IO
-
Upload
jorge-javier-nunez-ginez -
Category
Education
-
view
3.060 -
download
0
description
Transcript of IO
![Page 1: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/1.jpg)
1
ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA
DEL LITORAL
INGENIERIA EN LOGISTICA Y TRANSPORTE
CURSO: INVESTIGACION DE OPERACIONES II
I TERMINO 2008-2009
![Page 2: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/2.jpg)
2
1. Introducción: La logística y la estadística
¿Qué es la Investigación de Operaciones (IO)?
La IO consiste en el uso de métodos analíticos avanzados que ayudan en la toma
de decisiones.
Estos métodos analíticos incluyen:
Optimización: encontrar la mejor decisión posible de entre un conjunto de
alternativas.
Simulación: imitación de la realidad (comportamientos, materiales, ideas, …) que
ahorra tiempo y costos.
Probabilidad y estadística: ayuda a resumir / analizar información, medir
riesgos, realizar predicciones, etc.
Intuición Metodología formal
Sentido
común
Modelo
matemátic
o
INVESTIGACION DE OPERACIONES I (LP, MIP)
Vs.
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
![Page 3: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/3.jpg)
3
1. Introducción: La logística y la estadística
DEFINICIONES, USOS:
La Estadística, es la rama de las matemáticas que se ocupa de reunir,organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas comola toma de decisiones.
Nos permite obtener información referida a grandes grupos de individuosconociendo los datos de sólo unos pocos.
Permite describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos,sociales, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta pararelacionar y analizar dichos datos.
La Estadística responde a las necesidades del desarrollo científico ytecnológico de la sociedad
![Page 4: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/4.jpg)
4
1. Introducción: La logística y la estadística
APLICACIONES:
Las técnicas de Investigación de Mercados permiten saber si un producto cualquiera será bien acogido en el mercado antes de su salida a este, o bien medir la audiencia en Televisión y Radio.
El Control de Calidad permite medir las características de la calidad de un producto, compararlas con ciertos requisitos y tomar decisiones correctivas si hay diferencias entre el funcionamiento real y el esperado.
Análisis de confiabilidad, cálculo actuarial, bioestadística, Series de tiempo, etc.
En técnicas de decisión, permite la construcción de los denominados Árboles de decisión, una técnica muy usada para tomar decisiones en ambientes de incertidumbre
![Page 5: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/5.jpg)
5
1. Introducción: La logística y la estadística
ESTADISTICA = MEDIDA DE LO DESCONOCIDO
La estadística está asociada a la medición de la Incertidumbre
En logística la incertidumbre está presente de muchas formas: en la demanda de los artículos que están en el inventario, en los tiempos de entrega de los pedidos, en los costos de adquisición de la materia prima, en el costo del dinero, en la eficiencia de los empleados.
Generalmente ante la incertidumbre sobre el comportamiento futuro de una variable se deben aumentar las medidas de protección de aquello que pueda resultar afectado por los cambios imprevisibles de esta variable. Por ejemplo en la gestión de inventarios, el responsable logístico deberá aumentar las existencias a medida que la demanda se hace mas imprevisible. En otras palabras, la incertidumbre se paga, ¡es un coste!, y por tanto debe ser bien investigada y medida.
![Page 6: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/6.jpg)
6
1. Introducción: La logística y la estadística
Específicamente la Gestión de la Cadena de Suministro (SCM – Supply
Chain Management) tiene como objetivo final la entrega de un producto a
un cliente. Esto quiere decir, que la cadena de suministro incluye las
actividades asociadas desde la obtención de materiales para la
transformación del producto, hasta su colocación en el mercado.
El flujo en la cadena no solo es de productos, también es de información.
Y es en el tratamiento de la información en donde es importante la
estadística (y los modelos estadísticos de toma de decisión)
![Page 7: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/7.jpg)
7
1. Introducción: La logística y la estadística
Todos los elementos
objetos de estudio
Subconjunto de la
población
PARAMETROS
ESTIMADORES
MUESTRA
POBLACION
Estadística descriptiva
Estadística inferencial
Estadística descriptiva
Las técnicas estadísticas básicas suelen clasificarse de acuerdo a su
naturaleza en:
•Estadística descriptiva, y
•Estadística inferencial.
![Page 8: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/8.jpg)
8
2. Descripción de datos: Escalas de medida
El primer paso para poder hacer cualquier análisis estadístico es la obtención de la data. El proceso estadístico por medio del cual se toma datos de una población se denomina muestreo, el conjunto de datos obtenido se denomina muestra.
La data está conformada por las mediciones de características de los elementos de la población, dichas características se denominan variables.
Las variables difieren en "qué tan bien" se pueden medir, ¿cuánta información medible puede proporcionar su escala de medida?
Específicamente las variables son clasificadas como:
(a) nominales, (b) ordinales, (c) de escala
![Page 9: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/9.jpg)
9
2. Descripción de datos: Escalas de medida
(a) Nominal: se utilizan nombres para establecer categorías
Ejemplos: género, la raza, el color, la ciudad, tipo de artículo de
inventario, etc.
![Page 10: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/10.jpg)
10
2. Descripción de datos: Escalas de medida
(b) Ordinales: nos permiten ordenar los artículos que medimos en términos
del que tiene menos y el que tiene más de la calidad representada por la
variable
Ejemplos: nivel socio-económico, rango, etc.
![Page 11: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/11.jpg)
11
2. Descripción de datos: Escalas de medida
(c) De escala: no sólo nos permiten ordenar los artículos que son
medidos, sino también cuantificar y comparar los tamaños de diferencias
entre ellos. Ofrecen un punto de cero absoluto identificable, así permiten
las declaraciones como las de que “x es dos veces más de y”.
Ejemplos: temperatura, peso, estatura, ventas, etc.
![Page 12: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/12.jpg)
12
2. Descripción de datos: Escalas de medida
Complejidad: la complejidad aumenta con cada una de las escalas de
medición, desde la simpleza de la escala nominal hasta el refinamiento
de la escala de razón. El tipo de técnicas estadísticas que se puede
emplear en cada escala de medida es diferente (por ejemplo en pruebas
de hipótesis)
Nominal
Ordinal
Escala
Pruebas
No paramétricas
Pruebas
Paramétricas
![Page 13: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/13.jpg)
13
2. Descripción de datos: base de datos
Creación de la base de datos electrónica
El software estadístico especializado (SPSS, SAS, S-PLUS, R, MINITAB, STATISTICA, etc.) requiere un ordenamiento del archivo de datos a analizar. Este ordenamiento está referido a filas y a columnas
Cuando hablamos de casos nos referimos a c/u de los registros obtenidos al investigar, muestrear, entrevistar, etc.
Con variables indicamos a las características que pueden tener estos datos
![Page 14: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/14.jpg)
14
2. Descripción de datos: base de datos
CASOS: si se usa una hoja electrónica generalmente se los
ubica en filas
![Page 15: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/15.jpg)
15
2. Descripción de datos: base de datos
VARIABLES: en columnas
![Page 16: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/16.jpg)
16
2. Descripción de datos: base de datos
PROCESAMIENTO EN SPSS:
El editor de datos tiene dos vistas diferentes: vista de datos y vista de
variables. La primera tiene una estructura similar a la de una hoja de
cálculo (Excel), y se usa para introducir los datos que se quieren
analizar. El SPSS maneja los datos en términos de variables, cada una de
las cuales corresponde a una columna de la pantalla. Esto quiere decir
que si queremos introducir unos datos, cada variable debe ir en una
columna.
Al introducir los datos en el visor de datos, podemos pensar en que
estamos rellenando una “encuesta”: cada línea horizontal de la
cuadrícula sería un “encuestado" (caso), al que le corresponde un valor
de cada una de las variables que intervienen en el problema (columnas).
![Page 17: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/17.jpg)
17
2. Descripción de datos: base de datos
Entreviste a la totalidad de sus compañeros de clase y para cada una de
las variables que se presentan a continuación construya la boleta de
encuesta, defina las escalas de medición de cada una de ellas, y la base
de datos electrónica.
Variables a medir.
Género del entrevistado
Edad
Ingresos mensuales Promedio
Estado civil
Posee vehículo
Periódico preferido para leer noticias
![Page 18: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/18.jpg)
18
2. Descripción de datos: medidas
Medidas numéricas:
De tendencia central: Permiten describir la región “media” hacia adonde se
agrupan los datos
Probablemente la estadística descriptiva mas usada es la media. La media es
una medida muy informativa de la tendencia “central” de la variable si se
reporta con sus intervalos de confianza. Otras son: la moda, la mediana.
De dispersión: Son una medida de que tan dispersos están los datos (que tan
lejanos están entre ellos).
Las mas usadas son: desviación típica, varianza, coeficiente de
variación, rango.
![Page 19: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/19.jpg)
19
2. Descripción de datos: medidas
Media: ( o ) mas usada
Desviación típica: ( o S ) depende de la magnitud de la variable, no puede tener la misma medida de incertidumbre la venta de un producto cuya media sea de 10 unidades mensuales que otro cuya venta media sea de 10.000
Coeficiente de variación: / , Que tan predecible es una variable en el futuro. Ver el ejemplo siguiente (demanda en la cadena de abastecimiento).
X
![Page 20: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/20.jpg)
20
2. Descripción de datos: medidas
ANALISIS DE UN CASO: la demanda en la cadena de abastecimiento
Se tienen los siguientes datos referidos a la venta mensual que hace un minorista de dos productos A, B en un año:
Podría suponerse que la incertidumbre es menor para el producto A (si se observa la desviación típica). Sin embargo en el producto A la variabilidad representa el 85.1% sobre la media, mientras que en B es el 50.9%, por lo que en realidad la venta del producto A tiene mayor incertidumbre que la de B
Si agregamos la venta de los dos productos:
período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m edia des. Típ CV
venta A 0 0 15 25 12 11 4 8 6 0 10 16 8.9 7.59 85.10%
venta B 1100 900 340 650 260 800 730 100 540 780 300 490 582.5 296.5 50.50%
período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m edia des. T íp CV
venta A 0 0 15 25 12 11 4 8 6 0 10 16 8.9 7.59 85.10%
venta B 1100 900 340 650 260 800 730 100 540 780 300 490 582.5 296.5 50.50%
venta total 1100 900 355 675 272 811 734 108 546 780 310 506 49.60%
![Page 21: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/21.jpg)
21
2. Descripción de datos: medidas
ANALISIS DE UN CASO: la demanda en la cadena de abastecimiento
Algunas concusiones que se pueden observar de este caso simple:
El coeficiente de variación es mas sensible para detectar la variabilidad de una serie de datos
Cuánto menor es la venta de un producto, suele ser mayor su incertidumbre ( y por tanto proporcionalmente requerirán más inventario)
Cuando se agregan datos, la incertidumbre del total agregado disminuye (por tanto es mas fácil pronosticar sobre la demanda de grupos de productos)
![Page 22: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/22.jpg)
22
2. Descripción de datos: gráficas
DESCRIPCION GRAFICA
¡ Una imagen vale más que mil palabras !
Un aspecto importante de la "descripción" de una variable es la forma
de su distribución, que le dice la frecuencia de valores de rangos
diferentes de la variable. Típicamente, un investigador está interesado
en qué la distribución pueda aproximarse bien por la distribución
normal
HISTOGRAMAS 2D, 3D: representación gráfica de la distribución de
frecuencia de la(s) variable(s) seleccionada(s)
Otros gráficos
![Page 23: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/23.jpg)
23
2. Descripción de datos: gráficas
Histo g ra m (In d ice s 8 v*2 0 c)
NA S DA Q = 2 0 *0 ,1 3 9 1 *n o rm a l(x; -0 ,0 3 7 8 ; 0 ,2 7 5 8 )
-0 ,4 5 7 1 4 9 7 6 7 9
-0 ,3 1 8 0 5 3 6 5 8 3
-0 ,1 7 8 9 5 7 5 4 8 8
-0 ,0 3 9 8 6 1 4 3 9 2
0 ,0 9 9 2 3 4 6 7 0 4
0 ,2 3 8 3 3 0 7 7 9 9
0 ,3 7 7 4 2 6 8 8 9 5
0 ,5 1 6 5 2 2 9 9 9 1
NA S DA Q
0
1
2
3
4
5
6
No
of
ob
s
Bivariate H is togram (Sports .s ta 14v*100c)
![Page 24: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/24.jpg)
24
2. Descripción de datos: gráficas
ANALISIS DE UN CASO: la demanda en la cadena de abastecimiento
(... continuación)
• Se pide analizar la siguiente tabla y entender el concepto de “efecto
látigo), para ello leer el documento EFECTO LATIGO. DOC
• Los datos son los siguientes:
DEM ANDA EN UNIDADES PO R SEM ANA
Sem . 1 Sem . 2 Sem . 3 Sem . 4 Sem . 5 Sem . 6 Sem . 7 Sem . 8 Sem . 9 Sem . 10 Sem . 11
Dem anda m ercado 0 22 15 10 13 17 19 10 15 12 8
Stock en m inorista 0
Pedidos del m inorista
Stock en M ayorista 0
Pedidos del m ayorista
Punto de reposición para el m inorista = 20 unidades. Cantidad de pedido = 50 unidades.
Punto de reposición para el m ayorista =30 unidades. Cantidad de pedido =100 unidades.
T iem pos de sum inistro para el m ayorista y el m inorista (Lead tim e) = 1 sem ana
![Page 25: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/25.jpg)
25
3. Control de Inventarios
VER DESARROLLO EN CLASE.
![Page 26: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/26.jpg)
26
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
Experimento aleatorio: Un experimento en el cual el resultado es incierto,
pero se conoce el conjunto de posibles resultados del mismo (denominado
espacio muestral, )
Evento: cualquier subconjunto del espacio muestral. Y se denomina evento
elemental a cualquier evento formado por un solo elemento.
Si el experimento aleatorio se realiza n veces, en las mismas condiciones, la
frecuencia con la que un evento A ocurre es el número de veces que el
experimento aleatorio resulta en A.
La frecuencia relativa de A es la frecuencia con la que ocurre A sobre el
número total de repeticiones.
![Page 27: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/27.jpg)
27
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
PROBABILIDAD
CONDICIONAL:
Def: Dados dos eventos A, B se
define la probabilidad condicional
de A dado B como:
/ ;
0
P A BP A B
P B
P B
/ , y,
/
P A B P A
P B A P B
Probabilidad Condicional e independencia:
INDEPENDENCIA:
Def: Dados dos eventos A, B se
dice que los dos eventos son
independientes si
![Page 28: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/28.jpg)
28
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
¿La evaluación de la prob. de A cambia si tenemos
conocimiento de la ocurrencia de B?
Def: Los eventos A, B se dicen independientes si:
P(A/B)=P(A)
P(B/A)=P(B)
Obs: (1) A y B son independientes ssi:
P(A B)=P(A)P(B)
(2) A1, A2, …, An son independientes si para cualquier
subconjunto de eventos A(1), A(2), …, A(k):
11
k k
i i
ii
P A P A
![Page 29: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/29.jpg)
29
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
PARTICIONES:
Def: Dado un e.m. se dice que los eventos B1, B2, …, Bk
forman una partición si:
1. B1 B2 … Bk=
2. Bi Bj = ; i j
1 1 2 2/ / ... /
k kP A P A B P B P A B P B P A B P B
Regla de Bayes:
1
//
/
j j
j k
i i
i
P A B P BP B A
P A B P B
PROBABILIDAD TOTAL:
TEOREMA DE BAYES:
![Page 30: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/30.jpg)
30
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
1
i i
i n
j j
j
P A B P BP B A
P A B P B
Predictor
o evidencia
Verosimilitudes
Prob. A priori
Prob. posterior
P(A)=verosimilitud marginal
TEOREMA DE BAYES:
![Page 31: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/31.jpg)
31
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
TEOREMA DE BAYES:Proporciona una regla matemática que explica cómo uno debe cambiar sus
creencias teniendo en cuenta nueva evidencia. Es decir permite que los
investigadores combinen nuevos datos con su conocimiento o experiencia
existente. Un ejemplo didáctico es imaginarse que un recién nacido
observa su primera puesta del sol, y que el se pregunta si el sol saldrá otra
vez o no. Lo natural será que asigne probabilidades a priori iguales a
ambos resultados posibles, lo cual representa colocando un bloque blanco
y uno negro en un bolso. El día siguiente, cuando ve que sale el sol, el niño
coloca otro bloque blanco en el bolso. La probabilidad que un bloque
extraído aleatoriamente del bolso sea blanco (es decir, el grado de creencia
del niño en que el sol saldrá en todos los días futuros) ha cambiado de 1/2 a
2/3. Después de la salida del sol el día siguiente, el niño agrega otro bloque
blanco, y la probabilidad (y por tanto el grado de creencia) pasa de 2/3 a
3/4. Y así sucesivamente. Gradualmente, la creencia inicial de que es tan
probable de que el sol salga o no salga cada mañana se modifica para
convertirse en una casi-certeza de que el sol siempre se levantará.
![Page 32: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/32.jpg)
32
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
Ejemplo:
Una chica generalmente prefiere usar pantalón para ir a la Universidad, y falda si va a una fiesta. Es mas, según la frecuencia con que lo hace, se puede asegurar que:
P(pantalón/va a la U)=0.8
P(falda/va a una fiesta)=0.9
Los viernes en la tarde esta chica sale a la U con probabilidad p (y a una fiesta con probabilidad 1–p), el valor de p podría ser asignado subjetivamente por un experto (alguien que mira a la chica) o de acuerdo a la frecuencia con la que va a la universidad los viernes (asignación frecuentista de la probabilidad)
![Page 33: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/33.jpg)
33
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
Ejemplo:
Predictor (evidencia):
(1): Falda
(2): Pantalón
Prob. a priori:
Prob. Posterior:
P(va a F/pantalón) = 1-P(va a la U/pantalón)
P(va a la U/falda)=1- P(va a F/falda)
0.8* Va a la U pantalón
0.7 0.1
pp P
p
0.9(1 )* * Va a F falda
0.9 0.7
pp P
p
P(va a la U)=p
P(va a F) = 1-p
![Page 34: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/34.jpg)
34
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
Por ejemplo, si la chica los viernes va con tanta frecuencia a la Universidad que
a una fiesta:
p=0.5
La evidencia va a aumentar nuestra creencia de que va a la Universidad
O sea que es menos probable que la chica use pantalón si va a la U que use falda
si va a una fiesta (0.8<0.9), pero en cambio es más probable que vaya a la U
dado que sale con pantalón que vaya a una fiesta si es que sale con falda
(0.88>0.82).
¿Paradoja?:
Va a la U pantalón 0.88p P
* * Va a Fiesta falda 0.82p P
![Page 35: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/35.jpg)
35
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
La relación entre las probabilidades a posteriori p* y p** en función de la
probabilidad a priori p se observa en el siguiente gráfico.
0.2 0.4 0.6 0.8 1p
0.2
0.4
0.6
0.8
1
En negro p , en rojo p
![Page 36: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/36.jpg)
36
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud¿Paradoja?:
No, lo que pasa es que no se han analizado los falsos positivos (falsos negativos)
Para esto se definen los odds (que tan probable es un evento frente a otro):
i i i
j j j
P B A P A B P B
P B A P A B P B
Odds Posterior Odds Apriori
Razón de verosimiltud: L.R
Obs: si A es independiente con Bi y Bj : LR=1
La información de LR es que es una medida de la información contenida
exclusivamente en los datos, generalmente se aplica cuando Bi y Bj son
complementarios, por ejemplo SANO y ENFERMO, FUNCIONANDO Y
DAÑADA, ETC.
![Page 37: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/37.jpg)
37
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
En el ejemplo:
Es decir el predictor Pantalón es más verosímil que falda !!
Por ejemplo con p=1/2:
Con pantalón es 8 veces más probable acertar con la predicción que va a la Universidad,
Con falda es 4.5 veces más probable acertar con la predicción que va a fiesta
U Pantalón U Pantalón U U8
F Pantalón F Pantalón F F
F Falda F Falda F F4.5
U Falda U Falda U U
P P P P
P P P P
P P P P
P P P P
Odds: (razón??): Indicador de cuánto mas probable es la ocurrencia de un evento frente a otro
![Page 38: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/38.jpg)
38
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
Ejemplo:
Supongamos que la incidencia de una cierta enfermedad en una población es de 0.001. Una prueba de diagnóstico para esta enfermedad tiene una tasa de falsos positivos de 0.05 y una tasa de falsos negativos de 0.01 (es decir un 5% de las pruebas de personas no enfermas indicarán la presencia de la enfermedad, mientras que el 1% de las pruebas en gente enferma no detectarán la presencia de la enfermedad.
a) Si una persona se hace la prueba, y el test da positivo, cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?
b) Si una persona se hace la prueba, y el test da negativo, cuál es la probabilidad de que realmente esté sana?
![Page 39: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/39.jpg)
39
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
En las aplicaciones la incertidumbre es común, y no es la excepción. Por ejemplo
en el diagnóstico médico: dado que el paciente presenta unos síntomas, cuál de
las enfermedades posibles padece?
Los hechos o datos no se conocen con exactitud. Puede o no estar seguro que
tuvo fiebre.
El conocimiento no es determinista, las relaciones entre enfermedad y síntomas
no son exactas.
Estas mismas características se pueden observar en otras aplicaciones:
Control de Calidad
Confiabilidad
Sistemas expertos
![Page 40: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/40.jpg)
40
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
Modelos Bayesianos (un ejemplo)
Se considera el envío de N artículos manufacturados de un lote de producción. Un número desconocido N de estos son defectuosos. Es muy costoso examinar todos los artículos, por lo cual para obtener información sobre la calidad del lote, se obtiene una muestra de nobjetos sin reemplazo para ser inspeccionados. El dato observado es el número de artículos defectuosos en la muestra.
Es la proporción de defectuosos en la muestra
N es el parámetro (desconocido), y en principio puede tomar cualquier valor de 0 a N, así, aunque el e.m. esté completamente definido no se puede especificar la estructura de probabilidad completamente, sin embargo se puede determinar una familia {H(N , N, n)} de distribuciones de probabilidad para la variable aleatoria:
X= Número de defectuosos en la muestra
![Page 41: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/41.jpg)
41
4. Bayes, Odds y Razón de verosimilitud
Modelos Bayesianos (un ejemplo)
X= Número de defectuosos en la muestra
En esta discusión: N es el parámetro,
Posibles valores de : {0, 1/N, 2/N,…, 1}
Aquí asumimos que no hay más información disponible acerca del
verdadero valor del parámetro que la proporcionada por los datos. Sin
embargo hay situaciones en las cuales se puede agregar algo mas: vg es
posible que en el pasado hemos tenido muchos envíos de tamaño N. Si los
clientes nos proveen de registros precisos sobre el número de defectuosos
que han recibido, podemos construir una distribución de frecuencias para la
proporción de defectuosos pasados. Así se puede pensar en el valor de
como en la realización de una v.a.
N N N
k n kP X k
N
n
![Page 42: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/42.jpg)
42
5. Variables Aleatorias
Def.- Dado un e.m. , se denomina variable aleatoria (v.a.) a cualquier
función:
Las v.a. tienden a hacer “olvidar” el e.m.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:
Def.- Dada la v.a. X, se denomina función de distribución a la función:
:X IR
F x P X x P w X w x
![Page 43: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/43.jpg)
43
5. Variables Aleatorias
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:
Una v.a. es discreta si su rango es un conjunto finito o infinito numerable.
Provienen de procesos de “contar”
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:
Una v.a. es contínua si F(x) es una función contínua
Provienen de procesos de “medir”
![Page 44: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/44.jpg)
44
5. Variables Aleatorias
Función de probabilidad p(x):
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:
p(x)=P(X=x)
Función de densidad f(x):
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:
b
a
P a X b f x dx
f (x)
a b
P(a X b)
![Page 45: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/45.jpg)
45
5. Variables Aleatorias
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:
todo
0
1
x
p x
p x
0
1
f x
f x dx
![Page 46: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/46.jpg)
46
5. Variables Aleatorias
Esperanza de una V.A. X:
Esperanza de una función g de la V.A. X:
todo
Caso discreto: x
E X x p x
C aso contínuo: E X x f x dx
todo
Caso discreto: x
E g X g x p x
C aso contínuo: E g X g x f x dx
![Page 47: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Experimento binomial:
Muchas variables aleatorias discretas están basadas en un experimento
(denominado experimento binomial) que satisface las siguientes
condiciones:
El experimento consiste en una secuencia de n intentos, donde n se fija
antes del experimento.
Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en dos
posibles resultados, que se denotan por éxito (E) o fracaso (F)
(p(E)+p(F)=1).
Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier
intento en particular no influye sobre el resultado de otro intento.
La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro, y se
representa por p.
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 48: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Bernoulli:
Ejemplo típico: lanzamiento de una moneda
Binomial: Deben cumplirse las características de un experimento
binomial
de éxitos en intentosX n#
1 ; 0,1, ...,n xx
np x p p x n
x
0 si resulta fracaso
1 si resulta éxitoX
0 1
1
p p
p p 1
E X p
Var X p p
1
E X np
Var X np p
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 49: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Ejemplo: Expresar en una tabla de valores la función de probabilidad y la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X: Número de preguntas bien contestadas por un estudiante que responde al azar un examen tipo selección múltiple que consiste de 10 preguntas, cada una con 4 alternativas de las cuales sólo una es correcta.
Ejemplo: Expresar en una tabla de valores la función de probabilidad y la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X: Número de mujeres seleccionadas al seleccionar aleatoriamente 8 personas de un grupo de 500 personas de las cuales 280 son mujeres.
En EXCEL la sintaxis es: DISTR.BINOM(x, n, p, falso)
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 50: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/50.jpg)
50
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
Selección de objetos con reemplazo y la distribución binomial:
Elegir al azar con reemplazo significa que escogemos al azar un
elemento de un conjunto y lo regresamos para elegir de nuevo al
azar. Esto garantiza la independencia de las elecciones y nos
lleva a una distribución binomial.
Si una caja contiene N bolas de las cuales A son rojas, entonces
la probabilidad de escoger al azar una bola roja es: p = A/N.
Si repetimos el experimento sacando n bolas con reemplazo la
probabilidad de que x de ellas sean rojas es:
),....1,0( 1)( nxN
A
N
A
x
nxP
xnx
![Page 51: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Ejemplo: (Chuck–a-luck) En este juego se elige un número entre 1 y 6. Luego se lanza tres dados, si el número elegido sale en los 3 dados se cobra 3 dólares, si sale en 2 de los dados se cobra 2 dólares, y si sale en un dado se cobra un dólar. Si el número no sale en ninguno se paga 1 dólar
¿ES UN JUEGO JUSTO?
Sugerencia: Hallar la ganancia esperada del juego, si esta es positiva el juego es favorable al jugador, si sale negativa es desfavorable al jugador, si sale cero es indiferente.
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 52: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/52.jpg)
52
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
Geométrica:
Binomial Negativa: de intentos hasta obtener el ésim o éxitoX r#
de intentos hasta obtener el primer éxitoX #
1
1 ; 1, 2, ...x
p x p p x
2
1
1
E Xp
pVar X
p
11 ; , 1, ...
1
x rrx
p x p p x r rr
2
1
rE X
p
r pV ar X
p
En EXCEL la sintaxis es: NEGBINOMDIST(x-r, r, p)
![Page 53: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Selección de objetos sin reemplazo y distribución hipergeométrica:
Hipergeométrica: Si en un grupo de N objetos, r de ellos tienen cierta
característica estudiada que los hace distintos del resto (es decir r objetos
de un tipo y N-r objetos de otro tipo), y de estos N objetos se seleccionan
al azar (sin reposición) n objetos (este es por ejemplo el caso de
muestreo).
Entonces la variable aleatoria X: número de objetos seleccionados que
tienen la característica estudiada, sigue una distribución hipergeométrica
con parámetros N, r, n.
; , ;
r N r
x n x n rp x x r n x N r E X
N N
n
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 54: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Selección de objetos sin reemplazo y distribución hipergeométrica:
En un lote de 50 computadoras el 10% tiene fallas, si se inspecciona al
azar una muestra de 4 computadoras:
a. Cuál es la probabilidad que exactamente 2 tengan fallas
b. Cuál es la probabilidad que al menos una tenga falla
c. Cuál es la probabilidad que a lo mucho 2 tengan fallas
En EXCEL la sintaxis es: DISTR.HIPERGEOM(x. n, r, N)
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 55: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Poisson: Una variable aleatoria X de Poisson “cuenta” el número de
eventos (independientes) que ocurren en una unidad de tiempo, de
espacio, de volumen, etc.
Por ejemplo: el número de llegadas de personas a la fila de un cajero
en un banco en una hora, el número de faltas de ortografía que comete
una mecanógrafa en una hoja, el número de accidentes de trabajo por
operario en un año determinado en una empresa, el número de
llamadas que llegan a una central telefónica por minuto.
Su distribución de probabilidades es:
; 0,1, 2, ...!
x
p x e xx
E X
Var X
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 56: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/56.jpg)
56
A una operadora de transporte terrestre ingresan en promedio 20 camiones en una hora. El administrador ha determinado (con una prueba K-S) que el número de camiones que llegan por hora se distribuye aproximadamente con una distribución de Poisson. La capacidad de las instalaciones es para servir hasta 25 camiones por hora.
a. Cuál es la probabilidad que en una hora determinada ingresen exactamente 20 camiones?
b. Menos de 20 camiones?
c. Que la capacidad de las instalaciones se vea desbordada?
En EXCEL la sintaxis es: POISSON(x, , falso)
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 57: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/57.jpg)
57
En un cruce de carreteras se producen accidentes a razón de 2 por semana (en media), siguiendo aproximadamente una distribución de Poisson. Reconociendo que la frecuencia anterior es intolerable se ha decidido instalar un semáforo en dicho cruce. La siguiente semana de la instalación sólo ocurre un accidente.
a) ¿ Se puede afirmar que el semáforo es efectivo ?.
b) ¿ Cuál sería la conclusión si se hubiera producido un accidente en dos semanas ?.
c) ¿ Y si se hubiera producido un accidente en 4 semanas ?
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
![Page 58: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Bombas sobre Londres en la II Guerra Mundial (Feller)
Supón que vivías en uno de los 100 bloques que aparecen en la gráfica
inferior. La probabilidad de que una bomba cayera en tu bloque era 1/100.
Como cayeron 400 bombas, podemos entender el número de impactos en un
bloque como una variable aleatoria de Poisson con λ=400 1/100=4:
6. Distribuciones
Distribuciones discretas más importantes
Observado
Predicho
![Page 59: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Uniforme: Una variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo [a,
b], si su función de densidad es:
Se representa con X U[a,b]
Ejemplo: Se conoce que el tiempo que emplea un camión en llevar material
desde una cantera hasta un centro de acopio se distribuye
aproximadamente mediante una distribución uniforme y que el viaje dura
entre 1 hora y 1 hora y 45 minutos.
a. Cuál es la probabilidad que un camión emplee entre 1h:10 y 1h:25
b. Cuál es la probabilidad que un camión emplee más de 1h:15
c. Si se demora más de una hora y media la empresa es multada con 5$. En
un día normal salen 20 de estos camiones. ¿cuál es el costo esperado diario
por multas que deberá pagar la empresa?
1;f x a X b
b a
a b
2
;2 2
b aa bE X Var X
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 60: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Normal: Una variable aleatoria X tiene distribución normal con
parámetros y 2 si su función de densidad es:
Donde:
Se representa con X N[ , 2]
2
22
1;
2
x
f x e x IR
μ
2;E X Var X
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 61: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Normal: Un gran número de estudios indica que la distribución normal proporciona una adecuada representación, por lo menos en una primera aproximación, de las distribuciones de una gran cantidad de variables físicas. Algunos ejemplos específicos incluyen datos meteorológicos tales como la temperatura y la precipitación pluvial, mediciones efectuadas en organismos vivos, calificaciones en pruebas de actitud, mediciones físicas de partes manufacturadas, errores de instrumentación, demanda de productos y otras, etc. Sin embargo, debe tenerse mucho cuidado al suponer para una situación dada un modelo de probabilidad normal sin previa comprobación.
Si bien es cierto que la distribución normal es la que tiene un mayor uso, es también de la que más se abusa. Quizá esto de deba a la mala interpretación de la palabra "normal“
Suponer de manera errónea una distribución normal puede llevar a errores muy serios.
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 62: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/62.jpg)
62
Normal: Esta función tiene un gran número de aplicaciones en estadística,
incluidas las pruebas de hipótesis.
En Excel la sintaxis es:
Para la distribución acumulada: DISTR.NORM(x, , , acum)
Para la inversa: DISTR.NORM.INV(1- , , )
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
1-
x
![Page 63: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/63.jpg)
63
Normal: (Ejemplo) La demanda mensual de cierto producto se distribuye
aproximadamente normal con media de 200 y desviación estándar de 40. ¿Qué tan
grande debe ser el inventario disponible a principio de un mes para que la
probabilidad de que la existencia se agote no sea mayor de 0.05?
(Ejemplo) El Bar "El Imperio" sirve chop a sus clientes. Se ha determinado que la
demanda diaria de barriles de cerveza sigue una distribución normal con una media
de 18 barriles y una desviación estándar de 4 barriles. La empresa opera 330 días al
año. El costo de emisión de un pedido es $40 y el costo de mantenimiento es de
$0.20 por barril por día. El tiempo de provisión requerido para recibir un pedido de
barriles de cerveza desde el distribuidor es de 3 días. Determinar:
a) El tamaño del lote óptimo de compra.
b) El stock de seguridad y el punto de reabastecimiento si el Bar y Restaurante "El
Imperio" desea que el nivel de servicio sea de un 90 %.
c) ¿Cuál sería el incremento en el stock de seguridad si un nivel de servicio de 95 %
fuera deseado?
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 64: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Normal: (Ejemplo) Teniendo en cuenta que el diámetro de las naranjas de
exportación sigue una distribución normal, un determinado inspector conoce por su
dilatada experiencia que el 30% de las naranjas que examina tienen un diámetro
inferior a 60 mm y el 20% tienen el diámetro superior a 100 mm.
a) El país A exige que el diámetro esté comprendido entre 75 y 90 mm. Calcular la
probabilidad de que esto ocurra en una determinada partida.
b) Calcular el intervalo de extremos simétricos respecto a la media que cubra el 90%
de las naranjas.
c) El país B exige que el diámetro no baje de los 50 mm. La inspección se realiza
midiendo el diámetro de 10 naranjas y rechazando una determinada partida si se
encuentran más de dos naranjas con un diámetro inferior a 50 mm. Calcular la
probabilidad de que una partida sea aceptada.
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 65: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Exponencial: Una variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetro , si su densidad es:
Donde:
Se suele representar con =1/
En el caso que X represente el tiempo entre llegadas, es el tiempo promedio entre llegadas y sería la frecuencia de llegadas por 1 ut
/1; 0
xf x e x >
2;E X Var X
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 66: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Exponencial: Esta distribución permite (entre otras cosas) establecer el tiempo
entre dos sucesos, tal como el tiempo que tarda una máquina de cajero
automático en entregar efectivo, el tiempo entre la llegada de dos camiones a
una terminal, etc.
La sintaxis en EXCEL es:
Para la distribución acumulada: DISTR.EXP(x, , acum)
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 67: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Exponencial: (Ejemplo) El promedio de llegada de camiones a una bodega para
ser descargados es de 3 camiones por cada hora. Se ha determinado que el
tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas de camiones es
exponencial.
a. Encuentre la probabilidad de que dado que en un momento llegó un camión, el
próximo llegue antes de 10 minutos.
b. Encuentre la probabilidad de que dado que en un momento llegó un camión, el
próximo llegue después de cuarto de hora.
c. Calcule la probabilidad de que durante una jornada de 8 horas lleguen como
máximo 20 camiones a descargar
NOTA: Si el tiempo entre dos llegadas es Exponencial( ), el número de llegadas
por unidad de tiempo es Poisson( )
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 68: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Beta: Una variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con parámetros y , si su función de densidad es:
Donde:
Se representa con X ( , )
Otras: Poisson truncada, Weibull, Erlang, Lognormal, Pareto, Cauchy, logística, etc
111 ; 0f x x x x< < 1
1
2;
1E X Var X
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 69: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Beta:La distribución beta se usa generalmente para estudiar las variaciones, a través de varias muestras, de un porcentaje que representa algún fenómeno, por ejemplo, el tiempo diario que la gente dedica a mirar televisión, el porcentaje de artículos con fallas en un lote, el porcentaje de impurezas en un producto, el porcentaje de tiempo que realmente trabaja un empleado en su horario de trabajo, la distribución del intervalo de tiempo necesario para completar una fase de proyecto PERT, etc.
La sintaxis en EXCEL es:
Para la acumulada: DISTR.BETA(x; , )
Para la inversa: DISTR.BETA.INV(p, , )
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 70: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Beta:
(Ejemplo) Se ha determinado que la proporción anual de nuevos restaurantes que fracasan y quiebran en una ciudad sigue una distribución beta β (1, 4).
Determinar :
a) La proporción anual de nuevos restaurantes que se espera fracasen en la ciudad dada.
b) La probabilidad de que al menos el 25% de los nuevos restaurantes fracasen en la ciudad un año cualquiera.
(Ejemplo) Los sensores infrarrojos de un sistema robótico computarizad envían información a otros sensores en diferentes formatos. El porcentaje X de las señales que se envían y que son directamente compatibles para todos los sensores del sistema sigue una distribución beta con α = β = 2.
a) Calcule la probabilidad de que más del 30% de las señales de infrarrojos enviadas en el sistema sean directamente compatibles para todos los sensores.
b) Calcula la media y la varianza de X
6. Distribuciones
Distribuciones contínuas más importantes
![Page 71: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Si se tienen las v.a. X1, X2, …, Xk se denomina al vector
X=(X1, X2, …, Xk) vector aleatorio.
Def.- La función de distribución conjunta de un vector
aleatorio X es:
F (x1, x2, …, xk)=P(X1 x1, X2 x2, …, Xk xk)
OBS: Dada la f.d.c. de un vector aleatorio X, podemos
determinar:
P(X A) A IRk
6. Distribuciones
Distribuciones conjuntas
![Page 72: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Funciones de densidad:
CASO DISCRETO:
Def: Si X1, X2, …, Xk son v.a.d. definidas en el mismo
espacio muestral, la función de distribución de
probabilidades conjunta es:
p(x1, x2, …, xk)=P(X1=x1, X2 =x2, …, Xk =xk)
CASO CONTINUO:Def: En el caso contínuo se define la función de densidad
conjunta como: f(x1, x2, …, xk) tal que:
1 2 1 2( ) , , ..., ...
k k
A
P X A f x x x dx dx dx
6. Distribuciones
Distribuciones conjuntas
![Page 73: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/73.jpg)
73
1 2 1 1 1( ) , , ..., ... ...
i i n i i nf x f x x x dx dx dx dx
Distribuciones Marginales:
CASO DISCRETO:
Def: Si X1, X2, …, Xk son v.a.d. con f.d.p. conjunta
p(x1, x2, …, xk), se denomina f.d.p. marginal de xi a:
CASO CONTINUO:Def: En el caso contínuo se define la función de densidad
marginal de xi a:
1 2 1 1
1 2( ) , , ...,
i i k
i i k
x x x x x
p x p x x x
6. Distribuciones
Distribuciones conjuntas
![Page 74: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/74.jpg)
74
Independencia:
Def: X1, X2, …, Xk se denominan v.a. independientes si
para cualquier subconjunto X1, X2, …, Xp:
1
1
, ...,
p
p i i
i
f x x f x
6. Distribuciones
Distribuciones conjuntas
![Page 75: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/75.jpg)
75
7. INFERENCIA ESTADISTICA
Estimación de parámetros
Cuando se supone conocida una distribución para las observaciones
dadas, el parámetro ( ) generalmente es desconocido, es decir se
supone conocida la “forma” de la distribución salvo el valor de su
parámetro.
Para estimar el valor del parámetro se usan las observaciones para
obtener un número, denominado el “estimador”, representado con
Pero, ¿cómo obtener buenos estimadores?
-Método de los momentos
-Método de la Máxima Verosimilitud
ˆ
![Page 76: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Estimadores de Máxima Verosimilitud (ML)
Dadas las observaciones X1, X2, …, Xn, obtenidas de una población con densidad f(x; ), se denomina función de verosimilitud de la muestra a:
El estimador de máxima verosimilitud del parámetro es el valor de que maximiza L.
Es decir, se obtiene resolviendo la ecuación vectorial:
ˆ
1 2
1
( ; ) , , ..., /
n
n i
i
L X f x x x f x
( ; ) 0L
L X
7. INFERENCIA ESTADISTICA
Estimación de parámetros
![Page 77: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/77.jpg)
77
Los intervalos de confianza para un parámetro cualquiera (por ejemplo la media) nos dan un rango de valores alrededor del estimador dónde esperamos se encuentre el verdadero valor del parámetro (de la población), con cierto nivel dado de certeza.
Es decir, un intervalo de confianza de (1- ) 100% de confianza para un parámetro es un intervalo de la forma: [LIC, LSC], donde:
P(LIC LSC) = 1-
7. Inferencia estadística
INTERVALOS DE CONFIANZA
![Page 78: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/78.jpg)
78
Ejemplo:
En una hacienda hay 2000 reses, se ha escogido una muestra de 50 reses y se ha obtenido que en promedio pesan 420 Kg. Se conoce que la desviación típica de los pesos de las reses es de 48 kg.
a. Hallar el IC del 90% para el peso promedio real de las reses de la hacienda.
b. Hallar el IC del 98% para el peso promedio real de las reses de la hacienda.
7. Inferencia estadística
INTERVALOS DE CONFIANZA
![Page 79: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/79.jpg)
79
¿Qué es una prueba de hipótesis?
Es un procedimiento estadístico diseñado para comprobar una hipótesis que se hace el investigador sobre un parámetro desconocido o sobre la distribución de una población.
Las pruebas de hipótesis se realizan en todos los ámbitos en los cuales puede contrastarse la teoría frente a la observación, probar una hipótesis implica tomar una decisión al comparar la muestra observada con una suposición que se hace de la realidad.
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 80: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/80.jpg)
80
Los elementos de una prueba de hipótesis son:
- Hipótesis Nula (Ho)
- Hipótesis Alternativa (Ha)
- Estadístico de Prueba (EP)
- Región de rechazo (R.R.) - o nivel de significancia (p)
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 81: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/81.jpg)
81
Decisión y error en una P.H.
Decisión
Rechazar Ho Aceptar Ho
Ho es verdadera
Ho es falsa
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
Decisión Correcta
Decisión Correcta Error tipo II
Error tipo I
![Page 82: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/82.jpg)
82
Decisión y error en una P.H.
P(Error tipo I)=
P(Error tipo II)=
Nivel de significancia: Menor valor de alfa para el cual se
rechaza la hipótesis nula
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 83: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/83.jpg)
83
La significancia estadística de un resultado es la probabilidad que la relación observada (por ejemplo, entre las variables) o una diferencia (por ejemplo, entre las medias) en una muestra ocurrió por pura coincidencia (“la suerte de la lotería”), y que en la población de la que la que se escoge la muestra no existe tal relación o diferencias
En muchas áreas de investigación, el valor p de .05 se toma habitualmente como un valor crítico del nivel del error aceptable
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 84: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/84.jpg)
84
Pruebas inferenciales mas frecuentes de acuerdo a la escala de medición
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 85: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/85.jpg)
85
PRUEBA t
La prueba t para muestras independientes
La prueba t es el método mas comúnmente usado para evaluar las
diferencias entre las medias de dos grupos.
Teóricamente, la t-prueba puede usarse aun cuando los tamaños de la
muestra son muy pequeños (por ejemplo, tan pequeño como 10;
algunos investigadores exigen por lo menos eso)
El nivel p reportado en una t-prueba representa la probabilidad de error
involucrada en aceptar nuestra hipótesis investigada sobre la existencia
de una diferencia.
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 86: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/86.jpg)
86
PRUEBA t
Gráficos de la prueba t. En el análisis de la prueba t, las comparaciones entre
las medias y las medidas de variación en los dos grupos pueden visualizarse
en los diagramas de caja
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 87: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/87.jpg)
87
PRUEBA DE ANOVA
A menudo sucede en la investigación práctica que se necesita comparar más
de dos grupos (por ejemplo, medicina 1, medicina 2, y placebo), o comparar
grupos creados por más de una variable independiente y controlando la
influencia separada de cada uno de ellos (por ejemplo, Género, el tipo de
Droga, y tamaño de Dosis).
En estos casos, se necesita analizar los datos usando el denominado Análisis
de Varianza, que puede considerarse como una generalización de la prueba t
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 88: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/88.jpg)
88
PRUEBAS NO PARAMETRICAS
Muchas veces no se puede asumir una distribución dada para una población de donde se han obtenido la(s) muestra(s), en ese caso se deben utilizar las denominadas pruebas no paramétricas o libres de distribución, a continuación se presenta una tabla donde se observan las pruebas no paramétricas equivalentes a las paramétricas.
7. Inferencia estadística
PRUEBAS DE HIPOTESIS
![Page 89: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/89.jpg)
89
8. Pruebas de Bondad de ajuste
Muchas veces no se está claro si se cumplen los supuestos de
alguna distribución, otras veces es necesario asumir una
distribución teórica para modelizar la distribución de una
variable, para esto se tienen las pruebas de bondad de ajuste.
Las pruebas de bondad de ajuste más usadas son:
-Prueba 2
-Prueba K-S (Kolmogorov – Smirnov)
![Page 90: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/90.jpg)
90
8. Prueba de Bondad de ajuste 2
Se pueden clasificar a las GOF (goodness-of-fit) en dos grupos:
(1) Las que dividen al rango de los datos en “casillas” disjuntas, y luego el número de observaciones que caen en cada casilla es comparado con el número esperado bajo la distribución supuesta en la hipótesis nula. Es natural usarlas en el caso discreto.
(2) En estas pruebas se comparan la función de distribución empírica de la muestra y la función teórica dada en la hipótesis nula. El estadístico de prueba está basado en alguna medida de distancia entre las dos distribuciones. Se usan casi exclusivamente para el caso de distribuciones contínuas.
Prueba 2
Prueba K-S
![Page 91: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/91.jpg)
91
8. Prueba de Bondad de ajuste 2
En la prueba 2 las n observaciones son agrupadas en kcasillas disjuntas, c/u de las cuales debe contener por lo menos 5 observaciones, sea ni la frecuencia observada en la casilla i.
Lo que se desea probar es:
Ho: La distribución de la población es Fo, vs.
Ha: La distribución de la población no puede ser Fo,
Con la distribución Fo dada en Ho, se calculan las probabilidades de casilla pi, y luego la frecuencia esperada de casilla = n pi
![Page 92: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/92.jpg)
92
8. Prueba de Bondad de ajuste 2
El estadístico de prueba es:
Y la región de rechazo es:
Siendo L el número de parámetros que se deben estimar.
2
2
1
. . . .
. .
k
i
F O F E
F E
2 2con -1- grados de libertadk L
Nota: La distribución 2 con grados de libertad se define como una
distribución Gamma con parámetros = /2 y =2
![Page 93: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/93.jpg)
93
En resumen, la Prueba de bondad de ajuste 2 es:
Ho: La distribución de la población es Fo(x)
Ha: La distribución de la población no puede ser Fo(x)
E.P.:
R.R.:
Obs: La frecuencia observada de cada casilla F.O. debe ser 5
2
2
0
. . . .
. .
k
i
F O F E
F E
2 2
8. Prueba de Bondad de ajuste 2
![Page 94: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/94.jpg)
94
8. Prueba de Bondad de ajuste K-S
Ho: La distribución de la población es Fo
Ha: La distribución de la población no puede ser Fo
E.P.:
R.R.:
o máxima distancia ( ),D F x F x
,nD D
La función (x) es la distribución empírica de la
muestraF
![Page 95: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/95.jpg)
95
8. Prueba de Bondad de ajuste K-S
![Page 96: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/96.jpg)
96
9. Métodos de pronóstico: regresión lineal y medias
móviles.
La previsión de la demanda (mas comúnmente conocida como el
pronóstico de la demanda) es la estimación de los niveles futuros
que adoptará la demanda y es un elemento de gran relevancia en
la planificación de la empresa y, por tanto, en la definición de los
objetivos de los diferentes departamentos de la empresa.
Los métodos de estimación de la demanda se clasifican en dos
tipos:
•Los métodos cuantitativos
•Los métodos cualitativos
Ver documento “pronóstico de la demanda.doc”
![Page 97: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/97.jpg)
97
10. Generalización del teorema de Bayes
La regla de Bayes también se puede aplicar a v.a.c..
Supongamos que tenemos una v.a.c. x que es especificada por
una distribución indexada por un parámetro
A priori:
Podemos cuantificar nuestro conocimiento a priori acerca del
valor del parámetro y estimar una distribución a priori
Verosimilitud
Esta es la distribución (o verosimilitud) de la v.a. x, es decir:
p
p x
![Page 98: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/98.jpg)
98
10. Generalización del teorema de Bayes
A posteriori:
Aplicando la regla de Bayes obtenemos la distribución
posterior:
Donde el denominador es:
Cualquier tipo de inferencias pueden hacerse a partir de la
distribución posterior del parámetro del modelo , donde el
dato x incluye información tanto de la a priori como de la
verosimilitud.
=
p p xp x
p x
=p x p p x d
![Page 99: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/99.jpg)
99
10. Generalización del teorema de Bayes
Esto es generalizado para una muestra aleatoria x1, x2, …, xn
proveniente de una distribución que depende de los
parámetros 1, 2, …, j.
A Priori: Cuantificamos nuestras creencias acerca de los
parámetros en la forma de una distribución conjunta.
p( 1, 2, …, j)
Donde no necesariamente son independientes.
Verosimilitud: Con la muestra, la distribución conjunta de las
observaciones es:
11 1
1
, , , , , ,=
n
i Jn J
i
p x x p x
![Page 100: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/100.jpg)
100
10. Generalización del teorema de Bayes
Posterior: Aplicando la regla de
Bayes:
Donde el denominador es:
Notación:
1 11
1 11
, , , , , ,, , , ,
, ,=
J Jn
J nn
p p x xp x x
p x x
1 11 1, , , , , ,= J nn J
p x x p p x x d d
1 1 1 1 1
1 1 1
, , , , , , , , , ,
, , , , , ,
J n J n J
J n J
p x x p p x x
p p x x
k
![Page 101: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/101.jpg)
101
10. Generalización del teorema de Bayes
la estadística Bayesiana es nada más que un modelo formal de aprendizaje en un ambiente de incertidumbre aplicado a la inferencia estadística. Lo a priori expresa mis creencias sobre antes de observar los datos; mientras que la distribución expresa mis creencias actualizadas sobre después de observar los datos.
A partir de esto, llevar a cabo un análisis Bayesiano es ilusoriamente simple y siempre se procede de la siguiente manera:
Formular la distribución muestral y la distribución a priori .
Calcular la distribución posterior según Bayes
¡Eso es todo! Toda la información acerca de está contenida ahora en la distribución posterior. Por ejemplo la probabilidad que es:
|p y
p|p y
AP | |
A
A y p y d
![Page 102: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/102.jpg)
102
10. Generalización del teorema de Bayes
Ya que la distribución posterior es la representación completa de sus creencias sobre , a veces es conveniente informar una sola estimación, por ejemplo el valor más probable de , este se denomina entonces el estimador bayesiano de .
Aplicación: sea y = x1, x2, …, xn una muestra aleatoria de puntuaciones, con la suposición que estas provienen de una población normal con media y varianza 2,
Si usamos la a priori:
2
. . .
,i
i i d
x N
/ 2 2
2
1
12 exp
2
nn n
i
i
p y x
1 / 2 21
0 02
0
12 exp
2p
![Page 103: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/103.jpg)
103
10. Generalización del teorema de Bayes
Donde 0 y 02 son la media y la varianza a priori
conocidas, antes de conocer los datos
La distribución posterior de es:
El numerador es:
p y p p y pp y
p y p y p d
1 / 2 2 21
0 02 2
1 0
1 12 exp
2 2
nn n
i
i
p y p x
2 2
0 0 2
2 2 2 2
0 0
/ 1 / 1;
/ 1 / / 1 /
n x
n nC on
![Page 104: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/104.jpg)
104
10. Generalización del teorema de Bayes
Entonces:
Donde:
Luego:
O también:
/ 2 1
02 exp
n np y h y
1 / 2 21
2
1
12 exp
2
n
i
p y p p y
2 2
02 2 1 21 0
1 1
2 2
n
i
i
h y x x xn
Si
1 / 2 21
2
12 exp
2p y
2
2
1exp
2p y
![Page 105: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/105.jpg)
105
10. Generalización del teorema de Bayes
En el siguiente gráfico se observan las densidades a priori y posterior de para diferentes muestras.
Muestra: {1,0,6,0,3}
-2 -1 1 2 3 4 5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
![Page 106: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/106.jpg)
106
11. TEORIA DE LA DECISION
Def: La teoría de la decisión estudia los métodos analíticos que
proveen las herramientas para analizar situaciones en las cuales
hay que tomar una o más decisiones.
La decisión tomada debe ser la mejor posible respecto a algún
criterio de optimalidad ( o la mejor posible “en promedio”)
![Page 107: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/107.jpg)
107
11. TEORIA DE LA DECISION
AMBIENTES SOBRE LOS CUALES SE TOMA DECISIONES
Decisiones bajo Certidumbre
Decisiones bajo incertidumbre
Decisiones bajo riesgo
![Page 108: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/108.jpg)
108
11. TEORIA DE LA DECISION
Decisiones bajo Certidumbre: Se conocen con certeza los
resultados o consecuencias de seleccionar cada alternativa
Ejemplo: Se tienen 1000$ a invertir en un año, se los puede poner
en una libreta de ahorros al 3.0% de interés anual o comprar un
certificado de depósito que paga el 5% anual. Asumiendo que
ambas alternativas son seguras el certificado de depósito nos da
un retorno mayor. La decisión óptima está clara, fácil de obtener!.
![Page 109: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/109.jpg)
109
11. TEORIA DE LA DECISION
Otros problemas de decisión bajo certidumbre son muy
complicados, en ese caso solo se puede obtener una “buena”
solución.
Ejemplo: Se tienen 100 clientes, a los cuales se debe entregar
cierto producto en determinado intervalo de tiempo, se conoce la
ubicación, la demanda y la ventana de tiempo de los clientes.
También se tiene un depósito, desde donde deben salir los
vehículos (que tienen una capacidad q conocida) cargados para
satisfacer la demanda de los clientes. Se debe decidir cuántos
vehículos enviar y por donde enviarlos.
![Page 110: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/110.jpg)
110
11. TEORIA DE LA DECISION
Red física: Ubicaciones de clientes
![Page 111: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/111.jpg)
111
11. TEORIA DE LA DECISION
0
Grafo matemático: Nodos, arcos y pesos
![Page 112: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/112.jpg)
112
11. TEORIA DE LA DECISION
1
2
3
4
5
6
78
9
10
1112
13
14
15
1617
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
3637
383940
41
42
43
44
454647
48
49
50
51
52
53
54
5556
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
8485
868788
89
90
91
9293
94
95
96
97
98
99
100
101
Obtención de rutas individuales
![Page 113: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/113.jpg)
113
Costo del ruteo: 19794
Costo del ruteo: 1307
11. TEORIA DE LA DECISION
![Page 114: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/114.jpg)
114
11. TEORIA DE LA DECISION
Decisiones bajo Incertidumbre: No se conocen las
probabilidades asociadas con los diferentes resultados de cada
alternativa.
Ejemplo: Un empresa estudia la posibilidad de añadir un nuevo
producto a su línea de producción. Las alternativas que se
estudian son: hacer una ampliación grande, hacer una ampliación
pequeña, o no hacer ninguna ampliación a las actuales
instalaciones para producir el nuevo producto. Si no conocemos
las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados para
las distintas alternativas tenemos que tomar una decisión bajo una
completa incertidumbre.
![Page 115: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/115.jpg)
115
11. TEORIA DE LA DECISION
Decisiones bajo Riesgo: Se conocen las probabilidades asociadas
con los diferentes resultados de cada alternativa.
Ejemplo: Si en el ejemplo anterior se conocen estimaciones de las
probabilidades asociadas a la posible demanda del nuevo
producto, por ejemplo a través de un estudio de mercado, tenemos
un problema de decisión bajo riesgo.
![Page 116: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/116.jpg)
116
11. TEORIA DE LA DECISION
El origen de la teoría de la decisión para la toma de decisiones se
deriva de la economía, en el área de la función de la utilidad del
pago. Propone que las decisiones deben tomarse calculando la
utilidad y la probabilidad de rangos de opciones, y establece
estrategias para una buena toma de decisiones.
Proceso de Toma de Decisiones Estadísticas
A diferencia de los procesos de toma de decisiones
determinísticas tal como, optimización lineal resuelto mediante
sistema de ecuaciones, sistemas paramétricos de ecuaciones y en
la toma de decisión bajo pura incertidumbre, las variables son
normalmente más numerosas y por lo tanto más difíciles de medir
y controlar. Sin embargo, los pasos para resolverlos son los
mismos. Estos son:
![Page 117: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/117.jpg)
117
11. TEORIA DE LA DECISION
1. Simplificar
2. Construir un modelo de decisión
3. Probar el modelo
4. Usar el modelo para encontrar soluciones:
El modelo es una representación simplificada de la situación real
No necesita estar completo o exacto en todas las relaciones
Se concentra en las relaciones fundamentales e ignora las
irrelevantes.
Este es entendido con mayor facilidad que un suceso empírico
(observado), por lo tanto permite que el problema sea resuelto con
mayor facilidad y con un mínimo de esfuerzo y pérdida de
tiempo.
5. El modelo puede ser usado repetidas veces para problemas
similares, y además puede ser ajustado y modificado.
![Page 118: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/118.jpg)
118
11. TEORIA DE LA DECISION
Elementos de la teoría de decisiones:
El análisis de decisiones es un proceso que le permite al decisor seleccionar
una decisión (sólo una) entre un conjunto de alternativas posibles de decisión,
cuando existe incertidumbre con respecto al futuro, con el objetivo de
optimizar el pago (retorno) resultante, en términos de algún tipo de criterio de
decisión numérico. Los elementos de los problemas de análisis de decisiones
son los siguientes:
Hay un decisor responsable individual.
Un número finito de eventos (futuros) posibles, llamados Estados de la
Naturaleza, es decir, un conjunto de escenarios posibles. Las circunstancias en
las cuales se toma una decisión se llaman estados de la naturaleza. Los estados
de la naturaleza se identifican y agrupan en el conjunto ; los miembros se
denotan como . El conjunto es un grupo de conjuntos mutuamente
excluyentes. Es decir, sólo puede ocurrir un estado de la naturaleza. ¿Qué
puede hacer la naturaleza?
![Page 119: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/119.jpg)
119
11. TEORIA DE LA DECISION
Elementos de la teoría de decisiones:
Un número finito de alternativas posibles de decisión. Hay una acción
a, miembro del conjunto A, que puede ser adoptada por el decisor. Sólo puede
adoptar una. ¿Qué puedo hacer? Una buena decisión requiere buscar un
conjunto más rico de alternativas que las que se presentaron inicialmente o que
las aceptadas tradicionalmente.
La manera más sencilla de formular el problema de decisión es usando una
matriz de beneficios (o tabla de pagos). Suponemos que se puede construir una
matriz de beneficios L bien definida, monetaria (y luego de utilidad) sobre dos
conjuntos de dominio dimensionales A y . Las filas y las columnas se asignan
a las alternativas de decisión posibles y a los estados posibles de la
naturaleza, respectivamente. Normalmente no es tarea sencilla construir esta
matriz; por lo tanto, puede requerir algo de práctica.
Generalmente, esta función refleja una ganancia, si el problema se plantea en
términos de pérdidas, estas se pueden expresar como ganancias negativas. Un
valor de la matriz de pagos l(a, ) representa el pago asociado a esta
combinación acción - estado de la naturaleza.
![Page 120: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/120.jpg)
120
11. TEORIA DE LA DECISION
Fuente de Errores en la Toma de Decisiones:
La fuente principal de errores en los problemas de toma de
decisiones arriesgadas son las presunciones falsas, no tener una
estimación exacta de las probabilidades, depender de la
expectativa, dificultades en medir la función de utilidad, y los
errores de pronóstico.
![Page 121: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/121.jpg)
121
11. TEORIA DE LA DECISIONAcciones dominadas:
En los problemas de decisión suelen existir muchas acciones
posibles, por lo tanto es conveniente que previamente se lo
reduzca tanto como sea posible.
Decimos que una acción a’ es dominada por una acción a, si los
pagos para a son mejores que los pagos para a’, sin importar el
estado de la naturaleza. Es decir:
Si los pagos son ganancias, al contrario si son costos
: , ',l a l a
![Page 122: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/122.jpg)
122
11. TEORIA DE LA DECISION
EJEMPLO:
Una compañía de computadoras compra chips a dos proveedores,
A y B. En cada orden de 1000 chips (independientemente del
proveedor) puede haber 1%, 3%, o 5% de chips defectuosos.
El proveedor A vende el paquete de 1000 chips por $300 y el
proveedor B lo vende por $302. Cada chip defectuoso se devuelve
a un costo de $0.15 por chip. ¿A cuál proveedor conviene
comprar los chips?
% defectuosos
Proveedor 1% 3% 5%
A -301.5 -304.5 -307.5
B -303.5 -306.5 -309.5
Estados de la naturaleza
Acciones
PagosAcción dominada
![Page 123: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/123.jpg)
123
11. TEORIA DE LA DECISION
EJEMPLO:
Una compañía de computadoras compra chips a dos proveedores,
A y B. En cada orden de 1000 chips (independientemente del
proveedor) puede haber 1%, 3%, o 5% de chips defectuosos.
El proveedor A vende el paquete de 1000 chips por $300 y el
proveedor B lo vende por $302. Cada chip defectuoso adquirido
al proveedor A es devuelto a un costo de $0.15 por chip, mientras
que uno defectuoso adquirido al proveedor B es devuelto a un
costo de $0.05 ¿A cuál proveedor conviene comprar los chips?
TABLA DE PAGOS 1% DEFECTUOSOS 3% DEFECTUOSOS 5% DEFECTUOSOS
ADQUIRIR A PROVEEDOR A -301.5 -304.5 -307.5
ADQUIRIR A PROVEEDOR B -302.5 -303.5 -304.5
![Page 124: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/124.jpg)
124
11. TEORIA DE LA DECISION
OBSERVACIONES A PARTIR DE LA TEORIA DE JUEGOS:
El pago es una medida cuantitativa del valor de las consecuencias del
resultado para el tomador de decisiones, en este sentido muchas veces el
pago se representa por la ganancia monetaria neta (utilidad). Si las
consecuencias del resultado no son completamente ciertas aun cuando
ocurra el estado de la naturaleza, entonces el pago se convierte en un
valor esperado (en el sentido estadístico) de la medida de las
consecuencias
Sea l(a, ) el pago al tomar la acción a cuando el estado de la naturaleza
es . En general, se usa una tabla de pagos para cada combinación de a y
y ; en el contexto de la teoría de juegos el tomador de decisiones y la
naturaleza se pueden ver como dos jugadores.
Las acciones posibles y los estados de la naturaleza posibles se pueden
ver como las estrategias disponibles para los respectivos jugadores,
donde cada combinación de estrategias da como resultado un pago para
el jugador 1 (el tomador de decisiones).
![Page 125: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/125.jpg)
125
11. TEORIA DE LA DECISION
Así se tiene que:
- El tomador de decisiones necesita elegir una de las acciones
posibles
- La naturaleza elegirá luego uno de sus estados (de la naturaleza)
posibles, cada combinación de una acción a y un estado de la
naturaleza da como resultado uno de los elementos de la tabla
de pagos. Esta tabla de pagos debe usarse para encontrar una
acción óptima para el tomador de decisiones según un criterio
adecuado.
Si consideramos que en la teoría de juegos ambos jugadores son
racionales y eligen sus estrategias para promover su propio
beneficio, esto se ajusta al tomador de decisiones pero no a la
naturaleza ya que esta es un jugador pasivo que elige sus
estrategias (estados de la naturaleza) de una manera aleatoria.
![Page 126: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/126.jpg)
126
11. TEORIA DE LA DECISION
TIPOS DE MODELOS DE DECISION:
Existen tipos diferentes de modelos de decisión que ayudan a
analizar distintos escenarios, dependiendo de la cantidad y el
grado de conocimiento que tengamos. Los tres tipos más
ampliamente utilizados son:
– Decisión tomada con pura incertidumbre,
– Decisión tomada con riesgo,
– Decisión tomada comprando información (empujando el
problema hacia el "polo" determinista)
![Page 127: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/127.jpg)
127
11. TEORIA DE LA DECISION
TOMA DE DECISIONES BAJO INCERTIDUMBRE:
En las decisiones tomadas con pura incertidumbre, el decisor no
tiene ningún conocimiento, ni siquiera de la probabilidad de
ocurrencia de cualquier estado de la naturaleza. En este caso, el
comportamiento del decisor se basa puramente en su actitud hacia
lo desconocido. Algunos de estos comportamientos son los
optimistas, los pesimistas y los de arrepentimiento, entre otros.
Optimista: El vaso está medio lleno.
Pesimista: El vaso está medio vacío.
Gerente: El vaso es el doble de grande de lo necesario.
![Page 128: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/128.jpg)
128
11. TEORIA DE LA DECISION
Comportamiento según los tipos de personalidad y la toma de
decisiones con pura incertidumbre:
Pesimismo, o Conservador (MAXIMIN). Las cosas malas
siempre me suceden a mí.
Optimismo, Agresivo (MAXIMAX). Las cosas buenas siempre
me suceden a mí.
Mínimo arrepentimiento: (Pérdida de Oportunidad de Savage).
Odio las lamentaciones. Debo minimizar las situaciones
deplorables. Mi decisión debe ser tal que valga la pena repetirla.
Sólo debería hacer las cosas que siento que podría repetir con
placer.
![Page 129: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/129.jpg)
129
11. TEORIA DE LA DECISION
MAXIMIN:
Basado en la teoría de juegos, se selecciona la acción
encontrando el pago mínimo sobre todos los estados posibles de
la naturaleza y después encontrar el máximo de estos pagos
mínimos.
Es válido cuando se considera que se está compitiendo contra un
oponente racional y malévolo, como puede ser el caso de la
competencia con alguna otra empresa; sin embargo si se
considera que el oponente es la propia naturaleza resulta
demasiado conservador en este contexto ya que la naturaleza no
es un oponente malévolo y el tomador de decisiones no necesita
enfocar su atención solo en el peor pago de cada acción.
En el caso de que la tabla de pagos sea de Costos o pérdidas,
sería un criterio MINMAX
![Page 130: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/130.jpg)
130
11. TEORIA DE LA DECISION
, ,k r j i
j i
l a M ax M in l a
1 2
a1 0 2
a2 -1 4
MAXIMIN: Seleccionar la acción ak en la cual se tiene la
ganancia maximin:
Ejemplo: Sea el problema de decisión con tabla de ganancias:
0
-1
Mínimo
Mínimo Máximo
La acción Maximin es a1
![Page 131: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/131.jpg)
131
11. TEORIA DE LA DECISION
, ,k r j i
j i
l a M ax M ax l a
1 2
a1 0 2
a2 -1 4
MAXIMAX: Seleccionar la acción ak en la cual se tiene la
ganancia maximax:
Ejemplo: En el problema anterior:
2
4
Máximo
Máximo
Máximo
La acción Maximax es a2
![Page 132: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/132.jpg)
132
11. TEORIA DE LA DECISION
, ,P k r j i
j i
L a M in M ax l a
LP 1 2
a1 0 2
a2 1 0
MINIMAX: Construir la tabla de pérdida de oportunidades LP, y
seleccionar la acción ak en la cual se tiene la pérdida de
oportunidades minimax:
Ejemplo: En el problema anterior:
2
1
Máximo
Máximo
Mínimo
La acción Minimax es a2
L 1 2
a1 0 2
a2 -1 4
![Page 133: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/133.jpg)
133
11. TEORIA DE LA DECISION
Ejemplo: De acuerdo con sus registros anteriores de ventas, un
vendedor de revistas conoce que la demanda por cierta revista es
solo de 5, 6, 7 u 8 ejemplares. Cada revista cuesta 1.2$ y se vende
por 3.0$.
a. Supongamos que el devuelve las revistas no vendidas al mismo
valor que las adquirió.
b. Si hay un descuento de 0.50 por cada revista devuelta.
Deducir la decisión optimista, pesimista y de mínima pérdida de
oportunidad
![Page 134: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/134.jpg)
134
11. TEORIA DE LA DECISION
Ejemplo: Una empresa debe seleccionar una de las 4 máquinas
que dispone para fabricar Q unidades de determinado producto,
del que se sabe que como mínimo se demandarán 10 unidades y
como máximo 40 unidades. Si los costos fijos y variables por
unidad producida de cada máquina son:
Qué máquina utilizará? (utilice los criterios)
Máquina Costo fijo Costo unitario
1 100 5
2 40 12
3 150 3
4 90 8
![Page 135: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/135.jpg)
135
11. TEORIA DE LA DECISION
En este caso resulta bastante largo ( e innecesario) construir toda
la matriz de pagos, pues se tienen 4 acciones posibles:
a1: Lanzar la producción en la máquina 1
a2: Lanzar la producción en la máquina 2
a3: Lanzar la producción en la máquina 3
a4: Lanzar la producción en la máquina 4
Y se tienen 31 estados de la naturaleza posibles (cuánto producir)
j: producir j unidades del producto; j=10, 11, …, 40
Así, podríamos utilizar la relajación contínua de estas
variables, que se muestra en la figura siguiente (donde se puede
analizar fácilmente si hay acciones dominadas o establecer la
decisión por los criterios optimista, pesimista o de mínimo
arrepentmento)
![Page 136: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/136.jpg)
136
11. TEORIA DE LA DECISION
15 20 25 30 35 40
200
250
300
350
400
450
500
a2
a4
a1
a3
Q
$
Dominadas
por a1
![Page 137: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/137.jpg)
13715 20 25 30 35 40
160
180
200
220
240
260
280
300
11. TEORIA DE LA DECISION
a1
a3
Q
$
MAXIMIN
MAXIMAX
![Page 138: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/138.jpg)
138
11. TEORIA DE LA DECISION
Decisión tomada con riesgo:
Observe que la categoría de problemas anteriores (es decir, los
problemas con pura incertidumbre) resultan apropiados sólo para
la toma de decisiones en la vida privada. No obstante, la persona
pública (es decir, el gerente) tiene que tener cierto conocimiento
de los estados de la naturaleza, para poder predecir las
probabilidades de cada estado. De lo contrario no podrá tomar
una buena decisión.
Siempre que un decisor tiene cierto conocimiento sobre los
estados de la naturaleza puede asignar una probabilidad subjetiva
a la ocurrencia de cada estado. Y cuando lo hace, el problema se
clasifica como toma de decisiones bajo riesgo.
![Page 139: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/139.jpg)
139
11. TEORIA DE LA DECISION
Se tienen fundamentalmente dos criterios:
CRITERIO DE LA MAXIMA VEROSIMILITUD
Este criterio se refiere al estado más probable de la naturaleza. El
criterio de la máxima verosimilitud afirma que se debe identificar
el estado más probable de la naturaleza (Aquel que tiene la
probabilidad más grande), y para ese estado de la naturaleza se
debe encontrar la acción con el máximo pago y por último se
debe elegir esa acción.
Se debe elegir la acción ak para la cual (en el caso de ganancias):
, ,k r j r
j
l a l aM a x r es el estado
mas probable
![Page 140: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/140.jpg)
140
11. TEORIA DE LA DECISION
*, ;
k jj
l a E l aM ax P E B I
CRITERIO DE BAYES
Se dispone de una distribución “a priori” de los estados de la
naturaleza, se debe elegir la acción ak en la cual se maximiza el
pago esperado. Es decir:
Es decir se selecciona la acción que proporciona el mejor pago
esperado. Por tanto tiene aplicación si es que la decisión debe
tomarse algunas veces.
También puede aplicarse el criterio sobre la matriz de pérdida de
oportunidades, y en ese caso se debe tomar la acción que
minimice la pérdida esperada de oportunidad.
![Page 141: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/141.jpg)
141
11. TEORIA DE LA DECISION
En el ejemplo de la diapositiva 128, si las probabilidades de que
hayan 1%, 3% o 5% de defectuosos del proveedor A son de 80%,
10% y 10%, respectivamente, se tiene lo siguiente:
COSTO ADQUISICION A 300
COSTO ADQUISICION B 302
COSTO X DEFECTUOSO A 0.15
COSTO X DEFECTUOSO B 0.05
TABLA DE PAGOS 1% DEFECTUOSOS 3% DEFECTUOSOS 5% DEFECTUOSOS
ADQUIRIR A PROVEEDOR A -301.5 -304.5 -307.5 -302.4
ADQUIRIR A PROVEEDOR B -302.5 -303.5 -304.5 -302.8
TABLA DE PERDIDA OPORT. 1% DEFECTUOSOS 3% DEFECTUOSOS 5% DEFECTUOSOS
ADQUIRIR A PROVEEDOR A 0 1 3 0.4
ADQUIRIR A PROVEEDOR B 1 0 0 0.8
maxima
ganancia
esperada
minima
pérdida de
oportunidad
esperada
![Page 142: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/142.jpg)
142
11. TEORIA DE LA DECISION
*,E l aP E IP
PAGO ESPERADO CON INFORMACION PERFECTA:
PEIP = Pago promedio que puede anticiparse con el conocimiento
de información perfecta acerca del estado de la naturaleza.
VALOR ESPERADO DE LA INFORMACION PERFECTA:
VEIP es la cantidad promedio que pierde por no tener
información perfecta sobre que estado de la naturaleza ocurrirá.
Coincide con la pérdida esperada de oportunidad mínima.
Aunque no existe información 100% confiable este valor puede
ser como una cota de la cantidad de dinero que el decisor estaría
dispuesto a pagar por información.
![Page 143: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/143.jpg)
143
11. TEORIA DE LA DECISION
*
*
, ,
, ,
,
,
k jj
k jj
jj
jj
M in E l a l a
M in E l a E l a
M in E l a
M ax E l a
V E IP
P E IP
P E IP
P E IP - P E B I
Para el caso en que los pagos son ganancias:
Para el caso en que los pagos son costos:
V E IP P E B I - P E IP
![Page 144: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/144.jpg)
144
11. TEORIA DE LA DECISION
Para el ejemplo anterior:
COSTO ADQUISICION A 300 PEBI -302.4
COSTO ADQUISICION B 302 PEIP -302
COSTO X DEFECTUOSO A 0.15 VEIP 0.4
COSTO X DEFECTUOSO B 0.05
TABLA DE PAGOS 1% DEFECTUOSOS 3% DEFECTUOSOS 5% DEFECTUOSOS
ADQUIRIR A PROVEEDOR A -301.5 -304.5 -307.5 -302.4
ADQUIRIR A PROVEEDOR B -302.5 -303.5 -304.5 -302.8
TABLA DE PERDIDA OPORT. 1% DEFECTUOSOS 3% DEFECTUOSOS 5% DEFECTUOSOS
ADQUIRIR A PROVEEDOR A 0 1 3 0.4
ADQUIRIR A PROVEEDOR B 1 0 0 0.8
probabilidades a priori 80% 10% 10%
maxima
ganancia
esperada
minima
pérdida de
oportunidad
esperada
![Page 145: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/145.jpg)
145
11. TEORIA DE LA DECISION
ARBOLES DE DECISION:
• Los árboles de decisión son diagramas donde se presentan, en
forma secuencial, las decisiones y los estados de la naturaleza.
• Tienen dos tipos de nodos:
- Nodos de decisión:
- Nodos de eventos:
• En cada una de las ramas que sales de los nodos evento se
colocan las probabilidades de cada uno
• Para cada nodo evento se calcula un pago esperado
• En cada nodo de decisión se escoge la alternativa con el
mejor pago esperado
![Page 146: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/146.jpg)
146
11. TEORIA DE LA DECISION
ARBOLES DE DECISION:
• En resumen, los árboles de decisión proveen un método
efectivo para la toma de decisiones debido a que:
• - claramente plantean el problema para que todas las opciones
sean analizadas.
• - permiten analizar totalmente las posibles consecuencias de
tomar una decisión.
• - proveen un esquema para cuantificar el costo de un resultado
y la probabilidad de que suceda.
• - nos ayuda a realizar las mejores decisiones sobre la base de
la información existente y de las mejores suposiciones.
![Page 147: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/147.jpg)
147
11. TEORIA DE LA DECISION
CASO: LITIGIO
TELMOV, un operador de telefonía móvil, ha presentado una querella legal en
contra de FONOMOVIL por prácticas comerciales monopolistas, pidiendo US.$
1Millón por daños. En noviembre, TELMOV recibe una oferta de
FONOMOVIL para arreglar la situación, en la que le ofrecen 350.000 dólares.
El consejo de administración de TELMOV debe decidir si acepta o no la propuesta
o continúa la querella. Los abogados creen que la probabilidad que TELMOV
gane es de 2/3. Sin embargo, señalan que incluso ganando, la probabilidad de
que el juez otorgue el 1 millón pedido es de 50%, ya que también existe la
posibilidad de que otorgue sólo 500.000$. Los abogados han informado que sus
honorarios entre noviembre y junio (mes en que se celebrará la audiencia) serán
de 30.000$ y que los honorarios de representación en el juicio serán de 25.000$.
El consejo de administración de TELMOV cree que hay una probabilidad de 60%
de que FONOMOVIL haga una 2º oferta en junio, antes de empezar la
audiencia. Si esto es así, se estima que la probabilidad de que el arreglo sea por
450.000$ es del 70% y del 30% que sea de 550.000$. Si FONOMOVIL no
presenta esta segunda oferta en junio, TELMOV puede iniciar una negociación,
conformándose, en ese caso, con unos 250.000$.
![Page 148: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/148.jpg)
148
11. TEORIA DE LA DECISION
CASO: LITIGIO
Si esta empresa utiliza una estrategia que maximice su utilidad esperada, construya
el árbol de decisión, ¿Cuál debe ser su decisión?, realice un análisis de
sensibilidad
DESARROLLO: Este es un problema de decisiones secuenciales que se puede
resolver con un árbol de decisiones. Acciones y estados de la naturaleza son:
A1: Aceptar la primera oferta en noviembre A2: No aceptar la primera oferta
A3: Ir a juicio A4: iniciar una negociación
A5: Aceptar la segunda oferta en junio A6: No aceptar la segunda
oferta
1: FONOMOVIL no propone una segunda oferta
2: FONOMOVIL propone una segunda oferta
3: TELMOV gana el juicio
4: TELMOV pierde el juicio
5: el juez concede una indemnización de 1 millón de dólares
6: el juez concede una indemnización de 500.000 dólares
7: la segunda oferta es de 450.000 dólares
![Page 149: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/149.jpg)
149
11. TEORIA DE LA DECISION
CASO: LITIGIO
INDEMNIZACION GANANDO EL JUICIO
Indemnización pedida $ 1,000,000
Otra Indemnización posible $ 500,000
OFERTA DE FONOMOVIL
Primera Oferta $ 350,000
Segunda Oferta 1 $ 450,000
Segunda Oferta 2 $ 550,000
NEGOCIACION PARA NO IR A JUICIO
Por negociación $ 250,000
HONORARIOS
Período noviembre – junio $ 30,000
durante el juicio: junio - $ 25,000
PROBABILIDADES
Ganar juicio 66.67%
Obtener 1 millón si gana el juicio 50.00%
Segunda oferta en junio 60.00%
Si hay 2º oferta que sea de 450,000 70.00%
Si hay 2º oferta que sea de 550,000 30.00%
![Page 150: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/150.jpg)
150
11. TEORIA DE LA DECISIONCASO: LITIGIO (ARBOL)
FALSO 0
$ 350,000 350000
¿Aceptar 1º oferta?
448000
50.0% 0.133333333
$ 1,000,000 945000
66.7% INDEMNIZACION
0 695000
50.0% 0.133333333
$ 500,000 445000
VERDADERO ¿GANA JUICIO?
-$ 25,000 445000
33.3% 0.133333333
0 -55000
40.0% ¿IR A JUICIO?
0 445000
FALSO 0
$ 250,000 220000
VERDADERO Hay una 2º oferta
-$ 30,000 448000
70.0% 0.42
$ 450,000 420000
VERDADERO monto 2º oferta
0 450000
30.0% 0.18
$ 550,000 520000
60.0% ¿Aceptar?
0 450000
50.0% 0
$ 1,000,000 945000
66.7% INDEMNIZACION
0 695000
50.0% 0
$ 500,000 445000
FALSO ¿GANA JUICIO?
-$ 25,000 445000
33.3% 0
0 -55000
litigio
A1
A2
NO
SI
A3
A4
GANA
PIERDE
1 MILLON
500 MIL
A5
A6
450 mil
550 mil
GANA
PIERDE
1 MILLON
500 MIL
![Page 151: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/151.jpg)
151
11. TEORIA DE LA DECISIONCASO: LITIGIO (ARBOL)
Los siguientes reportes se generan con la opción DECISION ANALYSIS:
ESTADISTICAS:
STATISTICS
Mean 448000
Minimum -55000
Maximum 945000
Mode 420000
Std Dev 260638.958
Skewness -0.03061386
Kurtosis 3.61341588
¿Aceptar 1º oferta?
448000
50.0% 0.133333333
$ 1,000,000 945000
66.7% INDEMNIZACION
0 695000
50.0% 0.133333333
$ 500,000 445000
VERDADERO ¿GANA JUICIO?
-$ 25,000 445000
33.3% 0.133333333
0 -55000
40.0% ¿IR A JUICIO?
0 445000
VERDADERO Hay una 2º oferta
-$ 30,000 448000
70.0% 0.42
$ 450,000 420000
VERDADERO monto 2º oferta
0 450000
30.0% 0.18
$ 550,000 520000
60.0% ¿Aceptar?
0 450000
A2
NO
SI
A3
GANA
PIERD
E
1 MILLON
500 MIL
A5
450 mil
550 mil
![Page 152: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/152.jpg)
152
11. TEORIA DE LA DECISIONCASO: LITIGIO (SENSIBILIDAD)
UTILIDAD ESPERADA DE LA MEJOR POLITICA EN FUNCION
DEL MONTO DE LA PRIMERA OFERTA Y LA PROBABILIDAD DE
GANAR EL JUICIO
2-Way Strategy Region of utilidad esperada
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
200000 250000 300000 350000 400000 450000 500000 550000 600000
primera oferta
pro
bab
ilid
ad
de g
an
ar
juic
io
1 : A1
2 : A2
![Page 153: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/153.jpg)
153
11. TEORIA DE LA DECISION
TOMA DE DECISIONES CON INFORMACION EXPERIMENTAL:
• Los árboles de decisión hacen más fácil la inclusión de información nueva
(o a posteriori), obtenida generalmente por un proceso de experimentación
o de muestreo. En ese caso se debe hacer uso de la regla de Bayes para
calcular las probabilidades a posteriori.
• El árbol de decisión es una representación cronológica del proceso de
decisión.
• Se calculan las ganancias esperadas retrocediendo en el árbol,
comenzando desde el extremo derecho.
• En las ramas salientes de los nodos evento se deben asignar las
probabilidades, según la regla de Bayes o la fórmula de la probabilidad
total, según sea el caso.
![Page 154: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/154.jpg)
154
11. TEORIA DE LA DECISION
PROBLEMA DE DECISION:
PRIMERA PARTE:
Se tiene el siguiente problema de decisión concerniente a la producción de un
nuevo producto, en el cuál se debe decidir si desarrollar o no el mismo, bajo los
posibles escenarios de poca venta, venta media y mucha venta:
Estados de la naturaleza
Mucha venta Venta media Poca venta
A(0,2) B (0,5) C (0,3)
A1 (desarrollar) 3000 2000 -6000
A2 (no desarrollar) 0 0 0
Las probabilidades de los estados de la naturaleza (en paréntesis) representan los
distintos grados que tiene el criterio del decisor (por ejemplo, un gerente) con
respecto a la ocurrencia de cada estado. Estas evaluaciones subjetivas de la
probabilidad son las probabilidades "a priori".
¿ Bajo el criterio de máxima verosimilitud que se elige ?
¿ Bajo el criterio de Bayes que se elige ?
¿Cuál es el VEIP ?
![Page 155: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/155.jpg)
155
11. TEORIA DE LA DECISION
SEGUNDA PARTE:
Sin embargo, el gerente se siente algo reacio a tomar esta decisión sin mas información;
por ello solicita la asistencia de una firma de investigación de mercado. Ahora nos
enfrentamos a una nueva decisión. Es decir, con cuál firma de investigación de mercado
debe consultar su problema de decisión. De esta manera es que el gerente debe tomar una
decisión acerca de cuán "confiable" es la firma consultora. Analizando el desempeño
previo de la consultora se ha desarrollado la siguiente matriz de confiabilidad:
Qué sucedió realmente en el pasado
A B C
Lo que el consultor Ap 0,8 0,1 0,1
predijo Bp 0,1 0,9 0,2
Cp 0,1 0,0 0,7
Donde Ap: el consultor predice buen mercado, Bp: un mercado mediano, Cp: uno malo.
Todas las Firmas de Investigación de Mercado llevan registros (es decir, conservan datos
históricos) del desempeño alcanzado en relación con las predicciones anteriores que
hubieren formulado. Estos registros los ponen a disposición de sus clientes sin cargo
alguno. Para construir una matriz de confiabilidad debe tomar en consideración los
"registros de desempeño" de la Firma de Investigación de Mercado
![Page 156: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/156.jpg)
156
11. TEORIA DE LA DECISION
Se conoce que el consultor cobra 500 dólares por la consultoría realizada.
• Identificar las verosimiltudes P(Ap|A), P(Bp|A), P(Cp|A), P(Ap|B),
P(Bp|B), P(Cp|B), P(Ap|C), P(Bp|C), P(Cp|C).
• Hallar las probabilidades a posteriori P(A|Ap), P(A|Bp), P(A|Cp),
P(B|Ap), P(B|Bp), P(B|Cp), P(C|Ap), P(C|Bp), P(C|Cp)
• Dibuje el árbol de decisiones.
Muchos casos de toma de decisiones gerenciales, como el de este
ejemplo, involucran una secuencia de decisiones.
En la siguiente lámina se observa el gráfico correspondiente al árbol de
decisiones óptimas.
![Page 157: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/157.jpg)
157
TreePlan (Tryout Version) 0.667
A
2500
3000 2500
0.208
producir B
1500
0 1167 2000 1500
0.24 0.125
Ap C
1 -6500
0 1167 -6000 -6500
no producir
-500
0 -500
0.038
A
2500
3000 2500
0.849
producir B
1500
0 634 2000 1500
0.53 0.113
contratar consultor Bp C
1 -6500
-500 501.1 0 634 -6000 -6500
no producir
-500
0 -500
0.087
A
2500
3000 2500
0
producir B
1500
0 -5717 2000 1500
0.23 0.913
Cp C
1 2 -6500
501.1 0 -500 -6000 -6500
no producir
-500
0 -500
0.2
A
3000
3000 3000
0.5
producir B
2000
0 -200 2000 2000
0.3
no contratarlo C
2 -6000
0 0 -6000 -6000
no producir
0
0 0
![Page 158: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/158.jpg)
158
12. Decisiones con muestreo hipergeométrico y binomial
La incorporación de nueva información es beneficiosa para el proceso de toma de
decisiones pues tiene por efecto principal disminuir la incertidumbre involucrada.
Generalmente, la nueva información se obtiene por “muestreo”, proceso por
medio del cual se establecen las reglas que indican como se debe escoger los
elementos de una población para ser objeto de estudio.
Esta nueva información se incorpora al proceso de toma de decisiones en forma
de las probabilidades a posteriori.
El proceso de muestreo mas común involucra las distribuciones hipergeométrica
y binomial.
![Page 159: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/159.jpg)
159
12. Decisiones con muestreo hipergeométrico y binomial
El muestreo implica distribuciones hipergeométricas, pues implica situaciones
como la de: “se extrae una muestra de tamaño n de una población de tamaño N
de los cuales k son defectuosos”, entonces si X= número de artículos defectuosos
en la muestra, X tiene distribución hipergeométrica
Pero, si se considera que las muestras son muy pequeñas comparadas con el
tamaño de la población (o si el muestreo se hace con reposición), se puede decir
que X tiene aproximadamente una distribución binomial con parámetros n, p=k/N
k N k
j n jp j
N
n
1n jj
np j p p
j
![Page 160: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/160.jpg)
160
Un vendedor está ante la alternativa de comprar o no un lote de 80 bombillos. El tendrá una pérdida de 150 por cada bombillo defectuoso y obtendrá una ganancia de 50 por cada bombillo no defectuoso. La proporción de bombillos defectuosos en los lotes tiene la siguiente función de frecuencia: P( =0.1)=0.4, P( =0.2)=P( =0.3)=0.3. El fabricante permitirá al vendedor examinar cada bombillo por un valor de 35 no reembolsables y rechazar cualquier unidad defectuosa sin costo adicional alguno para el vendedor; cualquier unidad rechazada por el vendedor será sustituida por una unidad buena por el fabricante. En el caso de que el vendedor examine la muestra esta será de tamaño 2. ¿Cuál es la ganancia máxima que espera obtener el vendedor? ¿Cuál es su estrategia óptima?
Resolver utilizando muestreo hipergeométrico
Resolver utilizando muestreo binomial
Que pasaría si el costo de examinar cada bombillo es de 10?
12. Decisiones con muestreo hipergeométrico y binomial
![Page 161: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/161.jpg)
161
Con muestreo hipergeométrico:
A PRIORI: P( = z); donde (estado de la naturaleza) es la proporción
de defectuosos en el lote
z 0.1 0.2 0.3
P( = z) 0.4 0.3 0.3
12. Decisiones con muestreo hipergeométrico y binomial
![Page 162: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/162.jpg)
162
VEROSIMILITUDES: P(x/ ); x = Número de artículos defectuosos en la muestra
j 0 1 2
P(x=j / = 0.1)
8 72
0 20, 8089
80
2
8 72
1 10,1823
80
2
8
20, 0088
80
2
P(x=j / = 0.2)
16 64
0 20, 6380
80
2
16 64
1 10, 3241
80
2
16 64
2 00, 0380
80
2
P(x=j / = 0.3)
24 56
0 20, 4873
80
2
24 56
1 10, 4253
80
2
24 56
2 00, 0873
80
2
12. Decisiones con muestreo hipergeométrico y binomial
![Page 163: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/163.jpg)
163
A POSTERIORI: P( /x)
z 0.1 0.2 0.3
P( = z / x = 0) 0,489374 0,289489 0,221137
P( = z / x = 1) 0,244897 0,326531 0,428571
P( = z / x = 2) 0,0861563 0,276918 0,636925
0.1, 0.2 , 0.3
/; 0.1, 0.2, 0.3
/
w
x j z zP z x j z
x j w w
12. Decisiones con muestreo hipergeométrico y binomial
![Page 164: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/164.jpg)
164
PROBABILIDADES TOTALES: P(x = j)
j 0 1 2
P(x = j) 0,66114 0,297721 0,0411392
0.1, 0.2 , 0.3
/ ; 0, 1, 2
w
P x j x j w w j
12. Decisiones con muestreo hipergeométrico y binomial
![Page 165: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/165.jpg)
165
0.489374
2295
2400 2295
0.289489
Comprar
695
0 1124.1792 800 695
0.66114 0.221137
x=0
1 -905
0 1124.1792 -800 -905
No comprar
-105
0 -105
0.244897
2495
2600 2495
0.326531
Comprar
895
0 601.120705 1000 895
0.297721 0.428571
Tomar muestra x=1
1 -705
-105 931.000392 0 601.120705 -600 -705
No comprar
-105
0 -105
0.0861563
2695
2800 2695
0.276918
Comprar
1095
0 213.769314 1200 1095
0.0411392 0.636925
x=2
2 1 -505
960 0 213.769314 -400 -505
No comprar
-105
0 -105
0.4
2400
2400 2400
0.3
Comprar
800
0 960 800 800
0.3
No tomar muestra
1 -800
0 960 -800 -800
No comprar
0
0 0
![Page 166: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/166.jpg)
166
13. Decisiones con muestreo binomial
USO DE LA DISTRIBUCION BETA:
La distribución Beta ( , ), que tiene por función de densidad:
Donde y son parámetros de forma.
Y se usa comúnmente para medir proporciones. En nuestro caso es una
buena distribución para modelizar la “proporción” de defectuosos en un
lote.
112
1 1 , 0 11
f z z z z
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.5
2
x, 1, 2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
x, 2, 3
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
2
3
4
x, 2, 10
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
2
3
4
x, 10, 2
![Page 167: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/167.jpg)
167
13. Decisiones con muestreo binomial
USO DE LA DISTRIBUCION BETA:
Suponemos que la distribución a priori de los estados de la naturaleza es
Beta ( , )
Y si suponemos además que el número X de resultados que tienen cierta
característica (por ejemplo defectuosos), de entre dos características
posibles, sigue una distribución binomial (n,z), entonces se tiene por la
fórmula de la probabilidad total (caso contínuo) que:
111
0
21 1 1 , 0 1
1
2 1 ! 1 !1
1 1 !
n jj
p X j p X j z f z dz
np X j z z z z dz z
j
n j n j
j n
![Page 168: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/168.jpg)
168
13. Decisiones con muestreo binomial
USO DE LA DISTRIBUCION BETA:
Y por el teorema de Bayes (en su forma contínua diapositiva 87):
Así la distribución a posteriori de es: BETA ( +j , +n-j)
Distribución A priori: Beta
+ = Distribución A posteriori Beta
Muestreo Binomial
112
1 1 , 0 11
n jj
p X j z f zf z X j
p X j
nn z z z
j
=
![Page 169: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/169.jpg)
169
13. Decisiones con muestreo binomial
Ejemplo: Una empresa tiene una máquina que llena frascos de aceite. Sea la
proporción de frascos mal llenados en un lote de producción. Un lote de
producción consiste en 5000 frascos envasados, y el costo de llenar mal un frasco
es de 4 u.m.. La empresa tiene la opción de contratar un experto que ajuste la
máquina, a un costo de 300 más 2 por cada frasco mal envasado. En 20 lotes
anteriores se observó el siguiente número de defectuosos:
El investigador supone que , sigue una distribución Beta(2,78),
(COMPROBAR SI ESTA SUPOSICION DEL INVESTIGADOR ES VALIDA)
La empresa tiene la posibilidad de examinar tres frascos para saber si ellos están
bien o mal envasados antes de decidir si contratar o no al experto.
25 63 130 279 232 76 71 68 107 388
177 141 73 386 88 138 130 62 14 170
![Page 170: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/170.jpg)
170
13. Decisiones con muestreo binomial
¿Es razonable la suposición a priori de que sigue una distribución
Beta(2,78) ?
Sin muestreo, ¿Cuál es la acción que debe tomarse? (contratar o no al
experto)
Con muestreo, ¿Cuál es la acción que debe tomarse?
![Page 171: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/171.jpg)
171
13. Decisiones con muestreo binomial
Es razonable la suposición a priori de que sigue una distribución (2,78)
Utilizando la prueba de K-S: (comparar con los resultados de R)
Máximo
p-value = 0.6375,
Si es razonable la
distribución a priori
Caso
Número de
defectuosos Proporción i i/n Fo( i) i/n-Fo( i)
1 14 0.002781263 0.05 0.021 0.0293145
2 25 0.004991033 0.1 0.06 0.0403766
3 62 0.01242886 0.15 0.258 0.107529
4 63 0.012510624 0.2 0.26 0.059919
5 68 0.01364011 0.25 0.293 0.04294
6 71 0.014283648 0.3 0.312 0.011691
7 73 0.01450443 0.35 0.318 0.031897
8 76 0.015238493 0.4 0.339 0.060678
9 88 0.017549448 0.45 0.405 0.045352
10 107 0.021487621 0.5 0.508 0.00834
11 130 0.025918231 0.55 0.61 0.060343
12 130 0.025984703 0.6 0.612 0.011747
13 138 0.027670404 0.65 0.646 0.00392
14 141 0.028105425 0.7 0.655 0.045452
15 170 0.033918451 0.75 0.753 0.002913
16 177 0.035313377 0.8 0.773 0.027339
17 232 0.046322345 0.85 0.886 0.03589
18 279 0.055844949 0.9 0.939 0.039436
19 386 0.077275605 0.95 0.987 0.036744
20 388 0.077596173 1 0.987 0.012948
![Page 172: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/172.jpg)
172
13. Decisiones con muestreo binomial
Sin muestreo, ¿Cuál es la acción que debe tomarse?
• Como: E( )=0.025, y la función de pagos es:
• Siendo a1= Contratar el experto, a2= No contratar el experto,
300 10000 1,
20000 2j
jl a
j
Si
S i
Acción Costo esperado
a1 300 + 10000 E( ) = 550
a2 20000 E( ) = 500
óptimo
![Page 173: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/173.jpg)
173
13. Decisiones con muestreo binomial
Con muestreo, ¿Cuál es la acción que debe tomarse?• Las probabilidades de X son (evaluadas con probabilidad total):
• Y la distribución a posteriori de es Beta(2+j, 81-j), luego:
• Y la tabla de costos esperados es ahora:
2
83
jE X j
j = 0 j = 1 j = 2 j = 3
P(X = j) 0.927733 0.0695799 0.00264228 0.0000451671
Costo esperado (a posteriori)
Acción j = 0 j = 1 j = 2 j = 3
a1 540.964 661.446 781.928 902.41
a2 481.928 722.892 963.855 1204.82
Mínimo
![Page 174: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/174.jpg)
174
13. Decisiones con muestreo binomial
Con muestreo, ¿Cuál es la acción que debe tomarse?
• Si al menos uno de los frascos de la muestra resulta mal envasado, la empresa debe contratar un experto para ajustar la máquina, mientras que si en la muestra no aparecen frascos mal envasados, no se debe contratar experto alguno
![Page 175: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/175.jpg)
175
14. Uso de la distribución normal
• Muchas veces se tienen distribuciones normales, o por su defecto puede aproximarse asintóticamente por una distribución normal, por ejemplo si la población es binomial (esto es, solo tiene dos características distinguibles: defectuoso - no defectuoso, a tiempo – con retraso, etc.). Sea Xi la variable:
• Dada la muestra aleatoria: X1, X2, …, Xn, según el teorema del Límite Central, se tiene que:
#i
X
i
d e elem en t os en los cu a les se p r esen t a
la ca r a ct er íst ica 1 en la ob ser v a ción
2
,n
Xn
N
![Page 176: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/176.jpg)
176
14. Uso de la distribución normal
• A priori: Si la distribución a priori del estado = de la naturaleza es:
• Y sea y = x1, x2, …, xn una muestra aleatoria de una población con
distribución , así se tiene:
• Verosimilitud:
• A posteriori:
2,N
2
0 0,N
/ 2 2
2
1
12 exp
2
nn n
i
i
p y x
p y p p y pp y
p y p y p d
![Page 177: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/177.jpg)
177
14. Uso de la distribución normal
Como: i.i.d.
2,
ix N
/ 2 2
2
1
12 exp
2
nn n
i
i
f y x=
De la distribución a priori: 1 / 2 21
0 02
12 exp
2f =
La dist. A posteriori es: f y f f y f
f yf y f y f d
= =
El numerador:
1 / 2 2 21
0 02 2
1 0
1 12 exp
2 2
nn n
i
i
f y f x=
Como: 2 2 2
1 1
= +
n n
i i
i i
x x x n x
Y además: 2 2 2 2
0 02 2 2 2 1 2
0 0
1 1 1+ = +
nx x
n
Con
2 2
0 0
2 2
0
/ 1 /,
/ 1 /
+
=
+
n x
n; y, 2
2 2
0
1
/ 1 /=
+n
![Page 178: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/178.jpg)
178
14. Uso de la distribución normal
Así, la expresión en llaves del numerador de la fórmula de Bayes es:
2 2 2
02 2 2
1 0
1 1 1
2 2 2
n
i
i
x h y=
Siendo: 2 2
02 2 1 21 0
1 1
2 2
n
i
i
h y x x xn
= +
Y de esta manera:1 / 2 21
2
12 exp
2f y f f y=
Donde / 2 1
02 exp
n nf y h y=
Y así: 1 / 2 21
2
12 exp
2
f y ff y
f y= =
![Page 179: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/179.jpg)
179
14. Uso de la distribución normal
• Así:
• Es decir, la distribución a posteriori de es:
• Así cuando la distribución a priori del estado de la naturaleza es normal, y el muestreo se realiza sobre una población con
distribución normal, la distribución a posteriori de es normal también.
2 2
0 0 2
2 2 2 2
0 0
/ 1 / 1;
/ 1 / / 1 /
n x
n nC on
2,y N
1 / 2 21
2
12 exp
2p y
![Page 180: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/180.jpg)
180
14. Uso de la distribución normalConsideremos una empresa que piensa modernizar la maquinaria que tiene. Actualmente
dispone de la oferta de un fabricante Chino, que ofrece una maquinaria que produce
regularmente cierta cantidad de unidades defectuosas, la tabla siguiente muestra los
costos diarios para los dos tipos de maquinaria. Un trabajo de producción en la
maquinaria consiste en la elaboración de lotes de 1000 unidades, y el costo de una unidad
defectuosa es de 3$. La empresa tiene la opción de contratar una cobertura especial, por
200$ por lote producido, por medio de la cual las unidades defectuosas son reemplazadas.
El fabricante permitió a la empresa realizar una corrida de producción de 20 lotes, con el
siguiente número de unidades defectuosas producidas (suponer normalidad del número de
unidades defectuosas producidas, con la varianza estimada a partir de los datos y la media
desconocida):
La empresa consiguió información de 12 empresas que usaron el mismo tipo de
maquinaria que elaboraron 10 lotes, cada uno de 1000 partes. Sea Xi (i = 1,2, …, 10) el
número de partes defectuosas del i-ésimo lote. Determinar el costo mínimo que espera
conseguir la empresa, considerando que la distribución del número de partes defectuosas
producidas por la máquina ofrecida sigue una distribución normal con media y varianza
25, y que en experiencias de producciones anteriores el número de piezas defectuosas
por lote fueron:
17 40 55 34 26 40 46 35 46 51 44 37 32 23 33 38 19 44 0 69
![Page 181: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/181.jpg)
181
14. Uso de la distribución normalMes Defectuosos por lote
1 32 22 37 48 47 52 13 33 46 24
2 41 20 43 43 46 53 24 38 42 34
3 42 28 33 28 46 35 56 31 21 20
4 38 29 28 37 46 28 40 38 29 43
5 56 37 52 21 20 21 36 20 18 15
6 46 43 28 36 31 36 36 28 28 23
7 46 40 61 45 26 42 42 39 43 42
8 37 42 30 27 32 40 34 27 39 20
9 48 27 55 50 42 32 30 29 51 40
10 35 27 29 33 18 35 48 32 30 30
11 30 44 48 25 43 25 46 32 44 33
12 30 34 25 25 44 31 55 45 37 39
![Page 182: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/182.jpg)
182
14. Uso de la distribución normal
•Obtener los promedios muestrales de unidades defectuosas por cada mes y
establecer una distribución a priori normal para el promedio de unidades
defectuosas entregadas.
•Establecer la distribución a posteriori de .
•Calcular los costos esperados sin la contratación de la cobertura y con la
contratación de la cobertura.
![Page 183: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/183.jpg)
183
15. Tamaño óptimo de la muestra
•El muestreo cumple un importante papel en la toma de decisiones
•Se busca determinar el tamaño óptimo de la muestra N.
•A cada muestra se asocia un valor crítico c, el cual indica que si
hay en la muestra por lo menos c elementos que poseen cierta
característica, se adopta una acción, y otra acción sino. Cuando no
se toma una muestra se considera N= c= 0.
•Para determinar N se calcula el pago esperado y el valor crítico
para un tamaño n de la muestra, luego el costo del muestreo, se le
resta a este pago (si indica ganancia). Este procedimiento se hace
para valores de n = 0, 1, 2, 3, … El tamaño de la muestra que da
lugar al mejor pago esperado total es el tamaño óptimo N buscado.
![Page 184: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/184.jpg)
184
15. Tamaño óptimo de la muestra
Ejemplo: El dueño de un almacén está considerando la compra de 50 focos a un costo
unitario de 9$ para venderlos a un precio de 11 $ por unidad; cuando un bombillo sale
defectuoso el dueño pierde lo que pagó por él. Se conoce (por lo sucedido con lotes
anteriores) que el 10% o el 30% de los bombillos es defectuoso con frecuencias de 0.8 y
0.2 respectivamente. Con el fin de adoptar una decisión el dueño puede inspeccionar cada
foco a un costo de 0.30. Se desea conocer cuál es el tamaño de la muestra que maximiza
su ganancia esperada.
Cuando el dueño saca una muestra de tamaño n, hay la posibilidad de obtener 0, 1, …, n
focos defectuosos. En base al resultado decide a1: comprar el lote, a2: no comprarlo.
El número de focos defectuosos tiene aprox. una distribución binomial (n, ) siendo la
proporción de defectuosos en el lote.
Para establecer el tamaño óptimo de la muestra que debe tomar el dueño del almacén se
encuentra el pago esperado con información muestral cuando se toman muestras de
tamaño 2, 3, 4, ..., para lo cual se pueden usar árboles o matrices estocásticas. Finalmente
se tabulan los resultados de los pagos esperados, los valores críticos, los costos del
muestreo y las ganancias resultantes para escoger entre estas la máxima y seleccionar así
el tamaño muestral óptimo.
![Page 185: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/185.jpg)
185
n=2
TreePlan (Tryout Version) 0.8686
45
comprar lote 45 45
0 30.546 0.1314
0.746
x=0 -65
1 -65 -65
0 30.546
no comprar lote
0
0 0
0.6316
45
comprar lote 45 45
0 4.476 0.3684
0.228
tomar muestra (n=2) x=1 -65
1 -65 -65
23.807844 0 4.476
no comprar lote
0
0 0
0.3077
45
comprar lote 45 45
0 -31.153 0.6923
0.026
x=2 -65
1 2 -65 -65
23.807844 0 0
no comprar lote
0
0 0
0.8
45
comprar lote 45 45
0 23 0.2
no tomar -65
1 -65 -65
0 23
no comprar lote
0
![Page 186: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/186.jpg)
186
15. Tamaño óptimo de la muestra
Tabla de información para hallar el tamaño muestral óptimo
Tamaño de la
muestra
Valor crítico Ganancia
esperada
Costo de la
muestra
Ganancia total
0 0 23.00 0 23.00
1 1 23.30 0.30 23.00
2 2 23.81 0.60 23.21
3 2 24.80 0.90 23.90
4 2 25.65 1.20 24.45
5 2 26.20 1.50 24.70
6 2 26.43 1.80 24.63
7 3 26.66 2.10 24.56
Ganancia esperada Optima
Tamaño óptimo
![Page 187: IO](https://reader034.fdocuments.co/reader034/viewer/2022052508/5594612e1a28abbe6a8b46a5/html5/thumbnails/187.jpg)
187
16. Procesos de decisión Markovianos
VER DESARROLLO EN CLASE