Investigacion de Operaciones-uigv
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Facultad de Ingeniería de Sistemas, Computación y Telecomunicaciones
IO98 - INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
1) Resolver los ejercicios de Programación Entera utilizando el Método de Ramificación y Acotamiento (Ver archivo Programación Entera).
2) Resolver los ejercicios DE PERT/CPM, elaborar su Diagrama de Red y Gráfico de Gantt (Ver archivo Modelos de Red).
3) Conceptos teóricos y aplicaciones de:
- Modelo de transporte
- Modelo primal y dual
Presentado por
Albites Azarte, Walter
Lima – PerúFebrero – 2014
1
INDICE
1. Resolver los ejercicios de Programación Entera utilizando el Método de Ramificación y Acotamiento.
2. Resolver los ejercicios DE PERT/CPM, elaborar su Diagrama de Red y Gráfico de Gantt.
3. Conceptos teóricos y aplicaciones de:Modelo de transporte, Modelo primal y dual.
2
PROGRAMACION LINEAL ENTERA
Resolver utilizando ramificación y acotamiento para los problemas PLE
1.- Max Z=X1+5X2
S.a
11X1+6X2<=66
5X1+50X2<=225
X1, X2>=0, ENTEROS
L1:11X1+6X2=66
X1 X2
0 11
6 0
L2:5X1+50X2=225
X1 X2
0 4.5
4.5 0
P1:
11 x (5X1 + 50X2 = 225) X2=4.12 X1=3.75
55X1 + 550X2 = 2475 (-) Z=24.35
55X1 + 30X2 = 330
P2: MAX Z=X1+5X2 P3: MAX Z=X1+5X2
S.a S.a
11X1+6X2<=66 11X1+6X2<=66
3
5X1+50X2<=225 5X1+50X2<=225
X1<=3 X1>=4
X1, X2>=0, ENTEROS X1, X2>=0 , ENTEROS
X1=3, X2=4.2 X1=4, X2=3.6
Z=24 Z=22.33
P4: MAX Z=X1+5X2 P5: MAX Z=X1+5X2
S.a S.a
11X1+6X2<=66 11X1+6X2<=66 5X1+50X2<=225
5X1+50X2<=225
X1<=3 X1<=3
X2<=4 X2>=5
X1, x2>=0 X1, X2>=0
X2=4 x1=3 NO FACTIBLE
X1<=3 X1>=4
X2<=4 X2>=5
4
P1
Z=24.35
X1=3.75
X2=4.125
P2
Z=24
X1=3
X2=4.2
P3
Z=22.33
X1=4
X2=3.5
P4:
Z=23
X1=3
X2=4
NO INFALIBLE
RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=3 X2=4 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 23
X1
87654321
3 4 6 7 8 9 11 X2
2.- MAX Z=8X1+5X2
S.a
X1+X2<=6
9X1+5X2<=45
X1, X2>=0, ENTEROS.
L1: X1+X2=6
X1 X2
0 6
6 0
L2: 9X1+5X2<=45
X1 X2
0 9
5 0
P1:
9 x (X1+X2=6)
5
9X1+9X2=54 (-)
9X1+5X2=45
X2=2.25
9X1+5X2=45
9X1+5(2.25)=45
9X1+11.25=45
X1=3.75
COTA SUPERIOR:
Z= 8X1+5X2 =8(3.75)+5(2.25)=41.25
COTA INFERIOR
Z=8(3)+5(2)=34
P2: MAX Z= 8X1+5X2 P3: MAX Z= 8X1+5X2
S.a S.a
X1+X2<=6 X1+X2<=6
9X1+5X2<=45 9X1+5X2<=45
X1=3 X2=3 X1>=4
X1+X2=6
P4: MAX Z=8X1+5X2 4+X2=6
S.a X2=1.8 Z=41
X1+X2<=6
9X1+5X2<=45
X2<=1 X1>=4 Z=37
P5: MAX Z=8X1+5X2 P6: MAX Z=8X1+5X2
S.a PROBABILIDAD INFALIBLE
X1+X2<=6
9X1+5X2<=45
6
X1>=4 X2>=2
PROBABILIDAD INFALIBLE
P7: MAX Z=8X1+5X2
S.a
X1+X2<=6
9X1+5X2<=45
X1>=4 X2<=1 X1>=5 Z=40
RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=5 X2=0 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 40
X1
8765 PTO. OPTIMO4321
3 4 6 7 8 9 11 X2
7
X1<=3 X1>=4
X2<=1X2>=2
X1<=4 X1>=5
8
P1
COTASUP.U=41.25
COTA INF=34
X1=3.75
X2=2.25
P2
X1=3
X2=3
Z=39
P3
X1=4
X2=1.8
Z=41
P4
X1=4
X2=1
Z=37
P5
PROBABILIDAD INFALIBLE
P6
PROBABILIDAD INFALIBLE
P7
X1=5
X2=0
Z=40
PTO. OPTIMO
3.-MAX Z= 5X1+2X2
S.a
3X1+X2<=12
X1+X2<=5
X1, X2<=0 ; X1, X2 ENTEROS
L1: 3X1+X2=12
X1 X2
0 12
4 0
L2: X1+X2=5
X1 X2
0 5
5 0
P1:
3 x (X1+X2<=5)
3X1+3X2=15 (-)
3X1+X2=12
X1=3.5 X2=1.5
COTA SUPERIOR
Z=5X1+2X2
Z=5(3.5)+2(1.5)=20.5
COTA INFERIOR
Z=5(3)+2(1)=17
P2: MAX Z=5X1+2X2
S.a
9
3X1+X2<=12
X1+X2=5 X1=3 X2=2 Z=19
P3: MAX Z=5X1+2X2
S.a
3X1+X2<=12
X1+X2=5
X1=4 X2=0 Z=20
RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=4 X2=0 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 20
X1<=3 X1>=4
PTO. OPTIMO
10
P1
COTA SUPERIOR U=20.5
COTA INF. Z=17
X1=3.5
X2=1.5
P2
X1=3
X2=2
Z=19
P3
X1=4
X2=0
Z=20
X1
8765 PTO. OPTIMO4321
3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2
4.-MAX Z=2X1+3X2
S.a
X1+2x2<=10
3x1+4x2<=25
X1, X2<=0 X1, X2 ENTEROS.
L1: X1+2X2=10
X1 X2
0 5
10 0
L2:3x1+4x2=25
X1 x2
0 6.25
8.33 0
P1: MAX Z= 2X1+3X2
2 x (X1+X2=10)
2X1+4x2=20 (-)
3X1+4X2=25
X1=5 X2=2.5
COTA INFERIOR:
11
Z=2X1+3X2
Z=3(5)+3(2)=16
COTA SUPERIOR
Z=2X1+3X2
Z=2(5)+3(2.5)=17.5
P2: MAX Z=2X1+3X2
X1+X2=10
3X1+4X2=25
X2=2 X1=5.7 Z=17.4 P4: MAX Z=2X1+3X2
P3: MAX Z=2X1+3X2 X1+X2=10
X1+X2=10 3X1+4X2=25
3X1+4X2=25 X2<=2 X1<=5 Z=16
X2=3 X1=4 Z=17 P6: MAX Z=2X1+3X2
P5: MAX Z=2X1+3X2 X1+X2=10
X1+X2=10 3X1+4X2=25
3X1+4X2=25 X2<=2 X1>=6 X2<=1 X1=7
X2<=2 X1>=6 X2=1.75 Z=17.25 Z=17
P7: MAX Z=2X1+3X2
X2>=2 X1>=6 X1=0.44
PROBABILIDAD NO FACTIBLE
RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=4 X2=3 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 17
12
X2<=2 X2>=3
X1<=5 X1<=6 PUNTO ÓPTIMO
X2<=1 X2>=2
13
P1
COTA SUPERIOR U=17.5
COTA INF. Z=16
X1=5
X2=2.5
P2
X1=5.7
X2=2
Z=17.33
P3
X1=4
X2=3
Z=17
P4
X1=5
X2=2
Z=16
P5
X1=6
X2=1.75
Z=17.25
P6
X1=7
X2=1
Z=17
P7
PROBABILIDAD NO FACTIBLE
X1
1098765 PTO. OPTIMO4321
3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2
5.- MAX Z=4X1+3X2
S.a
4X1+9X2<=26
8X1+5X2<=17
X1, X2>=0 X1, X2 ENTEROS
L1: 4X1+9X2<=26
X1 X2
0 2.89
6.5 0
L2: 8X1+5X2<=17
X1 X2
0 3.4
2.13 0
P1: MAX Z=4X1+3X2
2 x (4X1+9X2<=26)
8X1+18X2=52
14
X2=2.69 X1=0.44
COTA SUPERIOR:
Z= 4X1+3X2
4(0.44)+3(2.69)=9.83
COTA INFERIOR
Z=4(0)+3(2)=6
P2: MAX Z=4X1+3X2
4X1+9X2<=26
8X1+18X2=52
X1=0 X2=0.03 Z=10.2
P3: MAX Z=4X1+3X2 P4: MAX Z=4X1+3X2
4X1+9X2<=26 4X1+9X2<=26
8X1+18X2=52 8X1+18X2=52
X1=1 X2=1.8 Z=9.4 PROBABILIDAD INFALIBLE
P5: MAX Z=4X1+3X2 P6: MAX Z=4X1+3X2
4X1+9X2<=26 4X1+9X2<=26
8X1+18X2=52 8X1+18X2=52
X1<=0 X2=1 X1=1.5 Z=9 X1=1 X2=1 Z=7
P7: MAX Z=4X1+3X2 P8: MAX Z=4X1+3X2
PROBABILIDAD INFALIBLE X1=2 X2=0.2 Z=8.6
P9: MAX Z=4X1+3X2
X1=2 X2=0 Z=8
PTO. OPTIMO
RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=2 X2=0 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 8
15
X1
1098765 PTO. OPTIMO4321
3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2L2
L1
6.-MAX Z=4X1+5X2
S.a
3X1+2X2<=10
X1+4X2<=11
3X1+3X2<=13
X1, X2>=0 X1, X2 ENTEROS
L1: 3X1+2X2<=10
X1 X2
0 5
3.33 0
L2: X1+4X2=11
X1 X2
16
0 2.75
11 0
L3:3X1+3X2=13
X1 X2
0 4.33
4.33 0
P1: MAX Z=4X1+5X2
X1=1.33 X2=3
COTA SUPERIOR:
Z=4X1+5X2=20.32
COTA INFERIOR
Z=4(1)+5(3)=19
P2: MAX Z=4X1+5X2
X1=1 X2=2.5 Z=16.5
P3: MAX Z=4X1+5X2
X1=2 X2=2 Z=18
PTO. OPTIMO
RESPUESTA: EL PUNTO OPTIMO DEL PL ENTERO ES X1=2 X2=2 QUE GENERA EL VALOR OPTIMO Z= 18
17
X1
109
L3765 PTO. OPTIMO
L1321
3 4 5 6 7 8 9 11 12 X2L2
L2
X1<=1 X1>=2
18
P1
COTA SUP U= 20.32
COTA INF Z=19
X1=1.33
X2=3
P2
PROB INFALIBLE
P3
X1=2
X2=2
Z=18
PTO. OPTIMO
7.- NO SE ENTIENDE
8.-MAX Z=7X1+3X2
S.a
2X1+X2<=9
3X1+2X2=13
L1: 2X1+X2=9
X1 X2
0 9
4.5 0
L2:3X1+2X2=13
X1 X2
0 6.5
4.3 0
P1: MAX Z=7X1+3X2
2 x (2X1+X2=9)
4X1+2X2=18
3X1+2X2=13
X1=5 X2=-1
19
MODELOS DE RED, CPM Y PERT
1.Widgetco está a punto de introducir un nuevo producto (producto 3).Una ciudad del producto 3 se produjo ensamblado 1 unidad del producto1 y una unidad del producto 2.Antes que comience la producción del producto 1 o 2, se debe comprar las materias primas y capacitar a los trabajadores. Antes de poder ensamblar los productos 1 y 2 en el producto 3, es necesario inspeccionar el producto terminado 2.La tabla 12 es una lista de actividades y sus predecesores y de la duración de cada actividad. Para esto dibuje un diagrama de proyecto.
TABLA 1
20
ACTIVIDADES
ABCDEF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 SEMANAS
RESPUESTA LAS ACTIVIDADES TERMINA EN 38 SEMANAS
DIAGRAMA PERT, CPM CON RUTA CRITICA
C8 F12A6
E10
B9
D7
I
2. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red
TABLA DE PRECEDENCIA PARA LAS TAREAS DEL PROYECTO DE PERIOD PUBLISHING COMPANY
21
GRAFICO GANTT
ACTIVIDADES
HGFEDCBA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 SEMANAS
RESPUESTA LAS ACTIVIDADES TERMINA EN 55 SEMANAS
2.- DIAGRAMA PERT, CPM CON RUTA CRITICA
C4 H2
B6
A30 G14F8
D5
E10
I
T
3. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red
PRIMERA LISTA DE ACTIVIDADES
22
3.- DIAGRAMA PERT
D
A E
G J
FH
B
CI
I
T
4. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red
PRIMERA LISTA DE ACTIVIDADES CON TIEMPOS ESPERADOS (EN SEMANAS)
23
GRAFICO GANTT
ACTIVIDADES
JIHGFEDCBA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 SEMANAS
RESPUESTA LAS ACTIVIDADES TERMINA EN 23 SEMANAS
24
4.- DIAGRAMA DE RED PERT, CPM CON RUTA CRITICA
D4
A3 E8
G4 J3
F2H2
B5
C3I5
I
T
5. En la siguiente tabla hallar su diagrama de red
LISTA DE ACTIVIDADES DEL PROYECTO DE LA ASPIRADORA PORTA-VAC
25
5.- DIAGRAMA DE RED
C
FA E D
G JB
HI
IT
MODELO DE TRANSPORTE.
Tenemos una red de carreteras. Hay varios puntos donde se va a producir algo y otros puntos donde se va a demandar algo.
26
Conociendo los costes de transporte, hay que elegir el camino para que el coste sea el mínimo posible.
Elegir desde que centro de producción atenderemos a cada centro de demanda.
Solución:
Lo primero que haremos será definir las variables:
Pi ------ producción máxima de cada centro i
Cij ---- coste de transporte de un centro i a un centro de demanda j
dj ----- demanda máxima en cada centro j
F.O..: Minimizar Σ Xij * Cij
Siendo Xij lo que producido en el centro i vamos a mandarlo al centro j.
S.a..: Para todo i: Σ Xij ≤ Pi
Para todo j: Σ Xij ≥ dj
Para todo i,j: Xij ≥ 0
Este problema se podría complicar dando nuevas restricciones como podrían ser el tener una demanda máxima y otra mínima. Lo mismo se podría aplicar a la producción.
Otro tipo de restricciones que se podrían introducir vendrían dadas por la aparición de almacenes intermedios. En ellos podríamos almacenar lo que hiciese falta, para repartirlo en otro momento por otros vehículos. Esto sería un modelo de transbordo.
También se puede dar una capacidad máxima a cada almacén.
El método simplex, manteniendo su factibilidad por aplicación sucesiva del
criterio2, trata de conseguir la factibilidad del dual, a la vez que su optimalidad.
Vamos a ver un caso de dualidad.
PRIMAL
F.O.: Min Σ Cj Xj
S.a.: Σ aij Xj ≥ dj para j = 1,...,n
Siendo:
Cj ≡ coste de producción (función de la materia prima consumida).
Xj ≡ consumo de materia prima.
27
di ≡ demanda
DUAL
F.O.: Max Σdi Yi para i = 1, ... , m
S.a.: Σ aij Yi ≤ Cj esto dice que no incremente los costes de producción.
Siendo:
Yi: Beneficio por satisfacer la demanda.
TEOREMA DEL MÉTODO DUAL.
LEMA:
El dual del dual es el primal.
DUAL-PRIMAL-DUAL entonces PRIMAL
Sea
P≡ Solución primal.
D≡ Solución dual.
Entonces se cumple:
P ≤ D
Si P = D entonces solución óptima.
Nota: Hay que tener en cuenta que una restricción del tipo:
2 X1 + 3 X2 + 5 X3 = 8 podemos transformarla en dos restricciones:
2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≥ 8
2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ 8 de aquí podemos pasar a:
-2 X1 – 3 X2 – 5 X3 ≤ -8
2 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ 8
28