Calcul de Diverses Variables. Prova final i de reavalaucio (10/juny/2013).

PROBLEMES. [2 punts per problema.]

Temps: 2:30’.

P1] Considereu la funcio f(x, y) = ln(2x + y + 1).a) Situats en el punt (2, 3), trobeu en quina direccio la variacio de la funcio es maxima.b) Trobeu el desenvolupament de Taylor de f(x, y) al voltant del punt (0, 0) fins a segon

ordre, inclos.

RES: a) En la direccio del gradient ~∇f(2, 3), u = (2, 1)√

5, normalitzat.

b) log(1 + 2h1 + h2) = 2h1 + h2 − 2h2

1 −1

2h2

2 − 2h1h2 + O(3).

P2] Trobeu tots els punts estacionaris de la funcio f(x, y) = x2 + y4 − 4xy i discutiu-neel caracter.

RES: (0, 0) punt de sella; (2√

2,√

2), (−2√

2,−√

2) mınims.

P3] a) Calculeu la integral doble de la funcio f(x, y) = xy en la regio del primer quadrantlimitada per la recta x = 0, la hiperbola y2 − x2 = 1 i la circumferencia x2 + y2 = 9.

b) Verifiqueu per calcul explıcit el teorema de Fubini.

RES:

∫2

0

dx x∫ √

9−x2

√1+x2

dy y = 4.

Tambe ∫ √5

1

dy y∫ √

y2−1

0

dx x +∫

3

√5

dy y∫ √

9−y2

0

dx x = 4.

Calcul de Diverses Variables. Prova final i de reavaluacio (10/juny/2013).

QUESTIONS. [1 punt per questio.]

Temps: 1:30’.

Q1] a) Comproveu que l’equacio

F (x, y, z) =1

x2 + z2+

1

y2 + z2− 1 = 0,

defineix la funcio z(x, y) en un entorn del punt (1, 1, 1).

b) Trobeu∂z

∂xal punt (1, 1).

RES: Condicions teorema de la funcio implıcita: F contınua amb derivades contınues

entorn del punt; F (1, 1, 1) = 0;∂F

∂z(1, 1, 1) = −1 6= 0. Es troba

∂z

∂x(1, 1) = −1

2.

Q2] Trobeu la derivada direccional de la funcio f(x, y, z) = xeyz + xyez en el punt(−2, 1, 1), en la direccio del vector n = (ı − 2 + 3k)/

√14.

RES: Dnf(−2, 1, 1) = n· ~∇f(−2, 1, 1) = −2 e/√

14, ja que ~∇f(−2, 1, 1) = (2e,−4e,−4e).

Q3] Considereu un rectangle en el primer quadrant del pla amb un vertex a l’origen, elsdos cantons adjacents sobre els eixos i amb el vertex oposat sobre la recta x+2y = 1. Usantel metode dels multiplicadors de Lagrange trobeu el rectangle d’area maxima que verifiquiaquestes condicions.

RES: x i y son les longituds dels dos cantons. El maxim es troba per x = 1/2 i y = 1/4,amb area = 1/8. Es tracta d’un maxim ja que el domini es compacte i el valor mınims’assoleix a les vores (0, 1/2) i (1, 0), on l’area es zero.

Q4] Esbrineu si la serie,∞∑

n=1

2n2

n!es o no convergent.

RES: El criteri del quocient dona

limn→∞

an+1

an

= limn→∞

22n+1

n + 1→ ∞ > 1.

La serie es divergent.