L6

AN131419 Sistema de Ecuaciones Lineales J. Rojas 1

1. Descomposicion LU

En algebra lineal, la factorizacion o descomposicion LU (del ingls Lower-Upper)es una forma de factorizacion de una matriz como el producto de una matriz trian-gular inferior y una superior. Si de alguna manera se logra factorizar la matriz A,es decir transformar a la forma de producto de 2 matrices triangulares , el sistemade ecuaciones Ax = b se puede resolver facilmente.

A = LU (1)

donde L - es una matriz especial triangular inferior y U - matriz triangular superior,con los elemetos diagonales D(U) = lii todos diferentes que cero, que representanlos pivotes; y D(L) = uii = 1, es decir

L =

l11 0 . 0l21 l22 . 0. . . 0

lN1 . . lNN

U =

u11 u12 . u1N

0 u22 . .. . . .0 . 0 uNN

La ecuacion (1) se reescribe LUx = b ≡ L(Ux) = bResolviendo primero respecto al vector y

Ly = b (2)

y finalmenteUx = y (3)

La ecuacion (2) se resuelve por sustitutcion hacia adelante

y1 =1

l11b1 (4a)

yi =1

lii(bi −

i−1∑

j=1

lijyj); i = 2, ...N (4b)

Finalmente los valores del vector x hallamos por sustitucion hacia atraz mediante:

xN =1

uNN

yN (5a)

xi =1

uii

(yi −N∑

j=i+1

uijxj); i = N − 1, ..,1 (5b)


1.1. Como hallar las matrices L y U?

Mediante eliminacion de Gauss

Primer metodo de factorizacion de una matriz cuadrada mediante la eliminacionde Gauss para obtener la matriz superior U . Los elementos de L se puede determinardirectamente por el multiplo con signo negativo para hacer cero el elemento corre-spondiente.

Ejemplo Factorizar la matriz A =

1 1 34 2 52 6 4

Para hacer cero los coeficientes a21, a31 es necesario multiplicar primero por -4y luego por -2 la primera ecuacion y sumar con las filas 2 y 3, respectivamente . Enla matriz resultante.

A =

1 1 30 −2 −70 4 −2

anular el coeficiente a32 se logra multiplicando por 2 la segunda ecuacion. Lamatriz superior es,

U =

1 1 30 −2 −70 0 −16

Y los correspondientes coeficientes de L son

L =

1 0 04 1 02 −2 1

Segundo metodo. Metodo de Crount

Tener en cuenta que los elementos del producto de matrices

N∑

k=1

likukj = aij; i = 1, ...N ; j = 1, ...N

forman N ecuaciones con N2 + N incognitas. Ya que el numero de incognitas esmayor, se puede eligir lii = 1(i = 1, ..N). Ademas por la estructura de las matricesU y L, el ındice de sumacion no toma todos los valores.

i <= j :i

∑

k=1

likukj = aij; i > j :

j∑

k=1

likukj = aij

Procedimiento de Crout para la evaluacion de los elemntos uij y lij


Para j=1,2,...N calcular:

u1j = a1j (6a)

uij = aij −

i−1∑

k=1

likukj; i = 2, ...j (6b)

lij =1

ujj

(aij −

j−1∑

k=1

likukj); i = j + 1, ..N (6c)

Problema. Descomponer la matriz A en forma de matrices L y U

A =

2 −1 0−1 2 −10 −1 2

y hallar los valores del vector x = (x1x2x3) si el vector b = (132)

2. Matrices especiales

Definicion 1 (Diagonal Dominante)La matriz A n × n se dice que es de diagonal estrictamente dominante por

filas cuando

|aii| >

n∑

j=1,j 6=i

|aij|

se cumple para todo i = 1, · · · , n.

Teorema 1La matriz diagonal estrictamente dominante A es no singular. Ademas , en este caso

, la eliminacion de Gauss puede aplicarse sobre cualquier sistema lineal de forma

Ax = b para obtener una solucion unica sin el intercambio de filas o columnas, y el

calculo va a ser estable con respecto al crecimiento de los errores de redondeo.

Definicion 2 (Simetrica definida positiva)La matriz A es definida positiva si xTAx > 0 para cada vector n-dimensional

x = 0.

Teorema 2La matriz simetrica A es definida posetiva si y solo si la eliminacion de Gauss sin

intercambio de filas puede realizarse sobre el sistema lineal Ax = b con todos los

elementos pivote posetivos. Ademas, en este caso, el calculo es estable con respecto

a los errores de redondeo.

Facrorizacion LDLT

Para factorizar la matriz A n × n definida positiva en la forma LDLT , donde L


una matriz triangular inferior con 1 en la diagonal y D es una matriz diagonal conelementos positivos en la diagonal:

Entrada: la dimension n; matriz A = (aij), donde 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n

Salida: las entradas lij , para 1 ≤ j < i y 1 ≤ i ≤ n de L y di para 1 ≤ i ≤ n de D.

Step 1: For i = 1, · · · , n do Steps 2 - 4Step 2: For j = 1, · · · , i− 1, set vj = lijdjStep 3: Set di = aii −

∑i−1j=1 lijvj

Step 4: For j = i+ 1, · · · , n , set lji = (aji −i−1∑

k=1

ljkvk)/di.

Step 5: OUTPUT(lij for j = 1, · · · , i− 1 and i = 1, · · · , n;OUTPUT(di for i = 1, · · · , n);STOP.

Corolario 1Sea A una matriz simetrica n × n para la cual puede ser aplicada la eliminacion

de Gauss sin intercambio de filas. Entonces A puede ser factorizado en LDLT ,

donde L es triangular inferior con 1 en su diagonal y D es una matriz diagonal con

a(1)11 , · · · , a

(n)nn en su diagonal.

Definicion 3 (Matriz Tridiagonal) El sistema de ecuaciones del tipo Ax = bcontiene elentos diferentes de cero solamente en los diagonales central y sus adya-

centes. Tambien se dice que son matrices con ancho de banda 3.

Las matrices tridiagonales puede ser descompuesta como A = LU donde L es diag-onal inferior y U es diagonal superior como sigue:

L =

l11 0 0 · · · · · · 0l21 l22 0 00 l32 l33 0 0... 0

. . . . . . . . . 0...

. . . . . . . . . 00 · · · · · · 0 ln,n−1 lnn

and R =

1 u12 0 · · · · · · 00 1 u23 00 0 1 u34 0... 0

. . . . . . . . . 0...

. . . . . . . . . un−1,n

0 · · · · · · 0 0 1

Factorizacion de Crout para sistema TridiagonalProposito: Resolver el sistema lineal n× n

E1 : a11x1 + a12x2 = a1,n+1

E2 : a21x1 + a22x2 + a23x3 = a2,n+1...

... =...

En−1 an−1,n−2xn−2 + an−1,n−1xn−1 + an−1,nxn = an−1,n+1

En : an,n−1xn−1 + annxn = an,n+1

Input: la dimension, n; matriz A = (aij), donde 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n

Output: la solucion x1, · · · , xn.


Step 1: Set l11 = a11u12 = a12/l11;z1 = a1,n+1/l11.

Step 2: For i = 2, · · · , n− 1, set li,i−1 = ai,i−1

lii = aii − li,i−1ui−1,i;ui,i+1 = ai,i+1/lii;zi = (ai,n+1 − li,i−1zi−1)/lii;

Step 3: Set ln,n−1 = an,n−1;lnn = ann − ln,n−1un−1,n;zn = (an,n+1 − ln,n−1zn−1)/lnn;

Step 4: Set xn = znStep 5: For i = n− 1, · · · , 1 , set xi = zi − ui,i+1xi+1

Step 6: OUTPUT(x1, x2, · · · , xn);STOP.

3. Metodo Iterativo de Jacobi

El metodo de Jacobi es un algoritmo para determinar las soluciones de un sistemade ecuaciones lineales con mayores valores absolutos en cada fila y columna dominadapor el elemento diagonal. Cada elemento de la diagonal se resuelve a favor, y un valoraproximado

El proceso se repite hasta que converge. Este algoritmo es una versin reducidadel metodo de transformacion de Jacobi de la diagonalizacion de matrices. El metodolleva el nombre del matematico aleman Carl Gustav Jakob Jacobi.

Sea A una matriz cuadrada, si A es diagonal dominante, los metodos iterativosde Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solucion del sistema de ecuaciones Ax = b.

Los metodos iterativos de solucin de sistemas tipo Ax = b consiste en utilizarprocesos iterativos,donde a partir de una aproximacin inicial de prueba x(0) se hal-lan mejores aproximaciones x(1), x(2), . . ., donde la siguiente aproximacin se obtienemediante,

x(n+1) = Tx(n) + c

Sea A una matriz cuadrada

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 . . . . . . ann

(7)

L =

0 0 . . . 0−a21 0 . . . 0...

.... . .

...−an1 . . . −an,n−1 0

;D =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 . . . 0 ann


U =

0 −a12 . . . −a1n0 0 . . . −a2n...

.... . .

...0 . . . . . . 0

Entonces tiene lugar la relacion

A = D − L− U

Por lo tanto

Ax = b,

(D − L− U)x = b

Dx = (L+ U)x+ b,

x = D−1(L+ U)x+D−1b

Por consiguiente, los operadores T y c

T = D−1(L+ U), c = D−1b

Teniendo en cuenta que los elementos diagonales de la matriz D−1 son iguales a1/aii, parai = 1, 2, . . . n, las nuevas aproximaciones de las componentes del vector xse estima mediante,

xi =n

∑

j 6=i

(

−aijxj

aii

)

+biaii

, i = 1, 2, ..n (8)

Ejemplo Mediante la iteracion de Jacobi, estimar las raices del sistema

x1 + x2 + 3x3 = 2

4x1 + 2x2 + 5x3 = 1

2x1 + 6x2 + 4x3 = 3

con vector de prueba inicial x0 =

−11/51

Solucion

x(1) =

−6/50

19/20

L6

Documents

Transcript of L6