Capitulo 1

Divisibilidad

1.1 Inlroduccion

La tcoria de los nUmcros esta rclacionada primordialmente con las propiedades de los numeros naturales, 1, 2, 3, 4, ... , tambh!n lIamados enteros positivos. Sin embargo, la tcoria no se conCina cstrictamente a los numeros naturales ni aun al conjunto de todos los enteros: 0, + 1, -+- 2, + 3, . ... De hecho, algunos teoremas de Ja tcoria de los numeros se prueban mas faciimente haciendo usa de las propiedades de los numeros rcales 0 de los compiejos, aunque ]a proposici6n de los teoremas se rcficra unicamente a los numeros naturales. Asimismo, exis­ten teorernas relacionados con los nUmeros reales que dependen en tal forma de las propiedades de los cnteTOS que con tada propiedad se inclu­yen en la tcoria de los numeros.

Se dice que un entero n mayor que 1 es primo si no tiene divisor d tal que 1 < d < n. El hecho de que para todo entero positivo Tn dado existe un primo mayor que m se cstablece en terminos de los entcros y puede probarse a partir de las propiedades de los numeros naturales exclusivamente. EI hecho de que todo numero natural puede exprcsarse como una suma de, cuando mas, cincuenta y cuatro quintas potencias de los enteros, tambien se establece en terminos de los numeros naturales, pero cualquier demostraci6n conocida depcnde de las propiedades de los numeros complejos. Finalmente, la cuesti6n de cmintos primos existen, tales que no sean mayores que x, evidentemente pcrtenece a la tcoda de los numeros, pero su respuesta contiene la funci6n log x y esta bastante fuera del dominio de los nUmeros naturales. Los dos ejemplos

•

10 d ivisibilidad

Ultirnos estill mas alia del alcance de este libra. Sin embargo, no nos restringiremos a los enteros, sino que, usaremos los numeros rcales y los complejos cuando sea conveniente. Los asuntos discutidos en este libro no son cruculos 0 curiosidades numericas, excepto en el caso en que estos sean de importancia para las proposiciones generales. Tampoco discutiremos los fundamentos del sistema nurnerico; se supone que el lector esta familiarizado no sOlo con los enteros, sino tambien con los nllmeros racionales y reales. No obstante, para abordar el estudio de la teo ria de los numeros no es requisito un riguroso amllisis 16gico del sistema de los nlimcros reales.

La tcoria de los numeros cuenta, para sus demos traciones, con un gran lllimcro de ideas y metodos. De estos, existen dos principios bisicos a los cuaics les dedicaremos atenci6n especial. El primero es que cualquier conjunto de enteros positivos tiene un elemento m enor si contiene a eual­quiera de los miembros. En otras palabras, si un can junto S de enteros positivos no es vacio, entonces contiene un entero s tal, que para cualquier miembro a de S, se cum pIe la relaci6n s < a. El segundd principia, in­ducci6n matematica, es una conseeuencia 16gica del primcro,* cl eua! puedc establecerse de la manera siguiente: si un conjunto S de enteros positivos conticne al entero 1, y contienc a n + 1 siempre que contenga a n, entonees S consistc de todos los entcros positivos.

Tal vez sea conveniente puntualizar que una ascveraci6n negativa como, por ejemplo, "No todo entcro positivo puede expresarse como una suma de los cuadrados de tres cnteros", solamente requiere que se produzca un cjemplo, el nUmero 7 no puede expresarse asi. Par otTa parte, una aseveraci6n positiva tal como <' todo cntcro positivo puedc expresarse como una suma de los cuadrados de cuatro enteros", no pucde probarse mediante ejemplos, aunque sean numeroso!'.. Este resul­tado cs cl del T eorerna 5.6 en el capitulo 5, donde se proporciona una dernostraci.6n.

Finalmentc, se supone que cl lector esta familjarizado con la fonna acosturnbrada de las proposlciones matematicas. En pal·ticular, si A denota alguna aseveraci6n 0 bien una colecci6n de aseveraciones, 10 rnisrno que B, las proposicioncs siguicntes son 16gicamente equivalentes -uni­camente son forrnas diferentes de decir la misma cosa.

A implica B. Si A es verdadera, entonces B es verdadcra. Para que A sea verdadera es necesario que B sea verdadera. B cs una condicion necesaria para A . A cs una condici6n suficiente para B.

* Consultar A Survey of M odern Algebra de G. Birkhoff y S. MacLane, edici6n revisarla, Macmillan, 1953, pp. 10-13.

divisibilidad 11

Si A irnplica B y B implica A, entonces puede decirse que B es una con­dici6n necesaria y suficiente para que se cumpla A.

En general, usaremos letras del alfahcto romano, 0, hs c, ... , m, n, . .. J X, y, z, para designar a los enteros, a menos que se especifique otTa cosa,

1.2 Divisibilidad

Definicion 1.1 Un entero b es divisible por un entero OJ no cero, sj existe un entero x tal que b = ax y se escribe a alb. En el caso en que b no sea divisible POT a 5e escribe a )' h.

Otra manera de expresar la propiedad de divisibilidad alb, es dccir, que a divide a b J que a es un divisor de b y, que b es un mUltiplo de a. Si alb y a < a < b, entonees a es un divisor propio de h. Se entiencle que nunca se usara 0 como el microhro izquierdo del par de enteros en alb. Por atra parte, no soIamente puede tenerse a como el mierohro derecho del par) sino que, tambien, en tales casos siempre tendremos divisibilidad. As), ala para todo entero a diferente de cero. En ocasiones se usa la notac ion aKll h para illdicar que aK lb pero aK+l t b.

Teorema 1.1

( 1) alb impliea albe para eualquier enlera e; (2) alb y ble impliea ale; (3) alb yale impliea al (bx + ey) para eualesquiera enteros x y y; (4) alb y bla impliea a = ±b; (5 ) alb, a > 0, b > 0, impliea a < b.

D emostracion. Las demostraciones de estos resultados se deducen in­mediatamente a partir de la definicion de divisibilidad. La propiedad 3 admite una obvia extension para cualquier conjunto fin ito, as!:

n

alb1 } blb2) ' " ,a\bn implica a \ L. bjx; para cualesquiera enteros X j .

i-I

La propiedad 2 puede extenderse de manera semejante.

Teorema 1.2 El aigoritmo de fa division. Dados dos enteros cuales­quiera a y b~ con a > 0, existen los enteros q y r tales que b = qa + r, a -< r < a. Si alb, entonces r satisface las desiguaZdades mas fuertes 0< r < a.

Demostracion. Considerese La progresi6n aritmetica

... , b - 3a, b - 2a, b - a, b, b + a, b + 2a, b + 3a, .

12 divisibilidad

extendiendose indefinidamente en ambas direcciones. En esta sucesi6n, selecci6nese el miembro no negativo menor y denotese por T. Por tanto, por definicion, T satisface las desigualdades del teorema, Pero tambien T,

estando en la sucesi6n, es de Ia forma b - qa y asl q esta definido en terminos de TJ y se complementa la demostraci6n.

Se ha establecido el teorema con la suposici6n de que a > 0. Sin embargo. esta hip6tesis no es necesaria y puede forrnularse el teorema sin ella: dados dos enteros cualesquiera a y bJ can a '* 0, existen los enteros q y T tales que b = qa + T, a < T < laI-

EI T eorerna 1.2 recibe el nombre de algoritmo de la division. U n algoritmo es un procedimiento 0 metodo matematico para obtener u n resultado. Se ha establecido el Teorema 1.2 en la fonna "existen los eoteros q y r' y esta expresi6n sugicre que tenemos el lIamarlo teorema de existencia en lugar de un algoritmo. No obstante, puede observarsc que la demostracion proporciona un metodo para obtener los enteros q y TJ puesto que solamente es necesario examinar en parte la progresi6n aritmetica infin ita . , , , b - a J b, b + a, . . . para obtener eI miembro positivo menor T. '

En la practica, el cocicnte q y cl residuo T se obtienen median te la divisiOn aritmetica de a entre b.

Definicion 1.2 El enteru a es un divisOl' cOHllin de b y c en el casu de que alb yale. Puesto que solamente existe un numero fi71ito de divisores de cualquier entero difeTen te de ceroJ solamente exi.Jten un nu­mero finito de divisores comu nes de b y c, e).:ceplo en el caso de que b = c = O. Si por 10 menDs uno de bye no es 0, el mayor entre sus divisores comunes se llaman m aximo comun d ivisor de by e y se de nota por ( h, c) . De modo semejante se denota el maximo comun divuor g de los enteros bJ , b',!, .. . , btlJ no todos cero, por (bl , bz, • •• , b, ).

Par tan to, el maximo comun divisor (b, c) esta defin ido para todo par de cnteros b~ e excepto b = 0, c = 0 y se observa que (bJ c ) :> 1.

Teorema ] .3 Si g es eI maximo comun divisor de b y c, entonces existen los cnteros .Yo e )'0 tales que g = ( b~ c) = bxo + cYo.

Demostraci6n. Considcrense las combinaciones lineales bx + cy, don­de x y y recorren todos los enteros, Este conjunto de enteros {bx + cy } induye valorcs positivos y negativos, y tam bien ° seleccionando ."( = Y = O. Esc6janse X l) y Yo de manera que bxo + CYo sea el menor en tcro positivo l en el conjunto; as! quP. I = bxo + CYo.

En seguida se probara que l ib y l ie. Se establcceni la primera propiedad, la segunda se deduce pOl' analogia. Se dara una dcmostraci6n ind irccta de que l ib, esto es, sc supone que I ).' b y se obtiene una contradicc ion. A

divisibilidad 13

partir de que It b se deduce que exCiten los enteros q y r. pOl' el Teorema 1.2, tales que b = lq + r con 0 < r < 1. De aqui que se tiene T = b - lq = b - q(bxo + CYo) = b(l- qxo) + c( -qyo) y, por tanto, Test. en el conjunto {bx + ey}. Esto contradice el hecho de que l es el m enor entero positivo en el conjunto {bx + ey}.

Ahara, puesto que g es eI m:iximo comun divisor de bye, puede escribirse b = gB, c = gC y I = bxo + CYo = g(Bxo + CYo) . De donde gil, y asi, por la parte .5 del teorema 1.1 , se concluye que g -< I. Ahora bien, g < l es imposible, supuesto que g es el maximo cornun divisor y, por tanto, g = 1 = bxo + eyo.

Teorema 1.4 El maximo eomun divisor g de bye puede caracteri­zarse en las dos formas siguientes: (1) es el menor valor positivo de bx + cy donde x y y reC01'fen todos los enteros,' (2) es eL comun divisor positivo de b y c el eual es divisible entre cada divisor comun.

Demostraei6n. La parte 1 se conc1uye a partir de la demostraci6n del Teorcma 1.3. Para probar la parte 2, observese que si d es cualquier divisor cornun de b y c, entonccs dig por 1a parte 3 del Teorema 1.1. Ademas, no pueden existir dos enteros distintos con la propiedad 2, debido al Teorema 1.1, parte 5.

Teorema 1.5 Dados los enteros cualesquiera hI, b2, ••• ,bn no todos cero, con maximo comtln divisor gJ existen{os enteros '\'1, X~) ••• ,Xn

tales que

• 9 - (b" b" ... ,b.) = I bjXj.

i - I

" Ademtis, g es el menor valor positivo de La forma lineal L bjYi donde i=l

los Yj .recorren todos los enteros,' tambicn g es eL divisor cornun positivo de b1, bz, . •• , bn el eual es divisible entre cada divisor cornun.

Demostraci6n. Este resultado es una generalizaci6n directa de los dos tearemas precedentes y la demostraci6n es analoga sin complicaciones debido al paso de dos enteros a n enteros.

Teorema 1.6 Para cualquier entero positivo m,

(ma,mb) = m(a,b).

Demostracion. Por el Teorema 1.4 se dene

(ma, mb) = menor valor positivo de max + mby

= m· {menor valor positivo de ax + by}

= m(a,b).

14 divi.ibilidad

Teorema 1.7 Si dla y d lb y d > 0, entonces

(a b) 1 d'd = d (a, b).

Si (a, b ) = g, entonces (~,~) = 1.

Demostraci6n. La segunda aseveraci6n es el caso especial de la primera obtenida al usar el ma.xUno comun divisor g de a y b en el papel de d. A su vez, la primera aseveraci6n, es una consecuencia directa del Tcorema 1.6 obtenida al reemplazar 7n, 0, b en esc teorema por d, (a/d), (bid ), respectivamente.

Teorema 1.8 Si (a, m) = (b, m) = 1, enlonces (ab, m) = l.

Demostraci6n. Por el Teorema 1.3, existen los enteros Xc, Yo, X h )'1

tales que 1 = axo + myo = bX 1 + mYI' Por tanto, puede escribirse (axo) (bx.) = (1 - my, ) ( 1 - my. ) = 1 - my, donde y, esta,definido por la eellacion),.2 = Yo + )'1 - mYarl. De la eellaci6n abxOXl + mY2 = 1 se obser­va, por la parte 3 del Teorema 1.1 , que cualquier divisor comun de ab y m es un divisor de 1 y de aqui que (ab, m) = 1.

Definicion 1.3 Se dice que a y b sort primos relativos en el CGSO

de que (a, b) = 1, Y que all 4z, ... , a" son primos relativos en el caso d" que (a h a2'" ,a") = 1. Se dice que al1 a2. ··· ,a" Jon primos rel ... -tivos en pares en el cruo de que (ai. aJ) = 1 para todo i = 1,2, .. n y j = 1,2, . .. ,n con i =1= j.

El hecho de que (Q, b) = 1 en ocasiones se expresa diciendo que a y b son coprimos 0 bien diciendo que Q es primo para b.

Teorema 1.9 Para tOdD x, (a,b ) = {b,a ) = (a,-b ) = {a,b+ax).

Demostradon. Den6tese (a, b) por d y (a, b + ax ) por g. Es evi· dente que (b, a) = (a, -b ) = d.

Por aplicaci6n del Teorema 1.1, partes 3 y 4, se obliene d ig, gld y de .qui que d = g.

Teorema 1.10 Si clab y (b, c) = 1, enlonces cia.

Demostraci6n. Por el Teorema 1.6, (ab, ac ) = a (bJ c) = a. Pero clab y clac, de don de, por e1 Teorema 1.4, cia.

Dados dos enteros b y CJ i como puede encontrarse el maximo comtin divisor g? La Definicion 1.2 no responde a esta pregunta, ni el Teore­rna 1.3 el cual simplemente asegura la existencia de un par de enteros X o Y "0 tales que g = axo + byo. Si bye son pequeiios, los valores de

divisibilidad 15

g. X-o y "0 pueden encontrarse poT inspeccion. Por ejcmplo, 5i b = 10 Y c = 6, es obvio que g = 2, y un par de valores para X (h Yo es 2, - 3. A continuaci6n estableceremos un algoritmo que proporciona un metoda general para encontrar el valor de g y tambien los valores de Xo y )'0'

Por el Teorema 1.9, (b, c) = (b, - c) y de aqui que puede suponerse c posi tivo, puesto que eJ caso c = 0 es muy especial: (b,O ) = Ibl.

Teorema 1.11 EI algoritma euclidiano. Dados los enteros b y c. > 0, Ie haec Wia aplicaci6n repetida del algoritmo de la division, T eorema 1.2, para abtener una serie de ecuaciones

b = Cql + ' 17 C = 'IQ2 + T:!,

'1 = '2Q3 + TJ )

Tj_2 ~ Tj_l q j + Tj,

Tj_t = TjQj+l'

O< r, <c, 0< '2 < 71,

0< TJ <'2:

El maximo comun divisor (hI c) de b ye es Tj, el ultimo residua dile. rente de cero en el proceso de la division. Los valores de >'"0 y Yo en (b, c ) = bxo + CYll pueden obteneTse eliminando ' 1• T2, . .. ,Tj_t en el conjurlto de ecuaciones.

Ejemplo. b = 963, c = 657.

963 657· 1 + 306

657 - 306·2 + 45

306 45·6 + 36

45 36· 1 + 9

36 - 9 · 4

Por tanto (963, 657 ) = 9, Y 9 puede cxprcsarsc como una combinaci6n lineal de 963 y 657 eliminando los residuos 36, 45 Y 306, de la manera siguiente:

9 = 45 - 36

= 45 _ (306 - 45 . 6)

= -306 + 7 · 45

= -306 + 7(657 _ 306·2)

=7·657 -15·306

= 7 . 657 - 15 (963 - 657)

= 22·657 - 15 ·963.

Demostracion. La cadena de ecuaciones se obtiene dividiendo c entre b. r1, entre c, r'2. entre Tl , ••• ,rj entre ' ; _1. E1 proceso se detiene cuando la divisiOn es exacta, es deci r cuando el residuo es cera. As! que,

16 divisibilidad

en nuestra aplicaci6n del Teorerna 1.2 hernos escrito las desigualdades para el residuo sin un signo de igualdad, por ejempio, 0 < '1 < c en Luga r de 0 -< r1 < c, porque si r l Cuera igual acero" la cadena se tenni­naria en la primera ecuacion b = Cql en cuyo case el maximo cornun divisor de b ye serla c.

Ahara se probaci. que rJ es el ma. ... imo cornun divisor g de b y c. Supuesto que glb y glc, se ve que glTl por la primera eeuacion de la cadena. Puesto que glc y glTl , se ve que glTz por la segunda ecuaci6n. Continuando mediante induccion maternatica se encuentra que g[rJ. Par otra parte, la ecuaciOn final implica que 1.l1'1-1 ' Esto, junto con la penul­tima ecuacion, irnplica '/)r; .,2. Continuando mediante induccion mate­mat ica sc conduye que Tj[b y T1 \C. Por el T eorema 1.4, r JIg. De aqu! que g = r i por el T eorema 1. 1.

Para ver que 'j se expresa como una combinaci6n de bye, simple­mente se necesita eliminar r1 mediante las dos primeras ecuaciones de )a cadena, a continuacion eliminar r 2 entre la ecuaci6n resultante y la ter­cera. Proccdiendo con las eliminaciones sucesivas de .1'3, r-4, • •• , ' i-1,

se obtiene T j en la forma bxo + CYo.

Definicion 1.4 L os enteros alJ Q.z. • • • , an todos difere1ltes de cero, tienen un multiplo comun b si Qi [b para i = 1,2, . . . ,n. (Notese que existen midtiplos comunes; por ejemplo, el producto a1 a2 ••. ,a.,. es uno). El menor de los muleiplos comunes positivos Tecibe el nombre de mlnimo comun mliltiplo y se denota por [ah Qa, ••• ,a"J.

Teorema 1.12 Si b es cualquier multiplo comun de all~' . .. , ~, entonces [a lJ a2 , ••• , anJ [b. Esto equiuale a decir que si It denota a [ah Q'2, • •• , an], ellt01lces 0, ± h, +2h, +3h, ... incluyell todos los multiplos comunes d e Q1) Qz, . . . , a,...

DemostTac;.on. Sea m cualquicr multiplo comun, dividase m entre h. Por el Teorema 1.2, existen un cociente q y un residuo r, tales que, m = qh + r, 0 < r < h. Debe probarse que r = O. Si r =1= 0 se argu. menta del modo siguiente. Para cada i = 1, 2, . .. ,n se sabe que ai!h y Gi!m, de modo que ai \r. As! que, r es un multiplo cornun positivo de aI, az, ... , an contrario at hecho de que h es el menor positivo de todos los m ultiplos comunes.

Teorema 1.13 Si m> 0, [rna, mb) = m[a, bJ. Tambien [a, bJ· (a, b) = JabJ.

Demostracion. Ya que [rna, mb] es un multiplo de ma, a fortiori es un multiplo de m y, por tanto, puede escribirse en la fonna mhl. Denotando [a, bl por h2o, se oberva que a!h2• bIltz, am\mh2J bmlmhz Y. por el T eorema 1.12, mh1 lmhz. De dande hl lhz. Por otra parte, am )mhll

divisibilldad 17

bm!mhlJ a1h11 b]h1 y asi h21hl. Se concluye que hi = h, y asi se establece 1a prirnera parte del teorema,

Sera. suficiente probar la segunda parte para los enteros positives a y b, puesto que [a, - b J = [a, b]. Empecemos con el caso especial donde (oJ b) = 1. Ahora bien, raj b] es un multiplo de aJ digamos rna. Entonees b\ma y (a, b) = 1, asi que par el Tearema 1.10 se canduye que blm. De aqui que b < m, ba < rna. Pero bOI siendo un multiplo comtin positivo de b Y OJ no puede ser menor que el minimo cemun multiplo y, por tanto, ba = nla = [a, b].

Regresanda a1 casa general, dande (a, b) = g> 1, se tiene ((a/g), (b, g)) = 1, par el Tearema 1.7. AI aplicar el resultada del parrafa precedente, se obtiene

Al multiplicarse por g2 y usando eJ Teorema 1.6 asi como la primera parte del presente teorerna, se obtiene [a, bJ(a" b) = abo

Problemas

1. Aplicando el algoritmo euclidiano encontrar el maximo comlln divisor (m. c. d.) de (a) 7469 y 2464; (e) 2947 y 3997;

(b ) 2689 Y 4001; (d) 1109 Y 4999.

2. Enconlrar cl maximo comun divjsor g de los numeros 181 9 y 3587 Y a continuacion cncontrar los enteros x y y que satisfagan 1819. + 3587y = g.

3. Encontrar los vahres de x y y que satisfagan

(a) 243x + 19By = 9; (b ) 71. - SOy = I ; (e) 43. + 64y = 1, (d ) 93. - 811' = 3; (e) 6. + lOy + 15% = 1.

4. Encontrar eJ minimo comun multiplo (m.e .m. ) de (a) 482 y 1687, (b) 60 Y 61.

5. iCuamos cnlcras eOlre 100 y 1000 son divisibles entre 7? 6. Peohar que el producto de (feS entcros consecutivos es divisible entre 6;

de cualea enteras consecutivos entre 24. 7. Mostrar tres cnteeos que sean primos relativos perc no primos relativos

en pares. 8. Se dice que dos coleras son de la misma paridad si ambos son pares. 0

bien, ambos son impares: si uno es par y el otro impart se dice que son de paridad opuesta, 0 bien, de paridad diferente. Dados dos enteros cuaIes­yuicra, probar que su suma y su diferencia son de la misma paridad.

9. Demostrar que .. i ac lbc entonces alb. 10. Dado alb y cl d. probar que aclbd.