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Introducción a la Teoría PCF _________________________________

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF

ALEXANDER AMEZQUITA OCHOA

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMÁTICAS

13 DE DICIEMBRE DE 2003

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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF

ALEXANDER AMEZQUITA OCHOA

TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TITULO DE MATEMÁTICO

DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA MATEMÁTICO. PROFESOR FACULTAD DE MATEMÁTICAS.

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMÁTICAS

13 DE DICIEMBRE DE 2003

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RESUMEN RESUMEN. Los problemas relacionados con la Hipótesis del Continuo son uno de los intereses centrales de la teoría de conjuntos y de la lógica. La manera en la que la primera ha tratado de atacar este tópico ha sido a través de la aritmética cardinal, y en especial, mediante el estudio de los cardinales regulares y singulares. Los resultados mas importantes en este sentido son presentados por la denominada teoría PCF, y los conceptos centrales para tener un acercamiento a esta teoría se presentan en este trabajo. ABSTRACT. The questions related with the Continuum Hypothesis are one of the central interests of the set theory and the logic. The way that the first one has deal with this topic has been through the Cardinal Arithmetic, especially, by means of the study of regular and singular cardinals. The most important products are introducing by the named PCF theory, and the central concepts that are enough to approach this theory are introducing in this paper.

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Índice General

Introducción........................................................................................ 8 Introducción a la Teoría PCF....................................................... 10

Planteamiento del Problema............................................... 10 Una Breve Historia...................................................................... 13

Capitulo 1. Teoría Axiomática de Conjuntos.................................. 18 1.1 Introducción........................................................................... 18 1.2 Teoría Axiomática de Conjuntos Zermelo – Fraenkel........... 18 1.3 Funciones............................................................................... 29

Capitulo 2. Números Ordinales......................................................... 33 2.1 Los Números Naturales.......................................................... 33 2.2 Los Números Ordinales.......................................................... 39 2.3 Axioma de Elección............................................................... 43

Capitulo 3. Los Números Cardinales................................................ 46 3.1 Números Cardinales............................................................... 46 3.2 Conjuntos Finitos e Infinitos.................................................. 52 3.3 Aritmética Cardinal................................................................ 53 3.4 Aritmética Cardinal Infinita................................................... 55

Capitulo 4. El Problema de los Cardinales Singulares................... 58 4.1 La Hipótesis del Continuo...................................................... 58 4.2 Cardinales Regulares y Singulares......................................... 61

4.2.1 Cofinalidad................................................................. 61 Capitulo 5. Conclusiones.................................................................... 65

5.1 Conclusiones.......................................................................... 65 5.2 Recomendaciones................................................................... 66

Referencias.......................................................................................... 69

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INTRODUCCIÓN

Una de las preocupaciones fundamentales de la matemática ha sido y es todavía encontrar

el orden de sus propios productos científicos. Las matemáticas produce en cada una de sus

ramas diferentes conocimientos, y estos deben ser ordenados y sistematizados de manera tal

que puedan construirse como teorías, para lo cual ella misma ha creado conceptos tales

como conjunto, colección, clase, cuerpo, anillo, grupo. Estos conceptos y otros mas,

algunos de ellos intuitivos, han servido para ordenar tales conocimientos, pero al constituir

ellos mismos sistemas se han encontrado paradojas, y de ellas han emergido nuevas

preocupaciones, nuevos problemas.

Uno de tales sistemas lo ha constituido la Teoría de Conjuntos, aquella que se ocupa de la

definición de los conjuntos, de la ordenación y estructuración de las agrupaciones de

elementos que constituyen el todo detrás de cada operación matemática. Baste para

demostrar esto recordar como cada axioma, teorema o proposición comienza con una

sentencia como esta:

Sea A el conjunto de ... tal(es) que ...

Con su configuración y desarrollo, esta teoría ha tenido que enfrentarse con diferentes

paradojas e inconsistencias que han terminado por definirla como una de las ramas de la

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matemática que mas se ha desarrollado fundamentada en bases tan seguras de su veracidad

como de su falsedad. Y todo ello ha seguido siempre la misma dirección. Esta es una

afirmación que debería demostrarse, pero la histórica matemática de la teoría de conjuntos

ha de presentar suficientes evidencias al respecto.

Tal comprobación histórica afirma que: de una manera somera, general y amplia, la teoría

de conjuntos es un estudio del concepto de infinito. Esto es así porque dentro de lo que

podríamos definir como la teoría de conjuntos finita, aquella que trata con colecciones de

elementos que pueden ser contados, e incluso aquella cuyo objeto de estudio es fácilmente

comparado con la realidad, las definiciones, aun cuando siguen siendo intuitivas, no

presentan contradicciones, no se presentan confusiones. Pero inmediatamente empezamos a

trabajar con cantidades infinitas, con colecciones infinitas de elementos y las

comparaciones con la realidad se hacen imposibles, las paradojas y los problemas

comienzan a aparecer.

La teoría de conjuntos, por tal razón, ha construido sistemas axiomáticos lo suficientemente

poderosos como para hacer manejables las operaciones a un nivel finito, mensurable. Tales

sistemas se han modificado, se han adecuado a lo largo de la historia a los diferentes

descubrimientos que la misma teoría ha hecho, y ello ha permitido que se pueda hoy hablar

de un sistema axiomático que permite realizar operaciones no triviales con conjuntos

infinitos.

Expliquemos un poco algunos de estos argumentos. Por sistema axiomático entenderemos

al conjunto finito de afirmaciones sobre las que se sustenta una teoría. Tales afirmaciones

por su carácter fundamental, no poseen medios para demostrarse a ellas mismas, son verdad

por solas, no es necesario seguir una prueba sistemática para saber si se puede trabajar con

ellas, son las bases o verdades de la teoría. A la manera de la filosofía son nuestros juicios

sintéticos a priori, así, de la misma manera en que en toda ciencia hay verdades

incuestionables como todo efecto es producido por una o múltiples causas, así también la

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teoría que nos ocupa construye, por decirlo así, mundos en los que ciertas verdades son

irrefutables y sobre las que se busca ordenar el conocimiento.

Por operaciones no triviales consideramos aquellas que no tienen una solución trivial, es

decir, ordinaria o fácilmente identificable a través de la comparación con otras semejantes.

En este sentido, veremos a continuación como la teoría de conjuntos ha tratado no

solamente con los problemas y el estudio sistemático del infinito, sino también con sus

operaciones no triviales, aquellas que no se deducen de las operaciones con finitos, por

ejemplo.

De esta manera, a partir de un sistema axiomático, la teoría de conjuntos se ha enfrentado al

problema de ciertas operaciones no triviales relacionadas con un conjunto de números

llamados transfinitos. Tal operación no trivial se denomina exponenciación cardinal.

Ambos, conceptos-conjunto y operación son las herramientas claves para llevar a cabo la

labor que nos proponemos. Plantearemos la cuestión en los términos de una propuesta de

trabajo y finalmente expondremos la manera en la que interactúan estas herramientas

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA PCF.

Planteamiento del Problema.

Uno de los problemas centrales de la teoría de conjuntos es el de la hipótesis del continuo.

Si bien la teoría de conjuntos se creo con la intención de ordenar las matemáticas tanto en

su enseñanza como en las demostraciones y el sentido central de la misma, las paradojas

que generó en poco o nada ayudaron a tal objetivo.

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Dentro de tales problemas y paradojas, la hipótesis del continuo se eleva como un punto

central sobre el que la teoría de conjuntos puede mas bien aportar, si no a la ordenación de

las explicaciones, sí a aplicaciones en amplios campos de la matemática como la topología.

Lo que se demuestra en el desarrollo histórico, es que más que un catalizador universal de

ordenación de la matemática, la teoría de conjuntos se ha convertido en una herramienta

universal para el ataque de problemas de diversos ámbitos de la misma.

Lo mismo que en la física las teorías de luz, divididas en aquellas que consideran la luz

como un conjunto de corpúsculos y aquellos que la consideran una onda, han resuelto

importantes problemas de esta ciencia de manera separada e independiente, es decir,

muchos se resuelven bajo la suposición de la primera y la negación de la segunda, y otros

muchos de manera inversa, en la matemática muchos son los problemas que se resuelven

suponiendo construcciones axiomáticas de la teoría de conjuntos (como puede ser Zermelo-

Fraenkel) y la veracidad de la Hipótesis del Continuo (HC de aquí en adelante) e

igualmente muchos los que encuentran solución suponiendo las mismas construcciones

axiomáticas y la nulidad de HC.

De esta manera, la HC se convierte en uno de los núcleos alrededor de los cuales la teoría

de conjuntos contribuye como herramienta al desarrollo de la matemática.

Frente a esta situación, la matemática contemporánea ha encontrado en aquella de sus

especialidades denominada “Teoría avanzada de conjuntos” y más específicamente en el

campo de la exponenciación cardinal, un posible planteamiento acerca de la hipótesis del

continuo, que oponiéndose a posiciones intuicionistas, ha accedido a su análisis a través de

la metodología de las demostraciones por contradicciones y la presentación de

contraejemplos.

Resultado de estos análisis, podemos presentar la obra cumbre del matemático Sharon

Shelah, publicada bajo el titulo de Cardinal Arithmetic, y que contiene toda una

sustentación teórica de la posibilidad de construir “contraejemplos” a la HC, a través del 11


estudio de las posibles cofinalidades, dando origen a lo que hoy día se denomina Teoría

PCF (Posibles CoFinalidades).

En tal planteamiento se encuentra el hallazgo cumbre de dicha teoría y es el teorema que

Shelah plantea como el primer contraejemplo a la HC, y que se formula de la siguiente

manera:

1990.1 haciaShelahTeorema

.4

002 ℵℵℵ <⇒< ℵℵ

ωωω

El cual plantea que la primera cota para los contraejemplos a la hipótesis del continuo es el

cuarto cardinal limite.

Esta presentación tiene por objeto realizar una introducción a los conceptos de la teoría de

conjuntos que son necesarios para emprender el camino de la comprensión de este resultado

de Shelah. Su aritmética cardinal es un producto complejo, de un alto nivel de abstracción,

por eso, el acercamiento a la teoría PCF requiere de amplios conocimientos en teoría de

conjuntos, teoría combinatoria de conjuntos y topología, por lo que se propone este trabajo

es presentar un acercamiento didáctico a los conceptos fundamentales, realizando las

demostraciones básicas de la teoría de conjuntos y haciendo la presentación de teoremas,

proposiciones y corolarios básicos para hacerse una idea de los problemas de la

exponenciación cardinal que construyen lo que se denomina el problema de los cardinales

singulares. Clarificar de manera introductoria, y con la intención de generar interés y

preguntas acerca este problema, los conceptos centrales de este tópico son los objetivos de

esta investigación.

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UNA BREVE HISTORIA.

En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.

Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría

rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación

del análisis.

Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números

racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma

de línea recta.

Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números

racionales. La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos

pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números

racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de

conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto

límite, de conjunto derivado...

La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre

conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la

teoría abstracta de conjuntos. Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos,

junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo

XX en una ciencia especial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de

los fundamentos de las matemáticas modernas.

El campo de aplicación del análisis matemático creció rápidamente merced a un sin fin de

investigadores de los métodos matemáticos de la física y la mecánica: Green, Stokes, 13


Thomson, Hamilton, Maxwell... Entre estas aplicaciones cabe destacar la creación del

aparato analítico para la investigación de los fenómenos electromagnéticos, la teoría

matemática de la conductividad del calor, o la construcción del aparato matemático de la

nueva mecánica.

Así, a finales del siglo XIX, Cantor desarrolla una teoría formal sobre el infinito actual.

Todos los argumentos dados, señala Cantor, en contra del infinito han sido insensatos, ya

que han tratado la aritmética de los números infinitos como una extensión de la aritmética

de los números finitos. Uno de los objetivos de su obra era demostrar que no había ninguna

razón para aceptar las viejas ideas en contra del infinito actual. Si los conjuntos infinitos se

comportan de manera diferente a los conjuntos finitos no quiere decir que estos sean

inconsistentes, sino que obedecen a una aritmética diferente.

Cantor demostró, contra la famosa aniquilación de lo finito por lo infinito, que los números

infinitos eran susceptibles de ser modificados por los números finitos. También rechazó la

distinción aristotélica entre infinito actual e infinito potencial, ya que todo infinito potencial

presupone la existencia de un infinito actual. Georg Cantor, siguiendo los pasos de

Bolzano, consideró que la idea de una biyección sería el principio básico para comparar

conjuntos infinitos. Si existe una biyección entre dos conjuntos, podemos decir que dichos

conjuntos son equipolentes o tienen la misma potencia. El término de potencia de un

conjunto dio paso al término de número cardinal.

Bolzano introdujo las siguientes definiciones de conjunto infinito: Un conjunto no vacio A

es finito si para algún entero positivo n, A es equipolente a {1,2,....,n}; de otra forma A es

infinito. Un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipolente a A;

en cualquier otro caso A es finito. Cantor y Dedekind utilizaron esta definición reflexiva

del infinito:

Cantor: Un conjunto finito es uno cuya potencia es un entero positivo. Para tal conjunto

todo subconjunto propio tiene una potencia menor, mientras que un conjunto infinito A 14


tiene la misma potencia que algún subconjunto propio de A. (Implícitamente dio estas

propiedades cuando demostró que R y Rn tenían la misma potencia).

Dedekind: Un conjunto A es Dedekind-infinito si algún subconjunto propio B de A es

equipolente a A; en cualquier otro caso A es Dedekind-finito.

Cantor: Por un conjunto finito entendemos un conjunto M, el cual surge a partir de un

elemento original a través de la adición sucesiva de nuevos elementos de tal forma que el

elemento original puede ser obtenido a partir de M eliminando sucesivamente los elementos

añadidos en el orden reverso. (Esta es la primera definición explícita de un conjunto finito

dada por Cantor).

Cantor: Mientras que un conjunto finito siempre retiene el mismo número ordinal,

independientemente de la forma en que estén ordenados sus elementos, un conjunto infinito

puede ser reordenado de tal forma que tenga más de un ordinal.

Cantor definió que dos conjuntos tenían el mismo número de elementos si existía una

correspondencia biunívoca entre los miembros de ambos conjuntos; a diferencia de

Bolzano, quien concluyó que la existencia de una correspondencia entre dos conjuntos

infinitos A y B no justificaba la inferencia de su igualdad, con respecto a la multiplicidad

de sus miembros. La razón por la cual la definición de Cantor y sus consecuencias han sido

aceptadas no es porque estén, ciertamente, mas cerca del uso común sino más bien porque

son más útiles para la matemática.

Aún hoy en día tendemos a pensar que existen más números naturales que números pares.

Cantor consideraba tres contextos donde surge el concepto de infinito actual: primero

cuando es realizado en la forma más completa, en un ser independiente de otro mundo, en

Dios, al cual llamo el Infinito Absoluto o simplemente Absoluto; segundo cuando ocurre en

lo contingente, en el mundo físico; tercero cuando la mente lo aprehende en abstracto como

una magnitud matemática, número, o tipo de orden. 15


Así, uno de los problemas más importantes de la teoría de conjuntos moderna y

contemporánea trata con lo que se conoce como aritmética cardinal. De una lado, como lo

afirmaba Cantor, es insensato pensar que el infinito es susceptible de ser manejado a través

de la aritmética finita; de otro, conocido este hecho, la construcción de una sólidas bases

para una aritmética cardinal permitirán tratar con estas cantidades y conjuntos de manera

científica y no solamente metafísica.

16


17


CAPITULO 1. LA TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS

1.1. INTRODUCCIÓN.

No podemos comenzar una explicación coherente de los problemas derivados de los

cardinales sin llegar a su construcción clara. Tales cuestiones de constitución del problema

debe atacarse a partir de una exposición clara y sencilla de la teoría de conjuntos que

recibió en su seno tal problema.

Esta sección estará dedicada entonces a una explicación de cada uno de los axiomas de la

teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel, y de sus consecuencias más importantes.

1.2. TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS. ZERMELO – FRAENKEL

«Una variedad (una totalidad, un conjunto) de elementos pertenecientes a cualquier esfera

conceptual se dice “bien definida" si sobre la base de su definición y como consecuencia

18


del principio lógico del tercio excluido, puede ser considerado como internamente

determinado, por una parte, si cualquier objeto perteneciente a esta esfera conceptual

pertenece o no como elemento a dicha variedad y, por otra, si dos objetos pertenecientes al

agregado son o no iguales entre sí, aparte de las diferencias formales en la manera en la que

estén dados.» G. Cantor.

«Entendemos por “conjunto" cualquier agrupación en un todo M de determinados objetos

bien diferenciados m de nuestra intuición o de nuestro pensamiento (llamados “elementos"

de M).» G. Cantor.

Como decíamos en la introducción, un sistema axiomático es una de las herramientas

fundamentales de la matemática en su intento de dotar de claridad científica a sus

producciones. Los axiomas de Zermelo Fraenkel son una construcción abstracta que

permite trabajar con los conjuntos. A continuación presentamos tales axiomas.

Pero antes de llevar a cabo esta tarea es necesario que formalicemos un leguaje que nos

permita notar claramente cada uno de estos axiomas. Tal leguaje debe estar constituido por

símbolos básicos y por reglas que permitan crear expresiones a partir de tales símbolos.

Los símbolos que conformaran nuestro leguaje son los siguientes:

1. Variables: serán las ultimas letras del alfabeto latino, mayúsculas o minúsculas,

con la posibilidad de usar subíndices. ,...,,,,,,, 21 xxzyxZYX

2. Constantes: las primeras letras del alfabeto latino; nos servirán para designar

conjuntos específicos. A, B, C, a, b, c,…

3. Símbolo de pertenencia: ∈ .

19 4. Símbolo de igualdad: =.


5. Conectivos lógicos: los símbolos habituales para la negación, disyunción,

conjunción, implicación y equivalencia. ¬ .,,,, ↔→∨∧

6. Cuantificadores: en su uso habitual. .,∃∀

7. Paréntesis: untados como signos de puntuación ( , ).

Cualquier cadena finita constituida por estos símbolos representara una expresión, pero es

necesario definir las reglas de lo que constituirán las expresiones aceptables dentro de

nuestro lenguaje:

1. Son formulas de nuestro lenguaje, y llamaremos formulas a

aquellas expresiones que pertenecen al lenguaje.

., YXYX =∈

2. Si φ son formulas del lenguaje, también lo son

ϕy

( )ϕ∨( ) ( ) ( .ϕφϕφφϕφ ↔→∧ )

3. Si ϕ es una formula de nuestro lenguaje, lo es también De la misma

manera, representaran ¬ respectivamente.

.ϕ¬

)YXoYX ≠∉ ( ) ( YXyYX =¬∈

4. Si ϕ es una formula del lenguaje, entonces son formulas del

mismo, siempre y cuando x sea una variable.

ϕϕ xyx ∃∀

5. Solo las expresiones resultado de la aplicación finita de estas reglas es

consideradas una formula del lenguaje.

Denominemos nuestro lenguaje a través de la letra L.

20


AXIOMA 1.2.1. AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD:

“Si todo elemento de X es un elemento de Y y todo elemento de Y es un elemento de X ,

entonces X es igual a Y ".

Dicho de otro modo, si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son iguales.

Este axioma nos dice que lo que caracteriza a un conjunto son sus elementos.

En L, este axioma se escribe

( )( ).YXYzXzzYX =→∈↔∈∀∀∀

Debemos además realizar una definición adicional.

DEFINICIÓN 1.2.1. Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de A es elemento de B,

entonces decimos que A está incluido en B, o de A es un subconjunto de B, lo cual se

simboliza: .BA ⊆

AXIOMA 1.2.2. AXIOMA DEL CONJUNTO VACÍO:

“Existe un conjunto que no contiene ningún elemento".

En L escribimos

.XxxX ∉∀∃

Observemos que, en particular, este axioma garantiza que existe al menos un conjunto.

LEMA 1.2.1. Existe un único conjunto que no contiene ningún elemento.

21


DEMOSTRACIÓN. Supongamos que existen dos conjuntos distintos a y b ambos sin

elementos.

Por Axioma 1.2.1 una contradicción. Luego hay un

único conjunto vacío.

( ) (( bxaxbxaxx ∈∧∉∨∉∧∈∃ ))∴

DEFINICIÓN 1.2.2. El (único) conjunto que no tiene elementos se llama el conjunto vacío y

se le denota: ∅

AXIOMA 1.2.3. AXIOMA DE SEPARACIÓN:

“Si es una fórmula de L y X es un conjunto, entonces existe un conjunto Y cuyos

elementos son aquellos elementos de X que verifican ϕ ".

( )xϕ

( )x 1

En L escribimos

( ))( xXzYzzYX ϕ∧∈↔∈∀∃∀

}

1 Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de construir el conjunto de todos los conjuntos

que verifican una propiedad cualquiera ϕ . Este axioma limita nuestra capacidad de formar conjuntos de objetos que verifican una cierta propiedad, sólo podemos referirnos a aquellos elementos que perteneciendo a un cierto conjunto dado, verifican la propiedad en cuestión. Veamos que esta restricción evita que se produzca la paradoja.

( )x

Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjunto A , el axioma de extensionalidad nos permite formar el conjunto En este caso tenemos que si , entonces

, lo cual es una contradicción, luego lo que a diferencia de antes no es una contradicción, y solo implica que

{ xxAxR ∉∈= :

.AR ∉

RR ∉RRyAR ∉∈ RR ∉

22


Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por ϕ ) y cualquier

conjunto A, existe el subconjunto de A formado por los elementos que verifican esa

propiedad. Obviamente este conjunto es único.

( )x

DEFINICIÓN 1.2.3. Si ϕ es una fórmula de L y A un conjunto, el conjunto cuya

existencia está garantizada por Axioma 1.2.3. se denotará con el símbolo { } y se

lee “el conjunto de los elementos de A tales que ϕ ".

( )x

( )xAx ϕ:∈

( )x

TEOREMA 1.2.1. No existe el conjunto de todos los conjuntos.

DEMOSTRACIÓN. Supongamos que si existe y llamémoslo V . Entonces en virtud de

Axioma 1.2.3. podemos construir el conjunto de Russell:

{ xxVxR ∉∈= : }, contradicción. ∴

Por último, cabe destacar que este no es propiamente un axioma sino más bien un esquema.

En efecto, para cada fórmula ϕ de L tenemos un axioma distinto, o sea, hay una

cantidad ilimitada de instancias de este axioma.

( )x

AXIOMA 1.2.4. AXIOMA DE PARES:

“Dados dos conjuntos X e Y, existe un conjunto cuyos únicos elementos son X e Y ".

Su expresión en L es

)( YxXxZxxZYX ∈∨∈↔∈∀∃∀∀

23


Resulta claro por Axioma 1.2.1. que este conjunto es único. Lo denotamos { y lo

llamamos el par no ordenado X, Y.

}

}

)

YX ,

El Axioma 1.2.1. también garantiza la existencia del conjunto cuyo único elemento es el

conjunto X

{ } {XXX =,

el que a menudo recibe el nombre de singleton X .

AXIOMA1.2. 5. AXIOMA DE UNIONES:

“Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de los

elementos de X ".

En L escribimos

))(( XUUzUYzzYX ∈∧∈∃↔∈∀∃∀

Nuevamente por Axioma 1.2.1., este conjunto es único, se llama la unión de X y se le

denota U . X

Un caso particular que merece una notación especial es el siguiente. Si X e Y son conjuntos,

entonces existe U { }.,YX

Entonces

{ } ( YxXxYXx ∈∨∈↔∈ ,U

24


{ YX ,U } se llama la unión de X e Y, y se le denota . Corresponde al conjunto de

todos los conjuntos que pertenecen ya sea a X o a Y (o a ambos).

YX U

Más generalmente, dados los conjuntos de manera análoga al caso de la

unión de dos conjuntos, definimos

nXXXX ,...,,, 321

{ }nn XXXXXX ,...,,... 2121 UUUU =

de tal manera que

....... 2121 nn XxXxXxXXXx ∈∨∨∈∨∈↔∈ UUU

La teoría de conjuntos mas generalizada nos permite cierta familiaridad con la unión de

dos o de una cantidad finita de conjuntos; el Axioma 1.2.5. generaliza este concepto a la

unión de una familia arbitraria, incluso infinita, de conjuntos. Observemos que para definir

la unión de dos conjuntos son necesarios el Axioma de Pares, el Axioma de Uniones y el

Axioma de Extensionalidad (para garantizar unicidad).

DEFINICIÓN 1.2.4. Otra generalización de un concepto familiar es el de intersección de un

conjunto no-vacío X, en símbolos, I , definida por X

( ){ }BxXBBXxX ∈→∈∀∈= :UI

Observemos que en virtud del Axioma 1.2.5. y del Axioma 1.2.3., es efectivamente

un conjunto.

XI

DEFINICIÓN 1.2.5. La intersección de dos conjuntos X e Y , , se define por YX I

25


{ }YXYX ,II =

y en general

{ }nn XXXXXX ,...,,... 2121 IIII =

Diremos también que dos conjuntos X e Y son disjuntos si

∅=YX I

TEOREMA 1.2.2. I .AA U⊆

DEMOSTRACIÓN. Si , entonces, por definición 1.2.4., Ax I∈

1). ( ) ( ABBBxABB ∈∃∧∈→∈∀ )

de lo cual se puede afirmar que

( )BxABB ∈∧∈∃

así, por el axioma 1.2.5., , y por la definición 1.2.1. Ax U∈ .AA UI ⊆ ∴

AXIOMA 1.2.6. AXIOMA DEL CONJUNTO POTENCIA.

“Si X es un conjunto, entonces existe el conjunto de todos los subconjuntos de X ". Esto es:

)( XZYZZYX ⊆↔∈∀∃∀

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El (único) conjunto cuya existencia garantiza este axioma se designa por PX y se llama el

conjunto potencia de X .

AXIOMA 1.2.7. AXIOMA DE REGULARIDAD.

“Todo conjunto no vacío contiene un elemento con el que no comparte ningún elemento."

En L escribimos

( )( )∅=∧∈∃→∅≠∀ xyxyyxx I

A pesar de que no resulta evidente a partir de su formulación, este axioma impide la

existencia de un conjunto a tal que a ∈ a o incluso a ∈ b ∈ a , etc.

TEOREMA 1.2.3.

i) ∀ .xxx ∉

ii) ).( xyyxyx ∉∨∉∀∀

iii) En general, no existen tales que naaaa ,...,,, 321 .... 1321 aaaaa n ∈∈∈∈∈

iv) No existen conjuntos tales que ... naaa ,...,, 21 .... 12 aaan ∈∈∈∈

DEMOSTRACIÓN.

i) Supongamos que existe a tal que a a, entonces A = , lo que contradice el

Axioma 1.2.7.

∈ { }a

ii) Idem i) con A = { } yx,

iii) Idem i) con A = { } naaa ,...,, 21

iv) Supongamos que existe el conjunto cuyos elementos son

precisamente Llamémoslo A . Entonces A contradice al Axioma 1.2.7. ya

que para cualquier y ∈ A, digamos para algún m , , o

sea y X ≠ .

,...,, 321 aaa

∅

may = Xayaa mmm ∈∈ ++ 11

I

27


AXIOMA 1.2.8. AXIOMA DEL CONJUNTO INFINITO.

“Existe un conjunto que tiene infinitos elementos". Para escribirlo en el lenguaje L

debemos usar una expresión no muy transparente.

{ } ))(( XyyXyyXX ∈→∈∀∧∈∅∃ U

Es claro que el conjunto así formado es intuitivamente infinito.

{ } { }{ } { } { }{ }{ },...,,,,,,, ∅∅∅∅∅∅∅∅

Para introducir el último axioma de ZF, debemos estudiar antes un cierto tipo de fórmula de

L. Una fórmula ϕ de L con dos variables libres x e y se denominará función

proposicional si para todo conjunto a existe un único conjunto b tal que ϕ se verifica.

Ejemplos de éstas son las fórmulas ϕ siguientes:

( yx, ))

)

))

( yx,

( yx,

{ }.

...

axyxxy

xyxy

I

U

U

==

Ρ==

donde a es un conjunto fijo, etc.

AXIOMA 1.2.9. AXIOMA DE REEMPLAZO.

“Si ϕ es una función proposicional y A es un conjunto, entonces existe el conjunto de

los elementos b que verifican ϕ para algún a ∈ A". Expresado en L, tenemos

( yx,

( yx,

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( )( )( )yxXxxYyyYX ,ϕ∧∈∃↔∈∀∃∀

La idea intuitiva es que si tenemos un conjunto A y una función f cuyo dominio es

A, , es también un conjunto. El problema se suscita cuando vemos

que en nuestra teoría la “función" no es un objeto de la misma, es decir, no es un

conjunto, sino que corresponde a lo que llamamos una clase propia. Nuestro lenguaje nos

permite referirnos a dichos objetos mediante la fórmula que los define. Así, ϕ no es

una función dentro de nuestra teoría sino más bien una regla que nos permite asociar a cada

elemento de un conjunto A un único elemento. El problema aquí es que el dominio de esta

función es la clase de todos los conjuntos que, como ya vimos, no es un conjunto. Sin

embargo, cuando restringimos dicho “dominio" a un conjunto A, el Axioma 9 garantiza que

existe el recorrido de la función.

[ ] ( ){ AxxfAf ∈= : }

)

xx Ρa

( yx,

Deberíamos ahora definir el concepto matemático que da origen al problema del continuo:

la Función.

1.3. FUNCIONES.

Siendo uno de los conceptos mas importantes de la matemática, la función puede ser

definida intuitivamente como la regla que asigna a cada elemento de un conjunto un único

elemento de otro conjunto, no necesariamente distinto.

Pero de manera mas formal, deberíamos definir

29


DEFINICIÓN 1.3.1. Una relación2 F es una función si y solo si

( ) ( )( )zyFzxFyxzyx =→∈∧∈∀∀∀ ,,

DEFINICIÓN 1.3.2.

i) Si F es una función, Dom F = a, y decimos que F es una función de a

en b, y escribimos

bFc ⊆Re

( )xfxbaF

a

a:

ii) F es una función inyectiva o uno a uno si

( ) ( )( )yxyFxFyx =→=∀∀

iii) Una función F de a en b se dice sobreyectiva si

( )( )( )xFyaxxbyy =∧∈∃→∈∀

El interés fundamental de este capitulo es poner algunos elementos centrales que ayuden a

la comprensión del problema del continuo y sobretodo de la propuesta de la teoría de

posibles cofinalidades.

En ese objetivo, es necesario presentar a continuación una definición que si bien podría

hacer parte de otra sección del trabajo, nos ayudara a comprender mejor la sección

inmediatamente siguiente, antes de entrar en el concepto de cardinalidad.

Cantor propone una noción referente a la potencia de los conjuntos. Podemos decir según

esto, que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos si existe una función de

correspondencia 1-1 entre ellos. Esta situación se denomina equipotencia.

30

2 Debemos asumir aquí las definiciones regulares de relaciones como puede ser la del conjunto formado por pares ordenados. Asumimos así mismo las definiciones usuales de producto cartesiano y par ordenado. En ese sentido, las definiciones de Dominio, Recorrido, Función Inversa, Imagen, etc., deben ser tomadas de la misma manera que en las relaciones.


Definición 1.3.3.

i) bajo f, si y solo si f es una función 1-1 cuyo dominio es A y cuyo recorrido

es B.

BA ≈

ii) , si y solo si existe una función f tal que bajo f. BA ≈ BA ≈

En este caso, el símbolo representa equipotencia, y se utilizara así en adelante. ≈

31


32


CAPITULO 2. NÚMEROS ORDINALES

Como se introdujo en la sección inicial, el problema del continuo se refiere en primera

instancia al cardinal de los números naturales. La noción de cardinalidad, aunque ya ha sido

de cierta manera introducida intuitivamente, posteriormente será clarificada y formalizada,

lo que nos deja frente a la necesidad de formalizar los conceptos relacionados con los

números naturales.

2.1. LOS NÚMEROS NATURALES.

Dentro de la formalización de los números naturales de nuestra teoría axiomática ZF, es

necesario recurrir a una definición inicial.

DEFINICIÓN 2.1.1. El sucesor de un conjunto x es el conjunto . Debemos

observar además, que su x es un conjunto, Sx también lo es. Esto es por Axioma 1.2.1. y

Axioma de Uniones.

{ }xxSx ∪=

33


DEFINICIÓN 2.1.2.

{ }{ }{ }{ } { }{ }{ }

.

.

.,,,23

,1201

0

∅∅∅∅==∅∅==

∅==∅=

SSS

Cada uno de estos conjuntos es un número natural.

En general, podríamos decir que

{ }nSn ,...,2,1,0=

todo número natural está formado por los naturales que lo preceden, exceptuando el 0, que

no posee elementos. De aquí, la definición de número natural, como la clase de todos los

conjuntos que poseen tal cantidad de elementos.

La pregunta que cabría ahora, ¿existe un conjunto que contenga a todos y solamente a los

números naturales?. Esta respuesta no es obvia. El conjunto de los números naturales se

construye de la siguiente manera.

DEFINICIÓN 2.1.3. Decimos que X es inductivo si

i) X∈0 .

ii) ., XSxentoncesXxSi ∈∈

Gracias al Axioma de Infinito, sabemos que existe al menos un conjunto inductivo.

Denominémoslo I.

34


DEFINICIÓN 2.1.4. El conjunto ω de los números naturales se define como sigue:

{ }inductivoesxPIx :∈= Iω

Debemos observar que ω es inductivo, y que si X es inductivo, ω , de lo cual, ω es el

mas pequeño de los conjuntos inductivos.

X⊆

Debe quedar claro que ningún otro conjunto que no sea un número natural pertenece a ω .

Para que esto sea mas evidente, demostremos el siguiente teorema, denominado principio

de inducción. Este principio puede enunciarse bien a través de formulas o bien a través de

relaciones. Por su simplicidad enunciaremos el principio a través de relaciones.

TEOREMA 2.1.1. Sea B un conjunto tal que. (Principio de Inducción)

i) .0 B∈

ii) Para todo n, si , entonces Bn ∈ .BSn ∈

Entonces ω .B⊆

DEMOSTRACIÓN. Sea

{ }naturalnúmeroundesucesorelesxóxxB 0: =∈= ω

como, es claro que, B es inductivo, tenemos que ω . ∴⊆⊆ ωB

Nótese que

...3210...3210 ⊆⊆⊆⊆∈∈∈∈ quetámbieny

35


L o que nos podría dar una noción de orden apropiado para los números naturales. Pero las

cosas son al revés, los naturales se definen así para que la relación de pertenencia posea

buenas propiedades de orden.

DEFINICIÓN 2.1.5. La relación se define en ω por: ≤

nmónmsisoloysinm =∈≤

Diremos que m es menor o igual que n. También debemos usar el símbolo < para denotar

nmynmsisoloysinm ≠≤<

Podemos decir de otra manera, que m<n si y solo si .nm ∈

Dentro de los objetivos de este trabajo, es necesario demostrar que esta relación es de orden

lineal, y mas aun, que se trata de un buen orden, para ello es lo siguiente.

LEMA 2.1.1. Para todo ω∈mn, ,

i) .0 n≤

ii) ., ω∈∈ xentoncesnxSi

iii) m .nmsisoloysiSn ≤<

iv) ., mSnentoncesmnSi ≤<

DEMOSTRACIÓN.

i) Por inducción con ϕ ( ) .0 xx ≤=

- ϕ se verifica. ( )0

- Supongamos ahora que se verifica ϕ ( ).x

36


Es decir, es decir 0 En cualquier caso

o sea ϕ se verifica. Luego, en virtud del principio de

inducción, para todo

,0 x≤

,Sn

.0 nón =∈

{ }0 nn =∪∈ (Sn

0,∈ω

)

)

.nn ≤

ii) Por inducción sobre n. Sea

( ) ( )ωϕ ∈→<∀= yxyyx

- ϕ se verifica trivialmente. ( )0

- Supongamos y sea . Entonces ó . ( )mϕ Smy ∈ my ∈ my =

Si , entonces por hipótesis de inducción, . my ∈ ω∈y

Si y = m, entonces . En cualquier caso . ω∈y ω∈y

Luego por principio de inducción, todo verifica ϕ . ω∈n ( )x

iii) m { } .nmsisoloysinnSnmsisoloysiSn ≤∪=∈<

iv) Por inducción sobre m. Consideramos

( ) ( )xSyxyyx ≤→<∀=ϕ

- ϕ se verifica trivialmente. ( )0

- Supongamos , o sea, . Supongamos que ,

entonces, ó .

( )mϕ

m y

( mSymyy ≤→<∀ Smy <

y ∈ m=

Si , por hipótesis de inducción, y luego . my ∈ mSy ≤ SmSy ≤

Si y = m, entonces . En cualquier caso, si , entonces,

, es decir, ϕ se verifica.

SmSy =

( )Sm

Smy <

SmSy ≤

Luego por principio de inducción, para todo m verifica ϕ .ω∈ ( )m ∴

TEOREMA 2.1.2. ≤ es un orden total sobre ω .

37


DEMOSTRACIÓN.

i). es obviamente reflexiva. ≤

ii). es antisimétrica. En efecto, supongamos que y , pero m .

Entonces m y n . Esto contradice el teorema 1.2.3.

≤ nm ≤ mn ≤ n≠

n∈ m∈

iii). es transitiva. Supongamos que y . Demostraremos que k

por inducción sobre n. Para ello sea

≤ mk ≤ nm ≤ n≤

( ) ( )( )xzxyyzzyx ≤→≤∧≤∀∀=ϕ

- ϕ se verifica puesto que si y , luego . ( )0 mk ≤ 0≤m 0=m 0≤k

- Si se verifica, consideremos y . Entonces ó ( )nϕ mk ≤ Snm ≤ Snm <

m = Sn.

Si , entonces por el lema 2.1. iii), m y por hipótesis de inducción

. Es decir k ó k = n. En cualquier caso , o sea, .

Snm <

n≤

n≤

k n∈ Snk ∈ Snk ≤

Si m = Sn, como ó k = m, tenemos ó k = Sn, es decir,

.

mk ∈ Snk ∈

Snk ≤

Esto completa la inducción, por lo que todo número natural n verifica ϕ , o

sea, es transitiva.

( )n

≤

iv). es un orden total. Sean m y n dos números naturales. Demostraremos por

inducción n que m < n ó m = n ó n < m. Para ello sea

≤

( ) ( )yxxyxyyx <∨=∨<∀=ϕ

- ϕ se verifica por el lema 2.1. i). ( )0

- Supongamos que se verifica. Entonces para todo m, m < n ó m = n ó n

< m.

( )nϕ

Si m < n ó m = n, entonces , luego m < Sn. Snm ∈

Si n < m, entonces por el lema 2.1.1. iv). mSn ≤

Luego, por principio de inducción, es un orden total sobre ω . ≤

38


A través de un planteamiento del principio de inducción denominado principio de

inducción completa, es posible demostrar que ≤ es un buen orden. Pero en nuestra

presentación es necesario utilizar el axioma de elección y el principio de buen

ordenamiento, a partir de los cuales podremos decir que cualquier conjunto infinito puede

ser bien ordenado, por lo que a partir de que los números naturales es un conjunto inductivo

infinito, podemos decir que puede ser bien ordenado. Pasaremos de esta manera a los

conceptos fundamentales de ordinales, dejando a su tiempo la presentación del axioma de

elección y el principio de buen ordenamiento.

2.2. LOS NÚMEROS ORDINALES

Los ordinales son conjuntos asociados con buenos ordenes, de hecho, son los ejemplos

típicos de estos últimos en el sentido que todo buen orden es isomorfo a algún ordinal.

DEFINICIÓN. 2.2.1.

i). es ∈ si a transitivo−

( )( )axayyxyx ∈→∈∧∈∀∀

ii). es un ordinal si es ∈ y todo elemento de a es ∈ . Si

x es un ordinal escribiremos . Obsérvese que Ord es una fórmula de

nuestro lenguaje en la que x aparece libre.

a a transitivo−

( )xOrd

transitivo−

( )x

Notación: usaremos las letras griegas minúsculas para denotar ordinales.

Pero hasta el momento no hemos demostrado que los ordinales existan, o que haya un

conjunto que se les equipare. Observemos el siguiente desarrollo tratando de analizar este

problema.

39


TEOREMA 2.2.1.

i). 0 es un ordinal.

ii). . ( ) ( )SxOrdxOrd →

iii). ∀ ω . ( )( )xOrdxx →∈

iv). Ord . ( )ω

DEMOSTRACIÓN.

i). Ord trivialmente ya que 0 . ( )0 ∅=

ii). Supongamos que x es ordinal. Entonces x es ∈ y todo elemento de x

es ∈ . Como , todo elemento de Sx es ∈ .

transitivo−

transitivo− { }xxSx ∪= transitivo−

iii). Consideramos la fórmula ϕ . Por i) y ii) y por principio de

inducción, todo número natural es un ordinal.

( ) ( )xOrdx =

iv). El lema 2.1.1. ii) demuestra que ω es ∈ . Si iii) nos

demuestra que n es ∈ . Luego Ord .

transitivo−

)ω∈n

transitivo− (ω

Podemos pensar en conjuntos como { y darnos cuenta fácilmente que no es

, lo que nos dice que no todo conjunto es un cardinal, lo mismo que, por

ejemplo, ningún par ordenado

{ }0 }transitivo−∈

ba, es un ordinal.

TEOREMA 2.2.2. Si C es un conjunto de ordinales, entonces también es un ordinal. CU

DEMOSTRACIÓN. Supongamos . Entonces existe α tal que . Como

y este último es ∈ , y por lo tanto , es decir, U es

.

Cyx U∈∈

transitivo

C∈

x ∈

α∈y

α∈∈ yx

transitivo−∈

− ax ∈ CU C

Sea . Entonces existe α tal que , entonces, x también es ∈ .

Por lo tanto U es un ordinal.

Cx U∈ C∈ α∈x transitivo−

C ∴

40


Aunque se podrían trabajar muchas mas propiedades de los números ordinales, es preciso

llegar al tema central de esta presentación, por lo que avanzaremos hacia las definiciones

principales.

DEFINICIÓN 2.2.2. Sea un ordinal. Definimos la relación ≤ en α como sigue. Para α

α∈yx,

yx ≤ si y solo si yxyx =∨∈

El siguiente teorema resume algunas de las propiedades de este orden.

TEOREMA 2.2.3. Sea α un ordinal

i). es un buen orden en α . ≤

ii). Si y , entonces es el menor elemento de A. α⊆A ∅≠A AI

iii). 0 es el menor elemento de α .

iv) si y solo si . αβ S< αβ ≤

v). { }αβαβ ∈= : .α <

vi). No existe un ordinal tal que α . β αβ S<<

vii). α ≤ si y solo si α ⊆ . β β

viii). Si , entonces U es el supremo de A. α⊆A A

ix). α < si y solo si . β βα ≤S

x). si y solo si α = . βα SS = β

xi). si y solo si α < . βα SS < β

41


DEMOSTRACIÓN.

i) es obviamente reflexiva. Es antisimétrica por el teorema 1.2.3. Es transitiva por la

de α . Es decir, es un orden. Además podemos decir que se trata de un

orden total

≤

− dadtransitivi∈ ≤3.

Para ver que es un buen orden, consideremos un subconjunto no vacío .

Por una de los teoremas de números ordinales, tenemos que . Supongamos

. Entonces para todo , en particular , lo que es una

contradicción. Luego , o sea, es un buen orden

≤

)

α⊆A

AA ∈I

xx ∈( AAx I∩∈ α∈∈ xAx ,

∅ ≤( ) =∩ AA I 4.

ii). Quedó demostrado en i) que es el menor elemento de A. AI

iii), iv) y v) son obvio por las demostraciones hechas hasta ahora.

vi). Supongamos que existe tal que α , o lo que es lo mismo,

. Si suponemos que , entonces para algún .

Luego, ; en cualquier caso . Entonces , por lo

tanto x . Lo que demuestra que α . Ahora, si decimos que

, decimos que α , lo que es una contradicción.

β

SU

αβ S<<

x

α∈x

αSU=

Sa∈∈ βα

∈y

x ∈

αβα S∈∈

αSx U∈

αα =

y∈ αSy ∈

αα =yó

αSU

αα Sx ∈∈

∈

vii). Existe un teorema que nos dice que α ⊂ , del cual es

consecuencia inmediata la propiedad vii).

βαβ∈ sisoloysi

viii). Supongamos , entonces es un ordinal y para es claro que

, o sea, por vii), , es decir, U es cota superior.

α⊆A

x

AU Ax ∈

Ax U⊆ AU≤ A

Sea otra cota superior de A. Entonces para todo , como , y

es otra cota superior de A, , es decir, , o sea, U , por lo tanto

es la menor de las cotas superiores de A.

β Ax U∈

β∈

Ax U∈∈α

β⊆

β

βα ≤≤x x A

AU

ix). Si α ∈ , entonces por ∈ , o sea, . Si ,

como α , α < por ∈ de <.

β

αS<

βα ⊆− Sdadtransitivi

dadtransitivi−

βα ≤S βα ≤S

β

∈

3 Existe un teorema que dice que para cualquier par de ordinales α se tiene que , y lo que es mas, solo una de estas posibilidades se verifica. La demostración

de este teorema es algo extensa, por lo que se omite en esta presentación.

β,αββαβα =∈ óó

42

4 Podemos definir el buen orden como que todo subconjunto no vacío del conjunto objetivo tiene elemento menor, que es lo que busca la demostración.


x). Supongamos . Entonces como α

Pero entonces α ∈ . Análogamente , lo cual es imposible con la hipótesis

propuesta, por lo que concluimos que α = .

βαβα = ySS

β

≠ βαβα SSS ∈=∈ , .

αβ ∈

β

xi). si y solo si si y solo si , por ix). y iv).

respectivamente.

βα < βα ≤S βα SS <

∴

De esta manera concluimos nuestra presentación de los números ordinales. La aritmética, lo

mismo que los problemas relacionados con la jerarquía acumulativa de los conjuntos son

aspectos muy importantes de la teoría de conjuntos, pero no lo suficientemente pertinentes

para la introducción a la teoría PCF.

2.3. AXIOMA DE ELECCIÓN

DEFINICIÓN 2.3.1. La función es una función de elección sobre x si Vxf →:

( ) ( )( )yyfyxy ∈→∅≠∈∀ .

AXIOMA 2.3.1. AXIOMA DE ELECCIÓN. Para cada conjunto x, existe una función de

elección sobre x.

Observemos que si definimos el axioma de elección como: “Si A es un conjunto de

conjuntos no vacíos, entonces existe una función F cuyo dominio es A y tal que para todo

”, podemos tener que ., xFxAx ∈∈

xFxxAAF∈

→a

U:

43


La existencia de una función de elección implica elegir simultáneamente un elemento de

cada conjunto que pertenece a A. Esto no representa ningún problema si A es finito, sin

embargo si A es infinito, no es en absoluto intuitivo que se pueda hacer. Nótese también

que el axioma no da ninguna idea de cómo se puede construir la función.

Este axioma es equivalente con el teorema del buen orden, según el cual, todo conjunto

puede ser bien ordenado.

44


45


CAPITULO 3. LOS NÚMEROS CARDINALES

3.1 NÚMEROS CARDINALES

Uno de los problemas centrales de la teoría de conjuntos, es el de la cardinalidad de un

conjunto, o lo que es equivalente, del numero de elementos del mismo. En este capitulo

clarificaremos los conceptos fundamentales relacionados con este, y debemos notar que

muchos de ellos dependen del axioma de elección. Por esto, en este capitulo se mostrara la

relevancia de la ordinalidad y del axioma de elección, lo mismo que la pertinencia o no de

los conceptos presentados y los que no lo fueron.

DEFINICIÓN 3.1.1.

i). Reescribiendo la definición 1.3.3., podemos decir que, dos conjunto A y B son

equipotentes si y solo si existe una biyección entre A y B. en tal caso escribiremos

. BA ≈

ii). Un ordinal α es un cardinal si y solo si no es equipotente con ninguno de sus

elementos.

46


Si α es un cardinal escribimos Car . En general usaremos letras góticas minúsculas m, n,

p, ..., para designar números cardinales.

( )α

Por otro lado, la definición de Frege-Russell de números cardinales es bella en su

simplicidad. El numero cardinal A del conjunto A es la clase de todos los conjuntos

equipotentes con A, esto es

{ }ABBA ≈= : .

Cantor uso la doble barra para indicar dos niveles de abstracción. La primera barra significa

que se abstrae de la naturaleza particular de los elementos del conjunto; la segunda barra,

que se abstrae de su orden. Podemos, como ejemplo, definir los cardinales finitos cero, uno

y dos.

{ },00 =f

o sea que es el conjunto de todos los conjuntos que no tienen elementos; f0

( )( ){ }yxAyyAxxAf =→∈∀∧∈∃= :1 ,

esto es, 1 es el conjunto de todos los conjuntos unitarios; una definición equivalente,

usando la relación de equipotencia, es:

f

{ }{ }0:1 ≈= AAf .

Procedemos en forma similar para definir:

{ }{ }{ }0,0:2 ≈= AAf

El problema surge cuando, asumiendo esta definición, tratamos de encontrar clases de

equivalencia para conjuntos infinitos. Como no se pueden encontrar tales clases apropiadas,

47


el camino sugerido es suponer el axioma de elección y escoger un representante de cada

una de las “clases de equivalencia”, a saber, el menor ordinal perteneciente a ella.

Procedemos así.

TEOREMA 3.1.1. Si m , entonces m y n no son equipotentes. n≠

DEMOSTRACIÓN. Como m y n son ordinales distintos, entonces , luego m y

n no son equipotentes por definición 3.1.1. ii).

mnnm ∈∈ ó

∴

TEOREMA 3.1.2. Para todo conjunto A existe un único cardinal n tal que A y n son

equipotentes.

DEMOSTRACIÓN. Por el principio de enumeración existe un cardinal α tal que A es

equipotente con α . Sea:

{ }BAS ≈∈= :αβIm

o sea, m es el menor elemento del conjunto no vacío { . Es claro entonces

que .

}BAS ≈∈ :αβ

m≈A

Por ultimo, si existiera tal que , tendríamos que , luego m no es el

menor elemento del conjunto anterior, lo cual es una contradicción. Por lo tanto m es un

cardinal.

m∈B m≈B AB ≈

Queda claro que m no depende del ordinal α usado en la definición. ∴

DEFINICIÓN 3.1.2. La cardinalidad A de un conjunto A es el único cardinal m tal que

. Decimos también que m es el cardinal de A. m≈A

48


TEOREMA 3.1.3. Si A, B son conjuntos y α es un ordinal

i). BAsisoloysiBA =≈ .

ii). AA ≈ .

iii). αα ≤ .

iv). Si α , entonces A≈ α≤A .

v). α es un cardinal si y solo si αα = .

vi). Si ω ≤ , entonces α αα =+1 .

DEMOSTRACIÓN. Los numerales del i). al v). son solo formalizaciones de definiciones y

teoremas anteriores.

vi). Si ω ≤ , entonces α . Definimos como sigue α γω += αα →+1:f

= ( )xf

≠∉∈+=

αωωα

xxsixxsixxsi

,1

0

Es claro que se trata de una biyección. ∴

El siguiente teorema es el resultado mas importante de la cardinalidad que no utiliza el

axioma de elección.

TEOREMA 3.1.4. CANTOR – SCHROEDER – BERNSTEIN. Si A y B son conjuntos tales que

existen funciones inyectivas entonces ABgyBAf →→ :: BA = .

Podemos ahora hacer una presentación breve de ciertos teoremas relacionados con el

axioma de elección, y que nos sirven de introducción a los conjuntos finitos e infinitos, lo

mismo que a la presentación del problema del continuo.

49


TEOREMA 3.1.5. Las siguientes tres condiciones son equivalentes.

i). BA ≤ .

ii). Hay una función inyectiva . BAf →:

iii). o hay una función sobreyectiva ∅=A ABg →: .

DEMOSTRACIÓN.

i). ii). Sean ⇒ BBgAAf →→ :,: biyecciones, entonces es

inyectiva.

BAfg →:o

ii). iii). Sea , inyectiva. Definimos

como sigue.

⇒ ∅≠A BAfyAa →∈ : ABg →:

( )xg = ( )

∈−

nosiaAfxsixf

,,, *1

entonces g es sobreyectiva.

iii). i). Supongamos y sea sobreyectiva. Entonces

induce una partición de B, a saber,

⇒ 0≠A ABg →:

{ }

Ag *1−

{ }Ag

1−

aa ∈− :*1

g

. Por el axioma de elección,

escogemos un sistema de representaciones para esta partición. Definimos

asignando a el representante de anteriormente elegido. Es

claro que f es inyectiva, luego,

Bf : A → A∈x { }x*

Bf * AfyA ⊆*A ≈ , luego ∴.≤= * BAfA

Todavía no hemos dado ningún ejemplo de cardinal. Los siguientes teoremas darán

solución a ello.

TEOREMA 3.1.6. Si n , entonces n es un cardinal. ω∈

DEMOSTRACIÓN. Es claro que 0 es un cardinal. Supongamos que n es un cardinal y n + 1

no lo es. Entonces existe m < n + 1 tal que m , es claro que . Sea 1+≈ n 0≠m

50


mnf →+1: una biyección. Podemos suponer que f(n)=m-1, porque si no, mediante una

permutación apropiada lo podemos lograr. Entonces 1: −→ mnnf es una biyección,

luego, por hipótesis de inducción, m – 1 = n, o sea, m = n + 1, lo que es una contradicción.

Por lo tanto n + 1 es un cardinal, lo que completa la inducción. ∴

ωω ≤

≤== mm

= .ωω

a

(a)

α

TEOREMA 3.1.7. ω es un cardinal.

DEMOSTRACIÓN. Sabemos por teorema 3.1.3. iii). que . Si ω <ω , ω =m para

algún natural m. Pero , luego ω⊆+⊆ 1mm

ωω ≤+=+ 11 mm

así, m = m + 1, lo cual es una contradicción.

Luego ∴

TEOREMA 3.1.8. CANTOR. Para todo A, PAA < .

DEMOSTRACIÓN. Es claro que PAA ≤ ya que la asignación define una función

inyectiva de A en PA. Supongamos que existe una función sobreyectiva y sea

{ }aa

PAAf →:

( ){ }xfxAxB ∉∈= : .

Como y f es sobreyectiva, existe . Entonces si , por

definición , luego . Si , entonces , o sea, , es decir,

AB ⊆

a ∉

)fBquetalAa =∈

B (afa ∉

Ba ∈

( )af Ba ∉ a ∉ Ba ∈

BasisoloysiBa ∉∈ ,

lo que es una contradicción, luego tal función sobreyectiva no puede existir y PAA ≠ .∴

COROLARIO 3.1.1. Dado un ordinal α , existe un cardinal . >m

DEMOSTRACIÓN. Basta considerar αP=m .

51


3.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS.

Estudiaremos en esta sección, apenas algunas nociones fundamentales acerca de los

conjuntos finitos e infinitos.

Definición 3.2.1. Para todo ordinal α es el menor cardinal mayor que α . +α,

Definimos la operación ℵ recursivamente para todo ordinal. (aleph)

( ).,

1

0

límiteessi λ

ω

αλα

λ

αα

ℵ=ℵ

ℵ=ℵ

=ℵ

≤

++

U

DEFINICIÓN 3.2.2.

i). Un conjunto A es finito si 0ℵ<A .

ii). A es infinito si 0ℵ≥A .

iii). A es enumerable si 0ℵ=A .

TEOREMA 3.2.1. Si A es finito y , entonces AB ⊂ AB < .

Aunque son varios los teoremas que podríamos demostrar a partir de esta definición, es

importante acercarnos a una de las definiciones mas importantes de infinito: se puede

definir conjunto infinito como un conjunto que es equipotente con uno de sus subconjuntos

propios. Un conjunto que satisface esta propiedad se dice Dedekind-infinito.

52


TEOREMA 3.2.2. Un conjunto A es infinito si y solo si A es equipotente con uno de sus

subconjuntos propios.

DEMOSTRACIÓN.

).⇐ Por el teorema 3.2.1.

).⇒ Como A es infinito, ω=ℵ≥ 0A , luego, existe una función inyectiva

. Definamos A→f ω:

( ){ 0: fAAh −→ } como sigue

( )xh =

( )( )

∉

∈+−

ω

ω*

*1 ,1fxsix

fxsixff

Es claro que h es biyectiva. ∴

3.3. ARITMÉTICA CARDINAL.

Se trata ahora de definir la suma, producto y exponenciación cardinales, para acercarnos

finalmente al problema del continuo y los aspectos centrales de la teoría PCF.

El interés didáctico de esta presentación no cubre la extensión y complejidad de las

demostraciones acerca de la aritmética cardinal, por lo que haremos una presentación de los

teoremas centrales de la misma, para llegar al problema de la exponenciación cardinal mas

rápidamente.

LEMA 3.3.1. Si , entonces . ∅=∩∅=∩≈≈ ´´,´,´, yxyxyyxx ´´ yxyx ∪≈∪

53


DEFINICIÓN 3.3.1. CANTOR (1887). La suma de los cardinales a y b se define por

a + b = c ( )cba =∪∧∅=∩∧=∧=∃∃ yxyxyxyx↔ .

Nota La suma de cardinales está bien definida.

PROPOSICIÓN 3.3.1.

1. La suma de cardinales es asociativa y conmutativa.

2. a + 0 = 0 + a = a.

3. b . ( )cbaca +=∃↔≤

4. a . b´a´bab´ba´ +≤+→≤∧≤

PROPOSICIÓN 3.3.2.

1. ∀ . ( )00 ℵ=+ℵ∈ nn ω

2. a . ana =+→ℵ≥ 0

3. ℵ . αα ℵ=+ n

4. a aa ≤ℵ↔=+ 01 .

LEMA 3.3.2. Si , entonces ´´ yyexx ≈≈ ´.´** yxyx ≈

DEFINICIÓN 3.3.2. CANTOR (1887). El producto de los cardinales a y b se define por

a b = c ( )cy*xbya =∧=∧=∃∃↔ xyx

Nota. El producto de cardianles está bien definido.

PROPOSICIÓN 3.3.3.

1. El producto de cardinales es asociativo y conmutativo.

2. a0 = 0a =0.

3. a1=a.

54


4. Distributiva: a ( b + c ) = ab + ac.

5. a . ´´´´ baabbba ≤→≤∧≤

LEMA 3.3.3. Si , entonces . ´´ yyexx ≈≈ ´´yy xx ≈

DEFINICIÓN 3.3.3. CANTOR (1895). La exponenciación de los cardinales a y b se define por

( )cxbyaxyxca yb =∧=∧=∃∃↔=

Nota. La exponenciación cardinal está bien definida.

PROPOSICIÓN 3.3.4.

1. ( ) . bccb aa =

2. ( ) . ccc baab =

3. a . cbcb aa=+

4. 0 . 000.10 =≠= aentoncesaSi

5. a . 111 =∧= aa

6. a . db cadbc ≤→≤∧≤

3.4. ARITMÉTICA CARDINAL INFINITA

DEFINICIÓN 3.4.1. La relación R definida sobre la clase Ord x Ord por:

( ) ( ) ↔´´,, βαβα R( ) ( )( ) ( )( ) ( )

<∧=∧=<∧=

<

´´´´,max,max´´´,max,max

´´,max,max

ββααβαβαααβαβα

βαβαó

ó

se llama el orden canónico de Ord x Ord.

55


PROPOSICIÓN 3.4.1.

1. ℵ . ααα ℵ=ℵ

2. ( )βαβα ℵℵ=ℵ ,maxℵ .

3. ( )βαβα ℵℵ=ℵ+ ,maxℵ .

COROLARIO 3.4.1.

1. αα ℵ=ℵ≠ nentoncesnSi ,0 .

2. ℵ . baab ≤ℵ∨≤ℵ→≤ ααα

PROPOSICIÓN 3.4.2.

1. . ααβαβ ℵℵ =ℵ→≤ 2

2. 2 . αα ℵℵ =→≤ 2nn

3. n αα ℵ=ℵ→> n0 .

56


57


CAPITULO 4. EL PROBLEMA DE LOS CARDINALES SINGULARES

4.1. LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO

En la matemática son muy conocidos dos tipos de conjuntos de infinitos: aquellos que

podemos equiparar a la cantidad de números naturales , también denominados

enumerables, y aquellos que son equiparados a la cantidad de números reales ℜ , o a la

cantidad de puntos de la recta real, lo que significa que tienen cardinalidad (clase que

representan, o cantidad que contienen) c

Ν

.

De esta manera, Cantor a través de su mayor aporte a la teoría de conjuntos (TC en

adelante), la función biyectiva que establece si dos conjuntos tienen la misma cantidad de

elementos o si no, y en caso tal si son mas o menos, estableció que el cardinal de es

estrictamente mayor que el de N, e incluso igual al de P(N), pero genero una pregunta

fundamental: ¿Qué tan estrictamente mayor es c de ℵ (forma estándar de denominar el

cardinal de los números naturales y que además se lee como “aleph sub cero”)? Existe un

conjunto de cardinales que sean mayores que ℵ y menores que c, o acaso c es el sucesor

estricto de ℵ ?

ℜ

0

0

0

58


Cantor de esta manera planteo la HC como la hipótesis según la cual, el sucesor estricto de

es c, y por sucesor estricto entendemos nosotros aquel sucesor que no admite la

existencia de ningún otro sucesor anterior a él.

ℵ0

Dentro de la matemática, este problema fue históricamente presentado por Hilbert hacia el

año 1900, como uno de los problemas fundamentales que esta ciencia debería resolver

durante el siglo que para él se avecinaba.

A respecto apunta José Alfredo Amor: “El hecho de que fracasaran todos los intentos por

resolver el problema no fue accidental; los trabajos de Kurt Gödel (1939) y P.J. Cohen

(1963) al respecto, mostraron que la afirmación de que no hay un conjunto cardinal

intermedio no contradice a la teoría de conjuntos, es decir, es consistente con ella, pero

tampoco se puede deducir de ella; es decir, su negación también es consistente con ella. Si

dicho enunciado no contradice a la teoría de conjuntos, entonces su negación no se deduce

de la teoría por lo que ninguna de las dos afirmaciones de que si haya o de que no haya un

conjunto cardinal intermedio, se deduce de la Teoría de Conjuntos TC, es decir son

indecidibles de la TC”

Para Gödel, la TC estándar, es decir, aquella que funciona bajo los axiomas de Zermelo

Fraenkel unidos al axioma de elección (Choise Axiom) ZFC, representa de modo

incompleto la realidad matemática, de lo que se deduce que añadiendo nuevos axiomas será

posible resolver el problema del continuo.

Cuando pensamos en la formulación de la HC por parte de Cantor debemos tener en cuenta

que ella se formula antes que su presentación cumbre de números transfinitos. Es decir,

hasta el momento especifico de la formulación de la HC, los únicos cardinales infinitos con

los que trabajaba el autor eran ℵ y c, por lo que es natural que su hipótesis plantee que el

siguiente cardinal infinito a ℵ sea c.

0

0

59


Pero en la formulación de los números transfinitos, en la que podemos tener una

construcción de la forma:

,...,,,3210 ℵℵℵℵ

En la que Ν=0ℵ , es el cardinal de la primera clase numérica, la de los números finitos.

El siguiente cardinal es ℵ , que es el cardinal de la segunda clase numérica, la de los

enumerables. Luego, ℵ es el cardinal de la tercera clase numérica, la de los cardinales

.

1

2

ℵ1

En esta construcción, podemos hacer nuestros primeros acercamientos a la aritmética

cardinal:

Sabemos que ℜℜ decardinalel, cumple que 0ℵ>ℜ , por lo tanto se cumpla también que

1ℵ≥ℜ . Además, la aritmética cardinal nos dice que:

.210.......

.10.......

.......

.........2......1.

111111

00000

3232

1

0

10

2

0

000000000

ℵℵℵℵℵℵℵ

ℵℵℵℵℵℵℵℵℵℵℵℵ

ℵ=ℵ=ℵ==ℵ==ℵ=ℵ<

ℵ=ℵ==ℵ==ℵ=ℵ=<

<===

==⋅==⋅==⋅=+==+==+=

nn

C

cB

nnAn

Pero paradójicamente no podemos concluir, a partir de A. B. y C. Que . 12 0 ℵ=ℵ

Así, cuando pensamos en las posibles vías de explicación de esta situación tenemos que

encontrarnos con dos conceptos claves.

60


Primero, que existe un conjunto de números infinitos, el que se denomina transfinito, y y

que de él debe poder construirse un sistema numérico. Los números transfinitos se

definirán, como se explicara mas adelante, como el conjunto de las cardinalidades infinitas,

es decir, aquellas que no son equiparables con ningún entero positivo.

Segundo, que la aritmética cardinal es trivial en las operaciones finitas de suma y

multiplicación, pero en el caso de la exponenciación cardinal lo mismo que problemas de

definición, se presentan posibles vías de solución a la hipótesis del continuo.

La explicación de tales conceptos a la luz de una teoría especifica, la teoría de posibles

cofinalidades o PCF, es la intención del presente capitulo.

4.2. CARDINALES REGULARES Y SINGULARES

4.2.1.Cofinalidad

DEFINICIÓN. 4.2.1.1. Diremos que α⊆x

1. Está acotado en α si ∃ . ( )βαβ <∈∀< yxy

2. Es cofinal en α si . ( )yxy ≤∈∀<∃ βαβ

DEFINICIÓN. 4.2.1.2.

1. Diremos que β →:f es cofinal, si rang(f) es cofinal en α . α

2. La cofinalidad de ( ) { }cofinalffcfes αββα ∃= ::infα → .

LEMA. 4.2.1.1. Si entonces existe una función tal que αβ concofinales αβ →:f

61


( ) αγβγ

=≤

fU

DEFINICIÓN. 4.2.1.3. Un cardinal infinito se dice regular y es igual a su cofinalidad, en

caso contrario, diremos que el cardinal es singular.

Presentemos algunos ejemplos:

1. ω es regular.

2. . ( ) 0,sin ℵ=ℵℵ ωω cfqueyagulares

3. Mas generalmente, αℵ es singular si y solo si α es limite.

DEFINICIÓN. 4.2.1.4. Un cardinal k es limite si y solo si no es sucesor. k es limite fuerte si y

solo si para todo α . kk << α2,

Estas nociones no sirven para plantear el problema central. Los cardinales singulares son un

problema que la matemática trata de resolver desde sus dos ramas mas abstractas, la lógica

y la teoría de conjuntos, en la medida en que cardinales como el del segundo ejemplo

presentado arriba comienzan a ser “interesantes en la teoría de conjuntos. Esto en razón a

que la hipótesis del continuo los pone de relieve. Si observamos nuestras definiciones, nos

damos cuenta que todo sucesor es regular, por lo que posterior a aleph sub-cero las

operaciones básicas ya expuestas son de alguna manera triviales, hasta que nos

encontramos con un limite, como omega, que por su carácter enumerable nos permite salir

del “circulo” de los regulares.

Los cardinales regulares se limitan solo por el teorema de Easton, como sigue.

TEOREMA. 4.2.1.1. EASTON (1964). Dada F definida de Reg (clase de los regulares) en

Card (clase de los cardinales) tal que

62


a). . ( )( )kkcfFk ≥∀

b). ( )∀ ( ) ( )γγγ FkFkk ≤→≤, .

Existe una noción de forcing P tal que

( )( )kFk kp =∀− 21

Se conoce como forcing al proceso mediante el cual Cohen demostró la consistencia de la

teoría de conjuntos de Zermelo Fraenkel sin Axioma de Elección y de ZFC sin la Hipótesis

del Continuo. Lo esencial de este teorema es que establece los limites del comportamiento

de los cardinales regulares.

Pero si la hipótesis del continuo plantea un problema para los limites, es en los cardinales

singulares donde podremos empezar a construir su solución. Los cardinales singulares son

la base de la Teoría PCF que planteo el contraejemplo expuesto en la introducción. .

Esperamos que con esta somera y superficial introducción e lector, tanto especializado

como principiante, se interese por la Hipótesis del Continuo, las pruebas de independencia,

la aritmética cardinal, y en general por la teoría de conjuntos, cuyo nivel de abstracción, si

bien puede alejarse un poco de la realidad, si propone formas de pensamiento y de

raciocinio que componen el pensamiento matemático mas puro tanto en la historia de la

matemática como su contemporaneidad.

63


64


CAPITULO 5. CONCLUSIONES

5.1. CONCLUSIONES

Al finalizar esta presentación es necesario presentar algunos puntos importantes, que el

autor en su realización considera de vital importancia al introducirse al estudio de la teoría

PCF:

• Es absolutamente necesario un estudio pormenorizado de la teoría de conjuntos

clásica, de la teoría axiomática de conjuntos y de la teoría combinatoria de

conjuntos. Esto en razón a que conceptos tales como cardinales regulares y

singulares, como se ha demostrado en esta presentación, requieren para su

comprensión un recorrido por la teoría clásica. Las teorías contemporáneas y

alternativas solo son el resultado de los éxitos y fracasos del recorrido

conceptual anterior a ellos.

• Uno de los elementos centrales que debemos tener en cuenta es que teorías

como la que se trato de introducir en este trabajo, se construyen de una manera

particular. Heredera del método de demostración conocido como forcing, que

consiste en tomar una teoría axiomática y “obligarla” a producir cierto tipo de

proposiciones y teoremas, es decir, forzarla a construir resultados específicos

(no deducibles directamente), la teoría PCF no es ajena a esta realidad. A partir

65


de construcciones conceptuales como las pruebas de independencia de la

hipótesis del continuo respecto de la teoría de conjuntos clásica, teorías como la

nuestra construyen sus productos realizando también suposiciones como pueden

ser la hipótesis de cardinales singulares (Singular Cardinal Hipothesis): ( ) ( )( )kcfkcf kkingularkSCH 2: +=∀ +s

sobre la que la teoría PCF edifica su trabajo relacionado con ultrapotencias de

cardinales regulares. La conclusión entonces es precisamente que el trabajo que

se realiza en la exponenciación cardinal tiene mucho que ver con ideas que se

plantean como útiles para el trabajo, pero que no pueden en si mismas ser

comprobadas; la característica que define el trabajo con los cardinales infinitos

es precisamente su nivel de abstracción, que determina la imposibilidad de

“ver”, de tener referentes concretos acerca de sus objetos. Por esto, es casi

normal y lógico que la exponenciación cardinal infinita trabaje bajo supuestos,

pues aunque matemáticamente se haya comprobado su existencia, nadie podría

decir que conoce el infinito.

5.2. RECOMENDACIONES

El trabajo propuesto en esta presentación tenia un objetivo fundamental: servir de

herramienta didáctica y divulgativa acerca de la teoría PCF, pero mas específicamente

acerca de la Hipótesis del Continuo y de los retos que ésta le representa a la matemática. La

introducción de una teoría no puede ser otra cosa que la presentación de sus problemas

fundamentales, su objeto de estudio y los principales conceptos que hacen que estos dos

primeros elementos sean comprensibles. Esperamos haber logrado en alguna medida este

objetivo.

66


Pero el verdadero avance que es necesario hacer, tiene que ver con comprender qué hace

falta, qué es necesario para completar el acercamiento propuesto. En ese camino, lo que

presentaremos ahora es una lista de recomendaciones conceptuales que deberán guiar un

estudio mas profundo de la teoría PCF y el teorema de Shelah:

• El primer tema central que debe ser asumido en la comprensión de la teoría

PCF, es el de la exponenciación cardinal, para lo que recomendamos

especialmente el estudio de la teoría combinatoria de conjuntos: [DiP, 91],

[Erd, 84].

• El siguiente paso tiene que ver con la comprensión del problema de los

cardinales singulares, para lo que es necesario un estudio pormenorizado de el

método de demostración conocido como forcing, para lo que se recomienda el

estudio de las demostraciones de Cohen acerca de la independencia de la

Hipótesis de Continuo: [Coh, 63], [Coh, 64], [God, 40], [Am, 99], [Eas, 70],

[She, 82], [Sol, 70].

• Posteriormente, seria necesario el manejo de los métodos de construcción de la

teoría PCF, que tienen que ver con conceptos tanto del algebra abstracta como

con la topología. Se recomienda en estudio de conceptos tales como filtros y

ultrafiltros, ideales, rangos ideales y finalmente ultrapotencias: [DiP, 91], [Cai,

96].

• Estas recomendaciones son apenas unas cotas o limites que definen una

comprensión del alcance de la teoría PCF. Los demás temas relacionados serán

evidentes durante el estudio propuesto en los puntos anteriores.

67


68


REFERENCIAS

[Am, 99] AMOR MONTAÑO, José Alfredo, El problema del continuo y las

pruebas de independencia, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias UNAM, (1999).

[Cai, 96] CAICEDO, Andrés, El problema de los cardinales singulares, Tesis de Grado, Universidad de los Andes, (1996)

[Can, 1895] CANTOR, Georg, Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers, Dover Publications INC., New York. (1895)

[Coh, 63] COHEN, P, The independence of the Continuum Hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci., 50, (1963)

[Coh, 64] COHEN, P, The independence of the Continuum Hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci., 51, (1964)

[DiP, 91] DI PRISCO, Carlos A, Desarrollos recientes en la Teoría de Particiones, Boletín dela Asociación Matemática Venezolana, Vol. VI, No. 1, (1991)

[Eas, 70] EASTON, W, Powers of Regular Cardinals, Annals of Mathematical Logic, 1, (1970)

[Erd, 84] ERDÖS, P; HAJNAL, A; MÁTÉ, A; RADO, R, Combinatorial set theory: Partition relations for cardinals, Studies in Logic and the foundation of Mathematics, vol. 106, North – Holland, (1984)

[Git, 89] GITIK, Moti, The Negation of SCH from , Annals of Pure and Applied Logic, No. 43, (1989)

( ) ++= kko

[God, 40] GÖDEL, K, The consistence of the Axiom of Choice and the

Generalized Continuum Hypothesis, Princeton, (1940)

69


[Jech, 90] JECH, Thomas, Singular Cardinal Problem: Shelah´s Theorem on

, (1990) 2ℵω

[Kan, 94] KANAMORI, Akihiro, The Higher Infinite, New York, Sringer,

(1994)

[Kan, 96] KANAMORI, Akihiro, The mathematical development of set theory from Cantor to Cohen, The Bulletin of Symbolic Logic, Volume 2, Number 1, March, (1996)

[Koj, 95] KOJMAN, Menachem, The A, B, C of PCF: A Companion to a PCF Theory, Part I, Noviembre. (1995)

[She, 82] SHELAH, S, Proper Forcing, Lecture Notes in Mathematics, vol. 940, Springer – Verlag, Berlin, (1982)

[Sol, 70] SOLOVAY, R, A model of set theory in which every set of reals is Lebesque measurable, Annals of Mathematics, 92, (1970)

[Tak, 71] TAKEUTI, G; ZARING, W. M., Introduction to Axiomatic Set Theory, Springer - Verlag. (1971)

[Vill, 97] VILLAVECES, Andrés, ωℵ de aleph a omega, Boletín de Matemáticas, Nueva Serie, Volumen IV, (1997), pp. 19-29.

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