INTRODUCCIN ALAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS GENNY ALEXANDRA NAVARRETE MOLANO Trabajo de grado para optar por el titulo deMatemtico DIRECTOR: JOS JOAQUN VALDERRAMAMatemtico Universidad Nacional de Colombia Docente Facultad de Matemticas FUNDACIN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZBogot, Diciembre 2003 2Resumen Sepresentaunaintroduccinalasecuacionesendiferencias.Primerose enuncian los conceptos de sucesin y series necesarios para el desarrollo del tema.Posteriormenteseexplicanlasecuacionesendiferenciasdeprimer orden siguiendo con las ecuaciones en diferencias de orden dos y orden N, a continuacinsemuestraunconceptobsicodesistemasdeecuaciones linealesendiferencias,yporultimounparaleloentreecuacionesen diferencias y ecuaciones diferenciales. Abstract Introduction to the Difference Equations:Anintroductiontothedifferencesequationsappears.First,necessary successionandseriesconceptsareenunciatedforthedevelopmentofthe topic.Laterfirstorderdifferencesequationsareexplainedandfollowthe second order and N-order differences equations, next a basic notion of linear systemsindifferencesequationsisshown;finally,abriefcomparison between difference equations and differential equations is presented. 3Introduccin4 Resea histrica............................................................................................ 5 1.ECUACIONES EN DIFERENCIAS.................................................. 8 1.1 Sucesiones Aritmticas y Geomtricas............................................. 8 1.2 Ecuaciones en Diferencias ................................................................. 8 1.2.1 Ecuaciones en Diferencias lineales de primer orden con coeficientes constantes. ...................................................................... 10 1.2.2 Ecuaciones en diferencias y razones comunes no constantes 14 1.3 Mtodos de solucin por Diferencias y Sumas .............................. 15 1.3.1 Diferencias ................................................................................. 15 1.3.2 Diferencias de polinomios......................................................... 15 1.3.3 Sumas ......................................................................................... 17 1.3.4 Algunas propiedades de los operadores ............................. 18 1.3.5 Aplicacin de la sumatoria. ...................................................... 19 1.3.6 Diferencias de segundo orden y orden N. ............................... 20 2. ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINELAES DE ORDEN SUPERIOR................................................................................................. 23 2.1 Ecuaciones en diferencias lineales .................................................. 23 2.1.1 Soluciones generales de Ecuaciones en Diferencias lineales homogneas de segundo orden con coeficientes constantes ........... 25 2.1.2 Soluciones particulares de ecuaciones en diferencias lineales de segundo orden con coeficientes constantes ................................. 27 2.1.3 Ecuaciones en diferencias lineales de tercer orden o superior.............................................................................................................. 27 2.2 Sistemas lineales de ecuaciones en diferencias .............................. 28 2.2.1 Sistemas de ecuaciones lineales homogneos .......................... 29 2.2.2 Sistemas no homogneos........................................................... 31 3.ECUACIONES EN DIFERENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES..................................................................................... 32 3.1 Analogas entre elclculo de diferencias y el clculo diferencial32 3.2 La ecuacin en diferencias como aproximacin a la ecuacin diferencial. .............................................................................................. 33 3.3 Un modelo probabilstico sobre el aprendizaje ............................. 36 4. Conclusiones ........................................................................................... 41 Bibliografa: ................................................................................................ 42 4Introduccin Lasecuacionesendiferenciasydiferencialesordinariassonherramientas verstilesdeanlisis.Sonunaexcelenterepresentacindeungrannmero desituacionesdinmicasysuteoraasociadaessuficientementericapara suministrar elementos para su comprensin. Mltiplesproblemasdesignificativaimportanciaendiversoscamposdel saberhumano,requierenparasuestudiodelaelaboracindeunmodelo matemticoquelosrepresente.Estosmodelosestnconstituidos principalmenteporEcuacionesDiferencialesyEcuacionesenDiferencias. Esto se evidencia por el hecho que dentro de las matemticas aplicadas, las Ecuaciones Diferenciales juegan un papel muy importanteen las disciplinas cientficas.Ensusiniciosapareceenproblemasmecnicosygeomtricos, posteriormentesu campo de aplicacin se va extendiendoa todas las ramas delafsicayenlosltimosaosescomnencontrarlasaplicadasa disciplinastandiversascomolabiologa,laeconoma,laingeniera,la sociologa y la fisiologa, entre otras. De ms reciente aparicin son las Ecuaciones en Diferencias, las cuales han adquiridounaimportanciarelevanteconelcrecienteestudioysimulacin desistemasdiscretosenlasdiferentesdisciplinasquemodelanyestudian sistemasdiscretoscomolaingenieraylaeconoma,dadoqueestetipode modelamiento es ms ajustado a la realidad. PorotraparteesunareaimportanteenotrascarrerascomoIngenierasy Economa, lo cual nos permite ver que tiene un extenso campo terico como practico,elementalenelperfeccionamientodedichascarreras,conlocual podemosobservarqueesdegraninterselestudiodelasEcuacionesen Diferencias, ya que seria de gran apoyo a estasel poder encontrar artculos bsicamente enfocados a las Ecuaciones en Diferencias 5Resea histrica Desde hacepor lo menos3.500 aos,se resuelvenproblemasquedan lugara ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han descifrado tales problemasylaformaderesolverlos.Algunasdelasantiguastablillascontienen problemas de tipo algebraico y geomtrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la geometra. Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la solucin de la ecuacin: x2-x = 870.Tmesela mitad de 1, que es el coeficiente de x, y cudrese. Entonces, smese 1/4a870, paraobtener3.481/4.Ahora,tmeselarazcuadrada de 3.481/4 para obtener 59/2. Al nmero obtenido, smese la mitad de 1que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solucin de la ecuacin" Duranteeldesarrollodelahistoriaencontramosunaprimerafase,que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracteriz por la invencin gradual de smbolos y la resolucin de ecuaciones. Dentro de esta faseencontramosunlgebradesarrolladaporlosgriegos(300a.deC.), llamadalgebrageomtrica,ricaenmtodosgeomtricospararesolver ecuaciones algebraicas. LaintroduccindelanotacinsimblicaasociadaaVite(1540-1603), marcaeliniciodeunanuevaetapaenlacualDescartes(1596-1650) contribuyedeformaimportantealdesarrollodedichanotacin.Eneste momento, el lgebra se convierte en la ciencia de los clculos simblicos y delasecuaciones.Posteriormente,Euler(1707-1783)ladefinecomola teoradelos"clculosconcantidadesdedistintasclases"(clculoscon nmerosracionalesenteros,fraccionesordinarias,racescuadradasy cbicas,progresionesytodotipodeecuaciones).Parallegaralactual proceso de resolucin de la ecuacin ax + b = c han pasado ms de 3.000 aos.Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. deC-yeldeMosc-1.850a,deC.-)multituddeproblemasmatemticos resueltos.Lamayoradeellossondetipoaritmticoyrespondana situacionesconcretasdelavidadiaria;sinembargo,encontramosalgunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningn objeto concreto. En stos, de una forma retrica, obtenan una solucin realizando operaciones con los datos de forma anloga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. 6 Las ecuaciones ms utilizadas por los egipcios eran de la forma:x + ax = bx + ax + bx = 0 dondea,bycerannmerosconocidosy x laincgnitaqueellos denominabanahaomontn,pormontneranconocidoslosnmeros enteros. Una ecuacin lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente: "Un montn y un sptimo del mismo es igual a 24". En notacin moderna, la ecuacin sera:x + 1 / 7 x = 24Lasolucinlaobtenanporunmtodoquehoyconocemosconelnombre de "mtodo de la falsa posicin" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concretoparalaincgnita,probamosconlysiseverificalaigualdadya tenemoslasolucin,sino,medianteclculosobtendremoslasolucin exacta. Generalmente,elclculodelasolucincorrectanoeratanfcilcomoen estecasoeimplicabanumerosasoperacionesconfraccionesunitariascuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en direccin de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente. Losbabilonios(elmayornmerodedocumentoscorrespondealperiodo 600a.deC.a300d.deC.)casinoleprestaronatencinalasecuaciones lineales,quizsporconsiderarlasdemasiadoelementales,ytrabajaronms los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado. Los primeros documentos matemticos que existen (datan del siglo III d. de C.)sonlosSulvastras,dondeserecogentodoslosconocimientos necesarios para construir los templos.Lossistemasdeecuacioneslinealesfueronyaresueltosporlosbabilonios, loscualesllamabanalasincgnitasconpalabrastalescomolongitud, anchura,rea,ovolumen,sinquetuvieranrelacinconproblemasde medida.7Unejemplotomadodeunatablillababilnicaplantealaresolucindeun sistema de ecuaciones en los siguientes trminos:1/4anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solucin poda ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un mtodo parecido al de eliminacin. En nuestra notacin, sera: y + 4x = 28 y + x = 10 restandolasegundadelaprimera,seobtiene3x=18,esdecir,x=6ey = 4 .Tambinresolvansistemasdeecuaciones,dondealgunadeellasera cuadrtica. Losgriegostambinresolvanalgunossistemasdeecuaciones,pero uti1izandomtodosgeomtricos.Thymaridas(400a.deC.)haba encontradounafrmulapararesolverundeterminadosistemade necuaciones con n incgnitas.Diophanteresuelvetambinproblemasenlosqueaparecansistemasde ecuaciones,perotransformndolosenunaecuacinlineal.Diophanteslo aceptabalassolucionespositivas,puesloquebuscabaeraresolver problemasynoecuaciones.Utilizyaunlgebrasincopadacomohemos sealadoanteriormente.Sinembargo,unasdelasdificultadesque encontramos en la resolucin de ecuaciones por Diophante es que carece de unmtodogeneralyutilizaencadaproblemamtodosaveces excesivamente ingeniosos. Lasecuacionesendiferenciasydiferencialesordinariassonherramientas verstilesdeanlisis.Sonunaexcelenterepresentacindeungrannmero desituacionesdinmicasysuteoraasociadaessuficientementericapara suministrar elementos para su comprensin. 81.ECUACIONES EN DIFERENCIAS 1.1 Sucesiones Aritmticas y Geomtricas Definicin 1.1: Una funcin) (n Uque esta definida en el dominio de todos losenterosnonegativossellamasucesinysedenotapor{ } ) (n U .Yla infinidad de valores de... , 2 , 1 , 0 , ) ( = n n Use ordenan en la forma),... 2 ( ), 1 ( ), 0 ( U U U . Cadaunodelosvaloresqueformanlasucesinsellamatrminodela sucesin.Dadoquelavariablennoessinounnmeroquerepresentael orden de los trminos, se puede decir que una sucesin es un acomodo lineal de una infinidad de nmeros ordenados por cierta regla. Las sucesiones ms comunes son las aritmticas y las geomtricas. Definicin 1.2: Una sucesin aritmtica esta compuesta de trminos que se obtienensumandosucesivamenteunaconstantealprimertermino.La constante se llama diferencia comn. Definicin1.3:Unasucesingeomtricaconstadetrminosquese obtienenmultiplicandoelprimertrminosucesivamenteporunaconstante que se llama razn comn. Porconsecuencia,paraevitarcasosexcepcionales,sepermitequeuna diferenciacomnseacero,perosesuponequetodarazncomnes diferente de cero. 1.2 Ecuaciones en Diferencias Definicin1.4:Sean) ( ) ( ), (2 1n B y n A n A funcionesconocidasquenuncase hacen cero en cierto dominio de la variable n. entonces ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) (2 1n B n U n A n U n A = + + ,se llama ecuacin en diferencias de primer orden lineal de) (n U . Definicin1.5:UnasolucindeunaEcuacinenDiferenciasesuna funcinquesatisfacelaecuacin,esunafuncinquesatisfaceuna ecuacin dada para cualquier valor de la variable perteneciente a un dominio en el que esta definida la funcin. Sehacenotarquedadaunaecuacinendiferencias,unasolucindefinida enestaformanonecesariamenteesnica.Elhechoqueunasolucin contenga una constante arbitraria significa que hay una cantidad infinita de 9soluciones. Aunque este hecho parece extrao, en un problema prctico hay algunascondicionesadicionalesquedebensatisfacersejuntoconlas Ecuaciones en Diferencias y as resulta que mediante dichas condiciones, se selecciona una sola solucin de entre una infinitada de ellas.

Definicin 1.6.: Una ecuacin que define el valor de una funcin en el valor inicialdelavariablesellamacondicininicialdelaEcuacinen Diferencias de primer orden. El valor de una funcin definido por medio de una condicin inicial se llama valor inicial. Definicin1.7:SiunasolucindelaEcuacinenDiferenciasdada (condicionesdeunicidad)contieneconstantesarbitrariasysatisface condicionesinicialesajustandoapropiadamentedichasconstantes,sellama solucingeneraldelaEcuacinenDiferencias.Siseasignanvalores particulares a las constantes arbitrarias de una solucin general, la solucin obtenida se llama solucin particular. PorlocualenlasEcuacionesenDiferenciasdebemostenerencuenta problemasdeexistenciayunicidaddelassolucionesbajolascondiciones iniciales dadas, en un problema prctico de progresiones geomtricas, basta con obtener una solucin que satisfaga una condicin inicial dada.Porelcontrariocuandoaunmtodoqueempiececonelvaloriniciale introduzcavaloresconocidosenlaecuacinenformarepetidapara encontrarlasolucinsucesivamente,selellamamtododeiteracino iterativo. Este tipo de mtodos se utiliza a menudo para resolver ecuaciones numricas. Si se cumplen las condiciones siguientes. i)El valor inicial U(0) es dado. ii)Dadosvaloresarbitrariosdelavariablex, ) (x U y ) 1 (+ x U es determinado deManera nica mediante la ecuacin en diferencias. Definicin 1.8: Principio de induccin matemtica. i) El valor) 0 ( Ude) (x Uen0 = x es nico. ii)Si el valor) (k Uparak x =esta determinado de manera nica, entonces el valorde) 1 (+ k U para1 + = k x tambinestadeterminadode manera nica. Deestamaneraparalasecuacionesendiferenciasquesatisfaganla condicin(ii),laexistenciayunicidaddelassolucionesbajolas 10condicionesinicialesdadasquedanprobadas,medianteprincipiode induccin matemtica. 1.2.1EcuacionesenDiferenciaslinealesdeprimerordencon coeficientes constantes. Ecuaciones tales que estn definidas en cierto dominio de una variable y que relacionenunafuncinincgnitadelavariablenconlafuncindela variable1 + n , que difiere en 1de la primera, por ejemplo) 1 ( ) ( + n U y n U , sellamanEcuacionesenDiferenciasdeprimerorden.Engeneraluna ecuacinquerelacioneunafuncinincgnita) (n U con ) ( ),.... 2 ( ), 1 ( N n U n U n U + + + sellamaEcuacinenDiferenciaoEcuacin en Diferencias finita de orden N. A menosque se diga especficamente otra cosa,sesupondrqueny) (n U varanenelconjuntodelosnmeros enteros y el de los reales, respectivamente. Ejemplo: Si tenemos la ecuacin en diferencias defina como sigue: ). 1 ( ) 1 ( ) ( = n aU n U n U y remplazando1 npor n en la ecuacin entonces tenemos, ,... 2 , 1 , 0 ), ( ) ( ) 1 ( = = + n n aU n U n U entonces tenemos una ecuacin en diferencias cona defina como una constante. Definicin1.9:Sienparticularenlaecuacinendiferenciaslinealde primerorden) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) (2 1n B n U n A n U n A = + + ,lafuncin) (n B es idnticamentecero,ya n A n A = = ) ( , 1 ) (2 1funcionesconocidasquenunca se hacen cero en cierto dominio de la variable n. Entonces 0 ) ( ) 1 ( = + n aU n U se llama ecuacin en diferencias homognea con coeficientes constantes. Teorema 1.1: Sucesin geomtrica. Seaauna constante distinta de cero, la ecuacin en diferencias ) 1 ( ,... 2 , 1 , 0 , 0 ) ( ) 1 ( = = + n n aU n Utiene como solucin la familia) 2 ( ) (nCa n U = . para cualquier valor de parmetroC .11 Demostracin: se sustituye n por1 + nen la ecuacin (2) y se tiene ). 3 ( ) 1 () 1 ( += +nCa n Ulas ecuaciones (2) y (3) implican que ) ( ) 1 () 2 ( ) 1 () ( ) 1 () 1 (n U ade o remplazand Ca aCa Ca n U n Unn n = = = ++

Porlotantolaecuacin(2)esunasolucindelaecuacin(1).Sisehace 0 = nen la ecuacin (2), C U = ) 0 ( . Eligiendo C adecuadamente, se satisface la condicin inicial. Obviamente la ecuacin (2) cumple la condicin de unicidad. Por consiguiente la ecuacin (2) es una solucin general de la de la ecuacin (1)1. Teorema 1.2: Sucesin aritmtica. Sea) 4 ( ,... 2 , 1 , 0 , ) ( ) 1 ( = = + n b n U n U tiene como solucin la familia) 5 ( , ) ( bn C n U + = Demostracin: A partir de,... 2 ) 0 ( ) 1 ( ) 2 (, ) 0 ( ) 1 (b U b U Ub U U+ = + =+ = se sustituye n por1 + nen la ecuacin (5) y se tiene ) 6 ( ). 1 ( ) 1 ( + + = + n b c n Ulas ecuaciones (5) y (6) implican que. ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( b bn C n b C n U n U = + + + = + Porlotantolaecuacin(5)esunasolucindelaecuacin(4).Sisehace 0 = n en la ecuacin (5),C U = ) 0 ( . 1Nota:Noesposibleimaginarporsunaturalezaqueunproblemade progresin geomtrica tuviera dos soluciones. Si bien se obtuvo ciertamente unasolucinnicadeunaprogresingeomtricautilizandounmtodo iterativo, se considera el procedimiento general pararesolverunaEcuacin en Diferencias mediante este mtodo. 12 Eligiendo C adecuadamente, se satisface la condicin inicial. Obviamente la ecuacin (4) cumple la condicin de unicidad. Por consiguiente la ecuacin (5) es una solucin general de la de la ecuacin (4). Definicin1.10:Sienparticularenlaecuacinendiferenciaslinealde primer orden) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) (2 1n B n U n A n U n A = + + ,se tiene que las funciones) ( ), (2 1n A n A son constantes, se le llama de coeficiente constante. Puestoquesesuponeque) (1n A nosehacecero,sepuedendividirambos miembros de la ecuacinpor) (1n A . Si se hace ) () () (12n An An A= y) () () (1n Rn An B= , entonces) ( ) ( ) ( ) 1 ( n R n U n A n U = + + ,(7)se considera la forma general de la ecuacin en diferencias de primer orden lineales. Teorema 1.3:Sea la ecuacin(7) para los0 ) ( n A . Demostracin: Si tenemosn = 0,1,2,3 entonces en (7)

. ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 3 (, ) 1 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 (, ) 0 ( ) 1 (2 3 22B A A U A B B A A U A B AU UB A U A B AU UB AU U+ + + = + + + = + =+ + = + =+ = lo cual sugiere una solucin general de la forma . ) ... 1 ( ) 0 ( ) (1 2A A A A U A n Un n + + + + + = El coeficiente de b es una sucesin geomtrica, y por lo tanto,1 ,11) 0 ( ) ( + = A si BAAU A n Unn

1 , ) 0 ( ) ( = + = A si nB U n U Si1 = A ,estaconcuerdaconlaecuacin(5),siU(0)seescribecomoC. xB C x U + = ) ( . 13Si1 A , se escribe en la forma ABABU A n Ux+)` =1 1) 0 ( ) ( . Si hacemosCABU =1) 0 ( , entonces1 ,1) ( + = AABCA n Un Encontrandoaslasolucingeneraldelaecuacin(7)conunaconstante arbitraria C. Definicin1.11:Si0 = C entonces) (n U sereducealafuncinconstante AB 1. Este se llama valor de equilibrio de) (n U y se denota por) (*n U ; ABn U=1) (*. Por consiguiente la solucin general se escribe entonces de la forma) ( ) (*n U CA n Un+ = . Ejemplo 1:5 2 ) ( 3 ) 1 ( = + n n U n U . Enestecaso,sesugiereque 2 1*) ( K n K n U + = ,comoelsegundomiembro de la ecuacin. Entonces{ } { } ) 2 ( 2 3 ) 1 ( ) ( 3 ) 1 (2 1 1 2 1 2 1* *K K n K K n K K n K n U n U + = + + + = +comparando el coeficiente de n y el termino constante de esta expresin con los correspondientes de5 2 n , se tiene 5 2 , 2 22 1 1 = + = K K K . Dedondeseobtiene2 12 1= = K y K .Porlotanto2 ) (*+ = n n U es solucin particular. Una solucin general es2 3 ) ( + = n C n Un. Ejemplo 2:nn U n U 3 ) ( 3 ) 1 ( = + . Puesto que3 = = a , se supone que nn K U 31*= . Entonces n n nK n K n K n U n U 3 3 3 3 ) 1 ( ) ( 3 ) 1 (11111* *= + = + +. Porlotanto,1 31 = K ,estoes, 311 = K y nn n U 331) (* = .Unasolucin general es nn C n U 331) ( |.|

\|+ = . 141.2.2 Ecuaciones en diferencias y razones comunes no constantes Teorema 1.4:Sea ,... 2 , 1 , 0 0 ) ( ) ( ) 1 ( = = + n n U n A n U (8) para los) (n Atales que no se hace 0 para ningn valor de n. Demostracin:Sisebuscalasolucinsucesivamenteporelmtodode iteracin, partiendo de U(0), se tiene

),.... 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 (), 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 (), 0 ( ) 0 ( ) 1 (A A A U A U UA A U A U UA U U= == == Normalmenteseadoptaelsmbolopararepresentarunproductode trminos sucesivos de una sucesin{ } ) (n A , y se define = + =im ki A i A m A m A k A ) ( ) 1 ( )... 1 ( ) ( ) ( , parai m . Entonces , ) ( ) 0 ( ) 3 (, ) ( ) 0 ( ) 2 (, ) ( ) 0 ( ) 1 (201000======kkkk A U Uk A U Uk A U U A partir de estas expresiones se infiere una solucin general de la ecuacin (8), == = =10,... 2 , 1 ), 0 ( ), ( ) (nkn U C k A C n U . Esta se generaliza en =+ + = = =1,... 2 , 1 ), ( ), ( ) (nkn U C k A C n U para una sucesin que empiece desde = n . 151.3 Mtodos de solucin por Diferencias y Sumas 1.3.1 Diferencias Definicin1.12:DadaunafuncinUyunaconstantehtalqueh n +pertenezca al dominio de dicha funcin, denominaremos primera diferencia de U a aquella funcin cuyo valor en n viene dado por) ( ) ( ) ( n U h n U n U + = ,designandoasaestafuncinporU ,ysuvalorparticularennlo simbolizaremos por) (n U . El smbolo es llamado operador diferencia y colocado antes de la funcin indicaqueestasehatrasformadoenlafuncindiferencia.Elnumeroh recibe el nombre de intervalo de diferencia. En nuestro caso1 = hentonces la ecuacin seria: ) ( ) 1 ( ) ( n U n U n U + = . 1)La primera diferencia correspondiente a la funcinn n U = ) ( es: n n n U + = ) 1 ( ) ( sea1 = n .2)LadiferenciacorrespondienteaunvalorconstanteCestadefinida por: 0 ) ( = = C C C U ,entonces 0 = C . 3)La diferencia correspondiente a una funcin na esta dada por: n n n na a a a a U ) 1 ( ) (1 = = +,por lo que se tiene quen na a a ) 1 ( = . Ejemplo 1: Si3 2 ) ( + = n n U, 2 ) 3 2 ( } 3 ) 1 ( 2 { ) ( = + + + = n n n UYa que. 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( + + = + n n UAdemsK , 9 ) 3 ( , 7 ) 2 ( , 5 ) 1 ( , 3 ) 0 ( = = = = U U U U EntoncesK , 2 7 9 ) 2 ( , 2 5 7 ) 1 ( , 2 3 5 ) 0 ( = = = = = = U U U Lagraficade3 2 + n esunarecta.Ladiferencia2sellamapendientedela recta, que es precisamente el coeficiente den . 1.3.2 Diferencias de polinomios 16Definicin1.13:Elcalculoendiferenciasdeunpolinomiosereducea calcular la diferencia de kn . Sin embargo, la diferencia no resulta expresada con una formula muy sencilla. Ejemplo 2:. 1 3 3 ) 1 (2 3 3 3+ + = + = n n n n n. 1 4 6 4 ) 1 (2 3 4 4 4+ + + = + = n n n n n n Unafuncinqueesfundamentalparacalcularladiferenciaysumade polinomio es la funcin factorial ) (kn , definida como) 1 ()! (!) 2 )( 1 () 1 (1) () 3 () 2 () 1 () 0 (k n nnn n n nn n nn nnk= = ===M Ejemplo 3: . 2 3 ) 2 )( 1 () 1 (2 3 ) 3 (2 2) 1 (n n n n n n nn n n n nn n+ = = = == Para poder calcular la diferencia de la ecuacin (1), entonces tenemos para 1 k : .))! 1 ( (!)! 1 (!)! 1 (! ) 1 ( )! 1 ()! (!)! 1 ()! 1 () 1 () 1 () ( ) ( ) (= = += + + += ++= + = kk k kknk nnkk nnkk nn k n nk n nk n nn n n Por lo tanto. ) 2 ( ) , 2 , 1 ( ,) 1 (K = = k kn nk. 17Ejemplo 4:. 3 32 ) 1 3 ( 3n n n = = . 4 43 ) 1 4 ( 4n n n = = La funcin ||.|

\|kndefinida por ,...). 2 , 1 , 0 (!) (= =||.|

\|kknknk Se llama coeficiente binomial. De la ecuacin (2) .)! 1 ( ! !) 1 ( ) 1 ( ) (= = knkknknk k kPor lo tanto .1||.|

\|=||.|

\|knkn 1.3.3 Sumas Definicin1.14:Sean) ( ) ( n u y n U dosfuncionestalque) ( ) ( n u n U = entonces) (n u sellamadiferenciade) (n U .Recprocamente,) (n U se llama una suma indefinida de) (n u . As la solucin general de) ( ) ( n u n U = , se denota por) (1n u . Entonces si) ( ) ( n u n U = tenemos que C n U n u + = ) ( ) (1(3) donde C es una constante arbitraria2. Ejemplo 5: 344nn=esto implica queCnn + = 4) 4 () 3 ( 1. Lasoperacionesparacalcularladiferenciayobtenerunasumadeciertas funcin,serepresentaescribiendolossmbolosy 1 ,respectivamente, antes de dicha funcin. En este sentido y 1 se llaman operadores. Si se suma la diferencia) (n U , se obtiene)) ( (1n U . Esta expresin se escribe en la forma) (1n U y 1se llama producto de los operadores y 1 . El producto 1 se define de manera semejante. El producto de dos operadores significa que se realizan dos operaciones sucesivas. 2 Nota: si se denota una solucin particular de la ecuacin en diferencias con lapropia) (n U ,lasolucingeneraldelaecuacinendiferenciases C n U + ) ( .Perosisepermitequelasolucinntomevaloresnoenteros, entonces C debe ser una funcin arbitraria con periodo 1. 18 Aunquetanto 1 como 1sonelproductodey 1 ,noson operadoresiguales,esdecir,norepresentanlamismaoperacin.Sise sustituye la ecuacin (3) en el primer miembro de la segunda ecuacin para eliminar) (n u , entonces resulta C n U n U + = ) ( ) (1.(4) Puestoque,pordefinicin,) (1n u esunasolucinde) ( ) ( n u n U = , entonces) ( ) (1n u n u = (5) Como) (n u esarbitrariasepuederemplazarcon) (n U .Entoncesdelas ecuaciones (4) y (5),C n U n U = ) ( ) (1 1. Por consiguiente, en general) ( ) (1 1n U n U . 1.3.4 Algunas propiedades de los operadores Teorema1.5:Leyconmutativarespectoalasconstantes.SiC esuna constante, la diferencia de la funcin) (n CUes igual al producto deCpor la diferencia de) (n U , sea: | | ) ( ) ( n U C n CU = Demostracin: | || |) () ( ) 1 () ( ) 1 ( ) (n U Cn U n U Cn CU n CU n CU = + = + = Ejemplo 6: ) 1 2 ( 5 5 ) 5 (, 3 3 ) 3 (2 2+ = = = = n n nn n Teorema 1.6: Ley distributiva. La diferencia de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus diferencias, es decir si 2 1U y U son dos funciones, se tendra: | | ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1n U n U n U n U + = + 19Demostracin: | | | | | || | | |) ( ) () ( ) 1 ( ) ( ) 1 () ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) (2 12 2 1 12 1 2 1 2 1n U n Un U n U n U n Un U n U n U n U n U n U + = + + + =+ + + + = + Colorario:Dadask funciones kU U U U K ; , ,3 2 1yk constantes arbitrarias, kC C C C K ; , ,3 2 1 se tendr | | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 21 2 1 1 1 21 2 1 1n U C n U C n U C n U C n U C n U Ck k k k + + + = + + + K K para todo valor entero positivok . 1.3.5 Aplicacin de la sumatoria. Definicin1.15:Sumadeseries.Sienlaecuacin =+ + = = =1,.... 2 , 1 ), ( ), ( ) (nkn U C k R C n U paraunasucesin que empiece desde = n , si remplazamos) (n Rcon) (n u se obtiene == 1) ( ) ( ) (nkk u U n U . Sepuedeconsiderarqueestaformuladicequelasumadelaseriedel segundomiembroestarepresentadaconlassumasde) (n u delprimer miembro,debidoaquesiC n U n u + = ) ( ) (1,entonces ) ( ) ( ) ( ) (1 1 U n U u n u + = , lo cual implica que= =11 1) ( ) ( ) (nku n u k u . Hagamosn n = 1 ym = ,dondemynsonenterosnonegativos. Entonces la ecuacin anterior se convierte en = + =nm km n m u n u k u ) ( ) 1 ( ) (1 1. Elsegundomiembrodelaecuacinsedenotapor| |11) (+nmn u ysellama suma definida de) (n u de m a) 1 (+ n . Soluciones generales de ecuaciones en diferencias de primer orden lineales. El problema de resolver una ecuacin en diferencias de primer orden lineal se puede reducir a un problema de sumatoria. Por simplicidad, se considera una ecuacin en diferencias con coeficientes constantes,0 ) ( ) ( ) 1 ( = + a n R n aU n U . (6) 20Unasolucinparticulardelaecuacinhomognea0 ) ( ) 1 ( = + n aU n U , que resulta de la ecuacin (6) haciendo que) (n R sea cero, es na . Sea ahora) ( ) ( n V a n Un=yobtngaseunaecuacinendiferenciaspara) (n V .Elprimermiembrode la ecuacin (6) resulta ser { } ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 (1 1n V n V a n V a a n V a n aU n Un n n + = + = ++ + dividiendo ambos miembros de la ecuacin (6) por 1 + na , se tiene) ( ) (1n R a n Vn = . Por consiguiente, { } C n R a n Vn+ = ) ( ) (1 1. Si se multiplica esta expresin por na , se tiene )` + = nn nan Ra Ca n U) () (1 1, (7) queeslasolucingeneraldelaecuacin(6).Elprimerterminoes precisamente la solucin general de0 ) ( ) 1 ( = + n aU n U . En el caso que el coeficiente no es constante, basta reemplazar 1 na , nay el primerterminocon =10) (nkk A ,=nkk A0) ( ylaecuacin== = =10,... 2 , 1 ), 0 ( ), ( ) (nkn U C k A C n U , respectivamente. Ejemplo: Resolver1 ) ( ) 1 ( = + a b n aU n U . Sustityase b por) (n R en la ecuacin (7). Entonces abCaaab a Caab a Caaba Ca n Unnn nnn nnn n+ = |.|

\|+ =|.|

\| + = |.|

\| + = +111111) (11 1 1 1. 1.3.6 Diferencias de segundo orden y orden N. Definicin 1.16: A partir de la funcin) (n U , se define la funcin) (n U , ysiasuvezsepuededefinirsudiferencia| | ) (n U .Estasellama diferencia de segundo orden de) (n Uy se escribe ) (2n U .2representa el cuadrado deloperadordiferencia.Demanerasemejantesepuede 21definir) (n UN por medio de| | ) (1n UN para cualquier numero natural N. por ejemplo, si 2) ( n n U = , { }. 0 , 0 2, 2 ) 1 2 ( , 1 22 5 2 4 2 32 2 1 2 2= = = = = = + = + = + = K n n nn n n n n n De la definicin anterior es obvio que N es un operador lineal. Esto es,{ } ) ( ) ( ) ( ) ( n V b n U a n bV n aUN N N + = + . Ahora bien, dado que) ( ) 1 ( ) ( n U n U n U + = , { } { }), ( ) 1 ( 3 ) 2 ( 3 ) 3 () ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 2 ) 3 () ( ) 1 (2n U n U n U n Un U n U n U n U n U n Un U n U + + + + =+ + + + + + + = + = y asi sucesivamente.Una tabla donde se enlistan los valores deK ), ( ), ( ), (2n U n U n U , se llama tabladediferencias.Seacostumbracolocarelvalor) (a U entrelos renglones U(a) y U(a+1). n 01 2 34 5 ) (n U) (n U ) (2n U ) (3n U 01 49 162513 579 2 22 2 0 0 0 Tabla 1.1 Diferencias de 2x . Yasabemoscomoexpresarunpolinomio) (n U degradoNentrminosde funcionesfactoriales.Ahorasedemuestraqueloscoeficientesse representan utilizando) 0 ( ),..., 0 ( ), 0 ( U U UN . SeaNkn A n A n A n A A n U + + + + + = ... ) (332211 0 y calculamos sucesivamente las diferencias . ! ) () 2 )( 1 ( ... 1 2 3 ) () 1 ( ... 2 3 1 2 ) (... 3 2 ) () 0 () 3 (33) 2 ( ) 1 (3 22) 1 ( ) 2 (3) 1 (2 1n A N n Un A N N N A n Un A N N n A A n Un NA n A n A A n UNNNNNNNN= + + = + + + = + + + + = M 22 sesustituye0 = n enlasformasanteriores,puestoque0 0 =N,setiene NNA N U A U A U A U A U ! ) 0 ( ,..., ! 3 ) 0 ( , ! 2 ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 (33221 0= = = = = . De aqu se determinan de inmediato NA A A ,..., ,1 0.Si) (n U es un polinomio en la variable n, entonces ) 0 (!... ) 0 (! 3) 0 (! 2) 0 ( ) 0 ( ) () (3) 3 (2) 2 () 1 (UNnUnUnU n U n UNN + + + + + = .(8) Y esta ecuacin se llama formula de interpolacin de Newton. Si se emplean coeficientes binomiales, se escribe en la forma ) 0 ( ... ) 0 (3) 0 (2) 0 (1) 0 ( ) (3 2UNnUnUnUnU n UN||.|

\|+ + ||.|

\|+ ||.|

\|+ ||.|

\|+ = . (9) Siseusaunatabladediferencias,la ecuacin (8) sirve para representar un polinomio en trminos de funciones factoriales. Ejemplo: representar2 53+ n n en trminos de funciones factoriales. N01 2 3) (n U) (n U ) (2n U ) (3x U 2 -2 014 -4214612 6 Tabla 1.2 Tabla divisin sinttica. ) 3 ( ) 2 ( ) 1 () 3 ( ) 2 () 1 (3 4 2! 36! 26 4 2 ) (n n nn nn n U+ + =+ + = Dadaunafuncin,utilizandolaformuladeNewton,sepuedeconstruirun polinomioqueadquieralosmismosvaloresquetienelafuncincuando k n ,..., 2 , 1 , 0 = .Sepuedeconsideraralpolinomiocomounaaproximadode la funcin en un punto n que no sea entero. En este sentido, las ecuaciones (8) o (9) se les llama algunas veces formula de interpolacin de Newton. 232. ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINELAES DE ORDEN SUPERIOR 2.1 Ecuaciones en diferencias lineales Definicin 2.1: La ecuacin) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ..., ) 1 ( ) ( ) ( ) (1 1 0n R n U n A n U n A N n U n A N n U n AN N= + + + + + +se llama ecuacin lineal en diferencias de una funcin incgnita) (n U . Definicin2.2:Sitanto) (0n A como) (n ANsonfuncionesquenuncase hacen cero, se dice que la ecuacin es de N-simo orden o una ecuacin de orden N.) (n Rse llama trmino no homogneo, y si es la constante es 0, la ecuacinsellamahomognea.Sitodaslasfunciones ) ( ) ( ), ( ),..., ( ), (1 1 0n R n A n A n A n AN N=sonconstantes,entoncessediceque la ecuacin es de coeficientes constantes. Ejemplo: 0 ) ( ) 1 ( 2 ) 2 ( = + + + n U n U n U . Esta se vuelve a escribir como) ( ) ( n u n U = , y se puede encontrar una solucin efectuando sumatoria repetidamente. Puesto que{ } ) ( ) (2n U n U = , si se hace ) ( ) ( n u n U = , la ecuacin en diferencias se convierte en0 ) ( = n u , estoes,laecuacinseseparaendosecuaciones,0 ) ( = n u implicaque 1) ( C n u = .Siseremplaza) (n u con 1C enlaprimeraecuacin ( ) ( ) ( n u n U = ) se tiene1) ( C n U = . Por lo tanto 2 1 11) ( C n C C n U + = =

Laecuacinanterioressolucingeneraldelaecuacin) ( ) ( n u n U = (verificar). Considreseahoralaecuacinendiferenciasdadaremplazando) (n R con una funcin) (n S en el segundo miembro de (1),). ( ) ( ) ( ... ) 1 ( ) ( ) ( ) (1 0n S n U n A N n U n A N n U n AN N= + + + + + (2) supngaseque) (1n U y) (2n U sonsolucionesdelasecuaciones(1)y(2), respectivamente. Sea), ( ) ( ) (2 2 1 1n U C n U C n U + = 1C y 2C son constantes. 24Entonces { }{ }{ })} ( ) ( ... ) 1 ( ) ( ) ( ) ( {... )} ( ) ( ... ) 1 ( ) ( ) ( ) ( {) ( ) ( ) ( ....) 1 ( ) 1 ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ... ) 1 ( ) ( ) ( ) (2 2 1 2 0 21 1 1 1 0 12 2 1 12 2 1 1 12 2 1 1 01 0N U n A N n U n A N n U n A Cn U n A N n U n A N n U n A Cn U C n U C n AN n U C N n U C n AN n U C N n U C n An U n A N n U n A N n U n AnNNN+ + + + + ++ + + + + + =+ + + + + + ++ + + =+ + + + + lasexpresionesquesiguenentrellavesa 1C y 2C sonlasecuaciones(1)y (2) igualadas a) (n R y) (n S , respectivamente. Por consiguiente) (n U es una solucin de la ecuacin en diferencias ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) 1 ( ) ( ) ( ) (2 1 1 0n S C n R C n U n A N n U n A N n U n AN N+ = + + + + + (3). Definicin2.3:Si) (1n U esunasolucingeneral,contieneNconstantes arbitrariasypuedesatisfacerunacondicininicialdada.Si) (2n U esuna solucin particular,) (n U contiene tambin N constantes arbitrarias y puede satisfacerunacondicininicial,yaque) (n U eslasumade) (1n U yuna funcin totalmente determinada. Por lo tanto,) (n U es una solucin general delaecuacin(3).Si) (2n U estambinunasolucingeneral,conmayor razn) (n U lo es. (i)Si) (1n U y) (2n U son,respectivamente,solucionesdelas ecuaciones en diferencias lineales (1) y (2) cuyos coeficientes soniguales,entonces) ( ) ( ) (2 2 1 1n U C n U C n U + = esuna solucindelaecuacinlinealendiferencias(3)cuyos coeficientessonigualesalosdelasecuacionesanterioresy cuyoterminonohomogneoes{ } ) ( ) (2 1n S C n R C + ,donde ) (n R y) (n S sonlostrminosnohomogneosdelas ecuaciones (1) y (2), respectivamente. En el caso especial de que alguna de las funciones) (1n Uy) (2n Usea una solucin general,entonces) (n U tambinessolucingeneraldela ecuacin (3). Siseeligen0 ) ( = n S y12 1= = C C ,estaproposicinimplicalo siguiente: (ii)Una solucin general de la ecuacin lineal en diferencias (1), es la suma de una solucin particular de la propia ecuacin y unasolucingeneraldelaecuacinlinealendiferencias 25homognea obtenida haciendo igual a 0el segundo miembro de (1). Porlotanto,elproblemaderesolverlaecuacin(1)sehaseparado endosproblemas.Sellamarasolucinhomogneadelaecuacin (1),aunasolucingeneraldelaecuacinendiferenciaslineal homogneaobtenidahaciendoelsegundomiembrode(1)iguala cero. Cuando se resuelve una ecuacin en diferencias lineal homognea, es importante la siguiente proposicin, la cual es consecuencia de (i) en el caso en que0 ) ( ) ( = = n S n R . (iii)Sidosfunciones) (1n U y) (2n U sonsolucionesdeuna ecuacinendiferenciaslinealhomognea,entonces ) ( ) ( ) (2 2 1 1n U C n U C n U + = estambinsolucindelamisma ecuacin, para cualquier par de constantes 1Cy 2C . Aplicandorepetidamenteestaproposicin,sepuedegeneralizarde tal forma que se cumple para el caso en que el nmero de soluciones es ms de dos. 2.1.1SolucionesgeneralesdeEcuacionesenDiferenciaslineales homogneas de segundo orden con coeficientes constantes Definicin2.4:LasiguientesellamaEcuacinendiferenciaslineal homognea de segundo orden con coeficientes constantes. 0 , 0 ) ( ) 1 ( ) 2 ( = + + + + b n bU n aU n U (4) supngase la ecuacin (4) posee una solucin de la forma0 , ) ( = e e n Un.(5) Sustituyendo (5) en (4), se tiene01 2= + ++ + n n nbe ae e . Dividiendo ambos lados de la ecuacin por ne , se tiene la ecuacin 02= + + b ae e ,(6) que e debe satisfacer.

Deformainversa,siesatisface(6),laecuacin(5)esciertamenteuna solucin de (4). Definicin2.5:Laecuacin(6)sellamaecuacincaractersticadela ecuacin (4) y las races de (5) se llaman races caractersticas. Laecuacin(6)escuadrticay,engeneral,tiene 1e y 2e .Comoesbien conocido, estas races estn dadas por la siguiente formula 26), 4 (2121b a a e + = ) 4 (2122b a a e =Empleandoestasraces 1e y 2e ,sepuederesolverelproblema.Sean 1C y 2Cconstantes arbitrarias. Hgase2 1 2 2 1 1, ) ( e e si e C e C n Un n + = (7) 2 1 1 2 1, ) ( ) ( e e si e n C C n Un= + =3 (8) Entonces) (n U esunasolucingeneraldelaecuacin(4).Sedemostrara esteresultado.Puestoquelasracespuedensernmeroscomplejos, ) (n U puede tener forma compleja. Demostracin: basta probar que1.) (n U es solucin de (4), y2. Se puede imponer arbitrariamente una condicin inicial. Hemos visto ya que ne1y ne2 son soluciones de (4), as que para demostrar 1 solamente nos falta demostrar que en el caso 2 1e e = , nne1es solucin de (4). Si nne n U1) ( = , entonces . ) 1 (, 2 ) 2 ( ) 2 (1111212121+ ++ + ++ = ++ = + = +n nn n ne ne n Ue ne e n n U Por lo tanto,) 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 (111 121 1+ + + + = + + + ++ae e b ae e ne n bU n aU n Un n. Por lo tanto nne1 es una solucin de la ecuacin (4). De esta manera, se sabe ahoraque ne1y ne2enlaecuacin(7)y ne1y nne1enlaecuacin(8),son soluciones de (4). De acuerdo con (iii), que establece la caracterstica de una ecuacinendiferenciaslinealhomognea,quedaprobado1.Ahorase prueba 2. Si se sustituye n por 0 y 1 en la ecuacin (7), resulta2 2 1 1 2 1) 1 ( , ) 0 ( e C e C U C C U + = + = . Si se hace = ) 0 ( Uy = ) 1 ( U , entonces 2 2 1 1 2 1, e C e C C C + = + = . Puesto que02 1 e e , resolviendo estas ecuaciones, se tiene2 1122 121,e eeCe eeC== . Por lo tanto, dadosyarbitrariamente, si se determinan 1Cy 2Cde las ecuaciones anteriores, se cumple que = + = = + =2 2 1 1 2 1) 1 ( , ) 0 ( e C e C U C C U , 3 Denominadas races mltiples. 27estoes,sesatisfaceciertamentelacondicininicial.Deestamanera,seha demostradoquelaecuacin(7)satisface2.Enelcasoenelquelarazes mltiple, se puede seguir el mismo procedimiento (Verificar). 2.1.2Solucionesparticularesdeecuacionesendiferenciaslinealesde segundo orden con coeficientes constantes Definicin 2.6: Una solucin general de la ecuacin no homognea 0 ), ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( = + + + + b n R n b n aU n U ,(9) es,comoseestableceen(ii)lasumadeunasolucingeneraldela correspondienteecuacinhomognea(unasolucinhomognea)yuna solucin particular de la ecuacin (9). La ecuacin caracterstica y las races caractersticasde(4)sontambinllamadasasconrespectoalaecuacin (9). Para encontrar una solucin particular de (9), el mtodo de los coeficientes indeterminadostambinesmuyapropiadoytil.Porloqueserefiereala formasupuestadeunasolucinparticular,tambinesvalidaunaregla semejante a la que se cumple para as ecuaciones de primer orden. Sean 1ey 2elas races caractersticas de la ecuacin (9) y) (n PN y) (n QN polinomio enndegradoN.enestecaso,si) ( ) ( n P n RNn = ,sepuedeencontraruna solucin particular) (*n U de (9) haciendo= = = = = = =. ), ( ) (, ), ( ) (, ), ( ) (2 12 *1 2 2 1*2 1*e e si n Q n n Ue e o e e si n nQ n Ue y e si n Q n UNnNnNn Si las constantesson nmeros complejos, la clasificacin anterior incluye elcasoenque) (n R eselproductodeunpolinomioen nporunasumade funciones trigonometritas. Si) ( ) cos ( ) ( n P r n n sen n RNn + = , se puede hacer) ( ) cos ( ) (2 1*n Q r n k n sen k n UNn + =y as sucesivamente, segn la clasificacin dada anteriormente. Pero incluso si) (n Res de la forma anterior, a veces es conveniente considerarla como la parte real de una funcin de valor complejo y usar el teorema de De Moivre. 2.1.3 Ecuaciones en diferencias lineales de tercer orden o superior 28Definicin2.7:Losmtodosdesolucinyamencionadostambinse puedenaplicaraecuacionesendiferenciaslinealesdeordentresomayor. Puesto que la ecuacin caracterstica de este caso es una ecuacin algebraica de grado N, el numero de races es N. Segn sea e unaraz simple p una de multiplicidad k, defnase una funcin mediante nCe n kke n C n C n C C ) ... (1 23 2 1+ + + + ,(10) cadaunadelascualescorrespondeauntrminodelaecuacin(7)y(8), respectivamente.Sisehacelasumadedichasfunciones,setieneuna funcinquecontieneNconstantesarbitrarias.Aunqueseomitela demostracin, se puede probar que esa funcin es una solucin general de la ecuacin homognea, como la del caso de segundo orden. Si una raz compleja es de multiplicidad k, su conjugada compleja tambin esrazdemultiplicidadk.Porlotanto,enestecaso,bastaremplazarlos coeficientes ne C1 de 1 in en la ecuacin (10) con la expresin de la formula ) ( ' ) cos( ) ( n sen r C n Cr n Un n + = . Pero en muchos casos, a diferencia del caso de segundo orden, resulta muy laborioso resolver las ecuaciones caractersticas. Paraencontrarunasolucinparticular,sieltrminonohomogneodela ecuacines) (n Pmn ysi coincideconunarazedemultiplicidadk,se puede hacer) ( ) (*n Q n n Umk n = . 2.2 Sistemas lineales de ecuaciones en diferencias Definicin 2.8: Las ecuaciones en diferencias tratadas hasta ahora consisten en una sola ecuacin en una funcin incgnita. Un conjunto de N ecuaciones en diferencias de N funciones incgnitas se llama sistema de ecuaciones en diferenciassimultneas.Pararesolverelsistemasetratadeeliminar ) 1 ( N funcionesdelasnecuacionesparaformarunaecuacinen diferencias en una sola funcin. Ejemplo: = += +. 0 ) ( 4 ) 1 (, 0 ) ( ) 1 (n U n Vn V n U(1) Laprimeraecuacinseescribecomo0 ) 1 ( ) 2 ( = + + n V n U .Deestayla segunda ecuacin, se tiene0 ) ( 4 ) 2 ( = + n U n U . Siluegoseremplaza,porejemplo,lasegundaecuacindelsistemaconla ecuacin en diferencias de) (n Uanterior, se obtiene el sistema 29 = += +. 0 ) ( 4 ) 2 (, 0 ) ( ) 1 (n U n Un V n U(2) Siguiendoelmismoprocedimiento,deestenuevosistemaseobtienela segundaecuacindelsistemaoriginal.Porlotanto,sepuedeelegir cualquiera de los dos sistemas. La segunda ecuacin del nuevo sistema es la ecuacin en diferencias lineal de segundo orden cuyas races caractersticas son2 . Por consiguiente, una solucin general de la ecuacin esn nC C n U ) 2 ( 2 ) (2 1 + = . En seguida se obtiene 1211) 2 ( 2 ) 1 ( ) (+ + + = + =n nC C n U n Vdelaprimeraecuacin.Dadoslosvaloresiniciales) 0 ( U y) 0 ( V ,setiene 2 1) 0 ( C C U + = ,y 2 12 2 ) 0 ( C C V = .Deestasecuaciones,sedeterminan 1C y 2C .Adems,dadoque) 1 ( U sedeterminapor) 0 ( V ,lacondicinde unicidad para) (n U se cumple. Por consiguiente) (n Vresulta determinar de maneranicadelaprimeraecuacindelsistema.Deestamaneradicha pareja de funcione es una solucin general del sistema. 2.2.1 Sistemas de ecuaciones lineales homogneos Primeramente se considera una solucin general del sistema homogneo ) ( ) ( ) 1 () ( ) ( ) 1 (n dV n cU n Vn bV n aU n U+ = ++ = +(3). Supngase que0 , ' ) ( , ) ( = = e e C n V Ce n Un n.(4) DondealmenosunadelasconstantesC y' C noes0,sustituyendoestas expresiones en (3) y dividiendo por ne , se tiene 0 ' ) (0 ' ) (= + = c d e cCbC C a e(5) EliminandoCy' C de este sistema, se obtiene0 ) )( ( ) )( ( = c b d e a e .(6) Recprocamente,sisesatisface(6)entonces(5)tieneunasolucintalque noambasC y' C soncero.Deestehechosevequesiesatisface(6), entonces la pareja) (n U ,) (n Ves una solucin del sistema (3). La ecuacin (6)sellamaecuacincaractersticaysusracessellamanraces caractersticas. Si se escribe la ecuacin (6) en forma de determinante 0 = d e cb a e,(7) 30la correspondencia entre (6) y el sistema (3) se ve ms fcilmente. Adems, obsrvese que si el termino constante) ( bc ad de (6) es 0, existe solamente una solucin no nula. Unavezencontradaslasracescaractersticas,larazndeloscoeficientes C y' C en(4)sedeterminade(5)utilizandolaprimeraolasegunda ecuacin.Sesuponequebycnosonambascero.Silasraces caractersticas1ey 2eno son iguales, usando los coeficientes determinados en esta forma, se puede hacer n n n ne C e C V e C e C n U2'2 1'1 2 2 1 1() , ) ( + = + = (8) Silasracescaractersticas 1e y 2e soniguales,enestecasolaecuacin tiene races mltiples, se hace n ne n C C n V e n C C n U1'2'1 1 2 1) ( ) ( , ) ( ) ( + = + = .(9) Sinembargo,sedebehacernotarqueC y' C nosonnecesariamente proporcionales.Paradeterminarloscoeficientessedebesustituir(9)enel sistema (3). Ejemplo:

). ( ) ( ) 1 (), ( ) ( ) 1 (n V n U n Vn V n U n U+ = ++ = + Lasracesdelaecuacincaracterstica, 0 1 ) 1 (2= + e soni e + =11y i e =12, de (5), 1'1iC C =y 2'2iC C = . Por lo tanto . ) 1 ( ) 1 ( ) (, ) 1 ( ) 1 ( ) (2 12 1n nn ni iC i iC n Vi C i C n U + = + + = paraexpresarestasfuncionesenformarealseescribe )) 45 ( ) 45 (cos( 2 1o oisen i = , Entonces { }{ }. ) 45 ( ) 45 cos( ' ) 2 ( ) () 45 ( ' ) 45 cos( ) 2 ( ) (n Csen n C n Vn sen C n C n Uo o no o n =+ = Esteresultadosepuedeobtenertambincomosigue.Puestoque ) (n U satisface la ecuacin de segundo orden cuya ecuacin caracterstica es igual a la dada anteriormente, 31{ } ) 45 ( ' ) 45 cos( ) 2 ( ) ( n sen C n C n Uo o n+ = , de la primera ecuacin del sistema, { }{ }, ) 45 ( ' ) 45 cos( ) 2 () 45 45 ( ' ) 45 45 cos( ) 2 () ( ) 1 ( ) (1n sen C n Cn sen C n Cn U n U n Vo o no o n+ + + + = + =+ 2.2.2 Sistemas no homogneos Definicin2.9:Siunsistemalinealesnohomogneo,entoncesuna solucingeneraldelsistemaeslasumadeunasolucinparticulardel mismo y una solucin general del correspondiente sistema homogneo. Para encontrarunasolucinparticular,sepuedeemplearelmtododelos coeficientes indeterminados. Ejemplo: . 0 ) ( 4 ) 1 (, ) ( ) 1 (= += +n U n Vn n V n U Dado que las races caractersticas son distintas de 1. se puede hacer . ) (, ) ('2'12 1n k k n Vn k k n U+ =+ = sustituyendo estas expresiones en el sistema se tiene. 0 4 4 ) 1 (, ) 1 (2 1'2'1'2'1 2 1= + += + +n k k n k kn n k k n k k comparando los coeficientes delas potencias den , resulta. 0 4 . 1, 0 4 , 02'2'2 21'2'1'1 2 1= = = + = +k k k kk k k k k k cuya solucin es 34,98,31,95'2'1 2 1 = = = = k k k k . Por lo tanto una solucion general es .3498) 2 ( 2 ) (,3195) 2 ( 2 ) (12112 1n C C n Vn C C n Un nn n + = + = + 323.ECUACIONES EN DIFERENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES 3.1 Analogas entre elclculo de diferencias y el clculo diferencial Al definir la derivada de una funcin como limite de cociente de diferencias se deducen interesantes analogas entre el clculo de diferencias finitas y el clculo diferencial. Definicin 3.1: Dada una funcin y, se denomina derivada de dicha funcin a una nueva funcin Dy, cuyo valor en x es hx yhx y h x yx Dyx x) ( ) ( ) () (lim lim0 0= += D es el operador de diferenciacin que aplicado a una funcin da lugar a la derivadadedichafuncin.Elvalorde | |hx y ) ( eslapendientedelarecta que une los puntos de la representacin grafica de y correspondientes a unas abcisas x y h x + ;elvalorde) (x Dy eslapendientedelatangente geomtrica enx . Por ejemplo, dado que 2 22 h xh x + = Entonces tenemos x h xhh xhDxh h2 ) 2 (2lim lim0202= + =||.|

\| += lassucesivasdiferenciacionesdeunafuncinseindicanconpotencias sucesivasdeloperadorD;as,lasegundaderivadadeyserepresentapor y D2 y proviene de) (Dy D , la tercera derivada se indica pory D3, etc. Consideremos ahora la operacin inversa a la diferenciacin. Si una funcin Y estalquey DY = ,sedicequeY eslafuncinprimitivadey .Asel operadorinversodediferenciacines 1 D yescribiremosy D Y1 = o = y Y ladenominacinparaY deintegralindefinidadelafunciny . Obsrvesequehayunnumeroinfinitodeintegralesindefinidadeuna funciny ,puestoquey DY = ytambiny C Y D = + ) ( ,siendoC una constante cualquiera. 33 Calculo en diferenciasCalculo diferencial 1.) ( ) ( ) ( x y h x y x y + = 2.1 ) (1= = n y yn n 3.) ( ) ( y C Cy = 4. ) ( ) ( ) (2 2 1 1 2 2 1 1y C y C y C y C + = + 5.siyesunpolinomiodegradon,ynesconstanteylasdiferenciasdeorden superior son nulas. 6.) 1 ( ) ( = n nnx x 7. u v v Eu v u + = ) ( ) ( 8.vEvv u u vvu = |.|

\| 9. siC y y y Y + = = 1, siendoC una funcin peridica. 1. hx yx Dyh) () (lim0= 2.K , 2 , 1 ) (1= =n y D D y Dn n 3.CDy Cy D = ) ( 4.2 2 1 1 2 2 1 1) ( Dy C Dy C y C y C D + = + 5.Siyesunpolinomiodegradon, y Dnesconstanteylasderivadasde orden superior son nulas. 6. 1 =n nnx Dx 7.vDu uDv v u D + = ) ( 8. 2vuDv vDuvuD= |.|

\| 9. si C Y y y DY + = =,siendo Cuna funcin peridica. Tabla 3.1 Resultados del clculo diferencial y analogasCorrespondientes al clculo de diferencias. 3.2Laecuacinendiferenciascomoaproximacinalaecuacin diferencial. Dada la estrecha relacin existente entre el operador en diferencias finitas y el operador derivadaD no es extrao encontrar muchas conexiones entre las ecuaciones en diferencias y las ecuaciones diferenciales. Consideraremos laecuacindiferenciallinealdeprimerordenconcoeficientesconstantes. 34Seay unafuncindefinidaparavaloresrealesdex enunintervalo b x a , tal que satisfaga una ecuacin diferencial. Entonces, b x a B x Aydxx dyx Dy + = = ) () () ( (1) siendoAyB constantesarbitrariasyadems0 A .Supongamosqueel valordey paraa x = seadado,esdecir,quedebemoshallarunafuncin yque satisfaga a la ecuacin diferencial con condicin inicial 0) ( y a y = donde 0yes una constante dada. Paralograrunaaproximacinaestaecuacindiferencialatravsdeuna ecuacinendiferenciasserprecisounconjuntodiscretodevaloresdexparalosquepuedadefinirselaecuacinendiferencias.Porlotanto escogemos un numero entero positivo cualquierany dividimos el intervalo | | b a,ennpartes iguales, cada una de longitud n a bh=siendo los puntos de subdivisinb nh a x h a x h a x a xn= + = + = + = = K , 2 , ,2 1 0 Simplifiquemos la notacin haciendo) ( ) (0kh x y x y yk k+ = =adems hyx Dykhk=0lim ) (parece bastante razonable sustituir la ecuacin diferencial por la ecuacin en diferencias 1 , , 2 , 1 , 0 = + =n k B AyhykkK (2) o bien 1 , 2 , 1 , 0 ) 1 (1 = + + =+n k Bh y Ah yk kK La condicin inicial indica que el valor 0yes dado. 35Laecuacinendiferenciasesunaecuacinlinealdeprimerordencon coeficientesconstantesquepuederesolversefcilmenteaplicandola funcin de valor de equilibrio entonces tenemos ABAhBhy =+ =) 1 ( 1* y por tanto 1 , 2 , 1 , 0 ) 1 (0 = |.|

\|+ = n kABABy Ah ykkK Si partiendo de la ecuacin en diferencias (2) hacemos que x kh x x y hk + = 00 esevidentequedichaecuacinseconvierteenlaecuacindiferencial(1). Serportantodeintersaveriguarsilasolucindelaecuacinen diferenciastiendeaunasolucindelaecuacindiferencialalimponerlos mismos lmites. Demostracin, ( )( )( )

+ |.|

\|+ =

+ |.|

\|+ =

|.|

\|+ + ==ABAhAByABAhAByABABy Ahy x yhx xkkk01 lim1 lim1 limlim ) (000 escribiendoe Ah =obtenemos ( )) (101 limx x Ae e

+definimos a e como el siguiente limiteeee e10) 1 ( lim+ = alpasarellimite,haciendoque0 h ysiendoAconstante,elproducto e Ah =tendera tambin a 0. Por tanto, ( )) () (1001 limx x Ax x Ae e e=

+36entoncesABeABy y x Yx x Ak |.|

\|+ = = ) (00lim ) ( Puede demostrarse que esta funcinyes, efectivamente, una solucin de la ecuacin diferencial (1) calculando su derivada y probando que la igualdad (1)sesatisfaceparatodovalordexcomprendidoenelintervalob x a (Verificar). En particular para 0 = Btenemos la ecuacin diferencial ) () () ( x Aydxx dyx Dy = = (3) es decir, que el tipo instantneo de cambio de la funcinyrespecto axes proporcional al valor de la funciny .Entonces 1 , 2 , 1 , 0 ) 1 (1 = + =+n k y Ah yk kK de solucin kkAh y y ) 1 (0+ = bajo las condiciones restrictivas ya descritas la solucin correspondiente a la ecuacin diferencial (3) viene dada por la funcin exponencial ) (00) (x x Ae y x y= siendo 0y elvalordadoparay cuando 0x x = .Siy tomasolamente valores positivos se dice que y sigue un crecimiento exponencial si0 > Ao quesigueundecrecimientoexponencialcuandoA ,montonacrecientedelimite *p si *0p p < yconstanteiguala *psi *0p p = . Si2 1 < + < b a , tendremos que0 1 < < A , y{ }npser una sucesindelimite *p .Elcasoparticularenque0 = + b a dalugarauna sucesin constante en la que cada elemento es *p . Consideremosdoscasosmas,primero0 = a ,sesuponequenoseofrece compensacinalgunacuandoseproducerespuesta.Laecuacinen diferencias (5) se convierte enn np b p ) 1 (1 =+(9) de solucin K , 2 , 1 , 0 ) 1 (1= =+n p b pnnn que describe el decrecimiento continuo que sufre la probabilidad de obtener respuestaapartirdelaprobabilidaddeobtenerapartirdelaprobabilidad inicial 0p . Representado grficamentepcomo funcin de n, se obtiene la curva de extincin experimental. En el caso dosb a = , se dan por igual compensacin y castigo al sujeto cada vez que da la respuesta. Dejando aparte los casos extremos en que0 = = b ay1 = = b a , se tiene que cuandob a =la cantidad0 ) 1 ( nb acuando n yaplicandolarelacin(8)seobtieneque *p pn ,queesiguala 0.5. Esto es, a medida que aumenta el nmero de pruebas la respuesta tiende aaparecerenlamitaddelasmismas.Elequilibrioentrecompensaciny castigodalugar,alargoplazo,auncomportamientoindecisodelsujeto, que, que por igual, da respuesta o se abstiene de darla. 414. Conclusiones Elestudiodelasecuacionesendiferenciascontribuyeaqueelestudiante abordeconmenosdificultadlossistemasdiscretos.Ademsestossistemas tienen la ventaja de ser modelos mas ajustados a la realidad. Aunque a nivel Matemticonoselehadadogranimportanciaaelestudiodelossistemas discretosenotrasprofesionescomoIngenierayEconomaentreotrasse hace necesario su estudio. Los sistemas continuos son una alternativa para la solucin de los problemas prcticos que no tienen respuesta en sistemas discretos, la investigacin que se puede hacer directamente en ecuaciones en diferencias por ejemplo puede permitir encontrar nuevas soluciones comnmente representadas en modelos continuos. 42Bibliografa: Takahashi, Takehito.Ecuaciones en diferencias con aplicaciones.Mxico: grupo editorial iberoamericana. Goldberg, Samuel. Ecuaciones en diferencias finitas. Barcelona:Marcombo S.A. 1964. Dennis G, Zill.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones.Grupo editorial iberoamericana. Kenneth, Bogart. Matemtica discretas. Varona Malumbres, Juan Luis. Mtodos clsicos de resolucin de ecuaciones en diferencias ordinarias. Universidad de la Rioja http://personales.ya.com/casanchi/mat/varona01.htm. Maha, Ramn Formulacinysolucindeecuacioneslinealesendiferenciascon coeficientes constantes en el contexto del anlisis. Junio 1998. http://www.uam.es/otroscentros/klein/doctras/doctra9804.pdf. Neuman, Carlos Enrique. Ecuaciones en Diferencias.Septiembre 14, 2000. http://www.intec.ceride.gov.ar/CN/EcDife5.pdf