Introdução a Sistemas de Computação Digital€¦ · Tópico 1 – Introdução a Sistemas de...

Introdução a Sistemas de Computação Digital 1 Preliminares ....................................................................................................................................................................1 2 Visão Geral da Organização de um Computador ...........................................................................................................2 3 O papel da computação...................................................................................................................................................6 4 Computação digital.........................................................................................................................................................6

4.1 Duas imagens digitalizadas (o compromisso do espaço)...........................................................................................7

4.2 Analógico × Digital....................................................................................................................................................8 4.3 Princípios de computação analógica ..........................................................................................................................9 4.4 O determinismo do mundo digital ...........................................................................................................................12

5 Algoritmos ....................................................................................................................................................................14 5.1 Exemplo de um procedimento que não é um algoritmo ..........................................................................................15

6 Especificação de algoritmos e fluxo de controle ..........................................................................................................16 7 Resolução de um problema usando computador ..........................................................................................................19 8 Computabilidade...........................................................................................................................................................21 9 Factibilidade computacional.........................................................................................................................................22 10 Complexidade computacional: temporal e espacial .....................................................................................................23

10.1 Problemas NP e NP-completos..........................................................................................................................26 10.2 Quantificando a razoabilidade temporal e espacial ...........................................................................................32

10.3 O produto de duas matrizes N × N.....................................................................................................................34 10.4 O problema do caixeiro viajante........................................................................................................................35 10.5 O problema da mochila (knapsack problem).....................................................................................................37

11 O que fazer frente a um problema NP-completo ..........................................................................................................38 11.1 O problema do quadrado mágico.......................................................................................................................41

12 Cálculo de complexidade computacional temporal......................................................................................................44 13 Referências ...................................................................................................................................................................51

EA869 – Prof. Von Zuben DCA/FEEC/Unicamp

Tópico 1 – Introdução a Sistemas de Computação Digital 1

1 Preliminares

• objetivo: familiaridade com a organização, arquitetura e fluxo de informação

em computadores digitais.

• enfoque: genérico, sem evidenciar uma máquina específica ou uma linguagem

de programação em particular.

• resultado esperado: entender o computador como uma ferramenta de

processamento de informação de propósito geral e de aplicação praticamente

irrestrita, embora com potencial finito.

• conseqüência prática: maior capacidade de análise e uso de recursos

computacionais no contexto de atividades que envolvem processamento de

informação, simulação, modelagem e solução de problemas.

• lema: “Conhecer para conquistar.”



2 Visão Geral da Organização de um Computador • computador = unidade central de processamento + memória principal +

interface de entrada/saída

• unidade central de processamento (UCP) = processador da máquina

• periféricos: teclado, monitor, disco rígido (memória secundária), mouse, impressora, modem, etc.

Computador(processamento earmazenagem de

informação)

Linhas decomunicação com

os periféricos

Figura 1: O computador (nível 3)



• arquitetura padrão von Neumann: memória e processamento em dispositivos físicos distintos, mas com armazenagem de instruções e dados no mesmo dispositivo de memória.

Computador

Computador

I/O

Barramentos dosistema

MemóriaPrincipal

Unidade Centralde Processamento




Computador

Unidade Central deProcessamento

Registradores

Barramentosinternos

Unidade deControle

UnidadeAritmética e

Lógica

UCPI/O

Memória

Barramentos




UCP

Unidade deControle

Lógicaseqüencial

Registradorese decodificadores

Memóriade

Controle

UC

Registra-dores

UAL

Barramentos




3 O papel da computação

• no princípio: cálculo (realização de operações aritméticas);

• hoje: máquina virtual (cálculo, simulação, lógica, armazenagem e

processamento de informação, automação industrial, lazer, etc).

4 Computação digital

• um computador digital é uma máquina que recebe informação do mundo

exterior, converte esta informação na forma binária e a processa de acordo

com um conjunto predeterminado de operações, fornecendo como saída a

informação processada.

• recursos multimídia: armazenagem, transmissão e processamento de informação em representação binária.

! Como digitalizar uma imagem ou seqüência sonora?

! Sinais analógicos (por que analógico?) × digitais (por que digitais?)



4.1 Duas imagens digitalizadas (o compromisso do espaço)



4.2 Analógico × Digital

• relógio analógico: a hora é indicada por uma analogia entre a posição angular contínua dos ponteiros e a escala de horas e minutos definida ao longo dos 360o (informação fornecida por uma medida de uma grandeza física que tem com uma segunda grandeza física uma relação biunívoca).

• relógio digital: um contador binário é empregado para atualizar o estado (emitindo ou não emitindo luz) dos leds que compõem o mostrador numérico.



4.3 Princípios de computação analógica

• considere o seguinte circuito elétrico:

• trata-se de um sistema dinâmico que apresenta uma determinada função de

transferência de entrada-saída.

• considere agora o seguinte sistema hidráulico, composto por tanques

comunicantes:



onde Q e iH (i=1,2) são fluxo e altura em estado estacionário.

• é possível mostrar que as funções de transferência do sistema hidráulico e do

circuito elétrico são (quase) idênticas, mesmo tratando-se de sistemas

dinâmicos de natureza distinta.

• há também uma correspondência um-para-um entre alguns de seus

parâmetros.



• sendo assim, dado um dos sistemas dinâmicos apresentados, existem valores

que podem ser adequadamente definidos para os parâmetros do outro sistema

de modo que, para uma mesma condição inicial, o comportamento ao longo

do tempo seja idêntico para ambos os sistemas.

• além disso, o circuito elétrico apresenta as seguintes propriedades quando

comparado ao sistema hidráulico (e a muitos outros sistemas dinâmicos):

# é muito mais simples e econômico de ser implementado;

# seus parâmetros podem ser ajustados com grande precisão e sem muito

esforço ou custo;

# as variáveis que retratam a evolução de seu estado no tempo podem ser

facilmente medidas.

• logo, é possível estudar o comportamento dinâmico do sistema hidráulico (e

de muitos outros sistemas), por analogia. → Computação Analógica



4.4 O determinismo do mundo digital

• os computadores se comportam de modo diferente do cérebro humano devido

à sua organização e não apenas pelo fato de representarem informação na

forma binária.

• o computador digital é a mais determinística das máquinas inventadas pelo

homem: existe um domínio praticamente completo sobre o estado da máquina

e sua evolução no tempo.

• bits → redundância → insensibilidade a alterações físicas dos componentes.

• computadores digitais: executam automaticamente, a cada passo do processo de computação, correções da trajetória de seu estado físico por meio da representação binária do estado interno de seus componentes.

• computadores analógicos: não são capazes de realizar correção de trajetória, sendo que a relevância dos resultados produzidos é diretamente proporcional à acurácia dos componentes e inversamente proporcional à extensão dos cálculos.



• neurocomputadores: embora executem cálculos analógicos, a trajetória do estado interno dos neurocomputadores é apreendida em uma base local e atraída pela solução do problema (associada àquela base). Embora muitos resultados já tenham sido obtidos, o desenvolvimento de neurocomputadores ainda se encontra em seus primórdios.

Computadores digitais Computadores analógicos

Neurocomputadores

trajetóriaideal

trajetória real comcorreção

estadoinicial

estado final= solução

um passocomputacional

trajetóriaideal

trajetória real semcorreção

estadoinicial


trajetóriaideal

trajetória real é atraídapelo estado final

estadoinicial




5 Algoritmos

Como implementar o processamento computacional?

• um computador digital só pode realizar tarefas previamente definidas;

• procedimento: conjunto finito de operações ordenadas, sendo estas operações

também finitas.

• propriedades importantes de um procedimento (ou uma seqüência de

procedimentos):

# a descrição do procedimento deve ser finita;

# a tarefa genérica de qualquer procedimento é processar dados: dados de

saída são produzidos a partir do processamento dos dados de entrada;

# um procedimento pode ser subdividido em operações atômicas,

denominadas instruções, passíveis de execução em tempo finito.

• algoritmos: procedimentos que terminam após um número finito de passos.



5.1 Exemplo de um procedimento que não é um algoritmo

• cálculo do somatório de números inteiros de 0 até m (m deve ser par!).

m = número x = 0

soma = 0

x = m?

soma = soma + (x+1) + (x+2)

x = x + 2

fim sim

não

início



6 Especificação de algoritmos e fluxo de controle

• fluxo de controle: seqüência, seleção e repetição

seqüência seleção repetição

instrução 1

instrução 2

instrução n

.

.

.

instrução 1

seleção

instrução 2.2 instrução 2.1

.

.

.

.

.

.

instrução ou grupo de intruções p

instrução p+1

.

.

.

seleção

.

.

.



• todo algoritmo já concebido, em concepção e a ser concebido para o tratamento de problemas computáveis é passível de descrição com base em composições destes 3 módulos de fluxo de controle.

Teste condicional (ramificação, seleção)

• possibilidade de selecionar (optar) entre comandos exclusivos: IF condição THEN comando_1; ELSE comando_2;

Seleção de alternativas

• o valor atribuído a uma variável causará a seleção de um dentre um certo número de comandos opcionais:

CASE variável [variável = estado_1] THEN comando_1; [variável = estado_2] THEN comando_2; ⋅⋅⋅ [variável = estado_n] THEN comando_n;



Iteração

• repetição de blocos de comandos até que uma condição seja satisfeita:

REPEAT comando_1; comando_2; ⋅⋅⋅ comando_n; UNTIL condição

Recursão

• um algoritmo recursivo é um algoritmo que chama a si próprio.

• Exemplo clássico:

fatorial(N)

IF N=0,

THEN N=1; ELSE N=N*fatorial(N−1);

END



Modularidade

• divisão das etapas do algoritmo em módulos ou blocos funcionais.

• este é um dos objetivos da Engenharia de Software, responsável pela redução

de custos na implementação e manutenção de produtos de software, que

geralmente correspondem a projetos de grande escala, contando com o

envolvimento de várias equipes de profissionais. Embora as equipes interajam,

a maior parte do tempo devem operar de modo independente.

7 Resolução de um problema usando computador

• definir um algoritmo que resolva o problema (computabilidade);

• verificar a factibilidade da execução do algoritmo (complexidade);

• expressar o algoritmo em uma linguagem processável pelo computador;

• executar o programa no computador.



Algoritmo

Programa dealto nível

programa emlinguagem

de máquina

Execução

concepção

Resolução conceitual do problema

Linguagem padrão (procedural ou não-procedural)

Linguagem específica do computador (procedural)

Hardware (circuitos e sinais físicos)

Decodificação (hardware ou firmware)

Tradução (compilador, interpretador)

programação



8 Computabilidade

• um problema é computável se existe um procedimento que o resolva em um

número finito de passos, ou seja, se é possível fornecer um algoritmo que leve

à sua solução.

• para mostrar que a solução de um dado problema não é computável, é

necessário mostrar que não existe nenhum algoritmo capaz de obtê-la.

• um dos mais surpreendentes resultados da teoria de algoritmos é que existem

problemas claramente definidos que não podem ser resolvidos em

computador, ou seja, não existe nenhum algoritmo de solução para eles.

• exemplos de problemas não-computáveis (dentro da própria computação):

# decidir se um programa é livre de laços infinitos para qualquer conjunto de dados de entrada;

# verificar a equivalência de dois algoritmos para qualquer conjunto de dados de entrada.



9 Factibilidade computacional

• não basta assegurar que um algoritmo termine em um número finito de passos. É necessário que este número finito de passos possa ser executado em um tempo razoável e ocupe uma quantidade razoável de memória, levando à factibilidade computacional.

• a noção de razoabilidade está bem definida dentro da teoria de complexidade computacional, levando aos conceitos de complexidade temporal e espacial.

Todos os problemas

Problemas computáveis

Problemasfactíveis



10 Complexidade computacional: temporal e espacial

• a análise de complexidade computacional é fundamental no processo de

definição de algoritmos mais eficientes para a solução de um dado problema.

• apesar de parecer contraditório, mesmo com o aumento da velocidade e

capacidade de memória dos computadores, torna-se cada vez mais importante

desenvolver algoritmos mais eficientes. Isto se deve ao aumento continuado

do “tamanho” dos problemas a serem resolvidos, conduzindo a uma ampliação

sem precedentes da taxa de requisição por mais e mais capacidade de

processamento e memória.

• a complexidade computacional está relacionada ao desempenho de um

algoritmo em relação à utilização de recursos computacionais (tempo de

processamento e espaço de memória).



• como a requisição de processamento e memória pode ser função dos dados de

entrada, a complexidade vai estar associada ao pior caso.

• complexidade intrínseca: lida com as questões fundamentais na determinação

da dificuldade intrínseca de problemas computáveis, em termos de uso de

recursos computacionais (processamento e memória).

• complexidade algorítmica: está associada à complexidade dos algoritmos

empregados na solução de um problema computável. Podem existir

algoritmos com diferentes complexidades computacionais, mas desenvolvidos

para produzir a solução de um mesmo problema.

• um algoritmo ótimo é aquele cuja complexidade (complexidade algorítmica)

iguala a complexidade intrínseca do problema.

• o melhor algoritmo para a solução de um dado problema é aquele com a menor

complexidade (algorítmica), dentre os algoritmos já propostos.



• deste modo, toda complexidade algorítmica (seja ela temporal ou espacial) vai

ser maior ou igual à respectiva complexidade intrínseca de um problema

computável.

complexidade crescente complexidade intrínseca

do problema (pode não ser conhecida)

complexidade de um algoritmo proposto para

resolver o problema

complexidade de um outro algoritmo proposto para

resolver o problema

melhor algoritmo já concebido

limite inferior para a complexidade algorítmica

(algoritmo ótimo)

• repare que a complexidade intrínseca de um problema computável pode ser

conhecida mesmo sem se conhecer um algoritmo ótimo para a solução.



10.1 Problemas NP e NP-completos

• para se medir a complexidade de um algoritmo, é necessário definir

inicialmente o “tamanho” N do problema computável.

• exemplos de valores de N para alguns problemas: número de linhas de uma

matriz quadrada a ser invertida, comprimento de uma lista a ser pesquisada ou

ordenada, etc.

• é possível dizer que um problema é computacionalmente tratável se existe um

algoritmo de solução que, quando recebe uma entrada de tamanho N, encontra

a solução do problema executando, no pior caso, uma quantidade de instruções

simples que é um polinômio em N.

• vale ressaltar que esta definição não considera o esforço associado à

concepção do algoritmo a ser implementado.



• além da complexidade temporal, existe a questão do uso de memória

(complexidade espacial), que deve obedecer a critérios análogos para garantir

a tratabilidade ou factibilidade computacional.

• por outro lado, uma das maneiras mais aceitas de provar que um problema é

computacionalmente intratável é demonstrar que ele é redutível a um problema

da classe NP-completo, conforme as definições a seguir:

# problema não-deterministicamente polinomial (NP): a melhor solução até

então conhecida está associada a algoritmos de complexidade exponencial

ou até superior. No entanto, não se sabe se existem algoritmos de solução

mais rápidos, capazes de resolver o problema em tempo polinomial;

# problema não-deterministicamente polinomial completo (NP-completo): é

um problema representante de uma classe de problemas NP tal que todo

problema NP da classe pode ser redutível a ele em tempo polinomial.



Assim, um algoritmo para um problema NP-completo é universal, no

sentido de poder ser utilizado como uma subrotina para qualquer problema

NP de sua classe.

• para mostrar que um novo problema é NP-completo, é suficiente mostrar que

ele é um problema NP e que um problema qualquer já sabido ser NP-completo

é redutível a ele em tempo polinomial.

• dado um candidato à solução de um problema NP, a comprovação de que ele é

realmente uma solução ocorre em tempo polinomial. Portanto, o termo não-

determinístico aqui não implica aleatoriedade, mas apenas a ausência de regras

que tomem a própria solução como o candidato a ser testado.

• um problema A é dito ser redutível a um problema B se o problema A puder ser

resolvido usando um algoritmo que resolve o problema B.

• quando A é redutível a B em tempo polinomial, pode ocorrer o seguinte:



# se existir um algoritmo em tempo polinomial para resolver o problema B, então o problema A também terá um algoritmo em tempo polinomial;

# se for comprovado que o problema A não pode ser resolvido em tempo polinomial, então o problema B também não poderá ser resolvido em tempo polinomial.

• logo, se um algoritmo de complexidade polinomial puder ser encontrado como

solução para um problema NP-completo de uma dada classe, então todos os

problemas NP desta classe deixam de ser NP e passam a ser problemas com

complexidade polinomial.

• por outro lado, se for provado que um dos problemas NP de uma dada classe

requer um algoritmo de solução que apresente complexidade maior que a

polinomial (ou seja, tem complexidade intrínseca maior que a polinomial),

então todos os problemas desta classe irão requerer ao menos esta mesma

complexidade, deixando de ser problemas NP.



• o conceito de NP-completude foi formulado por COOK (1971), que demonstrou

que a verificação da veracidade de uma fórmula lógica é um problema NP-

completo. KARP (1972) estendeu o conjunto de problemas NP, identificando

outros 20 problemas de interesse prático. Hoje, milhares de problemas já

foram identificados como sendo NP (GAREY & JOHNSON, 1979).

complexidade crescente complexidade intrínseca do

problema é desconhecida (não se sabe se é polinomial

ou maior que polinomial)

complexidade de um algoritmo proposto para

resolver o problema (maior que polinomial)

complexidade de um outro algoritmo proposto para

resolver o problema (maior que polinomial)

?

Figura 5: Complexidades intrínseca e algorítmica para problemas NP



NP

NP-completo

NP

NP NP

NP NP

NP

NP NP

NP-completo

NP-completo

NP-completo

NP-completo

NP-completo

NP-completo

NP-completo

Classe 1 Classe 2

Figura 6: Problemas NP e classes de problemas NP-completos (as setas indicam ‘redutível a, em tempo polinomial’)

• para classificar qualquer um dos problemas NP ainda não classificados, basta

reduzir um problema qualquer dentre os NP-completos ao problema NP em

questão, em tempo polinomial.



10.2 Quantificando a razoabilidade temporal e espacial

• seja N uma grandeza que expressa o tamanho de um problema e c uma

constante (que pode assumir um valor não negativo arbitrário). Pode-se então

definir, em relação ao tempo de máquina e/ou espaço de memória requerido

pelos respectivos algoritmos de solução:

# problemas computacionalmente tratáveis: o melhor algoritmo de solução apresenta complexidade polinomial O(Nc) ou menor, como por exemplo O(log2N);

# problemas computacionalmente intratáveis: o melhor algoritmo de solução apresenta complexidade exponencial O(cN), fatorial O(N!), ou até maior. São tratáveis apenas para valores pequenos de N.

• repare que, dentre os problemas computacionalmente intratáveis, encontram-

se os problemas não-deterministicamente polinomiais (NP) e problemas já

sabidos terem complexidade intrínseca maior que polinomial, ou seja,

problemas não-polinomiais.



• considerando que existe um tempo específico para se executar uma operação

em um computador digital, a tabela a seguir mostra como evoluem os tempos

de execução hipotéticos (em segundos) para problemas com diferentes

complexidades computacionais.

N O(log2N) O(N) O(N2) O(2N)

10 0,003322 0,01 0,1 1,024

100 0,006644 0,1 10 1,2677×1027

1000 0,009966 1 103 1,0715×10301

10000 0,013288 10 105 −

100000 0,016610 100 107 −



• para qualquer c > 1, O(N!) > O(cN) > O(Nc) para valores de N suficientemente

elevados. Ou seja, com o aumento do tamanho dos problemas, algoritmos com

complexidade fatorial se tornam seguramente mais difíceis de resolver em

computador que algoritmos com complexidade exponencial, enquanto estes

últimos se tornam mais difíceis que algoritmos com complexidade polinomial.

• a notação big-Oh indica complexidade assintótica, de modo que algoritmos

com requisição de tempo e/ou memória, por exemplo, na forma

7N3+4N+log3N, são de complexidade O(N3).

10.3 O produto de duas matrizes N × N

• problema com complexidade polinomial • clássico: O(N3); atual O(N2,376); limite inferior O(N2) • clássico (exemplo para N = 2):

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=

⋅

=⋅2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

qpqpqpqp

qpqpqpqp

qq

qq

pp

ppQP



10.4 O problema do caixeiro viajante

• problema de decidibilidade (NP-completo): dados um conjunto de cidades, a

matriz de custos de se viajar de uma cidade a outra e uma constante X, existe

uma rota de custo inferior a X que parta da cidade de origem, passe por todas

as demais cidades uma única vez e retorne em seguida à cidade de origem?

• problema de otimização associado (NP-difícil): dados um conjunto de cidades

e a matriz de custos de se viajar de uma cidade a outra, qual é a rota de custo

mínimo dentre todas as que partem da cidade de origem, passam por todas as

demais cidades uma única vez e retornam em seguida à cidade de origem?

• exemplos de casos práticos: onde posicionar depósitos para distribuição de

produtos, como organizar os componentes em um chip, como maximizar a

eficiência de empresas que trabalham com expedição de produtos, etc.



Problema do Caixeiro Viajante (Traveling Salesman Problem)

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



10.5 O problema da mochila (knapsack problem)

• problema de decidibilidade (NP-completo): dados uma lista de números e o

tamanho de uma mochila, existe algum subconjunto de números da lista cuja

soma produza o tamanho da mochila?

Exemplo 1: Lista de Números: 4 7 13 18 25 32 42 49 Tamanho da mochila: 89 Solução: Sim. O subconjunto é dado por: 4 18 25 42

Exemplo 2: Lista de Números: 4 7 13 18 25 32 42 49 Tamanho da mochila: 90 Solução: Não.

• problema de otimização associado (NP-difícil): dados uma lista de números e

o tamanho de uma mochila, encontre o subconjunto de números da lista cuja

soma é máxima, sob a condição de não exceder o tamanho da mochila.

• exemplo de casos práticos: alocação de recursos a projetos de pesquisa e

desenvolvimento; aquisição de produtos com limite de crédito, etc.



11 O que fazer frente a um problema NP-completo

• existem abordagens alternativas:

1. quando os problemas práticos são de tamanho pequeno: desenvolver um

algoritmo que seja suficientemente rápido para problemas de tamanho

pequeno, embora possa se tornar muito ineficiente com o aumento do tamanho

do problema.

2. quando existem casos especiais de importância prática: desenvolver um

algoritmo rápido, dedicado à solução de casos especiais do problema, mas que

podem não resolver o problema em sua formulação genérica.

3. quando algumas instâncias do problema apresentam características peculiares

que podem ser exploradas: desenvolver um algoritmo capaz de resolver

rapidamente instâncias do problema que apresentam estas peculiaridades,

embora possa ser ineficiente na ausência delas.



4. quando o problema é de otimização: desenvolver um algoritmo de

aproximação que sempre apresenta um execução rápida, mas que produz uma

solução que não necessariamente é a ótima. Em alguns casos, é possível obter

um limitante de pior caso, levando aos chamados algoritmos de aproximação

com custo garantido.

5. quando nenhuma das hipóteses anteriores for válida: desistir do tratamento do

problema.

• em resumo, a NP-completude elimina a possibilidade de se obter um algorit-

mo completamente satisfatório. Uma vez frente a um problema NP-completo,

é necessário direcionar esforços no sentido de objetivos mais factíveis.

• as estratégias de tratamento que vêm recebendo mais atenção nos últimos anos

estão vinculadas à alternativa 4, ou seja, aos algoritmos de aproximação na

forma de meta-heurísticas (GLOVER & KOCHENBERGER, 2003)



• a linha de argumentação acima está voltada para a necessidade de viabilizar a

solução de problemas práticos. No entanto, existem aplicações dentro da

computação que buscam justamente explorar a dificuldade algorítmica de

certos problemas NP-completos, no sentido de que quanto mais difícil for

chegar à solução, melhor.

• como um exemplo deste tipo de aplicação, podem ser mencionadas as

estratégias de criptografia que vinculam a quebra de código a algoritmos NP-

completos, de modo que a quebra de código se torna uma tarefa infactível.

• na verdade, muitos progressos realizados nos primórdios da computação

estiveram associados a mecanismos de criptografia e quebra de código

criptografado, destacando-se aqui as contribuições de Alan Turing,

considerado um dos pais da computação juntamente com von Neumann.



11.1 O problema do quadrado mágico

• há muitos séculos atrás, os chineses já haviam demonstrado que, para

quadrados de qualquer dimensão N, é possível encontrar uma permutação dos

inteiros de 1 a N2, nos campos do quadrado, de modo a garantir que as

seguintes somas sejam idênticas:

! soma dos elementos de uma linha qualquer;

! soma dos elementos de uma diagonal qualquer;

! soma dos elementos de uma coluna qualquer.

Exemplo: Quadrado 5 × 5 (todas as somas produzem 65)



• na literatura, é possível encontrar vários algoritmos capazes de resolver casos especiais

de quadrados mágicos, embora nenhum destes algoritmos valha para dimensões

genéricas. Todos estes algoritmos engenhosos, mas específicos, são exemplos práticos

da alternativa 2 apresentada acima.

• o único algoritmo exato e genérico o suficiente para valer para qualquer dimensão N é o

seguinte: teste todas as permutações possíveis, e fique com aquela que produza soma

idênticas (são duas possibilidades, visto que o transposto da solução também é solução).

• a complexidade algorítmica deste algoritmo exato é O([N2]!), levando à intratabilidade

para valores suficientemente elevados de N.

• a solução apresentada a seguir para o problema do quadrado mágico com dimensão

N = 30 foi obtida por uma meta-heurística associada à computação evolutiva

(RECHENBERG, 1994). Todas as somas produzem 13.515.

• note que, embora não garantam obter a solução, os algoritmos de aproximação podem

levar à solução de problemas estupidamente intratáveis por parte de algoritmos exatos.





12 Cálculo de complexidade computacional temporal

• dado um problema computável, o cálculo de sua complexidade inerente, quando possível, se dá por intermédio de processos indutivos;

• dado um algoritmo de solução para um problema computável, sua complexidade algorítmica é calculada pela detecção de etapas do processamento que correspondem a “gargalos” do processo de execução.

Exemplo 1: a xii

i

N−

=

+

∑ 1

1

1

BEGIN FOR i=1 to N DO BEGIN potencia_de_x = 1.0; N FOR j=1 to i DO potencia_de_x = potencia_de_x * x; N(N-1)/2 ← END term[i] = a[i+1]* potencia_de_x; N END soma = a[1]; FOR i=1 to N DO soma = soma+term[i]; N END



Busca linear em uma lista não-ordenada de tamanho N

• melhor caso: 1 teste

• média:

Seja pi a probabilidade de encontrar o elemento procurado após testar i

(i=1,...,N) elementos da lista. Como a probabilidade de um elemento qualquer da

lista ser o elemento procurado é dada por N

1 , então N

ipi = . Isto implica que o

número médio de elementos testados vai ser dado pela somatória das

probabilidades de se testar cada elemento da lista, usando busca linear. Isto

implica que: média = 2

1

1

+=∑=

N

N

iN

i

testes.

• pior caso: N testes.

• conclui-se então que a complexidade do algoritmo de solução é dada por O(N1).



Busca binária em uma lista ordenada de tamanho N

• estratégia (algoritmo):

1. fazer lista original ser a lista em vigor;

2. comparar o número procurado com o elemento central da lista em vigor;

3. Se for igual, FIM.

4. Se for menor, lista em vigor passa a ser a metade inferior da lista.

5. Se for maior, lista em vigor passa a ser a metade superior da lista.

6. Retorne ao item 2.

• se k é o número de comparações, então é necessário que NN k

k≥⇒≤ 21

2.

• isolando-se k, resulta: NkNk222 loglog2log ≥⇒≥ .

• assim, o número máximo de comparações vai ser dado por N2log1+ .

• conclui-se então que a complexidade do algoritmo de solução é dada por O( N2log ).



0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

N

O(N

1) e O(log2(N))



Multiplicação de dois números de N dígitos, onde N é potência de 2

• hipótese: o produto é uma operação bem mais custosa (computacionalmente)

que a soma.

• algoritmo clássico: complexidade O(N2)

• algoritmo alternativo (a, b, c, d são números com 2N dígitos):

caxN

+= 210 dbyN

+= 210

( ) cdbcadabxyNN +++= 21010

O problema foi reduzido ao cálculo de ab, cd, e

( ) ( )( ) cdabdbcabcad −−++=+

Sejam:

$ kN: tempo para calcular as somas necessárias, com k > 0 e constante;

$ T(N): tempo para calcular o produto de dois números com n dígitos.



$ logo:

kNN

TNT +

≅

23)(

243

2

Nk

NT

NT +

≅

483

4

Nk

NT

NT +

≅

...

Fazendo as substituições em T(N) resulta:

585.13log2log

232

22

3312

3

2

3...

2

3

2

3

2

3

233

2

3

4833

2

3

23

2433

23)(

22

kNkNkN

kNkNkNN

TkNkNN

kn

T

kNkNN

TkNN

kN

TkNN

TNT

N

≅≅

++

++

≅

++

+

=++

+

≅

++

=+

+

≅+

≅



• conclui-se então que a complexidade do algoritmo de solução é dada por

O(N1.585).

• exemplo:

79 7 × 4 = 28

× 43 9 × 3 = 27

237 (7+9)*(4+3) − 7*4 + 9*3 = 57

+ 316

3397 28

57

27 +

3397



13 Referências

COOK, S.A. “The Complexity of Theorem-Proving Procedures”, Proc. Third ACM Symposium on Theory of Computing, 151-158, 1971. DALTRINI, B.M., JINO, M. & MAGALHÃES, L.P. “Introdução a Sistemas de Computação Digital”, Makron Books do Brasil Editora Ltda., 1999. GAREY, M.R. & JOHNSON, D. “Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness”, Freeman and Co., 1979. GLOVER, F. & KOCHENBERGER, G.A. “Handbook of Metaheuristics”, Kluwer Academic Publishers, 2003. KARP, R.M. “Reducibility Among Combinatorial Problems”, in R.E. Miller & J.W. Thatcher (eds.) Complexity of Computer Computations, pp. 85-104, Plenum Press, 1972. LAWER, E.L., LENSTRA, J.K., RINNOOY KAN, A.H.G. & SHMOYS, D.B. “The Traveling Salesman Problem: A Guided Tour of Combinatorial Optimization”, Wiley-Interscience, 1985. LEWIS, H.R. & PAPADIMITRIOU, C.H. “Elements of the Theory of Computation”, Prentice-Hall, 1998. PAPADIMITRIOU, C.H. & STEIGLITZ, K. “Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity”, Prentice-Hall, 1982. RALSTON, A. & REILLY, E.D. “Encyclopedia of Computer Science”, Third Edition, IEEE Press, 1993. RECHENBERG, I. “Evolution Strategy”, in Zurada, J.M., Marks II, R.J., Robinson, C.J. (eds.) Computational Intelligence: Imitating Life, IEEE Press, pp. 147-159, 1994.

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