IV Derivadas Parciales

1. Nociones Básicas

Definición: Sea f: G R n R y a = (a1, ..., an) un punto interior de G. Si el

límite:

Existe, lo llamaremos la derivada parcial de f respecto de x k en el punto a k y

para su notación usaremos cualesquiera de la siguiente simbología

Cabe destacar que

es la derivada usual en una variable, donde el

resto de las variables permanecen “constantes”

2. Interpretación Geométrica

Supongamos que tenemos la función f: R 2 R y que f x y f y son las

respectivas derivadas parciales con respecto a x e y. Geométricamente estas

derivadas parciales pueden considerarse como pendientes de las rectas T 1 y

T 2 tangentes a la curva en el punto (a, b, c) (nótese que c = f(a, b)), ver

figura.

La aplicación está dada en un curso inicial de cálculo (en una variable.

3. Derivadas Parciales de Orden Superior

Sea f: G R n R función con G abierto y no vacío. Supongamos que

existe para todos los puntos de G; observemos que

es una nueva función

definida en el mismo conjunto G, es decir,

: G R n R es función y por

lo tanto no existen impedimentos para definir derivadas parciales de esta

nueva función que de existir se denominan derivadas de segundo orden. Es

así que definimos:

como la derivada de la función

respecto a la variable x j.

Observación:

1. En el caso que i = j la segunda derivada parcial se anota por

2. En general la igualdad

no se cumple, posteriormente

entregaremos las condiciones sobre la función f para que la igualdad

mencionada se cumpla.

Ejemplo: Considere la función f definida por

Verifique que las derivadas mixtas de segundo orden existen, pero son

distintas.

Definición: La expresión diferencial

recibe el

nombre de operador laplaciano. Una función u = u(x, y) con segundas

derivadas parciales continuas y que satisfaga la ecuación

para todo par (x, y) de su dominio recibe el nombre de función armónica.

Proposición: Sea G una región en R n y consideremos una función f: G R

cuyas derivadas parciales hasta el n – ésimo orden son continuas en G.

Suponga además que p + q = n (n mayor o igual a 2), donde p y q son

números naturales. Entonces:

4. Fórmula de Taylor en varias variables

Nota: De similar manera al caso de una variable, en esta situación debemos

imponer condiciones a la función.

Teorema: Supongamos que f es una función definida en una región convexa

del plano cartesiano que contiene al punto (a, b) y tal vez que sus derivadas

parciales de todos los órdenes son continuas en dicha región. Entonces:

f(x, y) =

Donde R n =

es el resto donde el punto está ubicado

sobre el segmento lineal que une (a, b) con el punto (x, y), y

D k es el operador diferencial definido por:

D k =

=

Ejercicio: Exprese el teorema anterior en el caso (a, b) = (0, 0)

Observación: Si el resto R n tiende a cero cuando n tiende a infinito, entonces

obtenemos que f(x, y) =

, en este caso, la serie de la

derecha recibe el nombre de serie de Taylor para la función f. En el caso que

(a, b) = (0, 0) esta serie algunas veces recibe el nombre de Mclaurin.

5. Máximos y Mínimos

Definición: Sea f: G R n R función y a un punto de la región G. Entonces:

Diremos que a es un máximo relativo o local de f, si y solo si existe r > 0 tal

que f(x) f(a) . Se dirá que a es un máximo absoluto si la

desigualdad se cumple para todo x en G.

Diremos que a es un mínimo relativo o local de f, si y solo si existe r > 0 tal

que f(x) f(a) . Se dirá que a es un mínimo absoluto si la

desigualdad se cumple para todo x en G.

En caso que a es un máximo ó mínimo relativo, diremos que es un extremo

relativo o local de f. En tal dirección un extremo absoluto es un máximo ó

mínimo absoluto.

Proposición: Sea f: G R n R función y a un extremo relativo de f.

Entonces si

existe, entonces

= 0

Definición: Sea f: G R n R función. Un punto a de G se llamará punto

crítico de f si todas sus derivadas parciales evaluadas en a existen y son

iguales a cero. Un punto crítico que no es ni máximo ni mínimo (local) se

lama punto de silla o punto de ensilladura.

Nota: Usando la definición, nuestra anterior proposición puede enunciarse de

la siguiente manera:

Corolario: Se a f una función definida en una región G de R n y suponga que

a G es un extremo relativo de f, tal que todas sus derivadas parciales

existen. Entonces a es un punto crítico de f.

Observación: El Corolario precedente nos da una condición necesaria, en el

caso que existan las derivadas parciales, para que el punto a sea un extremo

relativo para la función f. Esta condición es usada frecuentemente para

hallar posibles puntos extremos de la función.

6. Criterio del Hessiano

En el apartado anterior se entrega una condición necesaria, a continuación

obtendremos una condición suficiente.

Proposición: Se a f una función definida en una región G de R n con segundas

derivadas parciales continuas en una vecindad del punto crítico a. Entonces a

es:

a) Un mínimo si vector unitario de R n.

b) Un máximo si vector unitario de R n.

c) Un punto de silla si el signo de cambia según n.

Nota: La aplicación de la proposición anterior se simplifica para el caso que f

es una función de dos variables, en tal caso se considera n = (n 1, n 2) y

Proposición: Sea f una función definida en una región G de R 2 con segundas

derivadas parciales continuas en una vecindad del punto crítico a. Entonces a

es:

a) Un mínimo local si D(a) > 0 y f 11 (a) > 0

b) Un máximo local si D(a) < 0 y f 11 (a) < 0

c) Un punto de ensilladura si D(a) < 0

Donde D(a) = det

Observación: Las conclusiones son totalmente válidas si en la proposición a)

ó b) se reemplaza por f 22.

Ejercicio: Encontrar los puntos críticos y determine su naturaleza para las

siguientes funciones:

a) f(x, y, z) = x 2 + 2x - y 3 + 12y + z 2 - 10z

b) f(x, y) = (3 – x)(3 – y)(x + y - 3)

c) f(x, y, z) = x 2 + xy + y 2 + yz + z 2 + 5x - 6z

Proposición:

Suponga que f una función definida en una región G de R n cuyas n 2 segundas

derivadas parciales continuas en una vecindad del punto crítico a. Entonces a

es:

a) Un mínimo local si D k (a) > 0 para todo k = 1, 2, ..., n.

b) Un máximo local si D k (a) =

c) Un punto de ensilladura si D k (a) para todo k y no se da ni a) ni

b).

Donde:

D k (a) = det

Observación:

i. La matriz

se denomina matriz

asociada a la forma cuadrática (n . ) 2f(a).

ii. Si en la proposición se cumple a), se dice que la forma cuadrática y

la matriz asociada son definida positiva, en caso que se cumpla b) se

dice que son definida negativa.

Proposición:

Suponga que f una función definida en una región G de R n cuyas n 2 segundas

derivadas parciales continuas en una vecindad del punto crítico a. Entonces a

es:

a) Un mínimo local si todos sus pivotes principales en el proceso de

reducción escalonada sin intercambio de filas de la matriz asociada a la

forma cuadrática son positivos.

b) Un máximo local si todos sus pivotes principales en el proceso de

reducción escalonada sin intercambio de filas de la matriz asociada a la

forma cuadrática son negativos.

c) Un punto de ensilladura si no se da ninguno de los casos anteriores

7. Diferenciabilidad

7.1 Derivada, Diferencial y Diferenciabilidad

En esta sección definiremos los conceptos de derivada, Diferenciabilidad y

diferencial para funciones reales de varias variables del tipo f: G R n R.

Definición: Sea f: G R n R función de varias variables y sea x = {x 1, ..., x n}

un punto en G. Diremos que f es diferenciable en x si y solo si existen

constantes A 1, ..., A n tales que:

= 0. Donde dx = (dx 1, ..., dx n)

Proposición: Sea f: G R n R función de varias variables y asumamos que f

es diferenciable en x = {x 1, ..., x n} G. Entonces las constantes A k

corresponden respectivamente a las derivadas parciales de f en x, es decir,

A k =

Definición: En caso que f sea diferenciable en x, diremos que la matriz

[A 1, ..., A n] es la derivada f ‘ (x) de la función f, es decir, f ‘ (x) = A 1, ..., A n] ó

. Además la combinación lineal:

df = f 1(x) d x 1 + ... + f n (x) d x n se denomina diferencial (total) de f en x.

Notar que df =