Introducción a la Computación Cuántica y a las Caminatas Cuánticas
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ción a la Computación Cuántica y a las Caminatas Cu 4 o Congreso Internacional de Tendencias en Tecnologías de la Información y Telecomunicaciones Universidad Autónoma de Querétaro Salvador Elías Venegas Andraca Grupo de Procesamiento Cuántico de la Información Tecnológico de Monterrey, Campus Estado de México http://www.mindsofmexico.org/sva [email protected] y [email protected]
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Introducción a la Computación Cuántica y a las Caminatas Cuánticas
4o Congreso Internacional de Tendencias en Tecnologías de la Información y Telecomunicaciones
Universidad Autónoma de Querétaro
Salvador Elías Venegas AndracaGrupo de Procesamiento Cuántico de la Información
Tecnológico de Monterrey, Campus Estado de México
http://www.mindsofmexico.org/[email protected] y [email protected]
Agradecimiento
Marco Antonio Aceves Fernández
Agenda
1. Introducción a la computación cuántica2. Caso de estudio: caminatas cuánticas3. Redes cuánticas
1. Introducción a la computación cuántica
¿Qué es la Computación Cuántica? (1/2)
Disciplina nacida de la física y la computación, cuyo objetivo incluye:
a) [Computer Scientists] Crear computadoras y algoritmos que aprovechen las propiedades cuánticas de la materia. Se busca aumentar la capacidad de las computadoras para resolver problemas y procesar información.
b) [Físicos] Desarrollar herramientas que permitan aguzar nuestra intuición en el estudio de la mecánica cuántica.
¿Qué es la Computación Cuántica? (2/2)
c) [Cualquier científico] En nuestro intento por controlar sistemas cuánticos individuales, tendremos un laboratorio para aprender más sobre la estructura del universo.
d) [Industria del cómputo y comunicaciones] Comprender y aprovechar los efectos de la miniaturización a escala atómica/sub-atómica.
Teoría de la computación clásica
Objetivo
Conocer las capacidades y límites fundamentales de los procedimientos finitos (algoritmos) usados en la solución de problemas.
La teoría de la computación clásica se divide en:
• Teoría de autómatas
• Teoría de la computabilidad
• Teoría de la complejidad
Máquina Determinística de Turing
Un programa para una MDTse compone de:Símbolos de la cinta {S}Estados de la máquina {Q}Función de transición
Lo siguiente suena a trabalenguas pero es importante:
La máquina universal de Turing (MUT) es una máquina de Turingque puede simular a cualquier máquina de Turing.
La teoría de la computación clásica es una rama de la matemática que NO toma en cuenta las propiedades físicas
de los sistemas en los que se implantan algoritmos.
¿Es esto importante?
Sí, es importante tomar en cuenta dichas propiedades físicas.
Algunas razones son:
1. Gasto energético (conjunto universal de compuertas)
OR
AND
NOT
Las primeras dos compuertas tienen dos bits de entrada y uno de salida. Al procesar información con estas dos compuertas es necesario borrar un bit.
De acuerdo al principio de Landauer [1], el acto de borrar información implica un gasto energético:
Principio de Landauer. Suponga que una computadora borra un bit de información. Entonces, la cantidad de energía disipada en el medio ambiente es al menos igual a KTln2, donde K es la constante de Boltzmann y T es la temperatura de la computadora.
Luego, parte del calor que desprende un microprocesador y, en general, una computadora, se debe al acto de borrar información.
2. Ley de Moore
La complejidad de un circuito integrado se duplica cada 18-24 meses y los costos se mantienen
La complejidad de un circuito integrado es directamente proporcional al número de transistores en dicho circuito. Luego, una consecuencia directa de la ley de Moore es que el tamaño de los transistores decrece constantemente.
Se espera que, en algunos años, el tamaño de transistores y demás componentes alcance escalas atómicas [2].
3. Simulación de sistemas físicos
La simulación computacional de sistemas físicos gobernados por las leyes de la mecánica cuántica es, en general, un problema de orden exponencial respecto del número de partículas a simular.
En [3], Richard Feynman se preguntó si el uso de sistemas cuánticos para simular otros sistemas cuánticos permitiría reducir la complejidad algorítmica de este proceso.
Ahora bien:
¿Es posible crear un modelo computacional, esto es, un modelo matemático para la ejecución de algoritmos, que al implantarse en
un sistema físico:
1) No gaste energía innecesariamente,
2) tome en cuenta los efectos de la miniaturización, y
3) pueda simular sistemas cuánticos?
Sí, es posible.
Computación cuántica =
modelo reversible de computación +
mecánica cuántica
Modelo de computación reversible (1/5)
Compuerta reversible. Una compuerta es reversible si y sólo si después de ejecutar el paso ei+1 es posible calcular, de nueva cuenta, el paso ei.
Modelo de computación reversible. Modelo matemático creado para la ejecución de algoritmos utilizando compuertas reversibles.
Modelo de computación reversible (2/5)
Ejemplo de compuerta reversible: compuerta de Toffoli
X1
X2
X3
X1
X2
F= X3 XOR (X1 AND X2)
T
Modelo de computación reversible (3/5)
Tabla de verdad de la compuerta de Toffoli
X1 X2 X3 X1 X2 F
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 11 11 11
1 1 1 11 11 00
Entrada Salida
Modelo de computación reversible (4/5)
La compuerta de Toffoli es universal, esto es, para cualquier función computable
f(X1, X2, …, Xn)
existe un circuito M creado sólo con compuertas de Toffoli tal que M calcula el valor de f para cualquier combinación de variables X1, X2, …, Xn [4,5].
Modelo de computación reversible (5/5)
El modelo de computación reversible evita el gasto energético previsto por la ley de Landauer.
¿Existen sistemas físicos cuyo comportamiento temporal (evolución) sea como el de una compuerta reversible?
Respuesta: Sí. Los sistemas (cerrados) que trabajan de acuerdo a las leyes de la mecánica cuántica.
Breve introducción a la mecánica cuántica (1/6)
Primus inter pares: definición de qubit.
La estructura matemática-física de un bit es simple: basta con definir dos valores (por ejemplo, 0 y 1) y relacionar dichos valores con dos distintos resultados de la medición de un sistema físico clásico.
Ejemplo tradicional: la diferencia de potencial entre el emisor y el colector de un transistor bipolar.
Si la diferencia de potencial entre E y C es menor que 0.5V entonces se registra un ‘0’ lógico.
Si la diferencia de potencial entre E y C es mayor que 4.5V entonces se registra un ‘1’ lógico.
Breve introducción a la mecánica cuántica (2/6)
Primus inter pares: definición de qubit.
La contraparte cuántica del bit es el qubit. Un qubit es un sistema cuántico con al menos dos estados distinguibles y es la unidad básica de almacenamiento y procesamiento de información.
Un electrón (spin up – spin down)Un fotón (polarización vertical-horizontal)
Breve introducción a la mecánica cuántica (3/6)
Primus inter pares: definición de qubit.
Un qubit se puede representar matemáticamente como un vector unitario en un espacio de Hilbert H bidimensional:
Def. Sea H un espacio de Hilbert bidimensional y una base de H. La forma general de un qubit , usando la base , se escribe de la siguiente manera:
donde son números complejos que cumplen con
},{ qpB B
qbpa
ba, 122 ba
Breve introducción a la mecánica cuántica (4/6)
Primus inter pares: definición de qubit.
Usando la base computacional
podemos escribir como
Los ángulos θ y Φ definen un punto en la esfera de Bloch.
Nota importante:
A diferencia de los bits, NO se puede hacer copias de qubits en lo general (No-cloning theorem).
12
02
cos
senei
}1,0{C
Breve introducción a la mecánica cuántica (5/6)
Postulado 2. Evolución de un sistema cuántico. La evolución de un sistema cuántico cerrado con vector de estado |ψ> se describe a través de un operador unitario :
Los operadores unitarios son reversibles, i.e. existe para cualquier operador unitario .
12
ˆtt
U
U
†1 ˆˆ UU UU
Breve introducción a la mecánica cuántica (6/6)
Postulado 3. Medición de un sistema cuántico.
La medición en mecánica cuántica es un proceso inherentemente probabilístico. Por ejemplo, si tenemos n qubits con ecuación
102
1
Y usamos operadores (proyectores) de medición 00 11y
Entonces 2n veces obtendremos
con resultados de medición α βy
α2n veces obtendremos y β
¿Existe una versión cuántica de la máquina de Turing?
Sí.
En [6], David Deutsch:
1) Propuso una máquina universal de Turing cuántica.
2) Propuso el principio de Church-Turing:
Every finitely realizable physical system can be perfectly simulated by a universal model computing machine operating by
finite means
Algunos logros en computación cuántica (1/4)
1. Algoritmos cuánticos
•Algoritmo de Shor [7]: factorización de números primos en tiempo polinomial
•Algoritmo de Grover [8]: Localización de un elemento en un conjunto desordenado en O(sqrt(n)) (el mejor algoritmo clásico tarda O(n)).
•Algoritmos de búsqueda en conjuntos desordenados, basados en caminatas cuánticas.
Algunos logros en computación cuántica (2/4)
2. Criptografía cuántica
•Decodificación de sistemas criptográficos en tiempo polinomial.
•Detección de espías (eavesdropper) utilizando las propiedades de la mecánica cuántica (medición de estados cuánticos).
Algunos logros en computación cuántica (3/4)
¿Productos comerciales?
•Sistemas comerciales de criptografía y redes cuánticas:
IdQuantique http://www.idquantique.com/ (Suiza)Magiq http://www.magiqtech.com/ (EE. UU.)Dwave Systems http://www.dwavesys.com (Canadá)
Algunos logros en computación cuántica (4/4)
¿Experimentos a gran escala?
•DARPA Quantum Network. Red de 6 nodos que conecta a las universidades de Harvard y Boston. La red transmite información a través de fibras ópticas y lo hace utilizando protocolos puramente cuánticos.
•Transmisión de información cuántica (fotones) a largas distancias. Laboratorio Anton Zeilinger, universidad de Viena, Austria.
•Quantum City Project: instalación de una red municipal con criptografía cuántica en Durban, Sudáfrica. Universidad de Kwazulu-Natal y SmartQuantum.
2. Caso de estudio: caminatas cuánticas
Recordatorio brevísimo: caminata aleatoria
Froggy brinca un lugar a la derecha si la moneda cae en sol, y brinca a la
izquierda si cae en águila.
Si Froggy comienza su travesía en cero, ¿cuál es la probabilidad de
encontrar a Froggy en la posición k después de n pasos?
Respuesta:1 1
( ) ( )2 2
0 1( )
2
k n n knk
nP p q
k n
Distribución binomial
¿Son importantes las caminatas aleatorias en las ciencias computacionales?
Algunos algoritmos creados sobre caminatas aleatorias discretas son más poderosos que sus pares determinísticos.
Ejemplo: KSAT y caminatas aleatorias.
1 2 3 4 1 5 7 2 6 2 4 8( ) ( ) ( ) ( )F x x x x x x x x x x x x
K-SAT (problema NP-completo) se define así:
• Sea B={x1, x2, …, xn} un conjunto de variables booleanas. • Sea Ci una disyunción de k elementos de B• Sea F una conjunción de m cláusulas Ci.
Pregunta: ¿Existe un conjunto de valores para las variables booleanas contenidas en F tal que F=1?
Ejemplo: caso específico de 3-SAT
K-SAT
A la fecha, el mejor algoritmo diseñado para la solución del problema 3-SAT toma como base una caminata aleatoria:
T. Hofmeister, U. Schoning, R. Schuler and O. Watanabe, “A Probabilistic 3-SAT algorithm Further Improved”, Symposium on Theoretical Aspects of
Computer Science, pp. 192-202 (2002)
Resolviendo el problema K-SAT
Caminatas cuánticas
En este nuevo paradigma, el caminante y la moneda son partículas cuyo comportamiento está regido por las leyes de la mecánica cuántica.
El modelo básico:
Caminata cuántica discreta sobre una línea
0 1 2 3-3 -2 -1
Paso 1. Antes de tirar la moneda por primera vez, Homero está en la posición 0.
0 1 2 3-3 -2 -1
Paso 2. Después de tirar la moneda por primera vez,Homero está en las posiciones 1 y -1.
Si buscamos al caminante (i.e. si medimos el sistema), encontraremos que
Homero estará en la posición 1 con probabilidad=0.5 y en la posición -1 con
probabilidad=0.5
0 1 2 3-3 -2 -1
Paso 3. Después de tirar la moneda por segunda vez,Homero está en las posiciones
2, 0 y -2
Si buscamos al caminante (i.e. si medimos al sistema), encontraremos a
Homero en una de las siguientes posiciones: 2 con probabilidad 0.25, –2
con probabilidad 0.25, 0 con probabilidad 0.5.
Caminata cuántica en una línea infinita (1/2)
Gráfica 1. Note la falta de simetría en la distribución de probabilidad. Estado inicial total
0 c p0 0
Operador de evolución
Número de pasos
t = 100
Probabilidad
Posición
^^
HS
Caminata cuántica en una línea infinita (2/2)
Gráfica 2. El cambio respecto de la gráfica anteriorobedece a estados iniciales distintos. Estado inicial total
Operador de evolución
Número de pasos
t = 100
0 c p1
0 1 02
i Probabilidad
Posición
^^
HS
Aplicaciones algorítmicas de las caminatas cuánticas
Entre los ejemplos más importantes se encuentra
Exponentially faster hitting. Childs et al (Journal of Quantum Information , 1:35, 2002 ) demostraron que una caminata cuántica continua en G puede ir, con probabilidad no despreciable, de ENTRANCE a EXIT en O(d2) pasos. Cualquier algoritmo clásico equivalente requeriría de un número exponencial de pasos.
Introducción concisa al tema:
Quantum walks for computer scientists
S.E. Venegas AndracaMorgan and Claypool (2008)
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Documentos concisos introducción a la teoría de la computación, ejercicios básicos de cómputo cuántico y esta presentación:
http://www.mindsofmexico.org/sva
3. Redes cuánticas
Redes cuánticas (1/6)
En redes de computadoras clásicas, la información se transmite de dos formas:
1. Copia de información entre sistemas físicos adyacentes
2. Desplazamiento, a lo largo de un canal, de un sistema físico con información.
¿Es posible utilizar estos esquemas para transmitir información entre sistemas cuánticos?
Redes cuánticas (2/6)
1. Copia de información entre sistemas físicos adyacentes
• Teorema de la no clonación (no-cloning theorem) [9,10]
No es posible copiar estados cuánticos arbitrarios, i.e. no es posible llevar a cabo la operación
)(U
Redes cuánticas (3/6)
2. Desplazamiento de un sistema físico con información
Candidatos: electrones, fotones e iones
- Transmitir información usando cualquier de estos sistemas físicos significa que debemos manipular estas partículas de forma individual.
-Esta manipulación implica, con probabilidad no despreciable, que la partícula, entre en contacto con variables externas y, en consecuencia, que pierda información [11,12].
Redes cuánticas (4/6)
¿Existe algún camino alternativo?
Sí, la teletransportación cuántica [13]
|Ψ> CircuitoTeletransportación
(par EPR y compuertas)
La teletransportación cuántica se divide en dos pasos. El primero consiste enque el qubit que le pertenece a Bart interactúe con el circuito de teletransportación.
Redes cuánticas (5/6)
|Ψ>CircuitoTeletransportación
(par EPR y compuertas)
El segundo paso consiste en que Bart se comunique clásicamente con Homero (por ejemplo, por teléfono) para que Homero pueda tomar su qubit,
Note que Bart YA NO tiene su qubit. La teletransportación cuántica NO es lo mismo que copiar qubits.
Luego, no se viola el teorema de la no clonación.
Redes cuánticas (6/6)
Nota aclaratoria:
La teletransportación cuántica consiste en transferir información a través de un canal cuántico.
NO es lo mismo que transferir MASA.
Computación Cuántica en Computación Cuántica en MéxicoMéxico
- Escuelas de verano (siguientes diapositivas)
- División de Información Cuántica de la SMF
Primer Escuela Mexicana de Primer Escuela Mexicana de Verano en Computación e Verano en Computación e
Información CuánticasInformación Cuánticas
Mérida, YucatánMérida, YucatánJulio 2004Julio 2004
La Primera Escuela de Verano en Computación e Información Cuánticas se llevó a cabo en la Facultad de Matemáticas de la
Universidad Autónoma de Yucatán (UADY), el CINVESTAV-Mérida y la Universidad de Oxford en julio de 2004.
Esta primera escuela contó con conferencistas de talla mundial y con 35 asistentes de varios estados de la República Mexicana.
Los organizadores fueron los Drs. Luis Alberto Muñoz Ubando, Romeo de Coss y Salvador Venegas Andraca.
Conferencistas
Professor Sougato Bose. University College London.
Dr Konrad Banaszek. University of Oxford.
Professor Vlatko Vedral. University of Leeds.
Dr Jonathan Ball, Dr Nikola Paunkovic y Dr Yasser Omar. University of Oxford.
La escuela fue patrocinada por CINVESTAV Mérida, UADY, IPN y el gobierno del estado de Yucatán.
Memorabilia Primer Escuela de Verano en Computación e
Información Cuánticas
Segunda Escuela Mexicana de Segunda Escuela Mexicana de Verano en Computación e Verano en Computación e
Información CuánticasInformación Cuánticas
Tecnológico de Monterrey Tecnológico de Monterrey Campus Estado de MéxicoCampus Estado de México
9-20 julio, 20079-20 julio, 2007
http://www.cem.itesm.mx/dia/escuelaverano
La Segunda Escuela Mexicana de Verano en Computación y Comunicación Cuánticas fue organizada por las siguientes instituciones:
- Tecnológico de Monterrey Campus Estado de México, y
- Centro de Cómputo Cuántico de la universidad de Leeds, Gran Bretaña
Conferencistas
Professor Alan Aspuru-Guzik, Universidad de Harvard (EE. UU.).
Professor Rainer Blatt, Universidad de Viena (Austria).
Professor Sir Peter Knight, Imperial College (Gran Bretaña).
Professor Marco Lanzagorta. ITT Corporation y Universidad George Mason (EE. UU.).
Dr. Jacob Dunningham, Universidad de Leeds (Gran Bretaña).
Professor Ian Walmsley, Universidad de Oxford (Gran Bretaña).
La escuela fue patrocinada por el Tecnológico de Monterrey Campus Estado de México.
Memorabilia Segunda Escuela de Verano en Computación e
Información Cuánticas
Tercer Escuela Mexicana de Verano en Tercer Escuela Mexicana de Verano en Computación e Información CuánticasComputación e Información Cuánticas
http://www.cem.itesm.mx/dia/mexqc09/http://www.cem.itesm.mx/dia/mexqc09/
Tecnológico de Monterrey Campus Estado Tecnológico de Monterrey Campus Estado de México,1-19 junio 2009de México,1-19 junio 2009
Apoyada por: AMC, SMF, COMECyT, Universidad de Oxford, Apoyada por: AMC, SMF, COMECyT, Universidad de Oxford, Universidad de Innsbruck, University College London, Imperial Universidad de Innsbruck, University College London, Imperial
College London, University of Cambridge.College London, University of Cambridge.
HARVARD UNIVERSITY Department of Chemistry and
Chemical Biology
Semana 1. Curso de introducción al cómputo cuántico.
Semana 2. Once conferencias, talleres-tutoriales y presentación
sistema comercial criptografía cuántica.
Semana 3. Curso de sistemas cuánticos abiertos.
Programa
Dr Daniel Browne. One-way Quantum Computation. University College London.Dr Bob Coecke. Category Theory in QC. University of Oxford.Professor Ivan Deutsch. Quantum Control. University of New Mexico.Professor Edward Farhi. Adiabatic Quantum Computation. MIT.Dr Marco Lanzagorta. Quantum Cryptography and Quantum Circuits. ITT Corporation.Professor Peter Love. Quantification of Quantum Entanglement. Haverford College.Dr Keye Martin. Domain Theory in QC. US Naval Research Laboratory.Dr Cristopher Moore. Scattering Algorithms. University of New Mexico and Santa Fe Institute.Dr. François Guignot. A commercial quantum cryptographic system. SmartQuantum.Dr Donald Sofge. Quantum programming languages. US Naval Research Laboratory.Dr Rolando Somma. Quantum Simulated Annealing. Perimeter Institute.Dr. Marko Znidaric. Entanglement properties of random quantum states. Ljubljana University.
Conferencistas confirmados
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