KOLMOGOROV Y LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

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INTRODUCCIÓNAndrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) completó sus estudios

en la Universidad Estatal de Moscú en 1925 donde llegó a ser profesor en 1930. En 1935 recibió el grado doctoral en Física y Matemáticas; y desde 1938 hasta su muerte mantuvo la Cátedra en el Departamento de Lógica Matemática. Fue miembro de la Academia de Ciencias y Ciencias Pedagógicas de la Unión Soviética. Más aún, fue miembro de la Academia de Ciencias de USA, del Instituto Francés, de la Royal Society en Londres. Fue miembro honorífico además de en las anteriores, de la Academia Internacional de Historia y Ciencias, y recibió premios nacionales e internacionales. Escribió muchos libros y más de 200 artículos sobre Teoría de Funciones, Lógica Matemática, Teoría de las Probabilidades y aplicaciones, Problemas de Estacionalidad, Educación e Historia de las matemáticas.

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Destacamos la siguiente cita como muy significativa de su labor :

  "Kolmogorov ocupa un lugar privilegiado en la matemática moderna y en el mundo científico. Por la diversidad y profundidad de su aportaciones científicas, recuerda a los científicos clásicos del pasado siglo."Bogolyubow, Gnedenko y Sobolev

 

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En 1985, 1986 y 1987 Nauka publica tres volúmenes de los trabajos de Kolmogorov (en Ruso) con comentarios de él y de sus alumnos. En estos libros se tratan temas tan diversos como teoría de las series trigonométricas, teoría de la medida y conjuntos, teoría de la integración, teoría de la aproximación, construcciones lógicas, topología, teoría de la superposición de funciones, temas de mecánica clásica, teoría ergódica, teoría de la turbulencia, difusión y modelos en la dinámica de la población, artículos sobre la fundamentación de la teoría de la probabilidad, teoremas límites, teoría de procesos estocásticos, estadística matemática, teoría de los algoritmos, teoría de la información, ....

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Niñez y años de escuela (1903-1920):Andrei Nikolaevich Kolmogorov nació el 25 de Abril de

1903, en Tambow cuando su madre se dirigía a Crimea. La madre María Yakovlena Kolmogorova murió en el parto y su hijo fue recogido en la casa de sus abuelos maternos por su tía, Vera Yakovlena. El padre de Kolmogorov, Nikolai Matveevich Kataev, un cualificado agrónomo y estadístico fue exiliado en Yaroslav. Después de la revolución socialista de octubre llegó a ser Director del Departamento de Educación en Narkomzem. Murió en 1919 en el frente sur durante la ofensiva de Denikin.

Kolmogorov paso los primeros años de su vida hasta 1910 cerca de Yaroslavl. A la edad de 5 años comprobó la ley:

1 = 12 , 1 + 3 = 22 , 1 + 3 + 5 = 32 , 1 + 3 + 5 + 7 = 42 , .....,1 + 3 + ...+(2n-1) = n2

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Las primeras clases las tomo en una pequeña escuela que sus tías habían creado cerca de su casa, donde ellas (mujeres de altas ideas socialistas) seguían un método pedagógico muy avanzado para su tiempo. En esta escuela se editó la revista Spring Swallows donde publicó sus descubrimientos y algunos problemas aritméticos.

En 1910 junto con su tía se desplazo a Moscú matriculándose en la escuela privada Repman Gymnasium (renombrada después de la revolución como Escuela de grado nº 23), donde encontró un ambiente intelectual medio que le fue de gran utilidad para su formación. En esta escuela se puso en práctica el premiar a los alumnos con unos escritos (especie de diploma en enseñanza superior) que ayudaban a potenciar la capacidad del alumnado. Kolmogorov obtuvo los correspondientes a Matemáticas, Biología e Historia de Rusia, y según el mismo, su ambición científica se debe a la profesores y al círculo de amigos que encontró en esta escuela.

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Los últimos años de la escuela primaria no fueron fácil para él, ya que tuvo que trabajar junto con otros compañeros en la construcción de la vía férrea entre Kazan y Ekaterinburg (hoy Sverdlovsk), a la vez que se preparaba los exámenes de la escuela secundaria para poder obtener el titulo de grado secundario

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Años de estudiante y enseñanza de postgrado (1920-1925,1925-1930)

Después de obtener el grado en la escuela de secundaria en 1920, ingresó en la Facultad de Matemática y Física de Moscú, donde se admitía al alumnado sin realizar ningún tipo de examen. En ese momento tenían unos conocimientos básicos de matemáticas, adquiridos de la lectura del libro New Ideas in Mathematics. Al mismo tiempo ingreso en el Departamento de Metalurgia del Instituto de Tecnología y Química D. I. Mendeleiev, y continuo sus estudios de Historia en la Facultad de Historia de la Universidad, donde realizó su primer trabajo estudiando los siglos XV y XVI, para el análisis de los datos se apoyó en ciertas técnicas matemáticas, en particular los trabajos de Bayes.

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El primer año (1920-1921) lo dedico a lecturas sobre la teoría de las funciones analíticas de N. N. Luzin y sobre geometría proyectiva de A. K. Vlasov. Destacar (por su posterior influencia) el hecho de que en el libro de Luzin se realizaba la demostración del teorema de Cauchy y se ponían ejemplos; a la vista de la demostración, Kolmogorov remitió un contraejemplo de la demostración dada por Luzin, el cual tras comprobar la veracidad del contraejemplo (hoy se sabe que dicho contraejemplo también es falso) remitió un informe muy favorable sobre Kolmogorov al Seminario de Matemática donde estudiaba.

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En el año siguiente ya era reconocido su talento matemático en Moscú. De la mano de P. S. Aleksandrov comenzó sus estudios en áreas más generales como "teoría de las operaciones sobre conjuntos", siguiendo y generalizando los estudios de Borel, Baire, Lebesgue,.. Sus trabajos en este tema , donde introdujo la noción del X operador-d S sobre unos conjuntos definidos, finalizaron en Enero de 1922, pero no fue hasta 1928 cuando se publicaron. Más tarde definió la noción de operación complementario para una operador X dado y probó diferentes resultados destacando el hecho de la existencia de conjuntos que no son borelianos.

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En otoño de 1921 comenzó a trabajar en el seminario de V. V. Stepanov sobre series trigonométricas, donde resolvió el problema de la construcción de una serie de Fourier cuyos coeficientes tienden a cero mas lentamente de lo deseado, un problema en el cual Luzin estaba muy interesado. En el artículo resultante, el cual Kolmogorov describe como su primer trabajo en solitario, formula un resultado más completo sobre los valores de los coeficientes de Fourier. Cuando este trabajo llegó a manos de Luzin, quedo tan impresionado que le propuso que se fuese a trabajar con él. También obtuvo su más celebre resultado sobre series trigonométricas construyendo una serie de Fourier-Lebesgue que diverge casi para todo (en 1926 lo modificó ligeramente obteniendo un resultado más completo).

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Su interés por la teoría de series trigonométricas y teoría descriptiva de conjuntos, hizo que sus investigaciones le llevaran al análisis clásico (diferenciación, integración, teoría de la medida y lógica matemática). Kolmogorov analizó en profundidad las afirmaciones y nuevas construcciones de la integral, buscando armonía y claridad a toda la teoría de integración, donde hasta ese momento los resultados habían sido generalizados sin ningún tipo de orden y conexión. Todos los trabajos realizados por él, en este sentido, aparecen en el primer volumen de sus trabajos que ya mencionamos.

En 1925 aparece sus primeros trabajos de lógica, donde intenta de una introducción a una amplia variedad de conceptos, donde destaca el hecho que las diferentes ramas de las matemáticas clásicas lleva consigo aparejado un armazón de intuición matemática que debería ser estudiada para ver la consistencia de sus afirmaciones.

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En su cuarto año de universidad, en 1924, Andrei Nikolaevich Kolmogorov comenzó su interés en la rama de las Ciencias donde su nombre llegó a ser más importante La Teoría de la Probabilidad. Su primer artículo en esta nueva rama para él, "Über Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden " data del 3 de Diciembre de 1925, y fue escrito en colaboración con A. I. Khinchin (también discípulo de Luzin). Este trabajo se componía de cuatro parte y Kolmogorov desarrollaba las tres últimas. Como el decía "todos mis trabajos en probabilidad con Khinchin en el periodo inicial describían los métodos de aplicación de la teoría métrica de las funciones. Tales temas con las condiciones de validación de la ley de los grandes números y condiciones de independencia de series de variables aleatorias independientes eran abordados por los métodos descritos por N. N. Luzin y sus pupilos, en la teoría general de series trigonométricas"

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CONCEPTO AXIOMATICO DE

PROBABILIDADLa definicon axiomatica de Kolmogorov surge

apartir de la acumulacion de diferentes hechos y del desarrollo de otras disciplinas cientificas y matematicas. Con esto, Kolmogorov colca en su su lugar natural los conceptos basicos de la teoria de la probabilidad, conceptos que hasta este momento se consideraron bastantes peculiares. Señala que esta construccion axiomatica arranca de las propiedades fundamentales de la probabilidad (concepto intuitivo de probabilidad- concepto frecuentista- concepto clasico de la probabilidad)

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Estas definiciones quedan totalmente justificadas apartir de estos axiomas.

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AXIOMAS ESTABLECIDOS POR KOLMOGOROVPARA SÓLO NUMERO FINITO DE SUCESOS1. Sea colección de elementos, llamados

sucesos elementales, y sea F un conjunto de subconjuntos a los elementos de conjunto F se les llama “sucesos aleatorios”. F es un algebra de conjuntos

2.

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