INTERFERENCIA.pdf

Ó ÍÓPTICA FÍSICA

INTERFEROMETRÍA

Por: ADGCHCentro de Investigaciones en Óptica, CIO

León, Gto.

CONTENIDO1. CONDICIONES PARA LA INTERFERENCIA

2. INTERFERENCIA POR DIVISION DE FRENTE DE ONDA2.1 EXPERIMENTO DE YOUNG2.2 SISTEMAS DE LLOYD, FRESNEL Y BILLET2.3 INTERFEROMETRO ESTELAR DE MICHELSON

2.3.1 CONCEPTO DE RESOLUCION

3 INTERFERENCIA POR DIVISION DE AMPLITUD3. INTERFERENCIA POR DIVISION DE AMPLITUD3.1 FRANJAS DE IGUAL GROSOR E IGUAL INCLINACION3.2 INTERFEROMETRO DE MICHELSON3 3 INTERFEROMETROS DE FIZEAU TWYMAN GREEN Y MACH ZEHNDER3.3 INTERFEROMETROS DE FIZEAU, TWYMAN-GREEN Y MACH-ZEHNDER

4. INTERFERENCIA DE HACES MULTIPLES4 1 INTERFERENCIA MULTIPLE EN UNA PLACA PLANO PARALELA4.1 INTERFERENCIA MULTIPLE EN UNA PLACA PLANO PARALELA4.2 INTERFEROMETRO FABRY-PEROT4.3 FILTROS DE CAPAS DELGADAS DE INTERFERENCIA4.4 MÉTODO MATRICIAL PARA PELÍCULAS DELGADAS

1. CONDICIONES PARA LA INTERFEROMETRÍA

• Interferencia: es la superposición de dos ondas ondulatorias, resultando un patrón deintensidad con máximos y mínimos, al cual se le denomina patrón de interferencia.

• Máximos (interferencia constructiva): cuando las ondas están en fase• Máximos (interferencia constructiva): cuando las ondas están en fase.

• Mínimos (interferencia destructiva): cuando las ondas están desfasadas.

En el fenómeno de interferencia es necesario tomar en c enta el carácter ectorial de• En el fenómeno de interferencia es necesario tomar en cuenta el carácter vectorial delas ondas, lo que implica que la polarización de los haces que interfieren sea igual yparalela entre ellos, y que la diferencia de fase entre las ondas que se superponen seaconstante.

• Hablar de franjas de interferencia no se refiere a un solo punto en el espacio, sino a unplano donde se superponen las ondas, lo que permite definir la forma del patrón deinterferencia.

• Si los dos rayos se originan de la misma fuente, las fluctuaciones en los dos rayosestán en general correlacionadas, se dice que los rayos son parcialmente o totalmentecoherentes.

• Si los dos rayos se originan de fuentes diferentes, las fluctuaciones estáncompletamente descorrelacionadas, se dice que los rayos son parcialmenteincoherentes

• El grado de correlación que existe entre las fluctuaciones de dos rayos de luzdetermina la distinción de los efectos de interferencia cuando los rayos se superponen.

Constructivaδ = 0, 2π, 4π, ….

maxI→ → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞

E1E = +

1,2 1,2 0 1,2 1 1,2

2 2 2

E r ,t = E cos k r - ωt + ε

E E + E + 2E E→ → → → →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E2

Destructivaδ = π, 3π, 5π, ….

1 2 1 2I= I + I + 2 I I cosδI

1 2 1 2E = E + E + 2E E⋅

1 2 1 2

2

1,21,2 I = E→

minI

Patrón de interferencia

12 1 2

Término de interferencia:

I 2 I I cosδ=

interferencia

1 2Cuando I =Iδ⎛ ⎞( ) 2

1 1I= 2I 1 + cos = 4I cos2δδ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Interferencia de dos rayos de igual intensidad;variación de intensidad contra diferencia de fase.

YZ

El término de interferencia puedeescribirse de la sig. manera:

XΦ1E1

( )1 212 1 2I = E E cosδ = E E cos Φ cosδ→ →

⋅

2 1Φ=Φ -Φ Ángulo entre los planos del i ió d l t

XΘ1

Θ2

Φ2k2

K1

Representación esquemática de la superposición dedos ondas linealmente polarizadas I1, I2 con ángulos de

2 1Φ Φ Φ polarización de los vectores

.1 2I y I→ →

Φ2

E2

Las leyes de Fresnel-Arago son las siguientes:

dos o das ea e te po a adas 1, 2 co á gu os depolarización .1 2 y Φ Φ

Las leyes de Fresnel Arago son las siguientes:

1. Dos estados coherentes ortogonales no pueden interferir en el sentido de que I12 = 0 ycomo la intensidad resultante es igual a la suma de las intensidades de las ondas quecomo la intensidad resultante es igual a la suma de las intensidades de las ondas quese superponen, no habrá interferencia entre ellas.

02 1 90Φ = Φ −Φ =

012 1 2 cos90 cos 0I E E δ= =

2. Dos estados coherentes y paralelos interfieren en la misma forma que la luznatural.

00Φ = Φ −Φ =En éste caso el término de interferencia se calcula considerando solamente ladiferencia de caminos ópticos (diferencia de fase por consecuencia) entre lasondas que se superponen y la diferencia de fase inicial

2 1 0Φ = Φ Φ =

ondas que se superponen y la diferencia de fase inicial.

1 2 1 2I= I + I + 2 I I cosδ

3. Dos estados ortogonales constitutivos de la luz natural no pueden interferir paraformar un patrón fácilmente observable aunque se giran para alinearlos Esformar un patrón fácilmente observable aunque se giran para alinearlos. Escomprensible ya que estos estados son incoherentes.

En este caso solo las componentes paralelas de cada onda interfieren. Estees e caso so o as co po e es pa a e as de cada o da e e e s eefecto alterará el contraste de las franjas resultantes debido a que lacomponente de la onda que no interfiere solo contribuirá con una iluminación defondo que se superpone al patrón de interferencia.

0 I I I cosδ≤ ≤

0 090 0≥ Φ ≥

12 1 20 I I I cosδ≤ ≤

2. INTERFERENCIA POR DIVISIÓN DE FRENTE DE ONDA

• Se usan porciones del frente de onda primario, bien sea directamente como fuentespara emitir ondas secundarias o conjuntamente con sistemas ópticos para producirfuentes virtuales de ondas secundarias Se hace que éstas ondas secundarias sefuentes virtuales de ondas secundarias. Se hace que éstas ondas secundarias seencuentren para interferir.

2 1 EXPERIMENTO DE YOUNG2.1 EXPERIMENTO DE YOUNG

La luz de una fuente puntual monocromática S pasa por dos pequeños agujeros S1 y S2 loscuales están muy cercanos en una pantalla y equidistantes de S. Dichos agujeros actúan comofuentes puntuales secundarias las cuales se encuentran en fase y los rayos de éstas sesuperponen más allá de la región donde se forma un patrón de interferencia.

2.1 EXPERIMENTO DE YOUNG

Si se toma en cuenta el máximo en O como la franja 0, la posición angular y la posiciónti l d l é i f j b ill t b l t ll

msy ma

λ=mmaλθ =

vertical de la m-ésima franja brillante sobre la pantalla son:

1 2DCO= - diferencia de camino ópticoyar r = →

syaλ∆ =

aLa diferencia en la posiciones de dos máximos consecutivos es:

1 2DCO diferencia de camino óptico

2

r rsyakDCOs

πδλ

→

= =

20I=4I cos ya

sπλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2.2 SISTEMAS DE LLOYD, FRESNEL Y BILLET

ESPEJO DE LLOYDESPEJO DE LLOYD

La luz de una fuente monocromática S1 se refleja en una superficie dieléctrica ometal M que sirve como espejo con un ángulo pequeño y parece proceder de unametal M que sirve como espejo con un ángulo pequeño y parece proceder de unafuente virtual S2. La luz reflejada interfiere con la luz directa de la fuente formandofranjas de interferencia.

min

max

mina

s

El espacio entre las franjas está de nuevo dado por:sy λ∆ =p j p ya

A incidencia rasante ( ) el haz reflejado sufre un cambio de fase de 1800, por lo que existe un cambio de fase adicional de , por lo que la irradiancia queda:

/ 2iθ π≈π±

20

πayI= 4I sensλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


ESPEJOS DE FRESNELLa luz de una fuente puntual S incide sobre dos espejos planos M1 y M2 mutuamenteinclinados un pequeño ángulo, y la reflexión de los espejos da lugar a dos imágenesvirtuales S1, S2 de S las cuales actúan como fuentes coherentes. El campo de interferenciaexiste en el espacio en la región donde las dos ondas reflejadas se superponen una sobrela otra.

ssyaλ∆ =


BIPRISMA DE FRESNEL

Está formado por dos prismas iguales de ángulo pequeño de refracción puestos juntos baseEstá formado por dos prismas iguales de ángulo pequeño de refracción puestos juntos basecon base. La luz de una fuente puntual S llega a ambos prismas, la porción que llega al prismasuperior se refracta hacia abajo y viceversa. En la región de superposición ocurre lainterferencia. De nuevo existen dos fuentes virtuales S1 y S2. La expresión para la separaciónde las franjas es.

syaλ∆ =


LENTES PARTIDAS DE BILLET

Consiste de una lente convexa cortada diamétricamente en dos, las mitades están separadas, ppor una distancia corta en ángulo recto con el eje óptico. Dos imágenes reales S1 y S2 seproducen de una fuente puntual S.

2.3 INTERFEROMETRO ESTELAR DE MICHELSON

Utilizado por A. A. Michelson en 1980 para medir el diámetro angular de cuerpos celestes y es una modificación del interferómetro de Young.

θθ

Si suponemos un objetivo de telescopio, diafragmado por dos aperturas pequeñas e iguales S1,S2 de reparación d, el cual es usado para ver dos fuentes puntuales cuasi-monocromáticas S yS´ de longitud de onda efectiva , separadas por un ángulo .0λ θg p p g0

Las diferencias de camino óptico de la luz que viene de S y S´ al punto P en el plano focal son:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 1 2 2 1DCO = SS P - SS P = NS + S P - S P

[ ] [ ] [ ]2 2 1DCO = N S + S P - S P′ ′

Por lo tanto los patrones de S´y S están mutuamente desplazados a través de losordenes , en base al experimento de Young, donde:m∆

[ ] [ ][ ] [ ]2 2

0 0 0

N S - NS θ

para n 1 y θ pequeño.

DCO DCO dmλ λ λ

′′ −∆ = =

θ

1S 2S

p y p q

Cuando la intensidad máxima de S coincide con la intensidad mínima deS´ l f j l t ó bi d l di ti t d i l

1 3 5, , ,....2 2 2

m∆ =

S´; las franjas en el patrón combinado son por lo menos distintas y desaparecen si lasintensidades de S y S´ son iguales. Así que las franjas muestran variaciones periódicas dedistinción tanto la separación de las aperturas se incrementa de cero. En particular existeun primer mínimo de distinción cuando:un primer mínimo de distinción cuando:

0

2θd λ=

2θ

Si se observa una sola estrella muy grande se considera que lasSi se observa una sola estrella muy grande se considera que lasfranjas de interferencia provienen de dos puntos de la estrellaseparados por su diámetro angular; se obtendrá un mínimo devisibilidad cuando las rejillas estén separadas una distancia d que

Estrella

estará dada en este caso por el mínimo de la función de AIRY parauna abertura circular la cual se escribe como:

1 22λθ

0

0

1.22λ2θ = d

3. INTERFERENCIA POR DIVISION DE AMPLITUD

La onda primaria es dividida en dos segmentos, los cuales viajan pordif t i t d bi i t f i Si l d ddiferentes caminos antes de recombinarse e interferir. Si las dos ondasproducidas por división pueden ser reunidas de alguna manera sobre undetector, habrá interferencia en tanto que la coherencia original entre las dosondas no haya sido afectadaondas no haya sido afectada.

En éstos interferómetros las franjas de interferencia resultantes sonproporcionales a la inclinación entre los haces o a la diferencia del caminoó ti t llóptico entre ellos.

3.1 FRANJAS DE IGUAL INCLINACIÓN

La diferencia de camino óptico es:

( )DCO AB+BC ANn n′= −

hAB = BC = cosθ

AN = AC sinθ = 2htanθ sinθ′

′

sinθ = sinθn n′ ′

Por lo que la diferencia de fasecorrespondiente es:

2 cosDCO n h θ′ ′= 2 cosDCO n h θPlaca plano paralela con fuente puntual.

La diferencia de correspondiente y asociada con la DCO es el producto del número deió d l í l DCO I d di t d l l i ió d l l i id t l d

4 4 hπ π

propagación del vacío y la DCO. Independiente de la polarización de la luz incidente, los doshaces, uno reflejado interna y el otro externamente, sufrirán un cambio relativo de fase de .radianes:

π

2 2 2

0 0

4 4cos hn h n n senπ πδ θ π θ πλ λ

′ ′ ′= ± = − ±0δ = k DCO ± π

Los máximos y mínimos de interferencia de acuerdo a la siguiente relación son:

1 2 1 2I= I + I + 2 I I cosδson:

002 cos , m=0,1,2.. máximos

2n h mλθ λ′ ′ ± =

1 3 5λ00

1 3 52 cos , m= , , .. mínimos2 2 2 2

n h mλθ λ′ ′ ± =

“Entonces una franja dada está caracterizada por un valor constante de y está formada por luz incidente en el plano a un ángulo en particular. Por esta razón las franjas son llamadas franjas de igual inclinación”.

θ′

Cuando el eje del sistema óptico que las observa es normal a la placa, las franjas soncírculo concéntricos alrededor del punto focal para luz reflejada .(franjas deθ =θ=0′Haidinger) y por tanto la diferencia de fase estará dada por:

0 4n hπδ πλ

′= +λ

En éste caso los ordenes mayores están en el centro del patrón de interferencia.

Franjas circulares de Haidinger sobre el eje de la lente.

3.1 FRANJAS DE IGUAL INCLINACIÓN: FRANJAS COMPLEMENTARIAS


DCO 2 coshn θ′ ′=

La diferencia de fasecorrespondiente es:

0

4 cosn hπδ θλ

′ ′=

Franjas de ig al inclinación por transmisiónFranjas de igual inclinación por transmisión.

La diferencia principal al analizar este caso es que no existe un cambio de fase; yaLa diferencia principal al analizar este caso es que no existe un cambio de fase; yaque las reflexiones ocurren en las dos superficies en condiciones similares.

Las franjas son complementarias en el sentido que una franja brillante en reflexión,es oscura en transmisiónes oscura en transmisión.

3.1 FRANJAS DE IGUAL GROSOR

Existen una clase de franjas de interferencia para las cuales su espesor óptico, nfd es el parámetro dominante más que . Estas se llaman franjas de igual grosor.θ


( )1 2DCO n N C CN′ +

1 2 1 2

1 2

N C+CN N C+CN

N C=CN =h cos θ2 θCO h

′ ′

′ ′ ′′ ′2 cos θDCO n h′ ′=

La diferencia de fase correspondienteen el punto P es:

π

p

0

4 cos θn hπδλ

′ ′=

Tomando en cuenta el cambio de fase de en reflexión en una de la superficies de lapelícula, existen máximos de intensidad en el punto P cuando:

π

002 cos =0,1,2....

2n h m mλθ λ′ ′ ± =

cos θ ′ es el promedio para los puntos de la fuente los cuales contribuyen a la luz en el punto P.p

Si éste valor es efectivamente constante, las franjas están localizadas en los puntos dela película en el cual el espesor óptico es constante, por lo que se les conoce a éstasa pe cu a e e cua e espeso óp co es co s a e, po o que se es co oce a és asfranjas de igual grosor.

A incidencia normal, la condición para una franja oscura llega a ser, con y la longitud de onda en aire

cos 1θ ′ =0

nλλ =

λ , =0,1,2...2

mh mλ=

Las franjas de interferencia en la placarepresentan contornos de la película a intervalosde grosor , lo que nos indica que este/ 2λg , q qprincipio es muy útil para medir diferencias deespesores, cuando éstos son del mismo orden demagnitud que la longitud de onda.

Franjas de igual grosor dadas por un capa delgada de vidrio

3.2 INTERFEROMETRO DE MICHELSON

Un haz pasa a D tres veces mientrasque el otro pasa solo una vez. Enconsecuencia, cada haz cruzará igualespesor de vidrio únicamente cuando laplaca compensadora C, colocado a 450

se introduce en el brazo DM2. Elinterferómetro sin la placa C puede serinterferómetro sin la placa C puede serusado con una fuente cuasimonocromática.

Para entender como se forman las franjas, se hace referencia a la construcción mostrada a continuación:a continuación:

2 cos θ2

DCO dk DCO dkδ θ=

2 cos k DCO dkδ θ= =

Las franjas oscuras están representadas por:

02 cos 0,1, 2....md m mθ λ= =

Debido a que suponemos que la fuente luminosa emite en todas direcciones, estacondición se satisface de igual forma para cualquier punto sobre la superficie deldetector que esté sobre un círculo centrado en el eje óptico, por lo que un observadorcolocado en este plano observará franjas circulares concéntricas.

Para un valor fijo de d, las franjas oscuras satisfacerán sucesivamente la expresión:

( )( )

0

1 0

2 =02 cos 1

2 cos 2

md md m

d m

λ θθ λ

θ λ

=

= −

= − ( )2 1 cosθd pλ− =( )

( )

2 0

p 0

2 cos 2

2 cos

d m

d m p

θ λ

θ λ= −

M( )p 02 1 cosθd pλ=

Si es pequeño, el radio angular de la p-ésima franja es:

1

pθ

12

20cos 1

2p

p ppd

θ λθ θ ⎛ ⎞= − → = ⎜ ⎟⎝ ⎠

3.3 INTERFEROMETRO DE FIZEAU, TWYMAN-GREEN Y MACH-ZEHNDER

ANILLOS DE NEWTON

Las franjas llamadas anillos de Newton son otro ejemplo defranjas de igual grosor. Estas son observadas en la película deaire entre un superficie esférica convexa de una lente y laaire entre un superficie esférica convexa de una lente y lasuperficie plana de vidrio en contacto. Las franjas son círculosalrededor del punto de contacto C. Si R es el radio de curvaturay OC de la superficie convexa, el grosor de la película a ladi t i d Cdistancia r de C es:

22 2

2rh R R rR

= − −

A incidencia normal la condición para una franjaoscura es: 2

mh λ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

λ

Montaje estándar para observarlos anillos de Newton

, 0,1, 2...r mR mλ= =

Si la lente y el plano son separados, los puntos de la película con una h dada se muevenfhacia adentro y las franjas colapsan hacia adentro, donde una desaparece cada vez que

la separación se incrementa en .2λ

Los anillos de Newton, que son franjasde Fizeau, pueden distinguirse delpatrón circular de las franjas deHaidinger por la manera como losdiá t d l ill í ldiámetros de los anillos varían con elorden m.

El interferómetro de Fizeau esEl interferómetro de Fizeau esutilizado para el control de calidad delas superficies que se trabajan en lostalleres de pulido óptico, donde se

Interferómetro de Fizeau

Anillos de Newtonfabrican componentes ópticas.

Las pruebas más comunes son laspruebas de superficies cóncavas,Interferómetro de Fizeau pruebas de superficies cóncavas,convexas y planas.

L b h t t d d fi i lid i d d ll lLa prueba se hace por contacto de dos superficies pulidas, siendo una de ellas lareferencia patrón; si la una superficie es plana y la otra cóncava o convexa apareceránanillos concéntricos “franjas de Newton”.

INTERFEROMETRO DE TWYMAN-GREEN

Es una modificación del interferómetro de Michelson; utilizado para probar elementosópticos. El elemento es insertado en el brazo M2 de tal manera, que si fuera perfecto, elfrente de onda de M2 de retorno sería plano, si no, la deformación del plano de M2resulta del doble paso de la luz a través del elemento a ser medido.

Arreglo para probar un prisma Arreglo para lentes de una cámara

a) Aberración esférica b) Coma c) Astigmatismoa) Aberración esférica b) Coma c) Astigmatismo

Patrones de interferencia Twyman-Green de lentes mostrando aberraciones primarias.

INTERFEROMETRO DE MACH-ZEHNDER

Es usado para medir la variación del índice derefracción, y por lo tanto de densidad en flujos de gascompresibles.p

Suponer que la fuente es puntual, de luz cuasimonocromática. W1 es el frente de onda plano delrayo entre M1 y D2, W2 el frente de onda plano delrayo entre M1 y D2, W2 el frente de onda plano delrayo entre M2 y D2, y W1´ el frente de onda planovirtual entre M2 y D2 lo cual debería emerger de D2coincidente y cofasal con W1. En el punto P en W2, ladiferencia de fase virtual entre los rayos emergenteses entonces:

2 nhπδ0

nhδλ

=

Donde , la distancia normal de P a W1´y n es elíndice de refracción del medio entre W y W ´ En el

h PN=índice de refracción del medio entre W2 y W1 . En elpunto P´ habrá franjas brillantes cuando:

0 1 2h λ0 0,1,2.....nh m mλ= =

En general W1´y W2 están mutuamente inclinados y las franjas son líneas rectas paralelas asu intersección. Estas franjas son normalmente utilizadas en la examinación de flujos de gas.

En el uso técnico del instrumento, la región C1 donde el flujo de gas se ha de examinar yuna cámara de compensación, se encuentran en brazos opuestos del interferómetro, elcual se ajusta para dar franjas cercanas al orden cero, de orientación y espaciamientodeseado y virtualmente localizadas cerca de un plano elegido dentro de C1, normal a ladirección de la luz incidente. Este plano es fotografiado. Las fotografías de los patrones defranjas se obtienen con y sin flujo de gas y el orden de desplazamiento de los dospatrones en los puntos seleccionados P´ del plano imagen se miden se usan las franjas de

m∆

1

patrones en los puntos seleccionados P del plano imagen se miden, se usan las franjas deluz blanca si es necesario identificar los ordenes correspondientes. Si n es el índice derefracción del gas sin disturbio en C1 y n1´ es el índice de refracción bajo las condicionesde flujo, se tiene que:

( )0

1m n n dsλ

′∆ = −∫j q

D d l i t l t l l d l i d l t é d C llDonde la integral se toma a lo largo del camino del rayo que pasa a través de C1 y llega aP´.

4 INTERFERENCIA DE HACES MÚLTIPLES4. INTERFERENCIA DE HACES MÚLTIPLES

Los interferómetros analizados anteriormente consideran la interferencia entre doshaces coherentes, lo que da como resultado que las franjas analizadas seancosenoidales.

Cuando una rayo de luz incide en una placa trasparente, existen múltiples reflexionesen las superficies de la placa, dando como resultado una serie de rayos de amplituden las superficies de la placa, dando como resultado una serie de rayos de amplituddisminuida emergentes en cada lado de la placa. Si se toma en cuenta todos los rayosreflejados, se verá, si la reflectividad de las superficies es alta, la distribución deintensidad en los patrones de franjas está modificado de una manera de la cual tieneimportantes usos prácticos.

4.1 INTERFERENCIA MÚLTIPLE EN UNA PLACA PLANO PARALELA

Suponer una placa transparente planoSuponer una placa transparente planoparalela con n´ y rodeada por un mediocon n y suponer que una onda planamonocromática de luz incide en la placa

Las amplitudes escalares de las ondasreflejadas E1r, E2r, E3r.. son respectivamente

a un ángulo .θ

Las amplitudes escalares de las ondastransmitidas E1t, E2t, E3t.. son respectivamente

3E ,E tr t́ ,E ´ ´ ´ ...i t i t i tor or ore e t r t eω ω ω

transmitidas E1t, E2t, E3t.. son respectivamente

r=-r´; tt´=1-r2

2 4E ´ , E tr´ t´ ,E ´ ´ ...i t i t i tot or ortt e e tr t eω ω ω

La onda resultante y la densidad de flujo en el punto P tanto en reflexión como en transmisiónson:

;

( ) ( )221 2 1ir e Eδ δ−⎡ ⎤ ⎛ ⎞( ) ( )( )

220

0 r2 4 2

1- 2 1 cos ........ I

1 2 1 2 cosi t

r i

r e rEE E er e r r

ωδ

δδ−

⎡ ⎤ −⎛ ⎞⎢ ⎥= = ⎜ ⎟− + −⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )22 ´´ ttEtt ⎛ ⎞⎡ ⎤ ( )( )

20

0 t2 4 2

´ ........ I 1 2 1 2 cos

i tt i

ttEttE E er e r r

ωδ δ−

⎛ ⎞⎡ ⎤= = ℘⎜ ⎟⎢ ⎥− + −⎣ ⎦ ⎝ ⎠

El patrón de franjas de igual inclinación tiene sus máximos cuando: ( )2 1 ómδ π= +

( )0

4cosθ 2 1 DCO=2 cosθf

t f

nd m n d

ππ

λ= +

2⎛ ⎞Introduciendo el coeficiente de finura, se tiene que:

2

2

21

rFr

⎛ ⎞≡ ⎜ ⎟−⎝ ⎠2

2rF senI

δ

=

( )

21 2

1 θ

i

t

I F sen

I

δ

δ

=+

= = Ψ

La interferencia de hacesmúltiples resulta en una

( )21

2iI F sen δ

+

múltiples resulta en unaredistribución de la densidad deenergía en comparación alpatrón sinusoidal de dos haces(de los cuales las curvascorrespondientes a una bajareflectancia son parecidas).

Función de Airy

4.2 INTERFERÓMETRO FABRY-PEROT

Las franjas de interferencia de múltiples haces de una placa plano paralela iluminada aincidencia casi normal son usadas en el interferómetro Fabry-Perot. Consisteesencialmente de dos placas de vidrio con superficies planas. Las superficies internasp p p pson películas recubiertas, parcialmente transparentes, de alta reflectividad y sonparalelas, por lo que encierran una placa plano paralela de aire. El espacio de aire entrelas placas varía de algunos milímetros a centímetros cuando se usa para interferometría

f t t l di t i t id bl t d id dy frecuentemente la distancia aumenta considerablemente cuando se usa como cavidadresonante de un láser. Cuando los espejos se mantienen fijos y se ajusta el paralelismofijando con una tornillo algún tipo de espaciador suele llamársele etalón.

Todos los rayos incidentes sobre el espacio separador con un ángulo dado resultarán enuna sola franja circular de irradiancia uniforme. Con una fuente difusa ancha, las bandas dei t f i á ill é t i d l d di t l t ó d t i ióinterferencia serán anillos concéntricos delgados, correspondientes al patrón de transmisiónde haces múltiples.

Las películas de metal parcialmente transparentes que se usan para aumentar lafl t i b b á (T R A 1) f ió d l d id d d fl j é treflectancia, absorberán (T + R + A = 1) una fracción de la densidad de flujo y éstas

introducen un corrimiento adicional de fase. La diferencia de fase entre dos ondastransmitidas sucesivamente es:

4 nπt

0

4cosθ 2 **fn

dπ

δ φλ

= +

Para las condiciones bajo consideración, es pequeño y puede se considerado comoiθ φconstante. En general, d es tan grande y tan pequeño, que puede ser despreciado.

i0λ φ

2 1I T⎛ ⎞

Se puede expresar ahora la ecuación como: ℘

( ) ( )

( )

2 2

2

11 1 4 / 1 / 2

1 θ 1

t

i

t

I TI R R R sen

I AI R

δ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ + −⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= − Ψ ℑ⎢ ⎥⎣ ⎦( )

1iI R⎢ ⎥−⎣ ⎦

Por lo tanto, el máximo de transmisión está dado cuando la función de Airy es 1, por lo que :

( ) 2

11

t máx

i

I AI R

⎡ ⎤= −⎢ ⎥−⎣ ⎦

Los máximos en la transmisión ocurren para valores específicos de la diferencia de fase. . De acuerdo a ello, la irradiancia caerá a la mitad de su valor máximo siempremax 2 mδ π= , py cuando

max mδ πmax 1/ 2δ δ δ= ±

( )1

2 11 F sen δ θ−

⎡ ⎤+ = = Ψ⎢ ⎥ ( )

( )11/ 2

1 2 2

2 1/

F sen

sen F

θ

δ −

+ = = Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

ya que F es generalmente bastante grande, y por tanto el ancho medio,es ig al a

( )1 1/ 1/sen F F− ≈

2δ. es igual a:1/ 22γ δ=

4 / Fγ =

Otra cantidad de particular interés es la razón entre la separación de máximosadyacentes y el ancho medio, conocida como la finura:

22F

F

πγ

π

≡

2Ff π

=

Sobre el espectro visible, la finura de los instrumentos Fabry-Perot más ordinarios esl d d d 30 L li it ió fí i b f tá t bl id l d i i d lalrededor de 30. La limitación física sobre f está establecida por las desviaciones de los

espejos del paralelismo plano. Tener en cuenta que cuando la finura aumenta, el anchomedio disminuye, pero lo mismo hace el máximo de transmisión.

ESPECTROSCOPÍA FABRY-PEROT

4 2( ) 4.2F

δ∆ ≈Para valores grandes de F, el incremento de fase mas pequeño el cualrepresenta dos franjas resueltas, esto es cuando la irradiancia combinada de ambasfranjas en el centro, o punto silla, de la franja ancha resultante es veces el máximo28 /πj , p , jde la irradiancia.

Franjas superpuestas

La razón entre y la diferencia de longitud mínima , se conoce como el podercromático de resolución , de cualquier espectroscopio. Por lo tanto, a incidencia casi

0λ ( )0 minλ∆

( )0

0 0

2 f

mín

n dfλ

λ λ≡ ≈

∆

, q p p ,normal:

.fm≈

( )min 2 f

cf n d

ν∆ =En término de frecuencia el ancho mínimo de resolución es: 2 ff n d

La diferencia de longitud de onda particular para la cual ocurra la superposición,. , se conoce como rango libre espectral. Un cambio de fase de corresponde a2π( )0 rleλ∆

( ) ( )2

00 ;

2 2rle rlef f

cn d n dλλ ν∆ ≈ ∆ ≈

. , o a incidencia casi normal,( )0 0 /rle

mλ λ∆ =

2 2f fn d n d

( )( )

rle fλλ∆

=∆

Finalmente se tiene que: ( )minλ∆

4.3 FILTROS DE CAPAS DELGADAS DE INTERFERENCIASi la separación óptica de las superficies reflectoras es

δ

Si la separación óptica de las superficies reflectoras es constante sobre la apertura del filtro, corresponde al cambio de la diferencia de fase por una cantidad siempre y cuando podamos despreciar las variaciones de reflectividad y

( )0 . .H Wλ∆

4 / F

Filtro de interferencia tipo Fabry Perot

despreciar las variaciones de reflectividad y transmisividad de la longitud de onda sobre el intervalo del longitudes de onda. De * * a incidencia normal, si despreciamos la dispersión del espaciador, un cambio

corresponde a un cambio en a la longitud deδ∆ λ∆Filtro de interferencia tipo Fabry-Perot

⎛ ⎞

. corresponde a un cambio en a la longitud de onda dada al primer orden de pequeñas cantidades por δ∆

0λ∆

Suponer que un rayo paralelo de luz blanca llega aincidencia normal en una placa plano paralela con

ℑ02

0 0

4 2 dn hd

π φδ λλ λ

⎛ ⎞′∆ = − + ∆⎜ ⎟

⎝ ⎠( )

0 0mλ λ=

superficies con alta reflectividad. Por haymáximos de intensidad de la luz transmitidacuando la diferencia de fase es un múltiploentero de . cuando donde:

δ2π

ℑ

( )( )

02 , m=1,2,.....

/m n h

mλ

φ π′

=−

Por lo tanto cerca de la banda de transmisión de orden m, se tiene:

( ) ( )( )

0

0 000

2 1m

m

dmd

λ

πδ φλ λπ λλ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥∆ = − + ∆⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

y que a las longitudes de onda en cualquiera ladode éstos máximos la intensidad de la luztransmitida cae bruscamente a bajos valores. Laplaca entonces actúa como un filtro de longitudes ⎣ ⎦de onda, con múltiples bandas de transmisiónasociadas con valores enteros del orden m.

El ancho medio del filtro a la longitud de onda corresponde al cambio en de , el cual es:δ 4 / F

( )( )

( )

( )

( )

0 00 . .

0 0

2

1 1

m m

H Wd dF m f m

d d

λ λλ

π φλ φλλ λ

∆ = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( )

( )( )

0 0

0 00 0m m

fd d

λ λ

φ φπ λ π λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Otra forma de filtro de interferencia, es el llamado filtro de reflexión total frustrada, cada películareflectora es una capa delgada de material de bajo índice de refracción entre un medio de alto índice dereflectora es una capa delgada de material de bajo índice de refracción entre un medio de alto índice derefracción. Las longitudes de onda de transmisión dependen del grosor óptico del espaciador, el ángulode reflexión y el cambio de fase en la reflexión; la reflectividad depende del grosor de las capas con bajoíndice de reflexión. El cambio de fase depende del estado de polarización, y por tanto las bandas detransmisión de un orden dado para las componentes paralelas y perpendiculares al plano de incidenciatransmisión de un orden dado para las componentes paralelas y perpendiculares al plano de incidenciason a diferentes longitudes de onda.

Filtro de interferencia de reflexión total frustradareflexión total frustrada.

4.4 MÉTODO MATRICIAL PARA PELÍCULAS DELGADAS

rI rII tIIE , E , E , etc. ′Cada onda representala resultante de todas las ondas posibles queviajan en esa dirección y en ese punto en elmedio En la frontera I:medio. En la frontera I:

yI iI rI tI rIIE E E E E′= + = +

( )

( )

0I 0

0

0

H cosiI rI iIE E n

E E

ε θµ

ε θ

= −

′( )01

0

costI rII iIIE E n θµ

′= −

En la frontera II:

( )01 cos

II iII rII tII

II iII rII II

E E E E

H E E nε θ

= + =

= −( ) 10

0 = cos

II iII rII II

tII s tIIE n

µ

ε θ

Campos en las interfaces

0

s donde n índice del substratoµ

Cuando una onda cruza la película de inmediato sufre un corrimiento de fase el cual puede ser denotado por K0h de modo que las ecuaciones para la frontera II pueden ser escritas como:

( )0 12 cos / 2iIIk n d θp p 0 q p p

( )0 0 0 0- 01 y - cosik h ik h ik h ik h

II tI rII II tI rII iIIE E e E e H E e E e nε θ− + +′ ′= + = ( )0

t t iµ

Estas pueden ser resueltas, las cuales sustituidas dentro las ecuaciones para la frontera I, dan:

( )0 0 1 1 0 0cos sen / y H sen cos I II II I II IIE E k h H i k h E i k h H k h

ε

= + ϒ = ϒ +

01 1

0

cos iIInε θµ

ϒ ≡

Los cálculos anteriores realizados para el caso cuando E está en el plano de incidencia resultarán en ecuaciones semejantes, si se cumple que:

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤( )0 0 1

1 0 0

cos sen /sen cos

I II

I II

E Ek h i k hH Hi k h k h

⎡ ϒ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ϒ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

, I I II III I IIII II I II

E E E E E EH H H H H H⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= Μ =Μ → =Μ Μ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

I II I III I II III I IIIH H H H H H⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

En general, si p es el número de capas, cada una con valores particulares para n y h, entonces el primero y el último borde están relacionados con:y el último borde están relacionados con:

( )

( )

1 11 12

21 22

.... ; M= ....pI

I II p I II pI

EE m mm mH H

+⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Μ Μ Μ Μ Μ Μ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦( ) 21 221I p m mH H +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Reformulando la ecuación de la MI en términos de las condiciones de la frontera I y II y estableciendo:

( )( )

iI0 00 0 1

0 0 iI 0

Ecos y cos se obtiene

ErI tII

iI s s tIItII srI

E En n

EEε εθ θµ µ

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ϒ = ϒ = = Μ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ϒ− ϒ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Desarrollando las matrices, la última relación se transforma en:

( )11 12 0 21 221 y 1s sr m t m t r m t m t+ = + ϒ − ϒ = + ϒ

Finalmente se tiene que:

EE

0 11 0 12 21 22

y tIIrI

iI iI

s s

EEr tE E

m m m m

= =

ϒ + ϒ ϒ − − ϒ0 11 0 12 21 22

0 11 0 12 21 22

02

s s

s s

rm m m m

t

=ϒ + ϒ ϒ + + ϒ

ϒ=

0 11 0 12 21 22s sm m m mϒ + ϒ ϒ + + ϒ

Para encontrar ya sea r o t para cualquier configuración de películas necesitamos calcular únicamente laPara encontrar ya sea r o t para cualquier configuración de películas, necesitamos calcular únicamente lamatriz característica de cada película, multiplicar todas ellas, y entonces sustituir los elementos de la matrizresultante dentro de las ecuaciones anteriores.

EJERCICIOS1. Dos ondas ondulatorios coherentes de frecuencia 700 Hertz, se propagan por un medio con velocidad de 30 m-s. Hallar la perturbación total y ladiferencia de fase con que interfieren en un punto que dista de los orígenes de aquéllos respectivamente 25.2 y 27.3 m.La función de onda para cada movimiento viene dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 01 1 2 02 2

1 2

La función de onda para cada movimiento viene dada por:

E ( ) y E cos( )

E=E E

E E E

EE sen wt Kx E Kx wt

t k t k t k t k

= − = −

+

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

r r

r r r

r( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )01 1 1 02 2 2

01 1 02 2

E=E cos cos E cos cos

E= E cos E cos

sen wt kx wt sen kx sen wt kx wt sen kx

sen wt kx kx

− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+⎡ ⎤⎣ ⎦

r( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

01 1 02 2cos E E

E E

wt sen kx sen kx

SeanE k k k

+ +⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0 01 1 02 2

0 01 1 02 2

2 2 2

cos E cos E cos

E cos E cosElevando al cuadrado las dos anteriores y sumandolas queda:E E E 2E E

t

t

E kx kx kx

E sen kx kx kx

k k

= +

= +( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

La diferencia de fase es entonces:

2 2wt kx wt kx k x x

vδ

π π= − − − = −

( )2 2 20 01 02 01 02 2 1E E E 2E E cos

y luego dividiendolaskx kx= + + −

( ) ( ) ( )( ) ( )

01 1 02 2t

E cos E costan kx

E cos E coskx kxkx kx

+=

+

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 22 2

v2 700

2.130

vx x x xπ πδλπ

δ

= − = −

=( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

01 1 02 2

0 0

E cos E cosLa perturbacion total queda entonces:

E=E cos E cos ó

E Et t

kx kx

kx sen wt sen kx wt

sen wt kx

+

+

+

r

r

30307.87 radδ =

( )0E=ELa onda compuesta es armónica y de la misma frecuencia que las constitut

tsen wt kx+

ivas pero laamplitud y fase son diferentes.

2 Se tienen dos rendijas separadas una distancia 0 25 mm y se encuentra una pantalla situada2. Se tienen dos rendijas separadas una distancia 0.25 mm y se encuentra una pantalla situadaa 90 cm de distancia, la rercera franja brillante se localiza a 0.75 mm de la franja central,calcular la longitud de onda de la luz utilizada.

( )

( )

3 .75 mm y 2.25 mm

y∆ =

∆ =

∆( )

( )( )

yComo : =

s0.25 mm 2.25 mm

=

aλ

λ

∆

=900 mm

λ=625 nm

λ

¿Cuál es la separación de franjas brillantes si el sistema se sumerge en un líquido con índice de refracción1.6?

cRecordar que: n= ; cλ = C sλ∆

aireliquido liquido

Recordar que: n ; v f

λv cλ = = =λ =n nf n

aireλ

( )( )

Como : =a900 mm 390.06 nm

y=0.25 mm

y∆

∆

liquido625 nmλ = 390.06 nm

1.6=

y= 1.4 mm∆

3. Una lente convergente, cuya distancia focal es 10 cm, fue cortada al medio y lasit d f d l d di t i d 0 5 (l t d bl ) C l l lmitades fueron desplazadas a una distancia d= 0.5 mm (lente doble). Calcular el

número de franjas de interferencia en la pantalla, situada detrás de la lente a unadistancia D=60 cm, si delante de la lente existe una fuente puntual de luzmonocromática alejada de ella en a=15 cm05000 Aλ =monocromática alejada de ella en a=15 cm.5000 Aλ =

Es evidente que:fab =

1 2

1 2

De la semejanza de los triángulos SAB y SSse puede encontrar la distancia entre S y S

ba f

Sl

=−

1 2p yadl

a f=

−

( )La distancia entre las franjas de interferencia vecinas es:

D-bλ λ El ú d f j d i f i( ) ( )

( )

D bh=

h=

Da Df ba bfl ad

Da Df faad

λ λ

λ

∆ = − − +

∆ − −( )

El número de franjas de interferencia es:

N= 25d D al

h a h+

= =∆ ∆

-2h=10ad

cm∆

4. En uno de los brazos de un interferómetro de Michelson se introduce una lámina rectandular de vidrio (n = 1.52)con espesor e = 1 cm, cuya normal a las caras forma un ángulo α con la dirección del brazo. El interferómetroestá iluminado con una onda plana monocromática de longitud de onda λ linealmente polarizada. Calcular:está iluminado con una onda plana monocromática de longitud de onda λ linealmente polarizada. Calcular:

a) Si α = 0, determine el desfase δ que introduce la lámina en función de su índice de refracción n y de suespesor e. Nota: despreciar en todo el estudio el espesor de la lámina separadora, el corrimiento de fase π ensu interior y el efecto de las reflexiones en la intensidad.

b) A partir de la situación precedente se hace girar la lámina hasta que la normal a sus caras forma un ángulo α conla dirección del brazo. Determinar el incremento del desfase δ(α) producido por el giro.

c) En el experimento se ajustan las longitudes de los brazos del interferómetro d1 y d2 de manera que cuando elc) En el experimento se ajustan las longitudes de los brazos del interferómetro d1 y d2 de manera que cuando elángulo α es nulo, en el centro de la pantalla aparezca un máximo de interferencia. Si al hacer variar el ángulo αdesde 0º hasta 7.22º se observan 100 máximos de intensidad (sin contar el primero), determinar la longitud deonda λ de la radiación.

Inciso a)Esquema del interferómetro de Michelson:

M1 Desfase introducido por la lámina cuando se coloca

1 12d∆ =M2

M1

1d2d

( ) ( )2 1 2 12 2 1 DCO d d n e= ∆ −∆ = − + −

Desfase introducido por la lámina cuando se colocaformando un ángulo α = 0

2 2 2

i f d l l + i l ld e∆ = ∆ + ∆

∆

e ( ) ( )2 12 2 2 2 1 DCO d d n eπ πδλ λ

= = − + −⎡ ⎤⎣ ⎦

( )2

2 2

= camino fuera de la placa + camino en la placa2 2d e ne

∆

∆ = − +P

b) Nuevo desfase al girar la lámina. Interferómetro de Michelson con lámina de vidrio intercalada en un brazo

'd( ) ( )2 22 2d d ndα ′∆ = − +

( )cos'ed d e

α β−= → =

α

'd

d

cos cosd d e

β β→

e

β ( )cosd d α β′ = −

( ) ( ) ( )2 1 2 1

cos 22 2neDCO d e dα β

α αβ β−⎛ ⎞

= ∆ − ∆ = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 1 2 1cos cosβ β⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1

cos2 2

cos cosnDCO d d e

α βα α

β β−⎛ ⎞

= ∆ − ∆ = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )2 1

cos2* 2 2 cos cos

nd d eα βπδ α

λ β β⎡ ⎤−⎛ ⎞

= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2 1 2 1

cos2 2 2 2 2 1cos cos

nd d e d d n eα βπδ α δ α δ

λ β β⎡ ⎤−⎛ ⎞

= − = − + − − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( ) ( )* cos2 12 1 1cos cos

e nα βπδ α δ α δ

λ β β⎡ ⎤−⎛ ⎞

= − = − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

d) Cuando la lámina (e = 1 cm) gira un ángulo α = 7.22º = 0.126 rad se ven desfilar 100 máximos de intensidad, así que el desfase que corresponde a ese giro es δ(α) =100·2πrad Usando la expresión anterior determinamos el valor de la longitud de ondarad. Usando la expresión anterior, determinamos el valor de la longitud de onda.

( ) ( )cos2 12 1 1cos cos

e nα βπδ α

λ β β⎡ ⎤−⎛ ⎞

= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )cos2 12 1 1

cos coscuando α es pequeño la ley de Snell se aproxima a:

e n

n

α βπλδ α β β

α β

⎡ ⎤−⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦=

( ) ( )

( )

22

cos 1 ; cos 12 2

2 2 1 cos cos cose n

α βββ α β

πλ β β

−≈ − − ≈ −

= − + − ( )α β−⎡ ⎤⎣ ⎦( ) ( ) 1 cos cos coscos

nλ β βδ α β

+ ( )

( ) ( )( )22 2

2

2 2 1 12 2 21 / 2

e n

α β

α βπ β βλδ α β

⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤−= + − − +⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎣ ⎦( ) ( )

( ) ( )( )

( )

2 2 22

2

2 2 -1 22 2 2

12 2 1 2

e n

ne n n

πλ β α β αβδ α β

π

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦⎡ ⎤−⎣ ⎦⎡ ⎤

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 22 2 2 2 2

2 2 22 2

12 2 1 2 2

12 2 2 2

ne n nn n n n

ne n n enn

πλ α α α αδ α β

π πλ α αδ α δ αα

−⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥− ⎣ ⎦

−= − ≈

( ) ( ) ( ) ( )7

2

2 1.52-1 10100 2 1.52

nnδ α δ αα

πλπ

−

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠2 (nm) 0.126 543.1 nm⋅ =

5. Una lámina de vidrio de caras paralelas, de espesor e e índice de refracción n se ilumina por unafuente puntual O situada a una distancia d>>e. Una pantalla situada a una distancia D de ella, estáil i d l l fl j d d l t i t i d l lá i LA f t it di ióiluminada por la luz reflejada de la cara anterior y posterior de la lámina. LA fuente emite una radiaciónmonocromática de longitud de onda e incide con ángulos pequeños sobre la lámina. Calcular ladiferencia de camino en un punto P de la pantalla en función de D, d , e. Ver la figura.

λ

Al punto P de la pantalla llegan dos rayos procedentes de 0. Uno se refleja en la primera cara de la lámina mientras que el otro se refracta de la lámina, se refleja en la cara inferior y se refracta de nuevo en la primera cara. Por lo tanto, en P los rayos llegan con una diferencia de camino que permite la interferencia.

2 2Se tiene que:

eAB= ; tan ;

DCO nAB Ml

MlAl e senAl

β αβ

= −

= =; ;cos

2 2 tancos

AleDCO n e sen

ββ

β αβ

= −

2

Teniendo en cuenta la ley de Snell , se llega a22 - 2 cos

cos cos

sen nsene enDCO n sen ne

α β

β ββ β

=

= =

Si se observan rayos que inciden sobre la muestra formando pequeños angulos, o sea que el punto A es próximo al punto S, entonces DCO se puede espresar como:

2 2

2 2

senDCO= 2necos =2ne 1- 2ne 1- 2n n

α αβ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2y

d Dα

+

⎛ ⎞

( )

2

22

2 2 12 2

ynen d D

πδλ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

A esta diferencia de fase se le tiene que añadir la diferencia de fase que produce la reflexión de aire-vidrio q q py de vidrio-aire que es radianes, por lo que la diferencia de fase total es: π

( )

2

22

2 2 12 2

tyne

n d Dπδ πλ

⎛ ⎞≈ − +⎜ ⎟

⎜ ⎟+⎝ ⎠

Los mínimos se obtendrán cuando es decir:( )2 1t mδ π= +

( ) ( )22m

n ne my d D

λ−= +( )my

e

Por lo tanto, el lugar geométrico de los puntos de la pantalla que presentan la misma diferencia decamino óptico son círculos centrados sobre la recta que parte de O y es perpendicular a la muestra.

6. Las láminas de un interferómetro de Fabry-Perot tienen un coeficiente de reflexión r=0 95 y están separadas 1 mm Calcular:r=0.95 y están separadas 1 mm. Calcular:

a) La fineza, f

b) El poder resolutivo y el intervalo espectral mínimo resoluble) p y p

c) La separación mínima que tendría que haber entre las láminas necesarias para poder resolver la emisión del doblete del sodio .

1 2589nm y 589.6nmλ λ= =

a)

2F 2;r Ff π⎛ ⎞= =⎜ ⎟

b)

30 61fm≈

0

c)2 fn d

fλ≈

( )( )

2

2

2

F 2; 1 2

2 0.95379.75;

fr

F

= =⎜ ⎟−⎝ ⎠

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎢ ⎥

( )0

0 0min

30.612 f

mn d

fλλ λ

≈

≈∆

( )

( )

0 0min2

0

0 min2 f

f

dfn

λ λ

λλ

≈∆

=∆

( )21 0.95

379.75 30.612

f π

−⎢ ⎥⎣ ⎦

= =( )

( )

20

0 min

2

2

589 nm

ffn dλλ∆ ≈ ( )

( )( )

2589 nm2 0.6 nm 30.619.44 m

d

d µ

=

=2( ) ( )

( )( )( )

0 min

0 min

589 nm2 30.61 1 mm

5.67 pm

λ

λ

∆ ≈

∆ ≈

9.44 md µ

BIBLIOGRAFÍA

1 M B d E il W lf P i i l f O ti El t ti Th f1. Max Born and Emil Wolf, Principles of Optics: Electromagnetic Theory ofPropagation Interference and Diffraction of Light, Pergamon Press, 6 th(corrected) edition,1980.

2. Eugene Hecht and Alfred Zajac, Optica, Addison-Wesley Iberoamericana,1986.

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