DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA CÁLCULO DIFERENCIAL

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA 1. CARACTERIZACIÓN DE LA ASIGNATURA Con el Cálculo Diferencial aparecen las matemáticas del movimiento y el cambio. Esta disciplina matemática fue creada en los siglos XVI y XVII para resolver problemas relacionados con la Mecánica, permitiendo definir pendientes de curvas, calcular velocidades y aceleraciones de cuerpos en movimiento, calcular ángulos de tiro que dieran a los cañones su alcance máximo, predecir cuándo los planetas estarían más cercanos o más alejados entre sí, y, en general, calcular el ritmo con que una magnitud cambiaba con respecto a otra. Hoy en día el Cálculo Diferencial tiene alcances mucho mayores, lo cual se manifiesta en la gran variedad de áreas del conocimiento científico-técnico que utilizan sus conceptos básicos, para crear modelos matemáticos que ayudan a comprender fenómenos de la más diversa naturaleza. Baste citar sus aplicaciones en problemas de la Mecánica, la Termodinámica, la Mecánica de Fluidos, la Electricidad y el Magnetismo, el Balance de Materia y Energía, la Economía, entre otros. Esta asignatura te permitirá comenzar a adentrarte en el conocimiento de esta rama de las matemáticas a través de la apropiación de sus conceptos básicos: función, el dominio, el límite, la derivada y el diferencial de una función real de una variable real. Enfatizaremos de manera particular las aplicaciones de estos conceptos a la comprensión y resolución de situaciones problémicas presentes en el mundo real, lo cual, por una parte, deberá enriquecer tu capacidad de análisis y razonamiento, a la vez que te permitirá comprender el importante papel que desempeñan los modelos matemáticos en la comprensión del universo que nos rodea.

2. COMPETENCIAS A DESARROLLAR EN LA ASIGNATURA

COMPETENCIA ESPECÍFICA El alumno conceptualiza, opera, modela y resuelve problemas relacionados con funciones y fenómenos de variación.

COMPETENCIAS PARTICULARES

Al finalizar esta asignatura el estudiante deberá ser capaz de: a) Conceptualizar:

Predecir el comportamiento de una función a partir de cualquiera de sus representaciones y transitar entre ellas.

Representar e interpretar gráficamente los conceptos de función, límite, continuidad, derivada y diferencial de una función real de una variable real.

b) Operar:

Determinar la continuidad de funciones a través de cualquiera de sus representaciones y problemas asociados.

Operar con funciones racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales o dadas en términos del valor absoluto, así como las funciones inversas.

Calcular límites, derivadas y diferenciales

Graficar funciones a partir de las propiedades de sus derivadas.

c) Modelar y resolver:

Problemas relacionados con los conceptos de límite, continuidad, derivada y diferencial de una función, por ejemplo problemas relacionados con:

Aplicación de funciones

Tangentes a una curva

Razones de cambio, velocidad y aceleración

Maximización y minimización

Trazado de curvas

Cálculo aproximado del valor de una magnitud y la estimación del error cometido.

COMPETENCIAS TRANSVERSALES Comprensión de textos

Comunicación: Explicar de manera coherente a su profesor y a sus compañeros la secuencia de acciones desarrolladas para resolver un problema dado; Redactar con claridad y coherencia los resultados de su trabajo sobre un problema dado.

Trabajo colaborativo: La disposición para el trabajo colaborativo con el resto de sus compañeros.

Resolución de problemas: Delimitar los datos, las incógnitas y las relaciones existentes entre las magnitudes que aparecen en el texto a través del cual se formula una situación problémica.

Valores: Desarrollo de la responsabilidad ante la actividad académica, manifiesta en: 1. La asistencia sistemática a clases 2. La observancia de las normas de disciplina establecidas para el trabajo en la asignatura. 3. El cumplimiento en tiempo y forma de las actividades que se le encomienden como trabajo

independiente. 4. El desarrollo de espíritu crítico y autocrítico en el análisis del desempeño de los participantes

del proceso de enseñanza-aprendizaje en la asignatura, incluido el suyo propio. 5. El sentido de la ética, evitando, en particular, cometer actos deshonestos en la realización de

las actividades evaluativas. 6. El desarrollo de la capacidad para identificar características personales al afrontar procesos de

aprendizaje y, como consecuencia, para llevar a cabo esta actividad con mayor grado de independencia.

7. Tolerancia y respeto

2. DESTREZAS Y SABERES

Al finalizar esta asignatura el estudiante habrá desarrollado su capacidad para:

1. Identificar relaciones funcionales en sus formas tabular, gráfica y analítica 2. Identificar la variable dependiente y la(s) variable(s) independiente(s) en una relación funcional 3. Usar la notación matemática adecuada para denotar relaciones funcionales

4. Aplicar los conocimientos de las relaciones funcionales para modelar situaciones en diferentes contextos.

5. Determinar el dominio y el rango de una relación funcional. 6. Describir y predecir (dentro de márgenes de error previamente establecidos) el comportamiento de

una situación (crecimiento o decrecimiento, valor máximo o valor mínimo, valores específicos, tendencias) a través de alguna(s) de la(s) relaciones funcionales que en ella están presentes.

7. Identificar situaciones que responden a modelos funcionales específicos (lineales, cuadráticos, polinomiales, racionales, trigonométricas, funciones inversas)

8. Usar la tecnología adecuada, en el momento apropiado para la solución de problemas. 9. Calcular y describir el comportamiento en el límite de una función 10. Describir de manera formal la continuidad y/o discontinuidad de una función. 11. Calcular y describir la variación instantánea y promedio de una magnitud con respecto a otra a partir

de su expresión analítica o de su representación gráfica y utilizarla para analizar y predecir su comportamiento

12. Calcular e interpretar el significado de la derivada de una función en un punto y en forma global. 13. Calcular e interpretar las derivadas de orden superior. 14. Calcular la derivada de funciones implícitas 15. Deducir la derivada de diversas funciones a partir de expresiones conocidas. 16. Modelar, resolver e interpretar resultados de situaciones con tasas de cambio relacionadas con

diferentes magnitudes 17. Modelar, resolver e interpretar resultados de situaciones con cálculo de errores o aproximaciones 18. Modelar, resolver e interpretar resultados de situaciones con máximos, mínimos y puntos de

inflexión 19. Deducir o demostrar algunos resultados usando los conceptos aprendidos y otros teoremas 20. Determinar y argumentar la veracidad o falsedad de una proposición matemática 21. Realizar inferencias correctas a partir de una premisa dada 22. Verificar proposiciones matemáticas

4. TEMAS DEL CURSO

I. Funciones Al finalizar este tema el estudiante deberá ser capaz de: 1.1 Verificar cuándo una expresión, ya sea en fórmula algebraica, en forma de pares ordenados o en su

forma gráfica corresponde a una función. 1.2 Bosquejar, manualmente, las formas gráficas básicas de funciones lineales, cuadráticas, valor

absoluto, trigonométricas, exponenciales y las inversas de todas ellas. 1.3 Bosquejar, manualmente, gráficas de funciones mediante traslaciones, reflexiones, compresiones o

estiramientos 1.4 Aplicar el concepto de función para modelar algunas situaciones en otras ciencias o en la

matemática misma. Analizar gráficamente los comportamientos de los fenómenos modelados. 1.5 Aplicar las definiciones para demostrar si una función es biyectiva y en su caso determinar la inversa

de ésta. 1.6 Usar la tecnología para graficar y analizar modelos que resultan en funciones más complicadas.

Temas: a) Funciones y sus representaciones (tabular, analítica, gráfica). Modelación de situaciones en

diferentes contextos b) Gráficas de funciones: traslación vertical y horizontal, compresión y estiramiento, reflexiones c) Operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición

d) Tipos de funciones: polinomiales, exponenciales, trigonométricas. Aplicación de algunos modelos. e) Propiedades de las funciones: simetrías, biyectivas f) Cálculo de funciones inversas y sus gráficas. g) Modelación de algunas situaciones que requieren la obtención y manipulación de funciones.

II. Límites y Continuidad

Al finalizar este tema el estudiante deberá ser capaz de: 2.1 Verificar el cumplimiento de la definición de límite para funciones lineales y con una vecindad dada

del límite 2.2 Calcular límites de funciones mediante la aplicación de las reglas de cálculo 2.3 Resolver situaciones indeterminadas en el cálculo de límites. 2.4 Calcular límites de funciones a partir de sus gráficas, y viceversa, construir gráficas de funciones a

partir del conocimiento de algunos de sus límites 2.5 Calcular límites laterales 2.6 Calcular límites trigonométricos 2.7 Calcular límites al infinito e interpretarlos gráficamente en términos de asíntotas verticales 2.8 Calcular límites al infinito e interpretarlos en términos de asíntotas horizontales 2.9 Esbozar la gráfica de una función conocidas sus asíntotas 2.10 Determinar la continuidad de una función, tanto en un punto como en un intervalo 2.11 Clasificar las discontinuidades de una función y remover discontinuidades evitables 2.12 Aplicar las propiedades de las funciones continuas en la resolución de problemas de aproximación

de soluciones de ecuaciones algebraicas.

Temas:

a) Concepto y cálculo del límite de una función b) Leyes de los límites c) Límites infinitos d) Límites en el infinito e) Continuidad de una función f) Teoremas de continuidad, teorema del valor intermedio. Aplicación a la solución aproximada de

ecuaciones

III. La Derivada

Al finalizar este tema el estudiante deberá ser capaz de: 3.1 Calcular derivadas de funciones básicas mediante la definición 3.2 Interpretar gráficamente la no derivabilidad de una función en un punto 3.3 Calcular derivadas mediante la aplicación de las reglas de derivación y el conocimiento de las

derivadas de las funciones elementales 3.4 Calcular derivadas de orden superior 3.5 Calcular derivadas de funciones que se definen implícitamente 3.6 Aplicar las derivadas a la resolución de problemas relacionados con tangentes a una curva y con la

velocidad y la aceleración. 3.7 Determinar los extremos relativos y absolutos de una función dentro de un intervalo y los puntos

en que éstos se alcanzan. Interpretar gráficamente los resultados obtenidos 3.8 Resolver problemas de optimización 3.9 Resolver situaciones indeterminadas en el cálculo de límites mediante la regla de L’Hôpital

3.10 Determinar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, de concavidad de una función empleando, respectivamente, su primera y su segunda derivada. Interpretar gráficamente los resultados de este análisis.

3.11 Calcular la diferencial de funciones dadas 3.12 Aproximar valores funcionales y estimar el error cometido empleando diferenciales

Temas:

a) Noción intuitiva de recta secante y recta tangente. b) Definición de derivada de una función. Interpretaciones de derivada. c) Reglas de derivación para las funciones algebraicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas

directas y trigonométricas inversas d) Regla de la cadena, derivación implícita e) Diferenciales, cálculo de errores y aproximaciones f) Razones de cambio relacionadas g) Teoremas sobre derivación: Teoremas de Rolle, teorema del valor medio h) Valores extremos de funciones y puntos de inflexión: Criterios de la primera derivada y de la

segunda derivada i) Modelos de situaciones que llevan a problemas de optimización j) La regla de L’Hopital k) Concavidades, trazado de gráficas l) Características de una función no derivable.

TEXTOS PROPUESTOS: Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. 7° edición James Stewart Editorial Cengage Learning, México, 2013

Cálculo de una variable. Thomas / Finney

12ª. Edición. Addison Wesley Longman LIBROS DE CONSULTA:

Cálculo de una variable. (Segunda Edición) Jon Rogawski Reverté

Cálculo Volumen 1. Larson, Hostetler, Edwards. Sexta Edición. McGraw-Hill

Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (Cuarta Edición) Dennis G. zill –Warren S. Wright Mc Graw Hill Cálculo con Geometría Analítica.

Louis Leithold Sexta Edición. Harla.

Cálculo con Geometría Analítica. Swokowski, Earl W. Segunda Edición. Grupo Editorial Iberoamérica.

5. METODOLOGÍA PARA EL DESARROLLO DEL CURSO En concordancia con el modelo educativo asumido por el ITESO, el proceso de enseñanza-aprendizaje en

esta asignatura está centrado en el estudiante, y se estructura sobre la base de actividades específicas diseñadas para facilitar su aprendizaje con el mayor grado de independencia posible. En el desarrollo de estas actividades se explotan las posibilidades que brindan el trabajo en equipos y el empleo de los recursos computacionales.

ORGANIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD BAJO LA CONDUCCIÓN DEL PROFESOR Se organiza tomando como unidades básicas dos tipos de sesiones: sesiones de construcción del nuevo

contenido de aprendizaje y sesiones de resolución de problemas. En las sesiones de construcción del nuevo contenido de aprendizaje se presentan situaciones que te

permitirán construir el nuevo contenido de aprendizaje, poniendo en evidencia sus rasgos fundamentales. Estas sesiones serán resumidas por escrito para conformar un material de estudio que, junto con la bibliografía recomendada, facilite la asimilación de los contenidos tratados en dichas sesiones.

En las sesiones de resolución de problemas aplicarás estos nuevos aprendizajes para analizar y resolver situaciones problémicas.

ORGANIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD INDEPENDIENTE DEL ESTUDIANTE

La actividad independiente en esta asignatura consiste en

la lectura, investigación y comprensión de textos orientados por el profesor

la preparación para las sesiones de resolución de problemas

la resolución de ejercicios y problemas complementarios (tareas) ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA METODOLOGÍA El proceso de enseñanza en esta asignatura se concibe sobre la base de los siguientes puntos:

La conceptualización

La deducción y/o demostración

La operatoria

La resolución de problemas

En lo que respecta a la conceptualización se buscará que la formación de los conceptos matemáticos a que se refiere el contenido del curso, produzcan significados correctos. Para eso, las acciones de enseñanza debieran realizarse utilizando acercamientos al concepto desde lo intuitivo, lo gráfico, lo discreto para llegar a lo analítico formal (aunque no necesariamente en ese orden) de modo que el estudiante pueda construirlo correctamente en su mente.

Por el lado de deducción o demostración se busca propiciar procesos de enseñanza – aprendizaje encaminados al establecimiento de la validez de las proposiciones o expresiones sobre las cuales se soportan los diferentes procedimientos de trabajo que contempla el contenido de la asignatura. Se espera que el estudiante aprenda a formular proposiciones matemáticas con el rigor del lenguaje matemático, expresando con toda claridad sus hipótesis y la tesis correspondiente. La operatoria debiera ser entendida como el uso significativo de reglas y procedimientos para el cálculo (límites, derivadas, etc.). Finalmente la resolución de problemas será un escenario que permita al estudiante comprender el papel que desempeñan los modelos matemáticos en el conocimiento aproximado de la realidad, que al mismo tiempo se propicie el desarrollo de sus capacidades de análisis y razonamiento.

6. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE Las componentes del programa de la asignatura que aportarán la calificación final serán: exámenes

escritos, tareas, lecturas y proyectos. Y los porcentajes para la calificación serán los siguientes:

a. Tareas 15% b. Proyectos 15% c. Exámenes parciales o cortos 20% d. Exámenes departamentales (2) 50%

TOTAL 100%

Para aprobar el curso es necesario tener el 60% del total de los puntos Los exámenes departamentales serán dos, uno a medio semestre y otro al final Las fechas de aplicación serán dadas a conocer oportunamente Para aprobar el curso, es necesario que el promedio de los dos exámenes departamentales sea 6 como mínimo

La evaluación de cada uno de los módulos tomará en cuenta los siguientes elementos:

Comprobaciones de estudio sobre la base de lecturas orientadas y trabajos en equipo

La realización (fuera de clase individual o en equipos) de tareas relacionadas con las sesiones de resolución de problemas

La realización de exámenes escritos en donde se integren los conocimientos y habilidades adquiridos

ESCENARIO DE PROBLEMAS REPRESENTATIVOS

Funciones

Supóngase que el valor de un automóvil se relaciona con su tiempo de uso a través de un modelo lineal. Si al comprarlo (nuevo) el automóvil costó $ 187,000 y en los primeros 10 meses de uso su precio se redujo en un 28%, determina cuál es el modelo lineal que permite relacionar el valor del automóvil con el tiempo de uso, y utilízalo para saber al cabo de cuánto tiempo (en años y meses) el precio del automóvil se habrá reducido a la mitad.

La siguiente tabla muestra cómo fue cambiando con el tiempo la altura a (con respecto al suelo) de una pelota, que fue lanzada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio de 150 pies de altura:

Tiempo (t) Altura (h)

1 s 384 pies

3 s 456 pies

6 s 324 pies

8 s 76 pies Verifica que estos datos se ajustan a un modelo cuadrático, y utilízalo para estimar la distancia total recorrida por la pelota, desde que fue lanzada hasta que cayó al suelo.

Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de ella como función del ancho x de la misma.

En cierto país, el impuesto sobre la renta se evalúa como se indica a continuación. No se paga impuesto sobre ingresos hasta de 10000 dólares. Cualquier ingreso superior a 10000 dólares paga un impuesto del 10% del mismo, hasta un ingreso de 20000 dólares. Cualquier ingreso superior a 20000 dólares paga impuesto con una tasa del 15%. (a) Trace la gráfica de la tasa R de impuesto como función del ingreso I. (b) ¿Cuál impuesto corresponde a un ingreso de 14000 dólares y a otro de 26000 dólares? (c) Trace la gráfica del impuesto total correspondiente T como función del ingreso I.

La Comisión Federal de Electricidad establece las siguientes tarifas domésticas para el cobro del suministro eléctrico:

Rango de consumo (kWh) Costo por kWh 1-75 $0.765 76-140 $0.936 Excedente $2.736

Esto significa que si en un hogar se consumen de 1 a 75 kWh se aplica la primera tarifa; si el consumo se encuentra entre 76 a 140 kWh, los primeros 75 KWh se cobran de acuerdo a la primera tarifa y los restantes de acuerdo a la segunda tarifa; si el consumo excede los 140 kWh, entonces los primeros 75 kWh se cobran según la primera tarifa, los siguientes 65 kWh de acuerdo a la segunda tarifa y los restantes según la tercera tarifa. En el pago debe incluirse, además, el IVA correspondiente.

a) Calcula cuánto hay que pagar por un consumo de 196 kWh. b) Modela matemáticamente la relación funcional que está presente en la situación descrita. c) Utilizando este modelo, determina cuál fue el consumo de una casa en un cierto período de tiempo en que el pago que se tuvo que realizar fue de $512

Investiga la tarifa de pagos de una compañía telefónica celular y determina el modelo matemático correspondiente.

Para las funciones f(x) = 𝑥+1

2𝑥+1 . y g(x) = √3𝑥 + 2

Determina su dominio y rango Demuestra que son biyectivas Halla las funciones inversas respectivas

Grafica en cada caso, ambas funciones

Demuestre que la función f(x)=ln(x+√𝑥2 + 11)es impar

La emisión de cloroflurocarbonos usados en el aire acondicionado y, en menor medida, en rociadores domésticos (para el pelo, cremas de afeitar, etc.) destruye el ozono de la alta atmósfera. En la actualidad, la cantidad de ozono Q está decayendo en forma exponencial a una razón continua anual de r = 0.25%. ¿Cuánto tardará en desaparecer la mitad del ozono? Considere que la función de decaimiento exponencial continuo está dada por: Q=Q₀e-rt, donde Q₀ es la cantidad inicial.

Bosqueja las gráficas siguientes para distintos valores de los parámetros a, b y c

1.- y = a sen(bx) + c 2.- y = ebx + c 3.- y = (x-a)2 +b 4.- y = ln(ax+b) + c

Verifica la siguiente identidad trigonométrica: sec(y)-cos(y)=(tan(y))(sen(y))

Demuestre la siguiente identidad: (1-senθ+cosθ)²=2(1-senθ)(1+cosθ)

Demuestra que log ((x+3)2y

w4 )=2log(x+3)+log y-4log(w),

Bosqueja las funciones inversas correspondientes a y = sen(x) y = cos(x) y= tan(x) y = ax

¿Cuál es el dominio y rango de cada una de esas funciones?

Grafica las funciones y = ex y y =e-x En base a esas gráficas, bosqueja las funciones

senh(x)= 𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2 cosh(x) =

𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2 tanh(x) =

𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥

Demuestra las siguientes identidades cosh2(x) – senh2(x) = 1 1 – tanh2(x) = sech2(x) csch2(x) – 1 = csch2(x)

Despeja “x” de la expresión 𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2. Usa esto para calcular la expresión algebraica de la función inversa de

senh(x)

Límites

Sabiendo que 2

lim 3 2 1x

x

, verifique el cumplimiento de la definición para la vecindad de -1 de radio

0.00001

Utilizando la definición de límite verifique que 3

lim 3 1x

x

no es 3.

Calcular

4 3

3 21

2 3 1lim

3 6x

x x x

x x x

Sabiendo que 4

lim ( )x

f x

existe y que 4

( ) 5lim 1

2x

f x

x

, calcule

4lim ( )x

f x

Sabiendo que lim ( )x a

f x

existe, que la función ( )f x es siempre negativa y que limx a

2

( ) 2 ( ) 3 5f x f x

, calcule lim ( )x a

f x

.

Calcular:

a)

4

31

1lim

1u

u

u

b)

0

1 1

limh

x h x

h

c)

2

1

8 3lim

1x

x

x

d)

4 2

2

2 8lim

2x

x x

x

e)

2

2

6

2 1lim

2 3 1

sen sen

sen sen

f)

3 2

23

2 3 18 27lim

2 3 9x

x x x

x x

Calcular los siguientes límites:

a) 0

2lim

tan3x

sen x

x b)

2

0

3lim

2x

x x sen x

x

c)

3

1lim

2 3 cot 3t t t

d) 2

0lim 5 cot

2x

xsen x

Si 2

1 1

( ) 4 1 1

2 1

x si x

f x x si x

x si x

Calcular a) 2

lim ( )x

f x

; b) 1

lim ( )x

f x

; c) 1

lim ( )x

f x

; d) 0.9

lim ( )x

f x

; e) 1

lim ( )x

f x

Calcule 2

2lim

2x

x

x

Calcular los siguientes límites:

a) 2

4

1lim

3 4x

x

x x

24

1lim

3 4x

x

x x

3

2 30

5 4lim

5 3x

x

x x

¿Existe algún número “a” para el cual exista

2

22

3 3lim

2x

x ax a

x x

?

Si

)(

2lim

4 xf

x

r, qué puede usted decir:

a) de ?)(lim4

xfx

b) del signo de ( )f x cuando x se aproxima a 4?

Calcular:

a) 3

2 3

3 2 5lim

4 2 2x

x x

x x

b)

2 3lim

3 2x

x x

x

c)

3

33 24lim

3x

x x

x x

Sabiendo que la función ( )y f x tiene por gráfica

10 10 20 30 40

2

4

6

8

Determine (si existen):

a)3

lim ( )x

f x

; b) 2

lim ( )x

f x

; c) 2

lim ( )x

f x

; d) 8

lim ( )x

f x

;

e)10

lim ( )x

f x

; f) 12

lim ( )x

f x

; g) lim ( )x

f x

; h) lim ( )x

f x

Trace la gráfica de una función ( )y f x que satisfaga las siguientes condiciones:

3lim ( ) 4x

f x

; 3

lim ( ) 2x

f x

; 2

lim ( ) 2x

f x

;

0

lim ( )x

f x

; 0

lim ( )x

f x

; lim ( ) 1x

f x

; lim ( )x

f x

;

f(-2) = 1; f(3) = 3

Escriba la ecuación cartesiana de las asíntotas oblícuas de la curva representada por la ecuación 2 3

2

3 2 3

4 3 1

x xy

x x

Esboce una posible gráfica para una función cuyas asíntotas sean las rectas 2x , 3x , y 2 2x y

Defina analíticamente una función cuyas asíntotas sean las rectas 2x , 3x , y 2 2x y

Determine si la función 2

2

42

4 4

( ) 3 4 2 3

53

4 11

xsi x

x x

h x x si x

si xx

es o no continua en los puntos 1a , 2a y 3a . Clasifique el tipo de discontinuidad en caso de que ésta

existiera e indique cómo removerla si fuera posible.

Determine qué valores deben asignarse a las constantes m y n para que la función 4

2

2 2

162

4

( ) 2

8 2

xsi x

x

f x n si x

m x si x

sea continua en 2x

Determine todos los valores de x para los cuales es continua la función 5

( )1 4

xg x

x

La fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta viene dada por la función

3

2

( )

GMrsi r R

RF r

GMsi r R

r

donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional. ¿Es F una función contínua

de r ?

La función ( )f x es continua en 2x y (2) 5f . Calcule 22

( ) 4lim

2 1x

f x

x x

Trace la gráfica de una función ( )y f x que satisfaga las siguientes condiciones:

a) Dom f = 2,3 3,

b) f x es continua para todo 1,0,3x

c) Las discontinuidades que presenta ( )f x en 1x y 3x son no removibles y la que presenta en 0x

es removible

d) 1 1f

Derivación

Utilizando la definición del concepto de derivada de una función, encuentre las derivadas de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) 1

( )2

xf x

x

, en 1x b)

2( )

1 2f x

x

, en x

c) 2

2 1( )

2 2 1

x si xf x

x x si x

, en a) 3x , b) 1x

Determine cómo deben tomarse las constantes m y n para que la función 2 2

( )2

x si xf x

mx b si x

sea derivable en 2x . Halle '(2)f para tales valores de m y n .

Determine todos los valores de x para los cuales es derivable cada una de las siguientes funciones y calcule la

función derivada en cada caso:

a)

2

10 1

( ) 0 1

15 5 1

x si x

f x si x

x si x

b) 2( ) 4 3f x x x

Determine si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, argumentando gráficamente sus respuestas: a) Si una función está definida en un punto, posee derivada en dicho punto b) Si una función no posee límite en un punto, no es derivable en dicho punto c) Si una función toma el mismo valor en los extremos de un intervalo cerrado, existe un punto de dicho intervalo

donde la derivada de la función se anula d) Si una curva no es derivable en un punto, su tangente en dicho punto es una recta vertical

Utilizando las reglas de derivación, calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) 3

2 3

1 2( ) 1f x x x

x x

b) 4

1

5 4y

t t

c) 2 4 3s s

ps

d) ( )x

g xc

xx

( c : constante)

e) 2 cos 2z sen

f) cot

1 tan

yr

y

g) 2csc 1

sec 2

tm

t

Si (3) 4f , (3) 2g , '(3) 6f y ' 3 1f g

f g

, calcular '(3)g .

Si ( )y f x y 1 ( )xf x

zx

, halle

dz

dxen función de

dy

dx

Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) 2 1z sen

a) 44r x x x

b) 2 2 2tan (2 )m x x

c) 2 3

3

( 5 2 )y

sen

d) 3cos 5sec

3

th

Sean f y g dos funciones y sea h f g . Encuentre '(2)g sabiendo que (2) 1h , '(4) 3f y

(2) 4g .

Calcule 2

2

d y

dt si 2 1y sen t

Calcule 3

3

d y

dy si

3 2 cos 2 2cosy x x x xsen x x

Calcule dy

dx si : 21xy x y

Calcule dx

dy si

2 2cos 1x y seny

Escriba la ecuación de la tangente a la curva de ecuación 2y x en el punto de dicha curva que posee

abscisa igual a 6 .

Dada la curva 3 4 1y x x

a) Escriba la ecuación de la recta perpendicular a la tangente a dicha curva en el punto de abscisa 2 .

b) Escriba ecuaciones para las tangentes a la curva que posean pendiente 8 .

c) Escriba ecuaciones para las tangentes a la curva que posean la pendiente mínima.

Escriba las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 1

1

xy

x

que son paralelas a la recta 2 2x y .

Sabiendo que las curvas 2y ax bx c y

2y cx x poseen una tangente común en el punto 1,0 ,

calcule los valores de a , b y c .

Una roca lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Luna a una velocidad de 24 m/s alcanza

una altura de 224 0.8s t t metros en t segundos. Calcule cuánto tiempo tarda la roca en alcanzar su punto

más alto, la altura máxima que alcanza la roca y el tiempo que permanece en el aire

Determine si la siguiente proposición es verdadera o falsa:

“Las tangentes a la curva 3 3 9x y xy en los puntos 4,2 y 2,4 son perpendiculares”.

Calcule todos los puntos en los cuales la curva de ecuación 2 22 1 2 1y y x x

posee tangentes horizontales.

Muestre que la recta normal a la elipse 2 2 3x xy y en el punto 1,1 corta a dicha curva en otro punto.

Una partícula se mueve sobre la curva 31y x . Al llegar al punto 2,3 su ordenada está creciendo a razón

de 4 cm/s. ¿Con qué rapidez está cambiando su abscisa en dicho instante?

Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda fija a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esa polea está 1 m más alta que la proa del bote. Si se corre la cuerda a una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se está acercando la lancha al muelle en el instante en que se encuentra a 8 m de éste?

Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 pies de lado. Un bateador le pega a la bola y corre hacia la primera base a una velocidad de 24 pies/s. ¿Con qué velocidad está cambiando su distancia a la segunda base cuando está a mitad de camino a la primera?

Un aficionado está grabando una carrera de autos desde un lugar que está a 40 m de la pista y sigue a un auto que se mueve a 290 km/h (80.6 m/s). ¿Con qué rapidez está cambiando el ángulo de la cámara en el instante en que dicho auto cruza frente al aficionado?

Un avión vuela con una velocidad constante a una altura de 10000 pies en una trayectoria recta que lo llevará sobre un observador en tierra. En un instante dado, el observador advierte que el ángulo de elevación del

aeroplano es de /3 radianes y que en dicho instante dicho ángulo está aumentando a razón de 1/60 rad/s. Determine la velocidad a la que vuela el avión.

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad está cambiando la distancia entre ambos a las 4 de la tarde?

Calcule los extremos relativos de las siguientes funciones, indicando los puntos en que los mismos se alcanzan:

a) 3 22 6 3y x x b)

2 1

3 3y x x c)2

2

1

xy

x

Calcule los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican:

a) y = 21y x x en 1

1,2

b) 2

2 7 1 2

1 2 4

x si xy

x si x

en 1,4

c) 4

1

xy

x

en 0,6

Dé una posible gráfica para una función f que verifique las siguientes condiciones:

( )f x está definida para todo x real

( )f x posee un máximo relativo en el punto 2x y un mínimo relativo en el punto 1x

( )f x posee un punto crítico que no es de extremo relativo.

( )f x no es derivable en uno de sus puntos de extremo relativo

En una comunidad una cierta epidemia se propaga de tal forma que x meses después de iniciarse, el porciento de población infectada viene dado por

2

2 2

30

(1 )

xP

x

¿Al cabo de cuántos meses se habrá infectado la mayoría de la población y qué porcentaje de la población representa esta cantidad?

Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas a partir de hojas cuadradas de material, de 12 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Determinar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener la caja de mayor volumen.

¿A qué altura del suelo debe apoyarse una escalera de 7 m contra una pared vertical para que el triángulo que se forma entre la pared, el suelo y la escalera posea área máxima?

Un trozo de alambre de 10 pies de largo se divide en dos partes. Una de las partes se dobla en forma de circunferencia y la otra en forma de cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de ambas figuras sea lo menor posible?

Un campo rectangular va a ser cercado a la orilla de un río, sin utilizar cerca del lado de la corriente. Si el material de la cerca cuesta $8 por pie lineal para los lados perpendiculares a la orilla del río y $12 por pie lineal para el lado paralelo a ésta, determine las dimensiones del mayor terreno que puede ser cercado si se cuenta con un presupuesto de $3,600 para construir la cerca.

Calcular las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede ser inscrito en un cono circular recto de 5 cm de radio y 12 cm de altura.

Calcule los siguientes límites:

a)

2

1lim

1 cos2

sen

b)

2

0lim ( : )y

ay a aa cte positiva

y

c) 0

(1 cos )limt

t t

t sent

d) 1

lim( 1)cos(3 3)cot(5 5)x

x x x

e)

2

limsec

t

t

f)

2

20limx

x x

x sen x

g) 0

3 1 1limx

x

x sen x

h) 9 1

lim2 1x

x

x

Para cada una de las siguientes funciones: a) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus puntos de extremo relativo. b) Determinas los intervalos en que la función es cóncava hacia arriba y los intervalos en que es cóncava

hacia abajo, así como sus puntos de inflexión. c) Determinar las asíntotas de la curva que representa a la función. d) Obtener la gráfica de la función de modo que refleje los resultados encontrados en los incisos anteriores.

1) 3 8y x x 2) 2

2

2

1

xy

x

3)

3

2

( 1)

2

xy

x x

Esboce una posible gráfica de la función ( )f x sabiendo que las gráficas de '( )f x y "( )f x son las

siguientes:

Gráfica de f´(x)

10 5 5 10

100

200

300

400

500

600

700

Gráfica de f´(x)

Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

a) 2 3. 3 2y x x

b) 2 1 1cosy x sen x

x x

c) sec tanr

Utilizando diferenciales, calcule aproximadamente 59ºsen .

Un tanque cilíndrico abierto tendrá un revestimiento de 2 cm de espesor. Si el radio interior tiene 6 m y la altura es de 10 m, estime mediante diferenciales la cantidad aproximada de material que se usará para el revestimiento.

Se quiere construir una caja de metal de forma cúbica y una capacidad de 1000 cm3. Los 6 lados serán de metal de ½ cm de espesor. Si el costo del metal que se empleará para fabricarla cuesta a $2 el cm3, estime, utilizando diferenciales, el costo aproximado que se empleará en la fabricación de dicha caja.

La ley adiabática (sin ganancia ni pérdida de calor) para la expansión del aire se expresa en la relación 1.4.PV C , donde P es la presión, V es el volumen y C es una constante. Demuestre que

1.4dP dV

P V

El perímetro de un círculo es de 100 1 cm. Estima el porcentaje de error que se comete al calcular su área.

¿Con qué precisión debe medirse el lado de un triángulo equilátero para tener certeza de calcular su área con un margen de error del 2% con respecto a su valor real?

10 5 5 10

100

50

50

100