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Introducción a lasOperaciones Financieras

Juan Carlos Mira Navarro

Introdu ión a las

Opera iones Finan ieras

Introdu ión a las

Opera iones Finan ieras

Juan Carlos Mira Navarro

Publi ado por: Juan Carlos Mira Navarro

email: juan arlos�miramegias. om

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(CC) 2013-18, Juan Carlos Mira Navarro

Versión 1.6.3 (mayo 2018)

Re ono imiento-NoComer ial-SinObraDerivada 2.5 España

texto legal (la li en ia ompleta)

a Margarita

Prólogo

Estos apuntes, están orientados a quien estudia las opera iones �nan ieras. El objetivo

prin ipal, es aprender matemáti as �nan ieras ha iéndolas, así omo ubrir el ontenido

del módulo de gestión �nan iera en el Ci lo de Grado Superior de Administra ión y

Finanzas y la asignatura de matemáti as de las opera iones �nan ieras en el grado de

Administra ión y Dire ión de Empresas.

Cada unidad ontiene un amplio onjunto de problemas. Algunos, in luyen ál ulos

rutinarios y están ideados omo ayuda a dominar nuevas té ni as. Otros exigen apli ar

las nuevas té ni as a situa iones prá ti as.

He evitado por tanto �la teoría por la teoría�. Hay mu hos y buenos textos dedi ados

a esta materia omo puede verse en la bibliografía. Sin embargo, los prin ipales resulta-

dos, he pro urado enun iarlos de forma ompleta y uidada. La mayoría de ellos están

expli ados o justi� ados. Siempre que es posible, las expli a iones son informales o in-

tuitivas y se realizan una sola vez. Hay un apéndi e de introdu ión matemáti a que

re uerda algunas uestiones pre isas para el estudio de la gestión �nan iera. Igualmente

he pretendido rear un índi e alfabéti o exhaustivo.

El empleo de tablas �nan ieras fue la primera ayuda on la que se pudo ontar para

resolver un problema de matemáti as �nan ieras. Desde ellas hasta la introdu ión de

la primera al uladora �nan iera, la HP80, por Hewlett-Pa kard en 1972 y así hasta que

Dan Bri klin on ibiera la primera hoja de ál ulo �Visi al � en 1978 que omer iara

Apple, ha pasado mu ho tiempo.

En la a tualidad el empleo de las al uladoras y hojas de ál ulo en los ordenadores

personales es muy habitual y fa ilita enormemente el trabajo, además de redu ir el

número de errores. Sin embargo, hay que señalar que aunque la informáti a resuelve

problemas de ál ulo, no solu iona la ne esidad de dominar primero la materia. Su

ono imiento por tanto no lo puede suplir el ordenador.

En la resolu ión de algunos ejer i ios se utiliza una al uladora �nan iera (la HP12C).

Igualmente, para otros, he utilizado la hoja de ál ulo (Ex el, Cal o Numbers). Hoy

en día, deben ser herramientas habituales para el estudiante y trabajador de este área

matemáti a. En la página dedi ada al módulo, puede obtenerse un emulador de la al-

uladora �nan iera hp10bII+ e igualmente puede utilizarse una HP12C on line. También

puede des argarse la última versión de LibreOffi e o Apa he OpenOffi e que ontiene

Cal .

No obstante, estos apuntes, no pretenden ser un texto de utiliza ión independiente, sino

omplementarios a las lases y que junto on la página web [http://www.emodulos. om℄

y las presenta iones permitan el estudio del módulo.

La mayor parte del material utilizado para este do umento pro ede de elabora ión pro-

pia tomada de los apuntes utilizados para las lases. En este sentido, tengo que agrade er

x Prólogo

a mis alumnos la olabora ión para la orre ión de los ejer i ios, y en general el enten-

dimiento de los apuntes.

En la primera parte, la unidad 1 pretende introdu ir el on epto de apital �nan iero y

equivalen ia �nan iera ha iendo además una lasi� a ión de las opera iones �nan ieras.

En las unidades 2 a 4, se des riben las leyes �nan ieras lási as de apitaliza ión y

des uento tanto simple omo ompuesta. Igualmente se tratan las opera iones a orto

plazo más omunes en el ámbito empresarial (des uento ban ario, uentas orrientes, de

rédito, et .)

En las unidades 5 y 6 se desarrollan las rentas �nan ieras basadas en la ley de apitali-

za ión ompuesta dis retas y fra ionadas, estudiando tanto la onstitu ión de apitales

omo las opera iones de amortiza ión. Igualmente se analizan diversos métodos para la

obten ión del tipo de interés y el ono imiento de la TIR, así omo la evalua ión de

opera iones �nan ieras. Las unidades 7 y 8 estudian la onstitu ión de apitalea, los

préstamos tipo y métodos parti ulares de �nan ia ión a tuales así omo los empréstitos

omo medio de analiza ión del ahorro e inversión.

La unidad 9 trata, omo introdu ión, los títulos valores tanto de renta �ja omo variable

en la que se apli an los on eptos �nan ieros aprendidos en las unidades anteriores.

Ali ante, agosto de 2013

En esta segunda revisión, y tras la experien ia de un urso, se han he ho pequeñas orre -

iones por varias erratas deslizadas en la primera edi ión. Además, se han ompletado

algunas unidades mejorando las exposi iones y aumentado los ejemplos ilustrativos.

Ali ante, o tubre de 2015

La utiliza ión de los apuntes en lase ha permitido orregir alguna errata y ha er pe-

queños ambios. El enfoque prá ti o ombinado on las hojas de ál ulo y el desarrollo

de más ejer i ios on esta herramienta ha motivado la expli a ión de algunas fun iones

�nan ieras on más detalle.

Bar elona, abril de 2016

En esta nueva a tualiza ión, se han añadido algunos ejer i ios de situa iones �nan ieras

otidianas a tuales. En el anexo matemáti o, un re ordatorio de la resolu ión de sistemas

de dos y tres e ua iones, así omo e ua iones de 2.

o

grado. Se trata de forma más on reta

la onstitu ión de apitales (planes de pensiones) previa a los préstamos.

Ali ante, mayo de 2018

Índi e general

Prólogo ix

1. Con eptos bási os 1

1.1. El fenómeno �nan iero. Capital �nan iero . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Opera ión �nan iera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Equivalen ia �nan iera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Prin ipio de sustitu ión o proye ión �nan iera . . . . . . . . . . 3

1.3.2. Criterio de proye ión �nan iera: leyes �nan ieras . . . . . . . . . 4

1.4. Clasi� a ión de las opera iones �nan ieras . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Capitaliza ión y des uento simple 7

2.1. Capitaliza ión simple o interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1. Magnitudes derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Intereses anti ipados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Cál ulo de los intereses simples. Métodos abreviados . . . . . . . . . . . 10

2.3.1. Método de los multipli adores �jos . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2. Método de los divisores �jos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Des uento simple omer ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


2.5. Cál ulo del des uento simple. Métodos abreviados . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1. Método de los multipli adores �jos . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.2. Método de los divisores �jos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6. Des uento simple ra ional o matemáti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6.1. Tanto de interés equivalente a uno de des uento . . . . . . . . . . 14

Ejer i ios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Opera iones a orto plazo 17

3.1. Introdu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Crédito omer ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Des uento ban ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1. Des uento de efe tos omer iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.2. Des uento �nan iero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. Cuentas orrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1. Métodos para obtener el saldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4.2. Método dire to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.3. Método indire to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.4. Método hamburgués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.5. Cuentas orrientes a interés re ípro o y variable . . . . . . . . . . 25

3.4.6. Cuentas orrientes a interés no re ípro o . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Cuentas orrientes ban arias a la vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6. Cuentas de ahorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

xii ÍNDICE GENERAL

3.7. Créditos en uenta orriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.8. Equilibrio �nan iero. Reserva matemáti a o saldo �nan iero . . . . . . . 28

3.8.1. Ven imiento omún. Ven imiento medio . . . . . . . . . . . . . . 29


4. Capitaliza ión y des uento ompuesto 33

4.1. Capitaliza ión ompuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


4.2. Compara ión entre la apitaliza ión simple y ompuesta . . . . . . . . . 36

4.3. Equivalen ia de tantos en apitaliza ión ompuesta . . . . . . . . . . . . 37

4.4. Capitaliza ión ompuesta en tiempo fra ionario . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1. Convenio exponen ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2. Convenio lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5. Capitaliza ión ontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6. Des uento ompuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6.1. Des uento ra ional ompuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6.2. Des uento omer ial ompuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6.3. Tanto de interés equivalente a uno de des uento . . . . . . . . . . 41


5. Rentas �nan ieras 45

5.1. Con epto de renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2. Clasi� a ión de las rentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3. Valor apital o �nan iero de una renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4. Renta onstante, inmediata, pospagable y temporal . . . . . . . . . . . . 48

5.4.1. Valor a tual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4.2. Valor �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5. Renta onstante, inmediata, prepagable y temporal . . . . . . . . . . . . 50

5.5.1. Valor a tual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5.2. Valor �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.6. Rentas perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.6.1. Valor a tual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.7. Rentas diferidas en p períodos de rédito onstante . . . . . . . . . . . . . 54

5.7.1. Valor a tual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.8. Rentas anti ipadas en h períodos de rédito onstante . . . . . . . . . . . 55

5.9. Determina ión de n e i en las rentas de rédito onstante . . . . . . . . . 56

5.9.1. Estudio del valor a tual omo fun ión de n . . . . . . . . . . . . 56

5.9.2. Estudio del valor a tual omo fun ión de i . . . . . . . . . . . . . 57


6. Rentas fra ionadas y variables 63

6.1. Introdu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2. Rentas on fra ionamiento uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.1. Rentas fra ionadas, diferidas y anti ipadas . . . . . . . . . . . . 67

6.3. E ua ión general de las rentas onstantes, inmediatas y temporales . . . 67

6.4. Rentas de términos variables en progresión geométri a . . . . . . . . . . 67

6.4.1. Renta pospagable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4.2. Renta pospagable perpetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4.3. Renta prepagable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4.4. Renta prepagable perpetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4.5. Renta diferida y anti ipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5. Rentas de términos variables en progresión aritméti a . . . . . . . . . . 70

ÍNDICE GENERAL xiii

6.5.1. Renta pospagable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5.2. Renta pospagable perpetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5.3. Renta prepagable temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.5.4. Renta prepagable perpetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.5.5. Renta diferida y anti ipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.6. Rentas variables fra ionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.6.1. Rentas variables fra ionadas en progresión geométri a . . . . . . 74

6.6.2. Rentas variables fra ionadas en progresión aritméti a . . . . . . 74

6.7. Rentas variables en general on rédito periodal onstante . . . . . . . . . 74

6.7.1. Determina ión de i. Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . 75

6.7.2. Hoja de ál ulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.7.3. Simpli� a ión de S hneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


7. Opera iones de onstitu ión. Préstamos 87

7.1. Opera ión de onstitu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.1.1. Elementos de la onstitu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.1.2. Constitu ión de un apital mediante imposi iones onstantes . . 88

7.2. Prestamos: on eptos bási os. Clasi� a ión . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.1. Elementos de un préstamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.2. El tipo de interés. Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.3. Clasi� a ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3. Préstamos amortizables on reembolso úni o . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3.1. Reembolso úni o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3.2. Reembolso úni o on fondo de amortiza ión . . . . . . . . . . . . 94

7.3.3. Reembolso úni o y pago periódi o de intereses. Préstamo ameri ano 94

7.4. Préstamo fran és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4.1. Anualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4.2. Capital pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.4.3. Cuotas de amortiza ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.4.4. Capital amortizado, uotas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.4.5. El uadro de amortiza ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.5. Tanto efe tivo para el prestatario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.6. Amortiza ión on términos variables en progresión geométri a . . . . . . 102

7.7. Amortiza ión on términos variables en progresión aritméti a . . . . . . 102

7.8. Amortiza ión de uota de apital onstante. Método italiano . . . . . . . 103

7.9. Préstamo alemán o �anti ipativenzisen� . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.10. Amortiza ión on intereses fra ionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.11. Caren ia e interés variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.11.1. Caren ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.11.2. Tipo de interés variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.12. Valor �nan iero del préstamo, del usufru to y de la nuda propiedad . . . 107

7.12.1. Caso parti ular. La fórmula de A hard . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.12.2. Apli a ión a los métodos de amortiza ión más utilizados . . . . . 109


8. Finan ia ión de la empresa 115

8.1. La �nan ia ión externa de la empresa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.1.1. Las deudas empresariales a largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.1.2. Las deudas empresariales a medio plazo . . . . . . . . . . . . . . 116

8.1.3. Las deudas empresariales a orto plazo . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.2. Arrendamiento �nan iero o �Leasing� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

xiv ÍNDICE GENERAL

8.2.1. Valora ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.3. Empréstitos. Introdu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.3.1. Empréstitos sin an ela ión es alonada . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.3.2. Empréstitos on an ela ión es alonada . . . . . . . . . . . . . . 120

8.3.3. Problemáti a de los empréstitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.3.4. Elementos que intervienen en los empréstitos . . . . . . . . . . . 121

8.4. Empréstito normal (método fran és) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.5. Empréstito de upón ero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


9. Títulos valores: opera iones bursátiles 129

9.1. Títulos valores: valores mobiliarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.2. Títulos valores: on eptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.3. Mer ado de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.4. Rentabilidad de los títulos valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.5. Valora ión de los títulos valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6. Valora ión de los títulos de renta �ja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.1. Compra por sus rip ión y mantenimiento hasta su amortiza ión . 135

9.6.2. Compra por sus rip ión y venta del título en el mer ado . . . . . 136

9.6.3. Compra en el mer ado y mantenimiento hasta su amortiza ión . 136

9.6.4. Compra en el mer ado y venta en el mer ado . . . . . . . . . . . 137

9.7. Valora ión de las a iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.7.1. Valora ión en fun ión de los dividendos . . . . . . . . . . . . . . 138

9.7.2. Valora ión en fun ión de los bene� ios . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.8. Valora ión de las letras �nan ieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.8.1. Adquisi ión ini ial y mantenimiento hasta su ven imiento . . . . 140

9.8.2. Adquisi ión ini ial y venta en el mer ado se undario . . . . . . . 141

9.8.3. Adquisi ión de la letra en el mer ado se undario . . . . . . . . . 142


A. Introdu ión matemáti a 145

A.1. Razones y propor iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A.1.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A.1.2. Propor iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.2. Por entajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.3. Logaritmos de imales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

A.4. Interpola ión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.5. Progresiones aritméti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A.5.1. Suma de términos equidistantes de los extremos . . . . . . . . . . 151

A.5.2. Término medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.5.3. Suma de los términos de una progresión aritméti a limitada . . . 151

A.6. Progresiones geométri as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A.6.1. Produ to de dos términos equidistantes de los extremos . . . . . 152

A.6.2. Término medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A.6.3. Produ to de los términos de una progresión geométri a limitada . 153

A.6.4. Suma de los términos de una progresión geométri a limitada . . . 153

A.7. Resolu ión de un sistema de dos e ua iones on dos in ógnitas . . . . . . 154

A.7.1. Método de sustitu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

A.7.2. Método de redu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.7.3. Método de iguala ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.8. Resolu ión de e ua iones lineales on tres in ógnitas . . . . . . . . . . . 156

A.8.1. Método de redu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

ÍNDICE GENERAL xv

A.8.2. Método de sustitu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.9. Resolu ión de e ua iones de segundo grado on una in ógnita . . . . . . 157

B. Diagrama de �ujo de fondos y nomen latura de signos 159

B.1. Introdu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B.2. Solu iones on interés ompuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

C. Tablas �nan ieras 163

C.1. Fa tor de apitaliza ión ompuesta unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . 164

C.2. Fa tor de des uento ompuesto unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

C.3. Valor a tual de una renta unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

C.4. Valor �nal de una renta unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Bibliografía 173

Índi e alfabéti o 174

Índi e de �guras

1.1. Capital �nan iero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Proye ión �nan iera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Capitaliza ión simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Des uento simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Campo de validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Cuenta orriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1. Capitaliza ión ompuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. A umula ión de intereses en la apitaliza ión ompuesta . . . . . . . . . 35

4.3. Compara ión entre la apitaliza ión simple y ompuesta . . . . . . . . . 36

4.4. Equivalen ia de tantos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1. Valor a tual de una renta �nan iera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2. Valor a tual de una renta unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3. Valor �nal de una renta unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4. Valor a tual de una renta unitaria prepagable . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5. Rela ión entre una renta unitaria prepagable y pospagable . . . . . . . . 52

5.6. Valor a tual de una renta unitaria diferida . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.7. Estudio de n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.8. Estudio de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.1. Valor a tual de una renta unitaria fra ionada . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2. Método de Newton. Determina ión de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.1. Constitu ión de apital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2. Préstamo fran és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.3. Amortiza ión del préstamo fran és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B.1. Línea del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B.2. Diagrama de �ujo de fondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B.3. Prepagable y pospagable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

B.4. Diagrama de �ujo de fondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

B.5. Diagrama bási o de �ujo de fondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Unidad 1

Con eptos bási os

1.1. El fenómeno �nan iero. Capital �nan iero

1.2. Opera ión �nan iera

1.3. Equivalen ia �nan iera

1.3.1. Prin ipio de sustitu ión o proye ión �nan iera

1.3.2. Criterio de proye ión �nan iera: leyes �nan ieras

1.4. Clasi� a ión de las opera iones �nan ieras

2 Con eptos bási os

1.1. El fenómeno �nan iero. Capital �nan iero

En una primera interpreta ión se onsideró el tiempo omo una magnitud pasiva o neutra

sin in�uen ia en los he hos e onómi os. Más adelante se empezó a tomar la magnitud

tiempo omo una variable exógena que interviene en el fenómeno e onómi o.

Todo sujeto e onómi o pre�ere los bienes presentes sobre los futuros a igualdad de an-

tidad y alidad, y ello signi� a que el tiempo in�uye en la apre ia ión de los bienes

e onómi os.

Entre dos bienes que sirven para satisfa er la misma ne esidad, pero están disponibles

en tiempos distintos, es preferido el bien más próximo. Por eso, el tiempo es un bien

e onómi o negativo.

Como onse uen ia de estas premisas, surge la ne esidad de identi� ar los bienes e onó-

mi os on un par de números (C, t), en el que C indi a la uantía o medida objetiva del

bien en unidades monetarias y t expresa el momento del tiempo al que va referida di ha

medida o valora ión, llamado momento de disponibilidad o ven imiento de la uantía.

El fenómeno �nan iero es todo he ho e onómi o en el que intervienen apitales �nan-

ieros, es de ir, en el que interviene y se onsidera el tiempo omo un bien e onómi o.

Conse uen ia de ello, el prin ipio bási o de la preferen ia de liquidez identi� a los bienes

e onómi os omo una uantía referida al momento de su disponibilidad. Se denomina

apital �nan iero a la medida de un bien e onómi o referida al momento de su disponi-

bilidad o ven imiento.

(C, t) siendo C ∈ R+y t ∈ R

−

La expresión grá� a la ha emos por un punto del plano on referen ia a un sistema de

oordenadas artesianas.

C1

t1

Cn

tn

Figura 1.1: Capital �nan iero

1.2. Opera ión �nan iera

La opera ión �nan iera es toda a ión que inter ambia o sustituye unos apitales �nan-

ieros por otros de distinto ven imiento, mediante la apli a ión de una determinada ley

�nan iera en un punto de referen ia.

La mayor parte de los fenómenos �nan ieros, o son opera iones �nan ieras o son asimi-

lables a opera iones �nan ieras más o menos imperfe tas.

Se denomina origen de la opera ión al punto donde ven e el primer apital y �nal al

momento de ven imiento del último apital. La diferen ia entre ambos ven imientos es

la dura ión.

La persona que entrega el primer apital ini ia la opera ión omo a reedora, y a su om-

promiso total se le denomina presta ión. Por el ontrario, la persona que re ibe ese primer

apital es ini ialmente deudora, y a su ompromiso total se le designa ontrapresta ión.

1.3 Equivalen ia finan iera 3

El postulado de equivalen ia �nan iera estable e que �toda opera ión �nan iera impli a

la existen ia de una equivalen ia �nan iera entre las sumas de los apitales que omponen

la presta ión y la ontrapresta ión, en base a una ley �nan iera previamente �jada y

a eptada por ambas partes�.

Una opera ión �nan iera deberá umplir las ondi iones siguientes:

Que el inter ambio no sea simultáneo.

Que esté a tuando en el inter ambio una ley �nan iera que haga que la presta ión

y ontrapresta ión sean equivalentes �nan ieramente.

En de�nitiva, ualquier opera ión �nan iera se redu e a un onjunto de �ujos de aja

( obros y pagos) de signo opuesto y distintas uantías que se su eden en el tiempo.

Por ejemplo, si A ede unos apitales (C1, t1), (C2, t2) y (C3, t3) a B (préstamo), y omo

ontrapresta ión, B, devuelve a A los apitales (C4, t4) y (C5, t5). La representa ión

grá� a, sería:

C1, t1

C2, t2

C3, t3

C4, t4

C5, t5

Pueden verse los diagramas de �ujo de fondos en B.1, de la página 160.

1.3. Equivalen ia �nan iera

1.3.1. Prin ipio de sustitu ión o proye ión �nan iera

�El sujeto e onómi o es apaz de estable er un riterio de ompara ión entre apitales

de una forma indire ta a través de la proye ión o valora ión en un punto de referen ia

p�.

Es de ir, existe un riterio para el que un apital (C, t) obtiene la uantía V del apital

sustituto en p, y ello, tanto para t > p omo para t < p. V , se expresa:

V = Proyp (C, t)

C

t

V

V ′

p

C′

t′

Figura 1.2: Proye ión �nan iera

Aso iado a este riterio de proye ión �nan iera, se obtiene la rela ión de equivalen ia

�nan iera en p, p, de�nida omo �dos apitales (C1, t1) y (C2, t2) son equivalentes uandotienen el mismo sustituto o proye ión V en p�.

[(C1, t1) p (C2, t2)

]⇒[Proyp (C1, t1) = Proyp (C2, t2)

]

4 Con eptos bási os

y veri� a las propiedades:

re�exiva (C1, t1) p (C1, t1)

simétri a (C1, t1) p (C2, t2) ⇒ (C2, t2) p (C1, t1)

transitiva

(C1, t1) p (C2, t2)(C2, t2) p (C3, t3)

}= (C1, t1) p (C3, t3)

Se denomina origen de la opera ión al punto donde ven e el primer apital, y �nal al

momento de ven imiento del último apital. La diferen ia entre ambos ven imientos es

la dura ión.

La persona que entrega el primer apital, ini ia la opera ión omo a reedora, y a su

ompromiso total se le denomina presta ión. Por el ontrario, la persona que re ibe

ese primer apital es ini ialmente deudora, y a su ompromiso total se le denomina

ontrapresta ión.

Una opera ión �nan iera es, pues, un inter ambio no simultáneo de apitales �nan ieros,

entre dos personas, que lleva implí ita una equivalen ia entre el valor de los mismos

respe to de un punto de referen ia en base a una ley �nan iera previamente �jada y

a eptada por ambas partes.

El prin ipio de proye ión �nan iera en p permite también de�nir una rela ión de orden

4p denominada rela ión de preferen ia �nan iera.

Dados dos apitales (C1, t1) y (C2, t2) diremos que (C2, t2) es preferible o indiferente a

(C1, t1) si se veri� a que V2 = Proyp (C2, t2) es mayor o igual a V1 = Proyp (C1, t1), esde ir: [

(C1, t1)4p (C2, t2)

]⇔[Proyp (C1, t1) ≤ Proyp (C2, t2)

]

La rela ión así de�nida, veri� a también las propiedades re�exiva, simétri a y transitiva.

1.3.2. Criterio de proye ión �nan iera: leyes �nan ieras

La expresión o modelo matemáti o del riterio de proye ión �nan iera que para todo

(C, t) permite obtener V �jado p, re ibe el nombre de ley �nan iera apli ada en p y se

simboliza por:

V = F (C, t; p) = Proyp (C, t)

siendo p un parámetro.

Cuando t < p, se di e que V es la uantía en p resultado de la apitaliza ión de (C, t),y por ello la ley, en este aso representada por L(C, t; p) se denomina ley �nan iera de

apitaliza ión en p.

t

C

p

V = L(C, t; p)

Si t > p, el valor de V es la uantía en p resultado de la a tualiza ión o des uento

de (C, t), y por ello, la ley, expresada ahora omo A(C, t; p) re ibe el nombre de ley

�nan iera de des uento en p.

1.4 Clasifi a ión de las opera iones finan ieras 5

p

V = A(C, t; p)

t

C

1.4. Clasi� a ión de las opera iones �nan ieras

Las opera iones �nan ieras pueden lasi� arse atendiendo a distintos riterios:

1. Según la naturaleza de los apitales, podemos distinguir entre opera iones �nan ie-

ras iertas, en las que todos los apitales que intervienen son iertos, y opera iones

�nan ieras aleatorias, uando al menos uno de ellos es de naturaleza aleatoria.

2. Respe to a la forma de su de�ni ión, pueden lasi� arse en opera iones predetermi-

nadas o de�nidas ex ante, uando en el ontrato se espe i� a a priori los apitales

de la presta ión y de la ontrapresta ión (en términos iertos o aleatorios), y opera-

iones posdeterminadas o de�nidas ex post, ara terizadas por el no ono imiento

previo de las uantías o ven imientos de todos o parte de los apitales.

3. En rela ión al grado de liquidez interna, denominamos opera ión on liquidez in-

terna total uando en las ondi iones del ontrato se estable e el dere ho a an elar

la opera ión en ualquier momento y opera iones on liquidez interna par ial si la

an ela ión está ondi ionada o requiere el a uerdo entre las dos partes.

4. En uanto a su dura ión, opera iones a orto plazo, las que tienen una dura ión

inferior al año (generalmente), y opera iones a largo plazo uando tienen una du-

ra ión superior.

5. Por los ompromisos de las partes, opera iones simples, si la presta ión y on-

trapresta ión están formadas por un solo apital. En aso ontrario, opera iones

ompuestas.

6. Atendiendo al punto p de apli a ión, la opera ión será de apitaliza ión, de des-

uento o mixta, según que p sea respe tivamente mayor o igual que el último

ven imiento, menor o igual que el primero o esté omprendido entre ambos.

7. Según el sentido rediti io de la opera ión, de rédito unilateral uando la persona

que ini ia la opera ión omo a reedora, onserva este ará ter hasta el �nal. En

aso ontrario, será de rédito re ípro o.

8. Respe to a las ondi iones sustantivas, si son úni as para todos los apitales, se tra-

ta de opera iones homogéneas. En aso ontrario, re iben el nombre de opera iones

heterogéneas.

Unidad 2

Capitaliza ión y des uento simple

2.1. Capitaliza ión simple o interés simple

2.1.1. Magnitudes derivadas

2.2. Intereses anti ipados

2.3. Cál ulo de los intereses simples. Métodos abreviados

2.3.1. Método de los multipli adores �jos

2.3.2. Método de los divisores �jos

2.4. Des uento simple omer ial


2.5. Cál ulo del des uento simple. Métodos abreviados



2.6. Des uento simple ra ional o matemáti o

2.6.1. Tanto de interés equivalente a uno de des uento

Ejer i ios propuestos

8 Capitaliza ión y des uento simple

2.1. Capitaliza ión simple o interés simple

Se denomina así, a la opera ión �nan iera que tiene por objeto la onstitu ión de un

apital mediante la apli a ión de la ley �nan iera de apitaliza ión simple, o bien, a

la que nos permite la obten ión de un apital �nan ieramente equivalente a otro, on

ven imiento posterior, apli ando la itada ley �nan iera.

La apitaliza ión simple o interés simple, es una opera ión �nan iera generalmente a

orto plazo, en la que los intereses no se a umulan al apital.

0

C0

tgα = i

n

Cn

I

Figura 2.1: Capitaliza ión simple

Las variables a onsiderar, son:

C0 = valor a tual o apital ini ial,

I = intereses,

Cn = valor �nal o montante de la opera ión,

i = tasa de interés,

n = número de períodos.

En ualquier aso, n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo.

En la apitaliza ión simple, el deudor, al ven imiento ha de pagar el apital más los

intereses, es de ir:

Cn = C0 + I (2.1)

El valor �nal Cn en apitaliza ión simple, trans urridos n períodos y al tanto i, lopodemos determinar para un apital C0, omo:

C1 = C0 + i C0 = C0(1 + i)C2 = C1 + i C0 = C0(1 + i) + i C0 = C0(1 + 2 i)C3 = C2 + i C0 = C0(1 + 2 i) + i C0 = C0(1 + 3 i).

.

.

Cn = Cn−1 + i C0 = C0

[1 + (n − 1)i

]+ i C0 = C0(1 + i n)

Cn = C0(1 + i n) (2.2)

expresión que rela iona el montante o apital �nal, trans urridos n períodos de apita-

liza ión, on el apital ini ial prestado.

Al término (1 + i n), se le denomina fa tor de apitaliza ión simple, y es un número tal

que multipli ado por el apital ini ial, nos permite obtener el apital �nan ieramente

equivalente al �nal del período n y que oin ide on el apital �nal Cn.

Si omparamos (2.1) on (2.2),

I = Cn − C0

I = C0(1 + i n)− C0

2.1 Capitaliza ión simple o interés simple 9

I = C0 + C0 i n− C0

obtenemos,

I = C0 i n (2.3)

expresión que nos permite obtener los intereses devengados o rendimiento produ ido por

un apital C0 durante un período n, y de la que se dedu e que éstos son propor ionales

al apital, al interés unitario y al tiempo.

Si expresamos el tiempo enm-ésimos de años (semestres, trimestres, meses, semanas,. . . )

las fórmulas (2.2) y (2.3) se pueden generalizar:

Cn = C0

(1 + i

n

m

)

I =C0 i n

m

siendo m la fra ión del año.

m = 1 años

m = 2 semestres

m = 4 trimestres

m = 12 meses

m = 24 quin enas

m = 52 semanas

m = 360 días del año omer ial

m = 365 días del año natural o ivil

Es usual de�nir el sistema de apitaliza ión simple por medio de las propiedades señala-

das a i. Así suele de irse que la fun ión de apitaliza ión simple es aquella que de�ne un

sistema �nan iero en que el rédito a umulado es propor ional a la amplitud del período.

Ejemplo 2.1 Cal ular los intereses produ idos y el importe total adeudado de un apital de

450e durante 60 días al 7% de interés simple.

I = C0 i n I = 450 · 0, 07 60

360= 5, 25

Cn = C0 + I Cn = 450 + 5, 25 = 455, 25

Utilizando la al uladora �nan iera, para obtener I y Cn,

60 n 7 i 450 CHS f INT obteniendo 5, 25

y pulsando + dará omo resultado 455, 25


Si despejamos C0 de (2.2) se tiene:

C0 =Cn

(1 + i n)(2.4)

que nos permite al ular el valor apital ini ial o a tual si se ono e el montante, el tanto

y la dura ión.

Para al ular n o número de períodos, se apli ará:

n =Cn − C0

C0 i(2.5)


Ejemplo 2.2 Cal ular el montante de 1 000e al 4% de interés anual, al abo de 90 días.

¾Cuánto tiempo será pre iso que trans urra para que el montante sea un 5% más?

Apli ando (2.2) y (2.5),

Cn = C0(1 + i n) Cn = 1 000

(1 + 0, 04

90

360

)= 1 010

n =Cn − C0

C0 in =

1 050− 1 000

1 000 · 0, 04 = 1, 25 años

2.2. Intereses anti ipados

En o asiones se plantean opera iones en las que el prestamista obra los intereses por

anti ipado, es de ir, en el mismo momento en el que se on ierta la opera ión.

Si el apital prestado es C0, el tipo de interés anti ipado i∗ y la dura ión n, los interesesse obtienen tal omo hemos visto en (2.3) omo I = C0 i∗ n, on lo que en el origen se

re ibe:

C0 − C0 i∗ n = C0(1− i∗ n)

Se debe veri� ar,

C0(1− i∗ n)(1 + i n) = C0

de donde,

i =

1

1− i∗ n− 1

n=

i∗

1− i∗ n

del mismo modo, i∗

i∗ =i

1 + i n

y si n = 1,

i =i∗

1− i∗i∗ =

i

1 + i(2.6)

2.3. Cál ulo de los intereses simples. Métodos abreviados

Los intereses, tal omo se ha visto en (2.3), tienen por uantía la expresión I = Cn−C0.

Normalmente, el tiempo n y el tipo de interés i están referidos al año omo unidad de

tiempo, pero al apli arse la ley de interés simple en opera iones a orto plazo (inferiores

al año), se apli an métodos abreviados uya utilidad prá ti a se mani�esta uando hay

que al ular los intereses produ idos por varios apitales. Los dos más utilizados son:


Si al produ to C0 n del apital por el tiempo se le designa por N y al o iente

i

360ó

i

365por M , enton es la fórmula para el ál ulo de los intereses se expresará mediante el

produ to del llamado número omer ial N , por el multipli ador �jo M , es de ir:

I = N M (2.7)

2.4 Des uento simple omer ial 11


Si i pasa a dividir al denominador y al o iente

360

ió

365

illamado divisor �jo, se le

representa por D la fórmula del interés se expresará:

I =N

D(2.8)

Ejemplo 2.3 Cal ular los intereses produ idos por un apital de 3 500e en 60 días a un tipo de

interés del 6% anual, si se utiliza el año omer ial utilizando para ello los métodos abreviados.

N = 3 500 · 60 = 210 000

M =0, 06

360= 0, 0001Û6

D =360

0, 06= 6 000

I = N M = 35 I =N

D= 35

2.4. Des uento simple omer ial

La ley �nan iera del des uento simple omer ial se de�ne omo aquella en la que los

des uentos de un periodo ualquiera son propor ionales a la dura ión del periodo y al

apital anti ipado o des ontado. Se trata de una opera ión inversa a la de apitaliza ión

simple. Cuando se des uenta un apital de uantía C0, por n años, el valor des ontado

C0

0 n

Cn

D

Figura 2.2: Des uento simple

o a tual que se obtiene es:

C0 = Cn(1− d n) (2.9)

Cn se ono e on los nombres de apital �nal o apital nominal y a C0 se le designa

omo valor a tual, valor efe tivo o valor des ontado.

Este sistema de des uento tiene omo limita ión n =1

dtal omo puede verse en el �gura

2.3 por tanto, será válido hasta n <1

d.


1

01

dn

Figura 2.3: Campo de validez


El número de años n y el tanto d se al ulan en:

n =Cn − C0

Cn d(2.10)

d =Cn − C0

Cn n(2.11)

Ejemplo 2.4 Cal ular el valor des ontado, en des uento omer ial, de un apital de 50 000e

que ven e dentro de 4 años, si el tanto de des uento es el 6%.

Ha iendo uso de (2.9), se tiene:

C0 = Cn(1 − d n) = 50 000 (1− 0, 06 · 4) = 38 000

2.5. Cál ulo del des uento simple. Métodos abreviados

El valor des ontado de un apital de uantía Cn que ven e dentro de n períodos es según

(2.9) C0 = Cn(1− d n) por lo que el des uento efe tuado es:

Dc = Cn − C0 = Cn d n (2.12)

debiendo tenerse presente que el tanto d y el tiempo n están referidos a la misma unidad

de tiempo (habitualmente el año). Al apli arse la ley de des uento simple omer ial en

opera iones a orto plazo, uya dura ión suele venir expresada en días (tal omo o urría

on la apitaliza ión simple), n representará una fra ión del año. La expresión (2.12),

según se utili e el año omer ial o el ivil, quedará del siguiente modo:

Dc = Cn dn

360Dc = Cn d

n

365


Designando por N = Cn n al número omer ial o simplemente número y al o iente

d

360ó

d

365por el multipli ador �jo M , el des uento simple omer ial, será:

Dc = N M (2.13)

2.6 Des uento simple ra ional o matemáti o 13


El des uento se expresa por el o iente Dc =N

Dsiendo N el número omer ial y D el

divisor �jo que representa la fra ión

360

dó

365

d.

Dc =N

D(2.14)

Ejemplo 2.5 Cal ular los des uentos efe tuados a un apital de 75 000e que ven e dentro de

120 días si se utiliza el año omer ial y el tipo de des uento es el 6%.

N = 75 000 · 120 = 9 000 000 M =0, 06

360= 0, 0001Û6

D =360

0, 06= 6 000

y apli ando las fórmulas (2.12) y (2.13), se tiene:

Dc = Cn dn

360= 75 000 · 0, 06 120

360= 1 500

Dc = N M = 9 000 000 · 0, 0001Û6 = 1 500

Dc =N

D=

9 000 000

6 000= 1 500

2.6. Des uento simple ra ional o matemáti o

El des uento ra ional, que designaremos por Dr, se al ula sobre el valor efe tivo. Es

igual al interés del efe tivo C0 durante el tiempo que falta para su ven imiento.

De la expresión de apitaliza ión simple Cn = C0(1+i n), resulta que el valor des ontadode un apital Cn, (disponible al abo de n períodos), será:

C0 =Cn

1 + i n(2.15)

El des uento ra ional, Dr = Cn − C0, es:

Dr =Cn n i

1 + i n(2.16)

expresión de la que se dedu e que el des uento ra ional no es propor ional al período de

anti ipo.

El valor Dr ha sido obtenido tomando omo dato el tipo de interés i que no debe ser

onfundido on el tanto de des uento. Considerando la expresión (2.3), el Dr se puede

también obtener omo:

Dr = C0 n i (2.17)



Estos son diferentes, pero abe hablar de un tanto de interés equivalente a uno de

des uento y vi eversa.

Dc = Cn d n = Cn

i n

1 + i n= Dr ⇒

d =i

1 + i n

i =d

1− d n

Para n = 1, se tiene:

d =i

1 + ii =

d

1− d(2.18)

Puede observarse que el valor de d es el interés anti ipado visto en 2.6.

Ejemplo 2.6 Cal ular el des uento ra ional que se efe tuará sobre un título de 30 000e nomi-

nales, que ven e dentro de 150 días, si el tomador del título desea obtener un tanto de interés

del 8% ¾Cuál sería la tasa de des uento equivalente?

El des uento ra ional es, apli ando (2.15):

Dr = 30 000

150

360· 0, 08

1 + 0, 08 · 150360

= 967, 74

El efe tivo en onse uen ia, es C0 = 30 000 − 967, 74 = 29 032, 26 el ual garantiza obtener la

rentabilidad.

El tanto de des uento equivalente al interés, sería:

d =i

1 + i n=

0, 08

1 + 0, 08 · 150360

= 0, 077419

El des uento omer ial, sería:

Dc = Cn d n = 30 000 · 0, 077419 · 150360

= 967, 74

que oin ide on el del ra ional.


Ejer i io 2.1 Una persona ha prestado una antidad al 8,5%. Después de 8 años y 3 meses la

retira, y la vuelve a prestar, on los intereses que le ha produ ido al 10,5%. ¾Cuál es la antidad

que prestó al 8,5%, sabiendo que al presente re ibe un interés anual de 5 000e?

Solu ión:C0=27990,62

Ejer i io 2.2 Dos apitales uya suma es de 35 500e han estado impuestos a interés simple

durante el mismo tiempo y al mismo tanto, produ iendo unos apitales �nales de 13 125e y

24 150e. ¾Cuáles eran di hos apitales?

Solu ión:C10=12500C

20=23000

Ejer i io 2.3 He omprado mer an ías por valor de 13 114e on un rédito de 15 meses; pero

si pago antes de este tiempo, me on eden un des uento del 5%. ¾En qué épo a tengo que pagar,

si no quiero desembolsar más que 12 489,60e?

Solu ión:n=11mesesy12días

Ejer i ios propuestos 15

Ejer i io 2.4 ¾Qué antidad es ne esario prestar al 5,50% para obtener 200e de intereses en

132 días?


Ejer i io 2.5 Cal ular el montante de un apital de 150 000e al 6% de interés anual olo ado

durante 1 año y 4 semanas en régimen de apitaliza ión simple.

Solu ión:Cn=159692,31

Ejer i io 2.6 Un apital se ha dividido en tres partes, y se ha impuesto la primera al 4%; la

segunda al 5%, y la ter era, al 6%, dando en total una ganan ia anual de 9 244e. Si la primera

y ter era parte del apital se hubieran impuesto al 5,5%, los intereses orrespondientes a estas

dos partes serían de 6 534e anualmente. Cal ular las tres partes del apital, sabiendo además

que la ter era es los 2/9 de la primera.


20=81200C

30=21600

Ejer i io 2.7 Un apital de uantía C se ha olo ado la uarta parte al 5% de interés durante

30 días, la mitad del resto se ha olo ado al 4% durante 60 días y la otra mitad al 8% durante

40 días. Determinar la uantía de C si los intereses totales son de 2 750e y se utiliza el año

omer ial.

Solu ión:C=400000

Ejer i io 2.8 Un apital olo ado durante 10 meses se ha onvertido, junto on los intereses,

en 29 760e. El mismo apital, menos sus intereses durante 17 meses, ha quedado redu ido a

27 168e. Determinar el apital y el tanto por iento a que ha estado impuesto.

Solu ión:C=28800i=4%

Ejer i io 2.9 Hallar por el método de los divisores �jos los intereses totales de los apitales,

olo ados en los tiempos que se indi an y dados a ontinua ión: 100 000e en 45 días; 75 000e

en 60 días; 60 000e en 120 días; 90 000e en 80 días; 150 000e en 90 días y 225 000e en 75

días. El tipo de interés apli able es del 6%.

Solu ión:I=8962,50

Ejer i io 2.10 Determinar el tiempo ne esario para que un apital de uantía C, olo ado al

tipo de interés i en régimen de apitaliza ión simple, genere un montante igual a 3 ve es el

apital ini ial.

Solu ión:n=2

i

Ejer i io 2.11 ¾Qué apital fue el que hizo que sus intereses fueran la mitad del mismo, sa-

biendo que el montante generado as endió a 1 237,40e?

Solu ión:C=824,93

Ejer i io 2.12 ¾Cuánto tiempo será ne esario para que un apital se transforme en otro in o

ve es mayor a un 8% de interés simple anual?

Solu ión:n=50años

Unidad 3

Opera iones a orto plazo

3.1. Introdu ión

3.2. Crédito omer ial

3.3. Des uento ban ario

3.3.1. Des uento de efe tos omer iales

3.3.2. Des uento �nan iero

3.4. Cuentas orrientes

3.4.1. Métodos para obtener el saldo

3.4.2. Método dire to

3.4.3. Método indire to

3.4.4. Método hamburgués

3.4.5. Cuentas orrientes a interés re ípro o y variable

3.4.6. Cuentas orrientes a interés no re ípro o

3.5. Cuentas orrientes ban arias a la vista

3.6. Cuentas de ahorro

3.7. Créditos en uenta orriente

3.8. Equilibrio �nan iero. Reserva matemáti a o saldo �nan iero

3.8.1. Ven imiento omún. Ven imiento medio


18 Opera iones a orto plazo

3.1. Introdu ión

Estas opera iones se ara terizan porque su dura ión suele ser inferior a un año. Desde

la perspe tiva �nan iera la distin ión entre una opera ión a orto plazo y otra a largo

está en la ley �nan iera on la que se valora. Se suelen utilizar leyes �nan ieras simples

en las opera iones a orto plazo y leyes �nan ieras ompuestas en las opera iones a largo

plazo.

3.2. Crédito omer ial

Son opera iones omer iales en las que el vendedor entrega la mer an ía en un determi-

nado momento y el omprador abona su importe una vez trans urrido el plazo onvenido.

En estas opera iones no suele expli itarse una ley �nan iera para su valora ión.

Desde la perspe tiva del omprador esta forma de rédito no tiene oste uando, o-

mo suele o urrir on ierta fre uen ia, no se apli a un re argo al pago aplazado. Si el

pre io al ontado es el mismo que si se paga de forma aplazada, el proveedor �nan ia

gratuitamente al liente y no existe ley �nan iera explí ita ni implí ita.

Sin embargo, los proveedores suelen ofre er un por entaje de des uento si se paga al

ontado; en este aso, la empresa liente debe medir el oste resultante de no a ogerse a

esta modalidad.

Si llamamos r al tipo de des uento (en tanto por uno) que apli a el proveedor y n al

número de días.

C0 = Cn(1− r) (3.1)

si omo hemos visto en (2.9),

C0 = Cn(1− d n)

lo igualamos on (3.1),

r = d n, y por tanto d =r

n

y en onse uen ia, para obtener i, lo sustituimos utilizando (2.18),

i =d

1− d n

Ejemplo 3.1 Si la empresa vendedora on ede un rédito omer ial a 60 días pero se apli a un

des uento del 5% si se paga al ontado, determinar el tanto de des uento omer ial y el tanto

equivalente en apitaliza ión simple.

d =0, 0560

360

= 0, 3

i =0, 3(

1− 0, 360

360

) = 0, 315789

Una alternativa para el vendedor es a udir al des uento ban ario. En este aso, el tanto

de oste del rédito omer ial que on ede es igual al tanto efe tivo al que resulta esa

opera ión de des uento.

3.3 Des uento ban ario 19

3.3. Des uento ban ario

El des uento ban ario es una opera ión simple, ban aria, en la que el ban o interviniente

asume la posi ión a reedora al entregar a su liente el valor a tualizado de un apital

futuro do umentado mediante un efe to de omer io

1

.

Para la obten ión del valor a tual se apli a el des uento omer ial al tanto estipulado,

dedu iéndose también la omisión ban aria, así omo el impuesto sobre A tos Jurídi os

Do umentados

2

.

Las opera iones de des uento están exentas de tributa ión por el impuesto sobre el valor

añadido (IVA)

3

; sin embargo, uando el ban o toma los efe tos en gestión de obro,

sin apli ar des uento, tributa por este impuesto la omisión obrada por prestar este

servi io.

El des uento ban ario distingue entre:

Des uento de efe tos omer iales uando los efe tos a des ontar pro eden de tran-

sa iones omer iales ( rédito omer ial) y se bus a liquidez a través del des uento.

Des uento �nan iero, uando se trata de una opera ión de rédito o préstamo que

on ede el ban o al liente y que se formaliza a través de un efe to de omer io.

3.3.1. Des uento de efe tos omer iales

Es una opera ión destinada a propor ionar liquidez a las empresas vendedoras ya que

transforma en dinero efe tivo los réditos omer iales on edidos a sus lientes. La a u-

mula ión de estos réditos suele o asionar problemas de tesorería al vendedor, y éste

para eliminar el mismo, puede a udir al ban o a des ontar esos réditos. Para ello, el

vendedor (librador) gira una letra ontra el omprador (librado) y la des uenta en un

ban o (tomador). En el des uento ban ario, el ban o realiza dos fun iones: por un lado

on ede rédito al liente, al entregarle el valor des ontado del nominal del efe to utili-

zando para ello la ley �nan iera de des uento omer ial, y por otro realiza la gestión de

obro del efe to al librado, por la que per ibe una omisión de obranza.

siendo,

C0 = efe tivo o des ontado,

Cn = nominal del efe to,

d = tanto de des uento omer ial apli ado por el ban o,

n = dura ión de la opera ión en días. Se des uentan los días naturales que han

de trans urrir, desde la fe ha de nego ia ión hasta la de su ven imiento,

aunque la base es de 360 días (año omer ial),

g = omisión de obranza propor ional al nominal del efe to, aunque se apli a

un gmin uando g Cn < gmin,

T = impuesto sobre A tos Jurídi os Do umentados,

G = otros gastos ( orreo, fax,. . . ).

1

El efe to más utilizado, es la letra de ambio, aunque también se pueden des ontar pagarés, re ibos,

warrants, et .

2

De a uerdo on el artí ulo 33 del Texto refundido del Impuesto sobre Transmisiones Patrimoniales

y A tos Jurídi os Do umentados, que indi a: �Están sujetas las letras de ambio, los do umentos que

reali en fun ión de giro o suplan a aquellas. . . Se entenderá que un do umento realiza fun ión de giro

uando a redite remisión de fondos. . . , o implique una orden de pago. . . �

3

Tal omo señala el Reglamento del impuesto en su artí ulo 13, 18.

o

h.


El efe tivo, se obtiene

C0 = Cn

(1− d

n

360− g)− T −G (3.2)

Ejemplo 3.2 Se efe túa una venta de 20 000e a pagar dentro de 90 días, do umentada median-

te una letra de ambio que se lleva a des ontar a un ban o, el ual apli a un tanto de des uento

omer ial del 8% y una omisión de obranza del 4%�. Determinar el efe tivo que obtiene el

vendedor, sabiendo que el IAJD es de 67,31e.

C0 = 20 000

(1− 0, 08

90

360− 0, 004

)− 67, 31 = 19 452, 69

Réditos y tantos efe tivos

Tanto desde la perspe tiva del ban o omo desde la del liente interesa ono er uál es el

rédito efe tivo de rendimiento que obtiene el primero y el rédito de oste al que le resulta

al segundo esta opera ión. Para ello, hay que igualar �nan ieramente lo que realmente

ha entregado y re ibido ada parte.

Réditos y tantos efe tivos para el ban o

Db = Cn − C0 Db = Cn −[Cn(1− d n− g)

]

Db = Cn(d n+ g)

rb =Cn(d n+ g)

Cn

rb = d n+ g (3.3)

El tanto efe tivo para el ban o se obtiene al estable er la e ua ión de equivalen ia �nan-

iera entre lo efe tivamente entregado por el ban o y lo que re ibe:

Cn(1− d n− g) = Cn(1− db n)

d n+ g = db n

db =d n+ g

ndb = d+

g

n(3.4)

En onse uen ia, db aumenta al disminuir la dura ión de n uando d y g permane en

onstantes.

Es más útil omo medida de referen ia de la rentabilidad, para poder ha er ompara io-

nes on otras alternativas el tanto de apitaliza ión simple equivalente ib.

Cn(1− d n− g)(1 + ib n) = Cn

(1− d n− g)(1 + ib n) = 1

1 + ib n =1

1− d n− g− 1

ib =d n+ g

(1− d n− g)n(3.5)

3.3 Des uento ban ario 21

Ejemplo 3.3 Sobre el des uento del efe to anterior de 20 000e a 90 días, determinar el rédito

efe tivo, la tasa de des uento y el tipo de interés equivalente.

rb = d n+ g = 0, 0890

360+ 0, 004 = 0, 0240

db = d+g

n= 0, 08 +

0, 00490

360

= 0, 0960

ib =d n+ g

(1− d n− g)n=

0, 0890

360+ 0, 004

(1− 0, 08

90

360− 0, 004

)90

360

=0, 0240

0, 2440= 0, 098361

Réditos y tantos efe tivos para el liente

En el aso del liente, el oste rc se obtendrá omo o iente entre el des uento realizado

y el nominal. Si onsideramos n en días:

rc =Cn − C0

Cn

=Cn

(d

n

360+ g)+ T

Cn

rc = dn

360+ g +

T

Cn

(3.6)

El tanto de des uento omer ial para el liente dc, se obtiene a través de la e ua ión de

equivalen ia efe tiva:

C0 = Cn

(1− dc

n

360

)

dc =Cn − C0

Cn

360

n(3.7)

o también,

dc =rcn

360

= d+

(g +

T

Cn

)360

n

El tanto equivalente en apitaliza ión simple ic debe umplir:

C0

(1 + ic

n

360

)= Cn

on lo que:

ic =Cn − C0

C0

360

n(3.8)

omo puede observarse, uanto menor sea n, mayor resulta ic uando las demás magni-

tudes no varían.

Ejemplo 3.4 Determinar para el ejemplo anterior los réditos y tantos de oste efe tivo para el

liente.

rc =Cn − C0

Cn

=20 000− 19 452, 69

20 000=

547, 31

20 000= 0, 0274

dc = rc360

n= 0, 0274

360

90= 0, 1095

ic =Cn − C0

C0

360

n=

547, 31

19 452, 69

360

90= 0, 1125


Límite de des uento

Aunque la rela ión entre el ban o y el liente puede ser o asional, lo más fre uente es

que la rela ión se establez a on ará ter ontinuado, en uyo aso el ban o efe túa un

estudio previamente a la empresa liente a través de la do umenta ión fa ilitada por

ésta (balan e, uenta de resultados, proveedores, lientes,. . . ). Conse uen ia del estudio

es la lasi� a ión de riesgo omer ial que el ban o asigna al liente y que se mani�esta

en un límite de des uento o volumen máximo de efe tos pendientes de ven imiento que

admite a des uento en ada fe ha.

Fa turas de des uento

Es fre uente que el liente presente una remesa de efe tos en vez de uno solo. En este aso,

lo ha e mediante un do umento que suele propor ionar el propio ban o, denominado

fa tura de des uento, en el que se detallan para ada efe to, el librado, la plaza, la

uantía nominal y el ven imiento. Los ban os suelen abonar en la uenta del liente el

nominal total de la fa tura admitida a des uento y posteriormente argan on la misma

fe ha el des uento efe tuado, in luyendo las omisiones y algún otro gasto que pudiera

haber, enviando al liente la liquida ión pra ti ada en la que se detallan para ada efe to

los mismos datos de la fa tura y además los días de des uento, los números omer iales,

tal omo se ha visto en (2.5.2), el tipo de des uento, omisiones y total adeudado.

Si los nominales on de uantías C1, C2, . . .Ct, on dura iones de n1, n2, . . .nt días,

hasta los ven imientos respe tivos, el efe tivo per ibido por el liente es:

E =(C1

(1− d

n1

360− g1

)− T1

)+ · · ·+

(Ct

(1− d

nt

360− gt

)− Tt

)=

=t∑

s=1

Cs −

t∑

s=1

Ns

D+

t∑

s=1

Cs gs +t∑

s=1

Ts

Des uento de letras persiana

Se denominan letras persiana a un onjunto de letras que tienen la misma uantía no-

minal y uyos ven imientos son periódi os. Suelen pro eder de ventas a plazos de bienes

muebles o inmuebles y la periodi idad más fre uente es la mensual.

Del mismo modo que en el des uento ban ario, el efe tivo que se obtiene es:

E = C

(1− d

1

m− g

)− T1 + C

(1− d

2

m− g

)− T2 + · · ·+

+ C

(1− d

n− 1

m− g

)− Tn−1 + C

(1− d

n

m− g)− Tn

E = C n

(1− d (n+ 1)

2 m− g

)−

n∑

s=1

Ts

3.4 Cuentas orrientes 23

Letras impagadas

Cuando una letra no es pagada a su ven imiento, el ban o arga en la uenta del liente

el importe nominal Cn mas los gastos de devolu ión que se han produ ido: protesto de la

letra ante notario Gp y las omisiones orrespondientes de devolu ión Cd y de protesto

por su gestión Cp, así omo otros posibles gastos de orreo, fax,. . .G.

En onse uen ia el importe total de la devolu ión Ct, será:

Ct = Cn + Cn Cd +Gp + Cp +G

Ejemplo 3.5 Una letra de nominal 10 000e girada por la empresa resulta impagada a su

ven imiento. Determinar la uantía que argará el ban o si la omisión de devolu ión es del

2,5%, los gastos de protesto as ienden a 45e, la omisión de protesto es de 15e y los otros

gastos suman 3e.

Ct = 10 000 + 10 000 · 0, 025 + 45 + 15 + 3 = 10 313

3.3.2. Des uento �nan iero

A diferen ia de los efe tos omer iales que orresponden a ventas a rédito, los efe tos

�nan ieros orresponden a opera iones de rédito que on eden los ban os a sus lientes y

que se do umentan mediante una o varias letras de ambio. Sus ven imientos habituales

son de 3 ó 6 meses, suele exigirse algún aval y puede ser intervenida por fedatario públi o.

Es fre uente formalizarla de manera que el avalista gire ontra el a reditado, quien la

a epta y des uenta en el ban o, o bien es el propio ban o quien gira ontra el a reditado

quien a epta siendo avalada por otra persona.

El efe tivo a per ibir será:

C0 = Cn

(1− d

n

360− g)− T (3.9)

3.4. Cuentas orrientes

Las uentas orrientes son opera iones ompuestas que tienen por objetivo propor ionar

�uidez a las rela iones omer iales entre las partes y onsistentes en el inter ambio

de apitales entre dos personas que a uerdan saldar las diferen ias �nan ieras en un

momento denominado fe ha de ierre. La ley �nan iera usualmente utilizada es la de

apitaliza ión simple.

En un sentido amplio, son opera iones de rédito re ípro o, postdeterminadas, ya que

no se ono en a priori los apitales futuros que van a onformar la opera ión. Cada parte

abre una uenta a la otra en la que se argan o abonan los apitales siguiendo las reglas

ontables. La obten ión del saldo permite liquidar la uenta, o bien pasarlo a uenta

nueva omo primer apital en el aso fre uente de que siga manteniéndose la rela ión

omer ial.


Clases

1. Atendiendo a la existen ia o no de intereses,

a) Cuentas orrientes simples o sin intereses, uando los apitales no devengan

intereses y el saldo se obtiene por simple diferen ia entre el debe y el haber

de la uenta.

b) Cuentas orrientes on intereses uando los apitales intervinientes devengan

intereses de a uerdo on la ley estable ida durante el tiempo que media hasta

la fe ha de ierre. En este aso, abe distinguir:

1) Cuentas orrientes on interés re ípro o, uando la ley �nan iera es úni a

para ambas partes.

2) Cuentas orrientes on interés no re ípro o, uando se apli a distinta ley

�nan iera a los saldos según sean deudores o a reedores.

3) Cuentas orrientes a interés variable, uando se apli a más de un tanto

de valora ión a lo largo de la dura ión.

2. Atendiendo a las partes intervinientes,

a) Cuentas orrientes omer iales, uando se estable en entre empresas o em-

presarios en general, los uales se on eden réditos re ípro amente.

b) Cuentas orrientes ban arias, uando una de las partes es una entidad de

rédito (ban os, ajas de ahorro,. . . ). El rédito es unilateral salvo a uerdo

expreso. Se distingue entre una uenta orriente a la vista, uenta de ahorro

y uenta de rédito.

3.4.1. Métodos para obtener el saldo

Los métodos más utilizados a lo largo del tiempo han sido tres: dire to, indire to y

hamburgués. Todos tratan de obtener el saldo de una forma sen illa y rápida, pero

también general en uanto a los asos que puedan presentarse. En la prá ti a suele

Dt1

C1

t2

C2

t3

C3

tn

Cn

Ht′1

C′

1

t′m

C′

m

tiempofinal

Figura 3.1: Cuenta orriente

operarse on números omer iales trun ados, es de ir, pres indiendo de las dos últimas

ifras y redondeando si es pre iso para eliminar partes de imales. Lógi amente en el

divisor �jo también se pres inde de las dos últimas ifras; esto se ha e para trabajar

on números más manejables teniendo en uenta que estas dos últimas ifras no tienen

in iden ia prá ti a per eptible.

Para al ular el número de días, se uentan los días naturales que trans urren entre el

ven imiento de ada apital y la fe ha de ierre de la uenta.

3.4 Cuentas orrientes 25

3.4.2. Método dire to

Considera que ada apital, deudor o a reedor, devenga intereses durante los días que

median desde la fe ha de su ven imiento hasta el momento de liquida ión.

3.4.3. Método indire to

En este sistema los apitales generan intereses desde la fe ha en la que se originan

hasta una fe ha �ja denominada épo a. Ello supone un ál ulo de intereses que no

se orresponden on la realidad, por lo que uando se onoz a la fe ha de liquida ión

deberán re ti� arse.

De los métodos de ál ulo, por su utiliza ión prá ti a se des ribe seguidamente el método

hamburgués.

3.4.4. Método hamburgués

También es ono ido omo método de los saldos o método es alar porque los números

se van al ulando sobre los saldos par iales de uantías, o sea, ha iendo tantas es alas

omo apitales intervengan. La me áni a operatoria es la siguiente:

Se anotan los datos del primer apital en las olumnas del debe o del haber según

orresponda, ex epto los días que no pueden anotarse hasta que no se onoz a la

fe ha y ven imiento del segundo apital.

Cuando se onoz a el ven imiento del segundo apital, además de ompletar los

días y número de la primera �la, se anotan los datos de la segunda in luido el

saldo orrespondiente a las dos primeras uantías, quedando pendientes los días y

número que sólo se ono erán uando lo sea el ter er apital. Así se va repitiendo

su esivamente hasta llegar a la fe ha de ierre. Los días por los que hay que multi-

pli ar al último saldo son los omprendidos entre el ven imiento del último apital

y la fe ha de ierre.

Los días se uentan desde que ven e un apital hasta que ven e el que tiene la

fe ha siguiente. Se anotan los días que trans urren entre dos intervalos. Los saldos

de uantías se van obteniendo su esivamente en ada ven imiento.

En general, uando hay n saldos par iales deudores (Sr) y m a reedores, (S′

r), el saldo

�nal es:

Sp = Sn+m +

n∑

r=1

Sr nr −m∑

r=1

S′

r n′

r

D

Siendo Sn+m el saldo de uantías (∑

Cs −∑

C ′

s) y Sp, el saldo �nal, suma de saldo de

uantías y de los intereses. Si Sp > 0 el saldo es deudor y si Sp < 0, el saldo es a reedor.

3.4.5. Cuentas orrientes a interés re ípro o y variable

Son aquellas en las que se modi� a el tipo de interés en algún momento del trans urso

de la opera ión.


Método hamburgués

Para la determina ión de los intereses y el saldo, se produ e normalmente hasta la fe ha

en que ambia el tanto. La última uantía on ven imiento anterior a di ha fe ha se

multipli a por los días que trans urren entre ese ven imiento y la fe ha de ambio para

al ular el último número que produ e interés a tanto i′.

Se ontinúa on el saldo de uantías anterior durante los días que falten hasta el ven i-

miento de la siguiente uantía, siguiendo luego normalmente on la apli a ión del método

hamburgués.

3.4.6. Cuentas orrientes a interés no re ípro o

En esta modalidad de uentas orrientes, el tipo de interés que se apli a a los saldos

deudores es distinto del que se apli a a los saldos a reedores. El método hamburgués es

el más apropiado en estos asos porque los números omer iales se al ulan a partir de

los saldos y no de las uantías, omo o urre al apli ar los métodos dire to e indire to.

Se pueden dar los siguientes asos:

1. Cuando todos los saldos de una uenta son de la misma lase (todos deudores o

todos a reedores), la obten ión de los intereses es muy sen illa, apli ando a la suma

de números el divisor �jo al tanto (deudor o a reedor) que orresponda. Este aso

es fre uente en las uentas orrientes ban arias.

2. Cuando habiendo saldos de distinta lase, los asientos ontables están ordenados

por fe has de ven imiento de las uantías, el saldo también se obtiene on gran

fa ilidad, teniendo en uenta que ahora hay dos divisores �jos distintos, D y D′.

Sp = Sn+m +

n∑

r=1

Sr nr

D−

m∑

r=1

S′

r n′

r

D′

3. Cuando habiendo saldos de distinta lase, los asientos ontables no están ordenados

por ven imientos hay que pro eder on uidado para asignar los días y números,

deudores o a reedores, orre tamente.

La forma más sen illa es ordenar las partidas por sus ven imientos, on lo ual se

estará en el aso anterior. El empleo de una hoja de ál ulo fa ilita enormemente

la labor.

3.5. Cuentas orrientes ban arias a la vista

Son a tualmente la modalidad más generalizada de uentas orrientes y son abiertas

por los ban os, ajas de ahorro y entidades de rédito ooperativo a peti ión de sus

lientes. Son opera iones ban arias pasivas de rédito unilateral a favor del liente salvo

ex ep iones en las que se permite la existen ia de saldo deudor (des ubierto en uenta)

siendo en este aso el tanto de interés no re ípro o.

El método hamburgués es el que se utiliza en la prá ti a ban aria puesto que se adapta

mejor que los otros métodos para el tratamiento de los asos de des ubiertos en uenta

(interés no re ípro o).

3.6 Cuentas de ahorro 27

El tanto a que el ban o abona intereses es muy bajo, no superando el 1% anual y siendo

el 0,1% el tipo más fre uente. Los días se obtienen de a uerdo a la valora ión de la

Cir ular 8/90, de 7 de septiembre del Ban o de España sobre sobre transparen ia de las

opera iones y prote ión de la lientela. Contabilizan de la siguiente forma: los abonos

en la uenta ven en el día hábil siguiente al que se realizan, y los argos, el mismo día

en que se realizan. Los intereses suelen liquidarse mensualmente y tienen una reten ión

a uenta del impuesto.

Ejemplo 3.6 La uenta on la empresa a interés re ípro o del 12% y ierre al 31 de di iembre,

ha tenido los siguientes movimientos durante el último trimestre:

Fe ha Con epto Importe Ven imiento

01/10 Saldo anterior a n/favor 46 400 30/09

06/10 Ingreso heque 50 000 06/11

20/10 Pago heque 30 000 06/11

15/11 Pago transferen ia 25 000 15/11

30/11 Ingreso en efe tivo 10 000 30/11

14/12 Pago heque 80 000 14/01

Obtener el saldo y efe tuar la liquida ión de la uenta.

Cuantía Números

Fe ha Vto. Con epto Debe Haber Saldo Días Deudores A reedores

01/10 30/09 Saldo anterior a n/favor 46 400,00 46 400,00 D 37 17 168

06/10 06/11 Ingreso heque 50 000,00 96 400,00 D 0 0

20/10 06/11 Pago heque 30 000,00 66 400,00 D 9 5 976

15/11 15/11 Pago transferen ia 25 000,00 41 400,00 D 15 6 210

30/11 30/11 Ingreso en efe tivo 10 000,00 51 400,00 D 45 23 130

14/12 14/01 Pago heque 80 000,00 28 600,00 H -14 -4 004

31/12 31/12 Intereses a n/favor 1 749,47 26 850,53 H

31/12 31/12 Intereses a s/favor 133,47 26 984,00 H

92 52 484 -4 004

Los intereses deudores, se obtienen omo,

Id =5 248 400

360

0, 12

= 1 749, 47

Del mismo modo, los a reedores,

Ih =400 400360

0, 12

= 133, 47

3.6. Cuentas de ahorro

Son otra modalidad de rela ión entre ban o y liente y pueden abrirse en ualquiera de

las institu iones �nan ieras des ritas en el apartado anterior. El ban o entrega al titular

una libreta de ahorro en la que se van anotando los movimientos de apitales y los

saldos. Suelen retribuirse a un tipo algo mayor que las uentas orrientes a la vista. En

la prá ti a, on las uentas de ahorro se pueden realizar el mismo tipo de opera iones que

on las uentas ban arias a la vista, on la diferen ia de que no se dispone de heques.

Los días se ontabilizan siguiendo el pro edimiento quin enal.


3.7. Créditos en uenta orriente

Los réditos son opera iones a tivas realizadas por los ban os o ajas de ahorro por

las que ponen apital a disposi ión del liente hasta un límite �jado en el ontrato

que re ibe el nombre de póliza y suele estar intervenida por fedatario públi o. Para su

instrumentaliza ión prá ti a el ban o abre una uenta de rédito al liente donde se

argan o abonan las transa iones que vaya efe tuando éste, así omo los intereses y

omisiones estable idas, debiendo ser an elado en la fe ha �jada en el ontrato.

En general son opera iones de rédito unilateral a favor del ban o, si bien el liente

puede situarse en posi ión a reedora en algún momento, siendo en estos asos el interés

no re ípro o, on un tanto muy superior para los saldos deudores.

Los ban os suelen exigir al liente ompensa iones mediante reten iones en uenta u

otras modalidades que le permitan disminuir el riesgo y obtener una rentabilidad om-

plementaria, lo ual representa para el liente un mayor oste de �nan ia ión. También

suelen exigir garantías:

garantía personal, uando se on eden en base a la solven ia y on�anza personal

que mere e el liente, exigiéndole fre uentemente la �rma de algún avalista.

garantía real, uando se afe tan al buen �n de la opera ión bienes muebles (prenda)

o bienes inmuebles (hipote a).

Cuando el rédito se materializa en una uenta orriente, se suele llevar por el método

hamburgués.

3.8. Equilibrio �nan iero. Reserva matemáti a o saldo �-

nan iero

En el estudio de toda opera ión �nan iera, hemos de re ordar la equivalen ia �nan iera

(véase 1.3, en la página 3). El equilibrio se estable e uando el valor de la presta ión

es igual al valor de la ontrapresta ión en un punto ualquiera p en base a una ley

�nan iera. Lo usual es plantear la equivalen ia (igualdad de sumas �nan ieras) en el

origen o al �nal de la opera ión.

Si suponemos que el valor de la presta ión y ontrapresta ión son, respe tivamente, en

el origen S0(A) y S0(D) debiendo veri� arse la igualdad S0(A) = S0(D) entre las sumas

�nan ieras y ontinuará satisfa iéndose en todo punto p, on 0 < p < n, siendo n la

dura ión de la opera ión.

Por tanto, si se designa:

S11(A) = al valor en p de la presta ión ven ida o anterior a pS12(A) = al valor en p de la presta ión pendiente o posterior a pS21(D) = al valor en p de la ontrapresta ión ven ida o anterior a pS22(D) = al valor en p de la ontrapresta ión pendiente o posterior a p

debiendo veri� arse por exigen ia de la equivalen ia �nan iera:

Sp(A) = S11(A) + S12(A) = S21(D) + S22(D) = Sp(D)

y de esta igualdad, se sigue:

S11(A)− S21(D) = S22(D)− S12(A)

3.8 Equilibrio finan iero. Reserva matemáti a o saldo finan iero 29

La diferen ia Rp = S11(A) − S21(D) re oge el saldo entre el valor de lo entregado por

A (re ibido por D) y por D (re ibido por A) y re ibe el nombre de reserva matemáti a

o saldo �nan iero por el método retrospe tivo por haber sido al ulada volviendo al

pasado. Si Rp > 0 el valor de lo entregado por A supera a lo entregado por D y en aso

de pretender �nalizar la opera ión en este punto (o simplemente restable er el equilibrio

�nan iero), A tendría que re ibir de D el valor del saldo. Cuando sea Rp < 0 la situa ión,sería la ontraria.

Rp = S22(D) − S12(A) re ogen la diferen ia del valor de lo que tienen que entregar D(re ibir A) y A (re ibir D) y se denominan reserva matemáti a o saldo �nan iero por el

método prospe tivo por haber sido al ulada en fun ión de los ompromisos futuros de

deudor y a reedor.

3.8.1. Ven imiento omún. Ven imiento medio

Sean los apitales (C1, t1), (C2, t2), · · · , (Cn, tn) que se pretende sustituir por un úni o

apital (C, p) de tal manera que resulte equivalente a todos los n apitales dados. El

apital (C, p) será la suma �nan iera de los (Cs, ts) y su ven imiento p re ibe el nombre

de ven imiento omún.

Ven imiento omún

Partiendo de (2.9):

C(1− d p) =n∑

s=1

Cs(1− d ts)

C =

n∑

s=1

Cs

1− d ts1− d p

p =

C −n∑

s=1

Cs(1− d ts)

C d(3.10)

uando los ven imientos vienen dados en días, apli ando los métodos abreviados para el

ál ulo, la expresión (3.10) se onvierte en:

C =

n∑

s=1

Cs −

n∑

s=1

Ns

D

1− p

D

p =

(C −

n∑

s=1

Cs

)D +

n∑

s=1

Ns

C(3.11)

Ven imiento medio

La solu ión al ven imiento medio es:

C =

n∑

s=1

Cs p =

n∑

s=1

Cs −n∑

s=1

Cs(1− d ts)

d

n∑

s=1

Cs

=

n∑

s=1

Csts

n∑

s=1

Cs

(3.12)

que es la media aritméti a de los ven imientos ponderada on las uantías de los api-

tales.


Si el tiempo viene expresado en días, expresaremos la fórmula (3.12) en fun ión del

divisor �jo D y de los números omer iales N :

C =

n∑

s=1

Cs p =

n∑

s=1

Ns

n∑

s=1

Cs

(3.13)

Ejemplo 3.7 Tres efe tos de nominales 1 000e, 1 500e y 2 500e ven en respe tivamente den-

tro de 30, 60 y 90 días. ¾Cuál será el nominal del efe to que sustituye a los tres anteriores si su

ven imiento es dentro de 120 días? ¾Cuál sería el ven imiento de un efe to de nominal 5 000e?

Para la valora ión, debe onsiderarse una tasa de des uento del 6% y el año omer ial.

Para el ven imiento omún,

n∑

s=1

Cs = 1 000 + 1 500 + 2 500 = 5 000

n∑

s=1

Ns = 1 000 · 30 + 1 500 · 60 + 2 500 · 90 = 345 000

D =360

0, 06= 6 000

C =5 000− 345 000

6 000

1− 120

6 000

= 5 043, 37

Y el ven imiento medio,

C =

n∑

s=1

Cs = 5 000 p =345 000

5 000= 69 días.


Ejer i io 3.1 ¾Qué rebaja debe ha erse sobre un total de 1 869,75e, pagadas 11 meses antes

del ven imiento, si se obtiene un 0,5% de des uento mensual?

Solu ión:D=102,84

Ejer i io 3.2 Determinar la fe ha de ven imiento de un efe to de 75 150e, sabiendo que si se

des uenta hoy al 3% se retienen 0,30e más por el pro edimiento omer ial que por el ra ional.

Solu ión:n=24días

Ejer i io 3.3 Se remiten a un ban o dos efe tos: uno de 2 000e pagadero a los 60 días, y otro

de 2 500e pagadero a los 36 días; el banquero des uenta ambos efe tos al 5% y retiene además

el 1%� de omisión sobre la antidad es rita en ada efe to. ¾Cuánto debe per ibir el portador?



Ejer i io 3.4 En pago de diversas ompras he �rmado 3 letras a la orden la 1.

a

de 800e, que

ven e dentro de 20 días; la 2.

a

de 1 500e, pagadera dentro de 45 días, y la 3.

a

de 3 200e, uyo

importe debo satisfa er dentro de 60 días. ¾Cuál debe ser el nominal de un efe to equivalente a

estas letras, al plazo de 50 días y al 5% de interés?


Ejer i io 3.5 Un parti ular ha �rmado a favor de un banquero tres efe tos: uno de 3 800e

pagadero a los dos meses; otro de 7 600e, a los in o meses, y el ter ero, de 11 400e, a los o ho

meses. Posteriormente onviene on su a reedor en pagarle de una vez el total de su deuda. ¾En

qué tiempo debe ha erlo para que haya ompensa ión?

Solu ión:p=6meses

Ejer i io 3.6 Un omer iante ha de ha er 4 pagos de 5 000e ada uno. El primero a los 10

días, el segundo a los 15 días, el ter ero a los 30 días y el uarto a los 90 días. ¾Qué día podrá

liquidar todas sus deudas on un pago úni o?

Solu ión:p=36días

Ejer i io 3.7 Un omer iante debe pagar un efe to de 6 000e a los 40 días y obrar una letra

de 2 000e a los 30 días. ¾Cuál es el ven imiento medio de estos efe tos?

Solu ión:p=45días

Ejer i io 3.8 Un fabri ante propone a un liente que adquiera una maquinaria uyo pre io

es de 110 000e al ontado, sus ribiendo 4 letras de 30 000e ada una, y on ven imientos

respe tivos de 3, 6, 9 meses y 1 año, a partir del envío de aquella. Determinar a qué tanto se

realizó la opera ión.

Solu ión:d=0,13333

Ejer i io 3.9 Determinar el valor de las siguientes obliga iones en el día de hoy: 100 000e

on ven imiento en el día de hoy, 200 000e on ven imiento a los 6 meses al 5% de interés y

300 000e on ven imiento a un año on intereses al 6%.

Solu ión:C0=578140,82

Ejer i io 3.10 Un omer iante debe 10 100e on ven imiento en 2 meses, 20 200e on ven-

imiento en 5 meses y 30 300e on ven imiento en 8 meses. Se desea saldar todas las deudas

mediante dos pagos iguales, uno on ven imiento en 6 meses y otro on ven imiento en 10 meses.

Determinar el importe de di hos pagos suponiendo un interés del 6%.

Solu ión:C=30603

Ejer i io 3.11 Se des uenta un efe to de 45 000e nominales en una entidad de rédito que

apli a a estas opera iones un tanto de des uento del 6% y una omisión del 0,75%� sobre el

nominal por ada 90 días o fra ión. Determinar el efe tivo per ibido por el liente si des uenta

el efe to on 70 días de antela ión al ven imiento.


Ejer i io 3.12 El 22 de septiembre se ha des ontado un efe to por el que se han obrado

3 742e en on epto de des uento omer ial. Si el ven imiento del mismo es el 2 de noviembre y

se apli a un 6,72% anual, ¾ uál es el nominal?



Ejer i io 3.13 Cal ula el des uento ra ional de un efe to por el que se re ibieron 23 748,23e.

Su ven imiento fue el 22 de o tubre y se apli ó un tipo del 5% anual, des ontándose el 24 de

junio.

Solu ión:Dr=395,80

Ejer i io 3.14 ¾Cuál ha sido el efe tivo per ibido en un des uento ra ional por el que se han

des ontado 472,20e, ven e dentro de 45 días y se ha apli ado el 6,22% de interés?


Ejer i io 3.15 Cal ula el tipo de des uento omer ial equivalente a un tipo de des uento ra-

ional del 7,39% anual para una opera ión a un semestre.

Solu ión:d=7,127%

Ejer i io 3.16 Determinar el líquido a abonar por el ban o si des ontamos los efe tos siguien-

tes: 1 500e on ven imiento 5/11, 3 000e al 8/12, 4 000e al 28/12 y 500e al 5/1 del año

siguiente, sabiendo que la entidad nos apli ará una tasa del 6% para los ven imientos anteriores

a 30 días, 7% entre 31 y 60 días y 8% para los ven imientos posteriores a los 60 días. Además,

nos obrará una omisión del 1,5%� on un mínimo de 2e y la fe ha de des uento es el 14/10.


Ejer i io 3.17 Obtener el líquido que abonará una entidad �nan iera en la que se des uentan

on fe ha 14/10 los siguientes efe tos: 12 800e on ven imiento 5/12, 31 500e el 20/12 y 410e

el próximo 10/1. La tasa de des uento es del 7,5% y la omisión del 2,5%� on un mínimo de

3e.


Unidad 4

Capitaliza ión y des uento

ompuesto

4.1. Capitaliza ión ompuesta


4.2. Compara ión entre la apitaliza ión simple y ompuesta

4.3. Equivalen ia de tantos en apitaliza ión ompuesta

4.4. Capitaliza ión ompuesta en tiempo fra ionario

4.4.1. Convenio exponen ial

4.4.2. Convenio lineal

4.5. Capitaliza ión ontinua

4.6. Des uento ompuesto

4.6.1. Des uento ra ional ompuesto

4.6.2. Des uento omer ial ompuesto



34 Capitaliza ión y des uento ompuesto

4.1. Capitaliza ión ompuesta

Se denomina así, a la opera ión �nan iera según la ual los intereses produ idos por

un apital en ada periodo se agregan al apital para al ular los intereses del periodo

siguiente y así su esivamente hasta el momento de ierre de la opera ión �nan iera.

La apitaliza ión ompuesta o interés ompuesto, es una opera ión �nan iera general-

mente a largo plazo ( on una dura ión superior al año) en la que los intereses se a umulan

al apital al �nal de ada periodo.

0

C0

i

n

Cn

I

Figura 4.1: Capitaliza ión ompuesta


C0 = valor a tual o apital ini ial,

I = intereses,

Cn = valor �nal o montante de la opera ión,

i = tasa de interés,

n = número de períodos.

En ualquier aso, n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo.

En la apitaliza ión ompuesta, el deudor, al ven imiento ha de pagar el apital más los

intereses. El valor �nal Cn en apitaliza ión ompuesta, trans urridos n períodos y al

tanto i, lo podemos determinar para un apital C0, omo

C1 = C0 + C0 i = C0 (1 + i)C2 = C1 + C1 i = C0 (1 + i) (1 + i) = C0 (1 + i)2

C3 = C2 + C2 i = C0 (1 + i)2 (1 + i) = C0 (1 + i)3

.

.

.

Cn = Cn−1 +Cn−1 i = C0 (1 + i)n−1 (1 + i) = C0 (1 + i)n

Cn = C0 (1 + i)n (4.1)

expresión que rela iona el montante o apital �nal, trans urridos n períodos de apita-

liza ión, on el apital ini ial prestado.

A la expresión (1 + i)n la denominaremos fa tor de apitaliza ión ompuesta, ya que al

apli arla sobre el valor a tual nos permite obtener el valor �nal o montante equivalente.

Independientemente de la ley �nan iera utilizada, los intereses generados, serán la dife-

ren ia entre el apital �nal e ini ial, y por tanto:

Cn = C0 + I I = Cn − C0 I = C0 (1 + i)n − C0

I = C0

[(1 + i)n − 1

](4.2)

La apitaliza ión ompuesta onsiste en un pro eso de a umula ión de los intereses al

apital para produ ir onjuntamente nuevos intereses, periodo tras periodo, hasta llegar

al �nal de la opera ión �nan iera. Grá� amente, la a umula ión de intereses, se vería

tal omo se muestra en la �gura 4.2.

4.1 Capitaliza ión ompuesta 35

0

C0

1

Cn

I1

2

I2

n

In

0

C0

1

Cn

I1

2

I2

n

In

Figura 4.2: A umula ión de intereses en la apitaliza ión ompuesta

Ejemplo 4.1 Determinar el montante de un apital de 1 000e, invertido al 6% de interés om-

puesto anual durante 10 años.

Cn = C0 (1 + i)n Cn = 1 000 (1 + 0, 06)10 = 1 790, 85

Utilizando la al uladora �nan iera, para obtener Cn,

1000 CHS PV 10 n 6 i FV obteniendo la respuesta de 1 790, 85


Si despejamos C0 en (4.1), resulta:

C0 =Cn

(1 + i)no C0 = Cn(1 + i)−n

(4.3)

La expresión (1 + i)−nre ibe el nombre de fa tor de a tualiza ión ompuesta, ya que al

apli arla sobre el valor �nal obtenemos el apital ini ial o valor a tual.

Para al ular n, tomando logaritmos y partiendo de Cn = C0 (1 + i)n,

logCn = logC0 + n log(1 + i)

n =logCn − logC0

log(1 + i)(4.4)

Partiendo de la propia ley (4.1), despejaremos i,

Cn = C0 (1 + i)nCn

C0= (1 + i)n

(Cn

C0

) 1n

= (1 + i)

i =

(Cn

C0

) 1n

− 1 (4.5)

Ejemplo 4.2 Determinar el apital a invertir en apitaliza ión ompuesta al 5% de interés

para que en 4 años se onvierta en 6 000e.

C0 =Cn

(1 + i)nC0 =

6 000

(1 + 0, 05)4= 4 936, 21

Con la al uladora �nan iera, para obtener C0,

5 i 4 n 6000 FV PV obteniendo omo respuesta −4 936, 21


Ejemplo 4.3 Determinar el tipo de interés i al que deben invertirse 1 000e para obtener en 8

años un montante de 1 368,57e.

i =

(Cn

C0

) 1n

− 1 i =

(1 368, 57

1 000

) 18

− 1 = 0, 04 = 4%

Con la al uladora �nan iera, para obtener i,

1000 CHS PV 8 n 1368, 57 FV i obteniendo el valor 4

Ejemplo 4.4 Determinar el tiempo ne esario para que un apital de 2 000e olo ado a interés

ompuesto del 5% anual, se onvierta en 5 306,60e.

n =logCn − logC0

log(1 + i)n =

log 5 306, 60− log 2 000

log(1 + 0, 05)= 20 años

Utilizando la al uladora �nan iera, para obtener n,

2000 CHS PV 5 i 5306, 6 FV n obteniendo el resultado de 20

4.2. Compara ión entre la apitaliza ión simple y ompues-

ta

Los montantes obtenidos en la apitaliza ión simple y ompuesta, son:

Cn = C0 (1 + i n) Capitaliza ión simple (L1),

Cn = C0 (1 + i)n Capitaliza ión ompuesta (L2).

Ambas expresiones se diferen ian entre sí por los fa tores de apitaliza ión: (1 + i)n en

la apitaliza ión ompuesta y (1 + i n) en la apitaliza ión simple.

Si representamos grá� amente las fun iones, obtendríamos la �gura 4.3.

0

C0

1

Cn en L1

Cn en L2

Figura 4.3: Compara ión entre la apitaliza ión simple y ompuesta

De la ompara ión podemos de ir que el montante de apitaliza ión es mayor en la

apitaliza ión simple para periodos inferiores al año, igual para un año y menor para

los periodos superiores al año.

Podemos on luir di iendo que la apitaliza ión simple puede onsiderarse omo una

simpli� a ión prá ti a de la ompuesta, uando el número de períodos varía entre 0 y

1, es de ir, uando se opera a orto plazo.

4.3 Equivalen ia de tantos en apitaliza ión ompuesta 37

4.3. Equivalen ia de tantos en apitaliza ión ompuesta

En la apitaliza ión ompuesta no existe propor ionalidad entre los tantos de interés

referidos a distintos períodos de tiempo, al ontrario que en la simple.

En la apitaliza ión simple, el apital �nal que se obtiene al abo de n años al tipo de

interés i, es el mismo que el obtenido al abo de n m períodos al tipo de interés i(m),

siendo i(m)la m-ésima parte de i, y m el número de subperíodos en los que dividimos

al año.

Es de ir, se umplirá:

Cn = C0 (1 + i n)

Cnm = C0

(1 + i(m) nm

)}

siendo i(m) =i

m, tendremos que Cn = Cnm

En la apitaliza ión ompuesta, no existe esta propor ionalidad, ya que:

Cn = C0 (1 + i)n

Cnm = C0

(1 + i(m)

)nm

}siendo i(m) =

i

m, se umplirá que Cn 6= Cnm

Por tanto, en apitaliza ión ompuesta es importante ono er la fre uen ia de apitali-

za ión, que designaremos por m, uando ésta es inferior al año y que ya de�nimos (veáse

la página 9) omo el número de ve es que los intereses se in orporan al apital dentro

del año.

Tendremos que determinar, en el régimen de apitaliza ión ompuesta de tanto efe tivo

anual i, el tanto de fre uen ia i(m)que debe regir para otra apitaliza ión ompuesta de

periodo m-ésimo, de forma que ambas apitaliza iones sean equivalentes.

El montante al abo de n años en apitaliza ión ompuesta al tanto efe tivo i, es:

Cn = C0 (1 + i)n

En apitaliza ión ompuesta al tanto de fre uen ia i(m), el montante al abo de n años,

es de ir m n, m-ésimos de año es,

Cn = C0

(1 + i(m)

)nm

La equivalen ia impli a la igualdad de montantes, por lo que,

C0 (1 + i)n = C0

(1 + i(m)

)nm

(1 + i)n =(1 + i(m)

)nm

extrayendo la raíz n en ambos miembros,

(1 + i(m)

)m= 1 + i (4.6)

e ua ión de los tantos equivalentes o equivalen ia de tantos.

Podemos on luir que dos tantos son equivalentes uando apli ado el pro eso de apitali-

za ión ompuesta al mismo apital ini ial y durante el mismo tiempo produ en apitales

�nales iguales.

Si en (4.6), extraemos la raíz m-ésima, tendremos:

1 + i(m) = (1 + i)1m

de donde i(m) = (1 + i)1m − 1


expresión que nos permite ono er el tanto de fre uen ia en fun ión del tanto efe tivo

anual. Análogamente,

i =(1 + i(m)

)m− 1

La TAE (Tasa Anual Equivalente o Efe tiva), regulada por el Ban o de España en la

Cir ular 8/90, de 7 de septiembre, intenta ser una unidad homogénea de medida. Esta

tasa in luye el efe to de determinados gastos, omo las omisiones que afe tan el oste o

rendimiento �nal de la opera ión. La forma de ál ulo indi ada por el Ban o de España

indi a expresamente las partidas que deben in luirse tanto en la presta ión omo en la

ontrapresta ión, dejando fuera mu has ve es antidades que suponen un in remento en

el oste efe tivo para el sujeto pasivo. Si no existen gastos en una opera ión �nan iera,

la TAE oin idirá on el interés efe tivo anual i.

Por otra parte, se de�ne el tanto nominal J (m), omo un tanto teóri o que se obtiene

multipli ando la fre uen ia de apitaliza ión m por el tanto de fre uen ia o equivalente.

J (m) = m i(m)(4.7)

Este tanto re ibe también el nombre de TIN (Tipo de Interés Nominal anual). En la

�gura 4.4 puede verse la representa ión grá� a.

0

C0

1

Cn on i(m)

Cn on J (m)

I1

2

I2

n

Figura 4.4: Equivalen ia de tantos

Ejemplo 4.5 Determinar el montante de un apital de 7 500e invertido al 6% anual apitali-

zable por trimestres durante 10 años.

Utilizando el tanto de fre uen ia equivalente,

i(4) =J (4)

4=

0, 06

4= 0, 015

Cnm = C0

(1 + i(m)

)nm

= 7 500 (1 + 0, 015)10·4 = 13 605, 14

Cal ulando previamente el tanto efe tivo anual,

i =(1 + i(m)

)m− 1 = (1 + 0, 015)4 − 1 = 0, 06136

Cn = C0 (1 + i)n = 7 500 (1 + 0, 06136)10 = 13 605, 14

Utilizando la al uladora para onvertir el tipo de interés,

6 ENTER 4 n ÷ i 100 CHS ENTER PV FV + obteniendo 6, 1364

4.4 Capitaliza ión ompuesta en tiempo fra ionario 39

Para obtener Cn on la al uladora desde el punto anterior,

i 10 n 7500 CHS PV FV on el resultado de 13 605, 14

Si queremos obtener el interés nominal a partir del efe tivo,

4 n 100 ENTER PV 6, 1364 + CHS PV i RCL n × obteniendo 6

4.4. Capitaliza ión ompuesta en tiempo fra ionario

La apitaliza ión ompuesta fue estable ida para valores de n expresados en un número

entero de años.

Si suponemos que dado el tanto anual i, el tiempo z, no es entero, sino fra ionario, se

podrá expresar de la forma,

z = n+ θ

en la que n es un número entero y θ de imal. Para la obten ión del montante, puede

utilizarse uno de los onvenios siguientes:

4.4.1. Convenio exponen ial

Consiste en tomar omo valor del montante al abo del tiempo n, ualquiera que sea

éste, la expresión exponen ial:

Cn = C0 (1 + i)n+θ

4.4.2. Convenio lineal

Consiste en apitalizar a interés ompuesto por el número entero de años que ontenga

el tiempo y a interés simple por la fra ión de año restante.

El montante, según este onvenio, será:

Cn = C0 (1 + i)n(1 + θ i)

estando lógi amente θ e i referidos a la misma unidad de tiempo.

Ejemplo 4.6 Cal ular el montante de un apital de 10 000e al 4% anual en 10 años y 3 meses.

Apli ando el onvenio exponen ial,

Cn = C0 (1 + i)n+θ = 10 000 (1 + 0, 04)10+312 = 14 948, 30

Con el onvenio lineal,

Cn = C0 (1 + i)n(1 + θ i) = 10 000 (1 + 0, 04)10(1 +

3

120, 04

)= 14 950, 47

Utilizando la al uladora �nan iera podremos determinar los valores según ambos onvenios que

se onmutan on STO EEX apare iendo el indi ador C en la pantalla.

10 ENTER 3 ENTER 12 ÷ + n 4 i 10 000 CHS PV FV

obteniendo on el onvenio exponen ial 14 948, 30

STO EEX FV FV on el resultado por el onvenio lineal 14 950, 47


4.5. Capitaliza ión ontinua

La apitaliza ión ontinua, onstituye un aso parti ular de la apitaliza ión ompuesta.

Cuando el número de fra ionamientos m tiende a in�nito, los intereses se apitalizan

instantáneamente y nos en ontramos ante la apitaliza ión ontinua.

Hemos visto que el montante, en apitaliza ión ompuesta, al tanto de fre uen ia i(m),

al abo de n años, venía dado por:

Cn = C0

(1 + i(m)

)nm

= C0

(1 +

J (m)

m

)nm

Si m → ∞, J (m) = J (∞) = δ, este último será el tanto nominal anual en el aso de

apitaliza ión ontinua, y el montante vendrá dado por:

Cn = lımm→∞

C0

(1 +

δ

m

)nm

(4.8)

Si e, base de los logaritmos neperianos, es:

e = lımx→∞

(1 +

1

x

)x

= 2, 7182818 . . .

y transformando (4.8) on m = x δ,

Cn = lımx→∞

C0

(1 +

1

x

)nx δ

= C0

[lımx→∞

(1 +

1

x

)x]n δ

= C0 en δ

por lo que el montante en el aso de la apitaliza ión ompuesta, viene dado por la

expresión

Cn = C0 en δ(4.9)

en la que δ, tanto nominal en apitaliza ión ontinua, re ibe también el nombre de fuerza

de interés.

Ejemplo 4.7 Determinar el montante obtenido on una inversión de 1 000e que en apitaliza-

ión ontinua se impone al 6% durante 4 años.

Cn = C0 en δ Cn = 1 000 e4·0,06 = 1 271, 25

Con la al uladora �nan iera, podríamos obtener previamente i,

1 ENTER 6 % g ex

△% on el resultado de 6, 1837

pro ediendo on este valor de i de forma onven ional.

4.6. Des uento ompuesto

Se denomina así la opera ión �nan iera que tiene por objeto la sustitu ión de un apital

futuro por otro on ven imiento presente, mediante la apli a ión de una ley �nan iera

de des uento ompuesto. Es una opera ión inversa a la de apitaliza ión ompuesta.

Los elementos a tener en uenta son:

D = des uento o rebaja que sufre una antidad pagada antes de su ven imiento,

Cn = nominal o antidad que se debe pagar al ven imiento,

C0 = efe tivo o antidad realmente pagada.

Por de�ni ión el des uento experimentado por el nominal Cn, omo onse uen ia de

anti ipa ión desde su ven imiento en el momento n, al momento presente 0, será:

D = Cn − C0

4.6 Des uento ompuesto 41

4.6.1. Des uento ra ional ompuesto

Se de�ne omo el interés del efe tivo, durante el tiempo que falta para su ven imiento.

Al des uento ra ional ompuesto lo designaremos por Drc y se al ula sobre el valor del

efe tivo.

De la apitaliza ión ompuesta (4.1),

Cn = C0 (1 + i)n

obtenemos el valor a tual,

C0 =Cn

(1 + i)n= Cn(1 + i)−n

por lo que el des uento ra ional ompuesto, será:

Drc = Cn − C0 = Cn − Cn(1 + i)−n = Cn

[1− (1 + i)−n

]

Drc = Cn

[1− (1 + i)−n

](4.10)

4.6.2. Des uento omer ial ompuesto

Se de�ne omo el interés del nominal durante el tiempo que falta para su ven imiento.

Al des uento omer ial ompuesto, lo designamos por Dcc y se al ula sobre el valor

nominal.

Cn−1 = Cn − d Cn = Cn(1− d)Cn−2 = Cn−1 − d Cn−1 = Cn−1(1− d) = Cn(1− d) (1− d) = Cn(1− d)2

Cn−3 = Cn−2 − d Cn−2 = Cn−2(1− d) = Cn(1− d)2 (1− d) = Cn(1− d)3

.

.

.

C0 = C1 − d C1 = C1(1− d) = Cn(1− d)n−1(1− d) = Cn(1− d)n

C0 = Cn(1− d)n (4.11)

Y el valor del des uento omer ial ompuesto, será:

Dcc = Cn − C0 = Cn − Cn(1− d)n = Cn

[1− (1− d)n

]

Dcc = Cn

[1− (1− d)n

](4.12)


Igual que veíamos en la apitaliza ión simple, podemos en ontrar un tanto de des uento

equivalente a uno de interés. Para ello, igualamos Drc = Dcc,

Cn

[1− (1 + i)−n

]= Cn

[1− (1− d)n

]

(1 + i)−n = (1− d)n (1 + i)−1 = 1− d 1− d =1

1 + i

d =i

1 + ii =

d

1− d(4.13)

Ejemplo 4.8 Tenemos que pagar una deuda de 24 000e dentro de 3 años. Si se adelanta su

pago al momento presente, qué antidad tendremos que entregar si se efe túa un des uento

ompuesto del 5%

Con el des uento ra ional,

Drc = Cn

[1− (1 + i)−n

]Drc = 24 000

[1− (1, 05)−3

]= 3 267, 90

Con el des uento omer ial,

Dcc = Cn

[1− (1 − d)n

]Dcc = 24 000

[1− (1− 0, 05)3

]= 3 423



Ejer i io 4.1 Una persona impone 100 000e durante 6 años al 5% de interés ompuesto. Al

abo de 3 años, se eleva el tipo de interés en las imposi iones a plazo �jo, al 6%. Se desea

saber al término de los 6 años, uál ha sido el apital retirado y uál hubiera sido de no haberse

produ ido la modi� a ión indi ada.

Solu ión:a)=137874,99b)=134009,56

Ejer i io 4.2 Sabiendo que un apital de uantía C se ha impuesto en un ban o que apita-

liza semestralmente, al abo de 20 años se ha onstituido en 3C, obtener razonadamente las

expresiones de:

1. El tanto efe tivo anual,

2. El tanto nominal anual,

3. El tanto efe tivo semestral.

Solu ión:1)i=5,65%2)J=5,57%3)i(2)

=2,78%

Ejer i io 4.3 Cal ular:

1. El tanto efe tivo anual orrespondiente al 6% nominal uando se apitaliza por meses.

2. El nominal anual orrespondiente al 6% efe tivo uando se apitaliza por trimestres.

Solu ión:1)i=6,17%2)j(4)

=5,87%

Ejer i io 4.4 Imponemos durante 2 años y 8 meses 10 000e, por las que nos pagan el 10% de

interés ompuesto anual ¾Qué antidad nos dará el ban o al �nalizar el período?

1. Al apli ar el onvenio lineal,

2. Con el onvenio exponen ial.

Solu ión:1)Cn=12906,672)Cn=12893,79

Ejer i io 4.5 Una deuda de 10 000e debe ser devuelta al abo de 39 meses. Si el tanto de

apitaliza ión es del 5% anual, determinar el importe a devolver

1. Al apli ar el onvenio lineal,

2. Con el onvenio exponen ial.

Solu ión:1)Cn=11720,952)Cn=11718,32

Ejer i io 4.6 ¾Cuánto tiempo es pre iso olo ar un apital de 35 000e al 5% para onseguir

en régimen de apitaliza ión ompuesta un montante de 45 000e?

Solu ión:n=5años1mes24días


Ejer i io 4.7 Pa tamos on un a reedor que abonándole hoy 50 000e a uenta de 200 000e

que habíamos de pagarle dentro de 2 años, podremos ha erle efe tivas 160 000e dentro de 4

años. ¾A qué tipo de interés ompuesto se evaluó la opera ión?

Solu ión:i=5,15%

Ejer i io 4.8 Si el tanto a que se ha olo ado un apital a interés ompuesto durante 15 años

hubiera sido el triple del que fue, se habría obtenido un apital del triple del que se obtuvo.

Hallar el tanto.

Solu ión:i=3,95%

Ejer i io 4.9 ¾En qué tiempo el monto de 25 000e serán 35 000e al 6% onvertible trimes-

tralmente?

Solu ión:n=5años7meses23días

Ejer i io 4.10 ¾Qué apital olo ado al 5% durante 10 años a interés ompuesto se onvierte

en 97 734e? ¾Cuánto valdrá este apital al �nal del año ter ero?

Solu ión:C0=60000,20Cn=69457,73

Ejer i io 4.11 Un apital ha sido invertido al 12,36% efe tivo anual ompuesto en apitali-

za ión semestral durante 20 años. El interés produ ido en el último semestre fue de 291 105,3.

¾Cuál fue el apital invertido y uál el montante obtenido?

Solu ión:C0=500000Cn=5142860,30

Ejer i io 4.12 Un apital de 50 000e ha sido olo ado en régimen de apitaliza ión ompuesta

al anzando un montante de 150 000e. Otro apital olo ado al mismo tanto y régimen ha

al anzado el mismo montante en la mitad de tiempo. ¾Cuál es la uantía de di ho apital?


Ejer i io 4.13 Se aso ian tres inversores e imponen un apital de 500 000e en la explota ión

de un nego io. Al abo de seis años lo liquidan y por apital e intereses, se reparten: 329 245,89e

el so io A, 548 743,32e el so io B y 219 497,26e el so io ter ero C. Determinar la imposi ión

de ada uno de los so ios y el tanto de interés de la inversión.

Solu ión:CA0=150000C

B0=250000C

C0=100000i=14%

Ejer i io 4.14 Un inversor tiene la op ión de olo ar dos apitales de uantías C1 y C2 a los

tipos de interés anuales a umulativos del 8% y 9%. Si olo a C1 al 8% y C2 al 9% retiraría

al abo de 6 años 895 337,30e y si olo a C1 al 9% y C2 al 8% obtendría 899 848,60e. ¾Qué

uantías son C1 y C2?


20=250000

Ejer i io 4.15 Se han prestado 150 000e para que sean devueltos después de 6 años al 20%

de interés bienal ( ada dos años) a umulativo.

1. ¾Qué antidad se tendrá que devolver?

2. ¾Y si se a uerda prorrogar durante un año más la devolu ión de la deuda apitalizando

di ho año al tanto de interés anual equivalente al bienal dado?


Solu ión:1)Cn=2592002)Cn=283939,37

Ejer i io 4.16 Cono ido el tanto de interés efe tivo semestral del 5%, determinar el efe tivo

anual, el nominal onvertible de fre uen ia 2 y el efe tivo trimestral.

Solu ión:i=10,25%J(2)

=10%i(4)

=2,47%

Ejer i io 4.17 Una deuda de 22 500e debe ser devuelta al abo de 27 meses. Si el tanto efe tivo

anual de apitaliza ión es el 9% determinar el importe a devolver.


Ejer i io 4.18 Si se desea an elar una deuda de 125 000e dentro de tres años, al ular el

apital a entregar en los supuestos:

1. Tanto de interés del 6% semestral,

2. Tanto de des uento del 10% anual efe tivo,

3. Tanto de des uento del 10% anual on fre uen ia 2

Solu ión:1)Cn=177314,892)Cn=171467,763)Cn=170046,77

Ejer i io 4.19 500 000e olo ados al 10% de interés ompuesto se onvierten en n años en

885 780,50e. ¾A qué tanto de interés simple tendrían que invertirse para que en el mismo tiempo

generasen el mismo montante? ¾Cuánto tiempo tendrían que imponerse para el tanto del 10%

en interés simple?

Solu ión:i=12,86%n=7años8meses17días

Ejer i io 4.20 Una entidad lanza un depósito a un año on un interés nominal del 12% el

primer mes y un 3,70% el resto. Determinar el tanto efe tivo de la opera ión.

Solu ión:i=4,48%

Unidad 5

Rentas �nan ieras

5.1. Con epto de renta

5.2. Clasi� a ión de las rentas

5.3. Valor apital o �nan iero de una renta

5.4. Renta onstante, inmediata, pospagable y temporal

5.4.1. Valor a tual

5.4.2. Valor �nal

5.5. Renta onstante, inmediata, prepagable y temporal

5.5.1. Valor a tual

5.5.2. Valor �nal

5.6. Rentas perpetuas

5.6.1. Valor a tual

5.7. Rentas diferidas en p períodos de rédito onstante

5.7.1. Valor a tual

5.8. Rentas anti ipadas en h períodos de rédito onstante

5.9. Determina ión de n e i en las rentas de rédito onstante

5.9.1. Estudio del valor a tual omo fun ión de n

5.9.2. Estudio del valor a tual omo fun ión de i


46 Rentas finan ieras

5.1. Con epto de renta

En el lenguaje orriente, renta es una su esión de obros o pagos periódi os, que tienen

el ará ter de rendimiento de un apital ( omo la rentabilidad o alquiler de un inmueble,

las amortiza iones de un préstamo, las aporta iones a un plan de pensiones, et .); en

matemáti a �nan iera, el on epto es muy amplio y orresponde a un onjunto de presta-

iones (monetarias) on ven imientos diversos. A ada una de las presta iones se le llama

plazo o término de la renta, y llamaremos período al espa io de tiempo (generalmente

un año) que hay entre dos presta iones onse utivas.

En uanto al origen y dura ión de la renta, tienen un signi� ado laro uando la renta

es ontínua o periódi a; origen es enton es la fe ha de omienzo de las presta iones y

dura ión es el intervalo entre el prin ipio y el �nal de las presta iones.

En rela ión on el objeto de las rentas, éste está íntimamente ligado al de su valora ión,

se trata pues de en ontrar un valor de la renta en un momento determinado del tiempo.

De esta forma se puede determinar: el valor �nal en un momento ualquiera no anterior

al ven imiento del último término, el valor a tual en ualquier momento no posterior

al ven imiento del primer término y eventualmente el valor en un momento intermedio

entre el primer y último ven imiento.

El ál ulo del valor �nal requiere �jar una ley de interés, habitualmente, al tratarse de

opera iones a más de un año, ésta será la del interés ompuesto; el ál ulo del valor

a tual requiere utilizar una ley de des uento, normalmente apli aremos la del des uento

ra ional ompuesto; por último el ál ulo del valor en un momento intermedio requiere

pre isar ambas leyes y emplearemos la del interés y el des uento ra ional ompuesto.

Además, deberán umplir las siguientes ondi iones: los términos de la renta han de ser

iguales, y si son variables la varia ión ha de ser ono ida; los períodos de ven imiento

de los términos, han de ser equidistantes, es de ir, han de tener el mismo ven imiento,

anual, trimestral, mensual,. . .

5.2. Clasi� a ión de las rentas

Dada la gran apli a ión de las rentas a problemas e onómi os reales se ha e pre iso su

estudio según la lasi� a ión y terminología lási a. Por ello, lasi� aremos las rentas en

los siguientes grupos:

1. Cuando las variables que intervienen en la de�ni ión de la renta se suponen ono i-

das on erteza, se la denomina renta ierta, empleando el término renta aleatoria

uando alguna de las variables depende del resultado de un fenómeno aleatorio.

2. Otra lasi� a ión es la que distingue las rentas según la amplitud de sus períodos

de madura ión.

Cuando todos los períodos de renta, son de amplitud �nita la renta se denomina

dis reta y se da el nombre de renta ontinua a aquellas en las que todos los períodos

son in�nitesimales.

Las rentas dis retas, también llamadas de período uniforme, re iben en parti ular

los nombres de anual, semestral, mensual,. . . en orresponden ia on la medida del

período.

5.3 Valor apital o finan iero de una renta 47

3. Atendiendo a la uantía de los términos, las rentas dis retas se lasi� an en ons-

tantes y variables. Dentro de las onstantes, se en uentran las rentas unitarias,

que son aquellas en las que todos los términos tienen de uantía la unidad.

4. Teniendo en uenta el ven imiento de los términos, lasi� aremos las rentas en:

rentas prepagables, uando todos los ven imientos oin idan on el extremo

inferior del orrespondiente período y

rentas pospagables o rentas on ven imiento de los términos al �nal de su

orrespondiente período.

En las rentas prepagables el origen de la renta oin ide on el ven imiento del pri-

mer término, mientras que el �nal de la renta será posterior al último ven imiento

y por el ontrario, en las rentas pospagables, el origen es anterior al ven imiento

del primer apital y, sin embargo, el �nal oin ide on el ven imiento del último

término.

Un ejemplo de renta prepagable serían los alquileres, que en general se pagan por

anti ipado. Como ejemplo de pospagable, los sueldos, que suelen obrarse a período

ven ido.

5. Según que la dura ión de la renta sea �nita o in�nita, ésta re ibirá el ali� ativo

de renta temporal o renta perpetua respe tivamente.

6. La posi ión del punto α de valora ión de la renta, respe to al origen o �nal de la

misma, propor iona otro riterio de lasi� a ión. Así para α < t0, se di e que la

renta está diferida en p = t0 − α, para α > tn que está anti ipada en h = α− tn;y re ibe el nombre de renta inmediata uando α oin ide on el origen o �nal de

la renta.

7. Finalmente, según el tipo de sistema �nan iero on el que se valores, se puede

hablar de: rentas valoradas en apitaliza ión ompuesta, rentas valoradas en api-

taliza ión simple,. . .

5.3. Valor apital o �nan iero de una renta

En términos generales, se entiende por valor apital de una renta en un determinado

momento α al valor �nan iero de la distribu ión de apital que la de�ne.

En parti ular resulta interesante la determina ión del valor apital o �nan iero de las

rentas en su origen t0 y en su �nal tn. Valores que re iben los nombres espe í� os de

valor ini ial o a tual y valor �nal de la renta respe tivamente.

Grá� amente el valor a tual de una renta puede verse en la �gura 5.1,

t0

C3

t3

C6

t6

C30

C60

C30 + C6

0

Figura 5.1: Valor a tual de una renta �nan iera

Además, veri� a las propiedades:


respe to al punto de valora ión, las rentas, pueden ser valoradas en ualquier punto.

propiedad aso iativa, por la que dos o más rentas pueden ser sustituidas por una

úni a equivalente a las anteriores.

propiedad diso iativa, por la que una renta puede ser desdoblada y obtener varias

rentas equivalentes a la original.

5.4. Renta onstante, inmediata, pospagable y temporal

5.4.1. Valor a tual

Estudiaremos ini ialmente las rentas onstantes inmediatas que lasi� aremos según su

ven imiento en pospagables y prepagables y dentro de estos en temporales y perpe-

tuas. A este �n, éstas, son las más sen illas on valores �nan ieros de fá il tabula ión.

Expresaremos las demás en fun ión de las primeras.

Al valor a tual de una renta onstante temporal, inmediata, pospagable de término 1

(unitaria), lo designaremos por an i , en el que n expresa su dura ión en períodos y el

subíndi e i el tipo de interés periódi o a que se evalúa.

En la �gura 5.2 puede verse una representa ión grá� a,

1 1 1 1

0 1 2 n− 1 n

(1 + i)−1

(1 + i)−2

.

.

.

(1 + i)−(n−1)

(1 + i)−n

an i

Figura 5.2: Valor a tual de una renta unitaria

El valor a tual de esta renta, lo al ularemos apli ando el prin ipio general de equiva-

len ia de apitales en el origen de la misma. Por tanto, re ordando la expresión del valor

a tual de un apital C (véase 4.3 en la página 35),

C0 =1

(1 + i)n

an i =1

(1 + i)+

1

(1 + i)2+ · · ·+ 1

(1 + i)n−1+

1

(1 + i)n

expresión en la que el segundo término onstituye la suma de términos de una progresión

geométri a uyo primer término es

1

(1 + i), el último

1

(1 + i)ny la razón

1

(1 + i).

Apli ando la expresión de la suma de los términos de una progresión geométri a (véase

A.11 en la página 153),

S =anq − a1q − 1

an i =

1

(1 + i)n1

(1 + i)− 1

(1 + i)1

(1 + i)− 1

5.4 Renta onstante, inmediata, pospagable y temporal 49

multipli ando numerador y denominador por (1 + i),

an i =

1

(1 + i)n− 1

1− (1 + i)=

(1 + i)−n − 1

−i

an i =1− (1 + i)−n

i(5.1)

expresión que nos da el valor a tual de la renta unitaria. Generalizando, el valor a tual

de una renta onstante, temporal, inmediata y pospagable de término C, dura ión nperíodos a interés i, y de a uerdo on (5.1), será:

V0 = C an i V0 = C1− (1 + i)−n

i(5.2)

5.4.2. Valor �nal

El valor �nal de una renta onstante, temporal, inmediata, pospagable de término 1

(unitaria) lo designaremos por sn i , en el que n e i orresponden a la dura ión y tipo de

interés respe tivamente.

Del mismo modo que hemos he ho para el valor a tual, la obten ión grá� a del valor

�nal, sería tal omo se muestra en la �gura 5.3.

1 1 1 1 1

0 1 2 n− 2 n− 1 n

1

(1 + i)

(1 + i)2

.

.

.

(1 + i)n−2

(1 + i)n−1

sn i

Figura 5.3: Valor �nal de una renta unitaria

Igual que para la obten ión del valor a tual, el valor �nal, sería:

sn i = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + · · ·+ (1 + i)n−2 + (1 + i)n−1 =

n−1∑

s=0

(1 + i)s

Nuevamente se trata de una suma de términos variables en progresión geométri a, esta

vez re iente, de razón (1 + i) uya expresión (véase A.11 en la página 153), es S =anq − a1q − 1

, y por tanto, resulta:

sn i =(1 + i)n − 1

i(5.3)


Rela ión entre el valor a tual y el valor �nal

Obsérvese que se veri� a que apitalizando n períodos el valor a tual en ontramos el

valor �nal de la renta:

sn i = an i (1 + i)n (5.4)

por ser (1 + i)n el fa tor de apitaliza ión en el intervalo [0, n].

Cuando en lugar de una renta de uantía unitaria se trate de una renta on términos de

uantía onstante C, el valor �nal será:

Vn = C sn i Vn = C(1 + i)n − 1

iVn = C an i (1 + i)n (5.5)

De la misma forma, podríamos obtener el valor a tual, apli ando el des uento ra ional

ompuesto al valor �nal.

Ejemplo 5.1 Cal ular el valor ini ial y �nal de una renta pospagable, de 8 años de dura ión

y término anual onstante de 5 000e, si se valora a rédito anual onstante del 7%. Comprobar

también que el valor �nal puede obtenerse apitalizando el valor ini ial.

V0 = (V0)8 0,07 = C a8 0 ,07 = 5 000 a8 0 ,07

= 5 0001− (1 + 0, 07)−8

0, 07= 5 000 · 5, 9712986 = 29 856, 49

V8 = (Vn)8 0,07 = C s8 0 ,07 = 5 000 s8 0 ,07

= 5 000(1 + 0, 07)8 − 1

0, 07= 5 000 · 10, 259803 = 51 299, 01

También se podría haber obtenido V8 apitalizando V0. En efe to,

V8 = V0(1 + i)8 = 29 856, 49 (1 + 0, 07)8 = 29 856, 49 · 1, 718186 = 51 299, 01

La obten ión de los valores de a8 0 ,07 y de s8 0 ,07 puede obtenerse dire tamente utilizando tablas

�nan ieras (véase C.3 en la página 168), on una al uladora resolviendo las expresiones y por

supuesto utilizando una al uladora �nan iera on la que pueden obtenerse de forma dire ta.

Utilizando la al uladora �nan iera, para obtener V0,

5000 CHS PMT 8 n 7 i PV obteniendo la respuesta de 29 856, 49

5.5. Renta onstante, inmediata, prepagable y temporal

5.5.1. Valor a tual

De la misma forma que hi imos en el aso de una renta pospagable, analizaremos en

primer lugar la renta prepagable onstante de uantías unitarias, es de ir, de término 1,

aso iado a los períodos 0, 1, 2, · · · , n.Su valor ini ial, o en 0, simbolizado por an i es:

an i = 1 + (1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · ·+ (1 + i)−(n−1) =

n−1∑

s=0

(1 + i)−s

5.5 Renta onstante, inmediata, prepagable y temporal 51

y sumando los términos de la progresión puede también es ribirse:

an i =1− (1 + i)−n

1− (1 + i)−1=

1− (1 + i)−n

i(1 + i) (5.6)

Grá� amente podemos verlo en la �gura 5.4.

1 1 1 1

0 1 n− 2 n− 1 n

1

(1 + i)−1

.

.

.

(1 + i)−(n−2)

(1 + i)−(n−1)

an i

Figura 5.4: Valor a tual de una renta unitaria prepagable

5.5.2. Valor �nal

El valor �nal o en n, representado por sn i , es:

sn i = (1 + i) + (1 + i)2 + · · ·+ (1 + i)n =

n∑

s=1

(1 + i)s

y sumando los términos de la progresión puede también es ribirse:

sn i =(1 + i)n − 1

i(1 + i) (5.7)

Rela ión entre el valor a tual y el valor �nal

Se veri� a la rela ión, omo o urría en la renta pospagable:

sn i = an i (1 + i)n

Puede igualmente observarse, viendo el valor ini ial y el valor �nal de esta renta on sus

análogos en el aso de renta pospagable, que mantienen la siguiente rela ión:

an i = an i (1 + i) (5.8)

sn i = sn i (1 + i)

onse uen ia de ser onstante el rédito periodal, lo que impli a la equivalen ia de las

rentas prepagable unitaria, on la pospagable de uantía onstante (1 + i) es la que se

muestra en la �gura 5.5.


prepagable

1 1 1 1

0 1 n− 2 n− 1 n

pospagable

(1 + i)(1 + i) (1 + i)(1 + i)

0 1 2 n− 1 n

Figura 5.5: Rela ión entre una renta unitaria prepagable y pospagable

Esta rela ión entre prepagables y pospagables se veri� ará siempre que el rédito de

valora ión sea onstante para todos los períodos, on independen ia de las uantías de

los términos de la renta, ya que trasladar el ven imiento de los términos del extremo

ini ial de ada período al extremo �nal equivale a multipli ar las uantías por (1 + i),fa tor de apitaliza ión del período.

Al ser i > 0, se veri� ará siempre an i > an i y sn i > sn i

También se obtienen de forma inmediata estas nuevas rela iones entre rentas unitarias

prepagables y pospagables:

an i = 1 + an−1 i

sn i = sn+1 i − 1

Estas expresiones son propias de las rentas de uantía onstante, lo que permite es ribir:

an i =

n−1∑

s=0

(1 + i)−s = 1 +

n−1∑

s=1

(1 + i)−s = 1 + an−1 i

sn i =

n−1∑

s=0

(1 + i)s = 1 +

n−1∑

s=1

(1 + i)s = 1 + sn−1 i

y fa ilita los ál ulos on el empleo de tablas, aluladora �nan iera u hoja de ál ulo.

Ejemplo 5.2 Cal ular el valor ini ial y �nal de una renta de período anual, prepagable de 6

términos y uantía onstante 4 000e valorada en apitaliza ión ompuesta de parámetro i = 9%anual.

Su valor ini ial puede obtenerse on:

V0 = (V0)6 0,09 = 4 000 a6 0 ,09 = 4 000 (1 + i)a6 0 ,09 = 4 000 · 1, 09 · 4, 4859185 = 19 558, 61

El valor �nal, puede obtenerse en fun ión del valor ini ial:

Vn = (V0)6 0,09 (1 + 0, 09)6 = 19 558, 61 · 1, 6771001 = 32 801, 74

Utilizando la al uladora �nan iera, V0:

g BEG 6 n 9 i 4000 CHS PMT PV obteniendo 19 558, 61

El valor de Vn, partiendo de los datos anteriores:

0 PV FV presentado el resultado de 32 801, 74

5.6 Rentas perpetuas 53

5.6. Rentas perpetuas

5.6.1. Valor a tual

En primer lugar analizaremos el supuesto de renta perpetua pospagable y unitaria. El

esquema se orresponde on el del valor a tual de una renta pospagable unitaria en el

que el tiempo es perpetuo.

Su valor a tual o ini ial, valorado a rédito onstante i, lo representamos por a

∞ i y vendrá

dado por la suma de una serie geométri a, que es onvergente por ser (1 + i)−1 < 1:

a

∞ i =

∞∑

s=1

(1 + i)−s = lımn→∞

n∑

s=1

(1 + i)−s = lımn→∞

an i = lımn→∞

1− (1 + i)−n

i=

1

i(5.9)

Este valor a

∞ i , se puede interpretar omo la uantía, tal que sus intereses periodales

son la unidad ya que:

a

∞ i i = 1

En el aso de que la renta perpetua unitaria sea prepagable, su valor a tual, será:

a

∞ i =∞∑

s=0

(1 + i)−s = lımn→∞

n∑

s=0

(1 + i)−s =

= lımn→∞

an i = lımn→∞

1− (1 + i)−n

i(1 + i) = 1 +

1

i

(5.10)

Entre a

∞ i y a

∞ i se veri� an, por tanto, las mismas rela iones que entre los valores

a tuales de las rentas temporales prepagable y pospagable, es de ir:

a

∞ i = a

∞ i (1 + i) a

∞ i = a

∞ i + 1

No tiene sentido hablar de valor �nal de rentas perpetuas, pues las series que los repre-

sentan son divergentes. Re uérdese que una renta es onvergente uando la razón de la

progresión es q < 1. En el valor �nal, q > 1 ya que (1+ i) > 1 y por tanto, es divergente.

El valor a tual de una renta perpetua de términos de uantía onstante C, será:

En el supuesto de una renta pospagable:

V0 = (V0)∞ i = C a

∞ i =C

i

y en el de prepagable:

V0 = (V0)∞ i = C a

∞ i = C

(1 +

1

i

)

Ejemplo 5.3 Obtener el valor a tual de una renta perpetua on términos anuales de uantía

onstante C = 4500 valorada a un tipo de interés del 6%, tanto en el aso de que fuera pospagable

omo prepagable.

En la op ión de términos pospagables,

V0 = (V0)∞ 0,06 = C a

∞ 0 ,06 = 4 5001

0, 06= 75 000

Si se trata de prepagable,

V0 = (V0)∞ 0,06 = C a

∞ 0 ,06 = 4 5001 + 0, 06

0, 06= 79 500


5.7. Rentas diferidas en p períodos de rédito onstante

Las rentas se di en diferidas uando el momento de valora ión α es anterior al origen de

la renta.

Si suponemos que el diferimiento oin ide on un número entero p de períodos de rédito

onstante i, para ada uno de los diversos tipos de rentas unitarias tratadas anterior-

mente, se obtienen los siguientes resultados:

5.7.1. Valor a tual

El valor a tual, representado por p/an i es el que se al ula en el momento 0, omenzán-

dose a re ibir o entregar a partir del momento p+ 1.

En la �gura 5.6 podemos ver un esquema representativo.

p︷︸︸︷ 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5 n− 2 n− 1 n0 1 2 n− 2 n− 1 n

(1 + i)−1

(1 + i)−2

.

.

.

(1 + i)−(n−1)

(1 + i)−n

an i

p/an i

Figura 5.6: Valor a tual de una renta unitaria diferida

Y podemos expresarlo omo:

p/an i =n∑

s=1

(1 + i)−(p+s) = (1 + i)−p

n∑

s=1

(1 + i)−s = (1 + i)−pan i (5.11)

A efe tos operativos es interesante expresar la renta diferida omo la diferen ia de dos

rentas inmediatas:

p/an i =

n∑

s=1

(1 + i)−(p+s) =

n+p∑

s=1

(1 + i)−s −p∑

s=1

(1 + i)−s

de la que se obtiene:

p/an i = an+p i − ap i

Si se trata del valor a tual prepagable, su valor a tual, será:

p/an i =

n−1∑

s=0

(1 + i)−(p+s) = (1 + i)−p

n−1∑

s=0)

(1 + i)−s = (1 + i)−pan i (5.12)

5.8 Rentas anti ipadas en h períodos de rédito onstante 55

que también podemos expresar omo:

p/an i = ap+n i − ap i

En el supuesto de que la renta sea perpetua en lugar de temporal, el valor a tual, se

obtendría:

p/a∞ i = lımn→∞

p/an i = lımn→∞

(1 + i)−pan i = (1 + i)−p 1

i(5.13)

que también podrá obtenerse omo:

p/a∞ i = a

∞ i − ap i

Si la renta diferida es prepagable y perpetua:

p/a∞ i = lımn→∞

p/an i = (1 + i)−p+1 1

i

y también,

p/a∞ i = a

∞ i − ap i

Si las rentas no son unitarias, sino de uantía C,

p/(V0)n i = C p/an i y si es perpetua p/(V0)∞ i = C p/a∞ i

si es prepagable,

p/(V0)n i = C p/an i y si es perpetua p/(V0)∞ i = C p/a∞ i

Al valor �nal de una renta diferida en p períodos no le afe ta el diferimiento ya que,

p/sn i = (1 + i)n+pp/an i = (1 + i)n+p(1 + i)−p

an i = (1 + i)nan i = sn i

Ejemplo 5.4 Cal ular el valor a tual de una renta prepagable de uantía anual onstante de

2 000e diferida 3 años y de 4 de dura ión, si la valora ión se ha e a un tipo de interés del 6%

3/(V0)4 0,06 = 2 000 · 3, 673012 · 0, 839619 = 6 167, 86

o omo diferen ia de rentas siendo,

3/a4 0 ,06 = a7 0 ,06 − a3 0 ,06 = 3, 083932

3/(V0)4 0,06 = 2 000 · 3, 083932 = 6 167, 86

5.8. Rentas anti ipadas en h períodos de rédito onstante

En este aso, se trata de rentas valoradas en un momento α que se en uentra h períodos

posterior al �nal de la renta.

Si se trata de una renta anti ipada y pospagable, el valor de la renta en α = tn+h,

representado por h/sn i viene dado por la expresión:

h/sn i =

n−1∑

s=0

(1 + i)h+s = (1 + i)hn−1∑

s=0

(1 + i)s = (1 + i)hsn i (5.14)


Si se trata de una renta prepagable y anti ipada, y que tiene omo valor en α = tn+h:

h/sn i =

n∑

s=1

(1 + i)h+s = (1 + i)hn∑

s=1

(1 + i)s = (1 + i)hsn i = (1 + i)h+1sn i (5.15)

Ejemplo 5.5 Determinar el valor al �nal de nueve años de una renta pagadera por años ven-

idos, de uantía anual onstante de 30 000e de siete términos, sabiendo que el rédito anual es

del 6%

2/(Vn)7 0,06 = 30 000 (1 + 0, 06)2s7 0 ,06 = 282 939, 48

5.9. Determina ión de n e i en las rentas de rédito onstante

La utiliza ión generalizada de las rentas unitarias ha e onveniente su estudio analíti o

de los valores �nan ieros prin ipalmente ini ial y �nal omo fun ión de sus variables

bási as n e i.

5.9.1. Estudio del valor a tual omo fun ión de n

La variable n se re�ere al número de términos de la renta y por tanto, pertene e a los

números naturales, n ∈ N.

La fun ión de n, que representa an i , es:

ϕ1(n) = an i =n∑

s=1

(1 + i)−s =1− (1 + i)−n

i

Esta fun ión es re iente uanto mayor sea el número de términos. Para n = 0 toma el

valor ϕ1(0) = 0, y está a otada por:

lımn→∞

ϕ1(n) = a

∞ i =1

i

Si ampliamos la fun ión al ampo real positivo ha iendo n = x y x ∈ R, viendo la

primera y segunda derivada podríamos de ir que la fun ión es re iente y ón ava tal

omo se muestra en el grá� o 5.7.

La determina ión del valor de n, se haría a través de las tablas �nan ieras, interpolando

en su aso (véase A.4 en la página 149), por tanteos o tomando logaritmos. La utiliza ión

de una al uladora �nan iera u hoja de ál ulo, fa ilitan la labor.

Ejemplo 5.6 Determinar el número de años de una renta uyo valor a tual es de 45 032e, sus

términos pospagables de 4 000e y el tipo de interés del 8%

45 032 = 4 000 an 0 ,08

45 032

4 000=

1− (1 + 0, 08)−n

0, 08

0, 900640 = 1− 1

1, 08n1

1, 08n= 1− 0, 900640

1, 08n =1

0, 099360n log 1, 08 = log 10, 064412 n = 30

Con la al uladora �nan iera, para al ular n,

45032 PV 4000 CHS PMT 8 i n obteniendo 30

5.9 Determina ión de n e i en las rentas de rédito onstante 57

1i ϕ1(n)

1+ii ϕ2(n)

0 n

Figura 5.7: Estudio de n

5.9.2. Estudio del valor a tual omo fun ión de i

El valor a tual de una renta unitaria pospagable, es:

ϕ1(i) = an i =

n∑

s=1

(1 + i)−s =1− (1 + i)−n

i

Obteniendo la primera y segunda derivada,

ϕ′

1(i) =

n∑

s=1

(−s)(1 + i)−(s+1) < 0 → ϕ1(i) de re iente

ϕ′′

1(i) =n∑

s=1

s(s+ 1)(1 + i)−(s+2) > 0 → ϕ1(i) onvexa

los valores de ϕ1(i) en los extremos, son:

ϕ1(0) = n y lımi→x

ϕ1(i) = 0

Resumiendo, ϕ1(i) es de re iente y onvexa, orta al eje de ordenadas y en el punto

(0, n) y tiene omo asíntota el eje positivo de x (ab isas).

Si se trata de una renta prepagable, operando de la misma forma, veríamos que se trata

igualmente de una fun ión de re iente y onvexa en la que la asíntota, sería:

lımi→∞

ϕ2(i) = lımi→∞

n−1∑

s=0

(1 + i)−s = 1

Y su representa ión grá� a tal omo se muestra en la �gura 5.8.

La obten ión del valor de i, se haría utilizando un método de tanteo, o mediante el

empleo de las tablas �nan ieras e interpolando (véase A.4 en la página 149) en su aso.

Igualmente, el empleo de una al uladora �nan iera u hoja de ál ulo fa ilitará la tarea.

Ejemplo 5.7 Al adquirir un vehí ulo por 24 000e nos proponen pagar durante 6 años una

renta de 5 390e anuales. ¾A qué tipo de interés se ha realizado la opera ión?

24 000 = 5 390 a6 i

a6 i =24 000

5 390= 4, 452690

Bus ando los valores en las tablas, obtenemos:

a6 0 ,09 = 4, 485919 a6 0 ,10 = 4, 355261


n

ϕ2(i) = an i

ϕ1(i) = an i

1

0 i

Figura 5.8: Estudio de i

e interpolando,

4, 452690− 4, 485919

4, 355261− 4, 485919=

x− 0, 09

0, 1− 0, 09

0, 033229

0, 130658=

x− 0, 09

0, 01

x = 0, 092543 = 9, 25%

Con la al uladora, el ál ulo de i,

6 n 24000 PV 5390 CHS PMT i obteniendo 9, 25%


Ejer i io 5.1 Qué antidad depositaremos en un ban o que opera al 7% de interés ompuesto

anual, para per ibir al �nal de ada año y durante 10 años una renta de 10 000e.

Solu ión:V0=70235,82

Ejer i io 5.2 Cal ular la anualidad ne esaria para amortizar en 10 años una deuda que en

el momento a tual as iende a 100 000e, si la opera ión ha sido estipulada al 6% de interés

ompuesto anual, y los pagos se realizan al �nal de ada año.

Solu ión:C=13586,80

Ejer i io 5.3 Para adquirir un piso el señor A ofre e 500 000e al ontado, el señor B 100 000e

en el a to de la �rma de ontrato y 40 000e anuales durante 20 años y el señor C, 40 000e

anuales durante 30 años veri� ando el primer pago al on ertar el ontrato. Supuesto un tipo

de interés del 6%, ¾qué oferta es la más onveniente para el vendedor?

Solu ión:C

Ejer i io 5.4 Mediante la entrega de 5 000e al término de ada año y durante 12, queremos

onstituir un apital que nos permita per ibir durante los 20 años siguientes una renta. Cal ular

el término de la misma, si la opera ión se realiza al tanto de evalua ión del 7%.

Solu ión:C=8442,72

Ejer i io 5.5 Se ompra una asa en 400 000e destinada a alquiler y a la que se on ede una

vida útil de 20 años. Pero sobre la �n a se grava un enso de 780e anuales. ¾Cuál debe ser el

pre io del alquiler anual para que el apital invertido en su adquisi ión rinda un 5%?



Ejer i io 5.6 Se imponen 5 000e al prin ipio de ada año en una entidad ban aria que abona

un 7% anual ompuesto. Después de realizadas 15 imposi iones y al año de la última imposi ión

omienzan a retirarse 5 000e durante 15 años. ¾Cuál será el saldo en el momento de retirar la

última anualidad?

Solu ión:Saldo=245279,84

Ejer i io 5.7 El valor a tual de una renta de 10 000e anuales pospagables es de 98 181,47e.

Si hubiese sido prepagable, el valor a tual sería de 106 081,47e. Cal ular el tanto y el tiempo.

Solu ión:i=0,08n=20

Ejer i io 5.8 Se imponen durante n años anualidades ven idas de 15 000e al 5%, al objeto de

re ibir durante los 2n años siguientes, y también por años ven idos, una renta anual de 10 000e.

Determinar el valor de n.

Solu ión:n=4

Ejer i io 5.9 Una persona ha dedi ado anualmente 15 000e a la amortiza ión de una deuda

de 125 000e que ontrajo ha e 10 años, siendo el tipo de interés del 10%. Habiendo de idido

hoy liquidar el resto de su deuda, ¾ uál será la antidad que deberá abonar ahora, además de la

anualidad?

Solu ión:Saldo=85156,44

Ejer i io 5.10 Determinar el valor �nal de una renta de 10 000e anuales que se van ingresando

en una institu ión �nan iera durante 8 años, sabiendo que di ha institu ión utiliza un tanto de

valora ión del 3,5% durante los tres primeros años y un 4% durante los siguientes.

Solu ión:Vn=91955,20

Ejer i io 5.11 Un lub deportivo ompra terrenos adi ionales por un valor de 230 000e pa-

gando 80 000e al ontado y omprometiéndose a pagar el resto en seis pagos anuales iguales.

¾Cuál deberá ser el importe anual de ada pago si el tipo de interés pa tado es el 10% anual?


Ejer i io 5.12 ¾Cuál es el valor de una asa por la que se piden 50 000e al ontado, más veinte

anualidades de 30 000e ada una si se estiman los intereses al 6%?

Solu ión:V0=394097,64

Ejer i io 5.13 El valor a tual de una renta perpetua prepagable de 6 000e es de 106 000e.

¾Cuál es el tanto de interés de valora ión?

Solu ión:i=0,06

Ejer i io 5.14 Mediante la entrega de 35 000e al término de ada año y durante 11 se pretende

onstituir un apital que permita per ibir durante los 20 años siguientes una renta onstante.

Cal ular el término de la misma si la opera ión se evalúa al tanto anual del 6%


Ejer i io 5.15 Al objeto de que su hijo, de ator e años de edad, re iba al al anzar los veintitres

la suma de 100 000e, el señor X desea saber la uantía que debe entregar al �nal de ada año

en una entidad ban aria que omputa intereses al 3,5% para este tipo de depósitos. Después del

quinto año, el ban o eleva el interés al 4%. Se pide:


1. Anualidad ini ial que debe entregar el señor X,

2. Nueva anualidad después de la subida del tanto para obtener la misma suma de 100 000e,

3. Cuantía que podría retirar el hijo si se ontinuasen depositando los mismos importes.

Solu ión:1.C=9644,602.C=9300,983.Vn=101459,16

Ejer i io 5.16 Hallar el valor a tual de una renta pospagable de 10 pagos, anualidad de

10 000e y tanto de valora ión del 5% sabiendo que omenzaremos a devengarla dentro de

5 años.


Ejer i io 5.17 Durante 5 años y al �nal de ada uno, se ingresan 7 000e en un ban o que

opera al 4% anual. ¾Qué apital se habrá onstituido al �nal del noveno año?


Ejer i io 5.18 Compramos una maquinaria por 20 000e, a pagar en 15 anualidades, reali-

zándose el primer pago a los 3 años. Determinar la anualidad si el tanto de valora ión es del

6%.

Solu ión:C=2452,61

Ejer i io 5.19 Una entidad �nan iera presta a una empresa 300 000e, y ésta se ompromete

a reintegrarlos junto on sus intereses mediante 12 anualidades iguales que hará efe tivas al �nal

de ada año. Si la apitaliza ión es ompuesta y los tantos que apli a la entidad �nan iera son:

6% para los 4 primeros años, 7% para los 5 siguientes, y el 8% para los tres últimos, determinar

el valor de la anualidad.


Ejer i io 5.20 Una persona ompra un piso entregando 40 000e a la �rma del ontrato y

10 000e al �nal de ada uno de los próximos 15 años. Si la entidad hipote aria le apli a un

tanto del 4% durante los primeros 7 años y un 5% durante el resto de la opera ión, se pide

determinar el valor del piso.

Solu ión:V0=149135,65

Ejer i io 5.21 Una renta de uantía anual onstante de 3 500e, diferida en in o años se

valora a rédito onstante del 5%. Se desea saber su valor a tual en los supuestos de onsiderarla

pospagable y on una dura ión de 10 años o en el de que sea prepagable y perpetua.

Solu ión:V0=21175,63V0=57589,17

Ejer i io 5.22 Determinar el valor en estos momentos, de una renta uya uantía anual ons-

tante es de 1 500e si el tipo de interés es del 5% anual y omenzó a devengarse ha e 12 años

en el supuesto de que sea pospagable y de 10 términos.


Ejer i io 5.23 Se quiere an elar una deuda de 14 752e mediante el abono de una renta al

�nal de ada año de 3 000e si el tanto de valora ión es del 6%, ¾ uál será el número de pagos

a realizar?

Solu ión:n=6


Ejer i io 5.24 Sabiendo que el valor a tual de una renta pospagable de 6 términos de 2 500e

ada uno es de 11 916e determinar el tipo de interés a que ha sido evaluada.

Solu ión:i=0,07

Ejer i io 5.25 Re ibimos de una entidad �nan iera una antidad de 50 000e a devolver jun-

tamente on sus intereses, mediante diez entregas iguales al �nal de ada año. La entidad nos

exige un tipo de interés que va en aumento y que es del 5% para los tres primeros años, el 6%

para los tres siguientes y el 7% para los uatro últimos. ¾Cuál será el valor de la anualidad

onstante?

Solu ión:C=6676,44

Ejer i io 5.26 Cal ular la uantía anual ne esaria para al �nal de 8 años disponer, en un ban o

que opera al 6% de interés anual de un apital de 15 000e

Solu ión:C=1515,54

Ejer i io 5.27 Un piso, puede ser omprado ha iendo uso de una de las tres siguientes op iones:

1. Pago al ontado de 300 000e

2. Abono de 375 000e dentro de 5 años.

3. Un pago anual de 32 000e durante 15 años siendo el primer pago en el momento de la

�rma del ontrato.

Para la valora ión onsideramos el tipo de interés vigente en el momento del 6%. Determinar

la op ión más favorable para el omprador.

Solu ión:2.

Ejer i io 5.28 Para el pago de una ompra de 4 500e nos ofre en pagar durante 10 años

575,75e. Determinar el tipo de interés al que se ha realizado la opera ión.

Solu ión:i=0,0475

Unidad 6

Rentas fra ionadas y variables

6.1. Introdu ión

6.2. Rentas on fra ionamiento uniforme

6.2.1. Rentas fra ionadas, diferidas y anti ipadas

6.3. E ua ión general de las rentas onstantes, inmediatas y temporales

6.4. Rentas de términos variables en progresión geométri a

6.4.1. Renta pospagable temporal

6.4.2. Renta pospagable perpetua

6.4.3. Renta prepagable temporal

6.4.4. Renta prepagable perpetua

6.4.5. Renta diferida y anti ipada

6.5. Rentas de términos variables en progresión aritméti a






6.6. Rentas variables fra ionadas

6.6.1. Rentas variables fra ionadas en progresión geométri a

6.6.2. Rentas variables fra ionadas en progresión aritméti a

6.7. Rentas variables en general on rédito periodal onstante

6.7.1. Determina ión de i. Método de Newton

6.7.2. Hoja de ál ulo

6.7.3. Simpli� a ión de S hneider


64 Rentas fra ionadas y variables

6.1. Introdu ión

En la apli a ión prá ti a del estudio de las rentas, podemos en ontrarnos on que los

términos de las mismas no ne esariamente han de ser uniformes en toda su dura ión.

Del mismo modo, tampo o los términos han de oin idir on los años naturales. Es

muy habitual que éstos, en las opera iones �nan ieras de inversión o �nan ia ión, sean

mensuales, trimestrales, et .

Igualmente, los términos no ne esariamente serán onstantes a lo largo de toda la du-

ra ión de la misma. Es fre uente en ontrarse on rentas re ientes en un por entaje e

in luso, on rentas variables en general.

Las rentas fra ionadas son aquellas en las que la periodi idad on que se ha en efe tivos

los su esivos apitales es inferior al año, produ iéndose pagos y obros mensualmente,

trimestralmente, semestralmente, et .

En una renta fra ionada onstante una serie de apitales de la misma uantía están

disponibles en fra iones onse utivas de año, llamadas m, durante n años. El número

de términos total es n m.

6.2. Rentas on fra ionamiento uniforme

En este aso el período de apitaliza ión es superior al período en que se per ibe la

renta, es de ir, nos dan el interés efe tivo anual i, mientras que el término C de la

renta se per ibe m ve es dentro del año. Para en ontrar el valor en este tipo de rentas

fra ionadas, tendremos también que referir ambos parámetros término y tanto a la

misma unidad.

Si el tanto de valora ión es el nominal anual J (m), enton es, tal omo vimos en (4.7) en

la página 38, el valor de i(m)sería:

J (m) = m i(m) i(m) =J (m)

m

Para al ular el interés periódi o i(m)a partir del tanto efe tivo anual i dado y valorar

la renta teniendo en uenta que la dura ión de la misma es de n m períodos, siendo

t = n m, utilizamos la e ua ión de los tantos equivalentes, vista en (4.6) en la página 37.

i(m) = (1 + i)1m − 1

y en onse uen ia, omo hemos visto en (5.1) en la página 49, el valor a tual sería:

a

nm i(m) =

1−(1 + i(m)

)−nm

i(m)(6.1)

expresión que nos da el valor a tual de la renta unitaria y generalizando, el valor a tual

de una renta onstante, temporal, inmediata y pospagable de término C, dura ión n mperíodos a interés i(m)

, y de a uerdo on (6.1), será:

V(m)0 = C a

nm i(m) V

(m)0 = C

1−(1 + i(m)

)−nm

i(m)(6.2)

6.2 Rentas on fra ionamiento uniforme 65

1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 t− 1 t

1︷︸︸︷

(1 + i(m))−1

(1 + i(m))−2

(1 + i(m))−3

(1 + i(m))−4.

.

.

(1 + i(m))−(t−1)

(1 + i(m))−t

a

t i (m)

Figura 6.1: Valor a tual de una renta unitaria fra ionada

Una representa ión grá� a puede verse en la �gura 6.1.

Este método, lo podemos onsiderar omo genéri o para la resolu ión de las rentas

fra ionadas y es el que vamos a utilizar para obtener el valor a tual o �nal de una renta

pospagable o prepagable fra ionada, sea de dura ión determinada o perpetua.

Si se trata del valor �nal,

s

nm i(m) =

(1 + i(m)

)nm − 1

i(m)(6.3)

generalizando,

V (m)n = C s

nm i(m) V (m)

n = C

(1 + i(m)

)nm − 1

i(m)

V (m)n = C a

nm i(m)

(1 + i(m)

)nm

(6.4)

Ejemplo 6.1 Determinar el valor a tual de una renta de 5 años de dura ión, al 7% de interés

anual efe tivo y los términos son de 850e trimestrales.

En primer lugar, obtendríamos el tipo de interés efe tivo trimestral,

i(4) = (1 + 0, 07)14 − 1 = 0, 0170585

para obtener el valor a tual utilizando la expresión (6.2).

V0 = 850 a20 0 ,0170585 = 14 301, 46

Utilizando la al uladora �nan iera, para obtener V0, obtenemos i(4) en primer lugar:

4 n 100 PV 7 + CHS FV i resultando 1, 70585

20 n 850 CHS PMT 0 FV PV obteniendo la respuesta de 14 301, 46


Si se trata del valor a tual en una renta fra ionada uyos términos sean prepagables,

éste será igual al valor a tual de una renta temporal, onstante, unitaria, fra ionada,

inmediata y pospagable multipli ado por

(1 + i(m)

). En este aso,

a

nm i(m) =

1−(1 + i(m)

)−nm

1−(1 + i(m)

)−1 =

1−(1 + i(m)

)−nm

i(m)

(1 + i(m)

)(6.5)

y, el valor �nal,

s

nm i(m) =

(1 + i(m)

)nm − 1

i(m)

(1 + i(m)

)(6.6)

Se veri� a por tanto la rela ión entre el valor a tual y �nal:

s

nm i(m) = a

nm i(m)

(1 + i(m)

)nm

(6.7)

por ser

(1 + i(m)

)nel fa tor de apitaliza ión en el intervalo [0,m].

Si se trata de rentas fra ionadas perpetuas, su valor a tual, vendrá expresado por:

a

∞ i(m) =

1

i(m)(6.8)

En el aso de que la renta fra ionada perpetua unitaria sea prepagable, su valor a tual,

será:

a

∞ i(m) = 1 +

1

i(m)(6.9)

Ejemplo 6.2 ¾Qué apital debemos depositar en un ban o que nos abona el 0,5% mensual si

pretendemos obtener una renta de 1 000e mensuales?

V0 = 1 000 a

∞ 0 ,005 =1 000

0, 005= 200 000

Otra forma de valorar las rentas fra ionadas onsiste, en primer lugar, en sustituir todos

los pagos que se realizan en una año ualquiera por un solo pago equivalente al �nal del

año C ′(dado que en todos los años se repite la misma forma de pago) y luego valorar

la renta anual y onstante que resulta:

C ′ =C

ms

m i(m) =

C

m

(1 + i(m)

)− 1

i(m)= C

i

J (m)

por tanto, los m pagos que se realizan en el primer año forman una renta uyo valor

�nal C ′es:

C ′ = Ci

J (m)

En onse uen ia, partiendo de la e ua ión (5.2) de la página 49, los valores a tual y

�nal, serían:

V(m)0 = C

i

J (m)an i (6.10)

y

V (m)n = C

i

J (m)sn i (6.11)

6.3 E ua ión general de las rentas onstantes, inmediatas y temporales 67

6.2.1. Rentas fra ionadas, diferidas y anti ipadas

El valor a tual de una renta temporal, onstante, unitaria, fra ionada y diferida pperíodos, es igual al valor a tual de una renta temporal, onstante, unitaria y fra ionada

a tualizado por los períodos de diferimiento, es de ir, multipli ando su valor a tual por(1 + i(m)

)−pm. Esto es,

p/anm i(m) =

(1 + i(m)

)−pm

a

nm i(m) (6.12)

Igual o urre on la obten ión del valor �nal de una renta temporal, onstante, unitaria,

fra ionada y anti ipada h períodos, debiendo multipli ar en este aso el valor de la

renta fra ionada por su anti ipa ión

(1 + i(m)

)h m.

h/snm i(m) =

(1 + i(m)

)hm

s

nm i(m) (6.13)

6.3. E ua ión general de las rentas onstantes, inmediatas

y temporales

En las rentas onstantes, inmediatas y temporales, podemos es ribir la siguiente e ua ión

general que nos permite obtener ualquiera de las in o variables �nan ieras típi as.

V0 + (1 + i µ) C

[1− (1 + i)−n

i

]+ Vn (1 + i)−n = 0 (6.14)

En la que si µ = 0, se tratará de una renta pospagable, siendo por tanto (1 + i µ) = 1.Si la renta es prepagable, µ = 1 y en onse uen ia (1 + i µ) = (1 + i) que es el fa tor

que onvierte una renta pospagable en prepagable tal omo hemos visto en (5.8).

Si C = 0 nos en ontraríamos en un supuesto de apitaliza ión ompuesta, pudiendo

obtener los valores de C0 ó V0 y Cn ó Vn, ya que:

V0 + Vn (1 + i)−n = 0

6.4. Rentas de términos variables en progresión geométri a

Se ara terizan porque la uantía de sus términos varían en progresión geométri a. La

razón de la progresión, que representamos por q ha de ser positiva, es de ir q > 0,puesto que en aso ontrario todos los términos on exponente de q impar tendrían

uantía negativa

1

.

Si q > 1, la renta será re iente. Si 0 < q < 1, los términos de la renta serán de re ientes.

Dentro de las rentas geométri as abe ha er todas las hipótesis que para las onstantes

hemos he ho sobre el ven imiento de los términos (pospagable y prepagable), en rela ión

a la dura ión (temporal o perpetua) y on respe to al punto de valora ión (inmediata,

diferida o anti ipada).

1

Puede verse el apéndi e A.6 en la página 152 referido a las progresiones geométri as



El valor a tual de una renta pospagable, inmediata, temporal y variable en progresión

geométri a, de primer término C y razón q, on una dura ión de n años al tipo de interés

i, será:

V0(C, q)n i = C (1 + i)−1 + C q (1 + i)−2 + C q2 (1 + i)−3 + · · ·++ C q(n−2) (1 + i)−(n−1) + C q(n−1) (1 + i)−n

que representa una serie en progresión geométri a de razón q (1 + i)−1; por tanto, su

suma, apli ando A.11 en la página 153 será:

V0(C, q)n i =C (1 + i)−1 − C q(n−1) (1 + i)−n q (1 + i)−1

1− (1 + i)−1 q=

= C1− q(n−1) (1 + i)−n q

1

(1 + i)−1− q

= C1− qn (1 + i)−n

1 + i− q

V0(C, q)n i = C1− qn (1 + i)−n

1 + i− q(6.15)

El valor �nal se obtendrá apitalizando el valor a tual, esto es, multipli ándolo por su

fa tor de apitaliza ión ompuesta (1 + i)n.

Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)n (6.16)

y sustituyendo,

Vn(C, q)n i = C(1 + i)n − qn

1 + i− q(6.17)

Ejemplo 6.3 Dada una renta variable en progresión geométri a de primer término 10 000e

que se in rementa anualmente un 20%, si la dura ión de la misma es de 15 años y el interés del

6% efe tivo, se pide determinar el valor a tual y �nal de la misma.

Utilizando (6.15):

V0(10 000; 1, 2)15 0,06 = 10 0001− 1, 215(1 + 0, 06)−15

1 + 0, 06− 1, 2= 10 000

−5, 4288

−0, 14= 387 772, 27

Del mismo modo, sirviéndose de la rela ión entre el valor a tual y �nal,

Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)n

V15 = V0(1 + 0, 06)15 = 387 772, 27 (1 + 0, 06)15 = 929 318, 81

La razón q en mu hos asos viene dada en por entaje, por lo que en la expresión (6.15),

al igual que ha emos on el tipo de interés, se re�ejará en tanto por uno. Al respe to,

estudiando la rela ión de q on respe to a (1 + i),

q < (1 + i) es el aso normal,

q > (1 + i) impli a obtener un valor negativo, pero al ser el numerador también negativo

la solu ión es positiva,

6.4 Rentas de términos variables en progresión geométri a 69

q = (1 + i) da omo resultado una indetermina ión del tipo

0

0. Para resolverla se pro-

ederá a la a tualiza ión de ada uno de los apitales al punto de origen de la

renta.

En este aso,

V0(C, 1 + i)n i = lımq→1+i

C

[1− qn(1 + i)−n

1 + i− q

]=

0

0=

Apli ando L'H�pital respe to a q, para resolver la indetermina ión,

=−(1 + i)−n n qn−1

−q= n C (1 + i)−1


En el supuesto de que se trate de una renta perpetua, para su ál ulo, bastará on ha er

tender n a in�nito en la expresión de su valor a tual (6.15),

V0(C, q)∞ i = lımn→∞

V0(C, q)n i =C

1 + i− q

V0(C, q)∞ i =C

1 + i− q(6.18)

para 1 + i > q.


Si se trata de una renta prepagable, partiendo del prin ipio de equivalen ia �nan iera y

del valor a tual de una renta pospagable, inmediata, variable en progresión geométri a

y temporal, tal omo hemos visto en (6.15),

V0(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i) (6.19)

Igualmente, si se trata del valor �nal de una renta prepagable, bastará on a tualizar

el valor �nal de la renta pospagable, inmediata, variable en progresión geométri a y

temporal.

Vn(C, q)n i = Vn(C, q)n i (1 + i) (6.20)

Del mismo modo, partiendo del valor a tual, podríamos apitalizar el mismo usando el

fa tor de apitaliza ión para obtener su valor �nal:

Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)n (6.21)


En el supuesto de tratarse de una renta perpetua, la obten ión del límite uando n tiende

a in�nito del valor a tual de la renta prepagable nos permitirá obtener su valor.

V0(C, q)∞ i = lımn→∞

V0(C, q)n i =C (1 + i)

1 + i− q

V0(C, q)∞ i =C (1 + i)

1 + i− q(6.22)



La obten ión del valor a tual de una renta diferida p períodos, pospagable, temporal

y variable en progresión geométri a, tal omo vimos para una renta onstante en la

�gura 5.6 de la página 54, y la expresión (5.11),

p/V0(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)−p(6.23)

Si se trata de una renta prepagable, pro ederemos del mismo modo:

p/V0(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)−p(6.24)

Cuando se trata de una renta perpetua, el valor a tual, será el que orresponde a una

temporal sobre la que obtendremos el límite uando n tiende a ∞.

p/V0(C, q)∞ i = lımn→∞

p/V0(C, q)n i

p/V0(C, q)∞ i =C (1 + i)−p

1 + i− q(6.25)

Si fuera prepagable,

p/V0(C, q)∞ i =C (1 + i)−(p−1)

1 + i− q(6.26)

En las rentas anti ipadas, para la obten ión del valor �nal puede apli arse lo visto en la

unidad anterior. El valor �nal, pospagable y temporal,

h/Vn(C, q)n i = Vn(C, q)n i (1 + i)h (6.27)

Si la renta es prepagable,

h/Vn(C, q)n i = Vn(C, q)n i (1 + i)h (6.28)

6.5. Rentas de términos variables en progresión aritméti a

Se ara terizan por seguir la uantía de sus términos una progresión aritméti a, siendo

d la razón de la progresión, que puede ser positiva o negativa, si bien en este segundo

aso, al ser los términos de re ientes, para que no aparez an términos negativos o nulos

es pre iso imponer la ondi ión C + (n − 1)d > 0, lo que impli a que la razón d está

a otada inferiormente por:

d >−C

n− 1


La obten ión del valor a tual que designaremos omo V0(C, d)n i es:

V0(C, d)n i =

n∑

s=1

[C + (s− 1)d

](1 + i)−s = C an i + d

n∑

s=1

(s − 1)(1 + i)−s

6.5 Rentas de términos variables en progresión aritméti a 71

Por tanto, se puede es ribir:

V0(C, d)n i = C an i +d

i

[an i − n(1 + i)−n

]

de donde,

V0(C, d)n i =

(C +

d

i

)an i −

d n(1 + i)−n

i

sumando y restando

d n

ise obtiene la expresión:

V0(C, d)n i =

(C +

d

i+ d n

)an i −

d n

i(6.29)

que resulta más ómoda al venir expresada en fun ión de an i

El valor �nal, Vn(C, d)n i puede obtenerse de forma dire ta:

Vn(C, d)n i =n∑

s=1

[C + (s− 1)d

](1 + i)n−s

o también, apitalizando el valor a tual, es de ir, multipli ando por (1 + i)n

Vn(C, d)n i = V0(C, d)n i (1 + i)n =

[(C +

d

i

)an i −

d n(1 + i)−n

i

](1 + i)n

resultando,

Vn(C, d)n i =

(C +

d

i

)sn i −

d n

i(6.30)


El valor ini ial de una renta perpetua es el límite uando n → ∞ de la orrespondiente

renta temporal, por tanto, el valor a tual de la renta pospagable, variable en progresión

aritméti a perpetua es:

V0(C, d)n i = lımn→∞

[(C +

d

i

)an i −

d n(1 + i)−n

i

]

y dado que:

lımn→∞

an i = a

∞ i =1

i

y

lımn→∞

n(1 + i)−n = lımn→∞

n

(1 + i)n= lım

n→∞

1

(1 + i)n loge(1 + i)= 0

resulta:

V0(C, d)∞ i =

(C +

d

i

)1

i=

C

i+

d

i2(6.31)



Si se trata en este aso de una renta temporal prepagable, su valor a tual puede obtenerse

en fun ión de V0(C, d)n i :

V0(C, d)n i =n−1∑

s=0

[C + s d

](1 + i)−s =

= (1 + i)

n∑

s=1

[C + (s− 1) d

](1 + i)−s = V0(C, d)n i (1 + i)

resultando por tanto,

V0(C, d)n i = (1 + i)

[(C +

d

i+ d n

)an i −

d n

i

]= V0(C, d)n i (1 + i) (6.32)

Igualmente, el valor �nal prepagable, se obtendrá apitalizando el valor a tual:

Vn(C, d)n i = V0(C, d)n i (1 + i)n (6.33)

o dire tamente,

Vn(C, d)n i = Vn(C, d)n i (1 + i) (6.34)


Si se trata de una renta prepagable perpetua, el valor ini ial de la renta variable en

progresión aritméti a se obtiene:

V0(C, d)∞ i = lımn→∞

V (C, d)n i = lımn→∞

(1 + i) V0(C, d)n i = (1 + i) V0(C, d)n i

resultando,

V0(C, d)∞ i =

(C +

d

i

)1 + i

i(6.35)


Del mismo modo que para las rentas variables en progresión geométri a, si la renta está

diferida en p períodos de rédito onstante i respe to del punto de valora ión, su valor

a tual se obtiene multipli ando el valor ini ial por (1 + i)−p. Si la renta está anti ipada

en h períodos de igual rédito i, su valor �nal será igual al valor �nal multipli ado por

(1 + i)h.

p/V0(C, d)n i = (1 + i)−p V0(C, d)n i (6.36)

sustituyendo,

p/V0(C, d)n i = (1 + i)−p

[(C +

d

i+ d n

)an i −

d n

i

]

Si es prepagable,

p/V0(C, d)n i = (1 + i)−p V0(C, d)n i (6.37)

6.6 Rentas variables fra ionadas 73

Si se trata de una renta perpetua, pro ederemos del mismo modo:

p/V0(C, d)∞ i = (1 + i)−p V0(C, d)∞ i (6.38)

p/V0(C, d)∞ i = (1 + i)−p V0(C, d)∞ i (6.39)

Si se trata de una renta anti ipada, su valor �nal, será:

h/Vn(C, d)n i = (1 + i)h Vn(C, d)n i (6.40)

y sustituyendo,

h/Vn(C, d)n i = (1 + i)h[(

C +d

i

)sn i −

d n

i

]

que en el supuesto de que fuera prepagable, sería:

h/Vn(C, d)n i = (1 + i)h Vn(C, d)n i (6.41)

Ejemplo 6.4 Determinar el valor en el momento a tual de una renta anual variable en progre-

sión aritméti a, de primer término 10 000e, razón 2 000e, rédito periodal onstante i = 0, 06,que omenzará a devengarse una vez trans urridos 3 años, en los supuestos de que se trate de

una renta prepagable de 20 años de dura ión o de una renta pospagable perpetua.

En el primer supuesto,

3/V0(10 000; 2 000)20 0,06 = (1 + 0, 06)−3V0(10 000; 2 000)20 0,06

V0 = (1 + 0, 06)−2V0(10 000; 2 000)20 0,06 =

= 1, 06−2

[(10 000 +

2 000

0, 06+ 2 000 · 20

)a20 0 ,06 −

2 000 · 200, 06

]=

= 0, 889996 [83 333, 33 · 11, 469921− 666 666, 66] = 257 351, 33

En el segundo aso,

3/V0(10 000; 2 000)∞ 0,06 = (1 + 0, 06)−3V0(10 000; 2 000)∞ 0,06 =

= (1 + 0, 06)−3

(10 000 +

2 000

0, 06

)1

0, 06=

= 0, 839619 · 722 222, 22 = 606 391, 70

6.6. Rentas variables fra ionadas

En las rentas onstantes y en general, el tipo de interés i y el período de ven imiento

del apital n deben estar expresados en las misma unidad. En las rentas fra ionadas

variables, supuesto muy habitual en el mer ado, el apital ven e en una unidad inferior

a la del tanto. Para resolver este supuesto, podemos sustituir todos los apitales perte-

ne ientes a los subperíodos por un úni o expresado en la misma unidad de tiempo que

la razón de la varia ión o utilizar las siguientes expresiones.


6.6.1. Rentas variables fra ionadas en progresión geométri a

Partiendo de la expresión (6.15),

V(m)0 (C, q)n i = C m

i

J (m)

1− qn (1 + i)−n

1 + i− q(6.42)

El resto de valores, podrán obtenerse apli ando las rela iones ono idas.

6.6.2. Rentas variables fra ionadas en progresión aritméti a

La expresión matemáti a para el ál ulo en el aso de rentas variables siguiendo una

progresión aritméti a, obtenida a partir de (6.29) sería:

V(m)0 (C, d)n i =

i

J (m)

(C m+

d

i+ d n

)an i −

d n

i(6.43)

El resto de valores se obtendrían multipli ando por sus rela iones.

6.7. Rentas variables en general on rédito periodal ons-

tante

En mu has opera iones �nan ieras los términos de las mismas no son onstantes, ni

tampo o variables en base a una progresión ono ida. En realidad, son variables de

forma aleatoria.

En estos asos, existe la di� ultad té ni a de poder al ular la rentabilidad de la ope-

ra ión. Para ello, y tanto para las opera iones de inversión omo las de �nan ia ión,

se utilizan diferentes métodos. Los más extendidos son el Valor A tual Neto, (VAN) o

(VNA), y el denominado tanto o Tasa Interna de Rendimiento o retorno (TIR).

Así, ante una opera ión �nan iera onsistente en el inter ambio de apitales �nan ieros

uyos términos no son iguales en apitaliza ión ompuesta,

V0 =C1

(1 + i)1+

C2

(1 + i)2+

C3

(1 + i)3+ · · · + Cn

(1 + i)n

si igualamos a 0, podemos obtener el valor de i. De�niremos TIR de esta opera ión

�nan iera al número real i, solu ión de la e ua ión:

n∑

s=1

Cs(1 + i)−s =

n∑

t=1

Ct(1 + i)−t

Evidentemente, n e i, deberán estar expresados en la misma unidad. La TIR obtenida

estará en fun ión de la unidad de tiempo on la que se esté trabajando. Si es el año,

la TIR será el interés efe tivo anual; si por el ontrario la unidad de tiempo fuera una

fra ión de m, enton es la TIR expresada omo tasa anual equivalente vendrá dada por

i =(1 + i(m)

)m − 1.

6.7 Rentas variables en general on rédito periodal onstante 75

Hay que tener en uenta que para las opera iones �nan ieras generales, la TIR no siempre

existe ni tiene por qué ser úni a. De he ho, onstituye una e ua ión algebrai a de grado

p, siendo p ≥ (m+ n) que puede presentar hasta p solu iones reales.

Si existe la TIR y es positiva, puede interpretarse omo el tipo de interés efe tivo periodal

onstante que bajo el régimen de apitaliza ión ompuesta iguala el valor �nan iero de los

apitales de la presta ión on el valor �nan iero de los apitales de la ontrapresta ión, es

de ir, omo la remunera ión o oste que supone para las partes llevar a abo la opera ión

�nan iera.

Para su ál ulo, podemos emplear:

Métodos dire tos, que permiten obtener i a través del ál ulo de la tasa de retorno

resultante omo:

• Método de Newton,

• Una al uladora �nan iera,

• Una hoja de ál ulo,

Métodos aproximados, omo:

• La interpola ión lineal, y

• La aproxima ión de S hneider.

6.7.1. Determina ión de i. Método de Newton

En general, no existe una fórmula que permita al ular las raí es de la e ua ión que se

plantea para la obten ión de la TIR de las opera iones �nan ieras. El método de New-

ton [14℄, onstituye un método numéri o para obtener di has raí es uando los apitales

de la presta ión pre eden a los de la ontrapresta ión.

En este aso, por las propiedades de g(i), resulta parti ularmente simple y e� iente la

apli a ión de éste método de la tangente. Consiste bási amente en lo siguiente:

Fijado un valor ini ial para la variable in ógnita i0, se al ula a partir de el un nuevo

valor i1, utilizando un algoritmo i1 = F (i0) que garanti e que la distan ia de i1 a la

solu ión de la e ua ión g(i) = 0 (solu ión que denotaremos omo i∗) sea menor que la

distan ia de i0 a la misma. Este algoritmo se repetirá hasta que se al an e un nivel de

error lo su� ientemente pequeño.

Se es oge un valor ini ial i0 lo su� ientemente pequeño, de tal forma que i0 < i∗, siendoi∗ la TIR. Dado que g(i) es una fun ión re iente y ón ava, la tangente a la urva

g(i) en i0 atravesará el eje de ab isas en un punto i1 interior al intervalo [i0, i∗]; por

tanto, el valor de i1 propor ionará una aproxima ión por defe to a la solu ión i∗. Si sepro ede de nuevo a trazar una nueva re ta tangente a la urva en el punto (i1, g(i1)),ésta interse tará al eje de ab isas en un punto interior al intervalo [i1, i

′]. Repitiendoel pro eso, y omo onse uen ia de las propiedades de la fun ión g(i), tras n pasos se

veri� ará la siguiente desigualdad:

in < in+1 < i∗ n = 1, 2, 3, · · ·

Es inmediato observar que,

g′(in) =−g(in)

in+1 − in


i

g(i)

i0 i1 i2 i∗

g(i)

g(i2)

g(i1)

g(i0)

Figura 6.2: Método de Newton. Determina ión de i

por lo que,

in+1 = in − g(i)

g′(in)′(6.44)

expresión que onstituye el algoritmo de Newton para resolver la e ua ión que propor-

iona la TIR de una opera ión �nan iera omo la des rita.

Repitiendo de forma inde�nida este algoritmo se obtiene una su esión re iente i0, i1, i2, · · ·que se irá aproximando por defe to a i∗. El pro eso, se detendrá uando la mejora obte-

nida se onsidere despre iable, esto es, uando in+1− in < ǫ siendo ǫ un número positivo

�jado de antemano.

Ejemplo 6.5 En una opera ión �nan iera en la que se imponen 5 000e y al abo de 4 años el

montante es de 6 324,30e, determinar el tipo de interés i de la misma.

Utilizando la expresión (4.3) de la página 35: C0 = Cn (1 + i)−n

5 000 = 6 324, 30 (1 + i)−4 g(i) = 5 000− 6 324, 30 (1 + i)−4 = 0

Si i = 05 000− 6 324, 30 = −1 324, 30

g′(i) = 6 324, 30 · 5(1 + i)−5

g′(i0) = g′(0) = 31 621, 50− 6 324, 30 = 25 297, 20

Si i = 1

i1 = i0 −g(i0)

g′(i0)= 0− −1 324, 30

25 297, 20= 0, 0523497

Si ǫ = 0, 0001, i1 − i0 = 0, 0523497 > ǫ, y repetimos el pro eso.

g(i1) = 5 000− 6 324, 30 (1 + 0, 0523497)−4 = −156, 69


g′(i1) = 6 324, 30 · 4(1 + i)−5

g′(i1) = g′(0, 053497) = 19 600, 72

Si i = 2

i2 = i1 −g(i1)

g′(i1)= 0, 0523497− −156, 69

19 600, 72= 0, 0603438

Si ǫ = 0, 0001, i2 − i1 = 0, 0603438− 0, 0523497 = 0, 0079941, y repetimos el pro eso.

g(i2) = 5 000− 6 324, 30 (1 + 0, 0603438)−4 = −2, 9441840

g′(i2) = 6 324, 30 · 4(1 + i)−5

g′(i2) = g′(0, 0603438) = 18 872, 91

Si i = 3

i3 = i2 −g(i2)

g′(i2)= 0, 0603438− −2, 9441840

18 872, 91= 0, 0604998

Si ǫ = 0, 0001, i3 − i2 = 0, 0604998− 0, 0603438 = 0, 0001560 > ǫ, repetimos el pro eso.

g(i3) = 5 000− 6 324, 30 (1 + 0, 0604998)−4 = −0, 0010920

g′(i3) = 6 324, 30 · 4(1 + i)−5

g′(i3) = g′(0, 0604998) = 18 859, 03

Si i = 4

i4 = i3 −g(i3)

g′(i3)= 0, 0604998− −0, 0010920

18 859, 03= 0, 0604999

Si ǫ = 0, 0001, i4 − i3 = 0, 0604999− 0, 0604998 = 0, 0000001, y omo i4 − i3 < ǫ, terminamos el

pro eso de itera ión. La raíz de la e ua ión g(i) = 0, es i∗ = 0, 0604999 ≈ 6, 05% on un error

de aproxima ión de 0,0001.

6.7.2. Hoja de ál ulo

Empleando una hoja de ál ulo omo Ex el o Cal ontamos on dos fun iones para la

obten ión de la tasa de interés o valor de i.

La fun ión TASA, devuelve la tasa de interés por período de una anualidad. Así mismo,

resuelve ualquiera de las in o variables de la e ua ión general de las rentas onstantes,

inmediatas y temporales (6.14). TASA se al ula por itera ión y puede tener ero o más

solu iones. Si los resultados su esivos de TASA no onvergen dentro de 0,0000001 después

de 20 itera iones, TASA devuelve el valor de error #½NUM!

La sintaxis en Ex el, sería:

TASA(nper;pago;va;[vf℄;[tipo℄;[estimar℄)

Puede verse la fun ión VA en la ayuda de Ex el para obtener una des rip ión ompleta de los

argumentos nper; pago; va; vf y tipo. No obstante, las variables, se pueden des ribir del

siguiente modo y on la orresponden ia a las que venimos empleando.

nper n es el número total de períodos de pago en una anualidad.

pago C es el pago efe tuado en ada período, que no puede variar durante la vida de

la anualidad. Generalmente el argumento pago in luye el apital y el interés,

pero no in luye ningún otro aran el o impuesto. Si se omite el argumento pago,

deberá in luirse el argumento vf.

va V0 es el valor a tual, es de ir, el valor que tiene a tualmente una serie de pagos

futuros.

vf Vn es el valor futuro o un saldo en efe tivo que desea lograr después de efe tuar el

último pago. Si el argumento vf se omite, se asume que el valor es 0 (por ejemplo,

el valor futuro de un préstamo es 0).

tipo es el número 0 ó 1 e indi a el ven imiento de los pagos, esto es, la onsidera ión

de pospagable o prepagable.

La sintaxis de las fun iones es:


NPER(tasa;pago;va;[vf℄;[tipo℄)

PAGO(tasa;nper;va;vf;[tipo℄)

VA(tasa;nper;pago;[vf℄;[tipo℄)

VF(tasa;nper;pago;[va℄;[tipo℄)

que permiten obtener las otras variables vistas.

La fun ión TIR devuelve la tasa interna de retorno de los �ujos de aja representados

por los números del argumento valores. Estos �ujos de aja o términos no tienen por

que ser onstantes, omo es el aso en una anualidad omo hemos visto en TASA. Sin

embargo, los �ujos de aja deben o urrir en intervalos regulares, omo años o meses. La

tasa interna de retorno equivale al tipo o tasa de interés i obtenida por un proye to de

inversión que se produ e en períodos regulares.

La sintaxis en Ex el, sería:

TIR(valores; [estimar℄)

Con los siguientes argumentos:

Son valores obligatorios una matriz o una referen ia a eldas que ontienen los números o

términos para los uales desea al ular la tasa interna de retorno. El argumento valores debe

ontener al menos un valor positivo y uno negativo para al ular la tasa interna de retorno. La

TIR interpreta el orden de los �ujos de aja siguiendo el orden del argumento valores. Asegúrese

de es ribir los importes de los pagos e ingresos en el orden orre to. Si un argumento matri ial

o de referen ia ontiene texto, valores lógi os o eldas va ías, esos se pasan por alto.

El valor estimar es op ional. Se puede utilizar un número que el usuario estima que se aproxi-

mará al resultado de TIR. Ex el utiliza una té ni a iterativa para el ál ulo de TIR. Comenzando

on el argumento estimar, TIR reitera el ál ulo hasta que el resultado obtenido tenga una exa -

titud de 0,00001%. Si la TIR no llega a un resultado después de 20 intentos, devuelve el valor de

error #½NUM!. En la mayoría de los asos no ne esita propor ionar el argumento estimar para

el ál ulo de la TIR. Si se omite el argumento estimar, se supondrá que es 0,1 (10%). Si la TIR

devuelve el valor de error #½NUM!, o si el valor no se aproxima a su estima ión, reali e un nuevo

intento on un valor diferente.

La TIR está íntimamente rela ionada al VNA, la fun ión valor neto a tual. La tasa de re-

torno al ulada por TIR es la tasa de interés orrespondiente a un valor neto a tual 0 ( ero).

VNA(TIR(...);...) = 0.

La fun ión VNA (VAN) al ula el valor neto presente de una inversión a partir de una

tasa de des uento y una serie de pagos futuros (valores negativos) e ingresos (valores

positivos) según la onven ión de �ujos (véase B.1 en la página 160).

La sintaxis en Ex el:

VNA(tasa;valor1;[valor2℄;...)

que tiene los siguientes argumentos:

tasa que es obligatorio. La tasa de des uento a lo largo de un periodo.

valor1; valor2;... valor1 es obligatorio, los valores siguientes son op ionales. valor1;

valor2;... deben tener la misma dura ión y o urrir al �nal de ada periodo. VNA utiliza el

orden de valor1; valor2;... para interpretar el orden de los �ujos de aja. Deben es ribirse

los valores de los pagos y de los ingresos en el orden ade uado. Los argumentos que sean eldas

va ías, valores lógi os o representa iones textuales de números, valores de error o texto que no

se pueden tradu ir a números, no se onsideran.


Si un argumento es una matriz o una referen ia, sólo se onsiderarán los números de esa matriz

o referen ia. Se pasan por alto el resto de eldas.

La inversión VNA omienza un periodo antes de la fe ha del �ujo de aja de valor1 y termina

on el último �ujo de aja de la lista. El ál ulo VNA se basa en �ujos de aja futuros. Si el primer

�ujo se produ e al prin ipio del primer periodo, el primer valor se debe agregar al resultado VNA,

que no se in luye en los argumentos valores.

Si n es el número de �ujos de aja de la lista de valores, la expresión de VNA es:

V NA =

n∑

s=1

Cs

(1 + i)s

VNA es similar a la fun ión VA (V0 valor a tual). La prin ipal diferen ia entre VA y VNA es que VA

permite que los �ujos de aja omien en al �nal o al prin ipio del periodo. A diferen ia de los

valores variables de �ujos de aja en VNA, los �ujos de aja en VA deben permane er onstantes

durante la inversión. VNA también está rela ionado on la fun ión TIR (tasa interna de retorno).

TIR es la tasa para la ual VNA se iguala a ero: VNA(TIR(...);...) = 0.

6.7.3. Simpli� a ión de S hneider

En este aso, Eri h S hneider [19℄ propone la sustitu ión de la ley �nan iera de des uento

ompuesto por el des uento simple.

V0 = C1(1− i) + C2(1− 2 i) + · · ·+ Cn(1− n i)

de donde,

i =

−V0 +

n∑

k=1

Ck

n∑

k=1

k · Ck

(6.45)

La fórmula (6.45) sólo nos propor iona un valor aproximado de i (la tasa de retorno).

Esta aproxima ión será tanto mayor uanto menor sea el valor de i, ya que así, menor

será el valor de los términos que se despre ian.

Ejemplo 6.6 De un préstamo por 1 000 000e, los gastos de formaliza ión, as ienden a 30 000e

(el 3%). El préstamo, se valora al 5% de interés efe tivo pagadero por anualidades ven idas en

4 años. Determinar la TAE.

V0 = C an i

1 000 000 = C a4 0 ,05 C =1 000 000

a4 0 ,05

= 282 011, 83

Si el valor re ibido es: 1 000 000− 30 000 = 970 000, el interés efe tivo i, sería:

970 000 = 282 011, 83 a4 i

1. Por el valor a tual, utilizando una al uladora �nan iera u hoja de ál ulo:

970 000 =282 011, 83

(1 + i)1+

282 011, 83

(1 + i)2+

282 011, 83

(1 + i)3+

282 011, 83

(1 + i)4

igualando y resolviendo, i = 6,32%. Con la al uladora �nan iera, i,

970000 PV 4 n 282011, 83 CHS PMT i obteniendo 6, 32


2. Interpolando,

970 000

282 011, 83= 3, 439572

utilizando la aproxima ión de la interpola ión lineal (véase A.4 en la página 149) y obte-

niendo los valores en las tablas �nan ieras (véase C.3 en la página 168),

3, 4395− 3, 3872

3, 4651− 3, 3872=

i− 0, 07

0, 06− 0, 07

i = (0, 672298 · −0, 01) + 0, 07 i = 0, 063277 i = 6, 32%

3. Utilizando la aproxima ión de S hneider (6.45)

V0 = C(1 − i) + C(1− 2 i) + · · ·+ C(1 − n i)

970 000 = 282 011, 83(1− i) + 282 011, 83(1− 2 i)+

+ 282 011, 83(1− 3 i) + 282 011, 83(1− 4 i)

970 000 = (282 011, 83 · 4)− (282 011, 83 + 282 011, 83 · 2++ 282 011, 83 · 3 + 282 011, 83 · 4)i

i =−970 000 + 282 011, 83 · 4

2 820 118, 30i = 0, 0560 i = 5, 60%


Ejer i io 6.1 Determinar el valor de una �n a que ha sido adquirida por 40 000e al ontado

y una renta de 6 000e pagaderos por semestres ven idos durante 10 años. El tipo de interés al

que se valora la opera ión es el 6% anual.

Solu ión:V0=129264,85

Ejer i io 6.2 Cierta persona tiene dos op iones para pagar una deuda en 10 años: pagar al

�nal de ada uatrimestre 4 500e, o bien pagar el último día de ada mes 1 200e. Si el tanto

de valora ión es del 6%, ¾Cuál es la más ventajosa para el a reedor?

Solu ión:La2.

a

Ejer i io 6.3 Determinar el valor de una vivienda sabiendo que la uarta parte de su valor se

paga al ontado y el resto mediante una renta trimestral de 6 000e pospagables, omenzando

los pagos a los tres años de la ompra. La dura ión es de 20 años y el tanto de valora ión el 6%

de interés anual efe tivo.

Solu ión:V0=315021,44

Ejer i io 6.4 El propietario de un lo al omer ial obra 3 500e mensuales de alquiler, el valor

del lo al es de 400 000e. Se quiere ono er el rendimiento unitario si el obro se hi iera:

1. Al �nal de ada mes,

2. Al prin ipio de ada mes.

Solu ión:1)11,02%2)11,12%


Ejer i io 6.5 Cal ular, en base al 2% de interés efe tivo semestral, el pre io a que puede

venderse un inmueble uyos ingresos y gastos, son los siguientes:

Alquileres: 10 000e mensuales,

Gastos generales: 8 000e trimestrales,

Impuestos: 2 000e anuales

Solu ión:V0=2181418,91

Ejer i io 6.6 ¾Qué antidad onstante debe olo ar un ahorrador al prin ipio de ada semestre

en un ban o que omputa intereses al rédito del 3,5% efe tivo anual si se pretende formar en

uatro años un apital de 15 000e?

Solu ión:C=1734

Ejer i io 6.7 ¾Qué uantías onstantes tendrán las rentas fra ionadas semestrales, trimestra-

les o mensuales equivalentes a una renta anual de 20 000e si el tipo de interés efe tivo anual es

del 5%?

Solu ión:C(2)

=9878,03C(4)

=4908,89C(12)

=1629,65

Ejer i io 6.8 Si sabemos que el tipo de interés vigente en el mer ado es del 5% nominal anual,

se pregunta:

1. ¾Qué diferen ia hay entre per ibir 12 000e al �nal de ada año y per ibir 1 000e al �nal

de ada uno de los meses de ese mismo año?

2. ¾Qué diferen ia hay entre per ibir 4 000e al prin ipio de ada año y 1 000e al prin ipio

de ada trimestre?

Solu ión:1)Vn=278,862)V0=73,47

Ejer i io 6.9 Hallar el valor de una renta inmediata, pospagable, trimestral y perpetua de

término 4 500e utilizando una valora ión anual del 6%.

Solu ión:V0=300000

Ejer i io 6.10 Cal ular el importe total disponible dentro de diez años en una entidad �nan-

iera que apitaliza trimestralmente al rédito del 4% si se imponen en estos momentos 5 000e

y al �nal de ada trimestre de los primeros 6 años 1 000e.


Ejer i io 6.11 ¾Qué apital se formará al abo de tres años de efe tuar imposi iones quin e-

nales de 200e en un ban o que apitaliza al 3,5% de interés nominal anual.


Ejer i io 6.12 Se desea omprar un piso y se ofre en las siguientes modalidades de pago:

1. Al ontado por 400 000e

2. Entregando 80 000e de entrada, 62 500e dentro de 5 meses y el resto en pagos trimestrales

de 10 000e durante 10 años debiendo efe tuar el primero dentro de 9 meses.


3. Entregando 60 000e de entrada y el resto en mensualidades de 6 500e durante 7 años

ven iendo la primera dentro de un mes.

Determinar uál de las op iones es la más barata para el omprador si la opera ión se valora al

5,26% de interés efe tivo anual.

Solu ión:La1.

a

Ejer i io 6.13 En una línea de ferro arril existe un paso a nivel que tiene que ser guardado

por vigilantes uyos salarios as ienden a 1 000e mensuales.

La onstru ión de un puente en di ho paso a nivel as iende a 68 000e y tiene que ser reempla-

zado ada veinte años. Además, el oste de mantenimiento anual del mismo es de 3 000e.

Estudiar si interesa a la ompañía la onstru ión del itado puente si el tipo de interés efe tivo

anual es del 12% o del 14%. ¾Cuál será el tipo de interés que haga indiferente las dos op iones?

Solu ión:Al12%elpuente,al14%elvigilante.i=12,1%

Ejer i io 6.14 Una persona impone un apital determinado al 7,5% de interés ompuesto al

prin ipio de un ierto año. Tres años después se le aso ia otra persona on un apital tres ve es

mayor.

Si al abo de diez años la ganan ia produ ida en onjunto para ambos as iende a 607 635,80e,

¾ uál será el apital aportado por ada so io y la ganan ia que les orresponde?

Solu ión:C=200000a)212206,31b)395429,49

Ejer i io 6.15 ¾Qué apital debemos imponer en un ban o que abona intereses del 4,5% anual

para que este sea su� iente para ubrir los gastos de un nego io durante 10 años, sabiendo que

el año anterior as endieron a 10 000e y se prevee un aumento anual del 3%. Se supone que la

totalidad de los gastos, se abonan al �nal de ada año.


Ejer i io 6.16 Para formar un apital de 1 000 000e se deposita durante 8 años, y al prin ipio

de ada uno de ellos una anualidad al 5% de interés ompuesto, siendo ada año 3 700e mayor

que la del año anterior. Determinar el valor de la primera imposi ión.


Ejer i io 6.17 Determinar el valor a tual de una renta pospagable de 15 términos sabiendo

que la uantía del primer término es de 2 500e y los siguientes aumentan ada año en 100e si

el tipo de interés es del 5%.


Ejer i io 6.18 Hallar la razón de las anualidades de una renta perpetua pospagable que varía

en progresión geométri a, siendo su primer término 5 000e; el tipo de interés, 6% y habiendo

pagado por ellas 250 000e

Solu ión:q=1,04

Ejer i io 6.19 Una persona impone a interés ompuesto el 1 de enero la antidad de 5 000e,

y el primero de ada año su esivas sumas que ex eden en 100e a la pre edente. El 1 de julio

de ada año retira: el primer año 1 000e, y ada año su esivo una antidad vez y media mayor

de la anterior (1 500, 2 250, 3 375, et .) ¾Qué apital tendrá al abo de in o años de la primera

imposi ión. Si los intereses se apitalizan semestralmente, en 30 de junio y 31 de di iembre de

ada año, al tipo de interés del 2% semestral?



Ejer i io 6.20 Cal ular el valor a tual de los ingresos que per ibirá una empresa en los pró-

ximos seis años sabiendo que la produ ión del primer año se valora en 1 000 000e y que será

in rementada ada año sobre el anterior en 200 000e si para la valora ión se utiliza el rédito

anual onstante del 5%.

Solu ión:V0=7469290,82

Ejer i io 6.21 Valorar la orriente de ingresos que per ibirá un determinado trabajador du-

rante los próximos 8 años sabiendo que su sueldo a tual es de 40 000e anuales y que se prevé

un aumento anual a umulativo del 2,5% si se utiliza omo rédito de valora ión onstante el 6%

anual.

Solu ión:V0=269210,23Vn=429080,20

Ejer i io 6.22 Cal ular el valor a tual de una renta pospagable de las siguientes ondi iones:

1. Los términos varían en progresión geométri a de razón 0,95 siendo la uantía del primero

100 000;

2. La dura ión de la renta es de 12 años;

3. El tipo de interés durante los seis primeros años es del 7% y el 9% para los restantes 6

años.

Solu ión:V0=621667,65

Ejer i io 6.23 Una persona impone en un ban o el primero de enero de ierto año la antidad

de 10 000e y en la misma fe ha de ada año de los siguientes impone una antidad que es un

10% mayor que la del año anterior. ¾Qué apital reunirá al abo de 8 años de efe tuar la primera

imposi ión si la entidad apitaliza al tanto del 5% anual?


Ejer i io 6.24 Cal ular el valor a tual de una renta pospagable de 10 términos anuales uyos

tres primeros son de 8 000e, ada uno, los uatro siguientes de 12 000e y los restantes de

13 000e. Si el tipo de interés apli able es del 6% para los uatro primeros y del 8% para los

restantes.


Ejer i io 6.25 ¾Qué antidad se ingresará en un ban o que apitaliza al 8% anual para que

éste abone, a �n de ada año y durante do e, una renta uyo primer término es de 50 000e

aumentando ada año un veinteavo del anterior.

Solu ión:V0=478067,91

Ejer i io 6.26 Hallar la razón de los términos de una renta perpetua pospagable que varía

en progresión geométri a siendo su primer término 60 000e, el tipo de interés el 10% y se ha

pagado por ella 1 000 000e.

Solu ión:q=1,04

Ejer i io 6.27 En on epto de ingresos netos un inversor per ibe las siguientes rentas:


Período Con epto Importe

0 Inversión ini ial 180 000

1 Ingresos 12 000

2 Ingresos 30 000

3 Ingresos 40 000

4 Inversión 6 000

4 Ingresos 55 000

5 Ingresos 60 000

Determinar al 5% el VAN y obtener la TIR.

Solu ión:VAN=−19483,05TIR=1,67%

Ejer i io 6.28 De un atálogo dedu imos que la adquisi ión de una maquinaria puede ha erse

abonando en el a to 100 000e y al término de ada año una anualidad que supera la anterior

en un 1/25. Determinar el pre io de la misma al ontado, sabiendo que son en total diez pagos

a realizar y que la opera ión se valora al 7% de interés ompuesto anual.

Solu ión:V0=882817,29

Ejer i io 6.29 Cal ular los valores a tual y �nal de una renta des rita por:

Período Importe

0 15 000

1 20 000

2 25 000

3 30 000

4 35 000

5

6 45 000

7 51 750

8 59 512,50

9 68 439,37

10 78 705,28

si el tipo de interés apli able es del 8% para los 5 primeros años y del 10% para los siguientes.

Solu ión:V0=256947,11Vn=608031,31

Ejer i io 6.30 Un industrial adquiere una máquina omprometiéndose a pagarla en diez años

en la forma siguiente: al �nal del primer año 150 000e, al �n del segundo 170 000e, al �n del

ter ero 190 000e, y así su esivamente hasta 330 000e al �nal del dé imo año. Si el tipo de

interés apli ado en el ontrato es del 4%, ¾ uál es el valor de la máquina al ontado?

Solu ión:V0=1894261,41

Ejer i io 6.31 Determinar el valor a tual a 1 de enero de un trabajador que gana 1 000e

mensuales más dos pagas en 30 de junio y 31 de di iembre si lo valoramos a i = 3, 5% durante

un año.


Ejer i io 6.32 Cual es el valor dentro de dos años de una renta obtenida por un trabajador

que ingresa 1 100e mensuales en el primer año y un 6% más en los siguientes meses del segundo

año si lo valoramos a un i = 4%.



Ejer i io 6.33 Determinar el ahorro al �nal de 4 años si los ingresos mensuales son de 1 890e,

los gastos trimestrales as ienden a 890e el primero y 100e más ada uno de los siguientes.

Además paga 500e prepagables ada uno de los meses en los 4 años si se valora la opera ión a

un i = 0, 5% mensual,


Ejer i io 6.34 Con imposi iones mensuales en un in remento del 4% se quieren obtener 20 000e

dentro de 6 años. Determinar el importe de la última uota si i = 2, 5%.


Ejer i io 6.35 Cal ular el importe total obtenido a los 3 años por un trabajador que obra

950e mensuales on un in remento anual del 2,5% si se valora al 2% efe tivo anual.

Solu ión:V36=36082,99

Unidad 7

Opera iones de onstitu ión.

Préstamos

7.1. Opera ión de onstitu ión

7.1.1. Elementos de la onstitu ión

7.1.2. Constitu ión de un apital mediante imposi iones onstantes

7.2. Prestamos: on eptos bási os. Clasi� a ión

7.2.1. Elementos de un préstamo

7.2.2. El tipo de interés. Componentes

7.2.3. Clasi� a ión

7.3. Préstamos amortizables on reembolso úni o

7.3.1. Reembolso úni o

7.3.2. Reembolso úni o on fondo de amortiza ión

7.3.3. Reembolso úni o y pago periódi o de intereses. Préstamo ameri ano

7.4. Préstamo fran és

7.4.1. Anualidad

7.4.2. Capital pendiente

7.4.3. Cuotas de amortiza ión

7.4.4. Capital amortizado, uotas de interés

7.4.5. El uadro de amortiza ión

7.5. Tanto efe tivo para el prestatario

7.6. Amortiza ión on términos variables en progresión geométri a

7.7. Amortiza ión on términos variables en progresión aritméti a

7.8. Amortiza ión de uota de apital onstante. Método italiano

7.9. Préstamo alemán o �anti ipativenzisen�

7.10. Amortiza ión on intereses fra ionados

7.11. Caren ia e interés variable

7.11.1. Caren ia

7.11.2. Tipo de interés variable

7.12. Valor �nan iero del préstamo, del usufru to y de la nuda propiedad

7.12.1. Caso parti ular. La fórmula de A hard

7.12.2. Apli a ión a los métodos de amortiza ión más utilizados


88 Opera iones de onstitu ión. Préstamos

7.1. Opera ión de onstitu ión

Se da esta denomina ión a toda opera ión ompuesta de presta ión múltiple a1, a2, · · · , any ontrapresta ión úni a Cn, siendo el ven imiento de la ontrapresta ión igual o poste-

rior al último ven imiento de la presta ión.

Se denomina también de forma ión de apital y tiene su base en que siempre puede

suponerse que la presta ión tiene la �nalidad de formar o onstituir el apital que se

re ibirá en on epto de ontrapresta ión.

También se utiliza para instrumentar opera iones de ahorro omo los fondos de inversión

en sus diversas modalidades, los planes de ahorro, uyo objeto es fomentar el ahorro de

los parti ulares y los planes de pensiones.

Los planes de pensiones tratan de analizar parte del ahorro de los trabajadores en

a tivo para omplementar su pensión en el momento de la jubila ión. En España tienen

un tratamiento �s al favorable siempre que se a ojan a la Ley de Regula ión de los

Planes y Fondos de Pensiones, aprobado por el Real De reto Legislativo 1/2002, de

29 de noviembre.

En mu has o asiones, el apital onstituido en vez de re ibirse de una sola vez en el

momento de la jubila ión, se sustituye por una renta temporal o vitali ia.

7.1.1. Elementos de la onstitu ión

Es usual on ertar la opera ión on una ley de apitaliza ión ( ompuesta) y on periodos

uniformes (meses, trimestres,. . . ). Lo habitual será obtener el ál ulo de las imposi iones

si el objetivo es obtener una uantía determinada Cs o determinar el apital formado Cs

al �nal de s periodos. En resumen, los elementos que intervienen en las opera iones de

onstitu ión, son los siguientes:

Cn = Cuantía del apital a formar o ontrapresta ión,

a1, a2, · · · , as = Cuantía de la imposi ión, anualidades,mensualidades, et . al prin-

ipio del periodo s,Is = Cuotas de interés de ada período,

∆s = Cuota de onstitu ión del periodo s,Cs = Cuantía del apital formado al �nal del momento s,Ks = Cuantía del apital pendiente de forma ión al �nal del año s.

7.1.2. Constitu ión de un apital mediante imposi iones onstantes

Se denomina también método progresivo. Es el método más fre uentemente usado y

onsiste en onstituir un apital mediante pagos de igual uantía a al prin ipio de ada

periodo y durante n, on rédito periodal i onstante, para obtener la uantía �nal Cn.

Responde por tanto a la hipótesis:

a1 = a2 = · · · = an = ai1 = i2 = · · · = in = i

La equivalen ia �nan iera, viene dada por:

Cn = a sn i = a (1 + i) sn i (7.1)

7.1 Opera ión de onstitu ión 89

a =Cn

sn i

(7.2)

Al �nal del periodo s, la uantía obtenida utilizando el método retrospe tivo, sería:

Cs = a ss i = Cn

ss i

sn i

(7.3)

El apital pendiente de onstitu ión al �nal del periodo s, viene dado por,

Ks = Cn − Cs = Cn

(1− ss i

sn i

)= Ks−1 −∆s (7.4)

Los intereses de ada periodo, pueden obtenerse omo,

Is = ∆s − a+ (Cs−1 + a) i (7.5)

y las uotas de onstitu ión son la suma de las aporta iones más los intereses,

∆s = as + Is

o también, sabiendo que ∆1 = a (1 + i)

∆s = ∆s−1 (1 + i) = ∆1 (1 + i)s−1(7.6)

que hará que se umpla la rela ión,

Cs = Cs−1 +∆s =

s∑

r=1

∆r

En la �gura 7.1 podemos ver la representa ión de una opera ión de onstitu ión.

0

C0

1

a1∆1

I1

a2

2

∆2I2

3

a3

∆3I3

4

a4

∆4I4

5

a5

∆5I5

Cn

Figura 7.1: Constitu ión de apital

Resulta útil re oger en un uadro los valores que en el trans urso de la opera ión van

tomando las magnitudes más importantes que intervienen en el pro eso onstitutivo de

un apital. A este uadro se le denomina uadro de onstitu ión y puede realizarse de la

siguiente forma:


Per Término Intereses Constitu ión Constituido Pendiente

n a Is ∆s Cs Ks

0 K0

1 a =C0

sn i

I1 = ∆1 − a ∆1 = a(1 + i) C1 = ∆1 K1 = K0 −∆1

2 a =C0

sn i

I2 = ∆2 − a ∆2 = ∆1(1 + i) C2 = C1 +∆2 K2 = K1 −∆2

.

.

.

s a =C0

sn i

Is = ∆s−1 − a ∆s = ∆s−1(1 + i) Cs = Cs−1 +∆s−1 Ks = Ks−1 −∆s

.

.

.

n a =C0

sn i

In = ∆n−1 − a ∆n = ∆n−1(1 + i) Cn = Cn−1 +∆n−1 Kn = Kn−1 −∆n = 0

En el aso de que las imposi iones sean en m-ésimos de año se pro ede de la misma

forma, teniendo en uenta que el número de periodos será n m y el rédito vendrá dado

omo i(m).

Ejemplo 7.1 Queremos onstituir un plan de pensiones on aporta iones periódi as anuales de

1 200e para formar un apital en el momento de la jubila ión. Si el tipo de interés es del 4%,

obtener:

la uantía �nal obtenida dentro de 35 años,

el uadro de onstitu ión de los 3 primeros años, y

la antidad a imponer para obtener un montante �nal de 110 000e.

Para obtener el apital o montante �nal, utilizando (7.1),

Cn = a sn i Cn = 1 200 s35 0 ,04 = 91 917, 98

Si tulizamos la al uladora �nan iera, Cn

g BEGIN 35 n 4 i 0 PV 1200 CHS PMT FV obteniendo 91 917, 98

El uadro orrespondiente a los tres pimeros períodos lo realizamos según el modelo.

n a Is ∆s Cs Ks

0 91 917,98

1 1 200 48,00 1 248,00 1 248,00 90 669,98

2 1 200 97,92 1 297,92 2 545,92 89 372,06

3 1 200 149,84 1 349,84 3 895,76 85 476,30

.

.

.

Utilizando la e ua ión general,

Cn = a s35 0 ,04 110 000 = a s35 0 ,04 a =110 000

76, 598314= 1 436, 06

Con la al uladora �nan iera,

g BEGIN 35 n 4 i 0 PV 110000 FV PMT obteniendo 1 436, 06

7.2 Prestamos: on eptos bási os. Clasifi a ión 91

7.2. Prestamos: on eptos bási os. Clasi� a ión

Re ibe este nombre toda opera ión �nan iera formada por una presta ión úni a C0 y

ontrapresta ión múltiple a1, a2, · · · , an. La �nalidad de la ontrapresta ión es reembol-

sar el apital ini ial C0.

Un préstamo, es la opera ión �nan iera que onsiste en la entrega, por parte de una

persona (prestamista), de una antidad de dinero, C0, a otra (prestatario), quien se

ompromete a devolver di ha antidad y satisfa er los intereses orrespondientes en los

plazos y forma a ordados.

Se denomina amortiza ión de un préstamo a la devolu ión o reembolso, por parte del

prestatario, del importe del préstamo, C0, junto on el pago de los intereses que va gene-

rando, en los plazos onvenidos. Esto justi� a el nombre de opera ión de amortiza ión y

el de términos amortizativos que suele asignarse a estos apitales de la ontrapresta ión.

La opera ión de préstamo, así onformada, umple el postulado de equivalen ia �nan-

iera entre la antidad entregada por el prestamista y la ontrapresta ión múltiple del

prestatario, en ualquier instante de tiempo; es de ir, el valor a tual del apital prestado

debe ser igual al valor a tual del apital que se reembolse (amorti e). En el aso de que

la ontrapresta ión esté integrada por varios apitales �nan ieros, la suma de los valores

a tuales de éstos tendrá que ser igual al valor a tual del apital re ibido en préstamo.

Es usual efe tuar la opera ión on una ley de apitaliza ión (generalmente la apitaliza-

ión ompuesta), y on períodos uniformes (años, trimestres, meses,. . . ) siendo los más

fre uentes los mensuales.

7.2.1. Elementos de un préstamo

Los problemas prin ipales que plantea la amortiza ión de un préstamo son: determinar la

anualidad o término amortizativo, ál ulo del apital pendiente de amortizar al prin ipio

de ada término y de la parte de deuda que se devuelve al �nal de ada término. En

resumen, los elementos que intervienen en las opera iones de préstamo, son los siguientes:

C0 = Capital o importe del préstamo,

a1, a2, · · · , an = Términos amortizativos. Se denominan anualidades, mensualida-

des, et . y normalmente se forman de una antidad destinada a

la amortiza ión As y otra al pago de intereses Is. as = As + Isn = Tiempo o vida de dura ión de la opera ión del préstamo,

n0 es el origen de la opera ión,

i = Tipo de interés. Puede ser onstante o variable,

As = Cuotas de amortiza ión o de apital de ada uno de los períodos,

Is = Cuotas de interés de ada período,

Ms = Cantidades de apital amortizado al �nal de ada período. Total

amortizado. Ms =

s∑

s=1

As,

Cs = Capital pendiente de amortizar. Cs = C0 −Ms.

7.2.2. El tipo de interés. Componentes

El tipo de interés se suele determinar omo un por entaje de la antidad prestada. En

ualquier aso, puede resultar onfuso hablar del tipo de interés omo algo úni o, ya

que en un momento dado hay diferentes tipos, que normalmente di�eren por las razones

siguientes:


El riesgo de la opera ión. Cuando se on ede un préstamo, siempre existe el riesgo

de que éste no se re upere. Este riesgo será, sin embargo, muy distinto según las

ara terísti as del que lo soli ita.

La garantía que ofrez a el soli itante del préstamo. Los préstamos suelen deman-

dar algún tipo de garantía; por ejemplo, en el aso del préstamo hipote ario, el

prestamista tiene omo garantía la propiedad del soli itante.

El período para el que se on ede el préstamo. Dependiendo del período por el que

se on ede el préstamo, variará el tipo de interés. Si es a largo plazo, onllevará un

tipo más alto que si es a orto plazo.

El tipo de interés de un préstamo, tiene tres omponentes:

1. El tipo puro, que es la remunera ión que se exigirá por renun iar al onsumo en el

aso de que no hubiese in�a ión y que el préstamo are iera de riesgo.

2. Una prima de riesgo, que se añade al tipo puro para ompensar el riesgo que

onlleva el préstamo.

3. Una prima de in�a ión on la que el prestamista trata de asegurarse que la ren-

tabilidad que obtiene en términos de apa idad adquisitiva, es de ir, en términos

reales, ubre el riesgo puro y la prima de riesgo.

7.2.3. Clasi� a ión

La variedad de préstamos existentes puede agruparse, atendiendo a diferentes riterios.

En este ontexto y de a uerdo on los objetivos, se sigue el riterio de �amortiza ión�.

1. Préstamos amortizables on reembolso úni o

a) Reembolso úni o,

b) Reembolso úni o y pago periódi o de intereses,

) Reembolso úni o on fondo de amortiza ión,

2. Préstamos amortizables mediante una renta

a) Amortiza ión on fondos de amortiza ión,

b) Amortiza ión por onstitu ión del montante,

) Amortiza ión on anualidades onstantes: préstamo fran és,

d) Amortiza ión on anualidades variables: en progresión aritméti a, en progre-

sión geométri a,. . .

e) Método de uota onstante,

f ) Método alemán.

7.3 Préstamos amortizables on reembolso úni o 93

7.3. Préstamos amortizables on reembolso úni o

7.3.1. Reembolso úni o

Este préstamo, ono ido también omo préstamo elemental o simple, se ara teriza por-

que el préstamo re ibido junto on sus intereses se reembolsa de una sola vez. Siendo Cel apital prestado, i el tanto unitario de interés y n el plazo señalado para el reembolso,

al �nal del plazo estipulado, el prestatario deberá reembolsar al prestamista el montante

�nal del apital C al tanto i.

Al no entregarse ninguna antidad hasta la �naliza ión de la vida del préstamo, el valor

de las variables, sería:

a1 = a2 = a3 = · · · = an−1 = 0

an = C0(1 + i)n (7.7)

que re uerda a una opera ión �nan iera on una sola presta ión y ontrapresta ión tal

omo se vió en (4.1) en la página 34.

Grá� amente,

C0

1 2 n− 1

Cn

Ejemplo 7.2 Determinar el montante a devolver dentro de 8 años por un préstamo de 50 000e

pa tando la opera ión al 6%.

an = Cn = C0(1 + i)n Cn = 50 000(1 + 0, 06)8 = 79 692, 40

Un problema que puede surgir en este tipo de préstamos es uando el deudor o prestatario

pretende an elar total o par ialmente el préstamo de forma anti ipada. En este aso,

trans urridos s períodos desde el omienzo de la opera ión, es usual que el prestamista

efe túe opera iones de la misma naturaleza a un tipo de interés i′ distinto de i (tipo de

la opera ión en vigor). El prestamista, tiene que re ibir al �nal Cn y ualquier deseo de

alterar el prestatario las ondi iones ini iales de la opera ión sólo podrá ser a eptado

por el prestamista si, omo mínimo, obtiene los rendimientos esperados en su vigente

ontrato.

Por tanto, para an elar anti ipadamente el préstamo, al prin ipio del período s, seexigirá omo mínimo la antidad Vs tal que se veri�que la igualdad:

Vs(1 + i′)n−s = Cn

Expresando Cn en fun ión de Cs,

Vs(1 + i′)n−s = Cs(1 + i)n−s Vs = Cs

(1 + i

1 + i′

)n−s

(7.8)


Si solamente se pretende reembolsar par ialmente, entregando una uantía Xs < Vs, el

nuevo saldo o deuda pendiente será el valor C ′

s que umpla la e ua ión:

Xs(1 + i′)n−s +C ′

s(1 + i′)n−s = Cn = Cs(1 + i)n−s

de donde,

C ′

s = Cs

(1 + i

1 + i′

)n−s

−Xs C ′

s = C0(1 + i)n

(1 + i′)n−s−Xs (7.9)

Ejemplo 7.3 Determinar para el préstamo anterior el saldo o apital vivo al prin ipio del año

quinto y la antidad a devolver al prin ipio del quinto año si el tanto del prestamista es i′ = 8%.

Obtener igualmente el saldo pendiente en el supuesto de que hi iera una entrega par ial al

prin ipio del quinto año de 40 000e.

C4 = 50 000(1 + 0, 06)4 = 63 123, 85

Utilizando (7.8), el valor, sería:

V4 = C4

(1 + 0, 06

1 + 0, 08

)8−4

= 58 576, 30

Al ha er una entrega par ial, el saldo apli ando (7.9):

C′

4 = 58 576, 30

(1 + 0, 06

1 + 0, 08

)8−4

− 40 000 = 14 356, 36

7.3.2. Reembolso úni o on fondo de amortiza ión

En este tipo, no se paga ninguna antidad periódi a pero sí se onstituye un fondo me-

diante imposi iones de Fs de tal modo, que al �nal de la opera ión el importe onstituido

sea su� iente para saldar el apital prestado junto on sus intereses.

El apital pendiente de amortizar o reserva matemáti a en un momento s, sería:

Cs = C0(1 + i)s − F ss i (7.10)

7.3.3. Reembolso úni o y pago periódi o de intereses. Préstamo ame-

ri ano

Este tipo de préstamos di�ere de la modalidad anterior en que el prestatario que re ibe

un préstamo C, está obligado a satisfa er ada año el pago de la antidad C i, interesesde su deuda al tanto i, y reembolsar, mediante un pago úni o de C el apital que re ibió

omo préstamo al término del año n.

7.3 Préstamos amortizables on reembolso úni o 95

Préstamo ameri ano

En este aso parti ular, el préstamo re ibido se reembolsa de una sola vez, pero al �nal

del período se pagan los intereses generados:

a1 = a2 = a3 = · · · = an−1 = C0 i an = C0 + C0 i

Expresado de otra forma, re ibe el nombre de amortiza ión ameri ana uando son nulas

las n− 1 primeras uotas de amortiza ión e igual a C0 la última, o sea:

A1 = A2 = A3 = · · · = An−1 = 0 An = C0

Los intereses, en onse uen ia, serán:

I1 = I2 = I3 = · · · = In = C0 i

Ejemplo 7.4 Determinar las variables de un préstamo de 200 000e por el sistema ameri ano

si i = 8% y tiene una dura ión de 10 años.

I1 = I2 = · · · = I10 = 200 000 · 0, 08 = 16 000a1 = a2 = · · · = a9 = C0 i = 200 000 · 0, 08 = 16 000a10 = C0 + C0 i = 200 000 + 16 000 = 216 000A1 = A2 = · · · = A9 = 0A10 = C0 = 200 000

Préstamo ameri ano on fondo de amortiza ión �sinking fund�

Consiste en suponer que una parte de as se destina al pago de los intereses del apital

ini ial C0 y el resto, Fs llamado fondo de amortiza ión se apli a para la onstitu ión del

apital tal omo hemos visto en (7.10).

El apital pendiente de amortizar en un instante s ualquiera, a través del método

retrospe tivo, vendrá determinado por:

Cs = C0 − F ss i (7.11)

Ejemplo 7.5 Cal ular el valor de un fondo para amortizar un préstamo ameri ano de 1 000 000e

si i = 4% a 5 años.

F =C0

ss i

=1 000 000

(1 + 0, 04)5 − 1

0, 04

=1 000 000

5, 416323= 184 627, 10

Con la al uladora �nan iera, F ,

5 n 4 i 1000000 FV PMT resultando 184 627, 10


7.4. Préstamo fran és

Los métodos parti ulares de amortiza ión surgen al estable er la hipótesis sobre los

términos amortizativos, las uotas de amortiza ión, la ley �nan iera de valora ión o

respe to a ualquier otra de las variables que intervienen en la opera ión �nan iera.

El préstamo fran és o de términos amortizativos onstantes, se ara teriza porque:

Los términos amortizativos permane en onstantes, y

El tanto de valora ión permane e onstante.

ambos durante toda la vida del préstamo,

a1 = a2 = · · · = an = ai1 = i2 = · · · = in = i

y en onse uen ia,

Las anualidades son todas iguales.

Los intereses de ada período, van disminuyendo para ada anualidad.

Las uotas de amortiza ión de ada período, van in rementándose.

Grá� amente, su diagrama de �ujos, estaría representado tal omo se muestra en la

�gura 7.2.

C0

a1 a2 an−1 an

Figura 7.2: Préstamo fran és

7.4.1. Anualidad

En este aso,

a1 = a2 = · · · = an = ai1 = i2 = · · · = in = i

La anualidad se obtiene planteando la equivalen ia �nan iera:

C0 = a(1 + i)−1 + a(1 + i)−2 + · · · + a(1 + i)−n

C0 = a an i

a =C0

an i

(7.12)

7.4 Préstamo fran és 97

Los términos amortizativos, anualidades, se des omponen en dos partes: uota de amor-

tiza ión y uota de interés. De este modo:

a = As + Is (7.13)

La evolu ión del apital vivo, así omo de las variables As e Is están representadas en el

grá� o 7.3. De esta forma, al prin ipio la mayor parte de la uota son intereses, siendo

la antidad destinada a amortiza ión muy pequeña. Esta propor ión va ambiando a

medida que el tiempo va trans urriendo.

0

C0

1

A1

a1

I1

2

A2

a2I2

3

A3

a3I3

4

A4

a4I4

5

A5

a5I5

Figura 7.3: Amortiza ión del préstamo fran és

7.4.2. Capital pendiente

El apital pendiente o reserva matemáti a, puede obtenerse por:

Método retrospe tivo: Diferen ia entre el importe del préstamo y las anualidades pagadas

o ven idas:

Cs = C0(1 + i)s − a ss i (7.14)

Método prospe tivo: El apital pendiente es el valor a tual de las anualidades pendientes

de pago o futuras:

Cs = a an−s i (7.15)

Método re urrente: Se al ula omo diferen ia entre reserva matemáti a y la anualidad

orrespondiente:

Cs = Cs−1(1 + i)− a (7.16)

7.4.3. Cuotas de amortiza ión

Las uotas de amortiza ión varían en progresión geométri a de razón (1 + i).

En s: Cs = Cs−1(1 + i)− aEn s+ 1: Cs+1 = Cs(1 + i)− aCs − Cs+1︸︷︷︸

As+1

= (Cs+1 − Cs)︸︷︷︸As

(1 + i)


por tanto,

As+1 = As(1 + i)As+1 = A1(1 + i)s

A través de la anualidad,

a = A1 + I1 I1 = C0 i A1 = a− C0 i

A través de C0,

C0 = A1 (1 + (1 + i) + · · ·+ (1 + i)n−1)︸︷︷︸sn i

= A1 sn i

Despejando A1,

A1 =C0

sn i

(7.17)

7.4.4. Capital amortizado, uotas de interés

El apital amortizado viene determinado por la suma de las uotas de amortiza ión

pra ti adas hasta ese momento:

Ms = A1 +A2 + · · · +As =

s∑

h=1

Ah

Ms = A1 +A1(1 + i) +A1(1 + i)2 + · · · +A1(1 + i)s−1 = A1 ss i = C0ss i

sn i

Ms = C0ss i

sn i

(7.18)

Del mismo modo, también puede obtenerse el apital amortizado omo,

Ms = C0 − Cs

La uota de interés se obtiene omo diferen ia:

Is+1 = a−As+1

o por el produ to:

Is+1 = Cs i (7.19)

7.4.5. El uadro de amortiza ión

Resulta útil re oger en un uadro el pro eso de amortiza ión de un apital, re�ejando

de forma lara y on isa el valor que toman las prin ipales magnitudes en los diversos

ven imientos de la opera ión.

La denomina ión será la de uadro de amortiza ión, y en él vamos a ha er �gurar los

valores de los términos amortizativos as, las uotas de interés Is = Cs−1 is y las uotas

de amortiza ión As orrespondientes a ada uno de los períodos n, así omo las uantías

del apital amortizado Ms y del apital vivo o pendiente Cs referidos.

El ál ulo del uadro de amortiza ión se realiza de la siguiente forma:

7.4 Préstamo fran és 99

Per Término Intereses Amortizado A umulado Pendiente

n a Is As Ms Cs

0 C0

1 a =C0

an i

I1 = C0 i A1 = a− I1 M1 = A1 C1 = C0 −M1

2 a =C0

an i

I2 = C1 i A2 = a− I2 M2 = M1 +A2 C2 = C0 −M2

.

.

.

s a =C0

an i

Is = Cs−1 i As = a− Is Ms = Ms−1 +As Cs = C0 −Ms

.

.

.

n a =C0

an i

In = Cn−1 i An = a− In Mn = Mn−1 +An Cn = C0 −Mn

An = Cn−1 Mn = C0 Cn = 0

Ejemplo 7.6 Se soli ita un préstamo hipote ario de 50 000e a pagar en 30 años mediante

uotas mensuales y a una tasa de interés nominal anual del 9%, determinar:

la uantía de los términos amortizativos (mensualidad),

uadro de amortiza ión de los 4 primeros términos,

intereses pagados en el término 240,

apital amortizado en los 5 primeros años.

Para la obten ión del término amortizativo,

a =C0

an m im

a =50 000

a360 0 ,0075

= 402, 31

Con la al uladora �nan iera, a

30 g 12× 9 g 12÷ 50000 PV PMT obteniendo −402, 31

La onfe ión del uadro, la realizamos siguiendo el modelo,

n a Is As Ms Cs

0 50 000,00

1 402,31 375,00 27,31 27,31 49 972,69

2 402,31 374,80 27,51 54,82 49 945,18

3 402,31 374,59 27,72 82,54 49 917,46

4 402,31 374,38 27,93 110,47 49 889,53

.

.

.

Para obtener el uadro on la al uladora,

1 f AMORT obteniendo −375 de intereses x≶y −27, 31 y así su esivamente.

Los intereses pagados en el término 240, obteniéndolos por el método retrospe tivo,

Is+1 = Cs i I240 = C239 i

Cs = C0(1 + i)s − a ss i C239 = 50 000(1 + 0, 0075)239 − 402, 31 s239 0 ,0075

C239 = 31 922, 90 I240 = 31 922, 90 · 0, 0075 = 239, 42

Con la al uladora, I240

239 f AMORT 1 f AMORT obteniendo −239, 42


El apital amortizado en los primeros 5 años, es:

M60 = C0 − C60 C60 = 50 000(1 + 0, 0075)60 − 402, 31 s60 0 ,0075

M60 = 50 000− 47 940, 17 = 2 059, 83

Con la al uladora, M60

60 f AMORT x≶y obteniendo 2 059, 83

7.5. Tanto efe tivo para el prestatario

El prestatario re ibe un efe tivo C0 menor que la antidad nominal C entregada por

el prestamista, ya que toda opera ión de préstamo genera unos gastos ini iales G0 de

notario, omisiones, et . normalmente a argo del tomador del préstamo o prestatario.

De otra parte, el prestatario se ompromete a entregar el nominal del préstamo C junto

on los intereses mediante pagos a lo largo de la dura ión n del préstamo. Si suponemos

que el pago de estos términos se realiza a través de una institu ión �nan iera que obra

una antidad g, en on epto de omisión por la gestión de pago realizada surgen así unos

gastos adi ionales que tienen el ará ter de periódi os.

Analizando globalmente la opera ión �nan iera, el prestatario re ibe C0 = C −G0, que

devuelve mediante la ontrapresta ión de los términos a que tienen un osto superior al

añadir los gastos a (1 + g). De este modo, la equivalen ia �nan iera será en general:

C0 −G0 =n∑

i=1

a (1 + i)−n

y para términos onstantes,

C0 −G0 = a (1 + g)an i (7.20)

expresión que permite en ontrar el tipo de interés efe tivo para el prestatario y que

indi a el oste �nan iero real de la opera ión.

Para su ál ulo, podemos emplear ualquiera de los métodos vistos en (6.7) en la página

74.

Ejemplo 7.7 Una empresa soli ita un préstamo de una entidad �nan iera por importe de

50 000e que se ompromete a reembolsar mediante uotas anuales pospagables durante 3 años

a un interés del 5% revisable anualmente. Los gastos de formaliza ión as ienden al 2% del

nominal de la deuda. Para el siguiente año, el interés revisado es del 4,75%

Para obtener el término amortizativo ini ial:

50 000 = a a3 0 ,05 a = 18 360, 43

El interés efe tivo para el prestatario, dedu idos los gastos:

1

G0 = 0, 02 · 50 000 = 1 000

50 000− 1 000 = 18 360, 43 a3 i i = 0, 060856

El uadro, lo realizamos onsiderando el neto per ibido y los términos a reembolsar:

1

En la determina ión del tipo de interés efe tivo se in luirán las omisiones �nan ieras que se arguen

por adelantado en la on esión de �nan ia ión y demás ostes de transa ión atribuibles.

7.5 Tanto efe tivo para el prestatario 101

n a Is As Ms Cs

0 49 000,00

1 18 360,43 2 981,96 15 378,47 15 378,47 33 621,53

2 18 360,43 2 046,08 16 314,35 31 692,82 17 307,18

3 18 360,43 1 053,25 17 307,18 49 000,00

La ontabiliza ión a la formaliza ión del préstamo:

2

49 000,00 (57) Tesorería a (170) Deudas a largo plazo on

entidades de rédito

33 621,53

a (5200)Préstamos a orto plazo

on entidades de rédito

15 378,47

Al ven imiento del primer pago:

2 981,96 (662) Intereses de deudas

15 378,47 (5200)Préstamos a orto plazo

de entidades de rédito

a (57) Tesorería 18 360,43

El apital pendiente tras la primera amortiza ión:

Cs = a an−s i C1 = 18 360, 43 = a a3−1 0 ,05 C2 = 34 139, 58

El nuevo término amortizativo, on i revisado sería:

34 139, 58 = a a2 0 ,0475 a = 18 295, 41

y, el interés efe tivo:

33 621, 53 = 18 295, 41 a2 i i = 0, 058326

El nuevo uadro de amortiza ión:

n a Is As Ms Cs

1 33 621,53

2 18 295,41 1 961,01 16 334,40 16 334,40 17 287,12

3 18 295,41 1 008,29 17 287,12 33 621,53

La re lasi� a ión tras el pago del primer período sería:

16 334,40 (170) Deudas a largo plazo on




16 334,40

Al ven imiento del segundo pago:

1 961,01 (662) Intereses de deudas

16 334,40 (5200)Préstamos a orto plazo


a (57) Tesorería 18 295,41

17 287,12 (170) Deudas a largo plazo on




17 287,12

2

El re ono imiento de estas deudas se efe túa a la re ep ión del efe tivo orrespondiente. La valo-

ra ión ini ial de la obliga ión de pago se ha e por el valor razonable que, en general, es el pre io de la

transa ión, que equivale al valor razonable de la ontrapresta ión re ibida ajustado por los ostes de

transa ión que le sean dire tamente atribuibles.


7.6. Amortiza ión on términos variables en progresión geo-

métri a

Se trata de amortizar un apital de uantía C0 mediante n términos amortizativos que

varían en progresión geométri a y, en onse uen ia, se dará la rela ión:

as = as−1 q = a1 qs−1

siendo q la razón de la progresión, que ne esariamente debe ser positiva para satisfa er

la exigen ia de que sea todo as > 0.

Deberá veri� arse,

C0 =n∑

s=1

a qs−1(1 + i)−s = V0(a, q)n i = a1− qn(1 + i)−n

1 + i− q

y por tanto,

a = C01 + i− q

1− qn(1 + i)−n> 0 (7.21)

La reserva o saldo al prin ipio del año s+ 1,

Cs = V0(as+1, q)n−s i = as+11− (1 + i)−(n−s) qn−s

1 + i− q(7.22)

o bien,

Cs = Cs−1 (1 + i)− as

El resto de magnitudes, las obtenemos de la misma forma que en el método fran és.

7.7. Amortiza ión on términos variables en progresión arit-

méti a

Este sistema plantea la amortiza ión de un apital C0 mediante términos amortizativos

a variables en progresión aritméti a de razón d y rédito periodal onstante, pudiendo

ser la razón d positiva o negativa, si bien en este segundo aso, para evitar términos

negativos, deberá veri� arse:

a+ (n− 1)d = an > 0

La equivalen ia en el origen, debe umplir:

C0 =

n∑

s=1

[a+ (s − 1)d

](1 + i)−s = V0(a, d)n i =

(a+

d

i

)an i −

d n (1 + i)−n

i(7.23)

y, el valor del primer término

a =C0 i+ d n

i an i

− d

i− d n (7.24)

obteniéndose los restantes valores por la rela ión as = as−1 + d. Si el valor de d resulta

des ono ido, podría obtenerse a partir de:

d =C0 − a an i

1 + i n

ian i −

n

i

7.8 Amortiza ión de uota de apital onstante. Método italiano 103

y la reserva o saldo,

Cs = V0(as+1, d)n−s i =

[as+1 +

d

i+ d (n− s)

]an−s i −

d (n− s)

i

=

(a+

d

i+ d n

)an−s i −

d (n− s)

i=

(C0 +

d n

i

)an−s i

an i

− d (n− s)

i

(7.25)

y el apital amortizado y las uotas de interés los obtendremos omo:

Ms = C0 − Cs Is = as −As = Cs−1 i

7.8. Amortiza ión de uota de apital onstante. Método

italiano

Este aso parti ular, justi� ado fundamentalmente por su sen illez, na e al exigir que:

A1 = A2 = · · · = An = A

y por tanto,

C0 =

n∑

h=1

Ah = n A

resultando,

A =C0

n(7.26)

En onse uen ia, el apital vivo disminuye en progresión aritméti a de razón A =C0

n.

Cs =n∑

r=s+1

Ar = (n− s) A = Cs−1 −A

y el apital amortizado, re e según la misma progresión:

Ms =s∑

r=1

Ar = s A = Ms−1 +A

Los términos amortizativos, son de la forma:

as = Is +A = Cs−1 is +A (7.27)

Ejemplo 7.8 Determinar la anualidad y uota de amortiza ión primera de un apital de 480 000e

que se amortiza en 6 años por el método de uotas anuales onstantes a un tipo de interés del

9%.

A =C0

n=

480 000

6= 80 000

Sabiendo que, Is+1 = Cs i,

I1 = C0 i I1 = 480 000 · 0, 09 = 43 200

y por tanto,

a1 = A1 + I1 a1 = 80 000 + 43 200 = 123 200


7.9. Préstamo alemán o �anti ipativenzisen�

Se designa on este nombre a la opera ión de amortiza ión on intereses prepagables,

mediante términos amortizativos onstantes a1 = a2 = · · · = an = a, siendo el rédito de

apitaliza ión i∗s onstante para todos los períodos i∗s = i∗. También se ono e este aso

parti ular omo método de la Europa entral o entroeuropeo.

En esta opera ión, el prestatario, a ambio de la presta ión, paga en el momento de

on ertar el préstamo los intereses que devenga durante el primer período y, además, al

término de ada período, un término amortizativo, que omprende la uota de amorti-

za ión del período y la uota de intereses del período siguiente sobre el apital vivo.

Si rela ionamos i∗ omo interés anti ipado on i, tal omo vimos en (2.6) en la página 10,

i∗ =i

1 + ii =

i∗

1− i∗

La e ua ión de equivalen ia en el origen C∗

0 on el apital nominal, es:

C∗

0 = an∑

s=1

(1− i∗)s−1 = a1− (1− i∗)n

i∗= a a

∗

n i∗

sustituyendo i∗ en fun ión de i, i =i∗

1− i∗,

C∗

0 = a1− (1 + i)−n

i(1 + i) = a an i

siendo C∗

0 = C0 (1− i∗)−1 = C0 (1 + i), y por tanto,

a =C∗

0

an i

(7.28)

Para al ular la anualidad, basta despejar a obteniéndose:

a = C∗

0

i∗

1− (1− i∗)n=

C∗

0

a

∗

n i∗

=C∗

0

an i

(7.29)

teniendo en uenta que la primera anualidad oin ide on los intereses, la equivalen ia

se presenta así:

C∗

0 = C∗

0 i∗ + a a

∗

n i∗

Esta primera uantía C∗

0 i∗ en on epto de intereses prepagables onstituye un pago

simbóli o, ya que se dedu e del apital nominal en el momento de la entrega.

Las uotas de intereses,

I∗s+1 = C∗

s i∗ = a−A∗

s (7.30)

siendo,

as = As + Is

de la que se sigue:

A∗

s = A∗

s+1 − (C∗

s − C∗

s+1) i∗ = A∗

s+1(1− i∗) = A∗

n(1− i∗)n−s = a (1− i∗)n−s(7.31)

fórmula que rela iona una uota de amortiza ión on sus posteriores. Al ser A∗

n = a, el ál ulo de los restantes, es automáti o.

7.9 Préstamo alemán o �anti ipativenzisen� 105

El apital vivo en un determinado momento s, es:

C∗

s =

n∑

r=s+1

A∗

r = A∗

s+1 +A∗

s+2 + · · ·+A∗

n−1 +A∗

n =

= A∗

n(1− i∗)n−(s+1) +A∗

n(1− i∗)n−(s+2) + · · · +A∗

n(1− i∗) +A∗

n =

= A∗

n

1− (1− i∗)n−s

i∗= a

1− (1− i∗)n−s

i∗= C∗

01− (1− i∗)n−s

1− (1− i∗)n=

= a a

∗

n−s i∗ = a an−s i

(7.32)

y para el apital amortizado:

M∗

s = C∗

0 − C∗

s = C∗

0

(1− 1− (1− i∗)n−s

1− (1− i∗)n

)= C∗

0

s

∗

s i∗

s

∗

n i∗

= C∗

0

ss i

sn i

(7.33)

Ejemplo 7.9 En un préstamo alemán, de uantía C∗

0 = 750 000, i∗ = 0, 10 y 12 años de

dura ión, determinar: la anualidad, uota de amortiza ión del uarto año, uota de intereses del

séptimo y apital vivo al prin ipio del uarto año.

La anualidad,

a = 750 0000, 1

1− (1− 0, 1)12= 104 519, 35

o también, utilizando el tipo i,

i =i∗

1− i∗=

0, 10

1− 0, 10= 0, 111111

a =750 000

(1− 0, 111111)−12

0, 111111(1 + 0, 111111)

= 104 519, 35

La uota de amortiza ión del uarto año:

A∗

4 = 104 519, 35 (1− 0, 10)12−4 = 44 992, 15

Los intereses del séptimo año:

I∗7 = C∗

6 i∗ C∗

6 = a1− (1− i∗)n−s

i∗

I∗7 = 104 519, 351− (1 − 0, 10)12−6

0, 100, 10 = 48 973, 48

El apital vivo al prin ipio del uarto año:

C∗

4 = 104 519, 351− (1− 0, 10)12−4

0, 10= 595 271, 97

o también

C∗

4 = 104 519, 351− (1 + 0, 111111)−(12−4)

0, 111111(1 + 0, 111111) = 595 271, 97


7.10. Amortiza ión on intereses fra ionados

La opera ión de amortiza ión onsta de una presta ión úni a C0 y una ontrapresta ión

múltiple formada por n términos amortizativos.

El fra ionamiento de intereses onsiste en dividir ada uno de los intervalos de n en

m subperíodos, sustituyendo en este aso la orrespondiente uota de intereses Is on

ven imiento en s por las m uotas de interés on ven imiento al �nal de ada uno de los

respe tivos subperíodos de m, siendo i(m)el rédito orrespondiente al subperíodo. En

onse uen ia, ada término as, queda sustituido por el onjunto de m términos asm.

Se trata en realidad de la amortiza ión de C0 mediante n m términos amortizativos, de

tal forma que es nula la uota de amortiza ión de todos los términos que o upan un

lugar no múltiplo de m.

Para la obten ión del uadro de amortiza ión on fra ionamiento en el pago de los

intereses, el número de �las se multipli ará por m para re oger la situa ión de ada una

de las variables en los nuevos puntos de ven imiento.

7.11. Caren ia e interés variable

7.11.1. Caren ia

El período de aren ia t onstituye un tiempo en el que no se produ e la amortiza ión

del préstamo.

La aren ia puede ser total, período en el ual no se abona ninguna antidad y los

intereses que se generan se suman al apital para amortizarse al �nal de la misma. En este

aso, la deuda se ve in rementada por los intereses apitalizados al tipo orrespondiente.

C ′

0 = C0 (1 + i)t

En la aren ia par ial, más habitual, se abonan solo los intereses durante el período de

la misma.

Al �nalizar el período de aren ia, el préstamo se amortiza on normalidad según el

método a ordado. El valor de la deuda al �nal de la aren ia se mantiene.

C ′

0 = C0

7.11.2. Tipo de interés variable

En el mer ado de préstamos, ono ido también omo �lending� existen opera iones

a tipo �jo, si bien lo habitual es que el tipo de interés sea variable, revisable o una

ombina ión de ambos.

En estos préstamos, las entidades suelen �jar el tipo de interés sobre un índi e �nan iero

(el Euribor, IRPH, et .) que denominamos ib al que se le suma un diferen ial spread isque varía entre entidades y lientes y �jan una fe ha periódi a (anual o semestral) de

revisión del tipo de interés.

i = ib + is

7.12 Valor finan iero del préstamo, del usufru to y de la nuda propiedad 107

En onse uen ia, hablaremos de i, i′, i′′, · · · , ik omo diferentes tipos de interés apli ables

a la opera ión �nan iera.

En la opera ión a tipo variable, se mar an fe has de revisión (anual, semestral, et .) en

las que el tipo de interés apli able se ajusta on el nuevo ib publi ado en el mer ado.

Con el nuevo tipo resultante, a partir del apital pendiente Cs a la fe ha se reha e el

uadro de amortiza ión, al ulando la nueva uota.

En el momento s, el nuevo término amortizativo a′, sería:

Cs = as+1(1 + i)−1 + as+2(1 + i)−2 + · · ·+ an(1 + i)−n+s =

n∑

h=s+1

ah(1 + i)−h+s

Cs =n∑

h=s+1

a′h(1 + i)−h+s(7.34)

Elegir entre un préstamo a tipo �jo o variable depende del per�l del tomador y de su

apa idad para nego iar, aunque en determinados asos las ondi iones vienen impuestas

y no son nego iables.

Una segunda op ión podría ser mantener el término amortizativo onstante, pero au-

mentar o disminuir el número de períodos. En este aso, obtendríamos el número de

períodos de la expresión anterior.

7.12. Valor �nan iero del préstamo, del usufru to y de la

nuda propiedad

En una opera ión de amortiza ión de presta ión y ontrapresta ión en base a una ley

�nan iera, puede estable erse en un momento s la onvenien ia o no de una res isión an-

ti ipada de la opera ión o transferen ia a ter eras personas de los dere hos u obliga iones

futuras.

En base a esto, de�nimos el valor �nan iero del préstamo en un determinado punto

s omo el valor a tualizado de los términos futuros al ulado on una ley �nan iera

externa.

El valor �nan iero en s de ada uno de estos dere hos par iales, en base a la nueva ley

de valora ión re ibe el nombre de valor �nan iero del usufru to y valor �nan iero de la

nuda propiedad.

El valor �nan iero del usufru to, Us, es el valor a tual de los intereses pendientes Ir al

nuevo tipo de interés de mer ado i′h,

Us =Ir−1

(1 + i′h)+

Ir−2

(1 + i′h)2+ · · ·+ Ir

(1 + i′h)n−r

=

n∑

r=s+1

Ir(1 + i′h)

r−s

Us =n∑

r=s+1

Cr−1 ir

r∏

n=s+1

(1 + i′h)−1

El valor �nan iero de la nuda propiedad, Ns, es el resultado de a tualizar al tanto de

mer ado i′h todas las uotas de amortiza iíon Ar pendientes,

Ns =Ar−1

(1 + i′h)+

Ar−2

(1 + i′h)2+ · · · + Ar

(1 + i′h)n−r

=n∑

r=s+1

Ar

(1 + i′h)r−s


Ns =n∑

r=s+1

Ar

r∏

n=s+1

(1 + i′h)−1

siendo el valor �nan iero del préstamo o pleno dominio, la suma de los valores �nan ieros

del usufru to y de la nuda propiedad, esto es: ar = Ir +Ar,

Vs = Us +Ns

que representa la antidad que el deudor tendrá que pagar para an elar la deuda o,

desde el punto de vista del prestamista, lo que debería re ibir por transferir los dere hos

futuros que el préstamo supone en las ondi iones a tuales del mer ado.

7.12.1. Caso parti ular. La fórmula de A hard

Si los réditos periodales de la opera ión son onstantes e iguales respe tivamente a i ei′, las expresiones del apital vivo, valor del préstamo, usufru to y nuda propiedad en s,serían:

La uantía del apital vivo,

Cs =

n∑

r=s+1

ar(1 + i)−(r−s)

el valor �nan iero del préstamo,

Vs =n∑

r=s+1

ar(1 + i′)−(r−s)

el valor �nan iero del usufru to,

Us =

n∑

r=s+1

Cr−1 i(1 + i′)−(r−s)

y el valor �nan iero de la nuda propiedad,

Ns =

n∑

r=s+1

Ar(1 + i′)−(r−s)

En estas ondi iones, el valor de Vs y Ns veri� an la siguiente rela ión:

Us =i

i′[Cs −Ns

](7.35)

denominada fórmula de A hard.

La fórmula de A hard permite plantear un sistema de dos e ua iones lineales que rela-

ionan los uatro valores bási os:

Vs = Us +Ns

Us =i

i′[Cs −Ns

]}

(7.36)

Al sustituir la segunda e ua ión en la primera:

Vs =i

i′[Cs −Ns

]+Ns (7.37)

ono ida omo fórmula de Makeham.

7.12 Valor finan iero del préstamo, del usufru to y de la nuda propiedad 109

7.12.2. Apli a ión a los métodos de amortiza ión más utilizados

Préstamo ameri ano

En base a la fórmula de A hard y Makeham pueden obtenerse los valores:

Cs = C0

Ns = C0(1 + i′)−(n−s)

Us = C0 i an−s i′ =

i

i′[C0 −Ns

]

Vs = C0 i an−s i′ + C0(1 + i′)−(n−s)

Préstamo fran és

En este aso,

Cs = a an−s i

Vs = a an−s i′

y a través del sistema (7.35) se determinarán Us y Ns

Us =i(Vs − Cs

)

i− i′=

i a(an−s i

′ − an−s i

)

i− i′

si despejamos Ns,

Ns =i Cs − i′ Vs

i− i′=

a(i an−s i − i′ a

n−s) i′

)

i− i′

Préstamo on uota de amortiza ión onstante

Por ser As = A =C0

npara todo s,

Cs = (n− s) A

y

Ns = A an−s i′

Apli ando la fórmula de A hard, se obtiene Us

Us =i

i′[(n − s) A−A an−s i

′

]= A

i

i′[(n− s)− an−s i

′

]

y

Vs = Us +Ns

Ejemplo 7.10 Se on ede un préstamo de 100 000e para ser amortizado en 10 años al 5%.

Si al ini io del quinto año el tipo de interés del mer ado es del 7%, determinar el valor del

préstamo, del usufru to y de la nuda propiedad en los supuestos de que se haya apli ado el

método de amortiza ión ameri ano, fran és o de uota de amortiza ión onstante.

Método ameri ano,

C4 = C0 = 100 000


U4 = 100 000 · 0, 05 · a10−4 0 ,07

U4 = 100 000 · 0, 05 · 4, 766540 = 23 832, 70

N4 = C0(1 + 0, 07)−(10−4) = 66 634, 22

V4 = U4 +N4 = 23 832, 70+ 66 634, 22 = 90 466, 92

Método fran és,

100 000 = a a10 0 ,05 a = 12 950, 46

C4 = 12 950, 46 a10−4 0 ,05 = 65 732, 55

V4 = 12 950, 46 a10−4 0 ,07 = 61 728, 88

Vs = Us +Ns

Us =i

i′[Cs −Ns

]}

61 728, 88 = U4 +N4

U4 =0, 05

0, 07

[65 732, 55−N4

]

61 728, 88− 46 951, 82

0, 285714= N4 = 51 719, 71

61 728, 88− 51 719, 71 = U4 = 10 009, 17

Método de uota de amortiza ión onstante,

C4 = (10− 4)100 000

10= 60 000

N4 = 10 000 a10−4 0 ,07 = 47 665, 40

U4 =0, 05

0, 07

[6 · 10 000− 10 000 a10−4 0 ,07

]=

0, 05

0, 07

[60 000− 47 665, 40

]= 8 810, 43

V4 = U4 +N4 = 8 810, 43 + 47 665, 40 = 56 475, 83


Ejer i io 7.1 Determinar las aporta iones onstantes prepagables de una opera ión de ons-

titu ión uyas ara terísti as son: uantía del apital a formar 200 000e, dura ión de la opera-

ielón, 28 años y tipo de interés anual on ertado del 6%. Construir el uadro orrespondiente

a los 4 primeros años.

Solu ión:2753,31

Ejer i io 7.2 Si se pretende formar un apital de 300 000e mediante imposi iones onstantes

al prin ipio de ada trimestre, on un interés anual del 4,50% y durante 30 años, determinar:

1. Cuantía de la imposi ión onstante,

2. Capital onstituido después de 20 imposi iones,

3. Cuota de onstitu ión del dé imo trimestre,

4. Intereses formados en el sexto período.

Solu ión:1)1179,952)26595,703)1304,164)4909,51

Ejer i io 7.3 Un préstamo de 10 000e que se amortiza mediante reembolso úni o a los 8 años

a un interés del 6%, es reembolsado en parte por entrega del prestatario a los 4 años por 5 000e.

Determinar el saldo a reedor al ven imiento del mismo en los siguientes asos:


1. El a reedor a epta el mismo tipo de evalua ión,

2. El tipo de interés del mer ado, se modi� a al 5%

Solu ión:1)9626,102)9267,96

Ejer i io 7.4 Un préstamo de 20 000e amortizable mediante reembolso úni o a los 10 años,

on un intereses anual al 12%, quiere an elarse a los 5 años. Se pide la antidad que an ela el

préstamo si el tipo vigente en el mer ado en di ho momento es del 10%.


Ejer i io 7.5 Se obtiene un préstamo de 10 000e amortizable mediante reembolso úni o a los

10 años, on pago anual de intereses al 10%. Si a los 4 años, después de pagar los intereses, el

prestatario ha e una entrega par ial de 2 500e. Determinar el saldo en di ho momento, si el

tanto de interés vigente en el mer ado es del 8%.


Ejer i io 7.6 ¾A qué tipo de interés se ha de prestar un apital C0 para que en n años el valor

de la ontrapresta ión sea k ve es el del préstamo? Apli ar el resultado para k = 3 y n = 12.

Solu ión:i=k1n−1i=0,095873

Ejer i io 7.7 Construir el uadro de amortiza ión de un préstamo de 5 000e pagadero en in o

plazos semestrales, siendo el tipo nominal de la opera ión del 10% y las uotas de amortiza ión

semestral onstantes.

Ejer i io 7.8 Formar el uadro de amortiza ión de un préstamo de 10 000e amortizable en 8

años, on abono de intereses al 10% y amortizable mediante términos onstantes.

Ejer i io 7.9 Se desea amortizar en 20 años un préstamo de 150 000e mediante anualidades

onstantes, valorado al 5% anual, se pide determinar:

1. La anualidad,

2. El apital amortizado después del pago de la o tava anualidad,

3. Cuota de interés del año 10,

4. Cuota de amortiza ión del año 14,

5. Deuda pendiente al omienzo del año 16.

3)I10=4998,964)A14=8554,045)C16=52111,26

Solu ión:1)a=12036,392)M8=43318,46

Ejer i io 7.10 El ban o on ede un préstamo de 10 000e al 5%. Su amortiza ión se hará

mediante la entrega de 10 pagos anuales iguales, teniendo lugar el primero a los tres años de

efe tuado el préstamo. Determínese:

1. La anualidad,

2. Si el prestatario después de satisfe ha la uarta anualidad, pretende sustituir el resto del

reembolso mediante una entrega úni a satisfe ha dos años después, uál sería la uantía

de esta entrega.

Solu ión:1)a=1427,792)Cs=7989,82


Ejer i io 7.11 Formar el uadro de amortiza ión por el método fran és de un préstamo de

35 000e on ertado al 6,5% a amortizar en siete años.

Ejer i io 7.12 Se on ede un préstamo de 50 000e para amortizarse por el método ameri ano

on fondo de amortiza ión en in o años al tipo de interés del 6,5% anual.

El deudor on ierta por otra parte un fondo de re onstitu ión, por la misma dura ión, a un

tipo de interes del 5% anual, omprometiéndose a depositar al �nal de ada año la antidad

onstante ne esaria para formar el prin ipal per ibido en préstamo. Determinar la uantía de la

misma.

Solu ión:F=9048,74

Ejer i io 7.13 Una so iedad obtiene un préstamo de 20 000e, que deberá amortizar mediante

6 anualidades ven idas, siendo el tipo de interés del 5% para los primeros tres años y del 6%

para los restantes. Se pide onfe ionar el uadro de amortiza ión.

Solu ión:a1=3940,35a2=4014,40

Ejer i io 7.14 Se obtiene un préstamo de 40 000e, al 6%, se pide determinar el uadro de

amortiza ión del mismo en los siguientes asos:

1. Opera ión ontratada a 6 años, amortizable mediante anualidades onstantes,

2. Opera ión ontratada a 6 años, amortizable mediante uotas onstantes.

Ejer i io 7.15 Se re ibe un préstamo hipote ario de 120 000e que se tiene que devolver en

30 años mediante anualidades onstantes, al tipo efe tivo anual del 6% y on una omisión de

apertura del 1%. Obtener:

1. Anualidad,

2. Cuotas de amortiza ión del año 3 y 20,

3. Capital amortizado al �nal del año 12,

4. Cuotas de interés orrespondientes al quinto y último año,

5. Capital pendiente al término del séptimo año,

6. Confe iona el uadro de amortiza ión orrespondiente a los períodos 14 a 18,

7. Tanto efe tivo para el prestatario.

5)C7=107259,257)i=6,09%

3)M12=25606,374)I5=6801,59I30=493,46

Solu ión:1)a=8717,872)A3=1705,48A20=4592,46

Ejer i io 7.16 Se on ierta un préstamo a 20 años de 160 000e on pagos mensuales iguales a

un interés del 5% nominal anual y un 1,25% de gastos ini iales orrespondientes a la apertura.

Obtener:

1. Mensualidad,

2. Capital amortizado en los dos primeros años,

3. Cuota de interés orrespondiente a la 8.

a

mensualidad,

4. Capital pendiente una vez pagadas las mensualidades de los 10 primeros años,

5. Mensualidad del mes 14 en el supuesto de que el tipo de interés se haya modi� ado al

5,25%,


6. Tanto efe tivo para el prestatario.

4)C120=99554,385)a′=1077,166)i=5,27%

Solu ión:1)a=1055,932)M24=9803,933)I8=655,17

Ejer i io 7.17 ¾Cuál es la deuda al ini io del quinto año de un préstamo de 100 000e a 5 años

on pagos mensuales al 4% de interés?

Solu ión:C48=21628,33

Ejer i io 7.18 Al soli itar un préstamo de 10 000e a devolver en 3 años para la adquisi ión

de un vehí ulo, re ibimos la siguiente oferta: nos entregan 11 000e a devolver 345e mensuales.

Determinar el tipo de interés nominal de la opera ión.

Solu ión:j(12)

=8,06%

Ejer i io 7.19 Para la ompra de un vehí ulo, nos ofre en la siguiente fórmula de �nan ia ión:

entrada de 11 000e, 48 mensualidades de 320e y 25 000e una vez �nalizadas las mensualidades.

La TAE apli ada a la opera ión es del 8,15%. Determinar el valor a tual o oste al ontado del

mismo.


Unidad 8

Finan ia ión de la empresa

8.1. La �nan ia ión externa de la empresa

8.1.1. Las deudas empresariales a largo plazo

8.1.2. Las deudas empresariales a medio plazo

8.1.3. Las deudas empresariales a orto plazo

8.2. Arrendamiento �nan iero o �Leasing�

8.2.1. Valora ión

8.3. Empréstitos. Introdu ión

8.3.1. Empréstitos sin an ela ión es alonada

8.3.2. Empréstitos on an ela ión es alonada

8.3.3. Problemáti a de los empréstitos

8.3.4. Elementos que intervienen en los empréstitos

8.4. Empréstito normal (método fran és)

8.5. Empréstito de upón ero


116 Finan ia ión de la empresa

8.1. La �nan ia ión externa de la empresa

Es muy rara la empresa que se �nan ia ex lusivamente on apital propio pro edente

de sus a ionistas y de la auto�nan ia ión. En su gran mayoría parte de los re ursos

on los que la empresa �nan ia sus inversiones, pro ede de fuentes ajenas a la misma y

onstituyen su �nan ia ión externa.

La importan ia relativa de la �nan ia ión externa de la empresa viene dada por el ratio

de endeudamiento que es la rela ión entre los re ursos ajenos y los re ursos propios.

Este ratio, en ondi iones normales suele ser inferior a la unidad.

r =E

P

No se puede dar una regla general sobre la onvenien ia o no de aumentar la �nan ia ión

externa de la empresa, lo ual dependerá de la solven ia y del oste relativo entre los

fondos propios y ajenos.

En términos generales, no se puede dar una regla general sobre la magnitud óptima del

endeudamiento de la empresa, ya que esto depende de ada aso parti ular. En general, si

se puede de ir que si el oste de la �nan ia ión externa es menor que el oste del apital

propio, onvendrá aumentar el endeudamiento de la empresa, aunque sin sobrepasar

unos límites de pruden ia en fun ión de la solven ia de la misma.

8.1.1. Las deudas empresariales a largo plazo

Los réditos empresariales a largo plazo permiten la �nan ia ión de las inversiones de

la empresa en a tivo �jo, es de ir, las fábri as, las instala iones permanentes y la parte

permanente de la misma. Los empréstitos, son una forma importante de este tipo de

�nan ia ión.

8.1.2. Las deudas empresariales a medio plazo

Los réditos a medio plazo son re ursos �nan ieros intermedios entre los réditos a largo

plazo y los réditos a orto plazo. En general, son deudas on ven imiento superior a un

año e inferior a in o (aunque no existe unanimidad al respe to). Se utilizan en o asiones

omo réditos puente para otros réditos de más larga dura ión, o bien están destinados

a �nan iar aquellos elementos del a tivo �jo que sin ser absolutamente permanentes

tienen una dura ión intermedia omo pueden ser determinados elementos del equipo

produ tivo, maquinaria, et .

8.1.3. Las deudas empresariales a orto plazo

La mayoría de las empresas tienen deudas a orto plazo para lograr el equilibrio de su

tesorería y no quedarse sin liquidez en un momento dado, lo ual además de suponer unos

ostes de ruptura elevados para la empresa se tradu e en un des rédito y desprestigio

de la misma.

Las formas de rédito a orto plazo más utilizadas por las empresas, son:

1. El rédito omer ial o rédito on edido a la empresa por los proveedores de la

misma que se instrumenta generalmente en forma de fa turas y el orrespondiente

adeudo en la uenta del proveedor o de letras de ambio.

8.2 Arrendamiento finan iero o �Leasing� 117

2. El rédito ban ario a orto plazo. Las prin ipales formas que adopta, son:

a) Des uento �nan iero,

b) Des ubiertos en uenta orriente, (véase 3.4 en la página 23) y uenta de

rédito, (véase 3.7 en la página 28),

) Créditos esta ionales (fundamentalmente en empresas agrí olas),

d) Des uento omer ial, (véase 3.3 en la página 19).

3. La venta de uentas de la empresa o uentas a obrar por parte de la misma

(fa toring).

8.2. Arrendamiento �nan iero o �Leasing�

Las empresas re urren mu has ve es al arrendamiento omo alternativa a la ompra del

apital produ tivo.

Los arrendamientos pueden ser de muy distintos tipos, pero todos tienen en omún que

el arrendatario (usufru tuario) del bien, utiliza éste a ambio de un pago predeterminado

al propietario del mismo (arrendador). Cuando el ontrato de arrendamiento on luye, el

bien alquilado revierte al propietario o arrendador, pero usualmente el ontrato in luye

la op ión al arrendatario de omprar el bien a un pre io preestable ido o bien efe tuar

un nuevo arrendamiento.

El arrendamiento �nan iero o leasing es un ontrato de alquiler on op ión de ompra.

Debe entenderse omo un ontrato de esión de un bien que previamente la empresa

arrendadora ompra para si, on inten ión de edérselo a un ter ero en alquiler a ambio

de uotas periódi as, de igual uantía, que in luyen parte de re upera ión del oste y

parte de intereses.

El ontrato de leasing suele durar tanto omo la vida e onómi a del elemento patrimonial

en uestión aunque no ne esariamente. Se estable e así un plazo, un tiempo de esión,

durante el ual se va amortizando la totalidad de la inversión hasta llegar a un valor

residual pre�jado, generalmente igual al importe de una uota suplementaria, la llamada

op ión de ompra.

El renting, es un alquiler que tiene la posibilidad muy infre uente y a esoria de poder

optar por la adquisi ión al �nal del ontrato. El leasing es sobre todo una forma de

�nan ia ión de bienes del inmovilizado.

8.2.1. Valora ión

Ésta fórmula de �nan ia ión ha tenido un desarrollo extraordinario en las últimas dé a-

das y es utilizada fre uentemente omo alternativa a la inversión en bienes de equipo.

La equivalen ia �nan iera de este tipo de opera ión, es

C0 = a an i +Oc (1 + i)−n

en la que Oc representa la op ión de ompra y la onsideraremos prepagable dado que se

trata de un arrendamiento. Habitualmente a esta op ión de ompra se la ha e oin idir

on un término amortizativo, es de ir a = Oc, y enton es:

C0 = a an+1 i (8.1)


El resto de magnitudes pueden obtenerse de la misma forma que en un préstamo fran és

onsiderando que la opera ión es prepagable tal omo se des ribe en (7.4), página 96.

En parti ular, la determina ión de Is, sería:

Is = (Cs−1 −Oc) i

en la que al ser a = Oc,

Is = (Cs−1 − a) i (8.2)

y el valor de As es,

A1 = a− I1

pudiendo obtener los siguientes omo:

A2 = A1 (1 + i), A3 = A2 (1 + i), · · · As = A1 (1 + i)s−1

El valor del apital amortizado Ms, vendrá determinado por,

Ms = A1 ss i

y el apital pendiente Cs, utilizando el método prospe tivo tal omo vimos en (7.15) en

la página 97,

Cs = a an+1−s i (8.3)

Ejemplo 8.1 La so iedad CRILASA, �rma un ontrato de arrendamiento �nan iero de una

nave industrial, por importe de 432 000e on una op ión de ompra �nal más el impuesto en

vigor al adquirir la propiedad, por un total de 10 años, on pagos mensuales al 3,7080% de

interés nominal anual.

La omisión de apertura y gastos de formaliza ión, han sido de 1 800,50e.

Obtener las uotas de amortiza ión, el uadro de amortiza ión �nan iera de los 5 primeros pagos,

los dos últimos y el tanto efe tivo.

El tanto de interés mensual, sería:

i(m) =j(m)

mi(12) =

j(12)

12=

0, 037080

12= 0, 003090

y la uota periódi a, se obtendría omo:

C0 = a an+1 i 432 000 = a a121 0 ,003090

siendo,

an i =1− (1 + i)−n

i(1 + i)

y el valor de a121 0 ,003090,

a121 0 ,003090 =1− (1 + 0, 003090)−121

0, 003090(1 + 0, 003090) = 101, 137003

y por tanto,

a =432 000

101, 137003= 4 271, 43

Utilizando el método prospe tivo visto en (8.3), página 118, el apital pendiente al ini io del

momento s, se de�niría omo:

Cs = a an+1−s i

siendo para el momento s = 118,

C118 = 4 271, 43 a121−118 0 ,003090 = 4 271, 43 · 2, 990768 = 12 774, 87

El apital amortizado hasta el período s, para M119, sería:

M119 = 2 949, 75 s119 0 ,003090 = 2 949, 75(1 + 0, 003090)119 − 1

0, 003090= 423 469, 93

El uadro de amortiza ión soli itado, es el siguiente:

8.3 Empréstitos. Introdu ión 119

Período Cuota Intereses Amortizado Pendiente A umulado 21% IVA Total

0 432 000,00

1 4 271,43 1 321,68 2 949,75 429 050,25 2 949,75 897,00 5 168,43

2 4 271,43 1 312,57 2 958,87 426 091,38 5 908,62 897,00 5 168,43

3 4 271,43 1 303,42 2 968,01 423 123,37 8 876,63 897,00 5 168,43

4 4 271,43 1 294,25 2 977,18 420 146,19 11 853,81 897,00 5 168,43

5 4 271,43 1 285,05 2 986,38 417 159,81 14 840,19 897,00 5 168,43

6 4 271,43 1 275,83 2 995,61 414 164,20 17 835,80 897,00 5 168,43

.

.

.

118 12 774,87

119 4 271,43 26,28 4 245,16 8 529,71 423 469,93 897,00 5 168,43

120 4 271,43 13,16 4 258,28 4 271,43 427 728,57 897,00 5 168,43

Oc 4 271,43 432 000,00 897,00 5 168,43

Y el tanto efe tivo onsiderando los gastos:

432 000− 1 800, 50 = 4 271, 43 a121 i

a121 i e=

430 199, 50

4 271, 43= 100, 715568

Utilizando la al uladora �nan iera para resolver i:

g BEG 121 n 100, 715568 PV 1 CHS PMT i 12 × obteniendo 3, 7974

i = 0, 00316453 j(12) = 12 i = 0, 037974

Ejemplo 8.2 Determinar la uota de una opera ión de arrendamiento �nan iero sobre una

máquina de oste 20 000e a 5 años on una op ión de ompra de 6 000e. El tipo de interés

estable ido es del 8% anual on pagos mensuales.

C0 = a an i +Oc (1 + i)−n

20 000 = a a60 0 ,006667 − 6 000 (1 + 0, 006667)−60

a =20 000− 6 000 (1 + 0, 006667)−60

1− (1 + 0, 006667)−60

0, 006667(1 + 0, 006667)

= 321, 72

Utilizando la al uladora �nan iera, para obtener a,

g BEG 5 g n 8 g i 20000 PV 6000 CHS FV PMT obteniendo 321, 72

8.3. Empréstitos. Introdu ión

Los empréstitos tienen su origen en las ne esidades de �nan ia ión externa del Estado y

de las Entidades públi as o privadas. Las uantías elevadas que demandan en préstamo

son di� ilmente al anzables en una sola opera ión, préstamo úni o, por lo que se re urre

a la emisión de obliga iones, bonos o un agregado de préstamos.

Para que el onjunto de préstamos pueda integrarse en una sola opera ión es ne esa-

rio que todos ellos se amorti en mediante una úni a ley �nan iera, en uyo aso los

préstamos son homogéneos.

De�nimos empréstito omo un onjunto de préstamos homogéneos de igual uantía (pres-

ta ión) y amortizables on idénti a ontrapresta ión. El título valor de ada préstamo


re ibe el nombre de obliga ión y la uantía de su presta ión C, se denomina valor no-

minal de la obliga ión. Si designamos N1 el número total de obliga iones que omponen

el empréstito, la presta ión total o total nominal del empréstito será CT0 = C N1.

De forma general, y a �n de fa ilitar el a eso al pequeño inversor, se determina un valor

nominal de las obliga iones bastante redu ido lo que origina un número de obliga iones

N1 muy elevado. Es a onsejable, por razones de e� a ia administrativa no mantener en

vigor tan elevado número de obliga iones durante toda la vida del empréstito. Interesa,

por tanto, ir an elando periódi amente grupos de títulos on objeto de que vaya dis-

minuyendo su número. A �n de ompatibilizar la uniformidad de las opera iones on la

diferente dura ión, se estable e que la on re ión de las obliga iones que orresponda

an elar en ada punto se efe túe por sorteo o por ualquier pro edimiento equiprobable

para todos. En base a esto, podemos distinguir dos tipos de empréstitos:

1. Los empréstitos on un solo punto de reembolso de títulos, es de ir, on idénti a

dura ión para todas las obliga iones.

2. Los empréstitos on an ela ión es alonada de los títulos, es de ir, formados por

títulos on distinta dura ión, pero iguales términos de probabilidad.

8.3.1. Empréstitos sin an ela ión es alonada

Este tipo de empréstitos on un solo punto de reembolso, no es otra osa que un onjunto

de préstamos exa tamente iguales en todas sus ara terísti as.

Por tanto, el empréstito, omo opera ión resultante, es igual a uno ualquiera de los

préstamos multipli ado por el número de ellos, y así, el estudio del empréstito omo

opera ión onjunta es apli able a ada uno de los préstamos omponentes y vi eversa.

Este tipo de empréstitos, no presenta ninguna ara terísti a diferen iadora respe to

de los préstamos que agrega, por lo que le serán de apli a ión todas las on lusiones

obtenidas en el estudio de las opera iones de amortiza ión, manteniéndose in luso las

expresiones de los asos parti ulares (préstamo simple, método ameri ano, de uotas

onstantes, et .). Cuando la amortiza ión se realiza su esivamente a lo largo de su du-

ra ión (método fran és, de uotas onstantes, et .) también se di e que el empréstito se

amortiza por redu ión del nominal de los títulos.

8.3.2. Empréstitos on an ela ión es alonada

Se ara terizan por la aleatoriedad en la dura ión de sus títulos, determinándose por

sorteo las obliga iones que orresponde an elar en ada punto de amortiza ión.

8.3.3. Problemáti a de los empréstitos

Con rela ión al ente emisor, su �n prin ipal es obtener la ne esaria �nan ia ión en las

mejores ondi iones posibles. Cuando el importe de la emisión se destina a �nan iar una

inversión, el emisor tratará de onseguir que la ontrapresta ión, en uanto a su dura ión

y distribu ión de uantías y ven imientos, se adapte de forma óptima al rendimeinto de

la inversión y ne esidades de liquidez, para lo que fundamentalmente puede a tuar sobre

el programa de an ela ión.

8.4 Empréstito normal (método fran és) 121

Con rela ión al obliga ionista, la sus rip ión de obliga iones de un empréstito supone

para el obliga ionista una inversión de apital. La de isión de la inversión se apoya, a

igualdad de otras ir unstan ias, en la mayor rentabilidad efe tiva.

Desde el mer ado de apitales, el empréstito está ondi ionado por las ir unstan ias

que on urren en el mer ado en el momento de la emisión.

8.3.4. Elementos que intervienen en los empréstitos

La variedad y pe uliaridad de los empréstitos es amplia. Aunque su base está en los

préstamos, los elementos que intervienen son los siguientes:

C0 = C N1, valor nominal del empréstito,

N1 = Número de títulos emitidos a reembolsar,

Nk+1 = Obliga iones o títulos en ir ula ión o vivos al omienzo del año k + 1,C = Valor nominal de ada título,

Ck = Valor de reembolso o pre io de amortiza ión de ada obliga ión que se

amortiza en el año k,Pk = Prima de amortiza ión en el año k,Lk = Valor del lote en el año k,ik = Tipo de interés nominal satisfe ho en el año k. Puede ser onstante o

variable,

n = Número de años de dura ión del empréstito,

Mk = Número de obliga iones amortizadas en el año k,

mk =

k∑

r=1

Mr, número de obliga iones amortizadas al �nal de los k primeros

períodos,

Ik = Intereses satisfe hos en el año k, por la entidad emisora,

C ik = Cupón anual o interés de una obliga ión satisfe ho al �nal del año k,ak = Anualidad satisfe ha por la entidad emisora al �nal del año k

8.4. Empréstito normal (método fran és)

Como hemos estable ido anteriormente en los empréstitos puros o normales, la emisión

y amortiza ión de títulos es a la par, es de ir, por el nominal; on pago periódi o de

intereses y upón ven ido, anual o fra ionado.

Teniendo en uenta que los empréstitos son un onjunto de préstamos, utilizaremos

análogos razonamientos a los empleados en la amortiza ión de préstamos (véase 7.4 en

la página 96). En la prá ti a el empréstito normal es aquél que se amortiza siguiendo el

método del sistema progresivo fran és o anualidades onstantes.

Dado un empréstito de N1 obliga iones de nominal C, que devengan el interés anual

i, pagadero de forma ven ida y amortizado en n períodos mediante anualidades, que

omprenden ada uno los intereses de los títulos en ir ula ión y una antidad destinada

a la amortiza ión de un ierto número de obliga iones.

Ck = C ak = a ik = i

el valor a tual de la ontrapresta ión, será,

N1 C = a an i a =N1 C

an i

(8.4)


La primera anualidad,

a = M1 C +N1 C i M1 =a−N1 C i

C

y de esta forma determinamos el número de títulos amortizados el primer año.

Si omparamos las anualidades de dos años onse utivos k y k + 1, tendremos:

a = Mk C +Nk C i a = Mk+1 C +Nk+1 C i

igualando,

Mk C = Nk C i = Mk+1 C +Nk+1 C i

C Mk+1 = C Mk +Nk C i−Nk+1 C i = C Mk + C i(Nk −Nk+1)

dividiendo ambos por C, y teniendo en uenta que Nk −Mk+1 = Mk,

Mk+1 = Mk +Mk i = Mk (1 + i)

es de ir, los títulos amortizados forman una progresión geométri a de razón (1 + i).Apli ando la rela ión entre un término ualquiera y el primero,

Mk = M1 (1 + i)k−1(8.5)

expresión que nos permite al ular los términos amortizados en ualquier momento k en

fun ión de los amortizados en el primer año.

Teniendo en uenta esta rela ión,

M1 = M1 =a−N1 C i

CM2 = M1 (1 + i)M3 = M1 (1 + i)2

.

.

.

Mn = M1 (1 + i)n−1

sumando los primeros miembros e igualándolo a la suma de los segundos,

n∑

s=1

Ms = M1

[1 + (i+ 1) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)n−1

]

expresión en la que el primer miembro es el total de obliga iones emitidas N1 y el segundo

es la suma de los términos de una progresión geométri a de razón (1 + i), por lo que

apli ando (A.11) de la página 153:

N1 = M1(1 + i)n−1(1 + i)− 1

(1 + i)− 1= M1

(1 + i)n − 1

i= M1 sn i

de donde,

N1 = M1 sn i (8.6)

expresión que nos permite obtener el número de títulos amortizados en el primer año en

fun ión del número total de títulos emitidos:

M1 =N1

sn i

(8.7)

8.4 Empréstito normal (método fran és) 123

Las obliga iones en ir ula ión al omienzo de un año ualquiera k + 1, las al ulamos

a partir del apital pendiente de amortizar que al omienzo de di ho año será,

Nk+1 C = a an−k i

y por tanto,

Nk+1 =a

Can−k i = N1

an−k i

an i

(8.8)

El número de obliga iones amortizadas en un año ualquiera k, también puede obtenerse

por diferen ia entre las obliga iones en ir ula ión al ini io del año k y k + 1,

Mk = Nk −Nk+1 =a

C

(an−k+1 i − an−k i

)=

a

C (1 + i)n−k+1

El número de obliga iones amortizadas al �nal de los k primeros años, apli ando (8.6),

será:

mk =k∑

s=1

Ms = M1 sk i = N1sk i

sn i

La onstru ión del uadro es análogo a la del préstamo estudiado en 7.4.5 de la página

98, on la di� ultad de obtener el número de obliga iones amortizadas para ada año

que se obtiene para los distintos valores de k de la expresión (8.5). Estos, generalmente

no son enteros y para solu ionar el problema, existen dos pro edimientos:

1. Método de apitaliza ión de los residuos o teóri o, que onsiste en amortizar un

número entero por defe to de obliga iones y olo ar a interés el residuo de la

anualidad para a umularlo en el siguiente.

2. Método de redondeo de las amortiza iones teóri as o prá ti o onsistente en al u-

lar los títulos amortizados ada año, sin onsiderar que estos números han de ser

enteros, sumar después los números enteros de los títulos amortizados ada año y

ompletar los que faltan hasta la totalidad de los emitidos, redondeando por ex eso

los de aquellos años que tengan mayor parte de imal.

Ejemplo 8.3 Formar el uadro de amortiza ión de un empréstito normal de 10 000 obliga iones

de 100e nominales ada una, upón anual de 5e, dura ión de la amortiza ión 10 años por el

método de los residuos y por el método de redondeo de las amortiza iones teóri as.

1. Método de apitaliza ión de los residuos:

La anualidad teóri a,

a =N1 C

an i

=10 000 · 100a10 0 ,05

= 129 504, 57

Los intereses del primer año,

I1 = N1 C i = 10 000 · 100 · 0, 05 = 50 000

La antidad disponible para amortizar,

A1 = a− I1 = 129 504, 57− 50 000 = 79 504, 57

al ser las obliga iones de 100e pueden amortizarse solo 795 títulos quedando un resi-

duo de 4,57e. La anualidad queda disminuida en este importe y para onseguir que la


amortiza ión sea posible en los 10 años previstos, a umularemos a la segunda anualidad

el residuo del primer año on sus intereses al 5%.

En el segundo año dispondremos de la anualidad,

a2 = 129 504, 57 + 4, 57 · 1, 05 = 129 509, 38

La uota de intereses del segundo año, teniendo en uenta que los títulos en ir ula ión

son,

N2 = N1 −M1 = 10 000− 795 = 9 205

I2 = N2 C i = 9 205 · 100 · 0, 05 = 46 025

quedará disponible para amortizar,

A2 = a2 − I2 = 129 509, 38− 46 025 = 83 484, 38

antidad que permite amortizar 834 títulos y deja un residuo de 84,38e que se a umulará

junto on sus intereses al ter er período, por lo que dispondremos de una anualidad de,

a3 = 129 504, 57 + 84, 38 · 1, 05 = 129 593, 17

y así seguiremos hasta el último año.

El uadro orrespondiente por el método de apitaliza ión de residuos, sería el siguiente:

Anualidad Amortiza ión Residuo e Amortizadas

Años Disponible Efe tiva Intereses Teóri a Efe tiva Residuo Intereses Anual Total Vivas

10 000

1 129 504,57 129 500 50 000 79 504,57 79 500 4,57 4,80 795 795 9 205

2 129 509,38 129 425 46 025 83 484,38 83 400 84,38 88,60 834 1 629 8 371

3 129 593,17 129 555 41 855 87 738,17 87 700 38,17 40,08 877 2 506 7 494

4 129 544,66 129 470 37 470 92 074,66 92 000 74,66 78,39 920 3 426 6 574

5 129 582,96 129 570 32 870 96 712,96 96 700 12,96 13,61 967 4 393 5 607

6 129 518,19 129 435 28 035 101 483,19 101 400 83,19 87,35 1 014 5 407 4 593

7 129 591,92 129 565 22 965 106 626,92 106 600 26,92 28,27 1 066 6 473 3 527

8 129 532,84 129 435 17 635 111 897,84 111 800 97,84 102,73 1 118 7 591 2 409

9 129 607,31 129 545 12 045 117 562,31 117 500 62,31 65,43 1 175 8 766 1 234

10 129 570,00 129 570 6 170 123 400,00 123 400 0,00 0,00 1 234 10 000 0

2. Método de redondeo de las amortiza iones teóri as:

Este método se utilizará por su simpli idad. Siendo,

M1 =a−N1 C i

C

M1 =129 504, 57− 10 000 · 100 · 0, 05

100= 795, 0457 ≈ 795

M2 = 795, 0457 (1 + 0, 05) = 834, 7980 ≈ 835M3 = 834, 7980 (1 + 0, 05) = 876, 5379 ≈ 877M4 = 876, 5379 (1 + 0, 05) = 920, 3647 ≈ 920M5 = 920, 3647 (1 + 0, 05) = 966, 3829 ≈ 966M6 = 966, 3829 (1 + 0, 05) = 1 014, 7020 ≈ 1 015M7 = 1 014, 7020 (1 + 0, 05) = 1 065, 4371 ≈ 1 065M8 = 1 065, 4371 (1 + 0, 05) = 1 118, 7089 ≈ 1 119M9 = 1 118, 7089 (1 + 0, 05) = 1 174, 6443 ≈ 1 175M10 = 1 174, 6443 (1 + 0, 05) = 1 233, 3765 ≈ 1 233

Total = 10 000

La onstru ión del uadro es inmediata, resultando diferente al onfe ionado por el

método de residuos:

8.5 Empréstito de upón ero 125

Amortizados Anualidad

Años Vivos Intereses Año Total Prá ti a Teóri a

1 10 000 50 000 795 795 129 500 129 504,57

2 9 205 46 025 835 1 630 129 525 129 504,57

3 8 370 41 850 877 2 507 129 550 129 504,57

4 7 493 37 465 920 3 427 129 465 129 504,57

5 6 573 32 865 966 4 393 129 465 129 504,57

6 5 607 28 035 1 015 5 408 129 535 129 504,57

7 4 592 22 960 1 065 6 473 129 460 129 504,57

8 3 527 17 635 1 119 7 592 129 535 129 504,57

9 2 408 12 040 1 175 8 767 129 540 129 504,57

10 1 233 6 165 1 233 10 000 129 465 129 504,57

En la prá ti a, el pago de los intereses se ha e mediante upones semestrales, trimestrales,

et . En este aso, se dividen los intereses anuales, en tantas partes omo upones se paguen

dentro del año, suponiendo que el tanto anual es el nominal no el efe tivo.

8.5. Empréstito de upón ero

Son empréstitos on un úni o pago de intereses en el momento de la amortiza ión de

los títulos. Los intereses se devengan día a día, pero no se pagan sobre los títulos vivos,

sino que se a umulan en apitaliza ión ompuesta y se pagan de una vez en los títulos

amortizados en ada sorteo.

Si la anualidad es onstante, tal omo hemos visto en 8.4 de la página 121:

N1 C = a an i

y, por tanto,

a =N1 C

an i

Al ser onstante,

Mk =a

C(1 + i)−k

Mk+1 =a

C(1 + i)−k+1

y, en onse uen ia,

Mk+1 = Mk (1 + i)−1

es de ir, los títulos forman una progresión geométri a de re iente de razón (1+ i)−1

Ejemplo 8.4 Confe iona el uadro de amortiza ión de un empréstito de 10 000 obliga iones,

emitidas y amortizadas a la par en 3 años por sorteo de términos amortizativos de igual uantía

si el nominal de los títulos as iende a 50e y son upón ero, on una rentabilidad efe tiva anual

del 4%

a =N1 C

an i

a =10 000 50

a3 0 ,04

a = 180 174, 27

M1 =a

C(1 + i)−1 M1 =

180 174, 27

50(1 + 0, 04)−1 = 3 464, 88

M2 = N1 (1 + i)−1 M2 = 3 464, 88 (1 + 0, 04)−1 = 3 361, 62

M3 = N2 (1 + i)−1 M3 = 3 361, 62 (1 + 0, 04)−1 = 3 203, 48

Redondeando,

M1 = 3 465M2 = 3 332M3 = 3 203


Años Anualidad Intereses Amortiza ión Vivos

10 000

1 180 180,00 3 465 3 465 6 535

2 180 194,56 3 332 6 797 3 203

3 180 146,98 3 203 10 000 0


Ejer i io 8.1 Una so iedad �rma un ontrato de leasing por 20 000e, que deberá amortizar

mediante 36 mensualidades más una op ión de ompra, siendo el tipo de interés del 5%. Con-

fe ionar los tres primeros pagos del uadro de amortiza ión.

Solu ión:a=581,98

Ejer i io 8.2 Se �rma un ontrato de arrendamiento �nan iero de 40 000e, al 6% de interés

efe tivo anual, on pagos trimestrales a 3 años. Determinar el valor de ada uota y los intereses

orrespondientes al dé imo período sabiendo que la op ión de ompra es una uota más.

Solu ión:1)a=3352,982)I10=143,38

Ejer i io 8.3 Se on ierta un ontrato de leasing on una entidad por 120 000e a un pla-

zo de 10 años más una op ión de ompra equivalente a una uota, on pagos de las uotas

mensualmente al interés efe tivo anual del 6%. Obtener:

1. Mensualidad,

2. Intereses pagados en el primer año de vigen ia,

3. Capital pendiente de pago al ini io del 6 año.

Solu ión:1)a=1308,272)

12 ∑

s=1

I=6694,323)C60=69238,65

Ejer i io 8.4 Cal ular la uota orrespondiente a un ontrato de arrendamiento �nan iero de

pagos mensuales, por 5 años, a un tipo de interés variable del 5% nominal anual ini ial, si el

importe del mismo es de 24 000e más una op ión de ompra equivalente a una mensualidad.

Obtener además:

1. Capital amortizado en los dos primeros años,

2. Intereses totales de la opera ión,

3. Mensualidad del mes 14 en el supuesto de que el tipo de interés se haya modi� ado al

5,5%.

2)

61 ∑

s=1

I=3115,783)a′=448,72

Solu ión:a=444,521)M24=8723,73

Ejer i io 8.5 Se emite un empréstito de 100 000 obliga iones de 1 000e nominales, durante 10

años, upon anual ven ido de 60e, amortizable mediante anualidades onstantes. Se pide:

1. Anualidad onstante que amortiza el empréstito,

2. Títulos vivos a partir del 6.

o

año,


3. Títulos amortizados en el 5.

o

sorteo,

4. Títulos amortizados después de 7 sorteos,

5. Cuantía dedi ada al pago de upones en el 7.

o

sorteo.

4)m7=636825)I7=2824800

Solu ión:1)a=13586795,822)N6=470803)M5=9578

Ejer i io 8.6 En un empréstito de 10 000 títulos, de 500e nominales, amortizables mediante

anualidades onstantes en 5 años, on abono de upón anual ven ido de 40e por obliga ión, se

pide onstruir el uadro de amortiza ión por los métodos:

1. De apitaliza ión de los residuos,

2. De redondeo de las amortiza iones teóri as.

Ejer i io 8.7 Del uadro de amortiza ión de un empréstito normal hemos tomado los siguientes

datos: intereses del primer año 300 000e; intereses del segundo año 263 154e; siendo el número

de teóri o de títulos amortizados el último año 987,54185, el nominal de las obliga iones 1 000e,

se pide:

1. Tanto de valora ión del empréstito,

2. Anualidad del mismo,

3. Número de títulos emitidos,

4. Dura ión del empréstito.

Unidad 9

Títulos valores: opera iones

bursátiles

9.1. Títulos valores: valores mobiliarios

9.2. Títulos valores: on eptos

9.3. Mer ado de valores

9.4. Rentabilidad de los títulos valores

9.5. Valora ión de los títulos valores

9.6. Valora ión de los títulos de renta �ja

9.6.1. Compra por sus rip ión y mantenimiento hasta su amortiza ión

9.6.2. Compra por sus rip ión y venta del título en el mer ado

9.6.3. Compra en el mer ado y mantenimiento hasta su amortiza ión

9.6.4. Compra en el mer ado y venta en el mer ado

9.7. Valora ión de las a iones

9.7.1. Valora ión en fun ión de los dividendos

9.7.2. Valora ión en fun ión de los bene� ios

9.8. Valora ión de las letras �nan ieras

9.8.1. Adquisi ión ini ial y mantenimiento hasta su ven imiento

9.8.2. Adquisi ión ini ial y venta en el mer ado se undario

9.8.3. Adquisi ión de la letra en el mer ado se undario


130 Títulos valores: opera iones bursátiles

9.1. Títulos valores: valores mobiliarios

Los títulos valores son do umentos que in orporan una promesa unilateral de realizar

una determinada presta ión a favor de quien resulte legítimo tenedor del do umento.

Na e en onse uen ia un mer ado de títulos de rédito uya vertiente e onómi a es la

apari ión del denominado mer ado �nan iero. Estos, on�eren al tenedor el dere ho a

obtener del deudor una suma de dinero (títulos de pago) o dere hos de so io (títulos de

parti ipa ión so ial).

En el mer ado de apitales se nego ian opera iones de �nan ia ión y se obtienen re ursos

�nan ieros a ambio de títulos de rédito.

En el mer ado de valores se nego ian las opera iones de apital uyo objeto es �nan iar

inversiones y se obtienen medios de �nan ia ión ontra la entrega de títulos valores.

Los más fre uentes son los que se realizan sobre valores mobiliarios, no obstante, son

también importantes los que se realizan on la ontrata ión de letras �nan ieras, pagarés

del tesoro y de empresa.

Los valores mobililarios son títulos valores emitidos en masa on iguales dere hos a los

que se aso ia una fá il transmisibilidad. Estos, se lasi� an en:

Las a iones, títulos valores que representan partes alí uotas del apital so ial e

in orporan dere hos de so io: parti ipar en los bene� ios so iales, en el patrimonio

resultante en la liquida ión y dere ho preferente de sus rip ión de nuevas a iones.

Cabe distinguir entre a iones nominativas y al portador, a iones de go e o dis-

frute y a iones ordinarias y privilegiadas.

Las obliga iones son títulos o do umentos que representan partes alí uotas de ré-

ditos ontra las so iedades emisoras. Con�eren dere hos de prestamista o a reedor

y na en para ser amortizadas. Se les suele designar en o asiones on los nombres

de édulas hipote arias, bonos, bonos ban arios, et . Sus dere hos e onómi os son

la devolu ión del prin ipal y obten ión de rendimientos que se on retan en intere-

ses o upones, primas, lotes u otras posibles ventajas on reper usión e onómi a

(véase 8.4 en la página 121).

Se distinguen entre otras, obliga iones nominativas y al portador, obliga iones

on ara terísti as omer iales o sin ellas (puras), obliga iones ordinarias o on

garantías y obliga iones a interés �jo o variable.

Los fondos públi os o deuda públi a son obliga iones emitidas normalmente a un

interés �jo por una Corpora ión de Dere ho Públi o (Estado, Autonomía, Provin-

ia, et .).

Se puede lasi� ar en onsolidada y �otante, amortizable y perpetua, nominativa

y al portador, interior y exterior, general y espe í� a, pignorable y no pignorable,

on y sin impuestos.

Las letras �nan ieras, nego iadas en el mer ado de valores, son letras de ambio

libradas por ban os on objeto de obtener re ursos de sus lientes.

Los pagarés del Tesoro son deuda públi a a orto plazo uya �nalidad es obtener

�nan ia ión para los dé� its presupuestarios.

Los pagarés de empresa son valores emitidos para obtener �nan ia ión mediante

endeudamiento a orto plazo.

9.2 Títulos valores: on eptos 131

9.2. Títulos valores: on eptos

Los on eptos más importantes sobre los títulos valores, son:

1. Valor nominal es el importe que lleva impreso en el título y orresponde:

En las a iones a la parte alí uota del apital so ial de ada título.

En las obliga iones y deuda públi a a la parte alí uota de los réditos puestos

en ir ula ión.

En la letra y en el pagaré al valor que se tiene que re ibir en su ven imiento.

2. Valor efe tivo es el oste real que supone para el sus riptor o omprador la adqui-

si ión del título. En el momento de la emisión puede oin idir on el valor nominal

o ser inferior o superior. En el primer aso, se emite a la par, si es inferior, por

debajo de la par y de ser superior por en ima de la par o on prima de emisión

positiva.

En el aso de las letras o pagarés, el valor efe tivo es siempre inferior al nominal

ya que esta diferen ia es el rendimiento del título por des uento.

3. Valor de otiza ión también denominado de urso o de ambio, designa el pre io

que el mer ado �ja para el título.

Si los títulos otizan en Bolsa, su valor se ono e a partir de las otiza iones

o� iales. Este valor de otiza ión estará a la par, sobre la par o bajo par, según

sea igual, superior o inferior al valor nominal del título.

4. Valor de reembolso o amortiza ión es el pre io que el emisor paga por el título en

el momento de la amortiza ión. Puede oin idir o no on el valor nominal y está

previsto desde el origen de la emisión.

Si no oin ide on el nominal, es debido a premios, generalmente positivos que

pueden venir en forma de primas, lotes u otro tipo de ventaja.

Otra forma de reembolso onsiste en la ompra en Bolsa he ha por el emisor, des-

ono iéndose en este aso el pre io. Es pre iso onsiderar que algunos empréstitos

(deuda públi a perpetua) are en de reembolso. Estos, solo pueden ser emitidos

por el Estado por ser la úni a entidad que puede omprometerse perpetuamente

al pago de los intereses.

En una letra o pagaré, el valor de amortiza ión oin ide on el nominal.

5. Intereses. Las obliga iones, produ en intereses determinados en el momento de la

emisión.

Re iben el nombre de upones los intereses que periódi amente per iben (anual,

semestral, et .) en on epto de rendimiento sus poseesores. Tradi ionalmente los

títulos van provistos de unos upones orrespondientes a ada ven imiento de los

intereses.

En las letras y pagarés el rendimiento es la diferen ia entre el valor de adquisi ión

y amortiza ión o venta.

6. Dividendos son las uantías que tiene que entregar el sus riptor de una a ión para

pagarla. Se designa también on este nombre ada se ión en la distribu ión de los

bene� ios obtenidos por la so iedad.

La primera onsidera ión del dividendo, denominada dividendo pasivo es la salida

de dinero para el poseedor de la a ión. La segunda, onstituye una entrada de


dinero, denominada dividendo a tivo o simplemente dividendo. Estos, representan

para las a iones lo mismo que los intereses en las obliga iones.

9.3. Mer ado de valores

Las empresas, para realizar sus inversiones ne esitan aptar re ursos �nan ieros que

destinarán posteriormente a la adquisi ión de bienes.

El apital propio, junto on la �nan ia ión interna o auto�nan ia ión no son su� ientes

para las ne esidades de la empresa. Es ne esario a udir a la �nan ia ión externa y

obtener re ursos en el mer ado �nan iero.

El mer ado de apitales es el mer ado �nan iero a largo plazo. Si es a orto plazo, se

denomina mer ado de dinero.

El mer ado de apitales o mer ado de valores es aquel en que se nego ian las opera iones

uyo objeto es la �nan ia ión de inversiones. Este se lasi� a en mer ado primario o

de emisión que es donde la empresa obtiene dire tamente la �nan ia ión mediante la

emisión de títulos valores y mer ado se undario o bolsa de valores que fa ilita la liquidez

ne esaria de los valores mobiliarios y ompleta por tanto las ualidades exigidas a todo

a tivo �nan iero (rentabilidad, seguridad y liquidez).

Los mer ados se undarios fa ilitan informa ión bási a para el ade uado fun ionamiento

del mer ado primario. De este modo, trata de analizar los re ursos �nan ieros de los

ahorradores a inversiones. A ambio, los ahorradores re iben títulos que en ierran una

promesa de rendimiento predeterminable (obliga iones, letras, et .) o una promesa de

rendimiento aleatorio y dere hos sobre el patrimonio (a iones).

En el mer ado se undario, se realizan multitud de opera iones diariamente que permi-

ten invertir los ahorros, alterar la omposi ión de las arteras o desprenderse total o

par ialmente de títulos para maximizar los bene� ios.

La fun ión primordial del mer ado se undario en la asigna ión de re ursos onsiste en

estable er el pre io aproximado de las emisiones de nuevos valores. Aunque los inver-

sores posean informa ión análoga, la diversidad de interpreta ión ondu e a que haya

ahorradores que deseen adquirir valores y otros que pretendan desprenderse de ellos.

Son fun iones del mer ado de valores:

1. Permitir al pequeño ahorrador olaborar en el pro eso de �nan ia ión de las in-

versiones.

2. Fa ilitar la transmisión de títulos entre ompradores y vendedores.

3. Posibilitar la forma ión de pre ios justos.

9.4. Rentabilidad de los títulos valores

La rentabilidad de un título mide la rela ión entre los rendimientos que se obtienen en

un período y la inversión realizada en él. Este rendimiento oin idirá on los intereses si

se trata de obliga iones o los dividendos uando los títulos son a iones.

Podemos lasi� ar la rentabilidad:

9.4 Rentabilidad de los títulos valores 133

1. Rentabilidad bruta: es la que se obtiene uando se toma omo referen ia la renta

bruta, esto es, uando no se onsideran los impuestos, orretajes y omisiones

soportados.

2. Rentablidad neta: surge uando se toma omo referen ia la renta al dedu ir los

impuestos y gastos.

3. Rentabilidad nominal : es la que se obtiene en rela ión al nominal del título.

4. Rentabilidad efe tiva: al rela ionar el rendimiento on el valor de otiza ión a tual

o de adquisi ión.


C = valor nominal del título,

V = valor efe tivo de adquisi ión,

Rb = renta bruta o rendimiento del periodo,

g = omisiones y gastos,

t = tipo impositivo,

Rn = renta neta del período, Rn = Rb − tRb − gC = Rb(1− t)− gC.

En onse uen ia, la rentabilidad nominal bruta, la de�nimos omo,

i′n =Rb

C

la rentabilidad nominal neta, será,

in =Rn

C

la rentabilidad efe tiva bruta,

i′e =Rb

V

y, la rentabilidad efe tiva neta,

ie =Rn

V

Ejemplo 9.1 Un título de 10e nominales que otiza a 11e (110%), produ e una renta del

15% sobre el nominal. Determinar sus rentabilidades nominales y efe tiva (brutas y netas) si

los impuestos son del 18% y la omisión ban aria de ustodia de los títulos as iende al 3%� del

nominal.

Rb = 10 · 0, 15 = 1, 5

Rn = Rb(1− t)− gC Rn = 1, 5 (1 − 0, 18)− 0, 003 · 10 = 1, 20

i′n =Rb

C=

1, 5

10= 0, 15 in =

Rn

C=

1, 20

10= 0, 12

i′e =Rb

V=

1, 5

11= 0, 1364 ie =

Rn

V=

1, 2

11= 0, 1091

Al inversor la rentabilidad que le interesa ono er es la efe tiva neta o tanto efe tivo de

rendimiento y las magnitudes que la de�nen, las uales satisfa en las siguientes rela iones:

ie =Rn

VRn =

ieV

V =Rn

ie

El tanto efe tivo ie es una medida utilizada omo riterio de ompara ión entre títulos

que dirá dos valores otizan en paridad uando el tanto efe tivo de rendimiento que

propor ionan es el mismo.


9.5. Valora ión de los títulos valores

Valor de otiza ión o de mer ado de un título

El pre io de un título de renta variable viene dado por el a uerdo entre ompradores

(demanda) y vendedores (oferta).

En la oferta y demanda in�uyen los siguientes fa tores: historia de las otiza iones, polí-

ti a de dividendos, expe tativas futuras de la empresa, nivel de a tividad del país, tipo de

interés del mer ado, oste de apital, rendimiento esperado por el inversor, ne esidades

de liquidez, et .

La experien ia indi a que los valores de renta �ja (obliga iones) son reemplazados por

los de renta variable en las fases de expansión e onómi a y al revés en las ontra iones.

Valor teóri o de un título

La valora ión o ál ulo del pre io teóri o de un título tiene la �nalidad de estable er

una estima ión razonable de su valor y dar una opinión sobre el nivel de otiza ión del

título.

Cuando el estudio de los datos e onómi os y �nan ieros de la empresa así omo de su

omportamiento futuro, presentan rasgos favorables puede on luirse que es interesante

omprar un título. La evalua ión tiene por objeto determinar un valor razonable.

En onse uen ia, la evalua ión puede no llegar hasta el ál ulo exa to de su valor, sino

simplemente dar una opinión sobre si su otiza ión es o no demasiado alta.

Compara ión del pre io teóri o on el de mer ado

Si denominamos P al pre io de otiza ión en el mer ado �nan iero de un título y Vel valor teóri o del mismo, puede o urrir que ambos oin idan o sean diferentes. Lo

habitual es que P 6= V . Si V > P , el inversor, tratará de adquirir títulos; si V < P ,tratará de vender sus títulos y si V = P , se presenta una situa ión de indiferen ia.

Desde el punto de vista del inversor, este se en uentra on el pre io P de mer ado y

deberá al ular su propio V de a uerdo on los riterios más ra ionales que tratamos de

des ribir.

9.6. Valora ión de los títulos de renta �ja

La nomen latura a utilizar es la siguiente:

Vs = valor de la obliga ión al �nal del año s,Vs = valor teóri o al �nal del año s,C = valor nominal de una obliga ión,

i = tipo de interés,

Cs = valor de amortiza ión o reembolso en el año s,Is = renta periódi a,

ia = tipo de rentabilidad esperada,

in = tipo de rentabilidad según el momento de amortiza ión o venta,

t = tanto de interés de valora ión del inversor.

9.6 Valora ión de los títulos de renta fija 135

9.6.1. Compra por sus rip ión y mantenimiento del título hasta su

amortiza ión

El inversor, sus ribe el título en fun ión de la rentabilidad esperada al tanto ia, pero al

ser aleatoria la dura ión, el rendimiento que efe tivamente se al an e in, sólo se ono eráen el momento de la amortiza ión.

La de isión de ompra se tomará si ia ≥ t, ya que t re�eja la rentabilidad mínima que

exige el inversor.

Si el título se amortiza en el año n y el pago de los intereses es periódi o y propor iona

un rendimiento in, en términos generales,

V0 =I1

(1 + in)+

I2(1 + in)2

+I3

(1 + in)3+ · · ·+ In + Cn

(1 + i)n

V0 =n∑

s=1

Is(1 + in)s

+Cn

(1 + in)n

expresión, que es la suma de una progresión geométri a de razón

1

(1 + in)y por tanto,

V0 = I1− (1 + in)

−n

in+

Cn

(1 + in)n

que tal omo vimos en (5.1) en la página 49, podemos es ribir omo,

V0 = I an in + Cn(1 + in)−n

(9.1)

Si no hay intereses periódi os, es de ir, Is = 0

V0 = Cn(1 + in)−n

Ejemplo 9.2 Se emite a la par un empréstito por títulos de nominal 1 000e para ser amortizado

en 5 años on anualidades onstantes, abonando intereses anuales de 125e. Si los títulos se

amortizan a 1 050e, determinar: 1) ¾Interesa la inversión a un ahorrador que pretende obtener

una rentabilidad media del 13,25%?; 2) ¾Cuál es la rentabilidad que propor iona el empréstito?

1.

i′ =R

V=

125

1 050= 0, 119048

V = (C + P )an t

an i ′V = 1 050

a5 0 ,1325

a5 0 ,119048

= 1 015, 88

Como el valor de emisión C = 1 000, le interesa la inversión.

2.

an ia=

C

C + Pan i

′a5 ia

=1 000

1 050a5 0 ,119048 = 3, 441236

que tiene por solu ión un ia = 13, 90% > t = 13, 25%.


9.6.2. Compra por sus rip ión y venta del título en el mer ado

Si el sus riptor vende la obliga ión en el mer ado al ini io del año s+ 1 al pre io V ; el

rendimiento te, se obtendrá de la siguiente e ua ión uando los intereses son periódi os:

V = I as te + Vs(1 + ts)−s

(9.2)

o si se a umulan al �nal, Is = 0:

V = Vs(1 + te)−s te =

(Vs

V

) 1s

− 1

Cabe indi ar que el inversor habrá de idido vender porque el pre io V es superior a su

valor teóri o V.

Ejemplo 9.3 Si al prin ipio del año 4 los títulos del ejemplo anterior 9.2 otizan a 1 075e

determinar si interesa la venta si se evalúa al 13,25% ¾Cuál será la rentabilidad obtenida por el

vendedor si adquirió su título por sus rip ión?

V3 = 1 050a2 0 ,1325

a2 0 ,119048

= 1 031, 71

1 031, 71 < 1 075, por tanto, interesa la venta.

1 000 = 125 a3 te + 1 075(1 + te)−3 te = 14, 63%

9.6.3. Compra en el mer ado y mantenimiento del título hasta su

amortiza ión

En este aso, la obliga ión se amortiza n− s años después de su adquisi ión, siendo por

tanto el rendimiento:

V = I an−s in+ Cn(1 + in)

−(n−s)(9.3)

y si los intereses Is = 0,

Vs = Cn(1 + in)−(n−s) in =

(Cn

Vs

) 1n−s

− 1

Debe entenderse que la de isión de ompra al pre io Vs se produ e por ser Vs al tanto tsuperior al pre io de otiza ión.

Ejemplo 9.4 De una emisión realizada ha e tres años de 2 500e nominales para ser amortiza-

dos el o tavo o dé imo año a voluntad del inversor al 12% y una prima al dé imo año de 200e,

que otizan a 3 550e determinar la rentabilidad de un omprador según el momento que de ida.

C8 = 2 500 (1 + 0, 12)8 = 6 189, 91

C10 = 2 500 (1 + 0, 12)10 + 200 = 7 964, 62

Si la ompra es a 3 550e, ofre e rentabilidad siguiente,

3 550 = 6 189, 91 (1 + in)−5 in = 0, 1176

3 550 = 7 964, 62 (1 + in)−7 in = 0, 1224

9.7 Valora ión de las a iones 137

9.6.4. Compra en el mer ado y venta en el mer ado

En este aso, las e ua iones serán análogas a (9.3), sustituyendo Cn por Vn.

Vs = I an−s te + Vn(1 + te)−(n−s)

(9.4)

y si Is = 0,

Vs = Vn(1 + te)−(n−s) te =

(Vn

Vs

) 1n−s

− 1

9.7. Valora ión de las a iones

Los métodos más omunes para la valora ión de las a iones, son:

Valora ión a partir del a tivo neto

Consiste en al ular el valor de la a ión omo:

A tivo neto total

Número de a iones en ir ula ión

En la prá ti a, el a tivo ontable ofre ido por el balan e de la empresa no re�eja el

verdadero valor del nego io. Será pre iso el ajuste al verdadero valor de la empresa lo

que ondu e al a tivo neto intrínse o.

No obstante, las otiza iones del valor en Bolsa son diferentes a las orrespondientes al

valor intrínse o del a tivo. En ella, los inversores tienen en uenta la apa idad de obtener

bene� ios que en parte se mani�esta por los dividendos repartidos a los a ionistas.

Valora ión en fun ión de los dividendos

Los ingresos monetarios generados por una a ión, provienen de los dividendos y del

pre io de venta en el momento de la enajena ión.

Los dividendos no re�ejan dire tamente los bene� ios de la empresa y ello, reper ute

dire tamente en la otiza ión de la a ión. Prede ir los dividendos y la otiza ión requiere

un ono imiento de la gestión interna de la empresa así omo de la rea ión de los

inversores. Cabe onsiderar igualmente los dividendos onstantes o re ientes.

Valora ión en fun ión de los bene� ios

Otro riterio es la evalua ión de las a iones en fun ión de los bene� ios. Una parte

de estos es distribuida en forma de dividendos, mientras que el resto se detrae omo

reservas. Estas, reper utirán de forma favorable en la otiza ión bursátil del título.

El valor de la a ión es la suma de los valores a tuales de los bene� ios futuros.

Valora ión a través de modelos de regresión

La evalua ión de las a iones a través de la regresión, es de ir, de un modelo que exprese

la orrela ión entre el valor y una serie de magnitudes que ara terizan a la so iedad.


9.7.1. Valora ión en fun ión de los dividendos

La nomen latura de las variables a onsiderar es:

As = valor de la a ión al ini io del año s+ 1,

As = valor estimado para la a ión al ini io del año s+ 1,C = valor nominal de la a ión,

Ds = dividendo esperado por a ión al �nal de año s,i = tipo de interés,

ia = tanto de rentabilidad (efe tivo) de a uerdo on su otiza ión.

El valor teóri o de la a ión o valor a tualizado de los dividendos esperados al tanto i,es:

A0 =

∞∑

s=1

Ds (1 + i)−s(9.5)

El inversor, de idirá omprar si A0 > A0, esto es, A0 − A0 > 0, ya que de ese modo

obtendrá plusvalías. Venderá siA0 < A0, por lo que A0−A0 < 0; y le resultará indiferentesi A0 = A0, siendo A0 −A0 = 0.

La obten ión del tanto de rentabilidad ia, será a partir de la e ua ión:

A0 =

∞∑

s=1

Ds (1 + ia)−s

(9.6)

Y la de isión en onse uen ia, será: omprar si i < ia, vender si i > ia e indiferen ia si

i = ia.

Dividendos onstantes

Se ara teriza por ser D1 = D2 = · · · = Dn y por tanto el valor teóri o de otiza ión,

será:

A0 = D a

∞ i = D1

i(9.7)

El tanto de rendimiento,

A0 = D a

∞ ia = D1

ia

ia =D

A0(9.8)

La rela ión otiza ión dividendo o número de unidades que hay que invertir para obtener

una unidad o dividendo se denomina PER = p (pri e earning ratio):

PER = p =A0

D=

1

ia(9.9)

que es una forma de medir la rentabilidad de los títulos, ya que representa el número

de años que han de trans urrir hasta re uperar el pre io A0 invertido en el título on

los rendimientos obtenidos. Si los dividendos Ds no son onstantes, el PER se puede

obtener omo:

A0 =

p∑

s=1

Ds

Un PER bajo respe to de otras a iones del se tor indi a que esa a ión está barata y

quizás sea un buen momento para invertir. Un PER elevado no siempre signi� a que su

valor esté alto; en o asiones muestra las buenas expe tativas de la empresa.

9.7 Valora ión de las a iones 139

Ejemplo 9.5 Una a ión de 6e nominales, otiza a 4,55e. Si los dividendos que se per iben

son de 0,45e anuales, determinar: 1) El valor teóri o de la a ión si se toma omo tanto de

valora ión i = 12%; 2) El tanto de rendimiento esperado de a uerdo on su otiza ión; 3) Valor

del PER.

1.

A0 = 0, 45 a

∞ 0 ,12 = 0, 451

0, 12= 3, 75

2.

ia =D

A0=

0, 45

4, 55= 0, 0989

3.

PER = p =A0

D=

4, 55

0, 45= 10, 11

9.7.2. Valora ión en fun ión de los bene� ios

Si designamos B a los bene� ios propor ionados por la a ión en el año s, que estaránformados por los dividendos más las varia iones de otiza ión del título, podemos deter-

minar el valor teóri o de la a ión A0, en fun ión de los bene� ios esperados al tanto i∗, omo:

A0 =

∞∑

s=1

Bs (1 + i∗)−s =

∞∑

s=1

Ds (1 + i∗)−s +

∞∑

s=1

△As(1 + i∗s)−s

(9.10)

y el tanto de rendimiento i∗a se determinará omo:

A0 =∞∑

s=1

Bs (1 + i∗a)−s

(9.11)

análogo al método expuesto en los dividendos en (9.6) sin más que sustituir estos por

los bene� ios.

Bene� ios onstantes

El valor teóri o de la a ión es:

A0 = B a

∞ i∗ = B

1

i∗(9.12)

y del valor obtenido en (9.10), se sigue:

A0 =B

i∗=

D

ii∗ =

D +△A

A0

= i+△A

A0

(9.13)

y el tanto de rendimiento i∗,

A0 = B a

∞ i∗

a

= B1

i∗a(9.14)

siendo los valores teóri os y de otiza ión próximos. La rela ión

△A

A0=

△A

A0

= q∗,

re ogerá la tasa de varia ión de la otiza ión, dándose la rela ión,

i∗ = i+ q∗ I∗a = ia + q∗


El valor del PER es,

PER = p∗ =A0

B=

1

i∗a

veri� ándose la rela ión,

p∗

p=

iai∗a

p∗ = pia

ia + q∗p = p∗

ia + q∗

ia(9.15)

Ejemplo 9.6 De un título que otiza a 7,50e del nominal de 6e, se sabe que propor iona unos

bene� ios onstantes del 20% de su valora nominal y se reparte en on epto de dividendos el

75% de los bene� ios. Determinar su rentabilidad efe tiva según sus bene� ios y sus rela iones

on la obtenida de sus dividendos.

A0 = B1

ia7, 50 = 1, 50

1

i∗ai∗a =

1, 50

7, 50= 0, 20

7, 50 = 1, 50 · 0, 75 1

iaia =

1, 1250

7, 50= 0, 15

p∗ =7, 50

1, 50= 5 p = 5

0, 20

0, 15= 6, 6667

9.8. Valora ión de las letras �nan ieras

Las letras �nan ieras suponen un método de �nan ia ión importante para las entidades

�nan ieras y la administra ión que uenta on una buena a ogida por los inversores

debido a su atra tiva rentabilidad, seguridad y liquidez. Se emiten al des uento, y pro-

por ionan tipos de interés que suelen sobrepasar a los ofre idos en las emisiones normales

de títulos.

Desde el punto de vista �s al, la tributa ión se ha e por rendimiento de apital mobi-

liario, no estando sujeta a reten ión.

Las nota iones a emplear, son las siguientes:

V0 = valor ini ial o pre io efe tivo de la letra en el momento de su ontrata ión

ini ial,

C = valor nominal del efe to el día de su ven imiento,

n = dura ión,

Vs = valor del título en el momento s,d = tanto de des uento,

i = tipo de interés equivalente a al tanto d,iv = tipo de interés del vendedor en el momento s,ic = tipo de interés del omprador en el momento s

9.8.1. Adquisi ión ini ial de la letra y mantenimiento del título hasta

su ven imiento

El inversor adquiere una letra en fun ión de la rentabilidad que puede propor ionarle,

es de ir, en fun ión de ia

Si el tanto de des uento es d, por un título de valor C, que ven e dentro de n días, será

pre iso abonar el valor V0, que tal omo vimos en (3.9) de la página 23:

9.8 Valora ión de las letras finan ieras 141

V0 = C(1− d

n

365

)(9.16)

En onse uen ia, i obtenido en fun ión de d,

i =d

1− dn

365

El parámetro ia es el de de isión y este lo obtenemos de la rela ión:

(1 + ia

n

365

) (1− da

n

365

)= 1

de donde da e ia, serán según vimos en (2.18),

da =ia

1 + ian

365

ia =da

1− dan

365

(9.17)

Ejemplo 9.7 Determinar el pre io efe tivo que un inversor estará dispuesto a pagar por una

letra, de 1 000e que se emite a 180 días si pretende obtener omo mínimo una rentabilidad del

4% anual.

da =ia

1 + ian

365

=0, 04

1 + 0, 04180

365

= 0, 039226

V0 = 1 000

(1− 0, 039226

180

365

)= 980, 65

que será el máximo valor a pagar para obtener la rentabilidad del 4%

9.8.2. Adquisi ión ini ial y venta en el mer ado se undario

Una vez hayan trans urrido s días desde su ontrata ión ini ial y al tanto de des uento

d′ vigente en el día, el efe tivo que se obtiene lo denominaremos Vs, tal que:

Vs = C

(1− d′

n− s

365

)(9.18)

obteniendo el vendedor una rentabilidad iv:

V0

(1 + iv

s

365

)= Vs iv =

Vs − V0

V0

365

s

Si el inversor ha de idido vender es porque el tanto de des uento d′ < da.

Ejemplo 9.8 Si trans urridos 45 días el título del ejemplo anterior 9.7 otiza a 985e ¾Cuál

será el tanto de des uento que se está pra ti ando en el mer ado y la rentabilidad que obtendría

por letra el ontratante ini ial si de ide vender al pre io de otiza ión?

985 = 1 000

(1− d′

180− 45

365

)

d′ =C − Vs

C

365

n− s=

1 000− 985

1 000

365

135= 0, 040556

iv =Vs − V0

V0

365

s=

985− 980, 65

980, 65

365

45= 0, 035980

La rentabilidad sería iv = 3, 60%


9.8.3. Adquisi ión de la letra en el mer ado se undario

El omprador en el mer ado al pre io Vs, uando han trans urrido s días puede obtener,si espera a su ven imiento una rentabilidad ic:

Vs =

(1 + ic

n− s

365

)= C ic =

C − Vs

V − s

365

n− s

Sustituyendo V − S por el valor en (9.18)

C

(1− d′

n− s

365

) (1 + ic

n− s

365

)= C ic =

d′

1− d′n− s

365

Si el omprador del título en el momento s de ide venderlo k días después al pre io Vs+k,

obtendrá una rentabilidad iv tal que:

Vs

(1 + iv

k

365

)= Vs+k iv =

Vs+n − Vs

V

365

k

Ejemplo 9.9 Una letra de 1 000e nominales, emitida a un año se adquiere en el mer ado

se undario a los 150 días al tanto de des uento del 8%. Trans urridos 100 días se vende al 7%.

¾Cuál será el pre io de venta y los intereses efe tivos obtenidos?

Vs = C

(1− d

n− s

365

)= 1 000

(1− 0, 08

365− 150

365

)= 952, 87

Vs+k

(1 + iv

k

365

)= 1 000

(1− 0, 07

365− 150− 100

365

)= 977, 94

Vs

(1 + iv

k

365

)= Vs+k iv =

Vs+k − Vs

Vs

365

k

iv =977, 94− 952, 87

952, 87

365

100= 0, 0961


Ejer i io 9.1 Una a ión de 10e nominales otiza a 12,5e. Si los dividiendos anuales son de

1,2e, determinar 1) Valor del PER, 2) Rendimiento esperado de a uerdo on su otiza ión.

Solu ión:1.p=10,422.ia=0,0960

Ejer i io 9.2 ¾Cuál es la rentabilidd de un título de 500e emitido a 4 años que paga upones

anuales de 60e si la amortiza ión se ha e por 550e?

Solu ión:ia=0,0283

Ejer i io 9.3 Determinar el pre io máximo por el que se adquirirá una letra de 1 000e que se

emite a 1 año si se pretende obtener una rentabilidad mínima del 4,5%

Solu ión:V0=956,94

Ejer i io 9.4 Una letra emitida on un nominal de 1 000e a un año y un interés del 4,5%

otiza a 962e 60 días después. ¾Cuál será la tasa de des uento que está pra ti ando el mer ado

y el interés si se de ide vender a ese pre io?

Solu ión:d′=0,0431iv=0,0322


Ejer i io 9.5 Se adquiere un título en el mer ado en una emisión he ha 4 años antes de 1 000e

nominales on amortiza ión el quinto o séptimo año al 6% y una prima de emisión de 50e. En

la a tualidad, la otiza ión del título es de 1 250e. Determinar la rentabilidad obtenida por un

omprador en ambos supuestos.

Solu ión:i1=0,0706i2=0,0752

Ejer i io 9.6 Un a ión de 6e otiza a 9,25e. Si ofre e un dividendo de 0,40e anuales,

determinar el rendimiento esperado por su otiza ión y el PER.

Solu ión:ia=0,0432PER=23,13

Apéndi e A

Introdu ión matemáti a

A.1. Razones y propor iones

A.1.1. Razones

A.1.2. Propor iones

A.2. Por entajes

A.3. Logaritmos de imales

A.4. Interpola ión lineal

A.5. Progresiones aritméti as

A.5.1. Suma de términos equidistantes de los extremos

A.5.2. Término medio

A.5.3. Suma de los términos de una progresión aritméti a limitada

A.6. Progresiones geométri as

A.6.1. Produ to de dos términos equidistantes de los extremos


A.6.3. Produ to de los términos de una progresión geométri a limitada

A.6.4. Suma de los términos de una progresión geométri a limitada

A.7. Resolu ión de un sistema de dos e ua iones on dos in ógnitas

A.7.1. Método de sustitu ión

A.7.2. Método de redu ión

A.7.3. Método de iguala ión

A.8. Resolu ión de e ua iones lineales on tres in ógnitas



A.9. Resolu ión de e ua iones de segundo grado on una in ógnita

146 Introdu ión matemáti a

Como anexo al estudio de las opera iones �nan ieras, se exponen aquí aquellos on eptos

y opera iones matemáti as pre isos para las distintas unidades.

Este estudio, no pretende ser exhaustivo, sino orientativo para el análisis de las mate-

máti as �nan ieras.

A.1. Razones y propor iones

A.1.1. Razones

Se llama razón de dos números al o iente del primero por el segundo. La razón de dos

números a y b se es ribe en forma de fra ión

a

b, donde el primer número a o numerador

(ante edente) y el segundo o denominador b ( onse uente).

Ejemplo A.1 La razón de 5 a 7, es:

5

7

Propiedades de las razones:

1. Sean las fra iones

a

by

c

d:

a) Si b = d, la mayor fra ión es la que tiene mayor numerador,

b) Si a = c, la mayor fra ión es la que tiene menor denominador,

) Si se multipli a o divide el numerador de una fra ión por un número, la

fra ión queda multipli ada o dividida por el mismo número.

d) Si se multipli a o divide el numerador y el denominador de una fra ión por

un mismo número la fra ión no varía.

Se llama número mixto a un número ompuesto de entero y fra ión. Para onvertirlo

en fra ión, se toma por numerador el resultado de multipli ar el denominador por la

parte entera y sumarle el numerador, tomando omo denominador el denominador de la

fra ión.

Ejemplo A.2 Dado el número mixto 42

5, determinar la fra ión:

4 · 5 + 2

5=

22

5

Opera iones

Para redu ir las fra iones, lo haremos al mínimo omún denominador, y para ello se-

guiremos los pasos siguientes:

1. Se simpli� an a su más simple expresión,

2. Se al ula el mínimo omún múltiplo (mcm) de los denominadores. Para ello, se

des omponen en sus fa tores primos. El mcm será el produ to de todos los fa tores

de los números dados afe tados del mayor exponente,

3. Se divide el mcm por el denominador de ada fra ión multipli ando ambos tér-

minos por el o iente obtenido.

A.1 Razones y propor iones 147

Ejemplo A.3 Redu ir al mínimo omún denominador las fra iones siguientes:

5

12,7

50,9

24y

11

30

El denominador omún, será el mcm de 12, 24, 30 y 50.

12 = 22 · 324 = 23 · 330 = 2 · 3 · 550 = 2 · 52

mcm = 23 · 3 · 52 = 600

600

12= 50;

600

24= 25;

600

30= 20;

600

50= 12

la fra ión, quedará redu ida así:

5 · 5012 · 50 =

250

600;

7 · 1250 · 12 =

84

600;

9 · 2524 · 25 =

225

600;11 · 2030 · 20 =

220

600

1. La suma de fra iones on igual denominador, es otra fra ión que tiene el mismo

denominador y el numerador es la suma de los numeradores:

a1b

+a2b

+a3b

=a1 + a2 + a3

b

2. La suma de fra iones on distinto denominador, se onvierte en el aso anterior

al obtener previamente el mcm.

3. En la suma de números mixtos, se suman por un lado las partes enteras y por otro

las fra iones del siguiente modo:

A1a1b1

+A2a2b2

= Aa

b, siendo

a1b1

+a2b2

=a

b; y A1 +A2 = A

4. En la resta de fra iones es válido todo lo di ho anteriormente para la suma, on

la salvedad de sustituir el signo más + por el signo menos −.

5. La multipli a ión de un entero por una fra ión es el produ to del entero por el

numerador omo nuevo numerador siendo el denominador el mismo:

Aa

b=

A · ab

6. La multipli a ión de fra iones es la multipli a ión de los numeradores y los de-

nominadores tomando los resultados obtenidos omo numerador y denominador

respe tivamente la fra ión produ to:

a1b1

· a2b2

· a3b3

=a1 · a2 · a3b1 · b2 · b3

7. La división de un número entero por una fra ión es la multipli a ión del número

entero por el denominador de la fra ión omo numerador y el denominador el

mismo:

A :a

b=

A · ba

8. La división de dos fra iones es el produ to del numerador de la primera fra -

ión por el denominador de la segunda omo numerador de la nueva fra ión y

el produ to del denominador de la primera por el numerador de la segunda omo

denominador de la nueva fra ión:

a1b1

:a2b2

=a1 · b2b1 · a2


A.1.2. Propor iones

Se llama propor ión a la igualdad de dos razones. Si representamos por

a

buna razón y

por

c

dotra, estas dos razones formarán una propor ión, uando:

a

b=

c

d

en la que a los términos a y d se les llama extremos, y a los términos b y c medios.

A.2. Por entajes

Se de�ne el tanto por uanto de una antidad, omo otra antidad que guarda on la

primera la misma rela ión que el tanto on el uanto.

Así de imos el 3 por 75, el 2 por 80, el 3 por 100, el 1,5 por 1 000, et . Los más usados

son el tanto por iento (3%) y el tanto por mil (1,5%�).

Para hallar el tanto por uanto de una antidad, se la multipli a por el tanto y se la

divide por el uanto.

Ejemplo A.4 El 3 por 75 de 1 500, es:

1 500 · 375

= 60

A.3. Logaritmos de imales

Se llama logaritmo de imal de un número, al exponente a que debe elevarse la base, que

en los logaritmos de imales es 10, para obtener una poten ia igual al número dado.

Ejemplo A.5 1 000 = 103, por tanto, 3 es el logaritmo de imal de 1 000 que se expresa en la

forma log 1 000 = 3

1. Propiedades de los logaritmos

a) En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1 y el logaritmo de

la unidad es 0.

b) Los logaritmos de los números mayores que la unidad son positivos, y al re er

inde�nidamente el número, re e también inde�nidamente su logaritmo.

) Los logaritmos de los números positivos menores que la unidad, son negativos,

y al aproximarse el número a ero, se aproxima su logaritmo a −∞.

d) Los números negativos are en de logaritmo real, se di e que tienen logaritmo

imaginario.

2. Logaritmo de un produ to

El logaritmo de un produ to es igual a la suma de los logaritmos de los fa tores.

log a · b · c = log a+ log b+ log c

A.4 Interpola ión lineal 149

3. Logaritmo de un o iente

El logaritmo de un o iente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo

del divisor.

loga

b= log a− log b

4. Logaritmo de una poten ia

El logaritmo de una poten ia es igual al produ to del exponente por el logaritmo

de la base de di ha poten ia.

log an = n log a

5. Logaritmo de una raíz

El logaritmo de la raíz de un número se obtiene dividiendo el logaritmo del radi-

ando por el índi e de la raíz.

log n√a =

1

nlog a

e igualmente, onvirtiéndolo en una poten ia,

log n√a = log a

1n = n log a

6. De�ni ión de ara terísti a y mantisa

La parte entera de un logaritmo se llama ara terísti a y la parte de imal, mantisa.

Ejemplo A.6 log 640 = 2, 80618; la ara terísti a es 2 y la mantisa 0,80618

A.4. Interpola ión lineal

La interpola ión lineal es un aso parti ular de la interpola ión general de Newton.

Con el polinomio de interpola ión de Newton se logra aproximar un valor de la fun ión

f(x) para un valor des ono ido de x. Un aso parti ular, para que una interpola ión sea

lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpola ión de grado uno.

Para el ál ulo de la variable i a partir de la expresión orrespondiente al valor a tual

(o �nal) de una renta:

V0 = c an i

en donde, an i , tal omo vemos en (5.1) es,

an i =1− (1 + i)−n

i

y puesto que no es posible obtener de forma explí ita el valor de i, podemos utilizar la

interpola ión lineal omo aproxima ión.

Por las tablas �nan ieras sabemos que y1 = f(x1) e y2 = f(x2) y queremos ono er xpara un valor de y = f(x), siendo x1 < x < x2.

La interpola ión lineal onsiste en trazar una re ta que pasa por (x1, y1) y (x2, y2) y

al ular los valores intermedios según esta re ta en lugar de la fun ión y = f(x).

(y − y1)

(y2 − y1)=

(x− x1)

(x2 − x1)(A.1)


despejando x,

x =(y − y1)

(y2 − y1)(x2 − x1) + x1 (A.2)

expresión que permite obtener el valor aproximado de x.

Ejemplo A.7 Dado el valor de a10 0 ,05 = 7, 721735 y el orrespondiente a a10 0 ,06 = 7, 360087,obtener el tipo i al que orresponde un valor de a10 i = 7, 448054.

En este aso, apli ando la interpola ión lineal,

7, 448054− 7, 721735

7, 360087− 7, 721735=

x− 0, 05

0, 06− 0, 05

en la que despejando x, utilizando (A.2), obtenemos:

x = 0, 05756761

valor aproximado al real de x = 0, 05750042

A.5. Progresiones aritméti as

Se entiende por progresión, un onjunto de números que apare en ordenados y que

generalmente se obtienen unos de otros en virtud de una ley onstante.

Progresión aritméti a, es una su esión, limitada o ilimitada de números, tales que ada

uno es igual al anterior variando en una antidad onstante llamada razón o diferen ia

de la progresión.

Si la diferen ia o razón es positiva, los términos van aumentando y se llama progresión

re iente; si la diferen ia es negativa, los términos van disminuyendo y la progresión se

di e que es de re iente.

De la de�ni ión se dedu e que si la su esión,

a1, a2, a3, · · · , an−1, an

es una progresión artiméti a de razón d y se veri� a:

a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2d.

.

.

an−1 = an−2 + d = a1 + (n− 2)dan = an−1 + d = a1 + (n− 1)d

En las progresiones aritméti as, un término ualquiera es igual al primero más tantas

ve es la razón omo términos le pre eden. En general,

an = a1 + (n− 1)d (A.3)

Ejemplo A.8 Dada la progresión aritméti a 5, 7, 9, · · · al ular el término vigésimo.

La razón de la progresión, será d = a2 − a1 = 7− 5 = 2,

a20 = 5 + (20− 1) · 2 = 43

A.5 Progresiones aritméti as 151

A.5.1. Suma de términos equidistantes de los extremos

La suma de dos términos equidistantes de los extremos, es onstante e igual a la suma

de éstos últimos.

Dos términos equidistan de los extremos de una progresión, uando a uno de ellos le

pre eden tantos términos omo siguen al otro.

Ejemplo A.9 Dada la progresión aritméti a 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,

La suma de los extremos, es 4 + 25 = 29, y la de los términos equidistantes también, pues

7 + 22 = 29, 10 + 19 = 29


Cuando el número de términos de la progresión es impar, existe un término ap+1, el

término medio, que es equidistante de si mismo y umple que:

ap+1 =a1 + an

2

El término medio es igual a la semisuma de los extremos.

A.5.3. Suma de los términos de una progresión aritméti a limitada

Dada la progresión aritméti a:

a1, a2, a3, · · · , an−2, an−1, an

representando por S la suma de todos los términos de la misma, tendremos,

S = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−2 + an−1 + an (A.4)

o bien,

S = an + an−1 + an−2 + · · ·+ a3 + a2 + a1 (A.5)

sumando ordenadamente (A.4) y (A.5) resulta:

2S = (a1 + an) + (a2 + an−1) + (a3 + an−2) + · · ·+ (an−1 + a2) + (an + a1)

Cada uno de estos pares es suma de términos equidistantes de los extremos, luego todos

ellos son iguales a la suma a1 + an de los extremos, o sea:

2S = (a1 + an)n, de donde: S =a1 + an

2n

La suma de n términos onse utivos de una progresión aritméti a es igual a la semisuma

de los extremos multipli ada por el número de términos.

Ejemplo A.10 Hallar la suma de los términos de la progresión 1, 6, 11, 16, . . . , ompuesta por

51 términos.

La razón, es: a2 − a1 = 6− 1 = 5. El último término, será: a51 = 1 + (51− 1) · 5 = 251

La suma, será: S =1 + 251

2· 51 = 6 426


A.6. Progresiones geométri as

Una progresión geométri a es una su esión limitada o ilimitada de términos, tales, que

ada uno de ellos es igual al anterior multipli ado por un número onstante llamado

razón de la progresión.

Cuando el primer término es positivo y la razón mayor que la unidad, ada término es

mayor que el anterior y la progresión se llama re iente.

Si la razón es menor que la unidad, pero positiva, ada término es menor que el anterior,

y la progresión se llama de re iente.

Dada la progresión geométri a,

a1, a2, a3, · · · , an−1, an

por de�ni ión, el segundo término a2 es igual al primero a1 multipli ado por la razón q,por tanto,

a2 = a1 · qa3 = a2 · q = a1 · q2.

.

.

an−1 = an−2 · q = a1 · qn−2

an = an−1 · q = a1 · qn−1

en toda progresión geométri a, un término ualquiera es igual al primero multipli ado

por la razón elevada al número de términos que le pre eden. En general,

an = a1 · qn−1(A.6)

Ejemplo A.11 Dada la progresión geométri a 8, 16, 32, . . . , al ular el séptimo término.

La razón, será:

q =a2a1

=16

8= 2

y

a7 = 8 · 26 = 512

A.6.1. Produ to de dos términos equidistantes de los extremos

En toda progresión geométri a, el produ to de los términos equidistantes de los extremos

es onstante e igual al produ to de estos extremos.

Ejemplo A.12 Dada la progresión geométri a 2, 4, 8, 16, 32, 64, el produ to de los extremos, es

2 · 64 = 128, y el de los términos equidistantes, es 4 · 32 = 128 y 8 · 16 = 128.


Cuando la progresión geométri a limitada tiene un número impar de términos, hay uno,

que equidista onsigo mismo de los extremos y umple que:

h2 = a1 · ande donde,

h =√a1 · an

El término medio es igual a la raíz uadrada del produ to de los extremos.

A.6 Progresiones geométri as 153

A.6.3. Produ to de los términos de una progresión geométri a limita-

da

Dada la progresión geométri a a1, a2, a3, · · · , an−2, an1 , an

si llamamos P al produ to de sus n primeros términos,

P = a1 · a2 · a3 · · · an−2 · an−1 · an (A.7)

o bien:

P = an · an−1 · an−2 · · · a3 · a2 · a1 (A.8)

Multipli ando estas dos expresiones (A.7) y (A.8) y agrupando ada término on el que

tiene debajo,

P 2 = (a1 · an)(a2 · an−1)(a3 · an−2) · · · (an−2 · a3)(an−1 · a2)(an · a1)

ada uno de estos paréntesis es produ to de términos equidistantes de los extremos; luego

todos ellos son iguales al produ to de a1 · an, de los extremos y omo hay n paréntesis,

P 2 = (a1 · an)n, de donde: P =√

(a1 · an)n

El produ to de n términos onse utivos de una progresión geométri a es igual a la raíz

uadrada de la poten ia n-esima del produ to de los extremos.

A.6.4. Suma de los términos de una progresión geométri a limitada

Dada la progresión geométri a a1, a2, a3, · · · , an−2, an−1, an

siendo S la suma de sus n primeros términos:

S = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an

multipli ando los dos miembros de esta igualdad por la razón q,

Sq = a1q + a2q + a3q + · · ·+ an−1q + anq (A.9)

pero por de�ni ión,

a1q = a2, a2q = a3, a3q = a4, · · · , an−1q = an

la expresión (A.9) queda en la forma:

Sq = a2 + a3 + a4 + · · ·+ an + anq (A.10)

si restamos de esta igualdad (A.10), la (A.9), tenemos:

Sq − S = anq − a1 S(q − 1) = anq − a1

S =anq − a1q − 1

(A.11)

La suma de los n términos onse utivos de una progresión geométri a es una fra ión

uyo numerador se obtiene restando el primer término del produ to del último por la

razón; el denominador es la diferen ia entre la razón y la unidad.

Ejemplo A.13 En una progresión geométri a de razón 3, uyos extremos son 2 y 286, se desea

al ular la suma de sus términos.

S =286 · 3− 2

3− 1=

856

2= 428


A.7. Resolu ión de un sistema de dos e ua iones on dos

in ógnitas

Para resolver un sistema de dos e ua iones on dos in ógnitas es pre iso ono er antes

el on epto de elimina ión.

Eliminar una in ógnita en un sistema de varias e ua iones on varias in ógnitas es trans-

formarle en otro sistema equivalente, formado por el mismo número de e ua iones menos

una, que no ontenga di ha in ógnita.

Pro edimiento que debe seguirse en el aso de dos e ua iones:

1. Eliminar una in ógnita, esto es, transformar el sistema en otro equivalente, en el

que aparez a una sola de las e ua iones on una sola in ógnita.

2. Resolu ión de esta e ua ión on una sola in ógnita.

3. Sustitu ión de la solu ión obtenida en una de las e ua iones propuestas, uya

resolu ión nos dará el valor de la otra in ógnita.

Los pro edimientos de elimina ión que se emplean normalmente son tres: método de

sustitu ión, de iguala ión y de redu ión.


Para resolver un sistema lineal de dos e ua iones por este método, se pro ede omo

sigue:

Se despeja una in ógnita ualquiera, por ejemplo x, en una de las e ua iones.

Se sustituye su valor en la otra e ua ión, obteniéndose on ello una e ua ión en la

que no apare e x.

Se resuelve la e ua ión en la que solo apare e la om ógnita y.

Cono ido el valor de y, se sustituye su valor en la expresión de x.

Ejemplo A.14 Resolver el sistema:

3x+ y = 15 (A.12)

5x− 4y = 8 (A.13)

Despejamos x en (A.12), así:

x =15− y

3(A.14)

y sustituimos su valor en (A.13), obteniéndose la e ua ión:

5

(15− y

3

)− 4y = 8 75− 5y − 12y = 24

de donde 17y = 51 y por tanto,

y = 3

sustituyendo este valor en (A.14) tendremos:

x =15− 3

3= 4

Los valores x = 4, y y = 3 son la solu ión al sistema.

Este método es el más ventajoso uando una de las e ua iones permite al ular fá ilmente la

in ógnita que se quiere eliminar.

A.7 Resolu ión de un sistema de dos e ua iones on dos in ógnitas 155


En este método, se empieza por redu ir al mismo oe� iente la in ógnita que se quiere

eliminar en las dos e ua iones, para lo ual basta multipli ar los dos miembros de ada

e ua ión por el valor absoluto del oe� iente de di ha in ógnita en la otra e ua ión u

otro fa tor elegido onvenientemente, de modo que resulte el mcm de los oe� ientes de

la in ógnita.

A ontinua ión,

Se suman (o restan según el signo) ambas e ua iones.

Se despeja la in ógnita de la e ua ión resultante y este valor se sustituye en una

de las e ua iones primitivas para hallar el valor de la otra in ógnita.

Ejemplo A.15 Resolver el sistema:

5x− y = 5 (A.15)

−2x+ 3y = 11 (A.16)

Para eliminar x, multipli amos (A.15) por 2 y (A.16) por 5, on lo ual obtenemos el sistema:

10x− 2y = 10−10x+ 15y = 55

que es un sistema equivalente al primitivo. Si sumamos ambas e ua iones, resulta:

13y = 65 y = 5

Y si sustituimos este valor de y en una de las e ua iones (A.15) o (A.16), se tendrá 5x− 5 = 5,de donde,

x = 2

El par de valores, x = 2, y = 5 forman la solu ión al sistema propuesto.

A.7.3. Método de iguala ión

La solu ión de un sistema lineal de dos e ua iones por este método se realiza del siguiente

modo:

Se despeja la misma in ógnita en ambas e ua iones.

Se igualan las expresiones obtenidas para la in ógnita despejada.

Se resuelve la e ua ión obtenida on una in ógnita.

El valor hallado para di ha ingógnita se lleva a una de las expresiones iguales de

la otra in ógnita para al ular su valor.

Ejemplo A.16 Resolver el sistema de e ua iones:

4x− y = −5 (A.17)

8x+ 5y = 32 (A.18)

Despejando x en ambas e ua iones,

x =y − 5

5x =

32− 5y

8


igualando estas dos expresiones del valor de x, tendremos,

y − 5

4=

32− 5y

8; 8 (y − 5) = 4 (32− 5y); 8y + 20y = 128 + 40

de donde, 28y = 168, y por tanto, y = 6 que sustituyendo en una de las e ua iones de x,

x =y − 5

4=

6− 5

4=

1

4

El par de valores, x =1

4, y = 6 son la solu ión al sistema.

A.8. Resolu ión de e ua iones lineales on tres in ógnitas

A un sistema de e ua iones on tres in ógnitas se le puede apli ar para su resolu ión,

los tres métodos que hemos expuesto para los sistemas on dos e ua iones.


Se pro ede omo sigue:

Se forman dos sistemas de dos e ua iones on una de ellas y todas las demás, igua-

lando después los oe� ientes, on respe to a la in ógnita que se quiere eliminar,

multipli ando las e ua iones por el número onveniente para ello.

Se suman (o restan) los pares de e ua iones, según los oe� ientes de la in ógnita

que se hayan igualado tengan signo igual o ontrario.

Las dos e ua iones resultantes forman un sistema equivalente on dos in ógnitas,

que se resuelve.

Cono ido un par de valores, por sustitu ión en ualquiera de las e ua iones pro-

puestas, se obtendrá el valor de la ter era in ógnita.

Ejemplo A.17 Sea el sistema:

x+ y + z = 11 (A.19)

2x− y + z = 5 (A.20)

3x+ 2y + z = 24 (A.21)

Si multipli amos (A.19) por 6, (A.20) por −3 y (A.21) por −2, resulta:

6 + 6y + 6z = 66 (A.22)

−6x+ 3y − 3z = −15 (A.23)

−6x− 4y − 2z = −48 (A.24)

Sumando (A.22) on ada una de las otras dos, se obtiene el sistema:

9y + 3z = 51 (A.25)

2y + 4z = 18 (A.26)

que resuelto por ualquiera de los métodos ya ono idos se dedu e que y = 5, z = 2, y estos

valores, sustituidos en una de las e ua iones dadas, nos darán el valor x = 4 que son las solu ionesal sistema propuesto.

A.9 Resolu ión de e ua iones de segundo grado on una in ógnita 157


Para resolver un sistema de tres e ua iones por el método de sustitu iñ:

Se despeja una in ógnita ualquiera en una e ua ión.

Se sustituye la expresión hallada para esta in ógnita en las otras dos e ua iones,

resultando enton es un sistema de dos e ua iones on dos in ógnitas.

Se resuelve este sistema por ualquiera de los métodos ono idos.

El par de valores hallados se sustituyen en una ualquiera de las e ua iones primi-

tivas para obtener el valor de la ter era in ógnita.

Ejemplo A.18 Sea el sistema:

5x− y + 2z = 2 (A.27)

3y − x+ z = 15 (A.28)

3x+ 2y − z = −2 (A.29)

Despejando el valor de x en (A.28) (por ejemplo), tendremos:

x = −15 + 3y + z

Sustituyendo el valor de x en las otras dos e ua iones, tendremos el sistema:

5(−15 + 3y + z)− y + 2z = 2 (A.30)

3(−15 + 3y + z) + 2y − z = −2 (A.31)

que resuelto por ualquiera de los métodos ya ono idos se dedu e que y = 5, z = 2, y estos

valores, sustituidos en una de las e ua iones dadas, nos darán el valor x = 4 que son las solu ionesal sistema propuesto.

A.9. Resolu ión de e ua iones de segundo grado on una

in ógnita

Toda e ua ión on una in ógnita que pueda redu irse a la forma,

ax2 + bx+ c = 0 (A.32)

se di e de segundo grado en x, siendo a, b y c oe� ientes numéri os o literales, positivos

o negativos.

Ejemplo A.19 Sean las dos e ua iones,

6x2 − 15 = x2 + 2x

x3 +mx2 + nx = 12 + 3x2 + x3

Efe tuada la redu ión y trasponiendo términos, tendremos las e ua iones:

5x2 − 2x− 15 = 0 (A.33)

(m− 3) x2 + nx− 12 = 0 (A.34)

redu idas a la forma general (A.32).


La resolu ión de la e ua ión ompleta de segundo grado, de forma ax2 + bx + c = 0,vendrá dada por la expresión:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a(A.35)

Ejemplo A.20 Resolver la e ua ión 2x2 − 7x+ 3 = 0

x =7±

√49− 4 · 2 · 32 · 2 =

7±√25

4=

7± 5

4

que presenta las siguientes solu iones,

x1 =7 + 5

4= 3 x2 =

7− 5

4=

1

2

Apéndi e B

Diagrama de �ujo de fondos y

nomen latura de signos

B.1. Introdu ión

B.2. Solu iones on interés ompuesto

160 Diagrama de flujo de fondos y nomen latura de signos

B.1. Introdu ión

Una de las problemáti as más importantes de la matemáti a de las opera iones �nan-

ieras la tiene el planteamiento de los problemas.

Las in o variables que se han onvertido en típi as para des ribir la mayoría de los

problemas �nan ieros pueden expli arse mejor realizando una representa ión grá� a lla-

mada diagrama de �ujo de fondos.

El diagrama parte de una línea horizontal, B.1 denominada línea de tiempo, que represen-

ta la dura ión de un problema �nan iero y está dividida en n períodos de apitaliza ión

de igual dura ión (longitud).

0 1 2 n− 1 n

Figura B.1: Línea del tiempo

Los movimientos de dinero, están simbolizados por �e has verti ales. El dinero re ibido

se indi a on una �e ha on la punta ha ia arriba (positivo) de la línea que representa

el lapso de la opera ión, y el dinero pagado on una �e ha que apunta ha ia abajo

(negativo).

Otra forma de representa ión muy omún, por su omodidad, es utilizando solo la parte

superior del eje. Para ello, el dinero re ibido se representa on una �e ha y el dinero

pagado on un segmento tal omo se muestra en B.2

El monto de pago periódi o a o C representa una serie de movimientos de dinero de la

misma dire ión y magnitud. En el diagrama de �ujo de fondos típi o de pagos oin iden

on los períodos de apitaliza ión y son igual al número de períodos.

0

V0

1 2 n− 1 n

Figura B.2: Diagrama de �ujo de fondos

El primer pago puede o urrir al prin ipio del primer período (prepagable) o al �nal del

primer período (pospagable), tal omo se muestra en B.3

Cuando se trabaja on problemas �nan ieros, que involu ran pagos a, es ne esario es-

pe i� ar siempre uál de las dos posibles formas de pago se van a apli ar, prepagable o

pospagable. Las primeras, prepagables, se re�eren a menudo a anualidades anti ipadas,

o primer pago adelantado. Los pagos pospagables se re�eren a anualidades ordinarias,

pagos ven idos, o anualidades inmediatas.

Un úni o �ujo de fondos al omienzo de la línea de tiempo se llama valor a tual C0.

Otro similar al �nal de la línea de tiempo se llama valor futuro o �nal Cn. La ilustra ión

B.4 re�eja el esquema.

La quinta variable es i, la tasa de interés ompuesto por período.

B.1 Introdu ión 161

0 1 2 n− 1 n

0 1 2 n− 1 n

Figura B.3: Prepagable y pospagable

C0

1 2 n− 1 n

Cn

Figura B.4: Diagrama de �ujo de fondos

En los siguientes ejemplos, se muestran las in o variables n, i, C0, C y Cn así omo

su utiliza ión dentro de un diagrama de �ujo de fondos que des ribe los problemas más

omunes de interés ompuesto. Las variables C0 y Cn.

Ejemplo B.1 Dibujar el diagrama de �ujo de fondos orrespondiente a un préstamo hipote ario

de 50 000,00e a pagar en 30 años mediante uotas mensuales de 402,31e, una tasa de interés

nominal anual del 9%, (equivalente a un 0,75% mensual), si el primer pago se realiza un mes

después de la on esión del préstamo (pospagable).

0

50 000

1 2 359 360

a = −402, 31

Cuando se utiliza el diagrama de �ujo de fondos y la nomen latura de signos de �ujo

de fondos para formatear problemas de interés ompuesto, deben seguirse siempre las

siguientes reglas:

n e i, deben orresponder al mismo período de tiempo,

n e i, ambos, deben estar presentes en un problema. Tanto si se ono en ambos

valores, omo si uno es ono ido y el otro hay que al ularlo,

Una transa ión �nan iera válida debe in luir siempre, por lo menos, un �ujo de

fondos positivo y otro negativo.

162 Diagrama de flujo de fondos y nomen latura de signos

Ejemplo B.2 ¾Qué pago mensual es ne esario para amortizar totalmente una hipote a de

75 000,00e, en 25 años a una tasa de interés nominal anual del 9,75%?

0

75 000

1 2 299 300

a =?

C0 = a an i i(m) =J (m)

m

y, sustituyendo:

i(12) =0, 0975

12= 0, 008125

75 000 = a a300 0 ,008125

siendo,

an i =1− (1 + i)−n

ia300 0 ,008125 =

1− (1 + 0, 008125)−300

0, 008125= 112, 216138

sustituyendo,

a =75 000

112, 216138= 668, 35

B.2. Solu iones on interés ompuesto

Las in o variables típi as del interés ompuesto:

n n = número de períodos

i i = tasa de interés

C0 o V0 PV = apital ini ial o valor a tual

C o a PMT = pagos periódi os

Cn o Vn FV = apital �nal o valor �nal

se pueden representar en el siguiente diagrama bási o de �ujo de fondos B.5

0

C0

1

C

2

C

n− 1

C

n

Cn

Figura B.5: Diagrama bási o de �ujo de fondos

Apéndi e C

Tablas �nan ieras

C.1. Fa tor de apitaliza ión ompuesta unitaria

C.2. Fa tor de des uento ompuesto unitario

C.3. Valor a tual de una renta unitaria

C.4. Valor �nal de una renta unitaria

164 Tablas finan ieras

C.1. Fa tor de apitaliza ión ompuesta unitaria

(1 + i)n

n 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,10002 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,21003 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,33104 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,46415 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105

6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,77167 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,94878 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,14369 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,357910 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937

11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,853112 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,138413 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,452314 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,797515 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772

16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,595017 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,054518 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,559919 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,115920 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275

21 1,2324 1,5157 1,8603 2,2788 2,7860 3,3996 4,1406 5,0338 6,1088 7,400222 1,2447 1,5460 1,9161 2,3699 2,9253 3,6035 4,4304 5,4365 6,6586 8,140323 1,2572 1,5769 1,9736 2,4647 3,0715 3,8197 4,7405 5,8715 7,2579 8,954324 1,2697 1,6084 2,0328 2,5633 3,2251 4,0489 5,0724 6,3412 7,9111 9,849725 1,2824 1,6406 2,0938 2,6658 3,3864 4,2919 5,4274 6,8485 8,6231 10,8347

26 1,2953 1,6734 2,1566 2,7725 3,5557 4,5494 5,8074 7,3964 9,3992 11,918227 1,3082 1,7069 2,2213 2,8834 3,7335 4,8223 6,2139 7,9881 10,2451 13,110028 1,3213 1,7410 2,2879 2,9987 3,9201 5,1117 6,6488 8,6271 11,1671 14,421029 1,3345 1,7758 2,3566 3,1187 4,1161 5,4184 7,1143 9,3173 12,1722 15,863130 1,3478 1,8114 2,4273 3,2434 4,3219 5,7435 7,6123 10,0627 13,2677 17,4494

31 1,3613 1,8476 2,5001 3,3731 4,5380 6,0881 8,1451 10,8677 14,4618 19,194332 1,3749 1,8845 2,5751 3,5081 4,7649 6,4534 8,7153 11,7371 15,7633 21,113833 1,3887 1,9222 2,6523 3,6484 5,0032 6,8406 9,3253 12,6760 17,1820 23,225234 1,4026 1,9607 2,7319 3,7943 5,2533 7,2510 9,9781 13,6901 18,7284 25,547735 1,4166 1,9999 2,8139 3,9461 5,5160 7,6861 10,6766 14,7853 20,4140 28,1024

36 1,4308 2,0399 2,8983 4,1039 5,7918 8,1473 11,4239 15,9682 22,2512 30,912737 1,4451 2,0807 2,9852 4,2681 6,0814 8,6361 12,2236 17,2456 24,2538 34,003938 1,4595 2,1223 3,0748 4,4388 6,3855 9,1543 13,0793 18,6253 26,4367 37,404339 1,4741 2,1647 3,1670 4,6164 6,7048 9,7035 13,9948 20,1153 28,8160 41,144840 1,4889 2,2080 3,2620 4,8010 7,0400 10,2857 14,9745 21,7245 31,4094 45,2593

41 1,5038 2,2522 3,3599 4,9931 7,3920 10,9029 16,0227 23,4625 34,2363 49,785242 1,5188 2,2972 3,4607 5,1928 7,7616 11,5570 17,1443 25,3395 37,3175 54,763743 1,5340 2,3432 3,5645 5,4005 8,1497 12,2505 18,3444 27,3666 40,6761 60,240144 1,5493 2,3901 3,6715 5,6165 8,5572 12,9855 19,6285 29,5560 44,3370 66,264145 1,5648 2,4379 3,7816 5,8412 8,9850 13,7646 21,0025 31,9204 48,3273 72,8905

46 1,5805 2,4866 3,8950 6,0748 9,4343 14,5905 22,4726 34,4741 52,6767 80,179547 1,5963 2,5363 4,0119 6,3178 9,9060 15,4659 24,0457 37,2320 57,4176 88,197548 1,6122 2,5871 4,1323 6,5705 10,4013 16,3939 25,7289 40,2106 62,5852 97,017249 1,6283 2,6388 4,2562 6,8333 10,9213 17,3775 27,5299 43,4274 68,2179 106,719050 1,6446 2,6916 4,3839 7,1067 11,4674 18,4202 29,4570 46,9016 74,3575 117,3909

52 1,6777 2,8003 4,6509 7,6866 12,6428 20,6969 33,7253 54,7060 88,3442 142,042954 1,7114 2,9135 4,9341 8,3138 13,9387 23,2550 38,6122 63,8091 104,9617 171,871956 1,7458 3,0312 5,2346 8,9922 15,3674 26,1293 44,2071 74,4270 124,7050 207,965158 1,7809 3,1536 5,5534 9,7260 16,9426 29,3589 50,6127 86,8116 148,1620 251,637760 1,8167 3,2810 5,8916 10,5196 18,6792 32,9877 57,9464 101,2571 176,0313 304,4816

62 1,8532 3,4136 6,2504 11,3780 20,5938 37,0650 66,3429 118,1062 209,1428 368,422864 1,8905 3,5515 6,6311 12,3065 22,7047 41,6462 75,9559 137,7591 248,4825 445,791666 1,9285 3,6950 7,0349 13,3107 25,0319 46,7937 86,9620 160,6822 295,2221 539,407868 1,9672 3,8443 7,4633 14,3968 27,5977 52,5774 99,5627 187,4198 350,7534 652,683470 2,0068 3,9996 7,9178 15,5716 30,4264 59,0759 113,9894 218,6064 416,7301 789,7470

C.1 Fa tor de apitaliza ión ompuesta unitaria 165

(1 + i)n

n 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,32

1 1,1200 1,1400 1,1600 1,1800 1,2000 1,2200 1,2400 1,2600 1,2800 1,32002 1,2544 1,2996 1,3456 1,3924 1,4400 1,4884 1,5376 1,5876 1,6384 1,74243 1,4049 1,4815 1,5609 1,6430 1,7280 1,8158 1,9066 2,0004 2,0972 2,30004 1,5735 1,6890 1,8106 1,9388 2,0736 2,2153 2,3642 2,5205 2,6844 3,03605 1,7623 1,9254 2,1003 2,2878 2,4883 2,7027 2,9316 3,1758 3,4360 4,0075

6 1,9738 2,1950 2,4364 2,6996 2,9860 3,2973 3,6352 4,0015 4,3980 5,28997 2,2107 2,5023 2,8262 3,1855 3,5832 4,0227 4,5077 5,0419 5,6295 6,98268 2,4760 2,8526 3,2784 3,7589 4,2998 4,9077 5,5895 6,3528 7,2058 9,21709 2,7731 3,2519 3,8030 4,4355 5,1598 5,9874 6,9310 8,0045 9,2234 12,166510 3,1058 3,7072 4,4114 5,2338 6,1917 7,3046 8,5944 10,0857 11,8059 16,0598

11 3,4785 4,2262 5,1173 6,1759 7,4301 8,9117 10,6571 12,7080 15,1116 21,198912 3,8960 4,8179 5,9360 7,2876 8,9161 10,8722 13,2148 16,0120 19,3428 27,982513 4,3635 5,4924 6,8858 8,5994 10,6993 13,2641 16,3863 20,1752 24,7588 36,937014 4,8871 6,2613 7,9875 10,1472 12,8392 16,1822 20,3191 25,4207 31,6913 48,756815 5,4736 7,1379 9,2655 11,9737 15,4070 19,7423 25,1956 32,0301 40,5648 64,3590

16 6,1304 8,1372 10,7480 14,1290 18,4884 24,0856 31,2426 40,3579 51,9230 84,953817 6,8660 9,2765 12,4677 16,6722 22,1861 29,3844 38,7408 50,8510 66,4614 112,139018 7,6900 10,5752 14,4625 19,6733 26,6233 35,8490 48,0386 64,0722 85,0706 148,023519 8,6128 12,0557 16,7765 23,2144 31,9480 43,7358 59,5679 80,7310 108,8904 195,391120 9,6463 13,7435 19,4608 27,3930 38,3376 53,3576 73,8641 101,7211 139,3797 257,9162

21 10,8038 15,6676 22,5745 32,3238 46,0051 65,0963 91,5915 128,1685 178,4060 340,449422 12,1003 17,8610 26,1864 38,1421 55,2061 79,4175 113,5735 161,4924 228,3596 449,393223 13,5523 20,3616 30,3762 45,0076 66,2474 96,8894 140,8312 203,4804 292,3003 593,199024 15,1786 23,2122 35,2364 53,1090 79,4968 118,2050 174,6306 256,3853 374,1444 783,022725 17,0001 26,4619 40,8742 62,6686 95,3962 144,2101 216,5420 323,0454 478,9049 1 033,5900

26 19,0401 30,1666 47,4141 73,9490 114,4755 175,9364 268,5121 407,0373 612,9982 1 364,338727 21,3249 34,3899 55,0004 87,2598 137,3706 214,6424 332,9550 512,8670 784,6377 1 800,927128 23,8839 39,2045 63,8004 102,9666 164,8447 261,8637 412,8642 646,2124 1 004,3363 2 377,223829 26,7499 44,6931 74,0085 121,5005 197,8136 319,4737 511,9516 814,2276 1 285,5504 3 137,935430 29,9599 50,9502 85,8499 143,3706 237,3763 389,7579 634,8199 1 025,9267 1 645,5046 4 142,0748

31 33,5551 58,0832 99,5859 169,1774 284,8516 475,5046 787,1767 1 292,6677 2 106,2458 5 467,538732 37,5817 66,2148 115,5196 199,6293 341,8219 580,1156 976,0991 1 628,7613 2 695,9947 7 217,151133 42,0915 75,4849 134,0027 235,5625 410,1863 707,7411 1 210,3629 2 052,2392 3 450,8732 9 526,639534 47,1425 86,0528 155,4432 277,9638 492,2235 863,4441 1 500,8500 2 585,8215 4 417,1177 12 575,164135 52,7996 98,1002 180,3141 327,9973 590,6682 1 053,4018 1 861,0540 3 258,1350 5 653,9106 16 599,2166

36 59,1356 111,8342 209,1643 387,0368 708,8019 1 285,1502 2 307,7070 4 105,2501 7 237,0056 21 910,965937 66,2318 127,4910 242,6306 456,7034 850,5622 1 567,8833 2 861,5567 5 172,6152 9 263,3671 28 922,475038 74,1797 145,3397 281,4515 538,9100 1 020,6747 1 912,8176 3 548,3303 6 517,4951 11 857,1099 38 177,667039 83,0812 165,6873 326,4838 635,9139 1 224,8096 2 333,6375 4 399,9295 8 212,0438 15 177,1007 50 394,520540 93,0510 188,8835 378,7212 750,3783 1 469,7716 2 847,0378 5 455,9126 10 347,1752 19 426,6889 66 520,7670

41 104,2171 215,3272 439,3165 885,4464 1 763,7259 3 473,3861 6 765,3317 13 037,4408 24 866,1618 87 807,412542 116,7231 245,4730 509,6072 1 044,8268 2 116,4711 4 237,5310 8 389,0113 16 427,1754 31 828,6871 ∗43 130,7299 279,8392 591,1443 1 232,8956 2 539,7653 5 169,7878 10 402,3740 20 698,2410 40 740,7195 ∗44 146,4175 319,0167 685,7274 1 454,8168 3 047,7183 6 307,1411 12 898,9437 26 079,7837 52 148,1210 ∗45 163,9876 363,6791 795,4438 1 716,6839 3 657,2620 7 694,7122 15 994,6902 32 860,5275 66 749,5949 ∗

46 183,6661 414,5941 922,7148 2 025,6870 4 388,7144 9 387,5489 19 833,4158 41 404,2646 85 439,4814 ∗47 205,7061 472,6373 1 070,3492 2 390,3106 5 266,4573 11 452,8096 24 593,4356 52 169,3734 ∗ ∗48 230,3908 538,8065 1 241,6051 2 820,5665 6 319,7487 13 972,4277 30 495,8602 65 733,4105 ∗ ∗49 258,0377 614,2395 1 440,2619 3 328,2685 7 583,6985 17 046,3618 37 814,8666 82 824,0972 ∗ ∗50 289,0022 700,2330 1 670,7038 3 927,3569 9 100,4382 20 796,5615 46 890,4346 ∗ ∗ ∗

52 362,5243 910,0228 2 248,0990 5 468,4517 13 104,6309 30 953,6021 72 098,7323 ∗ ∗ ∗54 454,7505 1 182,6656 3 025,0421 7 614,2721 18 870,6685 46 071,3413 ∗ ∗ ∗ ∗56 570,4391 1 536,9922 4 070,4966 10 602,1125 27 173,7627 68 572,5844 ∗ ∗ ∗ ∗58 715,5588 1 997,4751 5 477,2602 14 762,3815 39 130,2183 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗60 897,5969 2 595,9187 7 370,2014 20 555,1400 56 347,5144 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

62 1 125,9456 3 373,6559 9 917,3430 28 620,9769 81 140,4207 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗64 1 412,3862 4 384,4032 13 344,7767 39 851,8482 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗66 1 771,6972 5 697,9704 17 956,7315 55 489,7135 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗68 2 222,4170 7 405,0823 24 162,5779 77 263,8770 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗70 2 787,7998 9 623,6450 32 513,1648 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗


C.2. Fa tor de des uento ompuesto unitario

(1 + i)−n

n 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,90912 0,9803 0,9612 0,9426 0,9246 0,9070 0,8900 0,8734 0,8573 0,8417 0,82643 0,9706 0,9423 0,9151 0,8890 0,8638 0,8396 0,8163 0,7938 0,7722 0,75134 0,9610 0,9238 0,8885 0,8548 0,8227 0,7921 0,7629 0,7350 0,7084 0,68305 0,9515 0,9057 0,8626 0,8219 0,7835 0,7473 0,7130 0,6806 0,6499 0,6209

6 0,9420 0,8880 0,8375 0,7903 0,7462 0,7050 0,6663 0,6302 0,5963 0,56457 0,9327 0,8706 0,8131 0,7599 0,7107 0,6651 0,6227 0,5835 0,5470 0,51328 0,9235 0,8535 0,7894 0,7307 0,6768 0,6274 0,5820 0,5403 0,5019 0,46659 0,9143 0,8368 0,7664 0,7026 0,6446 0,5919 0,5439 0,5002 0,4604 0,424110 0,9053 0,8203 0,7441 0,6756 0,6139 0,5584 0,5083 0,4632 0,4224 0,3855

11 0,8963 0,8043 0,7224 0,6496 0,5847 0,5268 0,4751 0,4289 0,3875 0,350512 0,8874 0,7885 0,7014 0,6246 0,5568 0,4970 0,4440 0,3971 0,3555 0,318613 0,8787 0,7730 0,6810 0,6006 0,5303 0,4688 0,4150 0,3677 0,3262 0,289714 0,8700 0,7579 0,6611 0,5775 0,5051 0,4423 0,3878 0,3405 0,2992 0,263315 0,8613 0,7430 0,6419 0,5553 0,4810 0,4173 0,3624 0,3152 0,2745 0,2394

16 0,8528 0,7284 0,6232 0,5339 0,4581 0,3936 0,3387 0,2919 0,2519 0,217617 0,8444 0,7142 0,6050 0,5134 0,4363 0,3714 0,3166 0,2703 0,2311 0,197818 0,8360 0,7002 0,5874 0,4936 0,4155 0,3503 0,2959 0,2502 0,2120 0,179919 0,8277 0,6864 0,5703 0,4746 0,3957 0,3305 0,2765 0,2317 0,1945 0,163520 0,8195 0,6730 0,5537 0,4564 0,3769 0,3118 0,2584 0,2145 0,1784 0,1486

21 0,8114 0,6598 0,5375 0,4388 0,3589 0,2942 0,2415 0,1987 0,1637 0,135122 0,8034 0,6468 0,5219 0,4220 0,3418 0,2775 0,2257 0,1839 0,1502 0,122823 0,7954 0,6342 0,5067 0,4057 0,3256 0,2618 0,2109 0,1703 0,1378 0,111724 0,7876 0,6217 0,4919 0,3901 0,3101 0,2470 0,1971 0,1577 0,1264 0,101525 0,7798 0,6095 0,4776 0,3751 0,2953 0,2330 0,1842 0,1460 0,1160 0,0923

26 0,7720 0,5976 0,4637 0,3607 0,2812 0,2198 0,1722 0,1352 0,1064 0,083927 0,7644 0,5859 0,4502 0,3468 0,2678 0,2074 0,1609 0,1252 0,0976 0,076328 0,7568 0,5744 0,4371 0,3335 0,2551 0,1956 0,1504 0,1159 0,0895 0,069329 0,7493 0,5631 0,4243 0,3207 0,2429 0,1846 0,1406 0,1073 0,0822 0,063030 0,7419 0,5521 0,4120 0,3083 0,2314 0,1741 0,1314 0,0994 0,0754 0,0573

31 0,7346 0,5412 0,4000 0,2965 0,2204 0,1643 0,1228 0,0920 0,0691 0,052132 0,7273 0,5306 0,3883 0,2851 0,2099 0,1550 0,1147 0,0852 0,0634 0,047433 0,7201 0,5202 0,3770 0,2741 0,1999 0,1462 0,1072 0,0789 0,0582 0,043134 0,7130 0,5100 0,3660 0,2636 0,1904 0,1379 0,1002 0,0730 0,0534 0,039135 0,7059 0,5000 0,3554 0,2534 0,1813 0,1301 0,0937 0,0676 0,0490 0,0356

36 0,6989 0,4902 0,3450 0,2437 0,1727 0,1227 0,0875 0,0626 0,0449 0,032337 0,6920 0,4806 0,3350 0,2343 0,1644 0,1158 0,0818 0,0580 0,0412 0,029438 0,6852 0,4712 0,3252 0,2253 0,1566 0,1092 0,0765 0,0537 0,0378 0,026739 0,6784 0,4619 0,3158 0,2166 0,1491 0,1031 0,0715 0,0497 0,0347 0,024340 0,6717 0,4529 0,3066 0,2083 0,1420 0,0972 0,0668 0,0460 0,0318 0,0221

41 0,6650 0,4440 0,2976 0,2003 0,1353 0,0917 0,0624 0,0426 0,0292 0,020142 0,6584 0,4353 0,2890 0,1926 0,1288 0,0865 0,0583 0,0395 0,0268 0,018343 0,6519 0,4268 0,2805 0,1852 0,1227 0,0816 0,0545 0,0365 0,0246 0,016644 0,6454 0,4184 0,2724 0,1780 0,1169 0,0770 0,0509 0,0338 0,0226 0,015145 0,6391 0,4102 0,2644 0,1712 0,1113 0,0727 0,0476 0,0313 0,0207 0,0137

46 0,6327 0,4022 0,2567 0,1646 0,1060 0,0685 0,0445 0,0290 0,0190 0,012547 0,6265 0,3943 0,2493 0,1583 0,1009 0,0647 0,0416 0,0269 0,0174 0,011348 0,6203 0,3865 0,2420 0,1522 0,0961 0,0610 0,0389 0,0249 0,0160 0,010349 0,6141 0,3790 0,2350 0,1463 0,0916 0,0575 0,0363 0,0230 0,0147 0,009450 0,6080 0,3715 0,2281 0,1407 0,0872 0,0543 0,0339 0,0213 0,0134 0,0085

52 0,5961 0,3571 0,2150 0,1301 0,0791 0,0483 0,0297 0,0183 0,0113 0,007054 0,5843 0,3432 0,2027 0,1203 0,0717 0,0430 0,0259 0,0157 0,0095 0,005856 0,5728 0,3299 0,1910 0,1112 0,0651 0,0383 0,0226 0,0134 0,0080 0,004858 0,5615 0,3171 0,1801 0,1028 0,0590 0,0341 0,0198 0,0115 0,0067 0,004060 0,5504 0,3048 0,1697 0,0951 0,0535 0,0303 0,0173 0,0099 0,0057 0,0033

62 0,5396 0,2929 0,1600 0,0879 0,0486 0,0270 0,0151 0,0085 0,0048 0,002764 0,5290 0,2816 0,1508 0,0813 0,0440 0,0240 0,0132 0,0073 0,0040 0,002266 0,5185 0,2706 0,1421 0,0751 0,0399 0,0214 0,0115 0,0062 0,0034 0,001968 0,5083 0,2601 0,1340 0,0695 0,0362 0,0190 0,0100 0,0053 0,0029 0,001570 0,4983 0,2500 0,1263 0,0642 0,0329 0,0169 0,0088 0,0046 0,0024 0,0013

C.2 Fa tor de des uento ompuesto unitario 167

(1 + i)−n

n 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,32

1 0,8929 0,8772 0,8621 0,8475 0,8333 0,8197 0,8065 0,7937 0,7813 0,75762 0,7972 0,7695 0,7432 0,7182 0,6944 0,6719 0,6504 0,6299 0,6104 0,57393 0,7118 0,6750 0,6407 0,6086 0,5787 0,5507 0,5245 0,4999 0,4768 0,43484 0,6355 0,5921 0,5523 0,5158 0,4823 0,4514 0,4230 0,3968 0,3725 0,32945 0,5674 0,5194 0,4761 0,4371 0,4019 0,3700 0,3411 0,3149 0,2910 0,2495

6 0,5066 0,4556 0,4104 0,3704 0,3349 0,3033 0,2751 0,2499 0,2274 0,18907 0,4523 0,3996 0,3538 0,3139 0,2791 0,2486 0,2218 0,1983 0,1776 0,14328 0,4039 0,3506 0,3050 0,2660 0,2326 0,2038 0,1789 0,1574 0,1388 0,10859 0,3606 0,3075 0,2630 0,2255 0,1938 0,1670 0,1443 0,1249 0,1084 0,082210 0,3220 0,2697 0,2267 0,1911 0,1615 0,1369 0,1164 0,0992 0,0847 0,0623

11 0,2875 0,2366 0,1954 0,1619 0,1346 0,1122 0,0938 0,0787 0,0662 0,047212 0,2567 0,2076 0,1685 0,1372 0,1122 0,0920 0,0757 0,0625 0,0517 0,035713 0,2292 0,1821 0,1452 0,1163 0,0935 0,0754 0,0610 0,0496 0,0404 0,027114 0,2046 0,1597 0,1252 0,0985 0,0779 0,0618 0,0492 0,0393 0,0316 0,020515 0,1827 0,1401 0,1079 0,0835 0,0649 0,0507 0,0397 0,0312 0,0247 0,0155

16 0,1631 0,1229 0,0930 0,0708 0,0541 0,0415 0,0320 0,0248 0,0193 0,011817 0,1456 0,1078 0,0802 0,0600 0,0451 0,0340 0,0258 0,0197 0,0150 0,008918 0,1300 0,0946 0,0691 0,0508 0,0376 0,0279 0,0208 0,0156 0,0118 0,006819 0,1161 0,0829 0,0596 0,0431 0,0313 0,0229 0,0168 0,0124 0,0092 0,005120 0,1037 0,0728 0,0514 0,0365 0,0261 0,0187 0,0135 0,0098 0,0072 0,0039

21 0,0926 0,0638 0,0443 0,0309 0,0217 0,0154 0,0109 0,0078 0,0056 0,002922 0,0826 0,0560 0,0382 0,0262 0,0181 0,0126 0,0088 0,0062 0,0044 0,002223 0,0738 0,0491 0,0329 0,0222 0,0151 0,0103 0,0071 0,0049 0,0034 0,001724 0,0659 0,0431 0,0284 0,0188 0,0126 0,0085 0,0057 0,0039 0,0027 0,001325 0,0588 0,0378 0,0245 0,0160 0,0105 0,0069 0,0046 0,0031 0,0021 0,0010

26 0,0525 0,0331 0,0211 0,0135 0,0087 0,0057 0,0037 0,0025 0,0016 0,000727 0,0469 0,0291 0,0182 0,0115 0,0073 0,0047 0,0030 0,0019 0,0013 0,000628 0,0419 0,0255 0,0157 0,0097 0,0061 0,0038 0,0024 0,0015 0,0010 0,000429 0,0374 0,0224 0,0135 0,0082 0,0051 0,0031 0,0020 0,0012 0,0008 0,000330 0,0334 0,0196 0,0116 0,0070 0,0042 0,0026 0,0016 0,0010 0,0006 0,0002

31 0,0298 0,0172 0,0100 0,0059 0,0035 0,0021 0,0013 0,0008 0,0005 0,000232 0,0266 0,0151 0,0087 0,0050 0,0029 0,0017 0,0010 0,0006 0,0004 0,000133 0,0238 0,0132 0,0075 0,0042 0,0024 0,0014 0,0008 0,0005 0,0003 0,000134 0,0212 0,0116 0,0064 0,0036 0,0020 0,0012 0,0007 0,0004 0,0002 0,000135 0,0189 0,0102 0,0055 0,0030 0,0017 0,0009 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001

36 0,0169 0,0089 0,0048 0,0026 0,0014 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001 0,000037 0,0151 0,0078 0,0041 0,0022 0,0012 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,000038 0,0135 0,0069 0,0036 0,0019 0,0010 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001 0,000039 0,0120 0,0060 0,0031 0,0016 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001 0,0001 0,000040 0,0107 0,0053 0,0026 0,0013 0,0007 0,0004 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000

41 0,0096 0,0046 0,0023 0,0011 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 0,000042 0,0086 0,0041 0,0020 0,0010 0,0005 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,000043 0,0076 0,0036 0,0017 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,000044 0,0068 0,0031 0,0015 0,0007 0,0003 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,000045 0,0061 0,0027 0,0013 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

46 0,0054 0,0024 0,0011 0,0005 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,000047 0,0049 0,0021 0,0009 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,000048 0,0043 0,0019 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,000049 0,0039 0,0016 0,0007 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,000050 0,0035 0,0014 0,0006 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

52 0,0028 0,0011 0,0004 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000054 0,0022 0,0008 0,0003 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000056 0,0018 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000058 0,0014 0,0005 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000060 0,0011 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

62 0,0009 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000064 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000066 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000068 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000070 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


C.3. Valor a tual de una renta unitaria

an i =1− (1 + i)−n

i

n 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,90912 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,73553 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,48694 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,16995 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908

6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,35537 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,86848 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,33499 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,759010 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446

11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 7,1390 6,8052 6,495112 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 7,5361 7,1607 6,813713 12,1337 11,3484 10,6350 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,9038 7,4869 7,103414 13,0037 12,1062 11,2961 10,5631 9,8986 9,2950 8,7455 8,2442 7,7862 7,366715 13,8651 12,8493 11,9379 11,1184 10,3797 9,7122 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061

16 14,7179 13,5777 12,5611 11,6523 10,8378 10,1059 9,4466 8,8514 8,3126 7,823717 15,5623 14,2919 13,1661 12,1657 11,2741 10,4773 9,7632 9,1216 8,5436 8,021618 16,3983 14,9920 13,7535 12,6593 11,6896 10,8276 10,0591 9,3719 8,7556 8,201419 17,2260 15,6785 14,3238 13,1339 12,0853 11,1581 10,3356 9,6036 8,9501 8,364920 18,0456 16,3514 14,8775 13,5903 12,4622 11,4699 10,5940 9,8181 9,1285 8,5136

21 18,8570 17,0112 15,4150 14,0292 12,8212 11,7641 10,8355 10,0168 9,2922 8,648722 19,6604 17,6580 15,9369 14,4511 13,1630 12,0416 11,0612 10,2007 9,4424 8,771523 20,4558 18,2922 16,4436 14,8568 13,4886 12,3034 11,2722 10,3711 9,5802 8,883224 21,2434 18,9139 16,9355 15,2470 13,7986 12,5504 11,4693 10,5288 9,7066 8,984725 22,0232 19,5235 17,4131 15,6221 14,0939 12,7834 11,6536 10,6748 9,8226 9,0770

26 22,7952 20,1210 17,8768 15,9828 14,3752 13,0032 11,8258 10,8100 9,9290 9,160927 23,5596 20,7069 18,3270 16,3296 14,6430 13,2105 11,9867 10,9352 10,0266 9,237228 24,3164 21,2813 18,7641 16,6631 14,8981 13,4062 12,1371 11,0511 10,1161 9,306629 25,0658 21,8444 19,1885 16,9837 15,1411 13,5907 12,2777 11,1584 10,1983 9,369630 25,8077 22,3965 19,6004 17,2920 15,3725 13,7648 12,4090 11,2578 10,2737 9,4269

31 26,5423 22,9377 20,0004 17,5885 15,5928 13,9291 12,5318 11,3498 10,3428 9,479032 27,2696 23,4683 20,3888 17,8736 15,8027 14,0840 12,6466 11,4350 10,4062 9,526433 27,9897 23,9886 20,7658 18,1476 16,0025 14,2302 12,7538 11,5139 10,4644 9,569434 28,7027 24,4986 21,1318 18,4112 16,1929 14,3681 12,8540 11,5869 10,5178 9,608635 29,4086 24,9986 21,4872 18,6646 16,3742 14,4982 12,9477 11,6546 10,5668 9,6442

36 30,1075 25,4888 21,8323 18,9083 16,5469 14,6210 13,0352 11,7172 10,6118 9,676537 30,7995 25,9695 22,1672 19,1426 16,7113 14,7368 13,1170 11,7752 10,6530 9,705938 31,4847 26,4406 22,4925 19,3679 16,8679 14,8460 13,1935 11,8289 10,6908 9,732739 32,1630 26,9026 22,8082 19,5845 17,0170 14,9491 13,2649 11,8786 10,7255 9,757040 32,8347 27,3555 23,1148 19,7928 17,1591 15,0463 13,3317 11,9246 10,7574 9,7791

41 33,4997 27,7995 23,4124 19,9931 17,2944 15,1380 13,3941 11,9672 10,7866 9,799142 34,1581 28,2348 23,7014 20,1856 17,4232 15,2245 13,4524 12,0067 10,8134 9,817443 34,8100 28,6616 23,9819 20,3708 17,5459 15,3062 13,5070 12,0432 10,8380 9,834044 35,4555 29,0800 24,2543 20,5488 17,6628 15,3832 13,5579 12,0771 10,8605 9,849145 36,0945 29,4902 24,5187 20,7200 17,7741 15,4558 13,6055 12,1084 10,8812 9,8628

46 36,7272 29,8923 24,7754 20,8847 17,8801 15,5244 13,6500 12,1374 10,9002 9,875347 37,3537 30,2866 25,0247 21,0429 17,9810 15,5890 13,6916 12,1643 10,9176 9,886648 37,9740 30,6731 25,2667 21,1951 18,0772 15,6500 13,7305 12,1891 10,9336 9,896949 38,5881 31,0521 25,5017 21,3415 18,1687 15,7076 13,7668 12,2122 10,9482 9,906350 39,1961 31,4236 25,7298 21,4822 18,2559 15,7619 13,8007 12,2335 10,9617 9,9148

52 40,3942 32,1449 26,1662 21,7476 18,4181 15,8614 13,8621 12,2715 10,9853 9,929654 41,5687 32,8383 26,5777 21,9930 18,5651 15,9500 13,9157 12,3041 11,0053 9,941856 42,7200 33,5047 26,9655 22,2198 18,6985 16,0288 13,9626 12,3321 11,0220 9,951958 43,8486 34,1452 27,3310 22,4296 18,8195 16,0990 14,0035 12,3560 11,0361 9,960360 44,9550 34,7609 27,6756 22,6235 18,9293 16,1614 14,0392 12,3766 11,0480 9,9672

62 46,0396 35,3526 28,0003 22,8028 19,0288 16,2170 14,0704 12,3942 11,0580 9,972964 47,1029 35,9214 28,3065 22,9685 19,1191 16,2665 14,0976 12,4093 11,0664 9,977666 48,1452 36,4681 28,5950 23,1218 19,2010 16,3105 14,1214 12,4222 11,0735 9,981568 49,1669 36,9936 28,8670 23,2635 19,2753 16,3497 14,1422 12,4333 11,0794 9,984770 50,1685 37,4986 29,1234 23,3945 19,3427 16,3845 14,1604 12,4428 11,0844 9,9873

C.3 Valor a tual de una renta unitaria 169

an i =1− (1 + i)−n

i

n 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,32

1 0,8929 0,8772 0,8621 0,8475 0,8333 0,8197 0,8065 0,7937 0,7813 0,75762 1,6901 1,6467 1,6052 1,5656 1,5278 1,4915 1,4568 1,4235 1,3916 1,33153 2,4018 2,3216 2,2459 2,1743 2,1065 2,0422 1,9813 1,9234 1,8684 1,76634 3,0373 2,9137 2,7982 2,6901 2,5887 2,4936 2,4043 2,3202 2,2410 2,09575 3,6048 3,4331 3,2743 3,1272 2,9906 2,8636 2,7454 2,6351 2,5320 2,3452

6 4,1114 3,8887 3,6847 3,4976 3,3255 3,1669 3,0205 2,8850 2,7594 2,53427 4,5638 4,2883 4,0386 3,8115 3,6046 3,4155 3,2423 3,0833 2,9370 2,67758 4,9676 4,6389 4,3436 4,0776 3,8372 3,6193 3,4212 3,2407 3,0758 2,78609 5,3282 4,9464 4,6065 4,3030 4,0310 3,7863 3,5655 3,3657 3,1842 2,868110 5,6502 5,2161 4,8332 4,4941 4,1925 3,9232 3,6819 3,4648 3,2689 2,9304

11 5,9377 5,4527 5,0286 4,6560 4,3271 4,0354 3,7757 3,5435 3,3351 2,977612 6,1944 5,6603 5,1971 4,7932 4,4392 4,1274 3,8514 3,6059 3,3868 3,013313 6,4235 5,8424 5,3423 4,9095 4,5327 4,2028 3,9124 3,6555 3,4272 3,040414 6,6282 6,0021 5,4675 5,0081 4,6106 4,2646 3,9616 3,6949 3,4587 3,060915 6,8109 6,1422 5,5755 5,0916 4,6755 4,3152 4,0013 3,7261 3,4834 3,0764

16 6,9740 6,2651 5,6685 5,1624 4,7296 4,3567 4,0333 3,7509 3,5026 3,088217 7,1196 6,3729 5,7487 5,2223 4,7746 4,3908 4,0591 3,7705 3,5177 3,097118 7,2497 6,4674 5,8178 5,2732 4,8122 4,4187 4,0799 3,7861 3,5294 3,103919 7,3658 6,5504 5,8775 5,3162 4,8435 4,4415 4,0967 3,7985 3,5386 3,109020 7,4694 6,6231 5,9288 5,3527 4,8696 4,4603 4,1103 3,8083 3,5458 3,1129

21 7,5620 6,6870 5,9731 5,3837 4,8913 4,4756 4,1212 3,8161 3,5514 3,115822 7,6446 6,7429 6,0113 5,4099 4,9094 4,4882 4,1300 3,8223 3,5558 3,118023 7,7184 6,7921 6,0442 5,4321 4,9245 4,4985 4,1371 3,8273 3,5592 3,119724 7,7843 6,8351 6,0726 5,4509 4,9371 4,5070 4,1428 3,8312 3,5619 3,121025 7,8431 6,8729 6,0971 5,4669 4,9476 4,5139 4,1474 3,8342 3,5640 3,1220

26 7,8957 6,9061 6,1182 5,4804 4,9563 4,5196 4,1511 3,8367 3,5656 3,122727 7,9426 6,9352 6,1364 5,4919 4,9636 4,5243 4,1542 3,8387 3,5669 3,123328 7,9844 6,9607 6,1520 5,5016 4,9697 4,5281 4,1566 3,8402 3,5679 3,123729 8,0218 6,9830 6,1656 5,5098 4,9747 4,5312 4,1585 3,8414 3,5687 3,124030 8,0552 7,0027 6,1772 5,5168 4,9789 4,5338 4,1601 3,8424 3,5693 3,1242

31 8,0850 7,0199 6,1872 5,5227 4,9824 4,5359 4,1614 3,8432 3,5697 3,124432 8,1116 7,0350 6,1959 5,5277 4,9854 4,5376 4,1624 3,8438 3,5701 3,124633 8,1354 7,0482 6,2034 5,5320 4,9878 4,5390 4,1632 3,8443 3,5704 3,124734 8,1566 7,0599 6,2098 5,5356 4,9898 4,5402 4,1639 3,8447 3,5706 3,124835 8,1755 7,0700 6,2153 5,5386 4,9915 4,5411 4,1644 3,8450 3,5708 3,1248

36 8,1924 7,0790 6,2201 5,5412 4,9929 4,5419 4,1649 3,8452 3,5709 3,124937 8,2075 7,0868 6,2242 5,5434 4,9941 4,5426 4,1652 3,8454 3,5710 3,124938 8,2210 7,0937 6,2278 5,5452 4,9951 4,5431 4,1655 3,8456 3,5711 3,124939 8,2330 7,0997 6,2309 5,5468 4,9959 4,5435 4,1657 3,8457 3,5712 3,124940 8,2438 7,1050 6,2335 5,5482 4,9966 4,5439 4,1659 3,8458 3,5712 3,1250

41 8,2534 7,1097 6,2358 5,5493 4,9972 4,5441 4,1661 3,8459 3,5713 3,125042 8,2619 7,1138 6,2377 5,5502 4,9976 4,5444 4,1662 3,8459 3,5713 3,125043 8,2696 7,1173 6,2394 5,5510 4,9980 4,5446 4,1663 3,8460 3,5713 3,125044 8,2764 7,1205 6,2409 5,5517 4,9984 4,5447 4,1663 3,8460 3,5714 3,125045 8,2825 7,1232 6,2421 5,5523 4,9986 4,5449 4,1664 3,8460 3,5714 3,1250

46 8,2880 7,1256 6,2432 5,5528 4,9989 4,5450 4,1665 3,8461 3,5714 3,125047 8,2928 7,1277 6,2442 5,5532 4,9991 4,5451 4,1665 3,8461 3,5714 3,125048 8,2972 7,1296 6,2450 5,5536 4,9992 4,5451 4,1665 3,8461 3,5714 3,125049 8,3010 7,1312 6,2457 5,5539 4,9993 4,5452 4,1666 3,8461 3,5714 3,125050 8,3045 7,1327 6,2463 5,5541 4,9995 4,5452 4,1666 3,8461 3,5714 3,1250

52 8,3103 7,1350 6,2472 5,5545 4,9996 4,5453 4,1666 3,8461 3,5714 3,125054 8,3150 7,1368 6,2479 5,5548 4,9997 4,5454 4,1666 3,8461 3,5714 3,125056 8,3187 7,1382 6,2485 5,5550 4,9998 4,5454 4,1666 3,8461 3,5714 3,125058 8,3217 7,1393 6,2489 5,5552 4,9999 4,5454 4,1667 3,8461 3,5714 3,125060 8,3240 7,1401 6,2492 5,5553 4,9999 4,5454 4,1667 3,8462 3,5714 3,1250

62 8,3259 7,1407 6,2494 5,5554 4,9999 4,5454 4,1667 3,8462 3,5714 3,125064 8,3274 7,1412 6,2495 5,5554 5,0000 4,5454 4,1667 3,8462 3,5714 3,125066 8,3286 7,1416 6,2497 5,5555 5,0000 4,5454 4,1667 3,8462 3,5714 3,125068 8,3296 7,1419 6,2497 5,5555 5,0000 4,5454 4,1667 3,8462 3,5714 3,125070 8,3303 7,1421 6,2498 5,5555 5,0000 4,5455 4,1667 3,8462 3,5714 3,1250


C.4. Valor �nal de una renta unitaria

sn i =(1 + i)n − 1

i

n 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,00002 2,0100 2,0200 2,0300 2,0400 2,0500 2,0600 2,0700 2,0800 2,0900 2,10003 3,0301 3,0604 3,0909 3,1216 3,1525 3,1836 3,2149 3,2464 3,2781 3,31004 4,0604 4,1216 4,1836 4,2465 4,3101 4,3746 4,4399 4,5061 4,5731 4,64105 5,1010 5,2040 5,3091 5,4163 5,5256 5,6371 5,7507 5,8666 5,9847 6,1051

6 6,1520 6,3081 6,4684 6,6330 6,8019 6,9753 7,1533 7,3359 7,5233 7,71567 7,2135 7,4343 7,6625 7,8983 8,1420 8,3938 8,6540 8,9228 9,2004 9,48728 8,2857 8,5830 8,8923 9,2142 9,5491 9,8975 10,2598 10,6366 11,0285 11,43599 9,3685 9,7546 10,1591 10,5828 11,0266 11,4913 11,9780 12,4876 13,0210 13,579510 10,4622 10,9497 11,4639 12,0061 12,5779 13,1808 13,8164 14,4866 15,1929 15,9374

11 11,5668 12,1687 12,8078 13,4864 14,2068 14,9716 15,7836 16,6455 17,5603 18,531212 12,6825 13,4121 14,1920 15,0258 15,9171 16,8699 17,8885 18,9771 20,1407 21,384313 13,8093 14,6803 15,6178 16,6268 17,7130 18,8821 20,1406 21,4953 22,9534 24,522714 14,9474 15,9739 17,0863 18,2919 19,5986 21,0151 22,5505 24,2149 26,0192 27,975015 16,0969 17,2934 18,5989 20,0236 21,5786 23,2760 25,1290 27,1521 29,3609 31,7725

16 17,2579 18,6393 20,1569 21,8245 23,6575 25,6725 27,8881 30,3243 33,0034 35,949717 18,4304 20,0121 21,7616 23,6975 25,8404 28,2129 30,8402 33,7502 36,9737 40,544718 19,6147 21,4123 23,4144 25,6454 28,1324 30,9057 33,9990 37,4502 41,3013 45,599219 20,8109 22,8406 25,1169 27,6712 30,5390 33,7600 37,3790 41,4463 46,0185 51,159120 22,0190 24,2974 26,8704 29,7781 33,0660 36,7856 40,9955 45,7620 51,1601 57,2750

21 23,2392 25,7833 28,6765 31,9692 35,7193 39,9927 44,8652 50,4229 56,7645 64,002522 24,4716 27,2990 30,5368 34,2480 38,5052 43,3923 49,0057 55,4568 62,8733 71,402723 25,7163 28,8450 32,4529 36,6179 41,4305 46,9958 53,4361 60,8933 69,5319 79,543024 26,9735 30,4219 34,4265 39,0826 44,5020 50,8156 58,1767 66,7648 76,7898 88,497325 28,2432 32,0303 36,4593 41,6459 47,7271 54,8645 63,2490 73,1059 84,7009 98,3471

26 29,5256 33,6709 38,5530 44,3117 51,1135 59,1564 68,6765 79,9544 93,3240 109,181827 30,8209 35,3443 40,7096 47,0842 54,6691 63,7058 74,4838 87,3508 102,7231 121,099928 32,1291 37,0512 42,9309 49,9676 58,4026 68,5281 80,6977 95,3388 112,9682 134,209929 33,4504 38,7922 45,2189 52,9663 62,3227 73,6398 87,3465 103,9659 124,1354 148,630930 34,7849 40,5681 47,5754 56,0849 66,4388 79,0582 94,4608 113,2832 136,3075 164,4940

31 36,1327 42,3794 50,0027 59,3283 70,7608 84,8017 102,0730 123,3459 149,5752 181,943432 37,4941 44,2270 52,5028 62,7015 75,2988 90,8898 110,2182 134,2135 164,0370 201,137833 38,8690 46,1116 55,0778 66,2095 80,0638 97,3432 118,9334 145,9506 179,8003 222,251534 40,2577 48,0338 57,7302 69,8579 85,0670 104,1838 128,2588 158,6267 196,9823 245,476735 41,6603 49,9945 60,4621 73,6522 90,3203 111,4348 138,2369 172,3168 215,7108 271,0244

36 43,0769 51,9944 63,2759 77,5983 95,8363 119,1209 148,9135 187,1021 236,1247 299,126837 44,5076 54,0343 66,1742 81,7022 101,6281 127,2681 160,3374 203,0703 258,3759 330,039538 45,9527 56,1149 69,1594 85,9703 107,7095 135,9042 172,5610 220,3159 282,6298 364,043439 47,4123 58,2372 72,2342 90,4091 114,0950 145,0585 185,6403 238,9412 309,0665 401,447840 48,8864 60,4020 75,4013 95,0255 120,7998 154,7620 199,6351 259,0565 337,8824 442,5926

41 50,3752 62,6100 78,6633 99,8265 127,8398 165,0477 214,6096 280,7810 369,2919 487,851842 51,8790 64,8622 82,0232 104,8196 135,2318 175,9505 230,6322 304,2435 403,5281 537,637043 53,3978 67,1595 85,4839 110,0124 142,9933 187,5076 247,7765 329,5830 440,8457 592,400744 54,9318 69,5027 89,0484 115,4129 151,1430 199,7580 266,1209 356,9496 481,5218 652,640845 56,4811 71,8927 92,7199 121,0294 159,7002 212,7435 285,7493 386,5056 525,8587 718,9048

46 58,0459 74,3306 96,5015 126,8706 168,6852 226,5081 306,7518 418,4261 574,1860 791,795347 59,6263 76,8172 100,3965 132,9454 178,1194 241,0986 329,2244 452,9002 626,8628 871,974948 61,2226 79,3535 104,4084 139,2632 188,0254 256,5645 353,2701 490,1322 684,2804 960,172349 62,8348 81,9406 108,5406 145,8337 198,4267 272,9584 378,9990 530,3427 746,8656 1 057,189650 64,4632 84,5794 112,7969 152,6671 209,3480 290,3359 406,5289 573,7702 815,0836 1 163,9085

52 67,7689 90,0164 121,6962 167,1647 232,8562 328,2814 467,5050 671,3255 970,4908 1 410,429354 71,1410 95,6731 131,1375 182,8454 258,7739 370,9170 537,3164 785,1141 1 155,1301 1 708,719556 74,5810 101,5583 141,1538 199,8055 287,3482 418,8223 617,2436 917,8371 1 374,5001 2 069,650658 78,0901 107,6812 151,7800 218,1497 318,8514 472,6488 708,7522 1 072,6451 1 635,1335 2 506,377260 81,6697 114,0515 163,0534 237,9907 353,5837 533,1282 813,5204 1 253,2133 1 944,7921 3 034,8164

62 85,3212 120,6792 175,0134 259,4507 391,8760 601,0828 933,4695 1 463,8280 2 312,6975 3 674,227864 89,0462 127,5747 187,7017 282,6619 434,0933 677,4367 1 070,7992 1 709,4890 2 749,8059 4 447,915766 92,8460 134,7487 201,1627 307,7671 480,6379 763,2278 1 228,0280 1 996,0279 3 269,1344 5 384,078068 96,7222 142,2125 215,4436 334,9209 531,9533 859,6228 1 408,0393 2 330,2470 3 886,1486 6 516,834470 100,6763 149,9779 230,5941 364,2905 588,5285 967,9322 1 614,1342 2 720,0801 4 619,2232 7 887,4696

C.4 Valor final de una renta unitaria 171

sn i =(1 + i)n − 1

i

n 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,32

1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,00002 2,1200 2,1400 2,1600 2,1800 2,2000 2,2200 2,2400 2,2600 2,2800 2,32003 3,3744 3,4396 3,5056 3,5724 3,6400 3,7084 3,7776 3,8476 3,9184 4,06244 4,7793 4,9211 5,0665 5,2154 5,3680 5,5242 5,6842 5,8480 6,0156 6,36245 6,3528 6,6101 6,8771 7,1542 7,4416 7,7396 8,0484 8,3684 8,6999 9,3983

6 8,1152 8,5355 8,9775 9,4420 9,9299 10,4423 10,9801 11,5442 12,1359 13,40587 10,0890 10,7305 11,4139 12,1415 12,9159 13,7396 14,6153 15,5458 16,5339 18,69568 12,2997 13,2328 14,2401 15,3270 16,4991 17,7623 19,1229 20,5876 22,1634 25,67829 14,7757 16,0853 17,5185 19,0859 20,7989 22,6700 24,7125 26,9404 29,3692 34,895310 17,5487 19,3373 21,3215 23,5213 25,9587 28,6574 31,6434 34,9449 38,5926 47,0618

11 20,6546 23,0445 25,7329 28,7551 32,1504 35,9620 40,2379 45,0306 50,3985 63,121512 24,1331 27,2707 30,8502 34,9311 39,5805 44,8737 50,8950 57,7386 65,5100 84,320413 28,0291 32,0887 36,7862 42,2187 48,4966 55,7459 64,1097 73,7506 84,8529 112,303014 32,3926 37,5811 43,6720 50,8180 59,1959 69,0100 80,4961 93,9258 109,6117 149,239915 37,2797 43,8424 51,6595 60,9653 72,0351 85,1922 100,8151 119,3465 141,3029 197,9967

16 42,7533 50,9804 60,9250 72,9390 87,4421 104,9345 126,0108 151,3766 181,8677 262,355717 48,8837 59,1176 71,6730 87,0680 105,9306 129,0201 157,2534 191,7345 233,7907 347,309518 55,7497 68,3941 84,1407 103,7403 128,1167 158,4045 195,9942 242,5855 300,2521 459,448519 63,4397 78,9692 98,6032 123,4135 154,7400 194,2535 244,0328 306,6577 385,3227 607,472120 72,0524 91,0249 115,3797 146,6280 186,6880 237,9893 303,6006 387,3887 494,2131 802,8631

21 81,6987 104,7684 134,8405 174,0210 225,0256 291,3469 377,4648 489,1098 633,5927 1 060,779322 92,5026 120,4360 157,4150 206,3448 271,0307 356,4432 469,0563 617,2783 811,9987 1 401,228723 104,6029 138,2970 183,6014 244,4868 326,2369 435,8607 582,6298 778,7707 1 040,3583 1 850,621924 118,1552 158,6586 213,9776 289,4945 392,4842 532,7501 723,4610 982,2511 1 332,6586 2 443,820925 133,3339 181,8708 249,2140 342,6035 471,9811 650,9551 898,0916 1 238,6363 1 706,8031 3 226,8436

26 150,3339 208,3327 290,0883 405,2721 567,3773 795,1653 1 114,6336 1 561,6818 2 185,7079 4 260,433627 169,3740 238,4993 337,5024 479,2211 681,8528 971,1016 1 383,1457 1 968,7191 2 798,7061 5 624,772328 190,6989 272,8892 392,5028 566,4809 819,2233 1 185,7440 1 716,1007 2 481,5860 3 583,3438 7 425,699429 214,5828 312,0937 456,3032 669,4475 984,0680 1 447,6077 2 128,9648 3 127,7984 4 587,6801 9 802,923330 241,3327 356,7868 530,3117 790,9480 1 181,8816 1 767,0813 2 640,9164 3 942,0260 5 873,2306 12 940,8587

31 271,2926 407,7370 616,1616 934,3186 1 419,2579 2 156,8392 3 275,7363 4 967,9527 7 518,7351 17 082,933532 304,8477 465,8202 715,7475 1 103,4960 1 704,1095 2 632,3439 4 062,9130 6 260,6204 9 624,9810 22 550,472233 342,4294 532,0350 831,2671 1 303,1253 2 045,9314 3 212,4595 5 039,0122 7 889,3817 12 320,9756 29 767,623334 384,5210 607,5199 965,2698 1 538,6878 2 456,1176 3 920,2006 6 249,3751 9 941,6210 15 771,8488 39 294,262835 431,6635 693,5727 1 120,7130 1 816,6516 2 948,3411 4 783,6447 7 750,2251 12 527,4424 20 188,9665 51 869,4269

36 484,4631 791,6729 1 301,0270 2 144,6489 3 539,0094 5 837,0466 9 611,2791 15 785,5774 25 842,8771 68 468,643537 543,5987 903,5071 1 510,1914 2 531,6857 4 247,8112 7 122,1968 11 918,9861 19 890,8276 33 079,8826 90 379,609438 609,8305 1 030,9981 1 752,8220 2 988,3891 5 098,3735 8 690,0801 14 780,5428 25 063,4428 42 343,2498 ∗39 684,0102 1 176,3378 2 034,2735 3 527,2992 6 119,0482 10 602,8978 18 328,8731 31 580,9379 54 200,3597 ∗40 767,0914 1 342,0251 2 360,7572 4 163,2130 7 343,8578 12 936,5353 22 728,8026 39 792,9817 69 377,4604 ∗

41 860,1424 1 530,9086 2 739,4784 4 913,5914 8 813,6294 15 783,5730 28 184,7152 50 140,1570 88 804,1494 ∗42 964,3595 1 746,2358 3 178,7949 5 799,0378 10 577,3553 19 256,9591 34 950,0469 63 177,5978 ∗ ∗43 1 081,0826 1 991,7088 3 688,4021 6 843,8646 12 693,8263 23 494,4901 43 339,0581 79 604,7732 ∗ ∗44 1 211,8125 2 271,5481 4 279,5465 8 076,7603 15 233,5916 28 664,2779 53 741,4321 ∗ ∗ ∗45 1 358,2300 2 590,5648 4 965,2739 9 531,5771 18 281,3099 34 971,4191 66 640,3758 ∗ ∗ ∗

46 1 522,2176 2 954,2439 5 760,7177 11 248,2610 21 938,5719 42 666,1312 82 635,0660 ∗ ∗ ∗47 1 705,8838 3 368,8380 6 683,4326 13 273,9480 26 327,2863 52 053,6801 ∗ ∗ ∗ ∗48 1 911,5898 3 841,4753 7 753,7818 15 664,2586 31 593,7436 63 506,4897 ∗ ∗ ∗ ∗49 2 141,9806 4 380,2819 8 995,3869 18 484,8251 37 913,4923 77 478,9175 ∗ ∗ ∗ ∗50 2 400,0182 4 994,5213 10 435,6488 21 813,0937 45 497,1908 94 525,2793 ∗ ∗ ∗ ∗

52 3 012,7029 6 493,0199 14 044,3690 30 374,7316 65 518,1547 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗54 3 781,2545 8 440,4687 18 900,2629 42 295,9563 94 348,3427 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗56 4 745,3257 10 971,3731 25 434,3538 58 895,0696 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗58 5 954,6565 14 260,5365 34 226,6264 82 007,6749 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗60 7 471,6411 18 535,1333 46 057,5085 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

62 9 374,5466 24 090,3992 61 977,1435 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗64 11 761,5513 31 310,0228 83 398,6043 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗66 14 755,8099 40 692,6457 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗68 18 511,8080 52 886,3023 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗70 23 223,3319 68 733,1785 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

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90162.

Índi e alfabéti o

a iones, 130

A hard, 108

adquisi ión de la letra en el mer ado se unda-

rio, 142

adquisi ión ini ial de la letra y mantenimiento

del título hasta su ven imiento, 140

adquisi ión ini ial de la letra y venta en el mer-

ado se undario, 141

aleatoria, 46

amortiza ión

fra ionados, 106

anti ipada, 47

arrendamiento �nan iero, 117

bene� ios onstantes, 139

apital �nan iero, 2

apital propio, 132

apitaliza ión, 8

ompuesta, 34

ontinua, 40

simple, 8

apitaliza ión ompuesta, 34

apitaliza ión ontinua, 40

apitaliza ión simple, 8

apitaliza ion ompuesta en tiempo fra iona-

rio, 39

aren ia, 106

ierta, 46

lasi� a ión, 46

ompara ión del pre io teóri o on el de mer-

ado, 134

ompara ión entre la apitaliza ión simple y

ompuesta, 36

ompra en el mer ado y mantenimiento del tí-

tulo hasta su amortiza ión, 136

ompra en el mer ado y venta en el mer ado,

137

ompra por sus rip ión y mantenimiento del

título hasta su amortiza ión, 135

ompra por sus rip ión y venta del título en el

mer ado, 136

onstantes, 47

onstitu ión, 88

elementos, 88

imposi iones onstantes, 88

método progresivo, 88

ontabiliza ión del préstamo, 101

ontinua, 46

onvenio exponen ial, 39

onvenio lineal, 39

rédito ban ario, 117

rédito omer ial, 18, 116

réditos en uenta orriente, 28

uenta orriente, 23, 117

uenta de rédito, 28, 117

uentas orrientes, 23

a interés no re ípro o, 26

a interés re ípro o y variable, 25

a la vista, 26

lases, 24

métodos para obtener el saldo, 24

uentas de ahorro, 27

upones, 131

des uento

ompuesto, 34

simple, 8

des uento omer ial, 117

des uento ban ario, 19, 117

efe tos omer iales, 19

fa turas de des uento, 22

límite, 22

letras impagadas, 23

letras persiana, 22

réditos, 20

réditos para el ban o, 20

réditos para el liente, 21

tantos efe tivos, 20

tantos efe tivos para el ban o, 20

tantos efe tivos para el liente, 21

des uento omer ial, 19

des uento omer ial ompuesto, 41

des uento ompuesto, 34, 40

des uento de efe tos omer iales, 19

des uento de letras persiana, 22

des uento �nan iero, 23, 117

des uento ra ional ompuesto, 41

des uento simple, 8

métodos abreviados, 12

magnitudes derivadas, 12

tanto, 12

tiempo, 12

des uento simple omer ial, 11

des uento simple ra ional, 13

deuda públi a, 130

deudas empresariales a orto plazo, 116

deudas empresariales a largo plazo, 116

ÍNDICE ALFABÉTICO 175

deudas empresariales a medio plazo, 116

diferida, 47

dis reta, 46

dividendo

a tivo, 132

pasivo, 131

dividendo a tivo, 132

dividendo pasivo, 131

dividendos, 131

dividendos onstantes, 138

divisores �jos, 11

dura ión, 46

e ua ión de los tantos equivalentes, 37

e ua iones, 154, 156, 157

elementos que intervienen en los empréstitos,

121

empréstitos

on an ela ión es alonada, 120

upón ero, 125

elementos que intervienen, 121

introdu ión, 119

método fran és, 121

normal, 121

problemáti a, 120

sin an ela ión es alonada, 120

equilibrio �nan iero, 28

equivalen ia de tantos, 37

equivalen ia de tantos en apitaliza ión om-

puesta, 37

equivalen ia �nan iera, 3

Ex el

NPER, 77

PAGO, 77

TASA, 77

TIR, 77

VA, 77

VF, 77

VNA, 77

fórmula de A hard, 108

fa tor de a tualiza ión ompuesta, 35

fa tor de a tualiza ión ompuesto unitario, 166

fa tor de apitaliza ión ompuesta, 34

fa tor de apitaliza ión ompuesta unitaria, 164

fa tor de apitaliza ión simple, 8

fa tor de des uento ompuesto unitario, 166

fa turas de des uento, 22

fenómeno �nan iero, 2

�nan ia ión

a orto plazo, 116

a largo plazo, 116

a medio plazo, 116

empresa, 116

externa, 116

�nan ia ión de la empresa, 116

�nan ia ión externa, 132

�nan ia ión externa de la empresa, 116

�nan ia ión interna, 132

forma ión de apital, 88

fuerza de interés, 40

hp12

ál ulo de intereses en apitaliza ión sim-

ple, 9

ál ulo de la amortiza ión a umulada, 100

ál ulo de la mensualidad, 99

ál ulo de los intereses de un préstamo, 99

ál ulo del apital �nal en apitaliza ión

simple, 9

ál ulo del interés efe tivo de un préstamo,

79

ál ulo del tiempo, 36

ál ulo del tipo de interés, 36, 40

ál ulo del valor a tual, 35

ál ulo del valor �nal, 35, 39

ál ulo del valor �nal ( onvenio exponen-

ial), 39

ál ulo del valor �nal ( onvenio lineal), 39

ál ulo del valor �nal prepagable, 90

onversión del tipo de de interés, 65

onversión del tipo de interés, 38, 39

obten ión del uadro de amortiza ión, 99

tiempo en una renta pospagable, 56

tipo de interés en una renta pospagable,

58

valor a tual de una renta, 50

valor a tual de una renta fra ionada, 65

valor a tual de una renta prepagable, 52

valor �nal de una renta, 50

valor �nal de una renta prepagable, 52

inmediata, 47

interés ompuesto, 34


tanto, 35

tiempo, 35

tipo de interés, 35

valor a tual, 35

interés simple, 8

métodos abreviados, 10


tiempo, 9

valor a tual, 9

interés variable, 106

intereses, 131

intereses anti ipados, 10

interpola ión lineal, 149

límite de des uento, 22

leasing, 117

valora ión, 117

letras �nan ieras, 130

letras impagadas, 23

logaritmos, 148

método de iguala ión, 155

método de los saldos, 25

176 ÍNDICE ALFABÉTICO

método de Newton, 75

método de redu ión, 155, 156

método de sustitu ión, 154, 157

método dire to, 25

método es alar, 25

método hamburgués, 25

método indire to, 25

métodos para obtener el saldo, 24

mer ado de apitales, 130, 132

mer ado de dinero, 132

mer ado de valores, 130, 132

mer ado �nan iero, 130

mer ado primario, 132

mer ado se undario, 132

multipli adores �jos, 10

NPER, 77

nuda propiedad, 107

obliga iones, 130

opera ión de onstitu ión, 88

opera ión �nan iera, 2

lasi� a ión, 5

ontrapresta ión, 2, 4

dura ión, 2

�nal, 2, 4

origen, 2, 4

presta ión, 2, 4

opera iones a orto plazo, 18

opera iones de onstitu ión, 88

origen, 46

póliza de rédito, 28

pagarés de empresa, 130

pagarés del tesoro, 130

PAGO, 77

PER, 138

período, 46

período uniforme, 46

perpetua, 47

plazo, 46

por entajes, 148

pospagables, 47

postulado de equivalen ia �nan iera, 3

préstamo fran és, 96

anualidad, 96

apital amortizado, 98

apital pendiente, 97

uadro de amortiza ion, 98

uota de amortiza ión, 97

préstamos, 88

alemán, 104

ameri ano, 95

ameri ano on fondo de amortiza ión, 95

anti ipativenzisen, 104

an ela ión anti ipada, 93

an ela ión anti ipada par ial, 93

aren ia, 106

lasi� a ión, 91, 92

ontabiliza ión, 100

uota onstante, 103

uota de apital onstante, 103

elemental, 93

elementos, 91

europa entral, 104

fórmula de A hard, 108

fra ionados, 106

fran és, 96

interés variable, 106

intereses anti ipados, 104

método italiano, 103

nuda propiedad, 107

progresión aritméti a, 102

progresión geométri a, 102

reembolso úni o, 93

reembolso úni o y pago periódi o de in-

tereses, 94

simple, 93

sinking fund, 95

términos amortizativos onstantes, 96

términos en progresión aritméti a, 102

términos en progresión geométri a, 102

tanto efe tivo, 100

tipo de interés, 91, 100

usufru to, 107

valor �nan iero, 107

prepagables, 47

prestatario, 100

pri e earning ratio, 138

progresiones

aritméti as, 150

geométri as, 152

produ to de dos términos equidistantes de

los extremos, 152

produ to de los términos de una progre-

sión geométri a limitada, 153

suma de los términos, 151

suma de los términos de una progresión

geométri a limitada, 153

suma de términos equidistantes de los ex-

tremos, 151

término medio, 151, 152

progresiones aritméti as, 150

progresiones geométri as, 152

propor iones, 146, 148

proye ión �nan iera, 4

razones, 146

opera iones, 146

razones y propor iones, 146

reditos efe tivos, 20

rela ión entre el valor a tual y el valor �nal, 50,

51

renta

pospagable, 47

prepagable, 47

anti ipada, 47

ÍNDICE ALFABÉTICO 177

onstante, 47

ontinua, 46

perpetua, 47

temporal, 47

variable, 47

aleatoria, 46

anti ipada, 55

ierta, 46

on epto, 46

onstante, 48, 50, 53

diferida, 47, 54

dis reta, 46

e ua ión general, 67

inmediata, 47, 48, 50, 53

perpetua, 53

pospagable, 48, 53

prepagable, 50, 53

temporal, 48, 50

unitarias, 47

valor apital, 47


rentabilidad

bruta, 133

efe tiva, 133

neta, 133

nominal, 133

rentabilidad de los títulos valores, 132

rentabilidad efe tiva bruta, 133

rentabilidad efe tiva neta, 133

rentabilidad nominal bruta, 133

rentabilidad nominal neta, 133

rentas

determina ión de i, 56determina ión de n, 56�nan ieras, 46

�nan ieras fra ionadas, 64

fra ionadas, 64, 66

variables, 64

rentas �nan ieras, 46

fra ionadas, 64

variables, 64

rentas �nan ieras fra ionadas y variables, 64

rentas variables, 67, 70, 73, 74

en general, 74

fra ionadas, 73



rentas variables fra ionadas



reserva matemáti a, 28

resolu ión de e ua iones de segundo grado, 157

resolu ión de e ua iones lineales, 154, 156

resolu ión de un sistema de dos e ua iones, 154

resolu ión de un sistema de tres e ua iones, 156

saldo �nan iero, 28

sistema de e ua iones, 154, 156

término, 46

títulos de rédito, 130

títulos valores: on eptos, 131

títulos valores: opera iones bursátiles, 130

títulos valores: valores mobiliarios, 130

títulos valores

dividendos, 131

valor efe tivo, 131

valor nominal, 131

intereses, 131

valor de reembolso, 131

valor de amortiza ión, 131

valor de otiza ión, 131

tablas �nan ieras

fa tor de a tualiza ión ompuesto, 166

fa tor de a tualiza ión unitario, 166

fa tor de apitaliza ión ompuesta, 164

fa tor de apitaliza ión ompuesta unita-

ria, 164

fa tor de apitaliza ión unitario, 164

fa tor de des uento ompuesto, 166

fa tor de des uento ompuesto unitario,

166

valor a tual, 168

valor a tual de una renta unitaria, 168

valor �nal, 170

valor �nal de una renta unitaria, 170

TAE, 38

tanto de des uento equivalente, 14, 41

tanto de interés equivalente, 14, 41

tanto efe tivo, 100

prestatario, 100

tanto efe tivo anual, 38

tanto nominal, 38

tantos efe tivos, 20

TASA, 77

tasa interna de retorno, 74

temporal, 47

TIN, 38

tipo de interés, 91

omponentes, 92

tipo efe tivo, 100

TIR, 74, 77, 100

unitarias, 47

usufru to, 107

VA, 77

valor, 46

valor a tual, 46, 48, 50, 53, 54

valor a tual de una renta unitaria, 168

valor a tual neto, 74


valor de reembolso, 131

valor de amortiza ión, 131


valor de mer ado de un título, 134

valor efe tivo, 131

valor �nal, 46, 49, 51

178 ÍNDICE ALFABÉTICO

valor �nal de una renta unitaria, 170


valor �nan iero de la nuda propiedad, 107

valor �nan iero del préstamo, 107

valor �nan iero del usufru to, 107

valor nominal, 131

valor teóri o de un título, 134

valora ión

a tivo neto, 137

bene� ios, 137, 139

dividendos, 137, 138


regresión, 137

valora ión a partir del a tivo neto, 137

valora ión a través de modelos de regresión,

137

valora ión de las a iones, 137

valora ión de las letras �nan ieras, 140

valora ión de los títulos

renta �ja, 134

valora ión de los títulos de renta �ja, 134

valora ión de los títulos valores, 134

valora ión en fun ión de los bene� ios, 137, 139

valora ión en fun ión de los dividendos, 137,

138

valores mobiliarios, 130

a iones, 130

deuda públi a, 130


obliga iones, 130

pagarés de empresa, 130

pagarés del tesoro, 130

VAN, 74, 77

variables, 47

ven imiento omún, 29

ven imiento medio, 29

VF, 77

VNA, 74, 77

Las matemáti as de las opera iones �nan ieras han

adquirido en los últimos uarenta años una estru tura

formal. La primera formula ión se debe a la Es uela

Italiana, on los profesores F. Insolera, F. P. Cantelli,

F. Sibirani, B. Finetti, G. Ottaniani, et .

La in�uen ia de la Es uela Italiana en o idente es muy

importante y así lo re ogen profesores omo A. Vegas

Pérez, J. Lóbez de Urquía y U. Nieto de Alba.

En parti ular, L. Gil Pelaez, plantea el on epto de

apital �nan iero omo una magnitud bidimensional, la

uantía de apital y el tiempo.

E. Prieto Pérez introdu e el omportamiento ra ional

de los agentes e onómi os del mundo �nan iero y

estable e las rela iones de preferen ia y equivalen ia

�nan iera.

Con la introdu ión del on epto de opera ión �nan iera

omo inter ambio no simultáneo de apitales se pro ede

al estudio de las opera iones �nan ieras (simples, om-

puestas, a orto y largo plazo).

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