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Investigación de Operaciones I Programación lineal
Programación Lineal
1. Introducción. 2. Definición. 3. Supuestos y limitaciones. 4. Modelo matemático. 5. Transformaciones. 6. Formatos Canónico y Estándar. 7. Construcción de modelos de PL.
Introducción.
"Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen 'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones."
George B. Dantzig , el creador de la programación lineal, en una entrevista publicada en The College Mathematical Journal, marzo de 1986.
Se presenta a continuación, parte de esta entrevista:
"Considere el problema de asignar 70 hombres a 70
empleos. Una 'actividad' consiste en asignar el iésimo hombre al j-ésimo empleo. Las restricciones son dos: en primer lugar hay 70 hombres, cada uno de los cuales debe asignarse a un puesto, y en segundo lugar, cada uno de los 70 puestos existentes debe estar ocupado. El nivel de una actividad puede ser 1, lo cual indica que está siendo usada, o 0, lo cual significa que no. En consecuencia hay 2 x 70 =140 restricciones y 70 x 70
= 4900 actividades con 4900 variables
correspondientes de decisión uno-cero. Por desgracia
también hay factorial de 70 permutaciones o formas de hacer las asignaciones. El problema consiste en comparar éste factorial de 70 formas y elegir la que sea la óptima o 'mejor' según algún criterio previamente establecido."
"En el ejemplo anterior, factorial de 70 es un número muy grande. A fin de tener una idea de qué tan grande es, supóngase que se hubiese tenido una computadora IBM del tipo main-frame en el instante en el que ocurrió el Big Bang hace quince millones de años. ¿Habría podido, entre ese entonces y ahora, examinar
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todas las soluciones posibles? ¡No! No obstante, supóngase que se hubiese tenido una computadora aun más poderosa, una que pudiese examinar mil millones de asignaciones por segundo. La respuesta seguiría siendo negativa. Aun si la Tierra se llenase con computadoras cuyas rapideces fueran de nanosegundos, todas ellas trabajando en paralelo, la respuesta aun sería no. Sin embargo, si existiesen diez Tierras, todas llenas con computadoras del tipo mencionado, todas programadas en paralelo desde el instante del Big Bang hasta que el Sol fuese una esfera fría, entonces quizás la respuesta podría ser sí. Lo notable es que el método Simplex, con la ayuda de una computadora moderna, puede resolver este problema en una fracción de segundo" .
"Cuando el problema de la planeación fue formulado inicialmente para la Fuerza Aérea, no existía la noción exacta de una función objetivo, la idea de una meta claramente definida. Por supuesto, teníamos sólo un falso respeto hacia el concepto de objetivo. En el discurso de los militares escuché a menudo decir, 'nuestro objetivo es ganar la guerra'. En el mundo de
los negocios se escucharía quizás 'nuestro objetivo es
obtener ganancias'. Sin embargo, era imposible hallar
alguna relación directa entre la meta establecida y las
acciones emprendidas para tal fin."
"Si se estudiaba con cuidado el paso siguiente, se podía ver que algún líder había promulgado un montón de reglas básicas que, en su concepto, llevarían a la meta. Esto distaba mucho de lo que sería honestamente estudiar todas las combinaciones alternativas de las acciones a seguir para elegir la mejor combinación. Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen
'He considerado todas las alternativas'. Pero eso es
casi siempre basura. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones. Antes de
1947 era inconcebible pensar en la existencia de una
herramienta como la programación lineal que permitiese examinar millones de combinaciones. No había algoritmo o herramienta computacional que pudiera hacer eso".
"No descubrí el modelo de la programación lineal en un instante, sino que tuvo un proceso de evolución. Se dedicó casi un año completo a la tarea de decidir si mi modelo podría ser utilizado en la formulación de problemas prácticos de distribución de tiempos. Como usted sabe, la planeación y la distribución de tiempos se llevaron a una escala inmensa durante la guerra. El
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funcionamiento de la Fuerza Aérea fue equivalente al funcionamiento de la economía de toda una nación. En el proceso intervinieron cientos de miles de personas. La logística tuvo una magnitud difícil de entender para alguien que no haya estado allí. Mi colega Marshall Wood y yo revisamos miles de situaciones tomadas de nuestra experiencia durante la guerra."
"Las reglas básicas empleadas en la planeación se expresaban en un formato completamente distinto del que se emplea en la actualidad para formular un programa lineal. Lo que hicimos fue revisar estas reglas una por una y demostrar que casi todas ellas podían reformularse aceptablemente en un formato de programación lineal. Pero no todas. En algunos casos era necesario tomar en cuenta el carácter discreto de las variables y las no convexidades."
"Cuando formulé por primera vez mi modelo de programación lineal, lo hice sin una función objetivo. Estuve luchando por algún tiempo con la adición de reglas básicas para elegir de entre las soluciones factibles la que en algún sentido fuese 'óptima'. Pero pronto abandoné esta idea y la sustituí por la de una función objetivo a ser maximizada. El modelo que formulé no estaba hecho específicamente para fines
militares. Podía aplicarse a toda clase de problemas de
planeación; todo lo que tenía que hacerse era cambiar los nombres de las columnas y los renglones, y entonces era aplicable a un problema de planeación económica lo mismo que a un problema de planeación industrial."
Definición Una de las técnicas más difundidas de la (IO) es
la programación lineal (PL). El éxito de está
herramienta se debe al hecho de que es muy flexible
para describir un gran número de situaciones reales en
áreas tales como: militar, industrial, agrícola,
transporte, de la economía, de sistemas de salud, e
incluso en las ciencias sociales y de la conducta. Un
factor que ha ayudado a su amplio uso es la
disponibilidad de programas de computadora muy
eficientes para resolver problemas de grandes
magnitudes de PL.
De hecho, la PL debería considerarse como una
base importantes del desarrollo de otras técnicas de
la IO, incluidas la programación entera, la estocástica
la de flujo de redes y la cuadrática. Desde este punto
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de vista, el conocimiento de la PL es fundamental para
implementar estas técnicas adicionales.
Por lo que resulta interesante saber que
programación lineal y que no lo es, a continuación se
mencionan algunas definiciones.
“... trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.”
Frederick S. Hiller
“... abarca los métodos de solución de una gran variedad de problemas de la siguiente naturaleza: se tiene alguna cantidad (tal como un costo o un tiempo)que es una función lineal de cierto número de variables lineales. Se requiere, a su vez, que estas variables satisfagan un sistema de igualdades o desigualdades lineales. Es necesario hallar aquellos valores no negativos de las variables que hagan máxima o bien mínima a la cantidad dada.”
A. S. Basarov
“... es un problema de minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo de desigualdad, igualdad o ambas.”
o más variables, una relación que es directa y precisamente proporcional. El término programación se refiere al uso de ciertas técnicas matemáticas para obtener la mejor solución posible a un problema que involucra recursos limitados.”
Richad I. Levin
Supuestos y limitaciones
Debe recordarse que un modelo es una
abstracción de la realidad y no la realidad misma. Por
tanto, en cierto sentido es una representación
incompleta de la realidad, en donde se pretende ganar
entendimiento y definición de la estructura del
sistema en el cual se tiene el problema, cediendo a
cambio cierta cantidad de realidad. El modelo general
de la P.L., tiene entonces ciertas suposiciones y
limitaciones implícitas, de las cuales se debe estar
consciente. Una descripción breve de las más
importantes se presenta a continuación.
Suposiciones:
Mokhtar S. Bazaraa
“... es una técnica matemática para encontrar los mejores usos de la
organización. El adjetivo lineal se usa para describir la relación en dos
1.- Proporcionalidad.
La contribución individual que una variable Xj
aporta a la función objetivo es CjXj y al consumo del
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recurso en la "i-ésima" restricción es aijXj. La
proporcionalidad implica que, si por ejemplo, Xj es
duplicada en su valor, también se duplicarán en la
misma proporción sus contribuciones tanto al objetivo
como a las restricciones. Por tanto se supone que no
existe ahorros o costos extra por el uso adicional de la
variable Xj.
Cabe mencionar, que cuando se trabaje con un
problema en donde se tienen economías de escala, sólo
es necesario agregar algunas restricciones adicionales
al modelo general para cumplir con la suposición de
proporcionalidad.
2.- Aditividad.
Establece que la entrad y la salida de un recurso
en particular al conjunto de actividades, deben ser la
misma cantidad; o sea, que las actividades transforman
los recursos y no los crean o destruyen. Por ejemplo,
suponga que en un departamento de ensamblado se
disponen de 40 horas-hombre, mediante está
suposición se debe poder explicar mediante los niveles
de fabricación de X producto el consumo de este
tiempo, incluyendo la posibilidad de horas en ocio.
Esta suposición garantiza que la contribución
total tanto a la función objetivo como a las
restricciones, es igual a la suma de las contribuciones
individuales. Cuando en un problema dado no se tenga
la aditividad debe recurrirse a otra técnica de
programación matemática, dependiendo de cada caso
en particular.
3.- Divisibilidad.
Significa que las variables de decisión pueden
ser divididas a cualquier nivel fraccionario, de tal
manera que puedan tomarse valores no-enteros.
Si en un problema dado las variables sólo pueden
tomar valores enteros, es necesario aplicar una
herramienta más sofisticada que la P.L., llamada
programación lineal entera.
Si las suposiciones de proporcionalidad y
aditividad son combinadas se llega a la linealidad. Por
tanto puede decirse que la linealidad y la divisibilidad
son las suposiciones más importantes del modelo
general de P.L.
Cuando no sea posible construir un modelo lineal,
debe recurrirse a otra técnica llamada programación
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no-lineal, cuyo enfoque está fundamentado en la P.L. a
tal grado, que ésta ha sido aplicad con gran éxito en la
obtención de soluciones aproximadas a problemas de
programación no-lineal.
Limitaciones:
1.- Es un Modelo Determinístico.
El modelo de P.L. involucra únicamente tres tipos
de parámetros: cj, aij y bj; de ahí su sencillez y gran
aplicación. Sin embrago, el valor de dichos parámetros
debe ser conocido y constante.
Cuando el valor de los parámetros tiene un
cierto grado de riesgo o incertidumbre, puede
utilizarse la programación parámetrica, la
programación estocástica, o realizarse un análisis de
sensibilidad.
2.- Es un Modelo Estático.
En algunos modelos matemáticos se han
empleado con éxito las ecuaciones diferenciales, para
inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido,
puede decirse que la P.L. utiliza un modelo estático, ya
que la variable tiempo no se involucra formalmente.
Adquiriendo un poco de experiencia en la
formulación de modelos de P.L., puede imbuirse la
temporabilidad mencionada, con el uso de subíndices en
las variables.
3.- Es un Modelo que no Suboptimiza.
Debido a la forma en que se plantea el modelos
de P.L., o encuentra una solución óptima o declara que
ésta no existe. Cuando no es posible obtener una
solución óptima y se debe de obtener alguna, se
recurre a otra técnica más avanzada que la P.L., la cual
se denomina programación lineal por metas.
Modelo matemático
Para facilitar el planteamiento del modelo
matemático general de P.L., se hará uso de un ejemplo
sencillo.
Supóngase que una compañía maderera, fabrica
tres tipos de triplay, a los que llamaremos A, B y X. En
la tabla siguiente se resumen las horas de producción
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por unidad en cada una de las tres operaciones de
producción, además de información adicional para
resolver el problema.
Operaciones (horas)
Triplay
Utilidades
por unidad
I
II
III
Grado A
Grado B
Grado X
N$40
30
20
2
5
10
2
5
3
4
2
2
Máximo
tiempo
disponible
900
400
600
Finalmente, la compañía estima que puede
vender cuando mucho 13, 15 y 14 respectivamente.
¿Cuantas unidades se deben producir de cada
grado de madera?
El problema de la compañía puede plantearse de
la siguiente forma:
Variables (actividades) ======> fabricar triplay grado
A, B y X.
Es decir , se desea asignar sus recursos a las
posibles actividades de tal forma que su utilidad por
hora sea máxima (enfoque dual); o alternativamente,
desea determinar una programación de actividades
para máximizar la utilidad por hora, tomando
encuentra los recursos disponibles (enfoque primo).
Para facilitar la solución a este problema es
posible construir un modelo matemático. Sean
X1 = unidades de triplay grado A a fabricar.
X2 = unidades de triplay grado B a fabricar.
X3 = unidades de triplay grado X a fabricar.
entonces el objetivo de la compañía puede plantearse
como
máximizar:
Objetivo ======> maximizar la utilidad / hora
Restricciones (recursos) ===> a) tiempo disponible
donde
X0 = 40X1 + 30X2 + 20X3
b) demanda X0 = utilidad por hora.
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De la misma forma las restricciones pueden formularse como
2X1 + 5X2 + 10X3 < 900 (horas)
2X1 + 5X2 + 3X3 < 400
4X1 + 2X2 + 2X3 < 600
X1 < 13 (unidades de triplay)
X2 < 15
X3 < 14
optimizar: Xo = C1 X1 + C2X2 + .............+CnXn
sujeto a:
a11 X1 + a12 X2 + .......................a1nXn ( <, = , > ) b1
a21 X1 + a22X2 + .......................a2nXn ( <, = , > ) b2
. . . .
. . . .
. . . .
am1 X1 + am2 X2 + .....................amnXn ( <, = , > ) bm
Por lo que el modelo matemático es
máximizar:
donde,
X1 , X2, ............Xn > 0
Xo = función objetivo, la cual puede maximizarse
sujeto a: X0 = 40X1 + 30X2 + 20X3 o minimizarse
Xj = variable de decisión (actividad), j = 1, 2,
2X1 + 5X2 + 10X3 < 900 (horas)
2X1 + 5X2 + 3X3 < 400 ......,n
cj = coeficiente de la variable Xj en la función
4X1 + 2X2 + 2X3 < 600
X1 < 13 (unidades de triplay)
X2 < 15
X3 < 14
X1 , X2, X3 > 0
Del ejemplo anterior, puede inducirse el
siguiente modelo matemático general de la P.L.
objetivo, o más brevemente
coeficiente objetivo de Xj.
aij = consumo del recurso " i" por unidad de
actividad "j", o alternativamente, coeficiente
tecnológico de Xj en la restricción " i ".
bj = constante del lado derecho (generalmente
recurso disponible) en la restricción "j", llamada
también coeficiente recurso.
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El modelo matemático general de la P.L.
establecido anteriormente, suele dividirse en el
objetivo, las restricciones tecnológicas o
estructurales, las cuales pueden ser de los tipos
" < ", " = ", " > "; y las condiciones técnicas o de no-
negatividad.
negativo de tal función, -f(x); complementariamente, la
maximización una función g(x), es matemáticamente
equivalente a la minimización del negativo de la misma,
-g(x). Por ejemp lo,
Máx: Xo = 8X1 + 14X2 - 5X3
es matemáticamente equivalente a
Transformaciones
Dado que el objetivo fundamental de la PL es el
de optimizar una función lineal sujeta a una serie de
restricciones lineales y variables no-negativas.
Dependiendo de la situación, resulta ventajoso
efectuar ciertas manipulaciones al modelo general para
expresarlo en formas equivalentes que sean más
fáciles de comprender, solucionar o analizar. A
continuación se presentan las transformaciones de
mayor utilidad.
1.- El objetivo puede cambiarse de maximización a
minimización, y viceversa.
La minimización de una función f(x), es
matemáticamente equivalente a la maximización del
Min: X'o = - Xo = -8X1 -14X2 +5X3
Nótese que lo importante es que se mantiene el
gradiente de la función.
2.- El sentido de una desigualdad puede invertirse.
Cuando una desigualdad se multiplica por (-1), su
sentido puede invertirse. Si es "<" cambia a ">", si es
" >" cambia a "<". Por ejemplo,
2X1 + 9X2 - 4X3 > 9
se convierte en
-2X1 - 9X2 + 4X3 < -9
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al multiplicarla por (-1).
3.- Una ecuación puede transformarse a desigualdades.
Esto se basa en el hecho de que toda ecuación
puede reemplazarse por dos desigualdades en sentidos
opuestos. Por ejemplo,
3X1 + 5X2 - 8X3 = 10
es matemáticamente equivalente a las dos siguientes
desigualdades
3X1 + 5X2 - 8X3 < 10 y 3X1 + 5X2 - 8X3 > 10
4.- Una desigualdad "<" del tipo valor absoluto puede substituirse por dos desigualdades normales.
Este tipo de desigualdad define un espacio
cerrado y por tanto puede intercambiarse por
desigualdades por dos normales que definan dicho
espacio. Por ejemplo,
| 6X1 - 8X2 + 3X3 | < 15
puede reformularse como dos desigualdades
6X1 - 8X2 + 3X3 < 15 y 6X1 - 8X2 + 3X3 > -15
La restricción " <" y del tipo valor absoluto, se
presenta muy comúnmente en problemas que involucran
la secuenciación de máquinas y procesos; el "desfase" o
diferencia entre los tiempos de una máquina y la otra,
debe ser menor o igual a una constante estipulada. El
caso de una desigualdad ">"del tipo valor absoluto no es
de interés en PL, puesto que no define un espacio
cerrado sino dos semiespacios, y por ende no sigue un
comportamiento lineal.
5.- Una desigualdad del tipo "<", puede convertirse a ecuación.
Cuando se tiene una desigualdad " <", puede
transformarse a una ecuación, si se le suma al lado
izquierdo una nueva variable, no-negativa, llamada
variable de faltante dado que solamente tomará
valores positivos cuando el lado izquierdo sea menor al
lado derecho. Por ejemplo,
9X1 + 7X2 - 3 X3 < 5
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puede reemplazarse por
9 X1 + 7X2 - 3X3 + X4 = 5 , X4 > 0
Es práctica común considerar como cero al
coeficiente objetivo de la variable de faltante.
6.- Una desigualdad del tipo " > " puede
convertirse a ecuación.
Procedimiento de una manera similar a la del
inciso anterior, una desigualdad ">" puede cambiarse a
ecuación, si se le resta al lado izquierdo una nueva
variable no-negativa, llamada variable de sobrante; tal
nombre obedece a que dicha variable tomará un valor
positivo, sólo cuando el lado izquierdo sea mayor que el
derecho. Por ejemplo,
-5X1 + 7X2- 2X3 > 15
puede reordenarse como
-5X1 + 7X2 - 2X3 -X4 = 15 , X4 > 0
También es usual asignar un valor de cero al
coeficiente objetivo de la variable de sobrante.
Como se verá posteriormente, la introducción
del concepto de variables de faltante y de sobrante,
representó un factor clave en el desarrollo de la PL. En
adelante ambos tipos de variables se referirán como
de holgura.
7.- Una variable irrestricta en signo puede
redefinirse en función de variables no-negativas.
El modelo general de la PL presentado en (1-6),
considera a todas las variables como no-negativas. En
ciertos problemas se involucran variables irrestrictas
en signo, es decir que pueden tomar valores positivos,
negativos o cero; generalmente dichas variables están
asociadas a temperaturas, saldos financieros, niveles
de inventario, etc. Cuando en un problema se presenten
variables irrestrictas, también llamadas variables
libres, deben subtituirse por la diferencia de dos
variables no-negativas. Por ejemplo, si la variable X7 es
irrestricta, entonces puede reemplazarse por
X7 = X7+ - X7
- , X7+ y X7
- > 0
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El uso de X7+ y X7
-, es sólo una convención, dado
que pueden utilizarse otras variables. Por ejemplo,
alternativamente X7 podría expresarse como.
X7 = A - B , A y B > 0
o como
X7 = Z1 - Z2 , Z1 y Z 2 > 0
Formatos Canónico y Estandár
De la discusión presentada en la sección
anterior, se puede concluir que un modelo de PL puede
plantearse en un número considerable de formas
equivalentes. Dos formatos en particular son los más
utilizados: el canónico y el estándar.
1.- El formato Canónico
Un modelo de PL está en formato canónico si
todas las variables son no-negativas y todas las
restricciones son del tipo " < " para un objeto de
maximización, o si todas las restricciones son del tipo
" > " para un objetivo de minimización. Este formato es
de gran utilidad en el análisis del modelo de PL.
2.- El formato Estándar
Un modelo de PL está en formato estándar si
todas las variables son no-negativas y todas las
restricciones son igualdades, tanto en maximización
como minimización. Este formato será siempre en la
solución de problemas de PL.
A continuación se presentan los modelos
generales de PL planteados mediante los formatos
canónicos y estándar.
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Formato Estándar
Caso de minimización
Minimizar: n
X0 = cj xj
j = 1
Sujeto a: n
aijxj = bi i = 1, 2, 3, ...., m
j = 1
xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m
Caso de maximización
Maximizar: n
X0 = cj xj
j = 1
Sujeto a: n
aijxj = bi i = 1, 2, 3, ...., m
j = 1
xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m
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Formato Canónico
Caso de minimización
Minimizar n
X0 = cj xj
j = 1
sujeto a: n
aijxj > bi i = 1, 2, 3, ...., m
j = 1
xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m
Caso de maximización
Maximizar: n
X0 = cj xj
j = 1
sujeto a: n
aijxj < bi i = 1, 2, 3, ...., m
j = 1
xj > 0 j = 1, 2, 3, ...., m
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Construcción de modelos de PL Introducción.
En esta unidad se hace énfasis en la modelación
como la parte central de la investigación de
operaciones y por lógica de la programación lineal, así
mismo se define como un mezcla de ciencia y de arte.
Sin embargo, aunque la modelación no puede
"enseñarse", sí puede motivarse. Es por esta razón por
la que se mecionan diez principios básicos que no deben
olvidarse al momento de construir un modelo, de estos,
el más importante es sin duda, que los modelos no
pueden reemplazar al tomador de decisiones.
Aunque la modelación no puede enseñarse tal
cual, sino aprenderse en la propia experimentación, si
puede dividirse arbitrariamente en dos fases: la
subjetiva y la objetiva. En la parte subjetiva se
involucra la definición del sistema asumido, mientras
que en la objetiva se incluye la construcción del modelo
a partir del sistema asumido. Como se menciono al
principio la parte subjetiva no puede tratarse en esta
unidad. Por el contrario, la parte objetiva es
denominada formulación.
La formulación se plantea bajo dos enfoques:
directo e indirecto. El primero de ellos se pretende ir
directamente del sistema asumido al modelo de PL. Por
otra parte, el segundo se plasma de forma
esquemática, de acuerdo a cierta filosofía, y luego a
partir de dicho esquema se llega al modelo de PL.
Para que el estudiante se familiarice con la
formulación de modelos, se presentaran aplicaciones
reales al finalizar el presente capitulo, para
posteriormente solucionarlos mediante alguna de las
técnicas que se emplean para su solución.
La modelación.
Recordando un poco de lo que se vio en el
capitulo II, la modelación en la IO se puede definir
como el proceso de abstracción del sistema real al
modelo cuantitativo. Básicamente es la construcción
del modelo matemático del sistema real bajo estudio.
Mismo que involucra desde la definición del sistema
real y la determinación de sus fronteras, incluyendo la
conceptualización del sistema asumido, hasta llegar a
la elaboración del modelo en sí.
50 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
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Como se menciono en la introducción la
modelación es una combinación de arte y de ciencia, sin
embargo hay que reconocer que es más arte que
ciencia. De hecho no existe un algoritmo o un receta
que nos lleve a la concepción de un buen modelo, por lo
que se concluye que la modelación se aprende con la
práctica.
Sin embargo la experiencia de muchos
investigadores de operaciones, es posible elaborar una
serie de principios para la construcción de modelos. Se
debe estar consciente de la limitaciones inherentes al
proceso de modelación y no caer en la trampas más
comunes señaladas en tales principios.
A continuación se presenta una lista, no
4. Los modelos deben validarse antes de su
implantación.
5. Nunca debe pensarse que modelo es el
sistema real.
6. Un modelo nunca debe criticarse por algo para
lo que no fue hecho.
7. No venda el modelo como la perfección
máxima.
8. Uno de los primeros beneficios de la
modelación reside en el desarrollo del mismo.
9. Un modelo es tan bueno o tan malo como la
información con la que trabaja.
10.Los modelos no pueden reemplazar al tomador
de decisiones.
Finalmente, cabe recordar que los modelos de
exhaustiva de los principios generales de la IO, nos llevan a tomar mejores decisiones y no ha
modelación: simplificar la toma de las mismas.
1. No debe elaborarse un modelo complicado cuando uno simple es suficiente.
2. El problema no debe ajustarse al modelo o
método de solución.
3. La fase deductiva de la modelación debe
realizarse rigurosamente.
La formulación.
La PL al ser una técnica de IO, se basa en el
diseño, solución y análisis de modelos de sistemas
reales. Sin embargo la PL trabaja a partir de un modelo
general bien definido y no así otras técnicas de IO.
Por lo que puede decirse que la PL es el proceso de
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reducción del sistema real y su problema, a un objetivo
y a un conjunto de restricciones, donde todas sus
funciones son lineales.
Al inicio de este capitulo se menciono que la
modelación no puede enseñarse de manera formal, sin
embargo, en la PL si puede ahondarse en una parte
importante de la modelación llamada formulación. La
formulación consiste en convertir al sistema asumido
en el modelo general de PL. Note que se parte del
sistema asumido, el cual tiene la información más
relevante del sistema real. El establecimiento del
sistema asumido del sistema real es la parte subjetiva
de la modelación, y la formulación es la parte objetiva.
La formulación puede llevarse a cabo mediante
las alternativas directa e indirecta. A continuación se
describe la formulación directa.
La formulación directa.
Esta consiste en pasar de forma directa del
sistema asumido al modelo de PL. Por tal razón se
sugiere trabajar el orden siguiente: definir la variable
de decisión, luego el objetivo, enseguida las
restricciones estructurales y finalmente establecer
las condiciones técnicas. Para comprender mejor lo
anterior se comentará lo antes citado.
Variables de decisición.
Son las incógnitas del problema y básicamente
consisten en todos los niveles de las actividades que
pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
El objetivo.
Consiste en optimizar el valor de la función
objetivo, el cual es una función lineal de las diferentes
actividades del problema.
Las restricciones estructurales.
Son los diferentes requisitos que debe cumplir
la solución para que pueda llevarse a cabo. Las
restricciones más comunes son:
Restricciones de capacidad, limitan el valor de las
variables debido a la disponibilidad de horas-hombre,
horas-máquina, espacio, etc.
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Restricciones de mercado, surgen de los valores
máximos y mínimos en las ventas o uso de un producto
o actividad a realizar.
Restricciones de entrada, son las limitantes debido a
la escasez de materia prima, mano de obra, dinero, etc.
Restricciones de calidad, son las que limitan las
mezclas de ingredientes, definiendo usualmente la
calidad de los artículos a manufacturar.
Restricciones de balance de materiales, estas
definen las salidas de un proceso en función de sus
entradas, tomando en cuenta cierto porcentaje de
merma o desperdicio.
Restricciones internas, son las que definen a una
variable dada, en la formulación interna del problema,
un ejemplo típico es el inventario.
Sin embargo puede ser que un problema dado no
los tenga a todos o tenga otros tipos diferentes a los
listados.
Las condiciones técnicas.
Este establece que todas las variables deberán
tomar valores no negativos.
Ejemplo No.1
La Cía., Agroind., S.A. de C. V., está tratando de
determinar la mezcla de producción de fertilizantes,
de los siguientes tipos F-1A, F-2AC y F-4BH. El
fertilizante se estabiliza con un material de relleno
como podría ser el barro. El tipo F-1A está elaborado
con 5% de nitrato, 5% de fosfato, 10% de potasio y el
resto es barro. El tipo F-2AC contiene 5% de nitrato,
10% de fosfato, 5% de potasio y el restante 80% es
barro. El tipo F-4BH se fabrica con 10% de nitrato, 5%
de fosfato, 5% de potasio y el resto es barro. El
mayorista comprará cualquier cantidad de los
fertilizantes que la compañía pueda fabricar. Este
mes, la disponibilidad y costos de materia prima son
1100 ton de nitrato a $200.00 por ton., 1800 ton de
fosfato a $ 80.00 cada una y 2000 ton de potasio a
$160.00 cada una. El relleno está disponible en
cantidades ilimitadas al precio de $10.00 la ton., pero
para los otros tres ingredientes solo se dispone de las
cantidades anteriormente citadas. No hay
53 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Investigación de Operaciones I Programación lineal
restricciones para el uso de mano de obra ni tampoco
para el empleo de maquinaría durante el mes, pero se
tiene un costo de $15.00 por ton., por concepto de
mezclado de fertilizante. Además el mayorista está
dispuesto a pagar $71.50 por ton., $69.00 por ton y
$66.50 por ton. respectivamente. La compañía desea
optimizar sus recursos escasos, para lo cual le ha
pedido al jefe de producción que le elabore un
programa de producción para el próximo mes.
Ejemplo No. 2.
Una compañía fabrica tres tipos de bolsas de
plástico de uso doméstico: una de 10 Kilos, una bolsa de
15 Kilos y una de 20 Kilos, para hojas y pasto, cada una
con un cordón de sellado fácil. Utilizando material
plástico que adquiere de en el corredor industrial
Tampico-Altamira, la compañía realiza tres
operaciones para fabricar cada producto final: corte,
sellado y empaque. Se muestran enseguida el tiempo de
producción que se requiere para procesar cada tipo de
bolsa en cada tipo de operación, y el tiempo máximo
disponible para cada tipo de operación. Observe que
las cifras de producción de esta tabla están dados en
unidad por caja para cada tipo de bolsa.
Tiempo disponible (segundos por caja).
Tipo de bolsa Corte Sellado Empaque
10 kilos
15 kilos
20 kilos
2
3
3
2
2
3
3
4
5
Tiempo
disponible
en horas
2
3
4
Si la compañía tiene una utilidad de $10 por cada
caja de bolsas de 10 kilos que fabrica, $15 por cada
caja de bolsas 15 kilos y $20 por cada caja de bolsas
de 20 kilos. ¿Cuál es la mezcla óptima de productos?
Ejemplo No. 3.
La compañía Computación del Noreste, S. A. se
dedica a la fabricación de artículo de computación en
la actualidad, está distribuyendo diskettes, cassettes
de cinta y cartuchos para limpiar unidades de disco
(drives). La contribución unitaria a las utilidades para
cada producto es como se muestra a continuación
54 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Investigación de Operaciones I Programación lineal
Producto Contribución a las utilidades
Diskette
Cassette
Paquete de limpieza
$ 2.00
1.50
3.50
Cada uno de esos tres productos pasa a través
de tres centros de manufactura y prueba como parte
del proceso de producción. Los tiempos que se
requieren en cada uno de los centros para fabricar una
unidad de cada uno de los tres productos, así como el
tiempo disponible para la siguiente semana y los costos
fijos para cada uno de los centros, se muestran en la
tabla siguiente: Horas por unidad
Producto Centro 1 Centro 2 Centro 3 Diskette
Cassette
Pqte. de lpza.
3
4
2
2
1
2
1
3
2
Tiempo (horas) 60 40 80
Plantee un programa lineal para programar
la producción próximo mes.
Ejemplo No. 4.
Manufacturas del Sur, S.A de C.V. fabrica un
producto que tiene una demanda que aumenta y
disminuye. Por ejemplo la demanda que se ha
pronosticado para los próximos cuatro meses es de
1800, 2200, 3400 y 2800, respectivamente. Debido a
las variaciones de la demanda, los administradores de
la Compañía han encontrado que en algunos meses
existe producción en exceso, lo cual ocasiona grandes
costos de manejo y almacenamiento, en tanto que en
otros meses la compañía no esta en posibilidades de
cubrir la demanda. La Compañía puede fabricar 2400
artículos por mes en sus turnos normales. Utilizando
tiempo extra, es posible fabricar 800 artículos
mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de
mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento
de $7.00 por cualquier artículo que no se fabrique en
turno normal. Los administradores han estimado que
incurren en un costo de almacenamiento de $3.00 por
cualquier artículo que se fabrique en un mes
determinado y que no se venda durante el mismo. A la
compañía le gustaría determinar un programa óptimo
de producción que minimice los costos totales de
producción y almacenamiento. El programa debe
satisfacer todas las demandas de ventas.
55 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Investigación de Operaciones I Programación lineal
Ejemplo No. 5.
Una compañía fabrica dos productos A y B. El
volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las
ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no
puede vender más de 100 unidades de A al día. Los dos
productos utilizan una materia prima, cuya
disponibilidad máxima se limita a 240 libras al día. Las
proporciones de utilización de la materia prima son de
2 libras para cada unidad de A y de 4 libras para cada
unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y
50 pesos respectivamente.
Determine la mezcla óptima de los dos
productos.
Ejemplo No. 6.
Wyoming Electric Coop., es propietaria de una
planta generadora de energía con turbinas de vapor.
Debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón,
la planta genera vapor con carbón. Sin embargo, esto
crea el problema de satisfacer los estándares de
emisión. Las regulaciones de la Environmental
Protection Agency (Agencia de Protección Ambiental)
limitan la descarga de dióxido de azufre a 2000 partes
por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la
planta a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos
grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser
utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se
mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad,
supondremos que el contaminante de azufre de la
mezcla (en partes por millón) es un promedio
ponderado de la proporción de cada grado empleado en
la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo
de 1 tonelada por hora de cada uno de los dos grados
de carbón.
Grado
De carbón
Descarga de
azufre en ppm
Descarga de
humo en lb/hr
Vapor generado
en lb/hr
C1
C2 1 800
2 100 2.1
0.9 12 000
9 000
Determine la mezcla óptima de para mezclar los
dos grados de carbón.
Ejemplo No. 7.
Burroughs Garment Company fabrica camisas para
caballero y blusas para dama para Walmark Discount
Stores. Walmark aceptará toda la producción que le
proporcione Burroughs. El proceso de producción
incluye corte, costura y empacado. Burroughs emplea a
56 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Trabajo
Programador 1 2 3 4 5
José
Luis
Pedro
$100
80
200
$150
200
250
$200
100
250
$100
100
150
$ 50
80
100
Minutos por unidad Utilidad
Prenda Corte Costura Empacado Por unidad
($) Camisas
Blusas 20
60 70
60 12
4 2.50
3.20
Investigación de Operaciones I Programación lineal
25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en
el departamento de costura y a 5 en el departamento
de empacado. La fabrica trabaja un turno de 8 horas,
sólo 5 días a la semana. La tabla siguiente proporciona
los requerimientos de tiempo y las utilidades por
unidad para las dos prendas:
terminación de cada tarea por programador se
muestran en la tabla siguiente
Ejemplo No. 8.
Desarrollo y Sistemas en Informática, S.A., se
especializa en la preparación de programas de
computación para la industria y el gobierno. Estos
programas se escriben uno de cuatro lenguajes de
programación: FORTRAN, COBOL, CLIPER y C. La
compañía tiene tres programadores que realizan esta
labor y existen cinco trabajos de programación que
deben terminarse lo más pronto posible. No todos los
programadores trabajan a la misma velocidad en todos
los lenguajes y se les paga en forma diferente con
base en su experiencia. Cada uno de los trabajos debe
elaborarlo un solo programador. Los costos de
En la tabla siguiente se presentan el tiempo que necesita cada programador para terminar cada trabajo
y del tiempo de que dispone después de realizar sus
tareas.
Tiempo disponible Trabajo
Programador 1 2 3 4 5 (horas)
José
Luis
Pedro
10
4
20
15
10
25
20
5
25
10
5
15
5
4
10
35
20
40
Plantee el problema de asignación de la comp añía
como un programa lineal.
Ejemplo No. 9.
La compañía ANCE, S. A., produce una línea de
artículos de peltre para uso en el hogar, la cual consta
57 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Producto Precio de venta ($/unidad)
Costo de venta ($/unidad)
Demanda mensual (unidades) Mínima Máxima
1 2
3
4
100 300
160
250
50 200
100
150
500 5 000 750 6 000
650 8 000
3 500
Investigación de Operaciones I Programación lineal
de cuatro productos. El sistema de manufactura se
divide en cinco etapas : cortado, troquelado,
esmaltado, acabado y empacado.
La información relevante, tanto del sistema
productivo como del producto se muestran a
continuación.
Información sobre el sistema productivo
Índice de producción (unidades/hora)
Departamento Producto 1
Producto 2
Producto 3
Producto 4
Capacidad (horas/mes)
Cortado troquelado Esmaltado
Acabado
empacado
25 14 17
20
50
6 8 9
4
13
20 20 33
-.-
50
10 10 8
8
20
400 380 490
450
400
Información sobre el producto
los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0.50 m2 por
unidad y el producto 2 requiere 0.80 m2 por unidad.
Formule un modelo de PL, para la optimización de los
recursos.
Ejemplo No. 10.
Hexxon Oil Company tiene seis consultores de
petróleo, tres de los cuales están actualmente en los E.
U., dos en Rusia y uno en Nigeria. Arabia Saudita ha
solicitado dos consultores durante una semana a una
tarifa de $4200 cada uno. Venezuela ha solicitado dos
consultores durante una semana a una tarifa de $4000
cada uno. Indonesia ha solicitado tres consultores tres
consultores durante una semana a una tarifa semanal
de $4000 cada uno. Los gastos semanales por
consultor son de $1400 en Arabia Saudita, $1000 en
Venezuela y $700 en Indonesia. La tabla siguiente
muestra las tarifas de viaje redondo (en dólares) para
enviar por avión a los consultores:
Adicionalmente, se sabe que el siguiente mes sólo se dispondrá de 1 200 m2 de lamina que consumen
58 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Desde Arabia Saudita
Hacia
Venezuela
Indonesia
Estados Unidos
Rusia
Nigeria
1800
1600
1300
800
1800
1200
2000
1700
1500
Compuesto químico 1 2 3 4
Porcentaje de A
Porcentaje de B
Porcentaje de C
30
20
40
20
60
15
40
30
25
20
40
30
Costo/kilogramo 20 30 20 15
Viga
A
Máquina
B
C
Pequeña
Mediana
Larga
Extra larga
300
250
200
100
600
400
350
200
800
700
600
300
Investigación de Operaciones I Programación lineal
que semanalmente se requieren 10 000, 8 000, 6 000
y 6 000 pies de los distintos tamaños de las vigas I.
Formular el problema de programación de máquinas
como un programa lineal.
Formule como un modelo de PL.
Ejemplo No. 11.
Un fabricante de acero produce 4 tamaños de
vigas I: pequeño, mediano, grande y extra grande.
Estas vigas se pueden producir en cualquiera de tres
tipos de máquinas: A, B y C. A continuación se indican
las longitudes (en pies) de las vigas I. que pueden
producir las máquinas por hora.
Ejemplo No. 12.
Un fabricante de plásticos planea obtener un
nuevo producto mezclando 4 compuestos químicos.
Estos compuestos consisten principalmente de 3
elementos químicos A, B y C. A continuación se muestra
la composición y el costo por unidad de estos
compuestos.
Supóngase que cada máquina se puede usar
hasta 50 horas por semana y que los costos de
operación por hora de estas máquinas son $3000,
$5000 y $8000 respectivamente. Supóngase, además,
El nuevo producto consiste del 20 % del
elemento A, al menos 30 % del elemento B y al menos
20 % del elemento C. Debido a los efectos laterales
de los compuestos 1 y 2, no deben exceder del 30 % y
del 40 % del contenido del nuevo producto. Formular
como un programa lineal.
59 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Valor presente
Requerimie ntos
de capital
Tipo de proyecto estimado Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Expansión de la planta Nueva maquinaria Investigación sobre
nuevos productos Ampliación del almacén
$180,000 20,000
72,000
80,000
$30,000 12,000
30,000
20,000
$40,000 8,000
20,000
30,000
$40,000 0
20,000
40,000
$30,000 4,000
20,000
10,000 Fondos disponibles de capital
$65,000
$80,000
$80,000
$50,000
Investigación de Operaciones I Programación lineal
Ejemplo No. 13.
La Compañía Petroquímicos del Oeste, S. A.,
enfrenta el problema de determinar que proyectos de
“crecimiento” debe emprender en los próximos 4 años.
La compañía tiene una cantidad limitada de fondos para
inversiones de capital; por tanto, no puede financiar
todos los proyectos. A cada uno de estos se le ha
caracterizado determinando su valor presente y el
requerimiento (costo) asociado de capital. Cada
proyecto tiene diferentes requerimientos de capital
para los próximos 4 años. En la tabla siguiente se
muestran el valor presente estimado, los
requerimientos de capital y el capital disponible
proyectado para cada uno de ellos.
un plan de asignación de capital que muestre las
erogaciones que debe hacer para cada uno de los
cuatro años y qué proyectos se deben financiar bajo el
plan general.
Formúlese como un modelo de programación lineal.
Ejemplo No. 14.
PEMEX comercializa dos tipos de gasolina :
magna y premium. Cada gasolina debe satisfacer
ciertas especificaciones, tales como la presión máxima
de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los
requerimientos de manufactura para las gasolinas y el
precio por barril se muestran a continuación :
Especificaciones de manufactura y precio por barril
Gasolina Octanaje
mínimo
Presión máxima
de vapor
Precio de venta
(por barril) Magna
Premium
80
100
9
6
$21.00
$24.00
A los administradores de Compañía
Petroquímicos del Oeste, S. A., les gustaría desarrollar
Se utilizan tres tipos de gasolinas para fabricar
las gasolinas magna y premium. Las carácterísticas de
las gasolinas se muestran en la tabla siguiente:
60 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Gasolina
base Octanaje Presión de
vapor Disponibilidad
máxima
(barriles)
Costo por
barril
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
108
90
73
4
10
5
32,000
20,000
38,000
$22.00
$20.00
$19.00
Investigación de Operaciones I Programación lineal
Características de la gasolina base
técnica. En la actualidad están planeando la producción
agrícola para el año próximo.
La producción agrícola está limitada por la
extensión de terreno disponible para irrigación como
por la cantidad de agua que la Comisión de Aguas (una
oficina del gobierno nacional) asigna para irrigarlo. La
tabla siguiente contiene los datos :
PEMEX se ha comprometido con un comprador a
proporcionarle 30,000 barriles de gasolina premium
por semana. No se tienen compromisos con respecto a
la gasolina magna. A PEMEX le gustaría determinar el
plan de manufactura para las dos clases de gasolina
para optimizar las utilidades.
PROBLEMARIO
Problema No. 1.
La CONFEDERACIÓN SUR DE KIBBUTZIM
está formada por tres kibbutzim (comunidades
agrícolas comunales) en Israel. La planeación global de
este grupo se hace en su oficina de coordinación
Datos de recursos para Confederación Sur de Kibbutzim
Kibbutzim Terreno disponible
(acres)
Asignación de agua (pies-
acre) 1
2
3
400
600
300
600
800
375
El tipo de cosecha apropiada para la región
incluye la remolacha, algodón y sorgo, y estas son
precisamente las tres que se están estudiando para la
estación venidera. Las cosechas difieren
primordialmente en su rendimiento neto esperado por
acre y en su consumo de agua. Además, el Ministerio
de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de
acres que la Confederación puede dedicar ha estas
61 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Investigación de Operaciones I Programación lineal
cosechas. La siguiente tabla muestra estas
cantidades :
Datos de recursos para Confederación Sur de Kibbutzim
Cosecha Cantidad máxima
(acres)
Consumo de agua
(piesacre/acre)
Rendimiento
neto
(dólares/acre)
Remolacha
Algodón
Sorgo
600
500
325
3
2
1
1000
750
250
Debido a la disponibilidad limitada de agua para
irrigación, la Confederación no podrá usar todo el
terreno irrigable para las cosechas de la próxima
temporada. Para asegurar la equidad entre los tres
Kibbutz, han acoradado que cada Kibbutz sembrará la
misma proporción de sus tierras irrigables disponibles.
Por ejemplo, si el Kibbutz 1 siembra 200 de sus 400
acres disponibles, entonces el Kibbutz 2 debe sembrar
300 de sus 600 acres, mientras que el Kibbutz 3
sembraría 150 acres de los 300 que tiene. Cualquier
combinación de estas cosechas se puede sembrar en
cualquiera de los Kibbutz. El trabajo al que se enfrenta
la oficina de coordinación técnica consiste en planear
cuántos acres debe asignarse a cada tipo de cosecha
en cada Kibbutz, cumpliendo con las restricciones
dadas.
Problema No. 2.
UNION AIRWAYS va agregar vuelos desde y
hacia su aeropuerto base y, por lo tanto, necesita
contratar más agentes de servicios al cliente. Sin
embargo, no está claro cuantos más debe contratar. La
administración reconoce la necesidad de controlar el
costo y al mismo tiempo proporcionar de manera
consistente un nivel satisfactorio de servicio. Por todo
esto, un equipo de IO está estudiando como programar
a los agentes para proporcionar un servicio
satisfactorio con el menor costo de personal.
Con base en la nueva programación de vuelos, se
ha realizado un análisis del número mínimo de agentes
de servicio a clientes que deben encontrarse de
guardia en diferentes momentos del día para
proporcionar un nivel satisfactorio de servicio. La
columna de la derecha de la siguiente tabla muestra el
número de agentes necesario para los periodos dados
en la primera columna. Los otros datos de esta tabla
reflejan uno de los acuerdos del contrato colectivo
vigente entre la compañía y el sindicato que representa
62 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Investigación de Operaciones I Programación lineal
a los agentes de servicio a clientes. El acuerdo es que
cada agente trabaje un turno de 8 horas 5 días a la
semana, y los turnos autorizados son :
Turno 1 : 6 :00 am a 2 :00 pm
Turno 2 : 8 :00 am a 4 :00 pm
Turno 3 : 12 :00 am (medio día) a 8 :00 pm
Turno 4 : 4 :00 pm a 12 :00 pm (media noche)
Turno 5 : 10 :00 pm a 6 : am Periodos cubiertos Turno Número mínimo
Período 1 2 3 4 5 necesario de agentes 6 :00 am a 8 :00 am 8 :00 am a 10 :00 am
10 :00 am a 12 :00 am
12 :00 am a 2 :00 pm
2 :00 pm a 4 :00 pm
4 :00 pm a 6 :00 pm 6 :00 pm a 8 :00 pm 8 :00 pm a 10 :00 pm
10 :00 pm a 12 :00 pm
12 :00 pm a 6 :00 am
X X X
X X
X X
X X
X X X X X X
X X
X
48 79
65
87
64
73 82 43
52
15 Costo diario por agente
$170 $160 $175 $180 $195
Las marcas en la tabla muestran las horas
cubiertas por los turnos respectivos. Como algunos
turnos son menos deseables que otros, los salarios
especificados en el contrato difieren uno de otro. En
el último renglón se muestra la compensación diaria
(incluyendo prestaciones) por cada agente por turno. El
problema consiste en determinar cuántos agentes
deben asignarse a los turnos respectivos cada día para
minimizar el costo total de personal debido a los
agentes, según este último renglón, al tiempo que se
cumplen (o se sobrepasan) los requerimientos de
servicio dados en la columna de la derecha. Problema No. 3.
National Steel Corporation (NSC) produce un
acero especial usado en las industrias de aviación y
aeroespaciales. El departamento de ventas NSC ha
recibido pedidos de 2400, 2200, 2700 y 2500
toneladas de acero para cada uno de los siguientes
cuatro meses. NSC puede satisfacer estas demandas
produciendo el acero extrayéndolo de su inventario, o
usando cualquier combinación de las dos alternativas.
Se proyecta que los costos de producción por
tonelada de acero durante cada uno de los siguientes
cuatro meses sean $7400, $7500, $7600 y $7650.
Como los costos suben cada mes, debido a las
63 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Investigación de Operaciones I Programación lineal
presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC
produzca más acero del que necesita en un mes
determinado y que almacene el exceso. La capacidad de
producción, sin embargo, no puede exceder las 4000
toneladas en ningún mes. La producción mensual se
termina al final del mes, cuando la demanda se
satisface. Cualquier acero remanente se almacena en
inventario a un costo de $120 por tonelada por cada
mes que permanece allí. Estos datos se resumen en la
tabla siguiente.
Datos para el problema de producción - planeación de NSC.
Mes 1 2 3 4
Demanda (tons)
Costo de producción ($/ton)
Costo de inventario ($/ton/mes)
2400
7400
120
2200
7500
120
2700
7600
120
2500
7650
120
Si el nivel de producción se incrementa de un
mes al siguiente, entonces la compañía incurre en un
costo de $50 por tonelada de producción incrementada
para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo
extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre
en un costo de $30 para cubrir los beneficios de
empleados no utilizados.
El nivel de producción durante el mes anterior
fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es
de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes
debe ser de al menos de 1500 toneladas para cubrir la
demanda anticipada. Formule un plan de producción
para NSC para los siguientes cuatro meses.
Problema No. 4.
MTV Steel Company produce tres tamaños de
tubos : A, B y C, que son vendidos, respectivamente en
$10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo
A se requieren 0.5 minutos de tiempo de
procesamiento sobre un tipo particular de máquina de
modelado. Cada pie de tubo B requiere 0.45 minutos y
cada pie del tubo C requiere 0.60 minutos. Después de
la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo,
requiere 1 onza de material de soldar. El costo total se
estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C,
respectivamente.
Para la semana siguiente, MTV Steel ha recibido
pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000
pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del
tubo C. Como sólo se dispone de 40 horas de tiempo de
máquina está semana y sólo se tienen en inventario
64 MCIA. Jaime Delgado Ochoa
Investigación de Operaciones I Programación lineal
5500 onzas de material de soldar, el departamento de
producción no podrá satisfacer está demanda, que
requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y
11 onzas de material de soldar. No se espera que
continúe este alto nivel de demanda. En vez de
expandir la capacidad de las instalaciones de
producción, la gerencia de MTV Steel está
considerando la compra de algunos de estos tubos a
proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por
pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del
tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla
siguiente. Como gerente de producción se le ha pedido
hacer recomendaciones respecto a la cantidad de
producción de cada tipo de tubo y la cantidad de
compra a Japón para satisfacer la demanda y
maximizar las ganancias de compañía.
Datos para el problema de hacer o comprar de MTV Steel.
Tipo
Precio de venta ($/ft)
Demanda
(ft)
Tiempo de máquina (min/ft)
Material para soldar
(oz/ft)
Costo de Producción
($/ft)
Costo de Compra ($/ft)
A B
C
10 12
9
2000 4000
5000
0.50 0.45
0.60
1 1
1
3 4
4
6 6
7 Cantidad Disponibe 40 hr 5500 oz
65 MCIA. Jaime Delgado Ochoa