LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA UNIDAD 13. OBJETIVOS OBJETIVO.
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LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA
UNIDAD 13
Ejercicios Resueltos
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OBJETIVOS
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
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Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.
Objetivo 2.
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1. Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2, 4) y B(6, -2)
C(h, k) = punto medio de
Radio = distancia de C a A
AB
1 2
2
x xh
2 6
2
4
22
1 2
2
y yk
4 2
2
21
2
C(2, 1)
2 22 2 4 1
CAr d
916 25 5 5r
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Cont…ejercicio resuelto 1
Ecuación de la circunferencia:
2512 22 yx
0251244 22 yyxx
0202422 yxyx
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2. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo centro está situado en la recta
Por la definición del lugar geométrico de una circunferencia con centro en C(h, k):
C(h, k) es un punto de la recta por lo tanto satisface su ecuación:
0113 yx
CBCA dd
2222 1132 khkh
2222 1132 khkh
12129644 2222 kkhhkkhh
01146 kh
6 4 11 0 ....................(1)h k
3 11 0 ...............(2)h k
0113 yx
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Cont…..ejercicio resuelto 2.Se resuelven las ecuaciones (1) y (2)
simultáneas:01146 kh
0113 kh
113 kh
01141136 kk
5522 k2
5k
112
53
h 7
2
2
5,
2
7C
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Cont…..ejercicio resuelto 2.
La ecuación de la circunferencia es
o, en la forma general,
4
130
2
5
2
722
yx
04
130
4
255
4
497 22 yyxx
0145722 yxyx
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3. Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas:
El término “inscrita” indica que la circunferencia está dentro del triángulo y su centro, el punto C(h, k), es el punto donde se intersectan las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.
Ver la siguiente figura
0932:
0623:
02132:
3
2
1
yxR
yxR
yxR
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Cont….ejercicio resuelto 3Ecuación de la bisectriz
(1) del ángulo que forman las rectas R1 y R2:
Ecuación de la bisectriz (2) del ángulo que forman las rectas R1 y R3:
2222 23
623
32
2132
yxyx
13
623
13
2132
yxyx
6232132 yxyx
01555 yx
03 yx
13
932
13
2132
yxyx
9322132 yxyx
0126 y
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Cont…..ejercicio resuelto 3Con estas dos bisectrices se encuentra el punto
donde se intersectan las tres, que es el centro de la circunferencia de coordenadas (h, k):
De la bisectriz (2):
En la bisectriz (1):
El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas, por ejemplo a R3:
La ecuación de la circunferencia es:
0126 y12
2= k6
y
03 yx 2 3 1 = hx
2 2
2 1 3 2 9
2 3r
13
13
13
=
1321 22 yx
0134412 22 yyxx
084222 yxyx Índice
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Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres constantes
independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás estos conceptos
para resolver problemas.
Objetivo 3.
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Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y determina si representa una circunferencia real, un
punto o ningún lugar geométrico real.
1.
Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real.
2.
Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y radio 2.
0296822 yxyx
9162996168 22 yyxx
434 22 yx
066633 22 yxyx
022222 yxyx1121212 22 yyxx
411 22 yx
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3. Encuentra la forma canónica de la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4).
Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3):
De (4):
2 2 21 2 ......................(1)h k r
2 2 25 2 ......................(2)h k r
2 2 23 4 ......................(3)h k r
2 2 2 21 2 5 2 ........(4)h k h k
2 2 2 21 2 3 4 ........(5)h k h k
2222 4410254421 kkhhkkhh
3
248
h
h
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Cont….ejercicio resuelto 3
De (5):
Sustituyendo h:
El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2)En (1):
Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica de la ecuación es:
2222 816694421 kkhhkkhh 2044 kh 5 kh
2
53
k
k
222 21 rkh
2
222
04
2231
r
r
423 22 yxÍndice
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Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma
general.
Objetivo 4.
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1. Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola
El vértice está en el origen, el eje de la parábola es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la parábola tiene:
Vértice en (0, 0) Foco en
Directriz Eje de la parábola y = 0
Lado recto
xy 83 2
23 8y x 2 8
3y x
84
3p
2> 0
3p
0,3
2
3
2x
3
8LR
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2. Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en la recta eje horizontal y que pasa por los puntos (3, –5) y
Eje horizontal →
El punto (3, –5) pertenece a la parábola →
El punto pertenece a la parábola →
V(h, k) pertenece a la recta →
0437 yx
1,2
3
hxpky 42
hpk 345 2
hpk
2
341 2
1,2
3
0437 kh
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Cont….ejercicio resuelto 2Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se
debe resolver el sistema de ecuaciones:
en el que dos de las ecuaciones son de segundo
grado. Al restar una de otra se pueden eliminar los
términos en k2 y en ph, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado:
225 10 12 4k k p ph 04121025 2 phpkk21 2 6 4k k p ph
04621 2 phpkk
0437 kh
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Cont……..ejercicio resuelto 2.
En esta ecuación se puede despejar p en función de k, y en la tercera ecuación del sistema original se puede despejar h en función de k:
2
2
10 12 4 25 0
2 6 4 1 0
12 6 24 0
k k p ph
k k p ph
k p
12 6 24 0
2 4 0
2 4
k p
k p
p k
7 3 4 0
7 4 3
4 3
7
h k
h k
kh
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Cont….ejercicio resuelto 2.
Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones de segundo grado (en este caso en la segunda) queda: 2 4 3
2 6 2 4 4 2 4 1 07
kk k k k
2 4 32 12 24 8 16 1 0
7
kk k k k
27 14 84 168 8 16 4 3 7 0k k k k k
2 27 98 168 32 24 64 48 7 0k k k k k
217 114 97 0k k 217 114 97 0k k
2114 114 4 17 97
34k
971 y 17k k
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Cont….ejercicio resueltos 2.Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas:
a) k = –1, h = 1, 4p = 8; Ecuación:
b) L
Ecuación:
181 2 xy
17
97k
119
359h
17
5044 p
119
359
17
504
17
972
xy
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3. Encuentra la altura de un punto situado a una distancia de 8m del centro del arco parabólico que tiene 18m de altura y 24m de base.
Colocando el arco en el plano de manera que el eje x sea la base del arco y el origen el punto medio de la base, como la base mide 24m los dos puntos en que el arco cruza al eje x son (–12, 0) y (12, 0); su vértice está en (0, 18) y el punto situado a 8m del centro del arco tiene coordenadas (8, 0)
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Cont….ejercicio resuelto 3.
La ecuación es de la forma:
La curva pasa por (12, 0), de modo que
Ecuación de la parábola: Altura del arco a 8m del centro:
Altura: 10m
kyphx 42
1840 2 ypx 1842 ypx
180412 2 p2
72144
p
p
)18(82 yx
1888 2 y10
8
80
641448
y
y
Índice
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Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una
parábola, y la necesidad de tres condiciones para determinar su ecuación.
Objetivo 5.
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1. Determina el lugar geométrico que representa la ecuación
En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo tanto representa a una parábola. Como el término al cuadrado es el de y, su eje es paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma canónica es:
de modo que el vértice es:
Entonces el eje de la parábola coincide con el eje y.
742 xy
742 xy
742 xy
4
740 2 xy
0,4
7V
Índice