IV.- INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE PROBABILIDAD.

4.1 Espacio muestral.

En el estudio de la estadística interesa esencialmente la presentación e interpretación de resultados aleatorios que se obtienen en un estudio planeado o en una investigación. Así, por ejemplo es posible registrar el número de personas que llegan aun centro comercial con la intención de adquirir bienes de consumo; clasificar las solicitudes de crédito en "otorgadas" o "denegadas"; clasificar a tarjetahabientes de acuerdo al banco que les otorgó la tarjeta de crédito, medir el grado de contaminación de un río, el número de artículos defectuosos en una fábrica, etc.

Cualquiera de estos proceso puede llamarse experimento pues genera un conjunto de datos estadísticos. Como se menciono en el capítulo II, las observaciones registradas de los resultados obtenidos de dichos experimentos pueden dar origen a datos cualitativos o cuantitativos.

Algunos otros ejemplos de experimento estadísticos son:

a) El lanzamiento de una moneda al aire, cuyos resultados posibles serían obtener águila o sol al caer la moneda.

b) Clasificar el tipo de carga que trae una embarcación y cuyos posibles resultados son: carga general, granel mineral, granel agrícola, fluidos, etc.

Estos ejemplos dan lugar a introducir la siguiente definición:

Se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados de un experimento estadístico y se le representa por el símbolo S.

A cada resultado en un espacio muestral se le llama elemento o miembro del espacio muestral, o simplemente punto muestral.

4.2 Eventos y tipos de eventos.

Por lo general, en un experimento suele ser más importante referirise a ciertos eventos específicamente a un solo experimento del espacio muestral.

Un evento es un subconjunto de un espacio muestral.

Entonces se puede hablar de que un espacio muestral está formado por eventos. Así pues un evento simple es aquel que contiene un solo elemento y evento compuesto es aquel que contiene dos o más elementos del espacio muestral.

Además también se dice los eventos son mutuamente excluyentes si uno y solo uno de ellos puede ocurrir a un tiempo. Considérese de nuevo el ejemplo de la moneda. Se tienen dos resultados posibles, águila o sello. Al tirar la moneda águila o sello pero no ambos a la vez. Como resultado se dice que el evento es mutuamente excluyente al tirar una vez la moneda. Simultáneamente, usted puede aprobará o reprobará este curso o, antes de que el curso termine, usted puede darse de baja sin obtener ninguna calificación. Sólo podrá ocurrir uno de estos tres eventos, se dice que son mutuamente excluyentes. La pregunta clave para decidir cuándo los eventos son mutuamente excluyentes es, "Pueden dos o más de estos eventos ocurrir a un tiempo?" Si la respuesta es sí, los eventos no son mutuamente excluyentes.

4.3 Origen y definición de teoría de probabilidad.

Los orígenes de las matemáticas de la probabilidad se remontan al siglo XVII. Las primeras aplicaciones se relacionaban básicamente con los juegos de azar. Cuando los jugadores usaban el conocimiento de la teoría de la probabilidad para desarrollar estrategias de apuestas. Sin embargo, en la actualidad el uso de la probabilidad se ha extendido ha muchos campos profesionales en donde se adopta la teoría la probabilidad en su cotidiano proceso de toma de decisiones.

Independientemente de su aplicación particular, el empleo de las probabilidades indica que existe algún elemento aleatorio o de incertidumbre relativo a la ocurrencia de algún evento futuro. Así, en muchos casos puede ser virtualmente imposible predecir que pasará, pero es posible establecer lo que podría pasar. Por ejemplo, si se tira una moneda por lo regular no se puede decir con seguridad si caerá águila o sello. Sin embargo, combinando el raciocinio, la experiencia y los datos históricos, con frecuencia es factible cuán probable es un evento futuro.

Así, pues las probabilidades se utilizan para expresar cuán probable es determinado evento.

Una definición más formal de probabilidad se da a continuación: Probabilidad: Es una medida de la certidumbre que se le asocia a la ocurrencia de un resultado determinado (al realizar el experimento correspondiente).

Así pues puede añadirse a ello que: La teoría de probabilidades es una rama de las matemáticas aplicadas, que trata lo concerniente a la asignación y manejo de probabilidades.

4.3.1. Diversos enfoques para la asignación de probabilidades.

Richard I. Levin, señala que existen tres formas básicas de asignar probabilidades y cada una de ellas obedece a un enfoque conceptual diferente respecto al estudio de la teoría de probabilidades. Estás son:

• El enfoque clásico.• El enfoque de frecuencia relativa.• El enfoque subjetivo.

4.3.1.1 El enfoque clásico.

El enfoque clásico define la probabilidad de ocurrencia de un evento como:

P(A) = Número de resultados favorables a la ocurrencia del evento A. Número total de resultados posibles

Para que esta ecuación sea válida, cada uno de los posibles resultados deben ser igualmente posibles.

La probabilidad clásica se asigna a priori. Es decir, que no requiere realizar previamente el experimento para asignar las probabilidades y su aplicación se reduce por lo tanto solo a experimentos que tengan que ver con lanzar una moneda, dados no cargados, juego de ruleta, extraes una carta, etc.

4.3.1.2 El enfoque de frecuencia relativa.

Suponga que usted quiere saber "¿Cuál es la probabilidad de que tarde menos de 10 minutos de ser atendido en cierto Banco?" o, "¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos cinco años azote un huracán en este puerto?" o, "¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una muerte por accidente vial en determinado crucero?".

Aquí puede observarse que no es posible darse una respuesta inmediata sin tener antecedentes de cada uno de los experimentos citados. Es así como surge un nuevo enfoque: El enfoque de frecuencia relativa define la probabilidad de ocurrencia de un evento como:

Probabilidad de un evento = La frecuencia relativa observada en un gran número de pruebas.

Este enfoque asigna las probabilidades de ocurrencia de un evento en forma a posteriori; es decir, utiliza las frecuencias relativas de ocurrencias pasadas como probabilidades, determinando con que frecuencia ha sucedido un evento en el pasado para "predecir" la posibilidad de que vuelva a ocurrir en el futuro dicho evento.

4.3.1.3 El enfoque de probabilidades subjetivas.

Este enfoque esta basado en la confianza personal de quien esta haciendo la evaluación de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Según Richard I. Levin puede definirse como la probabilidad asignada a un evento por un individuo basado en cualquier tipo de evidencia que tenga disponible.

4.3.1.4 Leyes de conjuntos.

Algunas propiedades (o leyes) de los conjuntos y de sus operaciones básicas que suelen ser útiles para este curso son:

1. A = 2. A = A3. A A' = 4. A A'= S5. S' = 6. ' = S7. (A')' = A8. (A A)' = A‘ B'9. (A B) = A' B'

4.4. Axiomas y teoremas de probabilidad.

4.4.1 Axiomas básicos de la teoría de probabilidades.

La teoría de probabilidades se basa principalmente en una serie de probabilidades (o axiomas) como punto de partida para su desarrollo, mismos que a continuación se enuncian.

Dado un experimento (E) cuyo espacio muestral esta dado por el conjunto S, y sea A un evento perteneciente a dicho conjunto, entonces P(A) es un número real al que se denomina probabilidad de un evento A o probabilidad de A, y la función P( ) tiene las siguientes propiedades.

1) La probabilidad de ocurrencia del evento A varía entre 0 y 1.0 < P(A) < 1

2) La probabilidad de ocurrencia de un espacio muestral S es igual a 1. P(S) = 1

3) Para cualquier número finito k de eventos mutuamente excluyentes perteneciente a S se tiene que P(A1 A2 .... Ak) = P(A1) + P(A2) + .......+ P(Ak)

Debe observarse que estas propiedades no indican a quien realiza un experimento el cómo debe asignar las probabilidades; sin embargo le restringen la forma en la cual pueden realizarse la asignación. Precisamente en la siguiente sección se explicará la forma como se pueden asignar dichas probabilidades.

4.4.2 Teoremas de la teoría de probabilidades.

Una vez presentados los axiomas básicos y los diversos enfoques de como asignar probabilidades, se presentaran en esta sección algunos teoremas referentes a la teoría de probabilidades.

Teorema 4.4.2.1.Si es un conjunto vacío entonces la P() = 0

Demostración: Obsérvese que S = S , y P(S) = P(S) + P() de acuerdo a la propiedad 3, de donde se puede concluir que P() = 0.

Teorema 4.4.2.2.P(A') = 1 - P(A)

Demostración: Obsérvese que S = A A', y P(S) = P(A) + P(A'), a partir de la propiedad 3, pero en la propiedad 2 se establece que P(S) = 1; por lo tanto 1 = P(A) + P(A'), de donde: P(A') = 1 - P(A)

Teorema 4.4.2.3.

Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes entonces:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)A esta expresión se le conoce como la regla de la adición.

Teorema 4.4.2.4.

Sea A, B y C tres eventos no mutuamente excluyentes, entonces:P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) - P(A B C)

Teorema 4.4.2.5.

Si A es un subconjunto B (A B), entonces P(A) < P(B).

Ejemplo 4.4.1

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, y si se sabe que P(A) = 0.25 mientras P(B) = 0.35, se pide evaluar:

a) P(A')b) P(B')c) P(A È B)d) P(A Ç B)e) P(A'Ç B')

Solución:

a) P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.25 = 0.75b) P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.35 = 0.65c) P(A B) = P(A) + P(B) = 0.25 + 0.35 = 0.60d) P(A B) = 0 , pues son mutuamente excluyentes.e) P(A' B') = P(A B)' (ver sección 4.3.1.4) de donde aplicando el

teorema 4.4.2.3:

P(A B)' = 1 - P(A B) y dado que

P(A B) = P(A) + P(B) entonces:

P(A' B') = 1 - [P(A) + P(B)] = 1 - [0.60] = 0.40

Ejemplo No. 4.4.2.

Supóngase que A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes. Además se sabe que P(A) = 0.30, P(B) = 0.40 y P(A Ç B) = 0.10. Se pide evaluar las mismas probabilidades que para el ejercicio anterior.

Solución:a) P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.30 = 0.70b) P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.40 = 0.60c) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0.30 + 0.40 - 0.10 = 0.60d) P(A B) = 0.10e) P(A' B') = P(A B)'

de donde la P(A B)' = 1 - P(A B)y dado que P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) entonces P(A' B') = 1 - [0.30 + 0.40 - 0.10] = 0.40

Ejemplo No. 4.4.3.

Para el diseño de un retorno a la izquierda en una intersección de alto tránsito, se llevo acabo un muestreo, acerca de cuantos vehículos se encontraban esperando antes de dar vuelta y se obtuvieron los siguientes resultados producto de 600 observaciones que se realizaron.

No. Carros No. Observaciones Frecuencia Relativa0 40 40/6001 160 160/6002 200 200/6003 140 140/6004 30 30/6005 20 20/6006 10 10/6007 0 0

Se desea conocer:

a) La probabilidad de que haya entre 0 y 2 vehículos o entre 5 y 8 vehículos esperando.P(X < 2 ó X > 5) = P(0 < X < 2) + P(5 < X < 8) = (40/600 + 160/600) + (20/600 + 10/600 + 0) = 230/600

b) La probabilidad de que haya entre 2 y 5 vehículos o entre 4 y 6 vehículos esperando.P(2 < X < 5 ó 4 < X < 6) = P(2 < X < 5) + P(4 < X < 6) - P(4 < X < 5) = (2/6 + 7/30 + 1/30 + 1/30) + (1/30 + 1/30 + 1/60) - (1/20 + 1/30) = 29/60

4.5 Análisis combinatorio.

En algunos casos, resulta necesario contabilizar el número de elementos que son favorables (o pertenecen) a un determinado evento, así como también determinar el número de posibles resultados (o elementos) del espacio muestral para poder asignar probabilidades. En la presente sección se verán tres técnicas útiles para determinar el número de elementos de un evento A, denotado por n(A), sin necesidad de enlistar todos los elementos.

4.5.1 Regla de la multiplicación.

Regla de la multiplicación

Si dos eventos A y B pueden ocurrir de N(A) y N(B) maneras distintas, respectivamente, entonces el total de maneras en que pueden ocurrir ambos es N(A) x N(B).

Ejemplo No. 4.5.1

Una empresa ofrece la construcción de casas, dándole a escoger a sus clientes las siguientes variantes:

• Casas de una planta, dos pisos o a desnivel.• Fachada tipo I, tipo II, tipo III y tipo IV.

Si todas las variantes se pueden combinar arquitectónicamente entre sí, calcular de cuantas formas diferentes pueden los clientes escoger su casa.

Solución:Dado que n(A) = 3 y n(B) = 4entonces existen R = n(A) x n(B) = 3 x 4 = 12 formas distintas de combinar

estas variantes.

4.5.2 Permutaciones. Una permutación es un arreglo de todo un conjunto de objetos o parte del mismo en cierto orden.

Así, se tiene que:• El número de permutaciones de n objetos distintos es n!.• El número de permutaciones de n objetos distintos tomando r a la vez es

nPr = n! Ec. 4.1.

(n - r)!

Ejemplo No. 4.5.2.1.

a) Calcular el número de ordenaciones (permutaciones) diferentes de 3 letras cada uno, a partir de las siete letras P, U, E, R, T, O, S.

7P3 = 7! = 7 x 6 x 5 = 210 4!

b) Tomando las siete a la vezP = n! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040

Ejemplo No. 4.5.2.2

En la Facultad de Ingeniería se desea invitar a cuatro profesionistas destacados para dar conferencias sobre el desarrollo profesional de cierta carrera que se imparte en ella. Para ello se han separado 6 fechas tentativas para que imparta cada uno su conferencia.

Si los conferencistas tuvieran disponibilidad en cualquiera de dichas fechas, ¿En cuántas formas distintas se podrían programar las conferencias?

Solución:El número total de programas posibles:

6P4 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 = 360 2!

Existen además, casos particulares de permutaciones, como se observa a continuación. El número de permutaciones de n elementos distintos colocados en círculo es (n -1)!

Ejemplo No. 4.5.2.3.

En una mesa de trabajo, de un evento académico se colocarán 6 personas realizando trabajos sobre un tema, ¿En cuántas formas distintas se pueden acomodar dichas personas?

Solución:(n - 1)! = (6 - 1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas distintas.

El número de permutaciones diferentes de n elementos de los cuales n1 son de un tipo, n2 son de un segundo tipo, ...., nk de un k-ésimo tipo, es:

nPn1, n2, ...., nk = n! Ec. 4.2. n1! n2! ....nk!

Ejemplo No. 4.5.2.4.

En una exhibición de autos nuevos, cierta distribuidora tiene dos camionetas austeras, 4 equipadas y 3 de superlujo, ¿de cuántas formas podrían acomodarse dichas unidades?Solución:

9! = 1260 2! 4! 3!

4.5.3 Combinaciones.

Combinación es un arreglo de datos (o elementos) en el cual el orden no es importante.

El número de combinaciones de n objetos distintos tomando r a la vez es: nCr = n! Ec. 4.3. r! (n -r)!

Ejemplo No. 4.5.3.1.

Calcular el número de maneras en las cuales 3 ingenieros pueden escogerse de un total de 8 solicitudes, para cubrir las tres vacantes existentes.

8C9 = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 = 56 3! 5! 3! 5!

Ejemplo No. 4.5.3.2.

Un embarque contiene 25 aparatos electrónicos de los cuales 4 son defectuosos. Si se seleccionan 6 al azar, ¿cuántas combinaciones existen de extraer 3 defectuosos y 3 buenos?

Solución:

El número de formas de seleccionar 3 defectuosos de los 4 que contiene el embarque es:

4C3 = 4! = 4 número de formas de seleccionar. 3! 5!

4.6 Probabilidad condicional e independencia estadística.

4.6.1 Probabilidad condicional.

En algunas ocasiones se desea obtener la probabilidad de que un evento B suceda cuando se sabe que algún otro evento A se ha presentado. En este caso se esta hablando de una probabilidad condicional y se le denota como P(B/A). Esta expresión se lee como "la probabilidad de que B ocurra dado que ocurrió A", o simplemente "la probabilidad de B, dado A" y esta dada por:

P(B/A) = P(A Ç B) Ec. 4.4. P(B)

Ejemplo No. 4.6.1.

En la Facultad de Ingeniería imparte un curso propedéutico para ingresar a las cuatro carreras que ofrece. De acuerdo a una encuesta hecha entre los aspirantes, la distribución de los mismos por carrera y por sexo es el siguiente:

Mujeres 40 50 90 35 215Hombres 10 40 60 20 130

Total 50 90 150 55 345

Ingenieria en Produccion y

MercadotecniaTotalSexo

Ingenieria Civil

Ingenieria Industrial y de Sistemas

Ingeniria en Sistemas

Computacionales

Sea: V = Todos los aspirantes varones. M = Todas las mujeres aspirantes. C1 = Los alumnos aspirantes a ingresar a Ingeniería Civil. C2 = Los alumnos aspirantes a ingresar a Ingeniería Industrial y de Sistemas. C3 = Los alumnos aspirantes a ingresar a Ingeniería en Sistemas Computacionales. C4 = Los alumnos aspirantes a ingresar a Ingeniería de Producción y Mercadotecnía.

Si se selecciona al azar a uno de los aspirantes a ingresar a la Facultad de Ingeniería.

Calcular:a) La probabilidad de que sea varón, sabiendo que desea ingresar a Ingeniería

Civil.

Como se sabe que el aspirante desea ingresar a la carrera de Ingeniería Civil, el espacio muestral se reduce a:

Mujeres 40Hombres 10

Total 50

SexoIngenieria

Civil

De donde P(V/C1) = 40/50 = 0.80Lo cual puede comprobar utilizando la fórmula siguiente:

P(V/C1) = P(V C1) P(C1)

de dondeP(V C1) = n(V C1) = 40

n(S) 300y

P(C1) = n(C1) = 50 n(S) 300

y luegoP(V/C1) = 40/300 = 0.80

50/300

b) La probabilidad de que sea mujer, sabiendo que desea ingresar a la carrera de Ingeniería en Sistemas Computacionales.

Se pideP(M/C3) = P(M C3)

P(C3)

De donde P(M C3) = n(M C3) = 60 n(S) 300

y P(C3) = n(C3) = 150 n(S) 300

y luego P(M/C3) = 60/300 = 0.40

150/300

c) Cuál es la probabilidad de que el aspirante desee entrar a la carrera de Ingeniería Industrial y de Sistemas dado que es mujer.

Se pideP(C2/M) = P(C2 M)

P(M)

De donde P(C2 M) = n(C2 M) = 40 n(S) 300

y P(M) = n(M) = 110 n(S) 300

P(C2/M) = 40/300 = 0.3636 110/300

Ejemplo No. 4.6.3.

Ha surgido duda acerca de la aceptabilidad de una alcantarilla de concreto que existe para conducir un caudal previsto. De acuerdo a los registros, el ingeniero asigna tasa de caudal máximo anual y sus probabilidades de ocurrencia (suponiendo que es posible un máximo de 12 p3) de la siguiente forma:

Suceso A = (5 a 10 p3) , P(A) = 0.60Suceso B = (8 a 12 p3) , P(B) = 0.80Suceso C = A B , P(C) = 0.90

Calcular a) P(A/B) b) P(B/A)

Solución:a) P(A/B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0.60 + 0.80 - 0.90

P(B) P(B) 0.80

= 0.50 = 0.625 0.80

b) P(B/A) = P(B A) = P(B) + P(A) - P(B A) P(A) P(A)

= 0.80 + 0.60 - 0.90 0.60

= 0.50 = 0.833 0.60

4.6.2 Eventos independientes.

La probabilidad condicional vista en la sección anterior, además de permitir calcular la nueva probabilidad de ocurrencia de un evento, sabiendo que ya ocurrió otro previamente, resulta de gran utilidad para introducir el concepto de independencia estadística o eventos independientes. Se dice que dos eventos son estadísticamente independientes si y solo si, la ocurrencia de uno, no altera la probabilidad de ocurrencia del otro y viceversa.

En concordancia con esta definición se tiene que dos eventos A y B son independientes, si y solo si

P(B/A) = P(B)y

P(A/B) = P(A)

De otra forma A y B serían independientes.

Es muy importante señalar que en la práctica para saber si dos eventos son independientes o no, basta con observar la naturaleza de los mismos y observar si el suceso de uno puede afectar el otro.

4.6.3 Regla multiplicativa.

Al combinar la fórmula de probabilidad condicional con las de independencia estadística se tiene que:

P(A/B) = P(A B) (probabilidad condicional) P(B)

pero como P(A/B) = P(A) (si son eventos independientes)

entonces, P(A) = P(A B) P(B)

de donde al despejar la P(A Ç B) se obtiene que:

P(A B) = P(A) * P(B) Ec. 4.5.donde A y b son independientes.

A esta importante fórmula se le conoce como la regla de la multiplicativa.

Ejemplo No. 4.6.3.1 Enfoque clásico.

Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda se obtenga que caiga par en el dado y que en la moneda caiga "sello".

Solución:P(A B) = P(A) P(B)P(A B) = (3/6)(1/2) = ¼ = 0.25

Ejemplo No. 4.6.3.2 Regla de la multiplicación

Si las ocurrencias de terremotos y vientos no están relacionadas, y si, en un lugar particular , la probabilidad de que ocurra un terremoto "moderado" durante un minuto cualquiera es de 10-8 y la probabilidad de que ocurra un viento "fuerte" en un minuto cualquiera es de 10-5.

a) Hallar la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos sucesos en cualquier minuto. Los reglamentos de construcción no exigen que el ingeniero diseñe el edificio teniendo en cuenta los efectos combinados de esta carga. ¿Es esto razonable?

A = Ocurra terremoto, B = Ocurra viento fuerte.P(A B) = P(A) P(B) = (10-8)(10-5) = 10-13

b) Hallar la probabilidad de la ocurrencia de uno, de otro o de ambos fenómenos durante cualquier minuto. Para sucesos raros, es decir, sucesos con probabilidades de ocurrencias pequeñas, el ingeniero frecuentemente supone

P(A B) P(A) + P(B)P(A B) 10-8 + 10-5 = 1.001 x 10-4

4.7 Teorema de Bayes.

En su forma algebraica más simple, el teorema de Bayes se refiere al cálculo de la probabilidad condicional del evento A, dado que ha ocurrido un evento B. La forma general de l teorema de Bayes es

P(A/B) = P(A B) Ec. 4.6 P(B)

La fórmula anterior es simplemente es una forma específica de la fórmula general para la probabilidad condicional que se presentó en la sección 4.6. Sin embargo, la importancia especial del teorema de Bayes consiste en que se aplica en eventos secuenciales y, además, en que la versión del cálculo de la fórmula proporciona la base para determinar la probabilidad condicional de un evento que a ocurrido en la primera posición secuencial, dado que se ha observado un evento específico en la segunda posición secuencial, dado que se ha observado un evento específico en la segunda posición secuencial. La fórmula para el cálculo para el teorema de Bayes es

P(A/B) = P(A) P(B/A) Ec.4.7. P(A) P(B/A) + P(A') P(B/A)'