INTRODUCCION AL CALCULO VECTORIAL

1. Magnitudes escalares y vectoriales

En cursos anteriores de Física ya has estudiado ejemplos de magnitudes que pa ra defin irlas correcta­mente no era sufíciente conocer el va lo r absoluto de su medida ; por ejemplo : la fuerza , la ve locidad ... Se denominaba n MAGNITUDES VECTORIA LES.

Ot ras, en cambio , como la masa , la temperatura , la longitud ..., q uedaban perfectamente definidas co n sólo co nocer el val o r de su med id a. Las deno mi nába­mos MAGNJTUDES ESCALARES.

M agnitudes esca lares son aq ue llas que q ueda n per ­fectamente defin idas por el val or de su med ida. Gráfi ­camente se representan en una esca la - de ahí su nombre- y algebra icamente se representa n por me ­dio de letras la tinas o griegas en formato normal (v , a , T, ':l. , ro, .. .).

Magnitudes vecto ria les son aq uellas que para q ue ­dar perfectamente definidas, además de conocer el valor absoluto de su m ed ida , se necesita conocer la dir ección y el sen tido en que actúa n.

Algebraicamente se representan por med io de le ­tras la t inas o griegas, de tipo ordinario , con una flechita encima (-;, F, ro, ...) o , más frecuentemente , por letras en negrita (v, I, ro,.. .).

G ráficamente se representan medi ante vectores.

1.1. Vectores

Un vector es un segmento orientado. Su longitud - módulo- depende del valor numérico de la magni­tud que representa ; la dirección - o líne a de acción ­es la de la recta a que pertenece el segmen to, y el se ntido se indica por un a punta de flecha . Al origen de l vector se le lla ma punto de a plicac ión. (Fig. 1).

Fig .1-1

C ua nd o se habla d e magn itudes vec to ria les y se usa letra ord ina r ia (no negr ita y sin flech itu) es que, o no se q uiere insist ir en su car ácte r vec tori al , o sólo se t ra ta de representar los módul os de las mi sm as,

1.2. Clases de vectores

- Igua les : Jos que tienen el mismo módulo, la misma direcc ión y el mismo sentido.

- Opuestos : si tienen el mismo mód ulo, la misma direc ­c ión; pero senti dos con trarios.

7

- ---

----

- Fijos : son aquellos .que exigen para su determinación el conocer el punto de aplicación donde actúan.

- Deslizantes : son los que pueden trasladarse a lo largo de su dirección sin que var íe su efecto . (Ejemplo: los vectores a y b de la figura 2).

- Libres : son los que pueden trasladarse paralelamente a sí mismos sin que varíe su efecto . (Ejemplo: los vectores a y e, o los vectores b y c de la figur a 2).

Fig. ) ·2

En general, los vectores que tienen igual módulo igual sentido y direcciones iguales o paralel as, se denorn inan equipolentes. (Ejemplo: los vectores a, b y c de la figu­ra 2) son equipolentes.

- Axiales : se utilizan par a repre sentar giros. Su módulo representa el valor de la magn itud rot acional (ejemplo : velocidad angular), su dirección es la de la perpendicular al plan o de giro y su sent ido coincide con el avance de un sacacorchos que se mueva como lo hace el giro . (Regla de Maxwell) (F ig. 3).

Fig. l · )

I -A I I I I

.)

,II

cP•LC: ~

I f::::::===~==:::il'

I I I I

I -A

2. Suma de vectores

Se denomina sistema de vectores a un conjunto de vectores que actúan simultáneamente sobre un cuerpo. A cada uno de estos vecto res se le denomina componente del sistema.

Vector ' resultante o vector suma de un sistema de vectores es otro vector que por sí solo realiza el mismo efecto que los componentes.

Matemáticamente se expresa así ;

R = i\ +B + ...

8

Con este simbolismo se quiere expresar que el vector R realiza el mismo efecto que realizarían los vectores A, B•.•, al actuar simultáneamente sobre un cuerpo.

Gráficamente, el vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vecto r con el extremo de la línea formada a l traz ar, unos a continuación de otros, vectores equipolentes a los dados. (Regla del polígono) (F ig. 4).

B I I

'e

-- -,

I I

e

Fig. ) ·4

En este curso calcularemos el vector resultante en los siguientes casos :

2.1. Vectores con la misma línea de acción

Si tienen el mismo sentido, el vecto r resultante es otro vector de la misma dirección y sentido y cuyo módulo es la suma de los módulos de los componentes. (Fig. 5).

Si son de sentidos contrarios, el vector resultante es otro vector de la misma dirección, de sentido el del mayor y cuyo módulo es la diferencia de los módulos de los componentes (Fig. 5).

Fig, 1·5

A B B A• . '.

'2.2. Vectores concurrentes

Son aquellos que tienen distinta dirección y ellos, o sus prolongaciones, se cortan en un punto.

El vector resultante se obtiene gráficamente según se indicó en la regla del polígono. Así , en la figura 4, el vector R es el vec to r resultante de los vec to res A, By C.

En el caso particular que sean dos los vectores concurrentes, el vec to r resultante coincide en módu­lo , dirección y sentido con la diagonal del paralelo­gramo cuyos lados son los dos componentes (Fig. 6 y 7).

\ Ih + 3h= \)2 = 7. 2

Fig. 1-10

-A

/ /

/ /

//

/ /

/ I

IC.._.J--"......---_/

Solucl ún :

Si calculas el vector resu lta nte de los vectores 1.° y 3.°, estás en el caso del pro blema a nte rio r. Su módulo es A \fJ. Este vecto r resultante es la de la mis ma dirección y sentido que el seg undo vecto r com ponente. El vector resulta nte ta ta ) será :

Soluci ún:

9

Fig . 1-8

R=A +A v'3=A(v'3+ 1)

Fig. 1·9

l . Hallar gráfica y nurnencarnen te el vecto r resultan te de do s vecto res perpendi cul ares de 4 y 6 unid ades respect iva me nte. (Fig. 8).

Ejeruplos :

Soluci ón:

2. Calc ula r el vecto r result ant e de dos vecto res iguales c uyas d irecciones forman un ángulo de 60 grados. (Fig .9).

R = Y A 2 + A

2 + 2 A· A· += V3fV = A V3

3. Calcul ar el vecto r result ante d e tres vectores iguales cuyas direccio nes forma n entre sí á ngulos de 30 grados . (Fig . 10). .

/ /

/ ­/ A

h -.----' ­ - -=:-­- -'--­ /

Fig. 1-7

B

R

Si d os vecto res co ncur rentes son de d irecc iones perpendicula res, el cá lculo nu mér ico d el módul o del vecto r resultante y la determ inación de su dirección resulta n senci llos.

En efecto : a plica nd o el teorem a d e Pitágoras a uno cualq uiera d e los tri á ngu los fo rmados (Fig. 6), ten em os que:

Si dos vecto res co ncurrentes so n de direcciones cuales quiera , el cálc ulo del módulo del vecto r resul ­ianteno es ta n inm ed ia to co mo en el caso a nte rio r, aunq ue también es sencillo :

Apli can do el te orema del coseno a l t rián gul o for­mad o (Fig. 7) ten em os que :

Re = A: + Be ­ :2 A B CO~ : ~

y. co mo cos p= - COS ':l., por ser ángulos su p leme n ­ta rios, q ueda rá fina lme nte qu e:

Fig. 1·6

La d irecc ió n de R se det erm ina e n fun c ión de la ta ngent e del ángulo que fo rma con un o de los co mpo nen tes.

En la figura vem os que :

- - - --

3. Resta de vectores

Para restar de un vector A (minuendo) otro vector B (sustraendo) se suma al vector A el vector opuesto a B (Fig . 11 ).

Es decir : A + (- B) = O

En efecto : como sabes , en toda rest a la suma del sustraendo y la diferencia ha de ser igual al minuen­do . En la figura 11 fácilmente verás que el vector A es, preci samente , el vector suma de los vectores B y O, puesto que es la diagonal del paralelogramo for­mado por dichos vectores.

Ji /

/ ­I B

I Fig. 1-11 I

4. Descomposici6n de vectores Es el problema contrario al planteado en el aparta­

do 2. Descomponer un vector en otros varios (compo­

nentes) es hallar un sistema de vectores que produzca el mismo efecto que el vector dado .

En principio , la resolución de este problema, inclu­so en el caso más sencillo de que sólo sean dos los componentes, es indeterminada, puesto que exis­tirán infinitos sistemas de vectores capaces de susti­tuir al dado.

Para poder resolver este problema se necesitan determinar algunos datos, tales como: ángulo forma­do por los componentes, valor de uno de loscompo­nentes....

Un caso muy interesante de descomposición de vectores es el que se refiere a la descomposición de un vector en dos componentes que sean perpendicu­lares entre sí (componentes rectangulares del vector) .

Para ellose proyecta el vector dado sobre los dos ejes de un sistema de coordenadas, siendo estas pro­yecciones los vectores componentes pedidos.

y l I I I I

'1

xFig . 1-12

10

Como se ve en la figura 12, A es el vector resul­tante de Ax Y Ay. Por tanto, los vectores Ax Y Ay pueden sustituir al vector A.

Observando la figura 12 puedes deducir fácilmente los valores de los módulos de los vectores componen­tes:

A cos a= ----¡f­

por tanto: IA , = A cos "1. /

A ~ cos :~ =

A

por tanto :

A los cosenos de los ángulos a y p que el vector R forma con cada uno de los ejes del sistema se les denomina cosenos directores del vector.

4.1. Aplicaciones

Un ejemplo de lo expuesto lo constituye el ca so de la descomposición del peso de un cuerpo situado en un plano inclinado, en dos componentes : una perpendicular al plano y otra, paralela a él. (Fig. 13).

\ \

\ \

Fig. 1·13

Según lo que acabamos de exponer :

N = P cos 7­

F = P cos ~, = P sen 7­

Otra aplicación la constituye el cálculo de la resul­tante de varias fuerzas concurrentes : Para ello se descompone cada fuerza en sus componentes rectan­gulares y se calcula la resultante de las componentes en cada eje.

La resultante general es la que se obtiene al compo­ner estas últimas.

5. Producto y cociente de un vector por un escalar

El p roducto de un vecto r por un escala r es otro vector que t ien e la d irecc ión y sentido del pr im ero y cuyo m ódulo es igual al producto del módulo del vect o r dado por e l esca la r. (Fig. 14)

5"7~. 5 = • B

Fig . 1-14

Como ves , esta definición corresponde al concep­to , ya conocido, de producto de dos números: repetir como sumando el mult iplicando tantas veces como indique el mult iplicado r.

Para d ivid ir un vec to r entre un número esca la r basta multiplicar e l vecto r por el in ver so del escalar (F ig. 14).

6. Vector unitario

Según lo qu e aca ba mos de explica r en la pregunta an­terior (pro duct o de un vector por un esca la r) , cualquie r vecto r pue de considerarse como múlt iplo de ot ro de su misma dirección y se ntido . Así , e n la figura 14 el vecto r 5A es cinco veces mayor que el vecto r A.

Se den omina vector unitario, o vecto r unid ad , a cual­quier vecto r de módul o 1.

Todo vector , en co nsecue ncia, puede se r considerado como múltiplo de un vector unit ario que actúe en su mis­ma dirección y se ntido. •

Ejemplos:

-I j I I I- ­ •

M=5.j

De los infinitos vectores unidad hay tre s que merecen esp ec ial atención: son los qu e ac túa n en las tre s direccio­nes del es pacio (ve rtica l, horizontal , tran sversal) y que se designan con las letras T, j , k.

z

-k

.;---:'- - - - y

x

6.1 . Expresión de un vector cualCLuiera en función de los vectores i, j, k

Al proyecta r un vec to r sobre los ejes de un siste ma de coorde nadas se obtiene n sus co rres po ndientes compo­

-. -. -. ne ntes rectan gular es A., Ay, ' Az .

Como estas componentes actúa n en las tres dir eccio ­nes del espacio , puede n con sider ar se co mo múltiplos de los vec to res TT, k.

:;--- - ------ - --- ----- ~~ /

/ Az / / I

I// / If-­

-Ay

----------------~ I, I II I II I II

I I I I I I I I I

: ~ I / I o<. I /I 1//----- - - - - - -v

~

En conse cue ncia, el vecto r inicial A , resultante de los -+ -. -+

vec tores A x, A y, Az vendría exp resa do así:

A= A, .T+ Ay .T+ Az •k

Si observas la figura ante rio r verás qu e el módulo del ~

vec tor A corres po nde a la diagon al de un paralelep ípedo c~'yas a ristas so n, prec isamente , los módu los de A" Ay,

Az· Por ap licación del teorema de Pit ágoras en el espacio

tendremos que :

11

Si llam amos '7. , ~ Yy a Jos cosenos directores de A , fácil­mente se deduce de la figur a que :

A x = A cos '7.

A y = A cos ~

A7. = A cos y

De donde:

Ax cos = A A y

cos = A Az cos = A

lo;jclllplus:

-. 1. Dado el vector A = 3 i - 2 j + 4 k, deducir su módulo y

el valor de sus cosenos directores.

Soluci ón:

3 - 2 4 cos ot = cos ~ = cos ~'

V29 V29 V29

A = V 9 + 4. + 16 = V29

2. Demostrar que la suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es igual a l .

7. Producto escalar de dos vectores

Se denomina así al número escalar que resulta de multiplicar entre sí los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman sus direcciones . (Fig. 15).

Matemáticamente se representa así:

[ A · B = A' B ' cos a I Recordando las propiedades de la multiplicación

y teniendo en cuenta los valores de cos O y cos 90 fácilmente podrás deducir que:

a ) El producto escalar cumple la propiedad conmu­tativa .

A . B = B . A = A . B . COS '1

Fig, 1-15

12

b) El producto escalar de dos vectores perpendicula­res es CERO

A . B = A . B . cos 90 = ()

e) El producto escalar de dos vectores tiene su máxi­mo valor cuando dichos vectores son de la misma dirección y sentido: .

A . B = A . B . cos O A ·B

Pa ra calcular el pr oducto escalar de dos vec to res , cua ndo és tos vien en expresad os en fun ción de los vecto­res¡ r. k, basta aplicar la siguiente expresión , que just i­ficarem os ade cuadame nte en cursos superiores :

--> -. A . B = A xBx + A vBy + A /B ,

Ejem plo:

Dados los vectores:

A=3i +j - 5k

8= 27- 6T+ 3k

a) Calcula r su producto escalar. b) Deducir el valor del módulo de A y el de-.B . -. c) ¿Qué ángulo forman entre sí los vectores A y B?

Solucl órn

a) ::\,8= 3·2 +1 (-6)+(-5)-3 = 6 -6 - 15 = -15 b) A ~ V 9 + 1 + 25 ., V35 = 5,9

B = V 4 + 36 + 9 = V49= 7 e) A'S = A·B ·cos a

- 15 = V 35·7·cos ot

De donde

- 15 ot = ar e cos - - ­

7 V35

7.1 . Aplicaciones a la Fisica

Hay diversas magnitudes físicas que se definen , precisamente, como el producto escalar de otras y su expresión matemática co r respo nd e a la del pro­ducto escalar.

Así , por ejemplo, has estudiado el cu rso pasado el trabajo . Allí viste que su expresión matemática es:

T = F . s . COS 7­

y qu e co rres po nde a la del pr oducto esca la r de l (l ~

vec to res fuerza y dcsplu zurnicnro :

Recuerda :

- ¿Cuá ndo tina fuerza no realiza trabajo ? Cuando es perpendicular al desplazamiento. Efectivamente : el producto escalar de dos vectores per ­pendiculares es cero.

- ¿Cuándo es máximo el trabajo real izado por una fuerza ? Cuando su dirección y sentido co inciden con los del desplazamien to o En efecto : se cumple lo expuesto en c).

8. Producto vectorial de dos vectores

Se denomina así el vector cuyo módulo es igual al producto de los módulos por el seno del ángulo que forman sus direcciones; cuya dirección es la de la perpendicular al plano que contiene a ambos vectores y cuyo sentido viene dado por la regla de Maxwel1 en el supuesto de que el primer vector vaya hacia el segu ndo por el camino más corto . (Fig. 16).

EL PRODUCTO VECTORIAL NO TIENE PROPIEDAD CONMUTATIVA

I ---= eP A 11 I

P = A·e ·senO( I

e) El producto vectorial de dos vectores tiene su máximo valor del módulo cuando son perpendi­culares, puesto que sen 90 = l

8.2. Aplicaciones a la Física

Igu al que sucedía con el producto escalar, hay diversas magnitudes fisicas que se definen como pro­ducto vectorial de otras. Así , por ejemplo , el mo­mento de una fuerza respecto a u n punto -que ya estudiaste el curso pasado- es una magnitud vecto ­rial definida como un producto vectorial.

9 . Momento de un vector respecto a un punto

Consideremos el vector A (F ig. 17) cuyo origen respecto al punto O viene determinado por el radio­vector -o vecto r posición- r.

Se denom ina momento del vector A respecto al punto O a l producto vectorial del radiovector r por el vector A.

Recuerda que como el producto vecto rial no tiene propiedad conmutati va , no puede alterarse el orden de los factores dado en esta definición .

o

13

Flg. 1·17

-- ­M= r"A

M = r ·A · sen o( = A ·d

Matemát icamente expresa ría mos así el vec to r mo­mento :

I M==rAA

y el valor de SU módulo sería :

1M == r . A ' sen ':1.

- - ­P = B 11 A

P =A ·B ·seno<

:-r-------~

*':• A

Fig. 1·16

El producto vectorial de dos vectores se representa así:

P=A /\ B

El módulo del vector P vendría dado por:

1P = A . B . sen 1. I

8.1. Propiedades

a) El producto vectorial de do s vectores no posee la propiedad conmutativa, como puede verse en la figura 16.

b) El producto vectorial de do s vecto res de la misma dirección es CERO.