IntroducciónIntroducción

La inferencia estadística es el procedimiento mediante el cual se llega a inferencias acerca de una población con base en los resultados obtenidos de una muestra extraída de esa población.

El proceso de estimación implica calcular, a partir de los datos de una muestra, alguna estadística que se ofrece como una aproximación del parámetro correspondiente de la población de la cual se extrajo la muestra.

La estimación puede ser puntual o por intervalo.

La Inferencia estadística puede dividirse en dos grandes áreas que son la estimación y la prueba de hipótesis.

Estimación puntualEstimación puntual

Una estimación puntual es un valor aproximado de un parámetro de la población.

1.7x 0.07s

Un estimador es la formula mediante la cual se calcula dicha estimación.

1

1 n

ii

x xn

es un estimador de

2

1

( )

1

n

ii

x xs

n

es un estimador de

es una estimación de

es una estimación de

Estimación puntualEstimación puntual

Si X es una variable con distribución normal, la mediana y la moda podrían ser también estimadores de

La desviación absoluta media también puede ser un estimador de

¿Cuál es el mejor estimador de cada uno de estos parámetros?

El estimador de un parámetro debe tener una distribución muestral centrada alrededor de y la varianza del estimador debe ser mínima.

Estimación puntualEstimación puntual

Propiedades deseables de los estimadores:Propiedades deseables de los estimadores:

Para que una estimación sea “buena” esta debe provenir de un estimador que tenga las siguientes propiedades:

• Ser un estimador insesgado

• Ser un estimador consistente

•Ser un estimador eficiente

• Ser una estadística suficiente

Antes de definir estas propiedades se definirá una cantidad muy importante que es el error cuadrático medio de un estimador.

Estimación por intervalos (intervalos de confianza)Estimación por intervalos (intervalos de confianza)

Supóngase que se desea estimar la media de alguna población con distribución normal.

Para esto se extrae una muestra aleatoria de tamaño n de la población y se calcula , que se utiliza como una estimación puntual de .

Aunque es un buen estimador de , no puede esperase que sea igual a .

De hecho, si se tomara otra muestra de tamaño n de la misma población se obtendría otro valor de .

xx

x

¿Cuál de estas estimaciones es mejor?

No podemos decir que una sea mejor que otra, son dos observaciones de una misma variable aleatoria.

Estimación por intervalos (intervalos de confianza)Estimación por intervalos (intervalos de confianza)

Resulta entonces más conveniente estimar mediante un intervalo que muestre la magnitud probable de

Para construir un intervalo de confianza se requiere conocer la distribución muestral del estadístico.

Intervalos de confianza para la media poblacional Intervalos de confianza para la media poblacional

De acuerdo con el teorema del límite central, si se muestrea a partir de una población con distribución normal, la distribución de la media muestral es normal con media igual a la media de la población, y una varianza igual a .

x2x

n

2

Intervalos de confianza para la media poblacional Intervalos de confianza para la media poblacional

n

2n

2

0.95

1x2x

3x4x

5x6x

0.025 0.025

El 95% de todos los intervalos de la forma

contienen a

n

xn

x

2,2

1-

/2 /2

1- se denomina nivel de confianza y se denomina nivel de significancia

Intervalos de confianza para la media poblacional Intervalos de confianza para la media poblacional

1-

/2 /2

nz

2 n

Z 21

En general, un intervalo del 100(1-)% de confianza para está dado por

2 1 2,x z x zn n

Intervalos de confianza para la media poblacional Intervalos de confianza para la media poblacional

Sin embargo, generalmente el valor de es desconocido. Puede entonces sustituirse por s. Cuando la distribución de la población es normal o cuando el tamaño de la muestra es grande (n>30) la distribución de

ns

x

es aproximadamente normal estándar y un intervalo de confianza para

está dado por

n

szx

n

szx 2121 ,

Intervalos de confianza para la media poblacional Intervalos de confianza para la media poblacional Ejemplo:Con el fin de estimar el peso medio de las sierras del Pacífico se toma una muestra de 45 sierras, obteniendo un peso medio de 1.4 kg. y una desviación estándar de 0.35 kg. Construya un intervalo de 90% de confianza para .

kgx 4.1 kgs 35.0 45n 1.0 05.021.0

2

95.005.0121

45

35.04.1,

45

35.04.1 95.095.0 zz

n

szx

n

szx 2121 ,

052.06449.14.1,052.06449.14.1 6449.195.0 z

085.04.1,085.04.1 48.1,31.1

Intervalos de confianza para la media poblacional Intervalos de confianza para la media poblacional

No obstante, cuando el tamaño de la muestra es pequeño (n<30) pero proviene de una población con distribución normal

ns

x

tiene una distribución t de student con n-1 grados de libertad

1,2 nt 1,21 n

t

1-

1t2t

/2 /2

Intervalos de confianza para la media poblacional Intervalos de confianza para la media poblacional

Luego, un intervalo de 100(1-) para está dado por

1,211,2

nn t

ns

xt

1,211,2 nn t

nsxt

ns

1,211,2 nn tn

sxtn

sx

1,211,2 nn tn

sxtn

sx

,1,21,21 nn tn

sxtn

sx 21

2 tt

1,211,21 nn tn

sxtn

sx

1,211,21 , nn t

nsxt

nsx

dado que

Intervalos de confianza para la media poblacional Intervalos de confianza para la media poblacional

8609.2033.095.1,8609.2033.095.1

0959.095.1,0959.095.1

046.2,85.1

Determinación del tamaño de la muestra para estimar Determinación del tamaño de la muestra para estimar

n

szx

n

szx 2121 ,

El objetivo de los intervalos de confianza es obtener intervalos estrechos de alta confiabilidad.

Si observamos el intervalo de confianza para la media

Se ve que la amplitud del intervalo está dada por

n

sz 21 =(coeficiente de confibilidad X error estandar

Si se fija el coeficiente de confiabilidad, la única forma de reducir la amplitud del intervalo es aumentando el tamaño de la muestra, n.

Determinación del tamaño de la muestra para estimar Determinación del tamaño de la muestra para estimar

Supóngase que se desea un intervalo de amplitud 2d, donde

d=(coeficiente de confibilidad X error estandar

Si el muestreo va a ser con reemplazo a partir de una población infinita (o muy grande), entonces

nzd

21

De donde puede despejarse n, como:

2

22

d

zn

Determinación del tamaño de la muestra para estimar Determinación del tamaño de la muestra para estimar

Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo a partir de una población finita, se requiere la corrección por población finita, entonces

121

N

nN

nzd

De donde:

222

22

1

zNd

Nzn

Sin embargo, en esta formula se requiere que se conozca entoncesdebe obtenerseuna estimación a priori de 2 mediante uno de los siguientes procedimientos:

Determinación del tamaño de la muestra para estimar Determinación del tamaño de la muestra para estimar

• Extraer una muestra piloto de la población y utilizar la varianza estimada como una estimación de 2. La muestra piloto puede tomarse como parte de la muestra final.

• Puede contarse con estimaciones de la varianza obtenidas en estudios previos similares (literatura …)

•Si se puede suponer que la población en estudio tiene una distribución normal , puede utilizarse el hecho de que el recorrido es aproximadamente igual a 6 desviaciones estándar y calcular

6ˆ R

Este procedimiento requiere de un conocimiento aproximado de los valores mínimo y máximo de la variable en estudio.

Determinación del tamaño de la muestra para estimar Determinación del tamaño de la muestra para estimar

Ejemplo:

Se desea estimar el peso promedio del marlin. Si se sabe que los más pequeños pesan 40 kg. y los mayores 150 kg.

¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra que nos permita estimar el peso medio con un rango de error de kg. y =0.05?10

b) Si en la región quedan aproximadamente 1500 marlins, ¿cuál sería el tamaño de la muestra?