` py 1q2 1, que va del origen de coordenadas al punto p0, 2qpor el primer cuadrante (orientada positivamente).

Ayuda: Formula de Wallis:

{2

0

cosnpxq dx

$

&

%

135pn1q246n

2

si n es par

246pn1q135n si n es impar

(Pr. 25). Use el teorema de Green para calcular

I

p f 1pxq senpyq 3y q dx` p fpxq cospyq ` 8xq dy,

donde f es una funcion con derivada continua en R y es una curva simple y suave a trozos que, sin cortara la recta y x y estando por debajo de ella, une los puntos A p0, 0q y B p, q y que, cerrandolamediante el segmento AB, determina un recinto de area S.

(Pr. 26). Sean upx, yq, vpx, yq funciones con derivadas parciales continuas. Se define

C

udv

C

uvxdx` uvydy.

Demuestre que para fpx, yq y gpx, yq con derivadas continuas y C una curva cerrada que no pasa por losceros de f , se cumple

C

1

fdg g

f2df 0.

Ayuda: comience considerando u 1f, v g


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(Pr. 27). Sean upx, yq y vpx, yq dos funciones escalares de clase C1 en un abierto que contiene al disco R tpx, yq :x2 ` y2 1u. Sean

F px, yq pvpx, yq, upx, yqq , Gpx, yq BuBx

BuBy ,

BvBx

BvBy

Calcule

R

F GdA, sabiendo que sobre la frontera de R se tiene upx, yq 1 y vpx, yq y.

Ayuda: Piense en las derivadasBBxpu vq y

BBy pu vq


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SOLUCIONES.

(Pr. 1). Para determinar la recta debemos encontrar el espacio solucion del sistema (de infinitas soluciones)

2x` y z 1x` y ` z 2

Sumando estas ecuaciones se obtiene y 32 3

2x, y reemplazando en la segunda ecuacion se sigue

z 12` 1

2x.

Por lo tanto, la recta es L : `

x, 32 3

2x, 1

2` 1

2x

, x P R(

.

Una parametrizacion para esta recta es rptq `

t, 32 3

2t, 1

2` 1

2t

, de donde }r1ptq} ?14

2.

Los puntos p1, 3, 0q y p1, 0, 1q se alcanzan para t 1 y t 1 respectivamente, por lo tanto la integralrequerida es

px` yq dS

1

1

3

2 t

2

?14

2dt 3

?14

2

(Pr. 2).S1 X S2 tpx, y, zq P R3 : x2 ` y2 ` z2 a2 ^ y x u

La proyeccion de esta curva sobre el plano y z es 2y2 ` z2 a2.Una parametrizacion para la curva es

rpq

a?2cospq , a?

2cospq , a senpq

, 0 2

Si llamamos fpx, y, zq a

2y2 ` z2, entonces la integral pedida queda

fpx, y, zq ds

2

0

fpprqq }r1pq} d

2

0

?a2

?a2 d 2a2

(Pr. 3). Usando coordenadas polares x r cos , y r sen la ecuacion de la curva queda r 2a

cosp2q,con

4

4, pues cosp2q 0 cuando

2

2.

La curva correspondiente se muestra a continuacion (lnea azul):

-0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1

-0,5

-0,25

0,25

0,5


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De este modo, una parametrizacion de la curva es

rpq

2a

cosp2q cos , 2a

cosp2q sen

, 4

4

Entonces

r1pq

2 senp2q cospq 2 senpq cosp2qa

cosp2q,

2 senp2q senpq ` 2 cospq cosp2qa

cosp2q

Esto es equivalente a

r1pq

2 senp3qacosp2q

, 2cosp3qa

cosp2q

de donde }r1pq} 2acosp2q

La integral que buscamos

xa

x2 y2 ds, reemplazando lo anterior queda

{4

{4

2 cospqa

cosp2qa

4 cos2pq cosp2q 4 sen2pq cosp2q 2acosp2q

d

8 {4

{4

cospq cosp2q d 8 {4

{4

`

cospq 2 sen2pq cospq

d 16?2

3

(Pr. 4). La curva se muestra en la figura, en color rojo

Una parametrizacion de la curva es

rptq pcosptq, 0, senptqq 0 t 2, se tiene entonces r1ptq p senptq, 0, cosptqq y esto implica que}r1ptq} 1.La integral pedida queda

pyez ` xzq ds 2

0

0 esenptq ` senptq cosptq

1 dt 0


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(Pr. 5). Buscamos primero la proyeccion de la curva interseccion sobre el plano x y; para ello reemplazamos elvalor de z 3 ` 2y en el paraboloide, con lo que 2p3` 2yq x2 ` y2 ` 6, de donde obtenemos que laproyeccion de la curva interseccion es el conjunto tpx, yq : x2`py2q2 4 u, el cual puede ser descritoen coordenadas polares, con la orientacion pedida, por r 4 sen , con 0 .Resulta ahora facil parametrizar la curva usando coordenadas polares:

x r cos 4 sen cos 2 senp2q dx 4 cosp2q dy r sen 4 sen2 dy 8 sen cos d 4 senp2q dz 3` 8 sen2 dz 16 sen cos d 8 senp2q d

La integral requerida queda entonces:

x dx` dy ` y dz

0

p8 senp2q cosp2q ` 4 senp2q ` 64 sen3 cos q d

y esta ultima integral es igual a

2 sen2p2q

0

2 cosp2q

0

` 16 sen4

0

0` 0` 0 0

Por lo tanto

x dx` dy ` y dz 0

(Pr. 6). La curva se muestra a continuacion

Una parametrizacion de la curva es (proyectando obviamente en el plano xy):

rptq pcosptq, senptq, senptq cosptqq, 0 t 2

Con esta parametrizacion tenemos

dx senptq, dy cosptq, dz cosp2tq

Reemplazando en la integral queda

y dx ` z dy ` x dz 2

0

`

sen2ptq ` senptq cos2ptq ` cosptq cosp2tq

dt


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2

0

cos3ptqdt 0

(Pr. 7). Vemos a continuacion una imagen de la curva (en color azul):

Para buscar una parametrizacion, nos deshacemos de una variable (z en este caso) para encontrar laproyeccion de la curva sobre alguno de los planos (x y en este caso):

x2 ` 2y2 ` z2 1x` z 1 x

2 ` 2y2 ` p1 xq2 1 `

x 12

2 ` y2 `

1

2

2 pq

Las curva esta formada por todos los puntos de la forma px, y, 1 xq, con x e y satisfaciendo (*).Si hacemos x 1

2` 1

2cospq, y 1

2senpq, con 0 2, entonces, una parametrizacion de la curva

esta dada por

rpq pxpq, ypq, zpqq

1

2` 1

2cospq, 1

2senpq, 1

2 1

2cospq

, 0 2

Se tiene

dx 12senpq, dy 1

2cospq, dz 1

2senpq

La integral pedida es

1

2y2 dx` z dy ` x dz

2

0

1

8sen2pq

12senpq

`

1

2 1

2cospq

1

2cospq `

1

2` 1

2cospq

1

2senpq

d

Desarrollando esta integral llegamos finalmente a

1

2y2 dx` z dy ` x dz

4

(Pr. 8). Parametrizamos la curva porrptq

`

t, atb

, 0 t 1


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La integral que nos interesa es

1

0

Fprptqq r1ptq dt

1

0

ctatb, t6`

atb2

`

1, abtb1

dt

1

0

`

actb`1 ` t5`3ba3b

dt

actb`2

b` 2 `t6`3b

6` 3ba3b

1

0

acb` 2 `

a3b

6` 3b

Para deteminar c debemos resolver la ecuacion acb`2 ` a

3b6`3b 0

ac

b` 2 `a3b

6` 3b 0 ac a3b3

c a2b

3

(Pr. 9). (a) Buscamos fpx, y, zq talque fpx, y, zq Fpx, y, zqEntonces

fpx, y, zq

px` zq dx` gpy, zq fpx, y, zq x2

2` xz ` gpy, zq

Ahora

BfBy y z gypy, zq y z gpy, zq

y2

2 yz ` hpzq

Entonces fpx, y, zq x2

2` xz y

2

2 yz ` hpzq

BfBz x y x y ` h

1pzq x y hpzq cte.

Por lo tanto, una funcion potencial para F es fpx, y, zq x2

2` xz y

2

2 yz

(b) La curva se puede parametrizar por

rpq pcospq, senpq, senpq cospqq, 0 2

Como el campo es conservativo, entonces

Fpx, y, zq dr f

r

2

f pr p0qq fp0, 1, 0q fp1, 0, 0q 12 1

2 1

(Pr. 10). (i) Para que la integral de lnea

P px, yqdx`Qpx, yq dy de como resultado cero para toda curva cerrada,

el campo F px, yq pP px, yq, Qpx, yqq debe ser conservativo. Esto es

BBx

``

2xfpxq 2x3

y2 ` 6x2y

BBy`

yfpxq ` 2x3


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Desarrollando lo anterior se llega a la siguiente ecuacion diferencial para fpxq:

f 1pxq 4xfpxq 4x3

La solucion de esta ecuacion es

fpxq x2 ` 12` Ce2x2

(ii) Como el campo es conservativo, basta encontrar una funcion potencial del campo F px, yq pP px, yq, Qpx, yqq,en este caso, usando la fpxq obtenida en (a):

P px, yq

x` 2Ce2x2

y2 ` 6xy2, Qpx, yq y

x2 ` 12` Ce2x2

2x3

Una funcion potencial para este campo es

upx, yq y2

x2

2` C

2e2x

2

` 2x3y ` y2

4

Por lo tanto

P px, yqdx `Qpx, yq dy up2, 1q up0, 0q 734

` Ce8

2

(Pr. 11). (i) Para encontrar una funcion potencial upx, yq, hacemos

upx, yq

2` y2pxy 2q2 dx` gpyq upx, yq

p2` y2qypxy 2q ` gpyq pq

Ahora,

BuBy

2` x2pxy 2q2

2y2pxy 2q ` p2xy 2qp2` y2qy2pxy 2q2 ` g

1pyq 2` x2

pxy 2q2Desarrollando lo anterior, se tiene

2y2 ` 4xy 4y2pxy 2q2 ` g

1pyq 2` x2

pxy 2q2

de donde

g1pyq 2` x2

pxy 2q2 2y2 ` 4xy 4y2pxy 2q2

x2y2 4xy ` 4y2pxy 2q2

pxy 2q2y2pxy 2q2

Simplificando se llega a

g1pyq 1y2

gpyq 1y

Hemos tomado C 0, pues esta satisface lo requerido en el enunciado.Por lo tanto, reemplazando gpyq 1

yen (**), una funcion potencial es

upx, yq p2` y2q

ypxy 2q 1

y


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(ii) Como el campo esta bien definido en el cuarto cuadrante, podemos usar el Teorema Fundamental delas Integrales de Lnea, con la funcion potencial obtenida en (1):

Entonces

p2` y2q dx ` p2` x2q dypxy 2q2 u

3,13

up1, 1q 89

(Pr. 12). (i) Para que sea independiente del camino (dadas las condiciones del campo) basta con que

BBy pP px, yqq

BBxpx

2q

o seaBPBy 2x. Entonces P px, yq 2xy ` gpxq. Esto implica que

BPBx 2y ` g

1pxq.

Se tiene entonces

2y ` g1pxq 2x` 2y g1pxq 2x gpxq x2 ` C

As, P px, yq 2xy ` x2 ` C. Como P p0, 1q 0, entonces C 0.Por lo tanto

P px, yq x2 ` 2xy

(ii) Debemos calcular

px2 ` 2xyq dx` x2 dy

Note que P px, yq x2 ` 2xy, y Qpx, yq x2 implican que BQBx BPBy 0

Para usar el Teorema de Green, hacemos ` 2 siendo 2 la recta que une los puntos p1, 0q y p1, 0q.Entonces


px2 ` 2xyq dx` x2 dy `

2


R

BQBx

BPBy 0

Se tiene entonces que


2


Parametrizando 2 por rptq pt, 0q, 1 t 1, se sigue


1

1

t2 dt 23


rgeraldop



(Pr. 13). (a) f satisface las hipotesis del Teorema de Green en D, entonces, anotando R como la region encerradapor , tenemos

BfBy dx

BfBx dy

R

BBx

BfBx

BBy

BfBy

dA

R

B2fBx2 `

B2fBy2

dA

R

0 dA 0

(b)

(i) Sea D una region que encierra a la circunferencia de radio1

2centrada en el origen, pero tal que

p1, 0q R D; entonces, si hacemos

BfBy

y

px` 1q2 ` y2 ,BfBx

x` 1px` 1q2 ` y2

tenemos queB2fBx2 `

B2fBy2 0 y luego, por (a)

y

px ` 1q2 ` y2 dxx` 1

px` 1q2 ` y2 dy 0

(ii) En este caso la curva (circunferencia de radio 2 centrada en el origen) contiene al punto p1, 0q ensu interior, por lo que no podemos aplicar inmediatamente el Teorema de Green.

Sea la curva formada por la curva original mas la curva 1 correspondiente a una circunferencia deradio , 1

2, centrada en p1, 0q. Orientamos la curva positivamente. Sea R la region limitada por

, es decir, R es la region al interior de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen y exterior a lacircunferencia de radio centrada en p1, 0q.

Esta region satisface las condiciones del Teorema de Green y del apartado (a), por lo tanto

P px, yq dx Qpx, yq dy

R

BQBx BPBy

dA 0

donde P px, yq ypx` 1q2 ` y2 , Qpx, yq x` 1

px` 1q2 ` y2


rgeraldop



Por lo tanto

P px, yq dx Qpx, yq dy 0, pero



1

P px, yq dx Qpx, yq dy 0

de donde


1


Calculemos entonces

1


Parametrizamos la curva por x ` 1 cos t, y sen t, con 0 t 2; la integral correspondientequeda

2

0

sen t

2pq sen t cos t

2 cos t

dt 2

0

p1q dt 2

por lo tanto

y

px` 1q2 ` y2 dxx` 1

px` 1q2 ` y2 dy 2

(Pr. 14). La curva se muestra en la figura, encerrando a la region sombreada R:

?3

2, 12

Usando el Teorema de Green, para P px, yq xy y Qpx, yq ey2 cos y tenemos

P dx `Qdy

R

BQBx

BPBy

dA

R

x dA

Para calcular esta ultima integral, usaremos coordenadas polares, dividiendo la region R es dos partes:

R

x dA {6

0

2 sen

0

r cospq r dr d ` {2

{6

1

0

r cospq r dr d 124

16 5

24


rgeraldop



(Pr. 15). La curva es la frontera de la region sombreada que se muestra a continuacion:

p2,2qp2,2q

p0,2q

Hagamos F F1 ` F2, donde

F1px, y, zq

x

x2 ` y2 ,y

x2 ` y2

, F2px, y, zq py, xq

y se T la region triangular encerrada por

Para el campo F2, aplicamos inmediatamente el Teorema de Green:

y dx` x dy

T

BBxpxq

BBy pyq

dA

T

2 dA 2

T

dA 2 8 16

Sobre el campo F1 no podemos aplicar directamente el teorema de Green. Para poder usarlo, vamos aencerrar el origen por la curva , una circunferencia centrada en el origen de radio 1

2, y la orientamos en

sentido antihorario, tal como muestra la figura siguente:

p2,2qp2,2q

p0,2q

En este caso, siendo P px, yq xx2 ` y2 , Qpx, yq

y

x2 ` y2 y T el triangulo T menos la circunferencia

centrada en el origen y radio 12, se tiene

P px, yq dx `Qpx, yq dy

P px, yq dx`Qpx, yq dy

T

BQBx

BPBy

dA 0

Entonces




rgeraldop



Para calcular la integral de la derecha en la igualdad anterior, parametrizamos por rpq

1

2cospq, 1

2senpq

,

0 2. Tenemos entonces

P px, yq dx `Qpx, yq dy 2

0

14senpq cospq ` 1

4senpq cospq

d 0

Por lo tanto

Fpx, y, zq dr

F1px, y, zq dr `

F2px, y, zq dr 16` 0 16

(Pr. 16). Para resolver este problema usaremos el teorema de Green sobre la region R que corresponde a la regionencerrada por y como se ve en la figura.

1

2

11

Tomando P px, yq 2x ex2`2y2 y y Qpx, yq 4y ex2`2y2 ` x2 se tiene BPBy 8xy ex2`2y2 1 y

BQBx 8xy e

x2`2y2 ` 2x y esto implica que BQBx BPBy 2x` 1.

El Teorema de Green asegura que

2x ex2`2y2 y

dx `

4y ex2`2y2 ` x2

dy

R

BQBx

BPBy

dA

R

p2x` 1q dA

con Y 1.Por lo tanto

P px, yq dx`Qpx, yq dy `

1


R

p2x` 1q dA

de donde


R

p2x` 1q dA

1


Ahora

R

p2x` 1q dA 1

1

2x2

1

p2x` 1q dy dx 1

1

p2x3 x2 ` 2x` 1q dx 43


rgeraldop



Por otro lado, para calcular

1

P px, yq dx`Qpx, yq dy parametrizamos la curva 1 por 1ptq pt, 1q con1 t 1. Se sigue que dx dt y dy 0. De esta manera

1

2x ex2`2y2 y

dx `

4y ex2`2y2 ` x2

dy 1

1

2tet2`2 1

dt 2

Por lo tanto

2x ex2`2y2 y

dx `

4y ex2`2y2 ` x2

dy 43 p2q 10

3

(Pr. 17). Sean P px, yq ex2 y3 y Qpx, yq ey2 ` x3. Vamos a usar el Teorema de Green, para la region Rencerrada entre las dos circunferencias:

P px, yqdx `Qpx, yqdy

R

BQBx

BPBy

dA

que en este caso corresponde a

ex2 y3

dx`

ey2 ` x3

dy

R

`

3x2 ` 3y2

dA

Escribiendo la region R en coordenada polares, obtenemos

R

`

3x2 ` 3y2

dA

0

4 sen

2 sen

3r2 r drd 180

0

sen4 d 1352

Por lo tanto

ex2 y3

dx`

ey2 ` x3

dy 1352

(Pr. 18). (a) Parametrizamos el segmento de recta por

rptq px1, y1q ` tpx2 x1 , y2 y1q, 0 t 1

Con esto, la integral queda

1

0

r py1 ` tpy2 y1qq px2 x1q ` px1 ` tpx2 x1qq py2 y1qs dt

px2 x1q 1

0

py1 tpy2 y1qq dt` py2 y1q 1

0

px1 ` tpx2 x1qq dt

px2 x1q

y1 y2 y1

2

` py2 y1q

x1 `x2 x1

2


rgeraldop



12ppx1 x2qpy1 ` y2q ` py2 y1qpx1 ` x2qq x1y2 x2y1

(b) Sea 1,2

Y 2,3

Y Y k,1

, i 1, 2, . . . , k, k` 1 1, donde i,i`1 es el segmento que une pxi, yiq

con pxi`1, yi`1q.La curva es cerrada. Vamos a usar el Teorema de Green para el campo F px, yq py, xq y la curva .Sea R la region encerrada por (o sea el polgono en cuestion).

Se tiene entonces

ydx` xdy

R

BBxpxq

BBy pyq

dA 2

R

dA

Es decir

ApRq 12

ydx` xdy

Pero, como 1,2

Y 2,3

Y Y k,1

,

ApRq 12

1,2

ydx` xdy `

2,3

ydx` xdy ` `

k,1

ydx` xdy

Por lo demostrado en el apartado anterior,

ApRq 12rpx1y2 x2y1q ` px2y3 x3y2q ` ` pxky1 x1ykqs

(Pr. 19). (a) La curva es la que se muestra a continuacion:

11

Una parametrizacion de la curva es rpq `

cospq, 12senpq

, 0 . Entonces r1pq `

senpq, 12cospq

.

La integral buscada queda

I

0

12senpq 1

2senpq

p senpq ` cospq12cospq

d

0

sen2pq ` 12cos2pq

d 34

(b) Para aplicar el Teorema de Green, anotaremos Y 1 Y 2 Y 3, donde 1 es el segmento de rectaque une p2, 0q con p1, 0q, 2 es la semielipse x2 ` 4y2 1 que va desde p1, 0q a p1, 0q con y 0 y 3


rgeraldop



es el segmento de recta que une p1, 0q con p2, 0q. Sea R la region encerrada por junto a la porpia curva. La curva esta orientada en sentido antihorario.

1 212

R

2

1 3

Anotando,

P px, yq yx2 ` 4y2 y Qpx, yq

x

x2 ` 4y2

Por el Teorema de Green, tenemos


R

BQBx

BPBy

dA

que en este caso, con Y 1 Y 2 Y 3, toma la forma

P dx`Qdy `

1

P dx`Qdy `

2

P dx`Qdy `

3

P dx`Qdy

R

dA

Esto implica que

P dx`Qdy

R

dA

1

P dxQdy `

2

P dx`Qdy

3

P dx`Qdy

Ahora, el area de R corresponde al area de la semicircunferencia, menos el area de la semielipse, por lo

tanto

R

dA 74

Por otro lado, parametrizando 1 por r1ptq p2`t, 0q, 0 t 1 y 3 por r3ptq p1`t, 0q, 0 t 1,se obtiene

1

P dxQdy

3

P dx`Qdy 0

Notamos ahora que 2 es la misma curva del apartado (a), pero recorrida en sentido contrario, por lotanto

2

P dx`Qdy 34

Por lo tanto

P dx`Qdy 74

0

34

0 104


rgeraldop



(Pr. 20). Para resolver el ejercicio usaremos el Teorema de Green. Para ello debemos cerrar la curva. Sean 1 Y 2, Y 3 y T la region encerrada por .

1

1 2

T

3

1 2

Sean P px, yq ey2 , y Qpx, yq 2xyey2 ` x` ey3 .El Teorema de Green establece que (el signo negativo debido a la orientacion de la curva)


T

BQBx

BPBy

dA

que en este caso toma la forma

P px, yq dx `Qpx, yq dy `

3


T

dA

Como el area del triangulo T es 1, lo anterior queda

P px, yq dx `Qpx, yq dy 1

3


Para calcular

3

P px, yq dx`Qpx, yq dy, parametrizamos 3 por

rptq p2 t, 0q, 0 t 2.Entonces, reemplazando x 2 t, y 0, dx dt, dy 0 en la integral,

3

P px, yq dx`Qpx, yq dy 2

0

p1q dt 2

Por lo tanto

P px, yq dx`Qpx, yq dy 1 p2q 1

(Pr. 21). Sean P px, yq y3

px2 ` y2q2y Qpx, yq xy

2

px2 ` y2q2

De acuerdo a las condiciones del problema, existen dos tipos de curvas tpicas; aquellas que contienen alorigen y aquellas que no lo contienen.


rgeraldop



(I): Supongamos que no contiene al origen. En este caso podemos aplicar sin problemas el Teorema deGreen, pues las derivadas parciales

BPBy

3y2x2 y4

px2 ` y2q3,

BQBx

y4 3y2x2

px2 ` y2q3

son continuas en cualquier conjunto que no contenga al origen.

Sea R la region encerrada por junto a la propia curva .

Entonces


R

BQBx

BPBy

dA

R

0 dA 0

(II) Supongamos ahora que la curva encierra al origen. No podemos aplicar directamente el Teorema

de Green, pues en este caso las derivadas parcialesBPBy y

BQBx no resultan continuas en el punto p0, 0q.

Para resolver la integral, encerramos el origen por una circunferencia de radio lo suficientemente pequenapara que quede en el interior de la region determinada por ; llamamos a esta circunferencia 1.

Supondremos que la curva esta orientada en sentido antihorario y que 1 esta orientada en sentidohorario..

Sea Y 1 y R la region interior a y exterior a 1 junto a las propias curvas. esta orientadapositivamente.

Entonces, el Teorema de Green en este caso asegura


R

BQBx

BPBy

dA 0

Es decir

P px, yqdx `Qpx, yqdy `fi

1

P px, yqdx`Qpx, yqdy 0

O sea,

P px, yqdx `Qpx, yqdy fi

1

P px, yqdx`Qpx, yqdy

Parametrizando 1 por rptq p senptq, cosptqq, 0 t 2, se obtiene


2

0

3 cos3ptq

4 cosptq senptq

2 cos2ptq4

senptq

dt

2

0

`

cos4ptq sen2ptq cos2ptq

dt

2

0

cos2ptqdt

Obviamente, si la curva esta orientada en sentido horario, el resultado sera .Por lo tanto

y3

px2 ` y2q2dx` xy

2

px2 ` y2q2dy

$

&

%

0 si no encierra al origen si encierra al origen.

El signo depende de la orientacion.


rgeraldop



(Pr. 22). r a

x2 ` y2 lnprq 12lnpx2 ` y2q F px, yq

yx2`y2 , xx2`y2

.

Si P px, yq yx2`y2 Py

x2y2

x2`y2 y Qpx, yq xx2`y2 Qx x2y2

x2`y2 .

El campo F es conservativo y esta definido @px, yq P R2 tp0, 0qu.Tenemos los siguientes casos:

(a) La curva C no encierra al origen, podemos usar el teorema de Green

C

Fd

D

pQx PyqdA 0.

(b) La curva C encierra al origen y es recorrida en sentido positivo, no podemos usar el teorema deGreen porque la region no es simplemente conexa.

Sea la circunferencia x2 ` y2 1 y R la region limitada por C y ; entonces ahora podemos usarel teorema de Green

R

pQx PyqdA 0

CY

Fd

C

Fd`

Fd

C

Fd

Fd

Es decir,

C

Fd

Fd

Parametrizamos por x senptq, y cosptq, t P r0, 2s, entonces

Fd 2

0

dt 2.

(c) La curva C encierra al origen y es recorrida en sentido negativo.

Analogamente al caso anterior,

C

Fd 2.

Por lo tanto, los valores que puede tomar

C

Fd son : 0, 2, 2.

El analisis anterior corresponde a una curva cerrada.

Suponga que la curva no sea cerrada y sea A yB sus puntos inicial y final respectivamente. Dado queel campo es conservativo, podemos encontrar su potencial, que en este caso es fpx, yq arctan

`

yx

, y laintegral vale arctanpBq arctanpAq.

(Pr. 23). Sea C1Y C2, donde C1 y C2 son como se ve en la figura

C1

C2


rgeraldop



Sea P px, yq ex cospyq ` px 1q2y3 y Qpx, yq ex senpyq ` px 1q3y2.Como la curva es cerrada, y tanto P px, yq como Qpx, yq tienen derivadas parciales continuas, entoncespodemos aplicar el Teorema de Green


R

BQBx

BPBy

dA

siendo R la region encerrada por , que en este caso queda

C1

P px, yq dx `Qpx, yq dy `

C2


R

6px 1q2y2 dA

Es decir

C1


R

6px 1q2y2 dA

C2

P px, yq dx `Qpx, yq dy pq

Calculamos ahora las dos integrales:

(i) para calcular

R

6px 1q2y2 dA hacemos

x 1 r cospq, y r senpq, 0 r 1, 0

y nos queda

R

6px 1q2y2 dA

0

1

0

6r5 cos2pq sen2pq drd 8

(ii) para calcular

C2

P px, yq dx ` Qpx, yq dy parametrizamos la curva C2 mediante rptq pt, 0q, 0 t 2, y obtenemos

C2


2

0

`

et cosp0q ` pt 1q303

dt`

et senp0q ` pt 1q302

dt

y desarrollando

C2

P px, yq dx`Qpx, yq dy e2 1

Reemplazando estos dos resultados en (**):

C1

P px, yq dx `Qpx, yq dy 8 e2 ` 1

(Pr. 24). Consideremos

2 R


rgeraldop



Sea Y 2.Hacemos

P px, yq cosy

2

` x2 , Qpx, yq 4x3py 1q4 ` 2p xq sen

y

2

Por el Teorema de Green, tenemos


R

BQBx

BPBy

dA

que en este caso es

P px, yq dx`Qpx, yq dy `

2


R

BQBx

BPBy

dA

de donde


R

BQBx

BPBy

dA

2


Mas precisamente


R

12x2py 1q4 dA

2


Para calcular estas integrales hacemos:

R :x r cospq 0 r 1

y 1 r senpq 2

2

2 : rptq p0, 2 tq, 0 t 2

Con esto lo anterior queda


2

2

1

0

12r2 cos2pqr4 sen4pq r dr d `

2

0

2

2sen

p2 tq2

dt

6732

(Pr. 25). Sea Y 2, siendo 2 la recta que une los puntos p, q con p0, 0q y sea R la region encerrada por .Ademas, areapRq 11S.Entonces, por el Teorema de Green


R

BQBx

BPBy

dA pq

Hacemos P px, yq f 1pxq senpyq3y y Qpx, yq fpxq cospyq`8x con lo que se obtiene BQBx BPBy 11De esta manera, (*) toma la forma


rgeraldop



P px, yqdx`Qpx, yqdy `

2


R

11 dA

o sea,


2

P px, yqdx`Qpx, yqdy ` 11S pq

Para conclur, solamente nos falta calcular

2

P px, yqdx`Qpx, yqdy.

Para calcularla, parametrizamos la recta que une p, q con p0, 0q por

rptq p t, tq, 0 t

As, xptq t, dx dt, yptq t, dy dtReemplazando en la integral

2


0

`

f 1p tq senp tq fp tq cosp tq 5p tq

dt

0

`

f 1p tq senp tq fp tq cosp tq

dt 5

0

p tqdt

pfp tq senp tqq

0

` 5p tq2

2

0

52

2

Reemplazando en (**), se obtiene finalmente

P px, yqdx `Qpx, yqdy 52

2` 11S

(Pr. 26). Considerando u 1f

y v g en la definicion se tiene

C

1

fdg

C

gx

fdx` gy

fdy

Considerando ahora u gf2, v f en la definicion se tiene

C

g

f2df

C

g fx

f2dx ` g fy

f2dy

Restando las dos expresiones obtenidas antes

C

1

fdg g

f2df

C

gx

fdx` gy

fdy

C

g fx

f2dx` g fy

f2dy

de donde se sigue

C

1

fdg g

f2df

C

f gx g fxf2

dx` f gy g fyf2

dy


rgeraldop



Si hacemos P px, yq f gxg fxf2

, Qpx, yq f gyg fyf2

, notamos que el campo F px, yq pP px, yq, Qpx, yqqes un campo conservativo con funcion potencial hpx, yq g

f, y como C es una curva cerrada

C

1

fdg g

f2df

C


C

F px, yq dr 0

(Pr. 27). Debemos calcular

I

R

BuBx

BuBy

vpx, yq `BvBx

BvBy

upx, yq

dA

Note que lo anterior es equivalente a

I

R

BuBx vpx, yq ` upx, yq

BvBx

BuBy vpx, yq ` upx, yq

BvBy

dA

R

BBx pu vq

BBy pu vq

dA

Poniendo P px, yq u v, Qpx, yq u v, se tiene que I

R

BQBx

BPBy

dA.

Por el Teorema de Green, si es la curva frontera de R,


R

BQBx

BPBy

dA I

Solo debemos calcular

P px, yqdx`Qpx, yqdy.

Ahora, como se indica que sobre la frontera de R, es decir sobre , se cumple upx, yq 1 y vpx, yq y,tenemos lo siguiente


y dx` y dy

Parametrizando por rpq pcospq, senpqq, con 0 2, la integral del lado izquierdo de la ultimaigualdad:

y dx` y dy 2

0

sen2pq d ` senpq cospq d

Por lo tanto I


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