introduccion a la logika

CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIORDEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

COMPETENCIA:Desarrollar habilidades que le permitan razonar lógica, crítica y objetivamente en una situación problema

CONTENIDO:1. LOGICA1.1. Introducción a la Lógica1.2. Proposiciones y su Clasificación1.3. Conectores lógicos.1.4. Tablas de verdad.1.5. Lógica de Predicados.

1.1. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

LÓGICA:

Es un término que se deriva del griego “” (Logike-Logikos) que significa “razón”.

El nacimiento de la lógica está relacionado con el nacimiento intelectual del hombre. Nace como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para abstraerla, comprenderla y aprovecharla.

La lógica matemática:

Una definición precisa de la lógica, que la caracterice totalmente, depende del sistema filosófico que se adopte. Para nuestro fin bastará que demos las definiciones siguientes:

La lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás, que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias. Esta definición parcial es de K. Gödel (1906) y me parece que es también según la mente de Santo Tomás y análogamente de Aristóteles y de la escolástica medieval. Aunque conviene notar que en Aristóteles y en la escolástica la lógica es generalmente considerada como un arte que como una ciencia; un arte que da la manera de operar válidamente con conceptos y proposiciones, y no como ciencia, porque carece de objetos propios a los que corresponda algo en la naturaleza.

Una definición muy precisa y moderna es la de A. Church (1903). Lógica es el estudio sistemático de la estructura de las proposiciones y de las condiciones generales de válida inferencia por un método que abstraiga del contenido o materia de las proposiciones y tenga en cuenta solamente su forma lógica. Se distingue entre materia y forma cuando distinguimos entre la legitimidad lógica o validez de un texto razonado y la verdad de las premisas de las cuales se deduce; y en este sentido es familiar en el lenguaje ordinario. Sin embargo, es necesario establecer con precisión la distinción con referencia a un lenguaje particular o sistema de notación, un lenguaje formalizado, el cual evite las inexactitudes y las irregularidades de estructura y expresión que sistemáticamente llevan a equivocaciones y que se encuentran en los lenguajes ordinarios, y el cual siga o reproduzca la forma lógica, a costa de la brevedad y facilidad de comunicación cuando sea necesario. De modo que adoptar un lenguaje formalizado particular es adoptar un sistema o teoría particular de análisis lógico. Entonces se puede caracterizar el método formal diciendo que se trata de la forma objetiva de las sentencias que expresan proposiciones, y suministra en estos concretos términos, criterios para determinar si las sentencias tienen sentido, criterios de inferencia válida, y de otras nociones estrechamente asociadas a éstas.Por consiguiente, según el logicismo la matemática es una rama de la lógica, sin duda extensa y con vida propia, pero cuyo método se identifica con el propio método de la lógica. Se concibe así la matemática como una disciplina universal que regiría todas las formas de argumentación.

El avance increíble en los medios de comunicación que caracterizaron las últimas décadas del siglo veinte y que en el comienzo del nuevo siglo, hace que cualquier fantasía en este campo sea rápidamente una realidad. Nos provee de información continua en todas las áreas, sin embargo en muchos casos la cantidad de ésta no se equipara con su calidad. Es, en particular, en este aspecto: el procesamiento o análisis crítico, individual y colectivo de la información recibida y producida, en diferentes modalidades, sobre el que quiero llamar la atención; y al respecto destaco con referencia a él, los siguientes elementos.

AREA / COMPONENTE: FORMACIÓN BÁSICA CICLO DE FORMACIÓN: TECNICA

ASIGNATURA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO

TIPO DE ASIGNATURA: TEORICA-PRACTICA NÚMERO DE CRÉDITOS: TRES (3) INTEN. HORARIA TOTAL: 144 HORAS T. PRESENCIAL: 48 HORAS T. INDEPENDIENTIE: 64 HORAS T. DIRIGIDO: 32 HORAS

DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA e-mail: [email protected]

La manipulación de la información, manifiesta desde los mensajes publicitarios cotidianos inductores al consumismo desmedido, plagados de falacias hábilmente diseñadas por sus autores por un lado y aceptadas por el desconocimiento del público por el otro.

Las posiciones políticas sostenidas públicamente por líderes mundiales, que no resisten el menor análisis por las contradicciones y sofismas que conllevan, pero que pasan airosos en todos los auditorios sin ninguna crítica a su contenido. La ausencia preocupante de interlocutores válidos, veraces, objetivos, en diferentes escenarios donde se toman decisiones cruciales que pueden afectar desde una población local hasta la humanidad completa, nos llevan a presenciar como la ausencia de la fuerza argumentativa es reemplazada, lamentablemente en muchas ocasiones, por la fuerza bruta; y en muchos otros la palabra comprometida hoy, mañana se olvida.

Estas situaciones reales parecen apuntar a un “nuevo orden” en el cual son protagonistas la información liviana, acrítica, convincente, fácilmente asimilable, donde importa mucho la forma pero muy poco el fondo; y que inevitablemente me lleva a pensar si ese objetivo ideal de la argumentación válida con todos los elementos que la caracterizan, que obviamente está en contravía con este diagnóstico actual, ha caducado y su existencia se reduce exclusivamente al lenguaje de las matemáticas.

Sin embargo creo que nuestra obligación como seres pensantes, como integrantes de una cadena evolutiva, como formadores, nos impide claudicar, y hoy como nunca nos exige cultivar denodadamente todos los elementos que enriquezcan nuestra racionalidad, que estimulen y movilicen nuestros esquemas cognitivos. Es en este aspecto esencial donde considero que la lógica, como disciplina formativa, tiene un papel importante que tenemos que aprovechar como parte de un proceso educativo integral; que tenga como objetivo hacernos ciudadanos responsables, críticos sanos y objetivos, tanto en la información que recibimos como en los juicios que emitimos.

Es el reto al que nos convoca una sociedad que avanza vertiginosamente en muchos campos, pero que igualmente nos demanda mejor formación para ser participantes activos en ella.Un objeto esencial de la lógica, siempre, ha sido el estudio de la inferencia y buena parte de nuestro trabajo estará orientado en esta dirección. Estudiaremos reglas para evaluar las inferencias y aprenderemos a distinguir las correctas de las incorrectas.

La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte a la lógica en meta-matemática.

OBJETIVO DE LA LÓGICA:

Es el estudio de inferencias y el pensamiento, nos proporciona principios para determinar que tipo de evidencia es apropiada para una situación.

PENSAMIENTO:

Proceso mediante el cual el hombre abstrae la realidad, hasta hacer percepción de los fenómenos al conformar una imagen de estos.

FACTORES DE PROCESO:

a) Un sujeto pensante que produce el pensamiento.b) Un objeto al que se refiere el pensamiento y que determina su contenido.c) La forma en que se expresa el pensamiento.

INFERENCIAS:

Es una evaluación que realiza la mente entre conceptos, que al interactuar muestra propiedades de forma discreta, utilizamos la abstracción para entender el problema que permite tratar una línea lógica de causa-efecto.

En la lógica se desarrollan sistemas lógicos para caracterizar diferentes clases de argumentos validos.


1.2. PROPOSICIONES Y SU CLASIFICACIÓN

LÓGICA PROPOSICIONAL

Es un sistema lógico que trata la clase de argumentos cuya validez exclusivamente dependen de cómo están conectados los enunciados.

PROPOSICIONES Y CONECTORES LOGICOS:

Una proposición o enunciado es una oración diofántica (bivalente) que puede ser V o F, pero no puede tener estos dos valores de verdad al tiempo

La proposición es un elemento fundamental de la lógica preposicional

Cada proposición tiene una forma lógica la cual se expresa con un nombre o variable preposicional. Se distinguen cuatro tipos de proposiciones:

Enunciados AbiertosEnunciados CerradosProposiciones SimplesProposiciones Compuestas

a) ENUNCIADOS ABIERTOS:

Un enunciado abierto es una oración donde el sujeto de la acción no se identifica claramente.

Ejemplo:

x es un número par y primoy es un día de la semana.

Un enunciado abierto que involucra una igualdad y en la que se desconocen uno o varios de sus términos se llama ECUACIÓN.

b) ENUNCIADOS CERRADOS:

Es un enunciado que puede ser VERADERO o FALSO, cuando identificamos claramente el sujeto que realiza la acción.

Un enunciado abierto, puede convertirse en un enunciado cerrado, verdadero o falso, al sustituir el término variable por un término constante elegido de un conjunto referencial.

Ejemplo:

2 es un número par y primo (Verdadero)7 es un número par y primo (Falso)Carlos es un día de la semana (Falso)Jueves es un día de la semana (Verdadero)

c) PROPOSICIONES SIMPLES:

Una proposición se considera simple si en ella no intervienen conectores lógicos o términos de enlace.

Las proposiciones simples se representan mediante las letras del alfabeto español p, q, r, s, t, usadas comúnmente. A las cuales se les denomina como Variables Proposicionales.





Ejemplo:

p : Camila estudia Medicinaq : Laura estudia Comunicación Social

ENLACES LOGICOS:

Los conectores son las contrapartidas formales de las conjunciones gramaticales, mediante las cuales formamos de enunciados simples, otros llamados compuestos.

“y” se representa “ “

“o” se representa “ ”

“Si…entonces…” se representa “ ” o “ ”

“…si y sólo si…“ se representa “ ” o “ ”

“No…, ni…” se representa. “ , ~”

d) PROPOSICIONES COMPUESTAS:

Una proposición compuesta es un enunciado de verdad que esta compuesto por dos o más proposiciones simples, unidas mediante conectores lógicos, formando una nueva oración.

Una proposición se considera compuesta o molecular si se juntan dos o más proposiciones simples con términos de enlace o conectores.

Los conectores o términos de enlace “ “, “ ”, “Si… entonces”, “Si y solo si”; se usan para ligar dos

proposiciones, el termino “ ”se agrega a una sola proposición.

Ejemplos:

p : Hoy es día miércoles.q : Hay clase de lógica matemática.

Estas proposiciones son simples, y con ellas de puede formar o construir proposiciones compuestas.

Como:

a. Hoy es día miércoles y hay clase de lógica matemática. Y se presenta simbólicamente así: “p y q”

En notación lógica:

b. Hoy es día miércoles o hay clase de lógica matemática.Y se presenta simbólicamente así: “p o q”


c. Si hoy es día miércoles entonces hay clase de lógica matemática.Y se presenta simbólicamente así: “Si p entonces q”


d. Hoy es día miércoles si y sólo si hay clase de lógica matemática.Y se presenta simbólicamente así: “p si y sólo si q”


e. Hoy no es día miércoles, ni hay clase de lógica matemática.Y se presenta simbólicamente así: “no p, ni q”

En notación lógica: “ , ”


En algunos casos se puede presentar ambigüedades en proposiciones compuestas.

Veamos un ejemplo:

Si hace calor, entonces Yohan no sale y toca el piano.

Es fácil observar que lo podemos interpretar de dos maneras el enunciado molecular.

a) Cuando hace calor Yohan no sale y además estudia, haga frió o calor.b) Yohan solo estudia cuando hace frió y no sale.

Se podría representar:

p : Hace frió. q : Yohan sale. r : Yohan estudia.

En Símbolos:

Pero se presentaría una ambigüedad, como en el lenguaje natural.

Entonces aplicando los signos de agrupación debemos decidir como traducirla:

a) b)

SIGNOS DE AGRUPACION:

Paréntesis Corchetes Llaves

Con estos elementos del vocabulario, variables, conectivos y signos de agrupación se puede presentar la sintaxis de la lógica, podemos explicitar las reglas sintácticas mediante las cuales podemos formar proposiciones moleculares a partir de otras formulas o proposiciones atómicas.

VALORES DE VERDAD DE UNA PROPOSCIÓN

Una proporción puede tener un solo valor de verdad, así este conformando una proposición compuesta.

Pueden suceder las siguientes probabilidades de acuerdo a cada opción de trabajo:Si es una proporción Simple

PFV

Si son proposiciones compuestas, depende del número de proposiciones compuestas:Si son 2 proposiciones Si Son 3 Proposiciones

P Q P Q RV V V V VV F V V FF V V F VF F V F F

F V VF V FF F VF F F





Si observamos, de acuerdo con el número de proposiciones simples, que conformen una proporción compuesta,

obedece a la sucesión

Si es una proposición = , quiere decir que tiene 2 valores de verdad.

Si una proposición compuesta, tiene 2 proposiciones simples, tendríamos que = ; es decir, cada proposición puede tener cuatro valores de verdad.

Si una proposición compuesta, tiene 3 proposiciones simples, tendríamos que = ; es decir, cada proposición puede tener ocho valores de verdad. Y así sucesivamente.

1.3. CONECTORES LÓGICOS.

CONECTIVOS LOGICOS

CONJUNCION

La conjunción es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “y”.

Símbolo: “ “

Enunciado compuesto:

Significado: “y”,…”pero”….,…”aunque”…

Ejemplo:

“El automóvil enciende cuando tiene gasolina y tiene corriente la batería”

p : El automóvil enciende cuando tiene gasolina.q : El automóvil enciende cuando tiene corriente.

Se representa

La tabla de verdad es: p qV V VV F FF V FF F F

Según esto:p : V Significa que el auto tiene gasolina en el tanqueq : V Significa que la batería tiene corriente

= V Representa que el auto puede encender.

Si p o q tiene como valor de verdad F implica que no tiene gasolina en el tanque o no tiene energía la batería y que por lo tanto no puede encender.

Conclusión:Una conjunción es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas.

DISYUNCIÓN

La disyunción es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el enlace “o”. Se clasifica en DISYUNCIÓN INCLUSIVA y DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.


DISYUNCION INCLUSIVA

La disyunción Inclusiva es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el

enlace “o”. Su símbolo: “ ”

Enunciado compuesto: “ ”

Significado “… …, …u….”

Con este conector se obtiene un valor de verdad V cuando alguna de las dos proposiciones es verdadera.

Ejemplo:“Una persona puede entrar al teatro si compra el boleto u obtiene una invitación gratuita”

p : Una persona entra al teatro si compra el boleto.q : Una persona entra al teatro si obtiene una invitación gratuita.

Se representa .

La tabla de verdad es:p qV V VV F VF V VF F F

La única forma en la que no puede ingresar al teatro ( =F), es que no compre su boleta (p=F) y que no obtenga una invitación gratuita (q =F)

Conclusión:La Disyunción Inclusiva implica que puede verificarse una de las dos proposiciones simples, o ambas a la vez; ya que uno no excluye a la otra.

DISYUNCION EXCLUSIVA

La disyunción Exclusiva es una proposición compuesta que resulta de unir las proposiciones simples con el

enlace “o”. Su símbolo: “ ”

Enunciado compuesto: “ ”

Su significado: “o bien...”

Con este conector se presenta que al menos una de las opciones es verdadera, pero solo una, si p=V y q =V

entonces =F

Ejemplo:“o Juan es cristiano o musulmán”p : Juan es cristianoq : Juan es musulmán

Se representa





La tabla de verdad es:p qV V FV F VF V VF F F

En este conector si se plantea (p=V)y (q =V) el resultado de es falso porque Juan es cristiano o musulmán y no las dos.

Conclusión:La Disyunción Exclusiva implica que se verifica una de las dos proposiciones, pero no ambas a la vez.

NEGACION

La Negación es una proposición simple, que resulta de contradecir el sentido de verdad de dicha proposición. Su

símbolo: “ , ~”

Su enunciado compuesto: “ , ~p”

Su significado: “No, no es cierto que…, ni”

Su función es negar los enunciados o proposiciones, esto significa que si alguna proposición es verdadera y se aplica el operador su negación es Falso.

Ejemplo:p : Hoy esta lloviendo. Su negación: ~p : Hoy no esta lloviendo

La tabla de verdad es:p ~pV FF V

CONDICIONAL O IMPLICACION

Una condicional es una proposición de la forma “Si p entonces q”, donde “p es una condición suficiente para que

q se cumpla”. Su símbolo: “ ” o “ ”

Su enunciado compuesto: o .

Su significado: “Si … entonces…”

Una proposición condicional esta compuesta por dos proposiciones simples: que se llaman o

Hipótesis y o Tesis.

Ejemplo:Un candidato a la alcaldía dice: Si salgo elegido alcalde, los niños recibirán alimentación gratuita.

p : Salio elegido alcalde.q : Los niños recibirán alimentación gratuita.

Se representa:

Su tabla de verdad es:p QV V VV F FF V VF F V


Cuando p=V significa que salio elegido, y q =V significa que los niños recibirán alimentación gratuita, por tanto

=V y el candidato cumplió su palabra.

Cuando p=V y q =F significa que =F, el candidato no cumplió por que fue elegido y no le dio alimentación gratuita a los niños.

Cuando p=F y q =V significa que aunque el candidato no fue elegido le dio alimentación gratuita a los niños, por

tanto =V

Conclusión:La Condicional es una proposición compuesta falsa, si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos la proposición es verdadera.

BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACION

Una Bicondicional es una proposición donde “p es una condición necesaria y suficiente para q”. Su símbolo: o

.

Su enunciado compuesto: Su significado: “…si y sólo si…“

Sea proposición bicondicional Y se puede expresar: . Esto significa que p es verdadera si y solo si q es verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es.

Ejemplo:

Apruebas la asignatura, si y solo si entrega las actividades escolares.

p : Apruebas la asignatura.q : Entrega las actividades escolares.

Se representa:

Su tabla de verdad es:p QV V VV F FF V FF F V

Conclusión:Las proposiciones condicionales solamente son verdaderas si tanto p como q son falsas o verdaderas.





RESUMEN

Recuerde que:

Una proposición es un enunciado del que se puede decir que es verdadero o falso.El valor de verdad de una proposición es la veracidad o falsedad de está.Una proposición compuesta, son dos proposiciones unidas mediante unos símbolos denominados conectivos lógicos.La siguiente tabla muestra los diferentes conectivos de la lógica proposicional con su respectivo nombre, símbolo, notación y lectura.

NOMBRE SÍMBOLO NOTACÍÓN LECTURA

CONJUNCIÓN p y q

DISYUNCIÓN p o qDISYUNCIÓN EXCLUSIVA p o q , pero no

ambasIMPLICACIÓNCONDICIONAL p implica q

Si p entonces qDOBLE

IMPLICACIÓNEQUIVALENCIABICONDICIONAL

p si y sólo si q

p es equivalente a q

NEGACIÓN No p; es falso que p

La siguiente tabla muestra los valores de verdad de las proposiciones compuestas para cada uno de los diferentes conectivos.

p qV V V V F V V F FV F F V V F F F VF V F V V V F V FF F F F F V V V V

ACTIVIDAD PROPUESTA UNO

A. Separe el término del predicado en cada una de las siguientes proposiciones: 1. El lenguaje es la forma de comunicación más común que usa el ser humano. 2. Colombia, Perú, Argentina y Brasil son algunos países suramericanos. 3. La leche es blanca. 4. 328 + 245 = 573 5. Doña Bárbara es la obra más importante de Rómulo Gallegos.

B. Escriba 5 proposiciones y separa en cada una de ellas el término del predicado.

C. Determine cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no lo son: 1. Jorge usa anteojos. 2. Juana es muy estudiosa. 3. La plata es un mineral. 4. ¿Tres es un número par? 5. 15 es múltiplo de 4. 6. X÷9=12 7. Alemania es un país asiático. 8. ¡Dile que salga! 9. Hoy es martes. 10. El libro está en el escritorio?

D. Escriba el valor de verdad de cada uno de los enunciados del ejercicio anterior que tengan categoría de proposiciones.


E. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: 1. La Luna es un satélite de Marte. 2. Febrero tiene 30 días. 3. 24 es múltiplo de 4. 4. 22+32=(2+3)2 5. Todo cuadrilátero es un cuadrado.6. Los niños necesitan jugar. 7. El periódico llega todas las mañanas. 8. Todos los lunes son festivos. 9. La Constitución que nos rige fue promulgada en 1991.

F. Construye proposiciones compuestas con las siguientes parejas de proposiciones simples (utiliza los enlaces lógicos adecuados): 1. Mónica comprará un libro. Mónica comprará un CD. 2. Siete es múltiplo de 3. Ocho es número primo. 3. Antonio come mucho. Antonio engordará. 4. Pedro tiene 15 años. Su padre tiene 38 años. 5. Gabriel García Márquez escribió La hojarasca. Jorge Isaac escribió María.

G. Escriba la conjunción y la disyunción de las proposiciones dadas: 1. Todos los veranos son calurosos. Algunos inviernos son fríos2. Estas rectas son paralelas. Estas rectas se cortan. 3. Migueles un estudiante. María es bella. 4. Todas la líneas son rectas. Todos los círculos son redondos. 5. 2+7=8 7+3=12

H. Encuentre la negación de las proposiciones dadas: 1. 3 + 4 = 7. 2. Antonio es médico. 3. 13 es un número primo. 4. Estas dos rectas son paralelas 5. El área de un cuadrado es 10 cm2. 6. 5 < 8 7. 12 > 7 8. Algunos números no son pares. 9. No es cierto que algunos profesores no son malos. 10. Existe un estudiante brillante. 11. Todos los estudiantes no son jóvenes.

I. Forme el condicional de las siguientes proposiciones, dando su valor de verdad: 1. p: María va al cine (V) q: María estudia (F) 2. p: Juana es bibliotecaria (F) q: Juana estudia francés (V) 3. p: Miguel tiene mucho dineros (V) q: Miguel es muy trabajador (V)

J. Exprese el valor de verdad de las proposiciones bicondicionales en los siguientes problemas:

1.

2.

3.

4.





1.4. TABLAS DE VERDAD.

Teniendo en cuenta que la forma correcta de escribir una variable proposicional es la sintaxis y la semántica es lo que significa. En la lógica una variable proposicional une solamente dos valores de verdad V o F.

Para determinar de una Variable Proposicional, debemos seguir las reglas que se dieron en el tema conectores. Esto se hace mediante interpretación que son un conjunto de valores que se asignan a sus proposiciones simples o atómicas.

Al realizar la interpretación de Variable Proposicional se obtiene un valor de verdad V o F. Cada tabla tiene un número de interpretaciones que aparezcan en la familia.

El criterio para determinar cuántas interpretaciones posibles hay, tiene una formula donde es el numero de proposiciones simples.

Así la tabla de verdad de una fórmula que tenga 2 variables tendrá filas, una que tenga 3, , etc.

Luego de calcular el número de filas se procede de la siguiente manera:La columna 1 corresponde a la asignación de todas las combinaciones de valores de verdad posibles de las V o F que aparecen en la formula.Calculo del valor de verdad de la negación de las V o F.Calculo de los conectores binarios que afectan a los resultados del paso anterior o a negaciones.Se calculan todos los conectivos binarios hasta llegar al conector principal.

El resultado de la tabla aparece reflejado en la ultima columna donde este el conector principal.

Ejemplo 1:

Construcción de tabla de verdad

Esta proposición compuesta tiene 2 proposiciones simples, por tanto

V V F F V V VV F F V F V FF V V F V F FF F V V V V V

Ejemplo 2:

La proposición compuesta tiene las proposiciones simples P, Q, R por tanto

V V V F F V F VV V F F F V F VV F V V V F F VV F F V V F F VF V V F V F F VF V F F V F F VF F V V V F F VF F F V V F F V

El resultado de la tabla de verdad de una formula es la última columna. En este resultado pueden ocurrir tres casos:

Que el resultado final de la tabla solo arroja signos V.El resultado final de la tabla solo arroja signos F.El resultado final presenta signos de V y signos de F indistintamente.


Se dice que es:

TAUTOLOGÍA: Si y solo si su valor de verdad es siempre V, para toda interpretación posible. Esto significa que el resultado de la tabla arroja solo V en su columna final.

CONTRADICCIÓN: Si la tabla de verdad arroja solamente F.

CONTINGENCIA:Si y solo si su valor de verdad es falso para al menos una interpretación y V para al menos otra.

La cual se divide en: Consistencia: Cuando la tabla de verdad arroja mayor cantidad de valores verdaderos que falsos.

Inconsistencia: Cuando la tabla de verdad arroja mayor cantidad de valores falsos que verdaderos.

1.5. LOGICA DE PREDICADOS

LOGICA DE PREDICADOS O CUANTIFICACIONAL

La lógica de enunciados solo analiza los racionamientos cuya validez no depende de la estructura interna de las proposiciones. Hay racionamientos validos en la parte formal en los que es preciso penetrar la estructura interna del enunciado. Dada una proposición, la lógica de predicados distingue entre individuos y sus propiedades

Ejemplo: “Manuel estudia Ingeniería de Sistemas”

Es una proposición simple, donde los sujetos se simbolizaran con letras minúsculas y se llaman constante individual o términos.

Se llama predicado a la palabra o frase que hace referencia al sujeto o termino, y se simboliza

Ejem: Manuel estudia ingeniería de sistemas:

FUNCIONES PROPOSICIONALES

Considere una proposición:

Gustavo es ingenieroPedro es ingenieroMario es ingeniero

Estas proposiciones tienen algo en común y es el predicado. Esto se puede expresar utilizando una variable

individual .

“ es ingeniero”

Esta expresión no es una proposición puesto que no es ni . es una variable que toma valores dentro de un conjunto (referencial), estas expresiones reciben el nombre de funciones preposicionales.





La notación que se empleará para cualquier Proposición Simple serán las letras etc., mientras que una

función proposicional la representamos por etc.

Ejemplo:

“ es un numero racional y es un numero entero”

En símbolos:

CUANTIFICADORES

Las expresiones:“Todo hombre es mortal”

“Algunos hombres son ignorantes”

Pueden traducirse:

Para todo , si es hombre entonces es mortal

Existe un , tal que es hombre y es sabio.

Estos cuantificadores se dividen en:

a) CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Símbolo:

Significa: “Para todo ”

Todo

Cualquier

Cada

b) CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Símbolo:

Significa: Hay

Existe un , tal que

Algún

Algunos

Existen tres formas de convertir una función proposicional en una proposición a saber:

Haciendo la sustitución de las variables por un termino especifico

Anteponiendo la expresión “Para todo ”

Anteponiendo la expresión “Existe un ”

: Existe un tal que

: Para todo ,

Al anteponerle a la función proposicional un cuantificador, pasa a ser una variable ligada.

Una proposición es , cuando todas las sustituciones de la variable por elementos del conjunto de

referencia convierte a en verdadera.

Una proposición es , cuando toda las sustituciones de la variable por al menos un elemento del conjunto de referencia.


Ejemplo:

Decir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

a.

b.

c.

d.

Solución:

a.

Como , entonces el conjunto solución es , que no es vacío y, por tanto, la proposición es verdadera.

b.

Como esta proposición se debe cumplir para todo entero y y , entonces la proposición es falsa.

c.

No es posible encontrar un entero tal que , por tanto la proposición es falsa.

d.

Del algebra se sabe que , entonces la proporción es verdadera.

NEGACION DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS

Las proposiciones universales pueden negarse como en el enunciado:

“No todos los ingenieros”.

Y se simboliza:

También se puede utilizar: “Ninguno, ningún, nada, nadie “.

La proposición “Ninguno es mecánico” no equivales a “No todos son mecánicos”, sino a la expresión: Para todo

, no es mecánico

Las proposiciones anteriores pueden ser negadas como por ejemplo:

“No es cierto que hay mecánicos”. En símbolos:

“Alguien no es mecánico”. En símbolos: .

Para estudiar la negación de funciones proposicionales, es conveniente fijar nuestra atención en el diagrama dado. Veamos las cuatro formas de proposiciones generales que hay tradicionalmente en la lógica:

A: Todo S es P: Todos los hombres son mortales.E: Ningún S es P: Ningún hombre es mortal.I: Algún S es P: Algún hombrees mortal.O: Algún S no es P: Algún hombre no es mortal.





En las formas anteriores, S significa un sujeto del cual se afirma o niega algo, y P es el predicado, o sea lo que se dice del sujeto.

Observe que las dos primeras proposiciones son universales, la primera afirmativa y la segunda negativa; las dos últimas son particulares, la primera afirmativa y la segunda negativa.

A continuación se presentan las equivalencias, usando funciones proposicionales con cuantificadores:

A: Todo S es P: Universal afirmativa

E: Ningún S es P: Universal negativa

I: Algún S es P: Particular afirmativa

O: Algún S no es P: Particular negativa

En Conclusión:

La negación de una función proposicional con un cuantificador universal es equivalente a la negación de la misma función proposicional, precedida por el cuantificador existencial y viceversa.

Es decir:

ó

Ejemplo: Encontrar la negación de las siguientes proposiciones:

a. Solución:

b. Solución:

CUANTIFICACION RESTRINGIDA

Estas proposiciones universales o existenciales algunas de ellas poseen en el lenguaje ordinario estructuras simples realmente poseen estructuras compuestas.

Ejemplo:“Todos los hombres son pensantes”

Se puede escribir:

“Para todo , si es un hombre entonces es pensante”

Se puede simbolizar:

Este es un ejemplo de proposiciones universal o existencial que tienen más de un predicado bajo el alcance de un cuantificador.


LEYES DE INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES

Estas leyes expresan que la negación de una proposición existencial es equivalente a la afirmación de un cuantificador universal cuya función proposicional es la negación de la primera.

También podemos afirmar que:

Si es falsa entonces es verdadera, por tanto, es verdadera

FUNCIONES PROPOSICIONALES BINARIAS

A un predicado puede estar unido con más de un sujeto como:

“Yohan es amigo de Rodrigo”

Este tipo de predicado expresa una relación entre términos, en este caso se presentan 2 términos: Yohan y Rodrigo. Sin embargo uno de ellos hace parte del predicado gramatical.

En este caso se presenta una relación entre dos sujetos que se denomina “Binaria o diatica”

También se puede presentar relaciones entre 3 o mas individuos

Ejemplo: “ esta entre a y c”

La proposición “Yohan es amigo de Rodrigo”

Se simboliza: ó Las cuales son resultado de la sustitución dentro de la función proposicional:

“ es amigo de ” que se simboliza o

Cuando se tiene una función proposicional de dos variables, es posible convertirla en una proposición sustituyendo cada una de las variables por un término de un conjunto de referencia o añadiendo un cuantificador a cada variable.

Ejemplo:

Las siguientes son las diferentes maneras de obtener una proposición a partir de una función proposicional dada:

Sea = “ es amigo de ”

Yohan es amigo de Rodrigo

Todos son amigos de todos

Todos son amigos de algunos





Algunos son amigos de todos

Algunos son amigos de algunos

Yohan es amigo de todos

Yohan es amigo de algunos

Todos son amigos de Rodrigo

Algunos son amigos de Rodrigo

ACTIVIDAD PROPUESTA DOS

A. Determine a qué corresponde, (Falacia, tautología, o indeterminación) cada una de las siguientes proposiciones:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

B. Diga si la proposición es verdadera o falsa:

a. b.

c. d.

C. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones, si el conjunto universal son los números reales:

a. b.

c.

D. Si encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. b.

c. d.

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