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HUMANIDADES N9 3ll epoca

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Licenciado'RicardO,' Mos'cbso G-hlgua

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12 Av. 1+55 "8" Zona 1

Tel.: 51-45-56

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SOBRE tA NOCION DE DEMOSTRACION:UNA EXPERIENCIA CON ESTUDIANTESDE UNIVERSIDAD

Lrrus RaQford

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La distinci6n entre el sig-nificado de demostraci6npara la l6gica ydemostraci6n para lamatem6tica no siempre hasido dara. Unadelas consectrencias de la asimilaci6nde una a la otra ha sido el deintroducir en los programasde Matemdtica de la escuelasectrndaria (como es el casoen Guatemda) de un qon-tenido de l6gica proposi-cional con la esperanzaque de esa forma el alumnoaprenderd lo que es unademostraci6n. Ios p6simos

1. INTRODUCCION

La demostraci6n es parala MatemAtica un instru-mento para probar la vera-cidad de enunciados. Con-trariamente a lo que sehaceen los sitemas formales,como la L6gicaMatem6tica, en lademostraci6n matem6ticase abandona el aspecto for-mal, se incursiona en unmundo dotado de signifi-cado y aparece un auditoral que hay que convencer.Balacheff (81) expresa

daramente esta idea di-ciendo que una prueba esuna explicaci6n aceptadapor un auditor de una ver-dad adquirida por un loctr-tor; cuando esta explicaci6nest6 estructurada de talforma que los enunciadosque aparecen en laexplicaci6n son reconoci-dos por ambas partes q)moverdaderos o se encadenansegrln reglas de inferenciabien definidas, dichaexplicaci6n adquiere elrango de demostraci6n.

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tividad que debe con-ducir de hip6tesis a unaconclusi6n, pero nomediante una via deduc-tiva. Frente al problema 2,pudimos observar, en dosocasiones, a estudiantescolocar por un lado laship6tesis perfectamenteidentificadas(a I b, b I c),ypor otro lado la condusi6n(a I c). el problema era en-tonces, como lo manifes-taron, ll"g* de un lado alotro. Para ello intelpre-taion a lb comounafracci6n: a I bsetrans-form6 en la fracci6n yescribieron

d). La demostraci6n tambi6nes vista como un medio

' para establecer propie-dades generales. En estecaso, los alumnos tra-bajaban con objetos sinespecificaci6n (x, n, etc.segfn el problema) o selanzaban a unaexperimentaci6n. Esaexperimentaci6n podiatener dos significados: a)como un procedimiento decomprensi6n del Proble'ma y/o b) como base a labfsqueda de una soluci6ngeneral. Por elemplo,LttzMarfa, en el problema 4,procede a una exPerimen-taci6n atribuy6ndole va-lores a x. Para x Positivoescoge x=2; Para x nega-tivo escoge x='2. En amboscasos obtiene un valornegativo en (1-x) / (1+x).Esto la lleva a plantear el

HUMANINADESproblema en t6rmino designos: hace 1-x=m yl.+x=n y demuestra,cometiendo algunoserrores en el camino, quem/n siempre es negativoy, por tanto, menor que 1..

3.2 EL EFECTO DELCALCULO

Frecuentemente observa-mosquecuandoelalumnointerpretaba la demostra-ci6n como una herra-mierrta deprueba y selan-zaba en una etapa dec6lculo aritm&ico o algebraico, este cSlctrlo haciapasar a un segundo planohip6tesis que pesabansobre el problema, cdmo lomostramos a continua-ci6n:En el problema 5 Rolandoprocede a simplificar laexpresi6np(n)= (n2+n+1) / (n + 1) por medio deprocedimientos algebra-icos; este c6lculo algebra-ico cobra toda la importan-cia y le hace olvidar que setrata de demostrar unapropiedad (que n Nproblema es visto como"resolver una desigual-dad". Rolando concluye:nZ

3.3 EL PAPEL DE LAVARIABLE

Los procesos heuristicos

puestos en obra en losproblemas planteados sevieron a menudo de-tenidos por un maneio noadecuado de las variableso por la imposibilidad deintroducir variables, unavez, la relaci6n entre losobjetos del problemahabia sido encontrada apartir de algunos casosconcretos. Esto se observ6sobre todo en el problema1. La polisemia o poli-valencia de la variable, esdecir asignarle variosvalores distintos ala vez,fue otro problema que es-tuvo presente en los pro-cedimientos empleadospor los alumnos.

4. CONCLUSIONES

La noci6n de demostraci6nen estudiante con una rela-tiva escolarizaci6n fuerteno coresponde, en general,a la noci6n de demostraci6nmatem6tica. Existe unobsticulo didictico queproviene de asimilar lanoci6n de demostraci6nmatem6tica a la noci6n dedemostraci6n que aPareceen los Sistemas Formales.Esto conduce a plantear-modelos diddcticos in-adecuados de ensefianza dela demostraci6n matem6-tica. Sin embargo lo m6susual es considerar (engen-eral en forma implitica) quela demostraci6n no seaprende: se considera a lia

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