Instituto Integral de Educación

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Profesorado en Tecnología

Intervalos y Entornos

La geometría analítica establece una correspondencia entre puntos de una recta y números reales, de tal forma que a cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta un único número real. La recta recibe el nombre de recta real o espacio de una dimensión y los términos punto o número real se usan indistintamente.

En la representación gráfica se indica un punto origen sobre la recta que corresponde al 0 y otro punto a su derecha para representar el 1, con lo cual queda establecida la escala.

La relación de orden definida en R se interpreta geométricamente considerando que si b > a, entonces el punto b está a la derecha del punto a.

Esta correspondencia entre puntos y números reales facilita la interpretación de muchas demostraciones y constituye un auxiliar poderoso para su comprensión. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que, si bien cualquier representación gráfica es fuente de claridad, en ninguna demostración tiene validez la utilización de recursos gráficos puramente intuitivos.

A continuación se consideran algunas definiciones útiles.

a 0 1 b

Intervalos Siendo a < b:1) Intervalo cerrado [a;b] es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los

comprendidos entre ambos:

La longitud del intervalo [a;b] es el número positivo b – a.

2) Intervalo abierto (a;b) es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b:

La longitud de (a;b) es también el número positivo b – a.3) Intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha (a;b] es el conjunto de

números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b:

Análogamente se define el intervalo [a;b).

Las definiciones anteriores se pueden generalizar cosiderando la semirrecta y la recta como intervalos no acotados, lo que se expresa utilizando los símbolos y . Estos símbolos deben ser considerados con especial atención, recordando que se usan solamente por conveniencia de notación y nunca como números reales.

Ejemplos y Ejercicios:

1) Escriban en notacion de intervalos los siguientes conjuntos de números reales y represéntenlos en la recta: