MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA:

DEFINICION Y MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA:

Un modelo de programación entera es un modelo que contiene restricciones y una función objetivo idéntica a las formuladas por planeación lineal. La única diferencia es que una o más de las variables de decisión tienen que tomar un valor entero en la solución final. Existen tres tipos de modelos de programación entera: Pura, Binaria, Mixta.

Programación Entera Pura Un Modelo Entero Puro (PLE):

Es, como su nombre lo indica, un problema en el que se exige que todas las variables de decisión tengan valores enteros. Por ejemplo:

Min 6x1 + 5x2 + 4x3 s.a. 108x1 + 92x2 + 58x3 >= 576 7x1 + 18x2 + 22x3 >=83x1, x2, x3>= 0 y enteros. Es un modelo entero puro. Sin las restricciones adicionales de que x1, x2, x3 sean enteras (o sea las condiciones de integridad) sería un problema de programación lineal.

PROGRAMACION ENTERA MIXTA:

Algunas de las variables de decisión tienen valores enteros. Las demás cumplen con la suposición de divisibilidad. Un problema en el que solo se requieren que algunas variables tenga valores enteros mientras que otras pueden asumir cualquier número no negativo (es decir, cualquier valor continuo) se llama programación lineal entera mixta (PLEM). Por ejemplo, supóngase que en el problema solo x1 y x2 deben ser enteros y x3 no.

PROGRAMACION ENTERA BINARIA.

Utiliza variables binarias

Programación Entera Binaria:

En algunos problemas se restringe el valor de las variables a 0 o 1. Son de particular interés debido a que se pueden usar las variables 0-1 para representar decisiones dicotomías (sí o no). Diversos problemas de asignación, ubicación de plantas, planes de producción y elaboración de cartera, son de programación lineal entera 0-1.

Existen dos métodos para generar las restricciones especiales que fuercen la solución óptima del problema, hacia la solución óptima entera deseada: - Método de ramificar y acotar. – Método de planos de corte. Desafortunadamente, ninguno de los dos métodos es efectivo en la solución de problemas de programación lineal entera.

METODO DE LOS PLANOS DE CORTE GOMORY:

Sea un modelo de programación lineal con n variables y m restricciones (m< n), donde las variables han de tomar valores enteros.

Al relajar la condición de que las variables sean enteras y resolver el problema de P.L. continua asociado, vamos a suponer que en la solución final las variables básicas son las m primeras. Si todos los términos independientes son enteros hemos encontrado una solución óptima entera y el problema se ha terminado. En otro caso, la solución encontrada es infactible. Todo número real puede descomponerse en la suma de su parte entera y su parte decimal, que es siempre positiva:

R= E + D. Y recordemos que

E DE + ≥ → ≥ 0 0

Cada coeficiente del conjunto de restricciones puede ser expresado como suma de su parte entera y su parte decimal.

Cortes De Gomory.

En matemática, y más en concreto en optimización, el método de los planos de cortes es un procedimiento para encontrar soluciones enteras de un problema lineal. Fue introducido por Gomory.

Funciona resolviendo un programa linar no entero, después comprobando si la optimización encontrada es también una solución entera. Si no es así, es añadida una nueva restricción que corta la solución no entera pero no corta ningún otro punto de la región factible. Esto se repite hasta que se encuentra la solución entera óptima X ¿ .

Interpretación geométrica, una restricción es equivalente a un hiperplano, permitiendo solo soluciones en uno de los lados del plano.

Es primer lugar, hemos de resolver el problema de manera “tradicional”, es decir sin tener en cuenta que algunas o todas las variables del problema deben ser enteras. Si la solución obtenida, x¿, es entera, ésa será la solución a nuestro problema original. En caso contrario se construye un PLANO DE CORTE, un hiperplano αtx = β, que divide el conjunto de oportunidades, X, en dos subconjuntos. Uno de ellos contiene la solución no entera x¿ y el otro conjunto de soluciones enteras del problema. A partir de una solución no entera se van construyendo planos de corte, de tal forma que los cortes asociados a los mismos generan de forma iterada la solución entera buscada, si existe. Para ello se añade a las restricciones que definen el conjunto de oportunidades, restricciones de desigualdad αtx ≤ β que verifican todas las soluciones enteras del problema y elimina del conjunto de oportunidades algunas de las no enteras.

Capítulo 7

Programación entera:

Algoritmo de corte

En cada etapa de bifurcación, en el algoritmo de bifurcación y acotación, la región factible actual (para el programa actual, no tomando en cuenta las restricciones de enteros) se acorta en dos regiones más pequeñas (una de las cuales puede ser vacía), debido a la imposición de dos nuevas restricciones derivadas de la primera aproximación al programa actual. Esta división es tal, que la solución óptima al programa actual debe aparecer como la solución óptima a uno de los dos nuevos programas. Los algoritmos de corte del presente capitulo operan esencialmente de este modo, con la única diferencia de que se agrega solo una nueva restricción en cada etapa, por lo que la regio factible disminuye sin dividirse.

ALGORITMO DE GOMORY

Las nuevas restricciones se determinan mediante el siguiente procedimiento de tres pasos:

PASO 1 En el tableau símplex final actual, selecciónese una (cualquiera) de las variables no enteras y, sin asignar valores cero a las variables que no sean básicas, considérese la ecuación de restricción representada por el renglón de la variable elegida.

PASO 2 Reescríbase cada coeficiente y constante fraccionarios de la ecuación de restricción obtenida en el paso 1, como la suma de un entero y una fracción positiva entre 0 y 1. Escríbase ahora la ecuación de forma que el lado izquierdo contenga solamente términos con coeficientes fraccionarios (y una constante fraccionaria), mientras que el lado derecho contendrá solo términos con coeficientes entero (y una constante entera).

PASO 3 Hágase que el lado izquierdo de la nueva expresión de la ecuación sea no negativo. La desigualdad resultante es la nueva restricción.

CONSIDERACIONES PARA LAS CÁLCULOS

Se ahorra tiempo en los cálculos, si se anexa la nueva desigualdad de restricción obtenida en el paso 3 a las ecuaciones de restricción descritas en el tableau símplex final actual, en vez de hacerlo con las restricciones algebraicamente equivalentes dadas en el programa original.

El algoritmo de corte de Gomory puede no ser convergente; es decir, que puede no obtenerse una solución entera a pesar del número de iteraciones. Sin embargo, por lo general el algoritmo converge y esto sucede razonablemente rápido. Por este motivo, a menudo se establece, antes de iniciar los cálculos, un límite superior de iteraciones que se realizarán. Si no se obtiene la solución entera dentro de esta cota, se abandonará el algoritmo.

No existe razones teóricas para elegir entre el algoritmo de Gomory y el de bifurcación y acotación. El algoritmo de bifurcación y acotación es el más favorecido en la práctica.