Actividad IFUNCIONES

Alumno: Julius David Oviedo Liscano

C.I.:25646360

Profesor: José E. Linarez

Barquisimeto,21 de agosto de 2014

Plano Real o Plano Cartesiano

Un par ordenado (a ,b) de números reales es aquel que cumple:(a ,b)≠(b , a). El conjunto de todos los pares ordenados se denomina “PLANO REAL”, denotadoR2. Cada par ordenado se llama punto del plano. Dado el punto P ( x , y ), se dice que x es la primera componente o abscisa de P y y es la segunda componente u ordenada de P.

Elementos del Plano y su Representación Geométrica

El plano real consta de los siguientes elementos:

Ejes: rectas perpendiculares entre sí, una horizontal llamada eje x, o eje de las abscisas y otra recta vertical llamada eje de las ordenadas o eje y.

Origen: Punto de intersección de los ejes, se denota O y le corresponde el par ordenado (0 , 0).

Cuadrantes: Subconjuntos en que queda dividido el plano real, son cuatro dispuestos en sentido contrario de las manecillas del reloj, denotado por: I, II, III y IV.

El Plano Cartesiano

Sistema de Coordenadas Rectangular utilizado para representar pares ordenados ( x , y ) de números reales

Eje Y

Cuadrante II Cuadrante I

y (x , y )

x Eje X

Origen

Cuadrante III Cuadrante IV

Una Correspondencia “Biunívoca” del plano con R2, se llama sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas cartesianas del plano, lo cual se expresa en la siguiente afirmación.

“A cada punto del plano le corresponde uno y un solo par ordenado y a cada par ordenado le corresponde uno y solo un punto del plano.

Ejemplo: Representar en un mismo los siguientes pares ordenados

A(2, 1) ; B(−2 , 3) ; C (−π ,−2) ; D (3 ,−√2 ) ; E(−2 ,0) ;F (0 , 3)

Eje Y

B(−2 , 3) F (0 , 3)

A(2, 1)

E(−2 ,0) Eje X

C (−π ,−2) D (3 ,−√2 )

Funciones

1) Funciones

Definición 1.1: (Función o Aplicación)

Dados dos conjuntos A y B, no vacíos una función, de A en B es una relación f de A en B,

tal que para cada elemento x de A, existe uno y solo uno un elemento y en B, tal que

( x , y )∈ f .

Observaciones:

a) Para denotar funciones se usan por lo general letras minúsculas, tales como

f , g , h , …

b) Si f es una función de A en B, se escribe f : A ⟶ B, A se llama conjunto de partida

y B conjunto de llegada de f .

c) La idea central del concepto actual de función es la de un tipo particular de relación

que no tenga pares ordenados con las primeras componentes iguales, pero

desiguales las segundas.

d) Si y∈B es el elemento que le corresponde al x∈ A , en lugar de escribir xfy, se

escribe f ( x )= y, que se lee “f de x igual a y”, y se dice que y es el valor de la

función f en x o que y es la imagen de x mediante la función f .

e) Una función de A en B es una relación de A en B, por lo tanto es un subconjunto del

producto cartesiano A× B.

f) Los términos función y aplicación se usaran como sinónimos.

Ejemplo 1.1

a) Sea A={a ,b , c } y B={1,2,3,4 } y las relaciones G1,G2,G3 de A en B dadas por: G1

¿ {(a , 1) ,(b ,2) ,(c , 4)}, G2¿ {(a ,1 ) , (a ,2 ) , (b ,2 ) ,(c , 1) } y G3¿ {(a , 1) ,(b ,2)}, Veamos

cuales son funciones.

G1¿ {(a , 1) ,(b ,2) ,(c , 4)}. En este caso la relación de A en B cumple las

condiciones de la definición de función, y por lo tanto es una función que

denotaremos f : A ⟶ B, tal que f ( a )=1; f (b )=2; f ( c )=4

G2¿ {(a ,1 ) , (a ,2 ) , (b ,2 ) ,(c , 1) }. En este caso la relación no es una función,

puesto que no cumple con la definición, pues a∈ A tiene dos elementos

correspondientes en B que son 1 y 2.

G3¿ {(a , 1) ,(b ,2)}, Aquí tampoco la relación es una función puesto que no

cumple con la definición, pues c no tiene correspondiente en B.

b) Sea A: conjunto de hijos y B: conjunto de padres; y sean las relaciones:

R1 de A en B definida por aR1b⟺ a es hijo de b.

R2 de B en A definida por bR2a⟺b es padre de a.

La relación R1 es una función, ya que todo hijo en el conjunto A tiene un único padre en el

conjunto B. Y la relación R2 no es una función, ya que existen algunos padres que no

necesariamente tiene un único hijo.

Definición 1.2: (Dominio de una Función)

Dada una función f : A ⟶ B se llama dominio de la función f al conjunto definido por:

Dom (f )={x∈ A : y=f ( x ) paraalg ú n y∈B }

Definición 1.3: (Rango de una Función)

Dada una función f : A ⟶ B se llama rango de la función f al conjunto definido por:

Rgo ( f )={ y∈B: y=f ( x ) para algún x∈ A }

Observaciones:

a) El dominio de f , por definición es el conjunto de partida, es decir, Dom (f )=A .

b) El rango de la función f es un subconjunto del conjunto de llegada B, es decir,

Rgo ( f )⊂B .

Definición 1.4: (Imagen e Imagen recíproca de un conjunto)

Dada una función f : A → B. Si E ⊂ A, entonces el conjunto imagen de E es un

subconjunto del conjunto de llegada definido por:

f ( E )={ f (x ) : x∈ E }

Si D ⊂ B, entonces el conjunto imagen reciproca de D es un subconjunto del conjunto de

partida o dominio de f definido por:

f−1 (D )={x : f (x )∈D }

Observaciones:

a) Dados E ⊂ A y D ⊂ B, entonces, f ( E )={ y∈B : y=f ( x ) paraalgú nx∈E } y

f−1 (D )={x∈ A : y=f ( x ) paraalgú n y∈D }⊂ A .

b) Si E ⊂ A, entonces f ( E )⊂Rgo( f )⊂B y f ( A )=Rgo( f ).

c) Si D⊂B, entonces

f−1 (D )⊂Dom ( f )=A y f−1 (B )=A=Dom ( f )= f−1 ( Rgo ( f ) ) .

Ejemplo 1.2

a) Sea A={a , b , c , d } y B={1 , 2, 3 ,4 }, Sea la función f : A⟶B definida f ( a )=1=f (d ),

f (b )=2 , f ( c )=4.

Entonces:Dom (f )=A y Rgo ( f )={1 ,2 , 4 }. Nótese que:

f ( {a } )= {1 },f ( {b } )= {2 },f ( {c } )={4 },f ( {d } )= {1 },f ( {a , b } )= {1, 2 }.

Además:

f−1 ( {1 } )={a , b },f−1 ( {2 } )= {b },f−1 ( {4 } )= {c },f−1 ( {3 } )=∅

y f−1 ( {1, 2 } )= {a , b , d }.

En algunas ocasiones las funciones las funciones se definen por una formula a

través de la cual se expresa la forma de la relación entre los elementos de los

conjuntos de partida y de llegada, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

b) Sea A=[−3 , 3 ] y B=R, sea la función f : A⟶B definida por f ( x )=x2

Entonces:Dom (f )=A=[−3 , 3] y Rgo (f )=[0 , 9] ya que

Rgo (f )={ y∈B: y=f ( x ) para algún x∈ A }

Rgo ( f )={ y∈B: y=x2 paraalg ú n x∈ A }

Rgo (f )={x2∈R : x∈[−3 ,3] } Rgo ( f )=[0,9]

Por otra parte como

f (1 )={1 }=f (−1), f (2 )={4 }=f (−2), f (3 )={9}=f (−3),f (0 )={0}

En virtud de la cual

f ({1})={1 }=f ({−1}),f ({2 })={4 }=f ({−2 }),

f (3 )={9}=f (−3), f (0 )={0}

Luego, las imágenes

f−1 ( {1 } )={1 ,−1}, f−1 ( {4 } )={2,−2}, f−1 ( {9 } )={3 ,−3 },

f−1 ( {4 , 9 } )={2 ,−2,3 ,−3 }, f−1 ( {−1 } )=∅ y f−1 ( {0 } )={0 }.

c) Sea la función f : R⟶R definida por

∀ x∈R f ( x )=f ( x )={ 1 ,∧si xes racional−1 ,∧si x es irracional

Luego, Dom( f )=R y Rgo ( f )={−1 ,1 }

Así, f (Q )=1 y f ( I )=−1

En consecuencia

f ( {−1 } )=f ( {1 } )=f ( {0 } )=f ( {0 , 1, 2 } )=f (Q )=1

f ( {√2 })=f ({√3 })=f ( {√2 ,√3 , π ,√5 })={−1 } y f ([−3 ,2] )={−1 , 1}.

Por otro lado las imágenes reciprocas están dadas por:

f−1 ( {1 } )=Q, f−1 ( {−1 } )=I , f−1 ( {1,−1 } )=R, f−1 ( {0 } )=∅ ,

f−1 ([−1 ,1])=R, f−1 ( (0 ,3 ) )=Q, f−1 ( (−2 ,1 ) )=I

Teorema 1.1

Sea f : A⟶B una función. Si A1,A2⊂ A y B1,B2⊂ B entonces.

a¿ A1⊂ A2 ⟹ f (A1)⊂ f (A2). b¿ f (A1⋃ A2) ¿ f (A1)∪ f (A2).

c ¿ f (A1⋂ A2) ⊂ f (A1)∩ f (A2). d ¿ B1⊂B2 ⟹ f −1(B1)⊂ f−1(B2).

e ¿ f −1(B1∪ B2)=f−1(B1)∪ f−1(B2) f ¿ f−1(B1∩ B2)=f−1(B1)∩ f−1(B2).

g¿ A1⊂ f−1(f (A1)) h¿ f−1(f (B1))⊂ B1.

Demostración:

a¿ Sea y∈ f (A1) entonces existe un a∈ A1, tal que f ( a )= y , pero por hipótesis A1⊂ A2, en

virtud de lo cual a∈ A2, tal que f ( a )= y , por tanto y∈ f (A2), en consecuencia f (A1)⊂ f

(A2).

b¿ Sea y∈ f (A1⋃ A2) entonces existe un x∈ A1⋃ A2 tal que f ( x )= y. Si x∈ A1,

entonces y∈ f (A1). Si x∈ A2, entonces y∈ f (A2), en consecuencia se obtiene y∈ f (A1)∪ f

(A2), por lo cual

f (A1⋃ A2)⊂ f (A1)∪ f (A2).

Por otro lado, dado que A1 ⊂A1⋃A2, por la parte (a) se deduce f (A1)⊂ f (A1⋃ A2), de igual

forma se obtiene f (A2)⊂ f (A1⋃ A2), lo cual implica

f (A1)∪ f (A2)⊂ f (A1⋃ A2)

Así queda establecido que f (A1)∪ f (A2)¿ f (A1⋃ A2)

c ¿ Dado que A1 ∩ A2⊂ A1, por la parte (a¿ se deduce que f (A1∩ A2)⊂ f (A1). De igual modo

se obtiene f (A1)∩ f (A2)⊂ f (A2), en virtud de lo cual

f (A1⋂ A2) ⊂ f (A1)∩ f (A2).

d ¿ Sea x∈ f −1(B1), entonces f (x)∈ B1, dado que B1⊂ B2, se tiene que f (x)∈ B2 lo cual

implica que x∈ f −1(B2) en consecuencia f−1(B1)⊂ f−1(B2)

e ¿ x∈ f −1(B1) ∪ f−1(B2)⟺ x∈ f −1(B1) ∨ x∈ f −1(B2) def. unión

⟺ f (x)∈ B1 ∨ f (x)∈ B2 def. de img. recíproca

⟺ f (x)∈ B1∪B2 def. unión

⟺ x∈ f −1(B1∪B2) def. de img. Recíproca

Por tanto: f−1(B1∪B2)=f−1(B1) ∪ f−1(B2)

f ¿ x∈ f −1(B1) ∩ f−1(B2)⟺ x∈ f −1(B1) ∧ x∈ f −1(B2) def. intersección

⟺ f (x)∈ B1 ∧ f (x)∈ B2 def. de img. recíproca

⟺ f (x)∈ B1∩B2 def. intersección

⟺ x∈ f −1(B1∩B2) def. de img. Recíproca

En consecuencia: f−1(B1∩B2)=f−1(B1) ∩ f−1(B2)

g¿ Sea x∈ A1, entonces por definición de imagen directa se tiene que f (x)∈ f (A1). Pero

usando la definición de imagen recíproca se obtiene x∈ f −1(f (A1)), con lo que queda

demostrado que A1⊂ f−1(f (A1)).

h¿ Sea y∈ f−1(f (B1)), por definición de imagen directa existe un x∈ f −1(B1), tal que

f ( x )= y. Pero dado que x∈ f −1(B1), entonces por definición de imagen recíproca f ( x )∈ B1,

es decir y∈ B1. Por tanto f−1(f (B1))⊂ B1.

Definición 1.5: (Igualdad de Funciones)

Dadas las funciones f : A⟶B y g: A⟶B. diremos que f =g si y solo sólo si

f (x)=g (x), ∀ x∈ A

Se pueden decir que dos funciones son iguales si sus dominios son iguales, sus conjuntos de

llegada son iguales y para cada uno de los elementos del dominio la imagen por ambas

funciones coinciden.

Ejemplo 1.3:

Sean los conjuntos A={1 , 2, 3 ,4 } y B={1 , 3 ,6 ,10 }. Las funciones f : A⟶B definida por

f ( n )=1+2+…+n y g: A⟶B definida por g (n )=n (n+1)2

son iguales.

En efecto,

f (1 )=1; f (2 )=1+2=3;f (3 )=1+2+3=6; f ( 4 )=1+2+3+4=10

De igual modo,

g (1 )=1 (1+1 )2

=1∙ 22

=1 ;g (2 )=2 (2+1 )2

=2∙ 32

=3

g (3 )=3 (3+1 )2

=3∙ 42

=6 ; g (4 )=4 (4+1 )2

=4 ∙52

=10

Por tanto

f (1 )=1=g (1 ); f (2 )=3=g (2 );f (3 )=6=g (3 );f ( 4 )=10=g ( 4 )

Por consiguiente f =g

1.2 Representación de funciones

Las funciones al igual que las relaciones, se pueden representar de forma sagital o mediante

un diagrama cartesiano. Para el caso de funciones cuyo dominio o rango es un conjunto

infinito se recomienda representarlos mediante diagramas cartesianos. Sin embargo, las

funciones también se pueden expresar como una ecuación, en forma de tabla y en forma de

proposición

B

A×B

f (x) (x , f ( x )) A B

x y=f (x )

x A

Representación Cartesiana de f Representación Sagital de f

Ejemplo 1.4.

a) Sean A={a , b , c , d } y B={1 , 2, 3 ,4 ,5 , 6 }. Sea la función f : A⟶B definida por

f ( a )=1=f (d ) , f (b )=2 , f (c )=4 . La representación gráfica de f mediante un

diagrama sagital, es la siguiente:

A f B

1

a 2

b 3

c 4

d 5

6

b) La función como expresión matemática (ecuaciones de la forma y=f (x )) permite

representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.

Consideremos por ejemplo la función

f : A⟶B definida por f ( x )=x+2, que representa una recta.

B

4 f ( x )=x+2

3

2

1

−4−3−2−11 23 4 A

−1

−2

c) Sea la función f : A⟶B definida por f ( x )=x2 y los conjuntos A y B dados

respectivamente por: A=[−3 , 3 ] y B=R.

La representación cartesiana de la función f ( x )=x2 es una curva continua de

puntos denominada parábola

R

4 f ( x )=x2

3

2

1

−4−3−2−11 23 4 A

d) Sea la función f : R⟶R definida por f ( x )=¿ |x| denominada función valor

absoluto. La representación cartesiana de f es:

R

4 f ( x )=|x|

3

2

1

−4−3−2−11 23 4 A

−1

−2

e) Sea la función f : R⟶R definida por f ( x )= ⟦ x ⟧ denominada función parte entera

que se define así:

f ( x )= ⟦ x ⟧=n ,donde n∈Z , tal que n ≤ x<n+1

La representación cartesiana de la f ( x )= ⟦ x ⟧

R

3

2

1

−4−3−2−11 23 4 R

−1

−2

Los huecos en la gráfica indican que los puntos no se incluyen.

f) Sea la función f : A⟶B definida por f ( x )=x+2. La función como tabla permite

representar algunos valores discretos de la función como se observa a continuación

x −2 −1 0 1 2 3y 0 1 2 3 4 5

4.3 Funciones Notables

En este informe se estudiaran algunas funciones que usaremos frecuentemente

Definición: (Función Identidad)

Una función f : A⟶B definida por f ( x )=x ,∀ x∈ A , se denomina función

identidad de A, y se denota por IA ó bien id ( A ) .

En este caso Dom(IA)¿ Rgo(IA)¿ A .

Ejemplo 1.5

Si A={1 , 2,3 ,4 } la función identidad es f : A⟶B definida por f ( x )=x , en

consecuencia

f (1 )=1, f (2 )=2,f (3 )=3,f ( 4 )=4.

La representación gráfica de esta función es:

A

4

3 f ( x )=x

2

1

1 2 3 4 A

Función Identidad

Definición 1.7 (Función Constante)

Una función f : A⟶B definida por f ( x )=b,∀ x∈ A , donde b es un elemento fijo de B, se

denomina función constante.

Observación: Se puede notar que para la función constante se cumple que

Dom (f )=A y Rgo ( f )={b }

Ejemplo 1.6:

La función f : R⟶R definida por f ( x )=√2 (∀ x∈Dom ( f )=R ) es una constante (b=√2 ),

donde Dom (f )=R y Rgo (f )={√2 }. La representación gráfica de esta

función es una recta horizontal (es decir una recta paralela al eje x

R

√2 f ( x )=√2

−4−3−2−11 23 4 R

Definición 1.8 (Función Inclusión)

Una función f : B⟶A, B⊂ A definida por f ( x )=x ,∀ x∈B, se denomina función

inclusión de B en A

Observación: Se puede notar que para la función constante se cumple que:

a) Dom (f )=Rgo (f )=B

b) Cuando B=A, la función inclusión coincide con la función identidad, por lo tanto la

función identidad es un caso particular de la función inclusión.

Ejemplo 1.7

a) La función f :N*⟶ R, definida por f ( n )=n, es una función inclusión, ya

que N*¿ {1 ,2 ,3 , …}⊂R y f ( x )=x ,∀ x∈N*.

En efecto. Notemos que:

f (1 )=1, f (2 )=2,f (3 )=3,f ( 4 )=4

R

4

3

2

1

1 2 3 4 N*

−1 Función Inclusión de N* en R

b) Sea f : N⟶ R, definida por f ( n )= n2n+1

, no es una función inclusión, pues

el f (1 )=13

≠1, por nombrar unos de los casos.

Las imágenes de algunos elementos de N son:

f (0 )=0, f (1 )=13

,f (2 )=25

,f (3 )=37

,f ( 4 )=49

,f (5 )= 511

,

y así sucesivamente.

La gráfica de esta función, está dada por una serie de puntos como se indica en la siguiente

figura

R

1

1 23 45 R

−1

Función f (n )= n2n+1

c) Sea f : N⟶N , definida por f ( n )=n!, donde

n !={n (n−1 ) (n−2 )…2 ∙ 1 si n>01,∧si n=0

No es una función una función inclusión. Esta función se denomina función factorial y es

muy útil para el estudio de la teoría combinatoria, el cálculo de probabilidad y la

matemática discreta.

Observe las imágenes de algunos elementos a través de la función factorial:

f (0 )=1; f (1 )=1!=1;f (2 )=2!=2;f (3 )=3 !=6;

f ( 4 )=4 !=24

Definición 1.9 (Función Característica)

Una función E ≠∅ y A ≠∅ , con A⊂E, la función X A: E⟶ {0 , 1 } definida por

X A(x ¿={ 1 ,∧si x∈ A0 ,∧si x∈E−A

Se denomina función característica de A⊂E. En este caso

Dom(X A)¿ E y Rgo(X A)¿ {0 ,1 } .

Ejemplo 1.8

Sea E=R yZ⊂R, y sea la función X z definida por

X z={ 1 ,∧si x∈Z0 ,∧si x∈R−Z

La representación cartesiana de X z es:

R

2

1

−3−2−112 3 R

Si se considera la familia { Ax : x∈Z }, donde Ax={ x , x+1 } es un intervalo abierto. Podemos

observar que la gráfica consta de todos conjuntos Ax × {0 }, donde x∈Z , unidos con el

conjunto de puntos de la forma ( x ,1 ) ∀ x∈Z . Cabe destacar que un intervalo abierto (a , b )

se denota de la misma manera que el punto (a , b ) en el plano R2. Siempre debemos estar

atentos según el contexto a cuál de los objetos (entes) matemáticos nos estamos refiriendo.

Simbólicamente esta representación está dada por

(¿ x∈Z , ( Ax × {0 } ) )∪ ( Z × {1 })

donde ¿ x∈Z ( Ax × {0 } ) es la unión generalizada de todos los pares ordenados de la forma

(a , 0 ), en el cual a pertenece a algún intervalo abierto( x , x+1 ), y Z × {1 } es el conjunto de

pares ordenados o el conjunto de todos los puntos de la forma ( x ,1 ) ∀ x∈Z .

Definición 1.10 (Función Real y de Variable Real)

Una función f es de variable real si Dom (f )⊂R, y es función real o función de valores

reales si Rgo ( f )⊂R.

Ejemplo 1.9

La función f : R⟶ R, definida por f ( x )=x2−1, es una función real de variable el real

donde Dom (f )=R, y

Rgo (f )={ y∈R : y=f ( x ) paraalgún x∈R }

¿ { y∈R : y=x2−1 paraalgún x∈R }

¿ { y ≥−1 : y∈ R } ya que x2≥ 0

Así el Rgo ( f )⊂R.

A continuación veremos algunas reales de variable real

Definición 1.11 (Función Afín)

Una función f : R⟶ R, definida por f ( x )=ax+b, con a ≠ 0 y b cualquier real se denomina

función afín,

Observaciones:

a) Se puede notar que Dom (f )=R y Rgo (f )=R.

b) La representación cartesiana o representación gráfica de una función afín es recta.

c) Si a>0 , la recta es creciente, es decir una recta que está comprendida entre el III

Cuadrante y I Cuadrante

d) Si a<0 , la recta es decreciente, es decir una recta que está comprendida entre el II

Cuadrante y IV Cuadrante

Ejemplos:

a) La función f : R⟶ R, definida por f ( x )=2 x+1 es una función afín con a=2>0

y b=1, donde Dom (f )=R y Rgo (f )=R.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4-3-2-10123456

𝑓( )=2 +1𝑥 𝑥x

y

b) La función f : R⟶ R, definida por f ( x )=−2x+1 es una función afín con

a=−2<0 y b=1, donde Dom (f )=R y Rgo (f )=R.

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-4-3-2-10123456

𝑓( )=−2 2-4 +3𝑥 𝑥 𝑥

y

x

Definición 1.12 (Función Cuadrática)

Una función f : R⟶ R, definida por f ( x )=ax2+bx+c, con a ≠ 0 , b y c números reales, se

denomina función cuadrática.

En este caso Dom (f )=R y Rgo ( f )⊂R.

Observaciones:

a) La representación cartesiana o representación gráfica de una función cuadrática es

una parábola.

b) El eje de simetría de la parábola corresponde a x=−b2 a

.

c) A partir de la expresión dada para la función cuadrática se tiene que

Si a<0 la parábola abre hacia abajo y es cóncava hacia abajo, de igual modo, Si

a>0 la parábola abre hacia arriba y es cóncava hacia arriba.

d) La parábola posee un punto máximo si es cóncava hacia abajo y posee un punto

mínimo si es cóncava hacia arriba. En ambos casos este punto se denomina vértice

de la parábola y está dado por el punto (−b2 a

,4 ac−b2

4 a ).e) La parábola posee un único punto de corte con el eje y en y=c, y puede tener uno,

dos o ningún punto de corte con el eje x, en

x1=−b+√b2−4ac2 a

y en x2=−b−√b2−4 ac2 a

donde ∆=b2−4 ac es la

discriminante cuadrática.

Si ∆>0, la parábola corta al eje x en dos puntos ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 )

Si ∆=0, la parábola corta al eje x en un solo punto ( x ,0 )

Si ∆<0, la parábola NO corta al eje x

Ejemplo 1.11

La función f : R⟶ R, definida por f ( x )=−2x2−4 x+3, es una función cuadrática con

a=−2 , b=−4yc=3

Como a=−2<0 entonces la parábola abre hacia abajo y es cóncava hacia abajo.

El eje de simetría de la parábola es la recta x=−−42 (−2 ) es decir x=−1

Dado que la parábola es cóncava hacia abajo, tiene un punto máximo que es el vértice

(−b2 a

,4 ac−b2

4 a )=(− (−4 )2 (−2 )

,4 (−2 ) (3 )−(−4 )2

4 (−2 ) )=(−1,−40−8 )=(−1 ,5 )

El punto de corte con el eje y es (0 , c )=(0,3 ).

La parábola corta al eje x en dos puntos ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 ) donde

x1=−b+√b2−4ac2a

=−(−4 )+√ (−4 )2−4 (−2 ) (3 )

2 (−2 )

¿−(−4 )+√ (−4 )2−4 (−2 ) (3 )

2 (−2 )= 4+√40

−4=−1−√10

2

De igual modo x2=−1+ √102

La representación gráfica de la función es la siguiente:

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

𝑓( )=−2 2−4 −3𝑥 𝑥 𝑥

ℝ

ℝ

Función Cuadrática

Definición 1.13 (Función Cúbica)

Una función f : R⟶ R, definida por f ( x )=ax3+b x2+cx+d, con a ≠ 0 , b , c y d números

reales, se denomina función cúbica.

En este caso Dom (f )=R y Rgo ( f )=R.

Ejemplo 1.12

La función f : R⟶ R, definida por f ( x )=x3, es una función cúbica con a=1 , b=c=d=0

Entonces Dom (f )=R y Rgo ( f )=R.

La representación cartesiana de la función f ( x )=x3 es una curva continua de puntos

denominada

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10 𝑓( )= 3𝑥 𝑥

Función Cúbica

Definición 1.14 (Función Exponencial)

Una función f : R⟶ R+, definida por f ( x )=ax, con a>0 , a ≠ 1, se denomina función

exponencial con base a.

Observaciones:

a) En la función exponencial el Dom (f )=R y Rgo ( f )=R+¿ (0 ,+∞).

b) La función corta al eje y en el punto (0 , 1 )

c) Sea a>1, la función f ( x )=ax es estrictamente creciente. Esto significa que a

medida que x aumenta, el valor f ( x ) también aumenta.

d) Sea 0<a<1, la función f ( x )=ax es estrictamente decreciente. Esto significa que a

medida que x aumenta, el valor f ( x ) decrece.

e) Mientras mayor sea el valor de a, mayor es la rapidez con la que la función crece

f) Si la base de la función exponencial es el número irracional

e=2,718281828459045 … la función se denomina función exponencial natural.

Ejemplo 1.13

La función f : R⟶ R, definida por f ( x )=2x, es una función exponencial con a=2 donde el

Dom (f )=R y Rgo ( f )=(0 ,+∞ )

La representación cartesiana de la función f ( x )=2x es la siguiente

-6 -4 -2 0 2 4 60

5

10

15

20

25

30

35 𝑓( )=2𝑥 𝑥

Función Exponencial

Definición 1.15 (Función Logarítmica)

Una funciónf : R+⟶ R, definida por f ( x )=log2 (x ) con a>0 , a ≠ 1, se denomina función

exponencial con base a.

Observaciones:

a) Es creciente si a>1 y decreciente se 0<a<1

b) Él Dom (f )=R+¿=(0 ,+∞ )¿ y Rgo (f )=R.

c) La gráfica de f corta al eje x en (1 , 0 ) pero no corta al eje y en ningún punto dado que

x=0 es una asíntota vertical.

d) Si la base es e=2,718281828459045 ….La llamaremos función logaritmo de base e. Más

conocida con el nombre de función logaritmo natural o neperiano y la denotaremos como

y=f ( x )=ln ( x )=loge ( x )

Ejemplo 1.14

La función f : R+⟶ R, definida por f ( x )=log2 (x ) es una función logarítmica con base a=2

, donde el Dom (f )=R+¿ (0 ,+∞) y Rgo (f )=R.

La representación cartesiana

0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

1.16 Funciones Polinómicas

La función p : R⟶R, definida por

p ( x )=an xn+an-1 xn-1+an-2 xn-2+¿…+a2 x2 +a1x +a0

Donde n es un número natural y a0,a1,…,an son números reales, siendo an ≠ 0 se

denomina función polinómica.

Observaciones:

a) Los valores a0,a1,a2,…,an se denominan coeficientes de la función polinómica y el

valor n es el grado de dicha función.

b) El coeficiente a0 del polinomio p ( x )se le denomina término independiente.

c) Como caso particulares de funciones polinómicas se tienen las de grado 0, 1, 2 y 3,

dadas por: p ( x )=c , p ( x )=ax+b ,

p ( x )=ax2+bx+c,p ( x )=ax3+b x2+cx+d. Que son la función constante, la función

afín, la función cuadrática y la función cúbica, respectivamente.

d) La función f ( x )=0 es llamada función polinómica nula, y convendremos en

señalar que su grado −1.

Definición 1.17 (Función Racional)

Una función que sea el cociente de dos funciones polinómica sobre R es una función

racional sobre R es decir R ( x )= p (x)q(x )

, donde p ( x ) y q ( x ) son funciones polinómicas.

Observaciones:

a) El dominio de la función racional es R menos el conjunto de puntos donde el

denominador q ( x ) se anula.

b) En los puntos donde el denominador q ( x )=0 pasa una recta paralela al eje y que se

denomina asíntota vertical.

Ejemplo 1.15

a) Si p ( x )=2 x3+1 y q ( x )=x−2, entonces R(x )=2 x3+1x−2

es una función racional

sobre R.

b) la función f : R⟶ R, definida por f ( x )= 1x−1

es una función racional donde el

Dom (f )=R− {1 } y Rgo ( f )=R− {0 }, además la asíntota en x=1. La

representación cartesiana de la función f ( x )=f ( x )= 1x−1

es la siguiente:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

1.17 Restricción y Extensión de Funciones

Existen varias representaciones para una función, la primera de ellas es el lenguaje

algebraico. Una función f puede ser representada simbólica o algebraicamente si para

cada x en el dominio de f (x) es igual a alguna expresión algebraica que represente a x

Desde que casi todas las operaciones dan un único resultado no es un problema

usual determinar si una expresión algebraica representada por x define una función.

Excepto posiblemente para fines algebraicos es sencillo encontrar el dominio de una

función f la cual es representada simbólicamente, en general existen dos razones muy

notables por las que un número no está en el dominio de una función.

1° Razón: División por Cero

2°Razón: Raíz Cuadrada Negativa

Obviamente más adelante veremos otras restricciones que dependerán del tipo de función.

Extensión de una función:

El estudio de la extensión de una función representa los intervalos de variación para

los cuales las variables x e y son números reales. Esta información es útil por dos razones:

1) Da la localización de la curva en el plano coordenado.

2) Indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.

Ejemplo 4.16

Sea y2=x3 si queremos determinar la extensión de esta curva sólo debemos despejar y en

términos de x, obtenemos y=±√ x3

Vemos inmediatamente que y es compleja si x es negativa; por tanto, todos los valores

negativos de x quedan excluidos. Esto significa que ninguna porción de la curva esta a la

izquierda del eje y. En cambio pueden tomarse todos los valores positivos de x.

Despejando x en función de y, obtenemos:

x= y2 /3

Evidentemente, y puede tomar todos los valores positivos y negativos. Esto, agregado al

hecho de que todos los valores positivos de x son admisibles, indica que la curva se

extiende indefinidamente hacia la derecha del eje y y ambos lados, hacia arriba y abajo,

del eje x. Por tanto la curva no es cerrada.

Ejemplo 1.17

Sea x2 y−x2− y=0, al despejar y en términos de x, obtenemos

y= x2

x2−1

y no está definida para x=± 1. Para x>1 y x←1, y es positiva. Para valores de x

comprendidos en el intervalo −1 ≤ x<1, y es negativa o cero. A medida que x se aproxima

a +1 ó −1, y aumenta numéricamente sin límite.

Despejando x en función de y, obtenemos

x=±√ yy−1

x no está definida para y=1, también x es compleja para los valores de y comprendidos

en el intervalo 0 ≤ y<1. Por tanto deben excluirse tales valores de y. A medida que y se

aproxima a 1, x aumenta numéricamente sin límite.

Las conclusiones que hemos deducido en las ecuaciones anteriores, respecto en los cuales

los valores de las variables x y y son reales, nos dan una buena idea de la localización de la

curva en el plano coordenado. Hay tres regiones definidas en las cuales la curva existe;

arriba de la recta y=1 y a la derecha de la recta x=1, arriba de la recta y=1 y a la

izquierda de la recta x=−1 y debajo del eje x y entre las rectas x=−1 y x=1. Se trata

evidentemente de una curva abierta.

Tipos de Funciones

Definición 1.18 (Función Inyectiva)

Una función f : A⟶B es Inyectiva si a cada par de elementos diferentes de A le

corresponden imágenes diferentes de B. es decir si:∀ x , y∈ A se cumple

x≠ y⟹ f (x )≠ f ( y ).

Observación

a) Si f : A⟶B es Inyectiva se dice que f es una inyección de A en B

Ejemplo 4.18: aquí vemos que f es inyectiva y g no lo es

A f B A g B

a 1 a 1

b 2 b 2

c 3 c 3

d 4 d 4

5 5

Teorema 1.2

f es Inyectiva si y sólo si ∀ x , y∈ A:f ( x )=f ( y )⟹ x= y, pero por contrarrecíproco

x≠ y⟹ f (x )≠ f ( y ) es equivalente a f ( x )=f ( y )⟹ x= y.

En virtud de lo cual f es Inyectiva si y sólo si ∀ x , y∈ A:f ( x )=f ( y )⟹ x= y.

Ejemplo 1.18

a) La función f : N⟶Z , definida por f ( x )=2 x ¿Será Inyectiva?

Veamos que es Inyectiva, para ello debemos probar que

f ¿1¿=f ¿2¿⟹ x1¿ x2

Sea f ¿1¿=f ¿2¿

entonces 2 x1¿2 x1

de donde x1¿ x2

b) La función f : R⟶ R, definida por f ( x )=x2 ¿Será Inyectiva?

f no es Inyectiva, para ello basta considerar x1¿1 y x2¿−1 dos números reales

distintos pero tiene la misma imagen

f (−1 )=(−1)2=1

f (1 )=(1)2=1

Pero si redefinimos f para (0 ,+∞) o (−∞ , 0 ) f seria inyectiva, por ejemplo

Si f : ( 0 ,+∞ )⟶ (0 ,+∞ ) definida por f ( x )=x2

Teorema 1.2

f es Inyectiva si y sólo si ∀ x , y∈ A : f ( x )⟹x= y

Demostración:

Por definición f es Inyectiva si y sólo si ∀ x , y∈ A se cumple

x≠ y⟹ f (x )≠ f ( y )

Pero por contrarrecíproco x≠ y⟹ f (x )≠ f ( y ) es equivalente a

f ( x )=f ( y )⟹ x= y ,

En virtud de lo cual f es Inyectiva si y sólo si ∀ x , y∈ A : f ( x )=f ( y )⟹ x= y,

Teorema 1.3

f es Inyectiva si y sólo si f−1 ( f ( E ) )=E ,∀ E⊂ A

Demostración:

⟹¿ Sea E⊂ A , por el teorema 1.1 (g) se tiene que E⊂ f−1 ( f ( E ) )

Falta probar que f−1 ( f ( E ) )⊂E . Suponemos que f−1 ( f ( E ) )⊄ , en virtud de lo cual existe x∈ f −1 ( f ( E ) ) tal que x∉ E .

Como x∈ f −1 ( f ( E ) ) , se tiene que f ( x )∈ f (E ) , por lo tanto existe un a∈ E , tal que f ( a )=f ( x ) , dado que f es Inyectiva se tiene que x=a , entonces x∈ E . Así x∉ E∧ x∈ E . Lo cual es contradictorio. La contradicción se deriva de suponer que f−1 ( f ( E ) )⊄E , en consecuencia f−1 ( f ( E ) )⊂E . Luego f−1 ( f ( E ) )=E

⟸¿ Sean x , y∈ A , tal que f ( x )=f ( y ) . Consideramos E={ x }⊂ A . Es claro que

f ( x )∈ f (E ) , pero como f ( x )=f ( y ) se tiene f ( y )∈ f ( E ) . Luego y∈ f−1 (f ( E ) ). Además, por

hipótesis f−1 ( f ( E ) )=E , en consecuencia y∈E , lo cual implica que y=x . Así por el

problema 1.2 se puede decir que f es Inyectiva.

Definición 1.19 (Función Sobreyectiva)

Una función f : A⟶ B es sobreyectiva si cada elemento de B es imagen de por lo menos

un elemento de A. Es decir que ∀b∈B:∃a∈ A , tal que f (a )=b.

Observaciones:

a) Si una función f es sobreyectiva entonces se dice que f es una función de A sobre B

, y que f es una sobreyección.

b) A una función f sobreyectiva también se le dice exhaustiva o epiyectiva.

c) La función f es sobreyectiva si y sólo si Rgo ( f )=B, porque todas las imágenes

deben estar relacionadas con un elemento de A

Ejemplo 4.18: aquí vemos que f es sobreyectiva y g no lo es

A f B A g B

a 1 a 1 b 2 b 2 c 3 c 3 d 4 d 4 5

Es sobreyectiva No es sobreyectiva

Teorema 1.4

La función f : A⟶ B es sobreyectiva si y sólo si f−1 ( f ( H ) )=H , ∀H⊂B

Demostración:

⟹¿ Sea H un subconjunto de B. Por el teorema 1.1 (h) se tiene que f−1 ( f ( H ) )⊂H

Falta probar que H ⊂ f −1 ( f (H ) ) .

Sea y∈H , como H ⊂B, se tiene que y∈B, y dado que f es sobreyectiva existe un x∈ A ,

tal que f ( x )= y . Es decir f ( x )∈H , entonces x∈ f −1 ( H ). En consecuencia

f ( x )∈ f ( f ¿¿−1(H )) ,¿ es decir y∈ f ( f ¿¿−1(H )) .¿ por tanto H ⊂ f ( f ¿¿−1(H )).¿ En

virtud de lo cual f (f ¿¿−1(H))=H .¿

⟸¿ Sea y∈B , consideraremos H= { y }, entonces por hipótesis f (f ¿¿−1(H))=H ,¿ por

tanto y∈ f ( f ¿¿−1(H )) ,¿ por consiguiente existe un x∈ f −1 ( H )⊂ A , tal que f ( x )= y , en

consecuencia f es sobreyectiva.

Teorema 1.5

Demostración:

⟹¿ Por definición de imagen directa f ( A )⊂B . Por otro lado sea y∈B , como f es

sobreyectiva existe x∈ A , tal que f ( x )= y , es decir y∈ f ( A ) , en consecuencia existe

B⊂ f ( A ) .

⟸¿ Sea y∈B , como f ( A )=B se tiene que y∈ f ( A ) , en consecuencia existe un x∈ A , tal

que f ( x )= y , por lo cual f es sobreyectiva.

Definición 1.20 (Función Biyectiva)

Una función f : A⟶ B , es Biyectiva si y sólo si f es Inyectiva y sobreyectiva

Observación:

f : A⟶ B , es Biyectiva se dice que f es una biyección de A en B

Ejemplo 1.18

a) La función identidad IA:A⟶ A definida por IA (x)¿ x es Biyectiva

b) La función c) La función

A f B A g B

a 1 a 1 b 2 b 2 c 3 c 3 d 4 d 4 5

Es Biyectiva No es Biyectiva

d) A continuación presentaremos la representación sagital de varias funciones,

indicando en cada caso inyectividad y sobreyectiva

A f B A g B

1 a 1 1

2 b 2 2

3 c 3 c

4 d

f es sobreyectiva pero no Inyectiva f es Inyectiva pero No es sobreyectiva

e) La primera proyección de P1:A × B⟶ A definida por P1( x , y )=x sobre los

conjuntos A={1 ,2 , 3 } y B= {a ,b , c }, es una función sobreyectiva y no Inyectiva.

Pues: (1 , a ) ≠ (1 , b ) , sin embargo P1(1 , a )=1=¿ P1(1 , b ).

Como P1( A × B )=A , la función es sobreyectiva. En conclusión la función no es

Biyectiva.

f) Sea A=R− {3 } y B=R−{1 } y sea A⟶B definida por f (x)= x−2x−3

Entonces veamos si f es Biyectiva.

Veamos si es Inyectiva

Sea x1, x2∈ A , tales que f ¿1¿=¿ f ¿2¿, tenemos que

f ¿1¿=¿ f ¿2¿⟹x 1−2x 1−3

= x2−2x2−3

⟹¿1−2¿¿2−3¿=¿1−3¿¿2−2¿ ⟹ x1x2−3 x1−2 x2+6=x1x2−3 x2−2 x1+6 ⟹−3 x1−2 x2=−3 x2−2 x1

⟹−3 x1+2 x1=−3 x2+2 x1

⟹−x1=−x2

⟹ x1=x2

Luego f es Inyectiva

¿∀ y∈B ,∃ x∈ A , tal que f ( x )= y? la respuesta es afirmativa-En efecto, como

f ( x )= x−2x−3

= y⟹ y (x−3 )=x−2

⟹ yx−3 y=x−2

⟹ yx−x=3 y−2

⟹ x ( y−1)=3 y−2

⟹ x=3 y−2y−1

Se puede notar que y∈B=R−{1 } , luego y ≠1 , por lo tanto x=3 y−2y−1

existe.

Así pues:∀ y∈B , existe x=3 y−2y−1

, tal que

f ( x )=f ( 3 y−2y−1 )=

3 y−2y−1

−2

3 y−2y−1

−3=

3 y−2−2 y+2y−1

3 y−2−3 y+3y−1

=y1= y

Luego f es sobreyectiva. Por tanto la función f es Biyectiva

Teorema 1.6

La función f : A⟶ B es Biyectiva si y sólo si para cada y∈B , existe un único x∈ A , tal que f ( x )= y

Demostración:

⟹¿ Sea y∈B , como f es Biyectiva es inyectiva y sobreyectiva. La sobreyectividad implica que para y∈B existe un x∈ A , tal que f ( x )= y .

Suponemos que existe x ´∈ A , tal que f ( x ´ )= y . Así f ( x )= y=f ( x ´ ) , entonces por inyectividad se deduce que x ´=x . Es decir x∈ A es el único elemento que cumple que f ( x )= y .

⟸¿ Sea y∈B , por hipótesis un único x∈ A , tal que f ( x )= y. En consecuencia f es sobreyectiva.

Por otro lado si x , x ´∈ A , tales que f ( x ´ )=f ( x ). Considerando f ( x )=z∈B , por hipótesis

para z∈B existe un único x∈ A , tal que f ( x )=z , en consecuencia x ´=x , en virtud de lo cual f es inyectiva. Dado que f es sobreyectiva e inyectiva, entonces f es biyectiva.

Teorema 1.6

La función f es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.

Por otro lado el teorema 1.3 indica que f es inyectiva si y sólo si

f−1 ( f ( E ) )=E, ∀ E⊂A .

Similarmente el teorema 1.4 nos indica que f es sobreyectiva si y sólo si

f ( f −1 ( H ) )⊂H ,∀H ⊂B.

En consecuencia f es Biyectiva si y sólo si

f−1 ( f ( E ) )=E, ∀ E⊂A y f ( f −1 ( H ) )⊂H ,∀H ⊂B.

Operaciones con Funciones

Dadas las funciones reales, f y g , la suma f +g , la diferencia f −g , el producto de un número r por una función rf , el producto fg y cociente f /g se definen así:

Definición: sea f y g funciones reales y r un número real

( f +g ) (x )=f ( x )+g (x ) , Dom (f +g )=Dom (f )∩ Dom ( g )

( f −g ) ( x )=f ( x )−g ( x ) , Dom (f −g )=Dom ( f ) ∩ Dom (g )

( fg ) ( x )=f (x ) g ( x ) , Dom (fg )=Dom (f ) ∩ Dom (g )

(rf ) ( x )=rf ( x ) , Dom (rf )=Dom ( f )

( f /g ) (x )=f ( x ) /g ( x ) , Dom (f /g )=Dom ( f )∩ Dom ( g )− {x /g ( x )=0}

Ejemplo:

Si f ( x )=√x y g ( x )=√9−x2 y r=5, hallar las funciones

a.f +g b.f −g c.fg d.rf e.f /g

Solución:

Determinemos los Dominios de cada una de las funciones

x∈Dom (f )⟺ x≥ 0 , Luego,Dom (f )=[0 ,+∞ )

x∈Dom (g )⟺9−x2≥ 0⟺ x2≤ 9⟺−3≤ x≤ 3 , Luego Dom ( g )=[−3 , 3 ]

La intersección de estos dominios es

Dom (f )∩ Dom ( f )=[0 , +∞ ) ∩ ¿

Ahora bien,

( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )=√x + √9− x2 , Dom (f +g )=[0 , 3 ]

( f −g ) ( x )=f ( x )−g ( x )=√x - √9− x2 , Dom (f +g )=[0 , 3 ]

( fg ) ( x )=f (x ) g ( x )=√ x √9− x2=√9 x−x3 , Dom (fg )=[0 , 3 ]

(5 f ) ( x )=5 f ( x )=5√x , Dom (5 f )=Dom ( f )=[0 ,+∞)

( f /g ) (x )= f (x)g(x )

= √x

√9−x2=√ x

9−x2 , Dom (f /g )=[0 , 3 ]−{3 }=[0 , 3 )

Conclusiones

Después de culminado este contenido sobre las funciones reales de variable real, estamos claros sobre sus características gráficas y marco teórico. Las funciones son de gran utilidad para resolver problemas de la vida diaria, ya que son muy usadas en una gran cantidad de áreas como, las finanzas, la economía, la estadística, la ingeniería, la medicina, la química, la física, en general el tener una relación que explique o quizás hasta predecir el comportamiento de un cierto evento con bastante exactitud, es una gran herramienta en el estudio de la matemática.

Bibliografía

Introducción al Algebra, (50 Aniversario de la Creación del Instituto Pedagógico de Barquisimeto) Fernando Barragán, José V. Santamaría, Dones Colmenares, Alexis Pórteles, Benjamín molina y Ramón Rosendo.

Geometría Analítica, Lehmann, Editorial Limusa