Investigacion Operativa Examen

Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería Química

Investigación Operativa

Examen 1° Hemisemestre Ejercicios:

1) Determinar el equilibrio de Nash por indiferencia de:

𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐𝑏 𝑒 ℎ𝑐 ℎ 𝑓

𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑝1

𝑝2

𝑝( ℎ ℎ

) 3

Donde : ( 1 2 3) = ( ℎ )

Para µ 𝑢1 = 𝑎𝑞1 + 𝑏𝑞2 + 𝑐𝑞3

𝑢2 = 𝑏𝑞1 + 𝑒𝑞2 + ℎ𝑞3

𝑢3 = 𝑐𝑞1 + ℎ𝑞2 + 𝑓𝑞

3

Para vi,

𝑣1 = 𝑎𝑝1 + 𝑏𝑝2 + 𝑐𝑝3

𝑣2 = 𝑏𝑝1 + 𝑒𝑝2 + ℎ𝑝3

𝑣3 = 𝑐𝑝1 + ℎ𝑝2 + 𝑓𝑝

3

q = p 1 = 1 + 2 + 3

2 = 1+ 2 + ℎ 3

3 = 1 + ℎ 2 + 3

Donde: 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = 1

Tenemos:

1 = 2 = 3 (1)

3 = 1 1 2 (2)

Reemplazando 1 2 3: 𝑢1 = 𝑎𝑞1 + 𝑏𝑞2 + 𝑐(1 𝑞1 𝑞2) = 𝑎𝑞1 + 𝑏𝑞2 + 𝑐 𝑐𝑞1 𝑐𝑞2

𝑢2 = 𝑏𝑞1 + 𝑒𝑞2 + ℎ(1 𝑞1 𝑞2) = 𝑏𝑞1 + 𝑒𝑞2+ ℎ ℎ𝑞1 ℎ𝑞2

𝑢3 = 𝑐𝑞1 + ℎ𝑞2 + 𝑓(1 𝑞1 𝑞2) = 𝑐𝑞1 + ℎ𝑞2 + 𝑓 𝑓𝑞1 𝑓𝑞2

Sabemos que: 1 = 2 = 3

Para 1 = 2, tenemos:

1 + 2 + 1 2 = 1 + 2 + ℎ ℎ 1 ℎ 2

1 1 + ℎ 1 1 = 2 + ℎ + 2 ℎ 2 2

1( + ℎ ) = 2( + ℎ ) + ℎ

1 = ( )

( )(3)

Para 2 = 3, tenemos:

1 + 2 + ℎ ℎ 1 ℎ 2 = 1 + ℎ 2 + – 1 2

1 ℎ 1 1 + 1 = ℎ 2 + 2 2 ℎ +

ℎ 2

1( ℎ + ) = 2(ℎ + ℎ) + ℎ

1 = ( )

( ) (4)

Igualando (3) y (4)

(3) = (4)

2( + ℎ ) + ℎ

( + ℎ )=

2( ℎ ) + ℎ

( ℎ + )

2( + ℎ )

+ ℎ

2( ℎ )

ℎ + =

ℎ

ℎ +

ℎ

+ ℎ

2 =

ℎ ℎ +

ℎ

+ ℎ

( + ℎ ) + ℎ

( ℎ ) ℎ +

𝒒𝟐 = (𝒇 𝒉)(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄) (𝒉 𝒄)(𝒃 𝒉 𝒄 + 𝒇)

(𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃) (𝒃 𝒉 𝒄 + 𝒇) (𝟐𝒉 𝒇 𝒆) (𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)



Reemplazando q2 en (3):

1 = 2( + ℎ ) + ℎ

( + ℎ )

1

= [( ℎ)( + ℎ ) (ℎ )( ℎ + )

( + ℎ ) ( ℎ + ) ( ℎ ) ( + ℎ )]( + ℎ ) + ℎ

( + ℎ )

𝒒𝟏 = [(𝒇 𝒉)(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄) (𝒉 𝒄)(𝒃 𝒉 𝒄+ 𝒇)

(𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃) (𝒃 𝒉 𝒄+ 𝒇) (𝟐𝒉 𝒇 𝒆) (𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)](𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃)

(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)

𝒉 𝒄


Reemplazando:

3 = 1 1 2

3 = 1 [( )( ) ( )( )

( ) ( ) (2 ) ( )]( )

( )

( ) -

( )( ) ( )( )

( ) ( ) (2 ) ( )

𝒒𝟑 = 𝟏 [(𝒇 𝒉)(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄) (𝒉 𝒄)(𝒃 𝒉 𝒄+ 𝒇)

(𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃) (𝒃 𝒉 𝒄+ 𝒇) (𝟐𝒉 𝒇 𝒆) (𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)] [

(𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃)

(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄) 𝟏]

𝒉 𝒄


2. Plantear un problema, utilizando el programa R para un problema Proceso de Matriculación en la Facultad de Ingeniería Química

El proceso de matriculación en la Facultad de Ingeniería Química en los

últimos tiempos se ha convertido en una de las principales dificultades que

afrontan los estudiantes ya sea por la ineficiencia del sistema académico o

por la falta de organización de las autoridades correspondientes; para tratar

de superar este inconveniente se proponen 5 opciones de matrícula y están

son puestas en consideración de los estudiantes obteniéndose los siguientes

resultados:

Total de alumnos matriculados: 698 alumnos

Opciones puestas en consideración

Caso A: Matriculas personalizadas en secretaria.

Caso B: Matriculas por semestres y en secretaria.

Caso C: Matricula por el sistema universitario y entrega de papeles

en secretaria.

Caso D: Matricula por el sistema sin entrega de papeles.

Caso E: Matricula automática cada semestre.

Datos recogidos Caso Número de estudiantes Porcentaje

Caso A 105 15.04%

Caso B 56 8.022%

Caso C 84 12.034%

Caso D 161 23.066%

Caso C 292 41.838%

Total 698 100%

Análisis

Shapley Value

CasoA 100.45000

CasoB 95.28333

CasoC 59.20000

CasoD 150.03333

CasoE 237.03333



Characteristic form of the game Number of agents: 5

Coaliton Value(s)

v(i) 1 105

2 56

3 84

4 161

5 292

12 161

13 189

14 266

15 397

23 140

24 217

25 384

34 453

35 245

45 376

123 245

124 322

125 453

134 350

135 481

145 558

234 301

235 432

245 537

345 406

1234 537

1235 593

1245 698

1345 509

2345 614

12345 642

Model name: Nucleolus of a gains game

C1 C2 C3 C4 C5 C6

Minimize 0 0 0 0 0 -1

R1 0 0 0 0 0 1 >= 0

R2 1 0 0 0 0 -1 >= 105

R3 0 1 0 0 0 -1 >= 56

R4 1 1 0 0 0 -1 >= 161

R5 0 0 1 0 0 -1 >= 84

R6 1 0 1 0 0 -1 >= 189

R7 0 1 1 0 0 -1 >= 140

R8 1 1 1 0 0 -1 >= 245

R9 0 0 0 1 0 -1 >= 161

R10 1 0 0 1 0 -1 >= 266

R11 0 1 0 1 0 -1 >= 217

R12 1 1 0 1 0 -1 >= 322

R13 0 0 1 1 0 -1 >= 453

R14 1 0 1 1 0 -1 >= 350

R15 0 1 1 1 0 -1 >= 301

R16 1 1 1 1 0 -1 >= 537

R17 0 0 0 0 1 -1 >= 292

R18 1 0 0 0 1 -1 >= 397

R19 0 1 0 0 1 -1 >= 384

R20 1 1 0 0 1 -1 >= 453

R21 0 0 1 0 1 -1 >= 245

R22 1 0 1 0 1 -1 >= 481

R23 0 1 1 0 1 -1 >= 432

R24 1 1 1 0 1 -1 >= 593

R25 0 0 0 1 1 -1 >= 376

R26 1 0 0 1 1 -1 >= 558

R27 0 1 0 1 1 -1 >= 537

R28 1 1 0 1 1 -1 >= 698

R29 0 0 1 1 1 -1 >= 406

R30 1 0 1 1 1 -1 >= 509

R31 0 1 1 1 1 -1 >= 614

R32 1 1 1 1 1 0 = 642

Claims of the Agents

CasoA CasoB CasoC CasoD CasoE

31.25 30.00 23.75 10.00 5.00

Assignments according to the following rules

Proportional CEA CEL Talmud RA

CasoA 218.12 31.25 150.85 150.85 31.25

CasoB 209.40 30.00 149.60 149.60 30.00

CasoC 165.78 23.75 143.35 143.35 23.75

CasoD 69.80 10.00 129.60 129.60 10.00

CasoE 34.90 5.00 124.60 124.60 5.00

Inequality Analysis among rules (Gini Index)

Proportional CEA CEL Talmud RA

0.29 0.29 0.04 0.04 0.29

Conclusión: La mejor opción de

matrículas en la facultad de

Ingeniería Química es el caso E

donde con una matrícula automática

se evitarían los contratiempos con el

sistema académico y la acumulación

de personas en los exteriores de la facultad.

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